相似三角形”A“字模型(含详细答案)-经典

专题13A 字型和反A 字型相似模型【模型1】A 字型相似模型如图13-1，A A ∠=∠，要证ADE ∆∽ABC ∆，只要知道BC DE //即可。

【模型2】反A 字型相似模型如图13-2，A A ∠=∠，要证ADE ∆∽ACB ∆，只要再知道一组对应角相等即可，即只需知道ACB ADE ∠=∠或ABC AED ∠=∠。

【例1】如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若AE ＝2，EC ＝3，则△ADE 与△ABC 的面积之比为（）A ．4：25B ．2：3C ．4：9D ．2：5【答案】A 【分析】根据相似三角形的判定定理得到△ADE ∽△ABC ，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．【解析】解：∵AE =2，EC =3，∴AC =AE +EC =5，∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴2224525ADE ABC S AE S AC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，故选：A ．【例2】如图，已知D 是BC 的中点，M 是AD 的中点．求:AN NC的值．【答案】12【分析】解法1：过点D 作AC 的平行线交BN 于点H ，构造“A ”型和“8”型，得出BDH BCN ∽和DHM ANM ∽，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；解法2：过点C 作AD 的平行线交BN 的延长线于点H ，构造“A ”型和“8”型，得出BDM BCH △∽和AMN CHN △∽△，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；解法3：过点A 作BC 的平行线交BN 的延长线于点H ，构造“A ”型和“8”型，得出AHM DBM △∽△和AHN CBN △∽△，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；解法4：过点D 作BN 的平行线交AC 于点H ，根据三角形中位线定理得出AN NH CH ==，即可得出答案；【解析】解法1：如图2，过点D 作AC 的平行线交BN 于点H ．因为//DH AC ．所以BDH BCN ∽，所以DH BD CN BC=．因为D 为BC 的中点，所以12DH BD CN BC ==．因为//DH AN ，所以DHM ANM ∽，所以DH DM AN AM=．因为M 为AD 的中点，所以1DH DM AN AM ==．所以DH AN =，所以12AN CN =．解法2：如图3，过点C 作AD 的平行线交BN 的延长线于点H ．因为//DM CH ，所以BDM BCH △∽，所以DM BD CH BC=．因为D 为BC 的中点，所以12DM BD CH BC ==．因为M 为AD 的中点，所以AM DM =，所以12AM CH =．因为//DM CH ，所以AMN CHN △∽△，所以12AN AM CN CH ==．解法3：如图4，过点A 作BC 的平行线交BN 的延长线于点H ．因为//AH BD ，所以AHM DBM △∽△，所以AH AM BD DM=．因为M 为AD 的中点，所以AM DM =，所以AH BD =．因为//AH BD ，所以AHN CBN △∽△，所以AN AH CN BC=．因为D 为BC 的中点，且AH BD =，所以12AN BD CN BC ==．解法4：如图5，过点D 作BN 的平行线交AC 于点H ．在ADH 中，因为M 为AD 的中点，//MN DH ，所以N 为AH 的中点，即AN NH =．在CBN 中，因为D 为BC 的中点，//DH BN ，所以H 为CN 的中点，即CN HN =，所以AN NH CH ==．所以12AN CN =．【例3】【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．【定理证明】请根据教材内容，结合图①，写出证明过程．【定理应用】如图②，在矩形ABCD 中，AC 为矩形ABCD 的对角线，点E 在边AB 上，且AE =2BE ，点F 在边CB 上，CF =2BF ．O 为AC 的中点，连结EF 、OE 、OF ．（1）EF 与AC 的数量关系为__________．（2）OEF 与ABC 的面积比为___________．【答案】【定理证明】证明见解析；【定理应用】（1）EF 与AC 的数量关系为13EF AC =；（2）OEF 与ABC 的面积比为2:9．【分析】定理证明：先根据相似三角形的判定与性质可得1,2DE AD ADE ABC BC AB ==∠=∠，再根据平行线的判定即可得证；定理应用：（1）先根据线段的比例关系可得13BE BF BA BC ==，再根据相似三角形的判定与性质即可得；（2）如图（见解析），先根据三角形中位线定理可得11,22OM BC ON AB ==，设,BE a BF b ==，再根据三角形的面积公式分别求出OEF 与ABC 的面积，由此即可得出答案．【解析】定理证明： 点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，12AE AD AC AB ∴==，在ADE 和ABC 中，12AE AD AC AB A A⎧==⎪⎨⎪∠=∠⎩，ADE ABC ∴ ，1,2DE AD ADE ABC BC AB ∴==∠=∠，//DE BC ∴，且12DE BC =；定理应用：（1）2,2AE BE CF BF == ，13BE BF BA BC ∴==，在BEF 和BAC 中，BE BF BA BC B B⎧=⎪⎨⎪∠=∠⎩，BEF BAC ∴~ ，13EF BF AC BC ∴==，即13EF AC =；（2）如图，过点O 作OM AB ⊥于点M ，作ON BC ⊥于点N ，四边形ABCD 是矩形，90B ∴∠=︒，即AB BC ⊥，//,//OM BC ON AB ∴，点O 是AC 的中点，OM ∴、ON 是ABC 的两条中位线，11,22OM BC ON AB ∴==，设,BE a BF b ==，则332,3,2,3,,22AE a AB a CF b BC b OM b ON a ======，1122BEF S BE BF ab ∴=⋅= ，1322AOE S AE OM ab =⋅= ，1322COF S CF ON ab =⋅= ，1922ABC S AB BC ab =⋅= ，OEF ABC BEF AOE COF S S S S S ab ∴=---= ，2992OEF ABC S ab S ab ∴== ，即OEF 与ABC 的面积比2:9．一、单选题1．如图．在△ABC 中，DE ∥BC ，∠B =∠ACD ，则图中相似三角形有（）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理即可得到结论．【解析】∵∠B =∠ACD ，∠A =∠A ，∴△ACD ∽△ABC ，∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴△ACD ∽△ADE ，∵DE ∥BC ，∴∠EDC =∠DCB ，∵∠B =∠DCE ，∴△CDE ∽△BCD ，故共4对，故选：C ．2．如图，已知,ADE ABC V :V 若:1:3,AD AB ABC =V 的面积为9，则ADE 的面积为（）A ．1B ．2C ．3D ．9【答案】A 【分析】根据相似三角形的性质得出21=3ADE ABC S S ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入求出即可．【解析】解：∵△ADE ∽△ABC ，AD ：AB ＝1：3，∴21=3ADE ABC S S ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵△ABC 的面积为9，∴1=99ADE S ，∴S △ADE ＝1，故选：A ．3．如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=3，D ，E 分别在AB 、AC 上，将△ADE 沿DE 翻折后，点A 落在点A′处，若A′为CE 的中点，则折痕DE 的长为（）A ．12B ．3C ．2D ．1【答案】D 【解析】试题解析：由题意得：DE ⊥AC ，∴∠DEA =90°，∵∠C =∠DEA ，∵∠A =∠A ，∴△AED ∽△ACB ,∴DE BC =AE AC,∵A ′为CE 的中点，∴C A ′=E A ′，∴C A ′=E A ′=AE ，∴AE AC =DE BC =13，∴DE =1.故选D.二、填空题4．如图，P 是ABC ∆内一点，过点P 分别作直线平行于ABC ∆各边，形成三个小三角形面积分别为1233,12,27S S S ===，则ABC S ∆=__________【答案】108【分析】根据平行可得三个三角形相似，再由它们的面积比得出相似比，再求出最小三角形的边与最大三角形边的比，从而得到它们的面积的比，求出结果即可．【解析】解：过P 作BC 的平行线交AB 、AC 于点D 、E ，过P 作AB 的平行线交AB 于点I 、G ，过P 作AC 的平行线交AC 于点F 、H ，∵DE//BC ，IG//AB ，FH//AC ，∴四边形AFPI 、四边形PHCE 、四边形DBGP 均为平行四边形，△FDP ∽△IPE ∽△PGH ∽△ABC ，∵12331227S S S ===，，，∴FP ：IE ：PH=1：2：3，∴AI ：IE ：EC=1：2：3，∴AI ：IE ：EC ：AB=1：2：3：6，S △ABC ：S △FDP =36：1，∴S △ABC =36×3=108．故答案为:108．5．如图，在ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，ADE C ∠=∠，如果3AD =，ADE 的面积为9，四边形BDEC 的面积为16，则AC 的长为________．【答案】5【分析】由∠ADE=∠C ，∠DAE=∠CAB ，根据相似三角形的判定得到△DAE ∽△CAB ，根据相似的性质得S △DAE ：S △CAB =2AD AC ⎛⎫ ⎪⎝⎭，然后把三角形面积代入计算即可．【解析】解：∵∠ADE=∠C ，而∠DAE=∠CAB ，∴△DAE ∽△CAB ，∴S △DAE ：S △CAB =2AD AC ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵△ADE 的面积为9，四边形BDEC 的面积为16，∴△ABC 的面积=9+16=25，∴2925AD AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴AC=5．故答案为5．三、解答题6．如图，△ABD 中，∠A ＝90°，AB ＝6cm ，AD ＝12cm ．某一时刻，动点M 从点A 出发沿AB 方向以1cm/s 的速度向点B 匀速运动；同时，动点N 从点D 出发沿DA 方向以2cm/s 的速度向点A 匀速运动，运动的时间为ts ．（1）求t 为何值时，△AMN 的面积是△ABD 面积的29；（2）当以点A ，M ，N 为顶点的三角形与△ABD 相似时，求t 值．【答案】（1）14t =，22t =；（2）t ＝3或245【分析】（1）由题意得DN ＝2t （cm ），AN ＝（12﹣2t ）cm ，AM ＝t cm ，根据三角形的面积公式列出方程可求出答案；（2）分两种情况，由相似三角形的判定列出方程可求出t 的值．【解析】解：（1）由题意得DN ＝2t （cm ），AN ＝（12﹣2t ）cm ，AM ＝t cm ，∴△AMN 的面积＝12AN •AM ＝12×（12﹣2t ）×t ＝6t ﹣t 2，∵∠A ＝90°，AB ＝6cm ，AD ＝12cm ∴△ABD 的面积为12AB •AD ＝12×6×12＝36，∵△AMN 的面积是△ABD 面积的29，∴6t ﹣t 2＝2369⨯，∴t 2﹣6t +8＝0，解得t 1＝4，t 2＝2，答：经过4秒或2秒，△AMN 的面积是△ABD 面积的29；（2）由题意得DN ＝2t （cm ），AN ＝（12﹣2t ）cm ，AM ＝t cm ，若△AMN ∽△ABD ，则有AM AN AB AD =，即122612t t -=，解得t ＝3，若△AMN ∽△ADB ，则有AM AN AD AB =，即122126t t -=，解得t ＝245，答：当t ＝3或245时，以A 、M 、N 为顶点的三角形与△ABD 相似．7．在ABC 中，()0AB m m =>，D 为AB 上一点，过D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，连接CD ．设21,DCE ABC S S S S == ，求21S S的取值范围．【答案】21104S S <≤【分析】作AG ⊥BC 于F 点，交DE 于G 点，设AD =x ，首先结合相似三角形的判定与性质推出DE BC 和GF AF的值，然后结合面积公式进行列式，得出二次函数解析式，最后结合二次函数的性质以及自变量的取值范围进行判断即可．【解析】解：如图所示，作AG ⊥BC 于F 点，交DE 于G 点，设AD =x ，∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴DE AD AG AE x BC AB AF AC m ====，∴GF m x AF m-=，∴()2211212DE GF x m x S DE GF x m x S BC AF m m m BC AF --==⨯=⨯= ，整理得：22222111124S x m x x S m m m ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，∵点D 在AB 上，0m >，∴0x m <<，210m -<，∴抛物线21S S 的开口向下，且当2m x =时，21S S 取得最大值为14，当0x =和x m =时，均有210S S =，综上分析，21S S 的取值范围是21104S S <≤．8．Rt ABC 中，90C ∠=︒，20cm AC =，15cm BC =，现有动点P 从点A 出发，沿AC 向点C 方向运动，动点Q 从点C 出发，沿线段CB 也向点B 方向运动，如果点P 的速度是4cm/s ，点Q 的速度是2cm/s ，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t 秒．（1）求运动时间为多少秒时，P 、Q 两点之间的距离为10cm?（2）若CPQ 的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式．（3）当t 为多少时，以点C ，P ，Q 为顶点的三角形与ABC 相似?【答案】（1）3秒或5秒；（2）()22204cm S t t =-；（3）3t =或4011t =【分析】（1）根据题意得到AP =4t cm ，CQ =2t cm ，AC =20cm ，CP =（20-4t ）cm ，根据三角形的面积公式列方程即可得答案；（2）若运动的时间为t s ，则CP =（20-4t ）cm ，CQ =2t cm ，利用三角形的面积计算公式，即可得出S =20t -4t 2，再结合各线段长度非负，即可得出t 的取值范围；（3）分①Rt CPQ Rt CAB ∽△△和②Rt CPQ Rt CBA ∽△△，利用相似三角形得出比例式，建立方程求解，即可得出结论．【解析】（1）解：由运动知，AP =4tcm ，CQ =2t cm ，∵AC =20cm ，∴CP =（20-4t ）cm ，在Rt △CPQ 中，222CP CQ PQ +=，即()()222204210t t -+=；∴3t =秒或5t =秒（2）由题意得4AP t =，2CQ t =，则204CP t =-，因此Rt CPQ 的面积为()()2212042204cm 2S t t t t =⨯-⨯=-；（3）分两种情况：①当Rt CPQ Rt CAB ∽△△时，CP CQ CA CB =，即20422015t t -=，解得3t =；②当Rt CPQ Rt CBA ∽△△时，CP CQ CB CA =，即20421520t t -=，解得4011t =．因此3t =或4011t =时，以点C 、P 、Q 为顶点的三角形与ABC 相似．9．如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，点E 、点F 在边AC 上，且DE ∥BC ，AF AE FE EC =．（1）求证：DF ∥BE ；（2）如且AF ＝2，EF ＝4，AB ＝ADE ∽△AEB ．【答案】（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）由题意易得AD AE BD EC =，则有AF AD FE BD =，进而问题可求证；（2）由（1）及题意可知12AD AF BD EF ==，然后可得AD =AE AD AB AE ==，最后问题可求证．【解析】解：（1）∵DE ∥BC ，∴AD AE BD EC =，∵AF AE FE EC =，∴AF AD FE BD =，∴DF ∥BE ；（2）∵AF ＝2，EF ＝4，∴由（1）可知，12AD AF BD EF ==，AE =6，∵AB ＝∴13AD AB ==∴363AE AD AB AE ====，∴3AE AD AB AE ==，∵∠A =∠A ，∴△ADE ∽△AEB ．10．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为BA 延长线上一点，点D 为圆上一点且∠ADC =∠AOF ，OF ⊥AD 于点E ，交CD 于点F ．（1）判断CD 与⊙O 的位置关系；（2）若sin C =13，BD =8，求EF 的长．【答案】（1）CD 与⊙O 相切；（2）2EF =．【分析】（1）要判断CD 与⊙O 的位置关系，可连接OD ，判断OD 与CD 能否垂直即可；（2）观察图形可知：EF =OF -OE ，所以要求EF ，只需设法分别求出OF 和OE 的长度即可；由于AB 是⊙O 的直径，可以判断出OF 与BD 平行的位置关系，从而利用OAE BAD △∽△和OCF BCD △∽△，即可分别求出OF 和OE 的长度．【解析】（1）CD 与⊙O 相切．证明：连接OD ．∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADO +∠BDO =∠DAO +∠B =90°，∵OF ⊥AD ，OD =OA ，∴∠AOD =2∠AOF ，∠DAO =∠ODA ．∵∠AOD =2∠B ，∴∠ADC =∠B ．∴∠ADC +∠ADO =90°．∴OD ⊥CD ．∴CD 是⊙O 的切线．∴CD 与⊙O 相切．（2）设⊙O 的半径为r ．在Rt △OCD 中，∵1sin 3C =，∴13OD OC =，∴3OD r OC r ==，．∵OA =r ，∴AC =OC -OA =2r ．∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB =90°．又∵OF ⊥AD ，∴OF ∥BD ．∴OAE BAD △∽△且OCF BCD △∽△．由OAE BAD △∽△，得，12OE OA BD AB ==．∴118422OE BD ==⨯=．由OCF BCD △∽△，得，34OF OC BD BC ==．∴338644OF BD ==⨯=．∴642EF OF OE =-=-=．11．如图，在ABC ∆中，点,E F 分别在,AB AC 上，且AE AB AF AC=．（1）求证：AEF ABC ∆∆ ；（2）若点D 在BC 上，AD 与EF 交于点G ，求证：EG FG BD CD=．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）直接利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证得结论；（2）根据相似三角形的性质和平行线的判定方法可得EF ∥BC ，于是可得△AEG ∽△ABD ，△AGF ∽△ADC ，再根据相似三角形的性质即可推出结论．【解析】解：（1）在△AEF 和△ABC 中，∵EAF BAC ∠=∠，AE AB AF AC =，∴△AEF ∽△ABC ；（2）∵△AEF ∽△ABC ，∴∠AEF =∠ABC ，∴EF ∥BC ，∴△AEG ∽△ABD ，△AGF ∽△ADC ，∴EG AG BD AD =,FG AG CD AD =，∴EG FG BD CD=．12．如图，已知，⊙O 为△ABC 的外接圆，BC 为直径，点E 在AB 上，过点E 作EF ⊥BC ，点G 在FE 的延长线上，且GA=GE ．（1）求证：AG 与⊙O 相切．（2）若AC=6，AB=8，BE=3，求线段OE 的长．【答案】（1）证明见解析；（2【分析】（1）连接OA ，由OA=OB ，GA=GE 得出∠ABO=∠BAO ，∠GEA=∠GAE ；再由EF ⊥BC ，得出∠BFE=90°，进一步由∠ABO+∠BEF=90°，∠BEF=∠GEA ，最后得出∠GAO=90°求得答案；（2）BC 为直径得出∠BAC=90°，利用勾股定理得出BC=10，由△BEF ∽△BCA ，求得EF 、BF 的长，进一步在△OEF 中利用勾股定理得出OE 的长即可．【解析】（1）连接OA ，∵OA=OB，GA=GE∴∠ABO=∠BAO，∠GEA=∠GAE ∵EF⊥BC，∴∠BFE=90°，∴∠ABO+∠BEF=90°，又∵∠BEF=∠GEA，∴∠GAE=∠BEF，∴∠BAO+∠GAE=90°，即AG与⊙O相切．（2）解：∵BC为直径，∴∠BAC=90°，AC=6，AB=8，∴BC=10，∵∠EBF=∠CBA，∠BFE=∠BAC，∴△BEF∽△BCA，∴BF BE EF BA BC AC==∴EF=1.8，BF=2.4，∴OF=OB-BF=5.2．4=2.6，∴=．13．已知：矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，点E在对角线AC上，且满足AE＝2EC，点F 在线段CD上，作直线FE，交线段AB于点M，交直线BC于点N．（1）当CF＝2时，求线段BN的长；（2）若设CF＝x，△BNE的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；（3）试判断△BME能不能成为等腰三角形，若能，请直接写出x的值．【答案】（1）BN＝10；（2）6273xyx-=-，0＜x＜3；2763xyx-=-，3＜x＜4.5；（3）x＝2或32或29 12【分析】（1）由AB CD∥得△CFE∽△AME，△NCF∽△NBM，进而求得；（2）分为0＜x＜3和3＜x＜4.5两种情形，作EG⊥BC于G，根据三角形相似求出EG和BN；（3）分为BM＝BE，EM＝BE，EN＝BM三种，可根据BM＝9﹣2CF求得．【解析】解：（1）如图1，在矩形ABCD中，BC＝AD＝6，AB CD∥，∴△CFE∽△AME，△NCF∽△NBM，∴1,2CF EC CF NC AM AE BM NB ===,∴AM＝2CF＝4，∴BM＝AB﹣AM＝5，∴26 5BNBN-=，∴BN＝10；（2）当CF＝BM时，MF BC∥，此时△BEN不存在，∴CF＝9﹣2CF，∴CF＝3，当点M和B点重合时，AB＝2CF，∴CF＝4.5，∴分为0＜x＜3和3＜x＜4.5，如图2，当0＜x＜3时，作EG⊥BC于G，由（1）知，EG＝3，AM＝2CF＝2x，∴BM＝9﹣2x，由CF NCBM NB=得，692x BNx BN-=-，∴1843x BNx-=-，∴y＝12BN EG⋅＝11843 23xx-⋅⨯-＝6273xx--；如图3，当3＜x ＜4.5时，由BN BM CN CF=得，926BN x BN x-=+∴CN ＝2(92)3x x --，∴y ＝12(92)323x x -⋅⨯-＝2763x x --；（3）如图4，∵EG AB ∥，∴13CG EG CB AB ==，∴CG ＝13CB ＝2，∴GB ＝CB ﹣CG ＝4，∴BE ＝5，当BM ＝BE ＝5时，9﹣2x ＝5，∴x ＝2，如图5，当EM ＝EB ＝5时，作EH ⊥AB 于H ，∴BM ＝2BH ＝2EG ＝6，∴9﹣2x ＝6，∴x =32，如图6，当EM ＝BM 时，作MH ⊥BE 于H ，在Rt △BMH 中，BH ＝1522BE =，cos ∠MBH ＝cos ∠BEG ＝35EG BE =，∴BM ＝355252cos 6BH MBH ==∠，∴9﹣2x ＝256，∴x ＝2912，综上所述：x ＝2或32或2912．14．如图，在平行四边形ABCD 中，90ADB ∠=︒，10cm AB =，8cm AD =，点P 从点D 出发，沿DA 方向匀速运动，速度为2cm/s ；同时，点Q 从点B 出发，沿BC 方向匀速运动，速度为1cm/s .当一个点停止运动，另一个点也停止运动.过点P 作//PE BD 交AB 于点E ，连接PQ ，交BD 于点F .设运动时间为()()s 04t t <<.解答下列问题：（1）当t为___________时，//PQ AB？（2）连接EQ，设四边形APQE的面积为()2cmy，求y与t的函数关系式.（3）当t为何值时，点E在线段PQ的垂直平分线上？（4）若点F关于AB的对称点为'F，是否存在某一时刻t，使得点P，E，'F三点共线？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）83；（2）233244y t t=--+；（351；（4）2425．【分析】（1）由题意得，PQ∥AB，则四边形PABQ是平行四边形，根据平行四边形的性质可得AP=BQ，即8-2t=t，解方程即可求解；（2）过点Q作QH⊥AB交AB的延长线于点H，由勾股定理求出BD=6，证明△ADB∽△BHQ，根据相似三角形的性质可得QH=35t，根据平行线分线段成比例定理可得DP BEAD AB=，可得出BE=52t，根据y=S四边形APQB-S△BEQ即可求解；（3）先证出△APE∽△ABD，根据相似三角形的性质可得PE APDB AD=，可得PE=6-32t，根据线段垂直平分线的性质得EQ=PE，由（2）得QH=35t，可得出BH=45t，根据勾股定理得出EH2+HQ2=EQ2，列出方程即可求解；（4）连接FF′交AB于点N，由对称及平行线的性质可得∠FEB=∠ABD，由等角对等边得EF=FB，则1524BN EN BE t===，再证△DPF∽△BQF，可得DF=2BF，可求出BF=2，然后证明△BNF∽△BDA，根据相似三角形的性质即可得t的值．【解析】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，若PQ∥AB，∴四边形PABQ是平行四边形，∴AP=BQ，∴8-2t=t，∴t =83，∴当t =83时，PQ ∥AB ；故答案为：83；（2）如图，过点Q 作QH ⊥AB 交AB 的延长线于点H ，∵∠ADB =90°，∴BD 2=AB 2-AD 2=100-64=36，即BD =6，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠A =∠QBH ，又∵∠ADB =∠BHQ =90°，∴△ADB ∽△BHQ ，∴BD AB QH BQ =，即610QH t=，∴35QH t =，∵PE ∥BD ，∴DP BE AD AB =，即2810t BE =，∴52BE t =，∴y =S 四边形APQB -S △BEQ =211533(82)632422254t t t t t t -+⨯-⨯⨯=--+；（3）如图：∵PE ∥BD ，∴∠APE =∠ADB ，∵∠A =∠A ，∴△APE ∽△ADB ，∴PE AP DB AD =，即8268PE t -=，∴362PE t =-，∵点E 在线段PQ 的垂直平分线上，∴EQ =362PE t =-，由（2）得35,52QH t BE t ==，∴222234()55BH BQ QH t t =-=-=∴45335210EH BH BE t t t =+=+=，Rt △EQH 中，EH 2+HQ 2=EQ 2，∴2223333()()(6)1052t t t +=-，即t 2+2t -4=0，解得：1251,510t t =-=-<（舍去），∴当t 51时，点E 在PQ 的垂直平分线上；（4）连接FF '交AB 于点N ，∵点F 关于AB 的对称点为F ′，∴∠FEB =∠F ′EB ，FN ⊥EB ，∵点P ，E ，F ′三点共线，PE ∥AB ，∴∠F ′EB =∠ABD ，∴∠FEB =∠ABD ，∴EF =FB ，∴15,24BN EN BE t ===，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠DPF =∠FQB ，∵DFP =∠BFQ ，∴△DPF ∽△BQF ，∴2DF DP BF BQ==，∴DF =2BF ，∴2BF +BF =6，∴BF =2，∵∠FBN =∠ABD ，∠FNB =∠ADB ，∴△BNF ∽△BDA ，∴BN BD BF AB=，∴564210t =，解得：t =2425，∴存在某一时刻t ，使得点P ，E ，F ′三点共线，t 的值为2425．15．如图，在矩形ABCD 的边AB 上取一点E ，连接CE 并延长和DA 的延长线交于点G ，过点E 作CG 的垂线与CD 的延长线交于点H ，与DG 交于点F ，连接GH．（1）当tan 2BEC ∠=且4BC =时，求CH 的长；（2）求证：DF FG HF EF ⋅=⋅；（3）连接DE ，求证：CDE CGH ∠=∠．【答案】（1）10CH =；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）根据已知条件先求出CE 的长，再证明∠=∠BEC ECH ，在Rt △CHE 中解三角形可求得EH 的长，最后利用勾股定理求CH 的长；（2）证明∽∆∆GFE HFD ，进而得出结果；（3）由（2）∽∆∆GFE HFD 得∠=∠EGF FHD ，进而sin sin ∠=∠EGF FHD ，即=CD CE CG CH，再结合∠=∠ECD DCE ，可得出∽∆∆CDE CGH ，进一步得出结果.【解析】（1）解：∵矩形ABCD ，EH CG ⊥，∴90∠=︒=∠=∠BCD CEH B .而90BEC BCE ∠+∠=︒，90∠+∠=︒BCE ECH ，∴∠=∠BEC ECH ，又∵4BC =，tan 2BEC ∠=，∴2BE =，易得CE ==∴tan 2∠==EH ECH CE ，∴EH =∴10CH ==.（2）证明：∵矩形ABCD ，EH CG ⊥，∴∠=∠CEH HDG ，而∠=∠GFE DFH ，∴∽∆∆GFE HFD ，∴=DF FH EF FG，∴⋅=⋅DF FG EF FH ；（3）证明：由（2）∽∆∆GFE HFD 得∠=∠EGF FHD ，∴sin sin ∠=∠EGF FHD ，即=CD CE CG CH，而∠=∠ECD DCE ，∴∽∆∆CDE CGH ，∴CDE CGH ∠=∠．。

相似三角形重要模型之(双)A字型与(双)8字型相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。

本专题重点讲解相似三角形的(双)A字模型和(双)8(X)字模型．A字型和8(X)字型的应用难点在于过分割点(将线段分割的点)作平行线构造模型，有的是直接作平行线，有的是间接作平行线(倍长中线就可以理解为一种间接作平行线)，这一点在模考中无论小题还是大题都是屡见不鲜的。

模型1. “A”字模型【模型解读与图示】“A”字模型图形(通常只有一个公共顶点)的两个三角形有一个“公共角”(是对应角)，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似．图1 图2 图31)“A”字模型条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔ADAB =AEAC=DEBC.2)反“A”字模型条件：如图2，∠AE D=∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔ADAC =AEAB=DEBC.3)同向双“A”字模型条件：如图3，EF∥BC；结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔EGBD=FGCD=AGAD1(2023·湖北十堰·统考中考真题)如图，在菱形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD上的点，且BE=BF=CG=AH，若菱形的面积等于24，BD=8，则EF+GH=．2(2023·安徽·九年级期末)如图，在三角形△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，AD=3，BD=1，AE =2，EC=4．(1)求证：∠ADE=∠C；(2)若∠BAC的平分线交DE于点F，交BC于点G，求AFFG．3(2022·山东东营·中考真题)如图，在△ABC 中，点F 、G 在BC 上，点E 、H 分别在AB 、AC 上，四边形EFGH 是矩形，EH =2EF ,AD 是△ABC 的高．BC =8,AD =6，那么EH 的长为．4(2022·浙江宁波·中考真题)(1)如图1，在△ABC 中，D ，E ，F 分别为AB ,AC ,BC 上的点，DE ∥BC ,BF =CF ,AF 交DE 于点G ，求证：DG =EG ．(2)如图2，在(1)的条件下，连接CD ,CG ．若CG ⊥DE ,CD =6,AE =3，求DEBC的值．(3)如图3，在▱ABCD 中，∠ADC =45°,AC 与BD 交于点O ，E 为AO 上一点，EG ∥BD 交AD 于点G ，EF ⊥EG 交BC 于点F ．若∠EGF =40°,FG 平分∠EFC ,FG =10，求BF 的长．5(2023•安庆一模)如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在边BC 、AB 、CA 上，且DE ∥CA ，DF ∥AB ．(1)若点D 是边BC 的中点，且BE =CF ，求证：DE =DF ；(2)若AD ⊥BC 于D ，且BD =CD ，求证：四边形AEDF 是菱形；(3)若AE =AF =1，求1AB +1AC的值．模型2.“X ”字模型(“8”模型)【模型解读与图示】“8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．图1图2图3图41)“8”字模型条件：如图1，AB ∥CD ；结论：△AOB ∽△COD ⇔AB CD =OA OC =OBOD .2)反“8”字模型条件：如图2，∠A =∠D ；结论：△AOB ∽△DOC ⇔AB CD =OA OD =OBOC.3)平行双“8”字模型条件：如图3，AB ∥CD ；结论：AE DF =BE CF =ABCD4)斜双“8”字模型条件：如图4，∠1=∠2；结论：△AOD ∽△BOC ，△AOB ∽△DOC ⇔∠3=∠4.1(2022·辽宁·中考真题)如图，在正方形ABCD 中，E 为AD 的中点，连接BE 交AC 于点F ．若AB =6，则△AEF 的面积为．2(2023·黑龙江·哈尔滨九年级阶段练习)如图，AB ∥CD ,AE ∥FD ，AE ，FD 分别交BC 于点G ，H ，则下列结论中错误的是()A.DH FH =CHBHB.GE DF =CGCBC.AF CE =HGCGD.FH AG =BFFA3(2021·上海·中考真题)如图，在梯形ABCD 中，AD ⎳BC ,∠ABC =90°,AD =CD ,O 是对角线AC 的中点，联结BO 并延长交边CD 或边AD 于E ．(1)当点E 在边CD 上时，①求证：△DAC ∽△OBC ；②若BE ⊥CD ，求ADBC的值；(2)若DE =2,OE =3，求CD 的长．4(2022·贵州铜仁·中考真题)如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，记△COD 的面积为S 1，△AOB 的面积为S 2．(1)问题解决：如图①，若AB ⎳CD ，求证：S 1S 2=OC ⋅ODOA ⋅OB(2)探索推广：如图②，若AB 与CD 不平行，(1)中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(3)拓展应用：如图③，在OA 上取一点E ，使OE =OC ，过点E 作EF ∥CD 交OD 于点F ，点H 为AB的中点，OH 交EF 于点G ，且OG =2GH ，若OE OA=56，求S 1S 2值．模型3. “AX ”字模型(“A 8”模型)【模型解读与图示】图1图2图3 1)一“A”一“8”模型条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF⇔ADAB=AEAC=DEBC=DFFC=FEBF2)两“A”一“8”模型条件：如图2，DE∥AF∥BC；结论：1BC +1DE=1AF.3)四“A”一“8”模型条件：如图3，DE∥AF∥BC,1BC+1DE=1AF=1AG；结论：AF=AG1(2022·山东东营·中考真题)如图，点D为△ABC边AB上任一点，DE∥BC交AC于点E，连接BE、CD 相交于点F，则下列等式中不成立的是()A.ADDB =AEECB.DEBC=DFFCC.DEBC=AEECD.EFBF=AEAC2(2021·江苏南京·中考真题)如图，AC与BD交于点O，OA=OD,∠ABO=∠DCO，E为BC延长线上一点，过点E作EF⎳CD，交BD的延长线于点F．(1)求证△AOB≌△DOC；(2)若AB=2,BC=3,CE=1，求EF的长．3(2022·重庆九年级期中)如图，AD与BC相交于点E，点F在BD上，且AB∥EF∥CD，求证：1AB +1CD=1EF.证明：∵AB∥EF，∴△DEF∽△DAB，∴EFAB=DFDB.又∵EF∥CD，∴△BEF∽△BCD.∴EFCD=BFBD.∴EF AB +EFCD=DFDB+BFBD=BDBD=1.∴1AB+1CD=1EF.4(2022•安庆模拟)在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．(1)如图①，若四边形ABCD为矩形，过点O作OE⊥BC，求证：OE=12CD．(2)如图②，若AB∥CD，过点O作EF∥AB分别交BC、AD于点E、F．求证：EFAB =EFCD=2．(3)如图③，若OC平分∠AOB，D、E分别为OA、OB上的点，DE交OC于点M，作MN∥OB交OA于一点N，若OD=8，OE=6，直接写出线段MN长度．课后专项训练1(2021·山东淄博·中考真题)如图，AB,CD相交于点E，且AC⎳EF⎳DB，点C,F,B在同一条直线上．已知AC=P,EF=r,DB=q，则p,q,r之间满足的数量关系式是()A.1r +1q=1pB.1p+1r=2qC.1p+1q=1rD.1q+1r=2p2(2023秋·山西阳泉·九年级统考期末)如图，在四边形ABCD中，AB=AC，对角线AC与BD相交于点E，DE=3BE，AC⊥AD，∠ACB=75°，AE=33，则对角线AC与BD的长分别是()A.AC=43，BD=123B.AC=9，BD=419C.AC=6，BD=83D.AC=8，BD=4193(2023·福建福州·校考二模)在数学综合实践课上，某学习小组计划制作一个款式如图所示的风筝．在骨架设计中，两条侧翼的长度设计AB=AC=50cm，风筝顶角∠BAC的度数为110°，在AB，AC上取D，E 两处，使得AD=AE，并作一条骨架AF⊥DE．在制作风筝面时，需覆盖整个骨架，根据以上数据，B，C两点间的距离大约是( )(参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43)A.41cmB.57cmC.82cmD.143cm4(2022·湖北十堰·中考真题)如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等)可测量零件的内孔直径AB．如果OA：OC=OB：OD=3，且量得CD=3cm，则零件的厚度x为()A.0.3cmB.0.5cmC.0.7cmD.1cm5(2022·湖南怀化·中考真题)如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若S△ADE=2，则S△ABC=．6(2023·广东梅州·九年级统考期末)如图，在△ABC中，点F、G在BC上，点E、H分别在AB、AC上，四边形EFGH是矩形，EH=2EF，AD是△ABC的高，BC=15，AD=5，那么EH的长为．7(2023·广东深圳·校考三模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，D是AB上一点，点E 在BC上，连接CD，AE交于点F，若∠CFE=45°，BD=2AD，则CE=．8(2022·四川宜宾·中考真题)如图，△ABC中，点E、F分别在边AB、AC上，∠1=∠2．若BC=4，AF =2，CF=3，则EF=．9(2022·辽宁阜新·中考真题)如图，在矩形ABCD中，E是AD边上一点，且AE=2DE，BD与CE相交于点F，若△DEF的面积是3，则△BCF的面积是．10(2022·湖北荆门·中考真题)如图，点G 为△ABC 的重心，D ，E ，F 分别为BC ，CA ，AB 的中点，具有性质：AG ：GD =BG ：GE =CG ：GF =2：1．已知△AFG 的面积为3，则△ABC 的面积为．11(2023·福建·统考中考真题)阅读下列材料，回答问题任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度AB 远大于南北走向的最大宽度，如图1．工具：一把皮尺(测量长度略小于AB )和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离(这两点间的距离不大于皮尺的测量长度)；测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O 处，对其视线可及的P ，Q 两点，可测得∠POQ 的大小，如图3．小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度AB ，其测量及求解过程如下：测量过程：(ⅰ)在小水池外选点C ，如图4，测得AC =am ，BC =bm ；(ⅱ)分别在AC ，BC ，上测得CM =a 3m ，CN =b3m ；测得MN =cm ．求解过程：由测量知，AC =a ，BC =b ，CM =a 3，CN =b3，∴CM CA=CN CB =13，又∵①，∴△CMN ∽△CAB ，∴MN AB=13．又∵MN =c ，∴AB =②m ．故小水池的最大宽度为m ．(1)补全小明求解过程中①②所缺的内容；(2)小明求得AB 用到的几何知识是；(3)小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得AB ．请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度AB ，写出你的测量及求解过程．要求：测量得到的长度用字母a ，b ，c ⋯表示，角度用α，β，γ⋯表示；测量次数不超过4次(测量的几何量能求出AB ，且测量的次数最少，才能得满分)．12(2023秋·山西运城·九年级统考期末)综合与实践问题情境：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D是AC上一点，将△BCD沿直线BD折叠，点C落在AB上的点E，连接DE．独立思考(1)如图1，求tan∠DBC的值；问题拓展如图2，点F是图1中AB上一动点，连接CF，交BD于点G．(2)当点F是AB的中点时，求证：DGBG =49；(3)当点G是BD的中点时，请你直接写出AFBF的值．13(2023·湖南郴州·统考中考真题)已知△ABC是等边三角形，点D是射线AB上的一个动点，延长BC 至点E，使CE=AD，连接DE交射线AC于点F．(1)如图1，当点D在线段AB上时，猜测线段CF与BD的数量关系并说明理由；(2)如图2，当点D在线段AB的延长线上时，①线段CF与BD的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②如图3，连接AE．设AB=4，若∠AEB=∠DEB，求四边形BDFC的面积．14(2023·浙江·九年级专题练习)已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE=AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD．(1)求证：△BND∽△CNM；(2)如果AD2=AB•AF，求证：CM•AB=DM•CN．15(2023·湖北武汉·统考模拟预测)问题背景：如图1，在四边形ABDC中，点F，E，G分别在AB，AD，AC上，EF∥BD，EG∥CD，求证：EFBD =EG DC尝试应用：如图2，AM是△ABC的中线，点E在AM上，直线BE交AC于点G，直线CE交AB于点F，若BE EC =2，求EF EG的值．迁移拓展：如图3，在等边△ABC 中，点D 在BC 上，点E 在AD 上，若BD =mDC ，∠BEC =120°，直接写出BE CE的值．(用含m 的式子表示)16(2023·浙江杭州·统考中考真题)在边长为1的正方形ABCD 中，点E 在边AD 上(不与点A ，D 重合)，射线BE 与射线CD 交于点F ．(1)若ED =13，求DF 的长．(2)求证：AE ⋅CF =1．(3)以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交线段BE 于点G ．若EG =ED ，求ED 的长．17(2022·四川内江·中考真题)如图，在矩形ABCD 中，AB =6，BC =4，点M 、N 分别在AB 、AD 上，且MN ⊥MC ，点E 为CD 的中点，连接BE 交MC 于点F ．(1)当F 为BE 的中点时，求证：AM =CE ；(2)若EF BF =2，求AN ND 的值；(3)若MN ∥BE ，求AN ND的值．18(2023•重庆中考模拟)问题提出：如图1，D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，连接DE ，已知线段AD =a ，DB =b ，AE =c ，EC =d ，则S △ADE ，S △ABC 和a ，b ，c ，d 之间会有怎样的数量关系呢？问题解决：探究一：(1)看到这个问题后，我们可以考虑先从特例入手，找出其中的规律．如图2，若DE ∥BC ，则∠ADE =∠B ，且∠A =∠A ，所以△ADE ∽△ABC ，可得比例式：a a +b =c c +d 而根据相似三角形面积之比等于相似比的平方．可得S △ADE S △ABC =a 2a +b 2．根据上述这两个式子，可以推出：S △ADE S △ABC =a 2a +b2=a a +b ⋅a a +b =a a +b ⋅c c +d =ac a +b c +d．(2)如图3，若∠ADE =∠C ，上述结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；着不成立，请说明理由．探究二：回到最初的问题，若图1中没有相似的条件，是否仍存在结论：S △ADE S △ABC =ac a +b c +d？方法回顾：两个三角形面积之比，不仅可以在相似的条件下求得，当两个三角形的底成高具有一定的关系时，也可以解决．如图4，D 在△ABC 的边上，做AH ⊥BC 于H ，可得：S △ABD S △ADC =12BD ⋅AH 12DC ⋅AH =BD DC ．借用这个结论，请你解决最初的问题．延伸探究：(1)如图5，D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 反向延长线上，连接DE ，已知线段AD =a ，AB =b ，AE =c ，AC =d ，则S △ADE S △ABC=．(2)如图6，E 在△ABC 的边AC 上，D 在AB 反向延长线上，连接DE ，已知线段AD =a ，AB =b ，AE =c ，AC =d ，S △ADE S △ABC =．结论应用：如图7，在平行四边形ABCD 中，G 是BC 边上的中点，延长GA 到E ，连接DE 交BA 的延长线于F ，若AB =5，AG =4，AE =2，▱ABCD 的面积为30，则△AEF 的面积是．19(2023·河南郑州·校考三模)【问题发现】小明在一次利用三角板作图的过程中发现了一件有趣的事情：如图1，在Rt △ABC 中，∠A =30°，AB =6，点M 和点P 分别是斜边AB 上的动点，并且满足AM =BP ，分别过点M 和点P 作AC 边的垂线，垂足分别为点N 和点Q ，那么MN +PQ 的值是一个定值．问题：若AM =BP =2时，MN +PQ 值为；【操作探究】如图2，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =α，AB =m ；爱动脑筋的小明立即拿出另一个三角板进行了验证，发现果然和之前发现的结论一样，于是他猜想，对于任意一个直角三角形，当AM =BP 时，MN +PQ 的值都是固定的，小明的猜想对吗？如果对，请利用图2进行证明，并用含α和m 的式子表示MN +PQ 的值．【解决问题】如图3，在菱形ABCD 中，AB =8，BD =14．若M 、N 分别是边AD 、BC 上的动点，且AM =BN ，作ME ⊥BD ，NF ⊥BD ，垂足分别为E 、F ，则ME +NF 的值为．20(2022·湖北武汉·中考真题)问题提出：如图(1)，△ABC 中，AB =AC ，D 是AC 的中点，延长BC 至点E ，使DE =DB ，延长ED 交AB 于点F ，探究AF AB的值．(1)先将问题特殊化．如图(2)，当∠BAC =60°时，直接写出AF AB的值；(2)再探究一般情形．如图(1)，证明(1)中的结论仍然成立．问题拓展：如图(3)，在△ABC 中，AB =AC ，D 是AC 的中点，G 是边BC 上一点，CG BC =1n n <2 ，延长BC 至点E ，使DE =DG ，延长ED 交AB 于点F ．直接写出AF AB的值(用含n 的式子表示)．21(2023·浙江温州·统考中考真题)如图，已知矩形ABCD ，点E 在CB 延长线上，点F 在BC 延长线上，过点F 作FH ⊥EF 交ED 的延长线于点H ，连结AF 交EH 于点G ，GE =GH ．(1)求证：BE=CF．(2)当ABFH =56，AD=4时，求EF的长．。

专题09 相似三角形中的“A”字型相似模型【模型展示】非平行A字型∠AED＝∠B∠∠ADE∠∠ACB∠ADAC＝AEAB＝DEBC.非平行A字型∥ACD＝∥B∥∥ADC∥∥ACB∥ADAC＝ACAB＝CDBC.【题型演练】一、单选题1．如图，已知,ADE ABC若:1:3,AD AB ABC的面积为9，则ADE的面积为（）A．1B．2C．3D．9【答案】A 【分析】根据相似三角形的性质得出21=3ADEABC S S ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入求出即可． 【详解】解：∥∥ADE∥∥ABC ，AD ：AB ＝1：3，∥21=3ADEABC S S ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∥∥ABC 的面积为9，∥1=99ADES ， ∥S ∥ADE ＝1，故选：A ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质定理，能熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解此题的关键．2．如图，在∥ABC 中，DE ∥BC ，若AE ＝2，EC ＝3，则∥ADE 与∥ABC 的面积之比为（ ）A ．4：25B ．2：3C ．4：9D ．2：5【答案】A【分析】根据相似三角形的判定定理得到∥ADE ∥∥ABC ，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．【详解】解：∥AE =2，EC =3，∥AC =AE +EC =5，∥DE ∥BC ，∥∥ADE ∥∥ABC ， ∥2224525ADE ABC S AE S AC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选：A ．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．3．如图，在∥ABC 中，∥C=90°，BC=3，D ，E 分别在AB、AC 上，将∥ADE 沿DE 翻折后，点A 落在点A′处，若A′为CE 的中点，则折痕DE 的长为（ ）A．12B．3C．2D．1【答案】D【详解】试题解析：由题意得：DE∥AC，∥∥DEA=90°，∥∥C=∥DEA，∥∥A=∥A，∥∥AED∥∥ACB,∥DEBC=AEAC,∥A′为CE的中点，∥C A′=E A′，∥C A′=E A′=AE，∥AEAC=DEBC=13，∥DE=1.故选D.4．如图．在∥ABC中，DE∥BC，∥B=∥ACD，则图中相似三角形有（）A．2对B．3对C．4对D．5对【答案】C【分析】根据相似三角形的判定定理即可得到结论．【详解】∥∥B=∥ACD，∥A=∥A，∥∥ACD∥∥ABC，∥DE∥BC，∥∥ADE∥∥ABC，∥∥ACD∥∥ADE，∥DE∥BC，∥∥EDC=∥DCB，∥∥B=∥DCE，∥∥CDE ∥∥BCD ，故共4对，故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定．注意掌握数形结合思想的应用，注意平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．5．如图，ABC ∆中，8AB =，6AC =，90A ∠=︒，点D 在ABC ∆内，且DB 平分ABC ∠，DC 平分ACB ∠，过点D 作直线PQ ，分别交AB 、AC 于点P 、Q ，若APQ ∆与ABC ∆相似，则线段PQ 的长为（ ）A ．5B ．356C ．5或356D ．6【答案】B 【分析】分∥APQ∥∥ABC ，∥APQ∥∥ACB 两种情况，结合相似三角形的性质和三角形内切圆求解即可.【详解】解：若∥APQ∥∥ABC ，∥∥APQ=∥ABC ，∥PQ∥BC ，AP AQ PQ AB AC BC==， ∥∥PDB=∥DBC ，∥BD 平分∥ABC ，∥∥PBD=∥CBD ，∥∥PBD =∥PDB ，∥PB=PD ，同理，DQ=CQ ，∥8AB =，6AC =，90A ∠=︒，，设AP=x ，根据AP AQ AB AC=得43AP AB AQ AC ==, ∥AQ=34x ， ∥PB=PD=8-x ，CQ=DQ=6-34x ，∥PQ=PD+QD=7144x-，∥AP PQAB BC，即7144810xx-=，解得：x=143，∥PQ=356；若∥APQ∥∥ACB，则AP AQ PQ AC AB BC==，由题意知：D为∥ABC的内心，设∥ABC的内切圆交AB于M，交AC于N，可知四边形AMDN为正方形，∥∥A=∥AMD=∥AND=∥MDN=90°，∥AM∥DN，AN∥DM，∥∥MPD=∥NDQ，∥MDP=∥NQD，∥∥MPD∥∥NDQ，∥MP MD ND NQ=，∥AB=8，AC=6，BC=10，∥DM=DN=68102+-=2，∥AM=AN=2，设PM=x，则22xNQ =，∥NQ=4x，∥AP AQAC AB=，即42268x x++=，解得：x=32或-2（舍），∥AP=32+2=72， ∥PQ=AP×BC÷AC=72×10÷6=356.综上：PQ 的值为356. 故选B.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形内切圆，角平分线的定义，有一定难度，解题的关键是将三角形相似分两种情况讨论.6．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，取AC 的中点D ，连接BD ，点C 关于线段BD 的对称点为点E ，点F 为线段CD 上的一个动点，连接AE 、BD 、BE 、DE ，已知AC =2BC =，103AE =，//BD AE ，当EF BF +的值最小时，则EF BF的值为（ ）A B C ．109 D ．32【答案】C【分析】设点M 和点B 关于AC 对称，F 为EM 与AC 交点，过点E 作EG∥AC 于G ，过点E 作EN∥BC ，交BC 延长线于点N ，根据题意得出当EF+BF 最小时点F 的位置，再通过平行线的性质得到∥EAG=∥BDC ，从而求出EG 的长，再判定四边形EGCN 为矩形，得到CN ，最后利用∥MFC∥MEN 将EF BF 转化为NC CM求值即可. 【详解】解：当EF+BF 最小时，如图，点M 和点B 关于AC 对称，F 为EM 与AC 交点，过点E 作EG∥AC 于G ，过点E 作EN∥BC ，交BC 延长线于点N ，此时EF+BF 的最小值即为EF+FM ，即EM ，∥AC=D 为AC 中点，BC=2，∥tan∥BDC=BC DC =， ∥AE∥BD ，∥∥EAG=∥BDC ，∥tan∥EAG=EG AG EG=x ，x ，而AE=103，在∥AEG 中，222103x x ⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 解之得：x=209或209-（舍）， 由题意可得：∥N=∥ACB=∥EGC=90°，∥四边形EGCN 为矩形， ∥EG=NC=209， ∥AC∥BC ，EN∥BC ，∥AC∥EN ，∥∥MFC∥MEN ， ∥MC MF CN EF =，则2010299EF EF NC BF FM CM ===÷=， 故选C.【点睛】本题考查了平行线的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，最短路径问题，矩形的判定和性质，解题的关键是根据平行利用三角函数得到FG 的长.二、填空题7．如图，光源P 在水平横杆AB 的上方，照射横杆AB 得到它在平地上的影子为CD （点P 、A 、C 在一条直线上，点P 、B 、D 在一条直线上），不难发现//AB CD ．已知 1.5AB m =，4.5CD m =，点P 到横杆AB 的距离是1m ，则点P 到地面的距离等于______m ．【答案】3【分析】易得∥P AB ∥∥PCD ，利用相似三角形对应边的比等于对应高的比可得AB 与CD 间的距离．【详解】解：如图，作PF ∥CD 于点F ，∥AB ∥CD ，∥∥P AB ∥∥PCD ，PE ∥AB ，∥∥P AB ∥∥PCD ， ∥AB PE CD PF=， 即：1.514.5PF =， 解得：PF =3．故答案为：3．【点睛】考查相似三角形的应用；用到的知识点为：相似三角形对应边的比等于对应高的比． 8．如图，矩形 ABCD 中，2AD =，4AB =，AC 为对角线，E 、F 分别为边 AB 、CD 上的动点，且 EF AC ⊥ 于点 M ，连接 AF 、CE ，求AF CE +的最小值是_____．【答案】5【分析】AF 与EC 两条线段不在同一条直线上，只需将两条线段转换在同一条直线上即可，作//CG EF ，且CG EF =，连接AG ，又因点F 是DC 上是一动点，由三角形的边与边关系AF FG AG +≥，只有当点F 在直线AG 上时，AF FG +最小，由平行四边形CEFG 可知FG EC =时，可求AF CE +的最小值【详解】解：如图所示：过点C 作//CG EF ，且CG EF =，连接FG ，设DF x =，则4FC x =-,当点A 、F 、G 三点共线时，AF FG +的最值小，∥//CG EF ，且CG EF =，∥四边形CEFG 是平行四边形；∥//EC FG ，EC FG =，又∥点A 、F 、G 三点共线，∥//AF EC ，又∥四边形ABCD 是矩形，∥//AE DC ，90D ∠=︒，∥四边形AECF 是平行四边形，又∥EF AC ⊥，∥四边形AECF 是菱形，∥4AF FC x ==-，在Rt ADF 中，由勾股定理得：222AD DF AF +=，又∥2AD =，DF x =，则4AF x =-，∥2222(4)x x +=-， 解得：32x =， ∥52AF =， 在Rt ADC 中，由勾股定理得，2222224AC AD DC =+=+，所以AC =∥AM =又∥//MF CG ，∥AMF ACG ∠=∠，AFM AGC ∠=∠，∥A AMF CG ∽， ∥AM AF AC AG=，52AG=，∥5AG =，又∥AG AF FG =+，FG EC =，∥5AF EC +=，即最小值是5，故答案为：5．【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理和最短距离问题等知识点，解题的关键是掌握辅助线的作法以及相似三角形的性质与判定．9．如图，正方形ABCD 边长为3，点E 是AD 上一点，且1AE =，连接BE ，过C 作CF BE ⊥，垂足为F ，CF 交对角线BD 于G ，将BCG 沿CG 翻折得到HCG △，CH 交对角线BD 于M ，则HGM S =______．【答案】928【分析】过点G 作GR ∥BC 于R ，过点H 作HN ∥BC 交BD 于N ，由正方形性质可证明：∥ABE ∥∥FCB ，由勾股定理可求BF ，由翻折性质可得∥HGC ∥∥BGC ，进而可证明：∥BHN ∥∥BED ，可求得HN ，再由∥HNM ∥∥CBM ，可求得HGM HGC S S ，再由∥CGR ∥∥CBF 即可求得结论． 【详解】解：如图，过点G 作GR BC ⊥于R ，过点H 作HN BC ∥交BD 于N则90BRG CRG ∠=∠=︒，∥CF BE ⊥90BFC ∴∠=︒90CBF BCF ∴∠+∠=︒正方形ABCD90A ABC ∴∠=∠=︒，3AB AD BC ===90ABE CBF ∴∠+∠=︒ABE BCF ∴∠=∠ABE ∴∥FCB在Rt ABE 中，BE ==BF AE BC BE ∴=，即3BF =BF ∴=由翻折知：FH BF =BH =3HC BC ==，HGC ∥BGC //HN BC BHN ∴∥BEDHN BH DE BE ∴=，即2HN = 65HN ∴= HNM ∥CBM 25HM HN MC BC ∴== 27HM HC ∴=， 27HGM HGC SHMS HC ∴==，GR BC ⊥，45CBG ∠=︒BGR ∴是等腰直角三角形，设BR GR x ==，则3CR x =-， CGR ∥CBF13GR BF CR CF ∴==，即133x x =-，解得34x = 34GR ∴= 113932248BCG S BC GR ∴=⨯⨯=⨯⨯= 98HGC S ∴= 229977828HGM HGC S S ∴==⨯=， 故答案为：928． 【点睛】本题考查了正方形性质，翻折变换的性质，等腰直角三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质，三角形面积等知识点；解题关键是利用平行线证明相似三角形进行转化，有一定难度，属于中考填空压轴题类型．10．如图，在三角形ABC 中，点D 为边BC 的中点，连接AD ，将三角形ABD 沿直线AD 翻折至三角形ABC 平面内，使得B 点与E 点重合，连接CE 、BE ，分别与边AC 交于点H ，与AD 交于点O ，若AH CH =，AB =4OB =，则点A 到线段BC 的距离为__________．【答案】365【分析】如图，过点A 作AT CB ⊥交CB 的延长线于T ．利用勾股定理求出AO ，利用三角形重心的性质求出OD ，再利用勾股定理求出BD ，利用相似三角形的性质求出AT 即可．【详解】解：如图，过点A 作AT CB ⊥交CB 的延长线于T ．由翻折的性质可知，AD 垂直平分线段BE ，90AOB ∠=︒∴，∥AB =4OB =，∥6OA ，∥AH CH =，点D 为边BC 的中点，∴点O 是ABC 的重心，2OA OD ∴=，3OD ∴=，5BD ∴=，BDO ADT ∠=∠，90BOD T ∠=∠=︒，DOB DTA ∴△∽△， ∴OB DB AT AD =， ∴459AT =， 365AT ∴=， 故答案为：365． 【点睛】本题考查翻折变换，勾股定理的应用，相似三角形的判定和性质以及重心的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．11．如图，在矩形ABCD 中，AB =2，BC =3，点E 是边AB 的中点，连接CE ，将∥BCE 沿CE 折叠得到∥FCE ，CF 与BD 交于点P ，则DP 的长为 ___．【分析】由勾股定理可求出BD 、EC 的长，连接BF 交CE 于点G ，作FH ∥BC 于点H ，PQ ∥BC 于点Q ，根据相似三角形的性质求出BG 的长，再根据面积等式列方程求出FH 的长，再根据相似三角形的性质求出BQ 与CQ 的比，进而求出DP 的长．【详解】解：如图，连接BF 交CE 于点G ，作FH ∥BC 于点H ，PQ ∥BC 于点Q ，∥四边形ABCD 是矩形，∥AB =DC =2，∥ABC =∥BCD =90°，∥BC =3，∥.BD =∥AE =BE =12AB =12×2=1，∥EC =由折叠得，CE 垂直平分BF ，∥∥BGC =∥EBC =90°，∥∥GCB =∥BCE ，∥∥BGC ∥∥EBC ， ∥GB BC BE EC=，∥BC BE GB EC ⋅===∥22BF GB ===CG ==由12BC •FH =12BF •CG 得，12×3FH =12 解得，FH =95； ∥∥CHF =90°，FC =BC =3，∥125CH==；∥PQ∥FH，∥∥CPQ∥∥CFH，∥CQ PQCH FH=，∥1245935CQ CHPQ FH===，∥CQ=43PQ，∥∥BQP=∥BCD=90°，∥PQ∥DC，∥∥BPQ∥∥BDC，∥BQ PQBC DC=，∥32BQ BCPQ DC==，∥BQ=32PQ，∥392483PQBP BQDP CQ PQ===，∥881717DP BD==，．【点睛】本题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、二次根式的化简以及用面积等式列方程等知识与方法，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，此题难度较大，计算烦琐，应注意检验所求的结果是否正确．三、解答题12．如图，∥ABD中，∥A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，运动的时间为ts．（1）求t为何值时，∥AMN的面积是∥ABD面积的29；（2）当以点A ，M ，N 为顶点的三角形与∥ABD 相似时，求t 值．【答案】（1）14t =，22t =；（2）t ＝3或245【分析】（1）由题意得DN ＝2t （cm ），AN ＝（12﹣2t ）cm ，AM ＝t cm ，根据三角形的面积公式列出方程可求出答案；（2）分两种情况，由相似三角形的判定列出方程可求出t 的值．【详解】解：（1）由题意得DN ＝2t （cm ），AN ＝（12﹣2t ）cm ，AM ＝t cm ，∥∥AMN 的面积＝12AN •AM ＝12×（12﹣2t ）×t ＝6t ﹣t 2， ∥∥A ＝90°，AB ＝6cm ，AD ＝12cm∥∥ABD 的面积为12AB •AD ＝12×6×12＝36， ∥∥AMN 的面积是∥ABD 面积的29， ∥6t ﹣t 2＝2369⨯， ∥t 2﹣6t +8＝0，解得t 1＝4，t 2＝2，答：经过4秒或2秒，∥AMN 的面积是∥ABD 面积的29； （2）由题意得DN ＝2t （cm ），AN ＝（12﹣2t ）cm ，AM ＝t cm ，若∥AMN ∥∥ABD ， 则有AM AN AB AD =，即122612t t -=， 解得t ＝3，若∥AMN ∥∥ADB ， 则有AM AN AD AB=，即122126t t -=， 解得t ＝245， 答：当t ＝3或245时，以A 、M 、N 为顶点的三角形与∥ABD 相似． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质和一元二次方程的应用，正确进行分类讨论是解题的关键．13．在ABC 中，()0AB m m =>，D 为AB 上一点，过D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，连接CD ．设21,DCE ABC S S S S ==，求21S S 的取值范围． 【答案】21104S S <≤ 【分析】作AG ∥BC 于F 点，交DE 于G 点，设AD =x ，首先结合相似三角形的判定与性质推出DE BC 和GF AF的值，然后结合面积公式进行列式，得出二次函数解析式，最后结合二次函数的性质以及自变量的取值范围进行判断即可．【详解】解：如图所示，作AG ∥BC 于F 点，交DE 于G 点，设AD =x ，∥DE ∥BC ，∥∥ADE ∥∥ABC ， ∥DE AD AG AE x BC AB AF AC m ====， ∥GF m x AF m-=， ∥()2211212DE GF x m x S DE GF x m x S BC AF m m m BC AF --==⨯=⨯=， 整理得：22222111124S x m x x S m m m ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭， ∥点D 在AB 上，0m >，∥0x m <<，210m -<， ∥抛物线21S S 的开口向下，且当2m x =时，21S S 取得最大值为14， 当0x =和x m =时，均有210S S =，综上分析，21S S 的取值范围是21104S S <≤．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，二次函数的性质运用等，掌握相似三角形的判定与性质推出相关线段的比例，以及熟练运用二次函数的性质分析是解题关键． 14．Rt ABC 中，90C ∠=︒，20cm AC =，15cm BC =，现有动点P 从点A 出发，沿AC 向点C 方向运动，动点Q 从点C 出发，沿线段CB 也向点B 方向运动，如果点P 的速度是4cm/s ，点Q 的速度是2cm/s ，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t 秒．（1）求运动时间为多少秒时，P 、Q 两点之间的距离为10cm?（2）若CPQ 的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式．（3）当t 为多少时，以点C ，P ，Q 为顶点的三角形与ABC 相似?【答案】（1）3秒或5秒；（2）()22204cm S t t =-；（3）3t =或4011t = 【分析】（1）根据题意得到AP =4t cm ，CQ =2t cm ，AC =20cm ，CP =（20-4t ）cm ，根据三角形的面积公式列方程即可得答案；（2）若运动的时间为t s ，则CP =（20-4t ）cm ，CQ =2t cm ，利用三角形的面积计算公式，即可得出S =20t -4t 2，再结合各线段长度非负，即可得出t 的取值范围；（3）分∥Rt CPQ Rt CAB ∽△△和∥Rt CPQ Rt CBA ∽△△，利用相似三角形得出比例式，建立方程求解，即可得出结论．【详解】（1）解：由运动知，AP =4tcm ，CQ =2t cm ，∥AC =20cm ，∥CP =（20-4t ）cm ，在Rt ∥CPQ 中，222CP CQ PQ +=，即()()222204210t t -+=；∥3t =秒或5t =秒（2）由题意得4AP t =，2CQ t =，则204CP t =-，因此Rt CPQ 的面积为()()2212042204cm 2S t t t t =⨯-⨯=-； （3）分两种情况：∥当Rt CPQ Rt CAB ∽△△时，CP CQ CA CB =，即20422015t t -=，解得3t =； ∥当Rt CPQ Rt CBA ∽△△时，CP CQ CB CA =，即20421520t t -=，解得4011t =． 因此3t =或4011t =时，以点C 、P 、Q 为顶点的三角形与ABC 相似． 【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 15．如图，在∥ABC 中，点D 在边AB 上，点E 、点F 在边AC 上，且DE ∥BC ，AF AE FE EC=． （1）求证：DF ∥BE ；（2）如且AF ＝2，EF ＝4，AB ＝∥ADE ∥∥AEB ．【答案】（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）由题意易得AD AE BD EC =，则有AF AD FE BD =，进而问题可求证；（2）由（1）及题意可知12AD AF BD EF ==，然后可得AD =AE AD AB AE ==后问题可求证．【详解】解：（1）∥DE ∥BC ， ∥AD AE BD EC =， ∥AF AE FE EC =， ∥AF AD FE BD =， ∥DF ∥BE ；（2）∥AF ＝2，EF ＝4，∥由（1）可知，12AD AF BD EF ==，AE =6， ∥AB ＝∥13AD AB ==∥AE AD AB AE ==，∥AE AD AB AE == ∥∥A =∥A ，∥∥ADE ∥∥AEB ．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．16．矩形ABCD 中，AB ＝CD ＝3cm ，AD ＝BC ＝4cm ，AC 是对角线，动点P 从点A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为1cm/s ；动点Q 从点C 出发沿CD 方向向点D 匀速运动，速度为2cm/s ．过点P 作BC 的垂线段PH ，运动过程中始终保持PH 与BC 互相垂直，连接HQ 交AC 于点O ．若点P 和点Q 同时出发，设运动的时间为t （s ）（0＜t ＜1.5），解答下列问题：（1）求当t 为何值时，四边形PHCQ 为矩形；（2）是否存在一个时刻，使HQ 与AC 互相垂直？如果存在请求出t 值；如果不存在请说明理由；（3）是否存在一个时刻，使矩形ABCD 的面积是四边形PHCQ 面积的7544，如果存在请求出t 值；如果不存在请说明理由．【答案】（1）1513t =；（2）存在，4023t =；（3）存在，1t = 【分析】（1）当四边形PHCQ 为矩形时，PH CQ =，利用相似三角形的性质求出PH ，CH ，构建方程求解即可；（2）证明HCQ ABC ，由相似的性质得出，CH CQAB BC=，由此构建方程求解即可； （3）根据矩形ABCD 的面积是四边形PHCQ 面积的7544，构建方程求解即可． 【详解】解：（1）3AB =，4BC =，5AC ∴，由题可得：AP t =，5CP t =-，2CQ t =， 四边形ABCD 是矩形，90B ∴∠=︒，PH BC ⊥，90CHP B ∴∠=∠=︒， PCH ACB ∠=∠， PCHACB ∴，PH CH PC AB CB AC ∴==，即5345PH CH t-==， 3(5)5PH t ∴=-，4(5)5CH t =-，当四边形PHCQ 为矩形时，PH CQ =，3(5)25t t ∴-=， 解得：1513t =， ∴当1513t =时，四边形PHCQ 为矩形； （2）存在一个时刻，使HQ AC ⊥， 当HQ AC ⊥时，90QHC ACB ∠+∠=︒，90BAC ACB ∠+∠=︒，QHC BAC ∴∠=∠，90HCQ B ∠=∠=︒，HCQ ABC ∴，CH CQAB BC∴=，即CH BC AB CQ ⋅=⋅， 4(5)4325t t ∴-⨯=⨯， 解得：4023t =，∴当4023t =时，HQ AC ⊥； （3）存在， 由题意得：7513434[2(5)](5)44255t t t ⨯=⨯⨯+-⨯-， 解得：1t =或137t =（舍去）， ∴当1t =时，矩形ABCD 的面积是四边形PHCQ 面积的7544． 【点睛】本题属于四边形综合问题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握相关的知识点是解决本题的关键．17．图，AB GH CD ∥∥，点H 在BC 上，AC 与BD 交于点G ，AB ＝2，CD ＝3，求GH 的长．【答案】65【分析】根据平行线分线段成比例定理，由AB GH ∥，可证∥CGH ∥∥CAB ，由性质得出GH CH AB BC =，由GH CD ∥，可证∥BGH ∥∥BDC ，由性质得出GH BHCD BC=，将两个式子相加，即可求出GH 的长． 【详解】解：∥AB CH ∥， ∥∥A =∥HGC ，∥ABC =∥GHC ， ∥∥CGH ∥∥CAB ， ∥GH CHAB BC=， ∥GH CD ∥，∥∥D =∥HGB ，∥DCB =∥GHB ， ∥BGH ∥∥BDC ， ∥GH BHCD BC=， ∥1GH GH CH BHAB CD BC BC+=+=， ∥AB =2，CD =3，∥123GH GH+=， 解得：GH =65．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．18．一块直角三角形木板的面积为21.5m ，一条直角边AB 为1.5m ，怎样才能把它加工成一个面积最大的正方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用学过的知识说明哪位木匠的方法符合要求（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）．【答案】乙木匠的加工方法符合要求．说明见解析．【分析】要求哪位木匠的加工方法符合要求，需要先求出两种加工方式中正方形的边长，边长最大就符合要求；由已知三角形的面积和一条直角边的边长可求出其余两边的边长，根据乙加工方案中的平行关系得到相似三角形，根据相似三角形对应变成比例，可求出正方形的边长；根据甲加工方案中，根据相似三角形的高的比等于边长比，可求出正方形的边长，对比两方案的边长即可知谁符合要求．【详解】解：作BH ∥AC 于H ，交DE 于M ，如图∥1=2ABC S AB BC ⋅△∥2 1.521.5BC ⨯==∥52AC =∥1=2ABC S AC BH ⋅△∥65 BH=又∥DE∥AC∥DE BM AC BH=∥655625xx-=，解得3037x=设正方形的边长为x米，如图乙∥DE∥AB∥DE CD AB CB∥21.52x x-=，解得67x=∥630 737 >∥乙木匠的加工方法符合要求．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质的实际应用及分析、解决问题的能力，正确理解题意，建立数学模型，把实际问题转化为数学问题是解决本题的关键．19．如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求:AN NC的值．【答案】12【分析】解法1：过点D作AC的平行线交BN于点H，构造“A”型和“8”型，得出BDH BCN∽和DHM ANM∽，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；解法2：过点C作AD的平行线交BN的延长线于点H，构造“A”型和“8”型，得出BDM BCH△∽和AMN CHN△∽△，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；解法3：过点A作BC的平行线交BN的延长线于点H，构造“A”型和“8”型，得出AHM DBM△∽△和AHN CBN△∽△，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；解法4：过点D作BN的平行线交AC于点H，根据三角形中位线定理得出AN NH CH==，即可得出答案；【详解】解法1：如图2，过点D 作AC 的平行线交BN 于点H ．因为//DH AC ． 所以BDH BCN ∽， 所以DH BDCN BC=． 因为D 为BC 的中点，所以12DH BD CN BC ==． 因为//DH AN ，所以DHM ANM ∽， 所以DH DMAN AM=． 因为M 为AD 的中点，所以1DH DMAN AM==． 所以DH AN =， 所以12AN CN =． 解法2：如图3，过点C 作AD 的平行线交BN 的延长线于点H ．因为//DM CH ，所以BDM BCH △∽， 所以DM BDCH BC=． 因为D 为BC 的中点，所以12DM BD CH BC ==．因为M 为AD 的中点，所以AM DM =， 所以12AM CH =． 因为//DM CH ， 所以AMN CHN △∽△， 所以12AN AM CN CH ==． 解法3：如图4，过点A 作BC 的平行线交BN 的延长线于点H ．因为//AH BD ，所以AHM DBM △∽△， 所以AH AMBD DM=． 因为M 为AD 的中点，所以AM DM =，所以AH BD =． 因为//AH BD ，所以AHN CBN △∽△， 所以AN AHCN BC=． 因为D 为BC 的中点，且AH BD =， 所以12AN BD CN BC ==． 解法4：如图5，过点D 作BN 的平行线交AC 于点H ．在ADH 中，因为M 为AD 的中点，//MN DH ，所以N 为AH 的中点，即AN NH =．在CBN △中，因为D 为BC 的中点，//DH BN ，所以H 为CN 的中点，即CN HN =， 所以AN NH CH ==． 所以12AN CN =． 20．如图， ABC 中，中线AD ，BE 交于点F ，//EG BC 交AD 于点G ．（1）求AGGF的值．（2）如果BD =4DF =，请找出与BDA △相似的三角形，并挑出一个进行证明．【答案】（1）3；（2）BDA FGE ∽△△，证明见解析 【分析】（1）先证明AGE ADC △∽△，再证明GEF DBF ∽△△，得到2DF GF =，则问题可解； （2）根据题意分别证明BDA FDB ∽△△，BDA FGE ∽△△问题可证． 【详解】解：（1）D 是BC 的中点，E 是AC 的中点， BD CD ∴=，AE CE =，//GE BC ， AGE ADC ∴∽△△，12AG GE AE AD CD AC ∴===， AG GD ∴=，2GE CD BD ==， //GE BC ， GEF DBF ∴∽△△，12GE GF BD DF ∴==， 2DF GF ∴=， 3AG DG GF ∴==，3AGGF∴=．（2）当BD =4DF =时， 由（1）可得 122GF DF ==，36AG DG GF ===，212AD AG ==，12GE BD == 44BD DF ==AD BD == AD BDBD DF∴=， 又BDG ADB ∠=∠，BDA FDB ∴∽△△，3GEGF =AD BD == AD GEBD GF∴=， //GE BC ， ADB EGF ∴∠=∠， BDA FGE ∴∽△△．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，解答关键是根据题意选择适当方法证明三角形相似．21．如图，在ABC ∆中，点,E F 分别在,AB AC 上，且AE ABAF AC=．（1）求证：AEFABC ∆∆；（2）若点D 在BC 上，AD 与EF 交于点G ，求证：EG FGBD CD=． 【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）直接利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证得结论； （2）根据相似三角形的性质和平行线的判定方法可得EF ∥BC ，于是可得∥AEG ∥∥ABD ，∥AGF ∥∥ADC ，再根据相似三角形的性质即可推出结论． 【详解】解：（1）在∥AEF 和∥ABC 中， ∥EAF BAC ∠=∠，AE ABAF AC=， ∥∥AEF ∥∥ABC ；（2）∥∥AEF∥∥ABC，∥∥AEF=∥ABC，∥EF∥BC，∥∥AEG∥∥ABD，∥AGF∥∥ADC，∥EG AGBD AD=,FG AGCD AD=，∥EG FG BD CD=．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，属于常考题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．22．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝AC，∥ADC＝α，点E为射线BA上一动点，且AE＜AB，连接DE，将线段DE所在直线绕点D顺时针旋转α交BA延长线于点H，DE所在直线与射线CA交于点G．（1）如图1，当α＝60°时，求证：∥ADH∥∥CDG；（2）当α≠60°时，∥如图2，连接HG，求证：∥ADC∥∥HDG；∥若AB＝9，BC＝12，AE＝3，请直接写出EG的长．【答案】（1）证明见详解；（2）∥证明见详解；∥EG．【分析】（1）AD＝AC，∥ADC＝60°，可证∥ACD为等边三角形，根据四边形ABCD为平行四边形，可得AB=CD=BC=AD，∥B=∥ADC=60°，AD∥BC，可得∥HAD=∥B=60°=∥GCD，由∥GDH=∥CDA=60°，可证∥HAD =∥CDG，即可证∥ADH∥∥CDG（ASA）；（2）∥根据AD＝AC，∥ADC＝α，可得∥ACD=∥ADC＝α，根据四边形ABCD为平行四边形，可得AD∥BC，可得∥HAD=∥ADC=α=∥GCD，由∥GDH=α=∥ADC，可得∥ADH =∥CDG 即可；∥根据点E的位置分两种情况，当点E在AB上时，过C作CN∥AB于N，过G作GM∥AE于M，根据四边形ABCD为平行四边形，AB∥DC，AB=DC=9，AD=BC=12，可证∥AGE∥∥CGD，得出AG=3，CG=AC-AG=12-3=9，根据等腰三角形三线合一性质可得AN=BN=1922AB=，根据勾股定理CN==GM∥CN，再证∥AMG∥∥ANC，可求1948AM AN==,14GM CN==EM=AE-AM=915388-=，根据勾股定理EG==，当点E在BA延长线上，过C作CN∥AB于N，过G作GM∥AE于M，由AE∥CD，∥GAE∥∥GCD，可求GA=6，由GM∥CN，可证∥GMA∥∥CNA，可得1122GM CN===，11992224AM AN==⨯=，EM=AE-AM=3-9344=，根据勾股定理EG=．【详解】（1）证明：∥AD＝AC，∥ADC＝60°，∥∥ACD为等边三角形，∥四边形ABCD为平行四边形，∥AB=CD=BC=AD，∥B=∥ADC=60°，AD∥BC，∥∥HAD=∥B=60°=∥GCD，∥∥GDH=∥CDA=60°，∥∥HDA+∥ADG=∥CDG+∥ADG=60°，∥∥HDA =∥CDG，在∥ADH和∥CDG中ADH CDGAD CDHAD GCD∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∥ADH∥∥CDG（ASA）；（2）∥证明：∥AD＝AC，∥ADC＝α，∥∥ACD=∥ADC＝α，∥四边形ABCD为平行四边形，∥AD∥BC，∥∥HAD=∥ADC=α=∥GCD，∥∥GDH=α=∥ADC，∥∥ADH+∥ADG=∥CDG+∥ADG=α，∥∥ADH =∥CDG，∥∥ADH∥∥CDG；∥解：当点E在AB上时，过C作CN∥AB于N，过G作GM∥AE于M，∥四边形ABCD为平行四边形，AB∥DC，AB=DC=9，AD=BC=12，∥∥EAG=∥DCG，∥AEG=∥CDG，∥∥AGE∥∥CGD，∥3193 AG AECG CD===，∥3CG AG=，∥AD=AC=12，∥AG+CG=AG+3AG=4AG=12，∥AG=3，∥CG=AC-AG=12-3=9，∥AC=AD=BC，CN∥AB，∥AN=BN=19 22 AB=，在Rt∥BCN中，根据勾股定理CN=∥GM∥CN，∥∥AMG∥∥ANC，∥31124 AM AG GMAN AC CN====，∥1948AM AN==,14GM CN==∥EM=AE-AM=915388-=，在Rt∥MGE中，根据勾股定理EG==，当点E在BA延长线上，过C作CN∥AB于N，过G作GM∥AE于M，∥AE∥CD，∥∥GAE=∥GCD，∥GEA=∥GDC，∥∥GAE∥∥GCD，∥3193 GA EAGC DC===，∥3GC GA=，∥AC=GC-GA=3GA-GA=2GA=12,∥GA=6，∥AC=AD=BC，CN∥AB，∥AN=BN=19 22 AB=，在Rt∥BCN 中，根据勾股定理CN =∥CN ∥AB ， GM ∥AE ， ∥GM∥CN ， ∥∥GMA ∥∥CNA ， ∥61122GA GM AM CA CN AN ====，∥1122GM CN ===11992224AM AN ==⨯=， ∥EM =AE -AM =3-9344=，在Rt∥GME 中，根据勾股定理EG∥综合EG ． 【点睛】本题考查图形旋转性质，平行四边形性质，等边三角形判定与性质，三角形全等判定，三角形相似判定与性质，勾股定理，本题难度角度，利用辅助线画出准确图形，掌握以上知识是解题关键．23．已知：矩形ABCD 中，AB ＝9，AD ＝6，点E 在对角线AC 上，且满足AE ＝2EC ，点F 在线段CD 上，作直线FE ，交线段AB 于点M ，交直线BC 于点N ． （1）当CF ＝2时，求线段BN 的长；（2）若设CF ＝x ，∥BNE 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）试判断∥BME 能不能成为等腰三角形，若能，请直接写出x 的值．【答案】（1）BN＝10；（2）6273xyx-=-，0＜x＜3；2763xyx-=-，3＜x＜4.5；（3）x＝2或32或29 12【分析】（1）由AB CD∥得∥CFE∥∥AME，∥NCF∥∥NBM，进而求得；（2）分为0＜x＜3和3＜x＜4.5两种情形，作EG∥BC于G，根据三角形相似求出EG和BN；（3）分为BM＝BE，EM＝BE，EN＝BM三种，可根据BM＝9﹣2CF求得．【详解】解：（1）如图1，在矩形ABCD中，BC＝AD＝6，AB CD∥，∥∥CFE∥∥AME，∥NCF∥∥NBM，∥1,2CF EC CF NC AM AE BM NB ===,∥AM＝2CF＝4，∥BM＝AB﹣AM＝5，∥265BNBN-=，∥BN＝10；（2）当CF＝BM时，MF BC∥，此时∥BEN不存在，∥CF＝9﹣2CF，∥CF＝3，当点M和B点重合时，AB＝2CF，∥CF＝4.5，∥分为0＜x＜3和3＜x＜4.5，如图2，当0＜x＜3时，作EG∥BC于G，由（1）知，EG＝3，AM＝2CF＝2x，∥BM＝9﹣2x，由CF NCBM NB=得，692x BNx BN-=-，∥1843x BNx-=-，∥y＝12BN EG⋅＝11843 23xx-⋅⨯-＝6273xx--；如图3，当3＜x ＜4.5时， 由BN BMCN CF=得， 926BN xBN x-=+∥CN ＝2(92)3x x --， ∥y ＝12(92)323x x -⋅⨯- ＝2763xx --； （3）如图4，∥EG AB ∥， ∥13CG EG CB AB ==， ∥CG ＝13CB ＝2，∥GB ＝CB ﹣CG ＝4， ∥BE ＝5，当BM ＝BE ＝5时， 9﹣2x ＝5， ∥x ＝2， 如图5，当EM ＝EB ＝5时， 作EH ∥AB 于H ， ∥BM ＝2BH ＝2EG ＝6， ∥9﹣2x ＝6， ∥x =32，如图6，当EM ＝BM 时， 作MH ∥BE 于H ，在Rt ∥BMH 中，BH ＝1522BE =，∥MBH ＝cos ∥BEG ＝35EG BE =， ∥BM ＝355252cos 6BH MBH ==∠，∥9﹣2x ＝256， ∥x ＝2912， 综上所述：x ＝2或32或2912．【点睛】此题考查相似三角形的判定及性质，锐角三角函数，勾股定理解直角三角形，矩形的性质，正确引出辅助线及掌握分类思想解决问题是解题的关键．24．如图，在平行四边形ABCD 中，90ADB ∠=︒，10cm AB =，8cm AD =，点P 从点D 出发，沿DA 方向匀速运动，速度为2cm/s ；同时，点Q 从点B 出发，沿BC 方向匀速运动，速度为1cm/s .当一个点停止运动，另一个点也停止运动.过点P 作//PE BD 交AB 于点E，连接PQ ，交BD 于点F .设运动时间为()()s 04t t <<.解答下列问题：（1）当t 为___________时，//PQ AB ？（2）连接EQ ，设四边形APQE 的面积为()2cm y ，求y 与t 的函数关系式.（3）当t 为何值时，点E 在线段PQ 的垂直平分线上？（4）若点F 关于AB 的对称点为F'，是否存在某一时刻t ，使得点P ，E ，F'三点共线？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）83；（2）233244y t t =--+；（31；（4）2425．【分析】（1）由题意得，PQ ∥AB ，则四边形P ABQ 是平行四边形，根据平行四边形的性质可得AP =BQ ，即8-2t =t ，解方程即可求解；（2）过点Q 作QH ∥AB 交AB 的延长线于点H ，由勾股定理求出BD =6，证明∥ADB ∥∥BHQ ，根据相似三角形的性质可得QH =35t ，根据平行线分线段成比例定理可得DP BEAD AB =，可得出BE =52t ，根据y =S 四边形APQB -S ∥BEQ 即可求解；（3）先证出∥APE ∥∥ABD ，根据相似三角形的性质可得PE AP DB AD=，可得PE =6-32t ，根据线段垂直平分线的性质得EQ =PE ，由（2）得QH =35t ，可得出BH =45t ，根据勾股定理得出EH 2+HQ 2=EQ 2，列出方程即可求解；（4）连接FF ′交AB 于点N ，由对称及平行线的性质可得∥FEB =∥ABD ，由等角对等边得EF =FB ，则1524BN EN BE t ===，再证∥DPF ∥∥BQF ，可得DF =2BF ，可求出BF =2，然后证明∥BNF ∥∥BDA ，根据相似三角形的性质即可得t 的值． 【详解】解：（1）∥四边形ABCD 是平行四边形， ∥AD ∥BC ， 若PQ ∥AB ，∥四边形P ABQ 是平行四边形， ∥AP =BQ ，∥8-2t =t ， ∥t =83，∥当t =83时，PQ ∥AB ；故答案为：83；（2）如图，过点Q 作QH ∥AB 交AB 的延长线于点H ，∥∥ADB =90°，∥BD 2=AB 2-AD 2=100-64=36，即BD =6， ∥四边形ABCD 是平行四边形， ∥AD ∥BC ， ∥∥A =∥QBH ，又∥∥ADB =∥BHQ =90°， ∥∥ADB ∥∥BHQ ， ∥BD AB QH BQ =，即610QH t=， ∥35QH t =，∥PE ∥BD ， ∥DP BE AD AB =，即2810t BE=， ∥52BE t =，∥y =S 四边形APQB -S ∥BEQ =211533(82)632422254t t t t t t -+⨯-⨯⨯=--+；（3）如图：∥PE ∥BD ， ∥∥APE =∥ADB ， ∥∥A =∥A ， ∥∥APE ∥∥ADB ， ∥PE AP DB AD =，即8268PE t-=， ∥362PE t =-，∥点E 在线段PQ 的垂直平分线上， ∥EQ =362PE t =-，由（2）得35,52QH t BE t ==，∥BH =∥45335210EH BH BE t t t =+=+=Rt ∥EQH 中，EH 2+HQ 2=EQ 2， ∥2223333()()(6)1052t t t +=-，即t 2+2t -4=0，解得：121,10t t =<（舍去），∥当t 1时，点E 在PQ 的垂直平分线上； （4）连接FF '交AB 于点N ，∥点F 关于AB 的对称点为F ′，∥∥FEB =∥F ′EB ，FN ∥EB ，∥点P ，E ，F ′三点共线，PE ∥AB ，∥∥F ′EB =∥ABD ，∥∥FEB =∥ABD ，∥EF =FB ， ∥15,24BN EN BE t ===， ∥四边形ABCD 是平行四边形，∥AD ∥BC ，∥∥DPF =∥FQB ，∥DFP =∥BFQ ，∥∥DPF ∥∥BQF ， ∥2DF DP BF BQ==， ∥DF =2BF ，∥2BF +BF =6，∥BF =2，∥∥FBN =∥ABD ，∥FNB =∥ADB ，∥∥BNF ∥∥BDA ， ∥BN BD BF AB=， ∥564210t =，解得：t =2425， ∥存在某一时刻t ，使得点P ，E ，F ′三点共线，t 的值为2425． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，多边形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 25．如图1，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，CD 边的垂直平分线EH 交BD 于点E ，连接AE ，CE ．（1）过点A 作//AF EC 交BD 于点F ，求证：AF BF =；（2）如图2，将ABE △沿AB 翻折得到'ABE △．∥求证：'//BE CE ；∥若'//AE BC ，1OE =，求CE 的长度．【答案】（1）见解析；（2）∥见解析；∥1【分析】（1）根据题意证明()COE AOF AAS △≌△，即可证明ED BF =，在根据EH 垂直平分CD 可得EC ED =，即可证的结果；（2）∥过点A 作//AF EC 交BD 于点F ，根据（1）中结论，然后证明'//BE AF 即可； ∥求证AEF BCE ∽，则AF EF BE CE=，据此解答即可． 【详解】证明：（1）∥四边形ABCD 是平行四边形，∥OA OC =，OB OD =．∥//AF EC ，∥CEO AFO ∠=∠，FAO ECO ∠=∠，∥()COE AOF AAS △≌△，∥CE AF =，OE OF =，∥ED BF =．∥EH 垂直平分CD ，∥EC ED =．∥AF BF =；（2）如图2，过点A 作//AF EC 交BD 于点F ．∥证明：由（1）可知AOF COE ≌，AF BF =，∥ABF BAF ∠=∠，∥将ABE △沿AB 翻折得到'ABE △，∥'ABE ABF ∠=∠，∥'ABE BAF ∠=∠，∥'//BE AF ，又∥//AF CE ，∥'//BE CE ；。

专题06 相似模型-母子型（共角共边模型）和A （X ）字型 相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。

如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到相似三角形的问题就信心更足了．本专题重点讲解相似三角形的六大基本模型． 模型1.“母子”模型(共边角模型)【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．“双垂线”型是其特例。

“ 母子”模型（斜射影） 双垂直（射影定理） “母子型”的变形 斜射影结论：△ABD ∽△ACB ，AB 2＝AD ·AC .双垂直结论：①△ABD ∽△ACB ，AB 2＝AD ·AC ；②△ADC ∽△ACB ，AC 2＝AD ·AB ；③△CDB ∽△ACB ，CB 2＝BD ·BA .1．（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，在ABC V 中，D 是AB 边上的点，B ACD ∠=∠，:1:2AC AB =，则ADC V 与ACB △的周长比是（ ）A ．B ．1:2C ．1:3D ．1:4 【答案】B【分析】先证明△ACD ∽△ABC ，即有12AC AD CD AB AC BC ===，则可得12AC AD CD AB AC BC ++=++，问题得解．【详解】∵∠B =∠ACD ，∠A =∠A ，∴△ACD ∽△ABC ，∴AC AD CD AB AC BC ==， ∵12AC AB =，∴12AC AD CD AB AC BC ===， ∴12AC AD CD AC AD CD AB AC BC AB AC BC ++====++， ∴△ADC 与△ACB 的周长比1:2，故选：B ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证明△ACD ∽△ABC 是解答本题的关键．2．（2022·陕西汉中·九年级期末）如图，CD 是等腰直角ABC V 斜边AB 的中线，以点D 为顶点的EDF ∠绕点D 旋转，角的两边分别与AC 、BC 的延长线相交，交点分别为点E 、F ，DF 与AE 交于点M ，DE 与BC 交于点N ，且45EDF ∠=︒．(1)如图1，若CE CF =，求证：DE DF =；(2)如图2，若CE CF ≠，求证：2CD CE CF =⋅；(3)如图2，过D 作DG BC ⊥于点G ，若2CD =，CF DN 的长．∵DG⊥BC，∠ACB=90°，∠∴∠DGN=∠ECN=90°，∠当CD=2，CF=2时，由CD在Rt△DCG中，CG DG=3．（2022·浙江绍兴·九年级期末）如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三角形互为母子三角形．（1）如果DEF V 与ABC V 互为母子三角形，则DE AB 的值可能为（ ） A ．2 B ．12 C ．2或12（2）已知：如图1，ABC V 中，AD 是BAC ∠的角平分线，2,AB AD ADE B =∠=∠． 求证：ABD △与ADE V 互为母子三角形．（3）如图2，ABC V 中，AD 是中线，过射线CA 上点E 作//EG BC ，交射线DA 于点G ，连结BE ，射线BE 与射线DA 交于点F ，若AGE V 与ADC V 互为母子三角形．求AG GF 的值．V互为母子三角形，∴QV与ADCAGE4．（2022.浙江中考模拟）如图，在V ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB．（1）图1中共有对相似三角形，写出来分别为（不需证明）：（2）已知AB＝5，AC＝4，请你求出CD的长：（3）在（2）的情况下，如果以AB为x轴，CD为y轴，点D为坐标原点O，建立直角坐标系（如图2），若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q出B点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒是否存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）3，V ABC∽V ACD，V ABC∽V CBD，V ACD∽V CBD；（2）125；（3）存在，(2740，32)，(98，910)【分析】（1）根据两角对应相等的两三角形相似即可得到3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．（2）先在△ABC中由勾股定理求出BC的长，再根据△ABC的面积不变得到12AB•CD＝12AC•BC，即可求出CD的长．（3）由于∠B公共，所以以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，分两种情况进行讨论：①△PQB∽△ACB；②△QPB∽△ACB．【详解】解：（1）图1中共有3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠ACB=90°，又∵∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB同理可证：△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．故答案为：3；△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．（2）如图2中，在△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC3．∵△ABC的面积＝12AB•CD＝12AC•BC，∴CD＝AC BCAB⋅＝125．（3）存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，理由如下：在△BOC中，∵∠COB＝90°，BC＝3，OC＝125，∴OB＝95．分两种情况：①当∠BQP＝90°时，如图2①，此时△PQB∽△ACB，∴BP AB ＝BQ BC ，∴353t t −=，解得t ＝98，即98BQ CP ==，∴915388BP BC CP =−=−=． 在△BPQ中，由勾股定理，得32PQ ===，∴点P 的坐标为273(,)402； ②当∠BPQ ＝90°时，如图2②，此时△QPB ∽△ACB ，∴BP BQ BC AB =，∴335t t −=， 解得t ＝158，即15159,3888BQ cP BP BC CP ===−=−=， 过点P 作PE ⊥x 轴于点E ．∵△QPB ∽△ACB ，∴PE BQ CO AB ⋅=，即1581255PE =，∴PE ＝910． 在△BPE中，2740BE ==， ∴92795408OE OB BE =−=−=，∴点P 的坐标为99(,)810， 综上可得，点P 的坐标为(2740，32)；(98，910)． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．模型2. “A ”字模型【模型解读与图示】“A ”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似．1．（2022·湖南怀化·中考真题）如图，△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若S △ADE ＝2，则S △ABC ＝_____．【答案】8【分析】根据三角形中位线定理求得DE ∥BC ，12DE BC =，从而求得△ADE ∽△ABC ，然后利用相似三角形的性质求解．【详解】解：∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则DE 为中位线，所以DE ∥BC ，12DE BC =所以△ADE ∽△ABC ∴21()4ADE ABC S DE S BC ==V V ∵S △ADE =2，∴S △ABC =8故答案为：8．【点睛】本题考查中位线及平行线性质，本题难度较低，主要考查学生对三角形中位线及平行线性质等知识点的掌握．2．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，在V ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，连接DE ，EF ，已知四边形BFED 是平行四边形，DE 1BC 4=．(1)若8AB =，求线段AD 的长．(2)若ADE V 的面积为1，求平行四边形BFED 的面积．【答案】(1)2(2)6【分析】（1）利用平行四边形对边平行证明ADE ABC △△∽，得到DE AD BC AB=即可求出； （2）利用平行条件证明ADE EFC ∽V V ，分别求出ADE EFC V V 与、ADE ABC V V 与的相似比，通过相似三角形的面积比等于相似比的平方分别求出EFC S、ABC S V ，最后通过BFED ABC EFC ADE S S S S =−−Y V V V 求出． (1)∵四边形BFED 是平行四边形，∴∥DE BC ，∴ADE ABC △△∽，∴DE AD BC AB =， ∵DE 1BC 4=，∴AD 1AB 4=，∴118244AD AB ==⨯=； (2)∵四边形BFED 是平行四边形，∴∥DE BC ，EF AB ∥，DE =BF ，∴,AED ECF EAD CEF ∠=∠∠=∠，∴ADE EFC ∽V V ∴2ADE EFC S DE S FC ⎛⎫= ⎪⎝⎭V V ， ∵DE 1BC 4=，DE =BF ，∴43FC BC DE DE DE DE =−=−=， ∴133DE DE FC DE ==，∴221139ADE EFC S DE S FC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭V V ， ∵ADE ABC △△∽，DE 1BC 4=，∴2211416ADE ABC S DE S BC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭V V ， ∵1ADE S =△，∴9,16EFC ABC S S ==V V ，∴16916BFED ABC EFC ADE S S S S =−−=−−=Y V V V ．【点睛】本题考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方、灵活运用平行条件证明三角形相似并求出相似比是解题关键．3．（2022·浙江宁波·中考真题）(1)如图1，在ABC V 中，D ，E ，F 分别为,,AB AC BC 上的点，,,DE BC BF CF AF =∥交DE 于点G ，求证：DG EG =．(2)如图2，在（1）的条件下，连接,CD CG ．若,6,3⊥==CG DE CD AE ，求DE BC的值． (3)如图3，在ABCD Y 中，45,︒∠=ADC AC 与BD 交于点O ，E 为AO 上一点，EG BD ∥交AD 于点G ，⊥EF EG 交BC 于点F ．若40,︒∠=EGF FG 平分,10∠=EFC FG ，求BF 的长．【答案】(1)证明见详解(2)13(3)5+【分析】（1）利用∥DE BC ，证明,ADG ABF AEG ACF △△△△::，利用相似比即可证明此问；（2）由（1）得DG EG =，CG DE ⊥，得出DCE V 是等腰三角形，利用三角形相似即可求出 DE BC的值； （3）遵循第（1）、（2）小问的思路，延长GE 交AB 于点M ，连接FM ，作MN BC ⊥，垂足为N ．构造出等腰三角形、含30°、45°角的特殊直角三角形，求出BN 、FN 的值，即可得出BF 的长．(1)解：∵DE BC ∥，∴,ADG ABF AEG ACF △△△△::， ∴,==DG AG EG AG BF AF CF AF ，∴DG EG BF CF=． ∵BF CF =，∴DG EG =．(2)解：由（1）得DG EG =，∵CG DE ⊥，∴6CE CD ==．∵3AE =，∴9AC AE CE =+=．∵DE BC ∥，∴ADE ABC V :V ． ∴13DE AE BC AC ==． (3)解：如图，延长GE 交AB 于点M ，连接FM ，作MN BC ⊥，垂足为N ．在ABCD Y 中，,45=∠=∠=︒BO DO ABC ADC ．∵EG BD ∥，∴由（1）得=ME GE ，∵⊥EF EG ，∴10==FM FG ，∴∠=∠EFM EFG ．∵40∠︒=EGF ，∴40EMF ∠=︒，∴50EFG ∠=︒．∵FG 平分EFC ∠，∴50∠=∠=︒EFG CFG ，∴18030∠=︒−∠−∠−∠=︒BFM EFM EFG CFG ．∴．在Rt FMN V 中，sin 305,cos30=︒==︒=MN FM FN FM∵45,∠=︒⊥MBN MN BN ，∴5==BN MN ，∴5=+=+BF BN FN【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定、等腰三角形的性质及判定、解特殊的直角三角形等知识，遵循构第（1）、（2）小问的思路，构造出等腰三角形和特殊的直角三角形是解决本题的关键．4．（2022·辽宁·中考真题）如图，在ABC V 中，4AB AC BC ===，D ，E ，F 分别为,,AC AB BC 的中点，连接,DE DF ．(1)如图1，求证：2DF DE =；(2)如图2，将EDF ∠绕点D 顺时针旋转一定角度，得到PDQ ∠，当射线DP 交AB 于点G ，射线DQ 交BC 于点N 时，连接FE 并延长交射线DP 于点M ，判断FN 与EM 的数量关系，并说明理由；(3)如图3，在（2）的条件下，当DP AB ⊥时，求DN 的长．【答案】(1)见解析(2)FN EM =，理由见解析(3)103 【分析】（1）连接AF ，可得AF BC ⊥，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得12DF AC ==122DE BC ==，即可得证；（2）证明DNF DME V V ∽，根据（1）的结论即可得FN ；（3）连接AF ，过点C 作CH AB ⊥于H ，证明AGD AHC V V ∽，可得12GD HC ==，勾股定理求得,GE AG ，根据3tan 4AG ADG GD ∠==，EMG ADG ∠=∠，可得3tan 4EG EMG MG ∠==，进而求得MG ，根据MD MG GD =+求得MD ，根据（2）的结论2DN DM =，即可求解． (1)证明：如图，连接AF ，Q 4AB AC BC ===，D ，E ，F 分别为,,AC AB BC 的中点，122DE BC ∴==，AF BC ⊥，∴12DF AC ==∴2DF DE =，(2)FN =，理由如下，连接AF ，如图，Q 4AB AC BC ===，D ，E ，F 分别为,,AC AB BC 的中点，1,2EF AC CD EF DC ∴==∥，∴四边形CDEF 是平行四边形，DEF C ∴∠=∠， Q 12DF AC DC ==，DFC C ∴∠=∠，DEF DFC ∴∠=∠， 180180DEF DFC ∴︒−∠=︒−∠，∴DEM DFN ∠=∠，Q 将EDF ∠绕点D 顺时针旋转一定角度，得到PDQ ∠，∴EDF ∠=PDQ ∠，FDN NDE EDM NDE ∠+∠=∠+∠Q ，FDN EDM ∴∠=∠，DNF DME ∴V V ∽，NF DF EM DE ∴==，∴FN =， (3)如图，连接AF ，过点C 作CH AB ⊥于H ，Rt AFC △中，122FC BC ==,∴4AF ==， 1122ABC S BC AF AB CH =⋅=⋅V Q，BC AF HC AB ⋅∴== Q DP AB ⊥，AGD AHC ∴V V ∽，12GD AD HC AC ∴==，12GD HC ∴== Rt GED V中，5GE ===， Rt AGD V中，5AG ==，35tan 44AG ADG GD ∴∠===，EF AD ∥Q ，EMG ADG ∴∠=∠，3tan 4EG EMG MG ∴∠==，4433515MG GE ∴==⨯=，1553MD MG GD ∴=+=+=，Q DNF DME V V ∽，DN DF DM DE ∴==，103DN ∴==． 【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，中位线的性质定理，相似三角形的性质与判定，求角的正确，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．模型3. “X ”字模型（“8”模型）【模型解读与图示】“X ”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．1．（2022·河北·中考真题）如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A ，B 的连线与钉点C ，D 的连线交于点E ，则（1）AB 与CD 是否垂直？______（填“是”或“否”）；（2）AE ＝______．【答案】 是 【分析】（1）证明△ACG ≌△CFD ，推出∠CAG =∠FCD ，证明∠CEA =90°，即可得到结论；（2）利用勾股定理求得AB 的长，证明△AEC ∽△BED ，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．【详解】解：（1）如图：AC =CF =2，CG =DF =1，∠ACG =∠CFD =90°，∴△ACG ≌△CFD ， ∴∠CAG =∠FCD ，∵∠ACE +∠FCD =90°，∴∠ACE +∠CAG =90°，∴∠CEA =90°，∴AB 与CD 是垂直的，故答案为：是；（2）AB =AC ∥BD ，∴△AEC ∽△BED ，∴AC AE BD BE =，即23AE BE =，∴25AE BE =，∴AE =25BE【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．2．（2022·四川内江·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝4，点M 、N 分别在AB 、AD 上，且MN ⊥MC ，点E 为CD 的中点，连接BE 交MC 于点F ．(1)当F 为BE 的中点时，求证：AM ＝CE ；(2)若EF BF＝2，求AN ND 的值；(3)若MN ∥BE ，求AN ND 的值． 【答案】(1)见解析(2)2737(3)27 【分析】(1)根据矩形的性质，证明△BMF ≌ △ECF ，得BM ＝CE ，再利用点E 为CD 的 中点，即可证明结论； (2)利用△BMF ∽△ECF ，得12BM B EF CE F ==，从而求出BM 的长，再利用△ANM ∽△BMC ，得AN AM BM BC= ，求出AN 的长，可得答案； (3)首先利用同角的余角相等得 ∠CBF ＝ ∠CMB ，则tan ∠CBF ＝tan ∠CMB ，得CE BC BC BM= ，可得BM 的长，由（2）同理可得答案． (1)证明：∵F 为BE 的中点，∴BF ＝EF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ∴∠BMF ＝∠ECF ，∵∠BFM ＝∠EFC ，∴△BMF ≌△ECF （AAS ），∴BM ＝CE ， ∵点E 为CD 的中点，∴CE ＝12CD ，∵AB ＝CD ，∴12BM CE AB ==， ∴AM BM =，∴AM ＝CE ；(2)∵∠BMF ＝∠ECF ，∠BFM ＝∠EFC ，∴△BMF ∽△ECF ，∴12BM B EF CE F ==， ∵CE ＝3，∴BM ＝32，∴AM ＝92，∵CM ⊥MN ，∴∠CMN ＝90°，∴∠AMN +∠BMC ＝90°，∵∠AMN +∠ANM ＝90°，∴∠ANM ＝∠BMC ，∵∠A ＝∠MBC ，∴△ANM ∽△BMC ，∴AN AM BM BC =，∴92342AN =，∴7162AN =， ∴DN ＝AD ﹣AN ＝4﹣2716＝3716，∴272716373716AN DN ==； (3)∵MN ∥BE ，∴∠BFC ＝∠CMN ，∴∠FBC +∠BCM ＝90°，∵∠BCM +∠BMC ＝90°，∴∠CBF ＝∠CMB ，∴tan ∠CBF ＝tan ∠CMB ， ∴CE BC BC BM =，∴344BM =，∴163BM =，∴162633AM AB BM =−=−=， 由（2）同理得，AN AM BM BC=，∴231643AN =，解得：AN ＝89， ∴DN ＝AD ﹣AN ＝4﹣89＝289，∴8292879AN ND ==． 【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角函数等知识，求出BM 的长是解决（2）和（3）的关键． 3．（2022·广西贵港·中考真题）已知：点C ，D 均在直线l 的上方，AC 与BD 都是直线l 的垂线段，且BD 在AC 的右侧，2BD AC =，AD 与BC 相交于点O ．(1)如图1，若连接CD ，则BCD △的形状为______，AO AD的值为______； (2)若将BD 沿直线l 平移，并以AD 为一边在直线l 的上方作等边ADE V ．①如图2，当AE 与AC 重合时，连接OE ，若32AC =，求OE 的长； ②如图3，当60ACB ∠=︒时，连接EC 并延长交直线l 于点F ，连接OF ．求证：OF AB ⊥．【答案】(1)等腰三角形，13(2)①OE =②见解析 【分析】（1）过点C 作CH ⊥BD 于H ，可得四边形ABHC 是矩形，即可求得AC =BH ，进而可判断△BCD 的形状，AC 、BD 都垂直于l ，可得△AOC ∽△BOD ，根据三角形相似的性质即可求解．（2）①过点E 作EF AD ⊥于点H ，AC ，BD 均是直线l 的垂线段，可得//AC BD ，根据等边三角形的性质可得30BAD ∠=︒，再利用勾股定理即可求解．②连接CD ，根据//AC BD ，得60CBD ACB ∠=∠=︒，即BCD △是等边三角形，把ABD △旋转得90ECD ABD ∠=∠=︒，根据30°角所对的直角边等于斜边的一般得到13AF AO AB AD ==，则可得AOF ADB △∽△，根据三角形相似的性质即可求证结论． (1)解：过点C 作CH ⊥BD 于H ，如图所示：∵AC ⊥l ，DB ⊥l ，CH ⊥BD ，∴∠CAB =∠ABD =∠CHB =90°，∴四边形ABHC 是矩形，∴AC =BH ，又∵BD =2AC ，∴AC=BH=DH ，且CH ⊥BD ，∴BCD △的形状为等腰三角形，∵AC 、BD 都垂直于l ，∴△AOC ∽△BOD ，122AO AC AC DO DB AC ∴===，即2DO AO =， 133AO AO AD AO DO A AO O ∴===+，故答案为：等腰三角形，13． (2)①过点E 作EF AD ⊥于点H ，如图所示：∵AC ，BD 均是直线l 的垂线段，∴//AC BD ，∵ADE V 是等边三角形，且AE 与AC 重合，∴∠EAD =60°，∴60ADB EAD ∠=∠=︒，∴30BAD ∠=︒，∴在Rt ADB V 中，2AD BD =，AB ，又∵2BD AC =，32AC =，∴6,AD AB ==132AH DH AD ===，又Rt ADB V ，∴EH ==又由（1）知13AO AD ，∴123AO AD ==，则1OH =，∴在Rt EOH △中，由勾股定理得：OE =②连接CD ，如图3所示：∵//AC BD ，∴60CBD ACB ∠=∠=︒，∵BCD △是等腰三角形，∴BCD △是等边三角形，又∵ADE V 是等边三角形， ∴ABD △绕点D 顺时针旋转60︒后与ECD V 重合，∴90ECD ABD ∠=∠=︒，又∵60BCD ACB ∠=∠=︒，∴30ACF FCB FBC ∠=∠=∠=︒，∴2FC FB AF ==，∴13AF AO AB AD ==，又OAF DAB ∠=∠，∴AOF ADB △∽△， ∴90AFO ABD ∠=∠=︒，∴OF AB ⊥．【点睛】本题考查了矩形的判定及性质、三角形相似的判定及性质、等边三角形的判定及性质、勾股定理的应用，熟练掌握三角形相似的判定及性质和勾股定理的应用，巧妙借助辅助线是解题的关键．4．（2022·江苏镇江·九年级期末）梅涅劳斯（Menelaus ）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果一条直线与△ABC 的三边AB ，BC ，CA 或它们的延长线交于F 、D 、E 三点，那么一定有••1AF BD CE FB DC EA=．下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：证明：如图（2），过点A 作AG BC ∥，交DF 的延长线于点G ， 则有AF AG FB BD =，CE CD EA AG =，∴1AF BD CE AG BD CD FB DC EA BD DC AG••=••=． 请用上述定理的证明方法解决以下问题：(1)如图（3），△ABC 三边CB ，AB ，AC 的延长线分别交直线l 于X ，Y ，Z 三点，证明：1BX CZ AY XC ZA YB⋅⋅=． (2)如图（4），等边△ABC 的边长为2，点D 为BC 的中点，点F 在AB 上，且2BF AF =，CF 与AD 交于点E ，则AE 的长为________．(3)如图（5），△ABC 的面积为2，F 为AB 中点，延长BC 至D ，使CD BC =，连接FD 交AC 于E ，则四边形BCEF 的面积为________．课后专项训练：1．（2022•江苏中考模拟）对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似．例如，如图（1），△CDE∽△CAB，且沿周界CDEC与CABC环绕的方向（同为逆时针方向）相同，因此△CDE和△CAB互为顺相似；如图（2），△CDE∽△CBA，且沿周界CDEC与CBAC环绕的方向相反，因此△CDE和△CBA互为逆相似．（1）根据以上材料填空：①如图（3），AB∥CD，则△AOB∽△COD，它们互为相似（填“顺”或“逆”，下同）；②如图（4），Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则△ABC∽，它们互为相似；③如图（5），若∠DAB＝∠EBC＝90°，并且BD⊥CE于点F，则△ABD∽，它们互为相似；（2）如图（6），若△AOB∽△COD，指出图中另外的一对相似三角形并说明理由，同时指出它们互为顺相似还是互为逆相似；（3）如图（7），在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝15，点P在△ABC的斜边上，且AP＝16，过点P画直线截△ABC，使截得的一个三角形与△ABC相似，则满足的截线共有条．【答案】（1）①逆；②△ACD或△CBD，逆；③△BCE，顺；（答案不唯一）；（2）△AOC∽△BOD，理由见解析；△AOC和△BOD互为顺相似；（3）3．【分析】（1）①根据新定义直接判断，即可得出结论；②先判断出∠ADC=∠BDC=90°=∠ACB，进而分两种情况，判断出两三角形相似，最后根据新定义判断，即可得出结论；③先判断出∠ABD=∠C，进而得出△ABD∽△BCE，最后用新定义判断，即可得出结论；（2）先由△AOB∽△COD，判断出AO OBCO OD=，∠AOB=∠COD，进而得出∠AOC=∠BOD，即可得出结论；（3）先求出BP=9，分三种情况，过点P作AB，AC，BC的垂线，利用相似三角形得出比例式，建立方程求解，即可得出结论．【详解】（1）①∵AB∥CD，∴△AOB∽△COD，∴△AOB和△COD互为逆相似，故答案为：逆；②∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°＝∠ACB，Ⅰ、∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ACD，∴△ABC和△ACD互为逆相似；Ⅱ、∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBD，∴△ABC和△CBD互为逆相似；故答案为：△ACD或△CBD，逆；③∵BD⊥CE，∴∠BFC＝90°，∴∠CBD+∠C＝90°，∵∠EBC＝90°，∴∠CBD+∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠C，∴△ABD∽△BCE，∴△ABD和△BCE互为顺相似；故答案为：△BCE，顺；（2）△AOC∽△BOD，△AOC和△BOD互为顺相似；理由：∵△AOB∽△COD，∴AOCO＝OBOD，∠AOB＝∠COD，∴∠AOB﹣∠BOC＝∠COD﹣∠BOC，∴∠AOC＝∠BOD，∵AOCO＝OBOD，∴OAOB＝OCOD，∴△AOC∽△BOD，∴△AOC和△BOD互为顺相似；（3）在Rt△ABC中，AC＝20，BC＝15，根据勾股定理得，AB ＝25，∵AP＝16，∴BP＝AB﹣AP＝9，如图1，①过点P 作PG ⊥BC 于G ，∴∠BGP ＝90°＝∠ACB ，∵∠B ＝∠B ，∴△ABC ∽△PBG ，∴AB BC BP BG =，∴25159BG =， ∴BG ＝15925⨯＝275＜BC ，∴点G 在线段BC （不包括端点）上， ②过点P 作PG ''⊥AC 于G ''，∴∠AG ''P ＝∠ACB ，∵∠A ＝∠A ，∴△ABC ∽△APG ''，∴AB AC AP AG =''，∴252016AG =''， ∴AG ''＝201625⨯＝645＜AC ，∴点G ''在线段AC （不包括端点）上， ③过点P 作PG '⊥AB ，交直线BC 与G '，交直线AC 于H ，∵∠APG '＝∠APH ＝90°＝∠ACB ，∵∠A ＝∠A ，∴△ABC ∽△G 'BP ，∴AB BC BG BP ='，∴25159BG ='，∴BG '＝25915⨯＝15＝BC ， ∴点G '和点H 都和点C 重合（注：为了说明问题，有意将点G '和点H 没画在点C 处），故答案为：3．【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，新定义的理解和应用，理解新定义、熟练掌握相似三角形的判定和性质是解本题的关键．2．（2022·吉林·中考真题）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．【作业】如图①，直线12l l ∥，ABC V 与DBC △的面积相等吗？为什么？解：相等．理由如下：设1l 与2l 之间的距离为h ，则12ABC S BC h =⋅，12DBC S BC h =⋅△．∴ABC DBC S S =V V ．【探究】(1)如图②，当点D 在1l ，2l 之间时，设点A ，D 到直线2l 的距离分别为h ，h '，则ABC DBC S h S h ='△△．证明：∵ABC S V(2)如图③，当点D 在1l ，2l 之间时，连接AD 并延长交2l 于点M ，则ABC DBC S AM S DM=△△．证明：过点A 作AE BM ⊥，垂足为E ，过点D 作DF BM ⊥，垂足为F ，则90AEM DFM ∠=∠=︒，∴AE ∥ ．∴AEM △∽ ． ∴AE AM DF DM=． 由【探究】（1）可知ABC DBC S S =△△ ，∴ABC DBC S AM S DM =△△． (3)如图④，当点D 在2l 下方时，连接AD 交2l 于点E ．若点A ，E ，D 所对应的刻度值分别为5，1.5，0，ABC DBCS S △△的值为 ．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)73【分析】（1）根据三角形的面积公式可得11,22ABC DBC S S BC h BC h '=⋅=⋅V V ，由此即可得证； （2）过点A 作AE BM ⊥，垂足为E ，过点D 作DF BM ⊥，垂足为F ，先根据平行线的判定可得AE DF P，再根据相似三角形的判定可证AEM DFM ~V V ，根据相似三角形的性质可得AE AM DF DM=，然后结合【探究】（1）的结论即可得证； （3）过点A 作AM BC ⊥于点M ，过点D 作DN BC ⊥于点N ，先根据相似三角形的判定证出AME DNE ~，再根据相似三角形的性质可得73AM AE DN DE ==，然后根据三角形的面积公式可得12ABC S BC AM =⋅V ，12DBC S BC DN =⋅V ，由此即可得出答案． (1)证明：12ABC S BC h =⋅V Q ，12DBC BC h S '=⋅V ，ABC DBC S h S h ∴='V V ． (2)证明：过点A 作AE BM ⊥，垂足为E ，过点D 作DF BM ⊥，垂足为F ，则90AEM DFM ∠=∠=︒，AE DF ∴∥．AEM DFM ~∴V V ．AE AM DF DM ∴=． 由【探究】（1）可知ABC DBC SAE S DF=，ABC DBC S AM S DM ∴=． (3)解：过点A 作AM BC ⊥于点M ，过点D 作DN BC ⊥于点N ，则90AMEDNE ∠=∠=︒，AM DN ∴，AME DNE ∴~，AM AE DN DE∴=， Q 点,,A E D 所对应的刻度值分别为5，1.5，0，5 1.5 3.5AE ∴=−=， 1.5DE =， 3.571.53AM DN ∴==， 又12ABC S BC AM =⋅V Q ，12DBC S BC DN =⋅V ， 73ABC DBC SAM S DN =∴=，故答案为：73． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的判定、三角形的面积等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．3．（2022·上海·九年级专题练习）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，60BAC ∠=︒，6AC =，AD 平分BAC ∠，交边BC 于点D ，过点D 作CA 的平行线，交边AB 于点E ．（1）求线段DE 的长；（2）取线段AD 的中点M ，联结BM ，交线段DE 于点F ，延长线段BM 交边AC 于点G ，求EF DF的值． 【答案】（1）4；（2）23【分析】（1）分别求出CD ，BC ，BD ，证明BDE BCA V V ∽，根据相似性质即可求解； （2）先证明DF AG =，再证明BEF BAG △∽△，根据相似三角形性质求解即可．【详解】解：（1）∵AD 平分BAC ∠，60BAC ∠=︒，∴30DAC ∠=︒．在Rt ACD ∆中，90ACD ∠=︒，30DAC ∠=︒，6AC =，∴CD =在Rt ACB ∆中，90ACB ∠=︒，60BAC ∠=︒，6AC =，∴BC =∴BD BC CD =−=//DE CA ，∴BDE BCA V V ∽∴23DE BD CA BC ==．∴4DE =．（2）∵点M 是线段AD 的中点，∴DM AM =．∵//DE CA ，∴DFM AGM △∽△∴DF DM AG AM =．∴DF AG =． ∵//DE CA ，∴BEF BAG △∽△∴23EF BE BD AG BA BC ===∴23EF DF =． 【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形性质，相似的判定与性质，解题的关键是能根据题意确定相似三角形，并根据相似性质解题．4．（2022·上海市奉贤区古华中学九年级期中）已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，在边AB 的延长线上截取BE ＝AB ，点F 在AE 的延长线上，CE 和DF 交于点M ，BC 和DF 交于点N ，联结BD ．（1）求证：△BND ∽△CNM ；（2）如果AD 2＝AB •AF ，求证：CM •AB ＝DM •CN ．【分析】（1）利用平行四边形的性质得AB =CD ，AB ∥CD ，再证明四边形BECD 为平行四边形得到BD ∥CE ，根据相似三角形的判定方法，由CM ∥DB 可判断△BND ∽△CNM ； （2）先利用AD 2=AB •AF 可证明△ADB ∽△AFD ，则∠1=∠F ，再根据平行线的性质得∠F =∠4，∠2=∠3，所以∠3=∠4，加上∠NMC =∠CMD ，于是可判断△MNC ∽△MCD ，所以MC ：MD =CN ：CD ，然后利用CD =AB 和比例的性质即可得到结论．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，AB ∥CD ，而BE =AB ， ∴BE =CD ，而BE∥CD，∴四边形BECD为平行四边形，∴BD∥CE，∵CM∥DB，∴△BND∽△CNM；（2）∵AD2=AB•AF，∴AD：AB=AF：AD，而∠DAB=∠F AD，∴△ADB∽△AFD，∴∠1=∠F，∵CD∥AF，BD∥CE，∴∠F=∠4，∠2=∠3，∴∠3=∠4，而∠NMC=∠CMD，∴△MNC∽△MCD，∴MC：MD=CN：CD，∴MC•CD=MD•CN，而CD=AB，∴CM•AB=DM•CN．【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．在运用相似三角形的性质时主要利用相似比计算线段的长．也考查了平行四边形的判定与性质．5．（2022•安庆模拟）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．（1）如图①，若四边形ABCD为矩形，过点O作OE⊥BC，求证：OE＝CD．（2）如图②，若AB∥CD，过点O作EF∥AB分别交BC、AD于点E、F．求证：＝2．（3）如图③，若OC平分∠AOB，D、E分别为OA、OB上的点，DE交OC于点M，作MN ∥OB交OA于一点N，若OD＝8，OE＝6，直接写出线段MN长度．【分析】（1）由OE⊥BC，DC⊥BC，可知EO∥CD，且OB＝OD，可得结论；（2）由△DFO∽△DAB，得，同理，，，利用等式的性质将比例式相加，从而得出结论；（3）作DF∥OB交OC于点F，连接EF，可知△ODF是等腰三角形，得DO＝DF＝8，由△DMF∽△EMO，可得EM＝，由△DMN∽△DOE，得，从而得出答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴O是AC中点，AB⊥BC，∵OE⊥BC，∴OE∥AB，∴E是BC中点，∴OE＝；（2）证明：∵EF∥AB，∴△DFO∽△DAB，∴，同理，，，∴＝，∴，即；（3）解：作DF∥OB交OC于点F，连接EF，∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC，∵DF∥OB，∴∠DFO＝∠BOC＝∠AOC，∴△ODF是等腰三角形，∴DO＝DF＝8，∵DF∥OE，∴△DMF∽△EMO，∴，∴EM＝，∴，∵MN∥OE，∴△DMN∽△DOE，∴，∴，∴MN＝．【点评】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，对比例式进行恒等变形是解题的关键．6．（2022•重庆中考模拟）问题提出：如图1，D、E分别在△ABC的边AB、AC上，连接DE，已知线段AD＝a，DB＝b，AE＝c，EC＝d，则S△ADE，S△ABC和a，b，c，d之间会有怎样的数量关系呢？问题解决：探究一：（1）看到这个问题后，我们可以考虑先从特例入手，找出其中的规律．如图2，若DE ∥BC ，则∠ADE ＝∠B ，且∠A ＝∠A ，所以△ADE ∽△ABC ，可得比例式：a c a b c d =++而根据相似三角形面积之比等于相似比的平方．可得()22ADE ABC S a S a b =+V V ．根据上述这两个式子，可以推出：()()()22ADE ABC S a a a a c ac S a b a b a b c d a b c d a b ==⋅=⋅=+++++++V V ． （2）如图3，若∠ADE ＝∠C ，上述结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；着不成立，请说明理由．探究二：回到最初的问题，若图1中没有相似的条件，是否仍存在结论：()()ADE ABC S ac S a b c d =++V V 方法回顾：两个三角形面积之比，不仅可以在相似的条件下求得，当两个三角形的底成高具有一定的关系时，也可以解决．如图4，D 在△ABC的边上，做AH ⊥BC 于H ，可得：1212ABDADC BD AH S BD S DC DC AH ⋅==⋅V V ．借用这个结论，请你解决最初的问题． 延伸探究：（1）如图5，D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 反向延长线上，连接DE ，已知线段AD ＝a ，AB ＝b ，AE ＝c ，AC ＝d ，则ADE ABCS S =V V ．（2）如图6，E 在△ABC 的边AC 上，D 在AB 反向延长线上，连接DE ，已知线段AD ＝a ，AB ＝b ，AE ＝c ，AC ＝d ，ADE ABCS S =V V ． 结论应用：如图7，在平行四边形ABCD 中，G 是BC 边上的中点，延长GA 到E ，连接DE 交BA 的延长线于F ，若AB ＝5，AG ＝4，AE ＝2，▱ABCD 的面积为30，则△AEF 的面积是 ．【答案】探究一：（2）见解析；延伸探究：（1）ac bd ;（2）ac bd ；结论应用： 32【分析】问题解决：探究一（2）：参照（1）中证明方法解答即可；探究二，过D 、B 点分别作,DM AC BN AC ⊥⊥,垂足分别为M 、N ，然后按照探究一中方法证明即可；延伸探究：（1）过D 、B 点分别作,DM AC BN AC ⊥⊥,垂足分别为M 、N ，然后按照探究一中方法证明即可；（2）过D 、B 点分别作,DM AC BN AC ⊥⊥,垂足分别为M 、N ，然后按照探究一中方法证明即可；结论应用：取AD 的中点M ，连接GM 并延长交DE 于点N ，连接DG ，可得15ADG S =V ,根据题意，进而得出152ADE S =V ,根据AM =DM ,MN AF ∥,可得FN =DN ，根据AE =2，AG =4，GN AF ∥，可得FN =2EF ，进而可得ED =5EF ，即可得出1352AEF ADE S S ==V V ． 【详解】解：问题解决：探究一：（2）成立，理由如下：∵∠ADE ＝∠C ，∠A ＝∠A ，∴ADE ACB V V ∽,∴a c c d a b =++， ∴()22()()ADE ABC S b a S c a c ac c d a b c d a d =+=++++=V V g ； 探究二：过D 、B 点分别作,DM AC BN AC ⊥⊥,垂足分别为M 、N ，∵,DM AC BN AC ⊥⊥，∴//DM BN ,∴AD DM a AB BN a b==+,121()()2ADEABC AE DM S AE DM c a ac S AC BN c d a b a b c d AC BN ⨯==⨯=⨯=++++⨯V V ；延伸探究：（1）过D 、B 点分别作,DM AC BN AC ⊥⊥,垂足分别为M 、N ，∵,DM AC BN AC ⊥⊥，∴//DM BN ,∴AD DM a AB BN b==,1212ADEABC AE DM S AE DM c a ac S AC BN d b bd AC BN ⨯==⨯=⨯=⨯V V ； （2）过D 、B 点分别作,DM AC BN AC ⊥⊥,垂足分别为M 、N ，∵,DM AC BN AC ⊥⊥，∴//DM BN ,∴AD DM a AB BN b==,1212ADEABC AE DM S AE DM c a ac S AC BN d b bd AC BN ⨯==⨯=⨯=⨯V V ; 结论应用：取AD 的中点M ，连接GM 并延长交DE 于点N ，连接DG ，∴AM =DM ，1152ADG ABCD S S ==V 平行四边形，∵AE =2，AG =4，∴11522ADE ADG S S ==V V , ∵AM =DM ,MN AF P ,∴FN =DN ，∵AE =2，AG =4，GN AF ∥,∴12EF AE FN AG ==,即：FN =2EF ,∴ED =5EF ，∴1352AEF ADE S S ==V V ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例等知识点，熟练运用相似三角形的性质是解题的关键．7．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，记COD △的面积为1S ，AOB V 的面积为2S ．（1）问题解决：如图①，若AB //CD ，求证：12⋅=⋅S OC OD S OA OB（2）探索推广：如图②，若AB 与CD 不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图③，在OA 上取一点E ，使OE OC =，过点E 作EF CD ∥交OD 于点F ，点H 为AB 的中点，OH 交EF 于点G ，且2=OG GH ，若56=OE OA ，求12S S 值．【答案】（1）见解析；（2）（1）中的结论成立，理由见解析：（3）2554【分析】（1）如图所示，过点D 作AE ⊥AC 于E ，过点B 作BF ⊥AC 于F ，求出sin sin DE OD DOE BF OB BOF =⋅=⋅∠，∠，然后根据三角形面积公式求解即可； （2）同（1）求解即可；（3）如图所示，过点A 作AM EF ∥交OB 于M ，取BM 中点N ，连接HN ，先证明△OEF ≌△OCD ，得到OD =OF ，证明△OEF ∽△OAM ，得到5==6OF OE OM OA ，设55OE OC m OF OD n ====，，则66OA m OM n ==，，证明△OGF ∽△OHN ，推出31522n ON OF ==，32n BN MN ON OM ==−=，则9OB ON BN n =+=，由（2）结论求解即可．【详解】解：（1）如图所示，过点D 作AE ⊥AC 于E ，过点B 作BF ⊥AC 于F ， ∴sin sin DE OD DOE BF OB BOF =⋅=⋅∠，∠，∴111===sin 22OCD S S OC DE OC OD DOE ⋅⋅⋅△∠， 211==sin 22AOB S S OA BF OA OB BOF ⋅=⋅⋅△∠， ∵∠DOE =∠BOF ，∴sin sin DOE BOF ∠=∠； ∴121sin 2==1sin 2OC OD DOE S OC OD S OA OBOA OB BOF ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∠∠；（2）（1）中的结论成立，理由如下：如图所示，过点D 作AE ⊥AC 于E ，过点B 作BF ⊥AC 于F ，∴sin sin DE OD DOE BF OB BOF =⋅=⋅∠，∠， ∴111===sin 22OCD S S OC DE OC OD DOE ⋅⋅⋅△∠， 211==sin 22AOB S S OA BF OA OB BOF ⋅=⋅⋅△∠， ∵∠DOE =∠BOF ，∴sin sin DOE BOF ∠=∠； ∴121sin 2==1sin 2OC OD DOE S OC OD S OA OBOA OB BOF ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∠∠； （3）如图所示，过点A 作AM EF ∥交OB 于M ，取BM 中点N ，连接HN ，∵EF CD ∥，∴∠ODC =∠OFE ，∠OCD =∠OEF ，又∵OE =OC ，∴△OEF ≌△OCD （AAS ），∴OD =OF ，∵EF AM ∥，∴△OEF ∽△OAM ，∴5==6OF OE OM OA ， 设55OE OC m OF OD n ====，，则66OA m OM n ==，，∵H 是AB 的中点，N 是BM 的中点，∴HN 是△ABM 的中位线，∴HN AM EF ∥∥，∴△OGF ∽△OHN ，∴OG OF OH ON=，。

专题10 相似三角形小题重难点题型分类-高分必刷题（解析版）专题简介：本份资料包含《相似》这一模块在各次期中、期末考试中常考的填空、选则题，具体包含的题型有：同A 字模型、8字模型、相似三角形的判定、反A 模型、射影定理、一线三等角模型、位似图形、相似比与周长比面积比关系这8类题型，适合培训机构辅导老师辅导学生时使用或者学生考前刷题使用。

题型一：A 字模型1.(师大)如图，D ，E 分别是ABC ∆中AB ，AC 边上的点，//DE BC ，下列结论错误的是( ) A.AD AEAB AC=B.AD AEDB EC=C.AB ACDB EC= D.DE AEBC EC =【解答】解：∵DE ∥BC ，∴，，，△ADE ∽△ABC ，∴．故A ，B ，C 正确，D 错误．故选：D ．2.（北雅）如图，在ABC ∆中，点D E 、分别在AB AC 、上，DE BC ∥，若4,2AD DB ==，则DEBC的值为（ ） A .12 B .23 C .34D .2【解答】解：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴＝，∵AD ＝4，DB ＝2，∴＝＝＝．则的值为．故选：B ．3.(雅礼)若ABC ADE △∽△，若9AB =，6AC =，3AD =，则EC 的长是( ) A.2B.3C.4D.5【解答】解：设EC ＝x ，∵AC ＝6，∴AE ＝6﹣x ，∵△ABC ∽△ADE ，∴，∴，解得：x ＝4，故选：C ．4.(雅礼)如图，小雅同学在利用标杆BE 测量建筑物的高度时，测得标杆BE 高1.2m ，又知2m AB =，16m BC =，则建筑物CD 的高是( ) A.9.6mB.10.8mC.12mD.14m【解答】解：∵AB ＝2m ，BC ＝16m ，∴AB ：BC ＝1：8，∴AB ：AC ＝1：9， ∵EB ∥CD ，∴△ABE ∽△ACD ，∴＝＝，∵BE ＝1.2，∴CD ＝10.8m ，故选：B ．题型二：8字模型5.(雅礼)如图，在□ABCD 中，E 在DC 上，若:2:3DE EC =，则:AF AC = 。

相似三角形典型习题例1 从下面这些三角形中，选出相似的三角形．例2 已知：如图，ABCD 中，2:1:=EB AE ，求AEF ∆与CDF ∆的周长的比，如果2cm 6=∆AEF S ，求CDF S ∆．例3 如图，已知ABD ∆∽ACE ∆，求证：ABC ∆∽ADE ∆．例4 下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？（1）所有的直角三角形都相似． （2）所有的等腰三角形都相似． （3）所有的等腰直角三角形都相似． （4）所有的等边三角形都相似．例5 如图，D 点是ABC ∆的边AC 上的一点，过D 点画线段DE ，使点E 在ABC ∆的边上，并且点D 、点E 和ABC ∆的一个顶点组成的小三角形与ABC ∆相似．尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE 的画法．例6 如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．例7 如图，小明为了测量一高楼MN 的高，在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜，小明沿NA 后退到C 点，正好从镜中看到楼顶M 点，若5.1=AC m ，小明的眼睛离地面的高度为1.6m ，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m ）．例8 格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由．例9 根据下列各组条件，判定ABC ∆和C B A '''∆是否相似，并说明理由：（1）,cm 4,cm 5.2,cm 5.3===CA BC AB cm 28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A ． （2）︒='∠︒='∠︒=∠︒=∠35,44,104,35A C B A ．（3）︒='∠=''=''︒=∠==48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB ．例10 如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据．例11 已知：如图，在ABC ∆中，BD A AC AB ,36,︒=∠=是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AC DC AD ⋅=2．例12 已知ABC ∆的三边长分别为5、12、13，与其相似的C B A '''∆的最大边长为26，求C B A '''∆的面积S ．例13 在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法．小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C 处（如图），然后沿BC 方向走到D 处，这时目测旗杆顶部A 与竹竿顶部E 恰好在同一直线上，又测得C 、D 两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高．你认为这种测量方法是否可行？请说明理由．例14．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A ，再在河的这一边选点B 和C ，使BC AB ⊥，然后再选点E ，使BC EC ⊥，确定BC 与AE 的交点为D ，测得120=BD 米，60=DC 米，50=EC 米，你能求出两岸之间AB 的大致距离吗？例15．如图，为了求出海岛上的山峰AB 的高度，在D 和F 处树立标杆DC 和FE ，标杆的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），并且AB 、CD 和EF 在同一平面内，从标杆DC 退后123步的G 处，可看到山峰A 和标杆顶端C 在一直线上，从标杆FE 退后127步的H 处，可看到山峰A 和标杆顶端E 在一直线上．求山峰的高度AB 及它和标杆CD 的水平距离BD 各是多少？（古代问题）例16 如图，已知△ABC 的边AB ＝32，AC ＝2，BC 边上的高AD ＝3．（1）求BC 的长；（2）如果有一个正方形的边在AB 上，另外两个顶点分别在AC ，BC 上，求这个正方形的面积．相似三角形经典习题答案例1． 解 ①、⑤、⑥相似，②、⑦相似，③、④、⑧相似例2． 解 ABCD 是平行四边形，∴CD AB CD AB =,//，∴AEF ∆∽CDF ∆，又2:1:=EB AE ，∴3:1:=CD AE ，∴AEF ∆与CDF ∆的周长的比是1：3． 又)cm (6,)31(22==∆∆∆AEF CDF AEF S S S ，∴)cm (542=∆CDF S ． 例3 分析 由于ABD ∆∽ACE ∆，则CAE BAD ∠=∠，因此DAE BAC ∠=∠，如果再进一步证明AECAAD BA =，则问题得证．证明 ∵ABD ∆∽ACE ∆，∴CAE BAD ∠=∠．又DAC BAD BAC ∠+∠=∠ ，∴CAE DAC DAE ∠+∠=∠， ∴DAE BAC ∠=∠．∵ABD ∆∽ACE ∆，∴AEACAD AB =． 在ABC ∆和ADE ∆中，∵AEACAD AB ADE BAC =∠=∠,，∴ABC ∆∽ADE ∆ 例4．分析 （1）不正确，因为在直角三角形中，两个锐角的大小不确定，因此直角三角形的形状不同．（2）也不正确，等腰三角形的顶角大小不确定，因此等腰三角形的形状也不同． （3）正确．设有等腰直角三角形ABC 和C B A '''，其中︒='∠=∠90C C ，则︒='∠=∠︒='∠=∠45,45B B A A ，设ABC ∆的三边为a 、b 、c ，C B A '''∆的边为c b a '''、、， 则a c b a a c b a '=''='==2,,2,，∴a ac c b b a a '=''=',，∴ABC ∆∽C B A '''∆． （4）也正确，如ABC ∆与C B A '''∆都是等边三角形，对应角相等，对应边都成比例，因此ABC ∆∽C B A '''∆．答：（1）、（2）不正确．（3）、（4）正确． 例5．解：画法略．例6．分析 本题所叙述的内容可以画出如下图那样的几何图形，即60=DF 厘米6.0=米，12=GF 厘米12.0=米，30=CE 米，求BC ．由于ADF ∆∽ACAF EC DF AEC =∆,，又ACF ∆∽ABC ∆，∴BC GFEC DF =，从而可以求出BC 的长． 解 EC DF EC AE //,⊥ ，∴EAC DAF AEC ADF ∠=∠∠=∠,，∴ADF ∆∽AEC ∆．∴ACAFEC DF =． 又EC BC EC GF ⊥⊥,，∴ABC AGF ACB AFG BC GF ∠=∠∠=∠,,//， ∴AGF ∆∽ABC ∆，∴BC GF AC AF =，∴BCGFEC DF =．又60=DF 厘米6.0=米，12=GF 厘米12.0=米，30=EC 米，∴6=BC 米．即电线杆的高为6米． 例7．分析 根据物理学定律：光线的入射角等于反射角，这样，BCA ∆与MNA ∆的相似关系就明确了．解 因为MAN BAC AN MN CA BC ∠=∠⊥⊥,,，所以BCA ∆∽MNA ∆．所以AC AN BC MN ::=，即5.1:206.1:=MN ．所以3.215.1206.1≈÷⨯=MN （m ）． 说明 这是一个实际应用问题，方法看似简单，其实很巧妙，省却了使用仪器测量的麻烦．例8．分析 这两个图如果不是画在格点中，那是无法判断的．实际上格点无形中给图形增添了条件——长度和角度．解 在格点中BC AB EF DE ⊥⊥,，所以︒=∠=∠90B E ， 又4,2,2,1====AB BC DE EF ．所以21==BC EF AB DE ．所以DEF ∆∽ABC ∆． 说明 遇到格点的题目一定要充分发现其中的各种条件，勿使遗漏．例9．解 （1）因为7128cm 4cm ,7117.5cm 2.5cm ,7124.5cm 3.5cm ==''==''==''A C CA C B BC B A AB ，所以ABC ∆∽C B A '''∆； （2）因为︒=∠-∠-︒=∠41180B A C ，两个三角形中只有A A '∠=∠，另外两个角都不相等，所以ABC ∆与C B A '''∆不相似；（3）因为12,=''='''∠=∠C B BC B A AB B B ，所以ABC ∆相似于C B A '''∆．例10．解 （1）ADE ∆∽ABC ∆ 两角相等； （2）ADE ∆∽ACB ∆ 两角相等；（3）CDE ∆∽CAB ∆ 两角相等； （4）EAB ∆∽ECD ∆ 两边成比例夹角相等； （5）ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等； （6）ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等．例11．分析 有一个角是65°的等腰三角形，它的底角是72°，而BD 是底角的平分线，∴︒=∠36CBD ，则可推出ABC ∆∽BCD ∆，进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系．证明 AC AB A =︒=∠,36 ，∴︒=∠=∠72C ABC ． 又BD 平分ABC ∠，∴︒=∠=∠36CBD ABD ．∴BC BD AD ==，且ABC ∆∽BCD ∆，∴BC CD AB BC ::=，∴CD AB BC ⋅=2，∴CD AC AD ⋅=2． 说明 （1）有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边．（2）要说明线段的乘积式cd ab =，或平方式bc a =2，一般都是证明比例式，b dc a =，或caa b =，再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式．例12分析 由ABC ∆的三边长可以判断出ABC ∆为直角三角形，又因为ABC ∆∽C B A '''∆，所以C B A '''∆也是直角三角形，那么由C B A '''∆的最大边长为26，可以求出相似比，从而求出C B A '''∆的两条直角边长，再求得C B A '''∆的面积．解 设ABC ∆的三边依次为，13,12,5===AB AC BC ，则222AC BC AB += ，∴︒=∠90C ．又∵ABC ∆∽C B A '''∆，∴︒=∠='∠90C C ．212613==''=''=''B A AB C A AC C B BC ， 又12,5==AC BC ，∴24,10=''=''C A C B ． ∴12010242121=⨯⨯=''⨯''=C B C A S ．例13．分析 判断方法是否可行，应考虑利用这种方法加之我们现有的知识能否求出旗杆的高．按这种测量方法，过F作AB FG ⊥于G ，交CE 于H ，可知AGF ∆∽EHF ∆，且GF 、HF 、EH 可求，这样可求得AG ，故旗杆AB 可求．解 这种测量方法可行．理由如下：设旗杆高x AB =．过F 作AB FG ⊥于G ，交CE 于H （如图）．所以AGF ∆∽EHF ∆．因为3,30327,5.1==+==HF GF FD ，所以5.1,25.15.3-==-=x AG EH ．由AGF ∆∽EHF ∆，得HF GF EH AG =，即33025.1=-x ，所以205.1=-x ，解得5.21=x （米） 所以旗杆的高为21.5米．说明 在具体测量时，方法要现实、切实可行． 例14. 解：︒=∠=∠∠=∠90,ECD ABC EDC ADB ，∴ABD ∆∽ECD ∆，1006050120,=⨯=⨯==CD EC BD AB CD BD EC AB （米），答：两岸间AB 大致相距100米． 例15. 答案：1506=AB 米，30750=BD 步，（注意：AK FEFHKE AK CD DG KC ⋅=⋅=,．） 例16. 分析：要求BC 的长，需画图来解，因AB 、AC 都大于高AD ，那么有两种情况存在，即点D 在BC 上或点D 在BC 的延长线上，所以求BC 的长时要分两种情况讨论．求正方形的面积，关键是求正方形的边长． 解：（1）如上图，由AD ⊥BC ，由勾股定理得BD ＝3，DC ＝1，所以BC ＝BD ＋DC ＝3＋1＝4． 如下图，同理可求BD ＝3，DC ＝1，所以BC ＝BD －CD ＝3－1＝2．（2）如下图，由题目中的图知BC ＝4，且162)32(2222=+=+AC AB ，162=BC ，∴222BC AC AB =+．所以△ABC 是直角三角形．由AE G F 是正方形，设G F ＝x ，则FC ＝2－x ， ∵G F ∥AB ，∴AC FC AB GF =，即2232x x -=． ∴33-=x ，∴3612)33(2-=-=AEGF S 正方形． 如下图，当BC ＝2，AC ＝2，△ABC 是等腰三角形，作CP ⊥AB 于P ，∴AP ＝321=AB ，在Rt △APC 中，由勾股定理得CP ＝1， ∵GH ∥AB ，∴△C GH ∽△CBA ，∵x xx -=132，32132+=x ∴121348156)32132(2-=+=GFEH S 正方形因此，正方形的面积为3612-或121348156-．。

教师辅导教案授课日期：年月日授课课时：课时△ ABC与厶AB C ■相似，AH是厶ABC中BC边上的高线，AH ■是△ ABC ■中BC ■边上的高线，则有AB _ BC AB^BCAC AHk =AC AH（k为相似比）.进而可得S∆ ABCS∆ ABC1BC AH211BC AH2BC AH 2kBC AH、相似三角形的判定1.平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.2•如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似•可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似.3•如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.4. 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似.可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似.5. 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.6•直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7.如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底三、相似证明中的基本模型A字形图①A字型，DE//BC ;结论: AD _ AE _ DE AB 一AC 一BC，【例1】李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是（）已知：如图，在∆ABC中，点D, E, F分别在边AB, AC, BC上，且DE// BC, DF// AC, 求证：∆ADEs∆ DBF.证明：①又∙∙∙DF//AC,②∙∙∙DE// BC,③∙∙∙∠ A= ∠ BDF,④∙∙∙∠ ADE=∠ B,A.③②④①B.②④①③C.③①④②D.②③④①【解答】证明：②I DE// BC,④∙∠ADE=∠ B,①又∙∙∙DF// AC,③∙∠A= ∠ BDF,•••△ ADE^∆DBF.故选：B.故选：A .【练1】如图，在△ ABC 中，∠ ACB=90, BC=16cm, AC=12cm ,点P 从点B 出发，以2cm∕秒的速度向点 C 移 动，同时点Q 从点C 出发，以1cm∕秒的速度向点 A 移动，设运动时间为与厶ABC 相似.【解答】 解：CP 和CB 是对应边时，△ CPQ^△ CBA 所以，C e ICB CA即-■ -I --t1512解得t=4.8;CP 和CA 是对应边时，△ CPQ^△ CAB, 所以，丄二二，CA CBIMtt 12^16 解得t=-综上所述，当t=4.8或斤一时，△ CPQ 与厶CBA 相似. 故答案为4.8或〒二.AE AD DE 图②反A 字型，∠ ADE ∠ B 或∠仁∠B 结论：==AC AB BCt 秒，当t= 4.8或空秒时，△ CPQ---------- 11-【例2】如同，在△ ABC 中，点D , E 分别在边AB , AC 上，下列条件中不能判断厶 ABC^△ AED 的是（ ）AD AE AB =AC AD AC-'AB【解答】 解：τ∠ DAE=∠ CAB,•••当∠ AED=∠ B 或∠ ADE=∠ C 时，△ ABC ^△ AED; AD .AC'AE∙≠∙件二 ι∙WA . B.C.∠ ADE=∠ C D .∠ AED=∠ B时，△ ABC ^△ AED. 当—昱L 二一―即【例3】如图，P 是厶ABC 的边AB 上的一点.（不与A 、B 重合）当∠ ACP=∠ B 时，△ APC 与厶ABC 是否相 似；当 AC AP 、AB 满足 丄二丄 时，△ ACP 与厶ABC 相似.— AC AB-【解答】解：τ∠ A= ∠ A ,∠ ACP=∠ B ,故答案为：B ；寺二二【练习1】如图，D 、EABC 的边AC 、AB 上的点，当 ∠ ADE=∠ B 时，△ ADE ^△ ABC.其 中D 、E 分别对应B 、C.（填一个条件）. 【解答】解：当∠ ADE=∠ B ,∙∠ EAD=∠ CAB,• △ ADE ^△ ABC. 故答案为∠ ADE=∠ B .【练习2】如图，在△ ABC 中，D E 分别在AB 与AC 上，且AD=5, DB=7, AE=6, EC=4 求证：△ ADE ^△ ACB.【解答】证明：• AD=5, DB=7, AE=6, EC=4, • AB=5+7=12, AC=6+4=10,.AD = 5 _1 AE = 6 _1 • AC 10 T r AB 12 = 2， .AP =Ag• AC AB ， 又∙∠ A= ∠ A , • △ ADE ^△ ACB.【练习3】如图，AB=AC, ∠ A=36° , BD 是∠ ABC 的角平分线，求证：△ ABC^△ BCD. 【解答】证明：• AB=AC, ∠ A=36°, ∙∠ ABC=∠ C=72 , • BD 是角平分线，∙∠ ABD=∠ DBC=36 , ∙∠ A= ∠ CBD, 又∙∠ C=∠ C, • △ ABC^△ BCD.•丄二丄''[I∠ A= ∠ A ,【练习4】已知：如图，△ ABC 中，∠ ACD=∠ B ,求证：△ ABC^△ ACD. 【解答】 证明：τ∠ ACD=∠ B ,∠ A= ∠ A ,【例4】如图，在△ ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，∠ AED=∠ ABC,∠ BAC 的平分线 AF 交DE 于点G ,• △ ABC^△ AED.τ∠ AED=∠ ABC,∠ EAG=∠ BAF,• △ AEG^△ ABF.【练习5】如图，已知 AD?AC=AB?AE 求证：△ ADE^△ ABC. 【解答】证明：I AD?AC=AE?AB— =AEAB AC在厶ABC 与厶ADE 中 ■: 一.AEAB AC• △ ABC^△ ADE.【练习6】已知：如图，在厶ABC 中，D , E 分别为AB 、AC 边上的点，且AD 匚AE,连接DE.若AC=4, AB=5.求 证：△ ADE ^△ ACB【解答】证明：∙∙∙ AC=3, AB=5, ADjL 匕,5.AC _ AB厂-Λ,τ∠ A= ∠ A ,• △ ADE ^△ ACB.图③双A 字型交BC 于点F .(1)试写出图中所有的相似三角形，并说明理由.3'2BC的值. 【解答】 解：(1 )∙∙∙∠ AED=∠ ABC,∠ EAD=∠ BAC,,∠ A= ∠ A , R3(2)若,求小τ∠ EDG=∠ ACF, ∠ DAG=∠ CAF , •••△ ADG sA ACF.•••△ ADG sA ACF,」丄 .A.-. 3GF 5【练习1】如图，在△ ABC 中，D 、E 分别是 AB 、AC 上的点，AE=4, AB=6, AD : AC=2: 3,A ABC 的角平分线AF 交DE 于点G ，交BC 于点F .(1) 请你直接写出图中所有的相似三角形； (2) 求AG 与GF 的比.【解答】 解：(1 )△ ADG sA ACF △ AGE^A AFB,A ADE sA ACB;(2).• AE _4」2 AD _2(∙ TiTE =可，疋=可胚. -AE)AB '又 τ∠ DAE=∠ CAB,• △ ADE sA ACB,∙∠ ADG=∠ C ,∙∙∙ AF 为角平分线，∙∠ DAG=∠ FAE• △ ADG sA ACF,AG. 3GF 2(2)AG . Ar 2 ^^' AC 3 =2.AG GF图④内含正方形 A 字形，结论AH a=_^ ( a 为正方形边长) AH BC【例5】如图，△ ABC ,是一张锐角三角形的硬纸片， AD 是边BC 上的高，BC=40cm,AD=30cm ,从这张硬纸片上剪下一个长 HG 是宽HE 的2倍的矩形EFGH 使它的一边EF 在BC 上，顶点 G 、H 分别在 AC, AB 上，AD 与HG 的交点为 M .(2)的周长;(3)是否存在一个实数 a ,当HEFa 时从三角形硬纸片上剪下的矩形面积最大？若存在,请说明理由.【解答】(1)证明：•••四边形 HEFG 为矩形, ∙∙∙ HG // EF, 而 AD ⊥ BC,∙ AM 丄 BC, •••△ AHGsA ABC,AJfl HGAD - S BC(2)解：设 HE=X HG=2X,•这个矩形 EFGH 的周长=2x+4x=6x=72 (Cm );(3) 存在.AD BC(1)求证:30-x i 2x30 - _40,解得x=12,则30-a . .HG 30当HE=a,则• HG=- 430_ 2X 〔申 即当HEF Cm 时从三角形硬纸片上剪下的矩形面积最大.4• S 矩形 HEFG Fa (- a+30) F -a 2+30a ,当a=- 454时，S 矩形HEFG 最大, 试求出a ；若不存在,【练习1】如图，△ ABC ,是一张锐角三角形的硬纸片， AD 是边BC 上的高，BC=80cm , AD=60cm ,从这张硬纸片上剪下一个长 HG 是宽HE 的2倍的矩形EFGH 使它的一边 EF 在BC 上，顶点G 、H 分别在AC, AB 上,AD 与HG 的交点为M .(2)求这个矩形 EFG H 的面积.∙∙∙ EF// GH, ∙∙∙∠ AHG=∠ ABC,又 τ∠ HAG=∠ BAC,AJI L L … ADBC(2)解：设 HE=XCm, MD=HE=xcm , ■/ AD=60cm ,• AM= (60 - x ) Cm , ∙∙∙ HG=2HE, • HG=2xcm,AD ~BC'解得，x=24, 故 HE=24, HG=2x=48, 则矩形 EFGH 的面积=24 × 12=1152cm 2.【例6】如图，在△ ABC 中，D 为AC 上一点，E 为CB 延长线上一点，且 求证：AD=EB【解答】证明：过D 点作DH / BC 交AB 于H,如图, ∙/ DH // BC, • △ AHD ^△ ABC,∙/ DH // BE ,M L .HG AD BC的理由;(1)试说明:&0-x. -2x60 ' SO可得【解答】(1)证明：I 四边形 EFG H 为矩形,AD DH AC CS B CAD ACBC,即GH5DED-2.-EF HD DP , AC EFBC ' -Il =■> DF ADHD DH,∙∙∙ AD=EB.【例7】如图，在△ ABC中，∠ BAC=90, BC的垂直平分线交BC于点E,交CA的延长线于D,交AB于点F,求证：AE=EF?ED【解答】解：τ∠BAC=90 ,∙∠B+∠ C=90, ∠ D+∠ C=90 ,∙∠B=∠ D,∙∙∙ BC的垂直平分线交BC于点E,∠ BAC=90 .• BE=EA∙∠B=∠ BAE∙∠D=∠ BAEτ∠FEA=∠AED,• △ FEA^△ AED,.恆=DE•EP =AE•AE=EF?ED旋转型”相似三角形，如图•若图中∠仁∠ 2,∠ B=∠ D（或∠ C=∠ £）,则厶ADE∞^ABC,该图可看成把第一个图中的△ADE绕点A旋转某一角度而形成的.【例8】如图，在厶ABC与厶ADE中，∠ BAC=∠ D,要使△ ABC与厶ADE相似，还需满足下列条件中的（）AC AB AD=AE AC BC AD==DE【解答】解：τ∠BAC=∠D, • △ ABC^△ ADE.AC ABAD=DEAC ABADAC BCAE ==AEA. B.C D.E故选：C.【练习1】如图所示，在厶ABC 与厶ADE 中，AB?ED=AE?BC 要使△ ABC 与厶ADE 相似，还需要添加一个条件, 这个条件是∠ B=∠ E （答案不唯一）（只加一个即可）并证明.【解答】解：条件①，∠ B=∠ E 证明：∙∙∙ AB?ED=AE?BCAEECAD•••△ ABC^△ AED.故答案为：∠ B=∠ E （答案不唯一）【练习 2】如图，已知：∠ BAC=∠ EAD, AB=20.4, AC=48, AE=17, AD=40. 求证：△ ABC^△ AED.【解答】证明：I AB=20.4, AC=48, AE=17, AD=40. • AB =20. 4 =1 2 AC 座=1 2• AE .,而 40 .， •塑座'二=「，∙∙∙∠ BAC=∠ EAD,• △ ABC^△ AED.【练习3】如图，在△ ABC 和厶ADE 中，已知∠ABC^△ ADE.【解答】 解：如图，τ∠ BAD=∠ CAE, ∙∠ BAD+ ∠ BAE=∠ CAE+ ∠ BAE , 即 ∠ DAE=∠ BAC. 又τ∠ B= ∠ D ,• AB - BCAE F.C∙∙∙∠ B= ∠ E ,• △ ABC^△ AED.条件②, AD==AEAC证明：•• • AB? ED=AE?BC• AB = BCAE EC-AE --- ,AC AB AB =BC = AC B= ∠ D ,∠ BAD=∠ CAE 求证：△C• △ABC^△ADE.【练习4】如图，△ ABC △ DEP是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠ PDE=90 .(1)若将△ DEP的顶点P放在BC上(如图1) , PD PE分别与AC、AB相交于点F、G.求证:(2)若使△ DEP的顶点P与顶点A重合(如图2), PD、PE与BC相交于点F、似吗？为什么？【解答】(1)证明：如图1,•••△ ABC △ DEP是两个全等的等腰直角三角形,∙∙∙∠B=∠ C=∠ DPE=45 ,∙∙∙∠BPG+∠ CPF=135,在厶BPG 中，τ∠B=45,∙∠BPG+∠ BGP=135 ,∙∠BGP=∠ CPF,τ∠B=∠C,•••△ PBG∞^ FCP(2)解：△ PBG与厶FCP相似.理由如下：如图2, •••△ ABC △ DEP是两个全等的等腰直角三角形,∙∠B=∠C=∠DPE=45 ,∙∙∙∠ BGP=∠C+∠CPG=45 + ∠CAG,∠CPF=Z FPGF ∠CAG=45 + ∠CAG,∙∠AGP=∠CPF,τ∠B=∠C,•••△ PBG∞^ FCP.课堂小结: △ PBG∞^ FCPG.试问△ PBG与厶FCP还相。

初中数学经典几何模型专题08相似三角形中的基本模型【专题说明】相似三角形本章节内容在初中数学中是一个重点，也是历年中考必考的一个知识点。

复习时我们首先要掌握本章节内容的重难点。

【模型】一、“8”字型及其变形模型展示：(1)如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔ABCD＝OAOC＝OBOD.(2)如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔ABCD＝OAOD＝OBOC.图1图21、如图，在矩形ABCD中，点E为AD的中点，BD和CE相交于点F.如果DF＝2，那么线段BF的长度为____.2、已知：如图，AD·AB＝AF·AC，求证：△DEB∽△FEC.【模型】二、“A ”字型及其变形模型展示：(1)如图1，DE ∥BC ⇔△ADE ∽△ABC ⇔AD AB ＝AE AC ＝DE BC.(2)如图2，∠AE D ＝∠B ⇔△ADE ∽△ACB ⇔AD AC ＝AE AB ＝DE BC.(3)共边共角模型，如图3，∠ACD ＝∠B ⇔△ADC ∽△ACB ⇔AD AC ＝AC AB ＝CD BC.图1图2图31、在△ABC 中，D 为AB 边上一点，且∠BCD ＝∠A .已知BC ＝22，AB ＝3，则BD ＝____.2、如图，已知BE ，CD 是△ABC 的两条高，连接DE ，求证：△ADE ∽△ACB .3、如图，AD与BC相交于点E，点F在BD上，且AB∥EF∥CD，求证：1AB＋1CD＝1EF.【模型】三、“手拉手”旋转型模型展示：如图，若△ABC∽△ADE，则△ABD∽△ACE.1、如图，D为△ABC内一点，E为△ABC外一点，且∠ABC＝∠DBE，∠3＝∠4.求证：(1)△ABD∽△CBE；(2)△ABC∽△DBE.【模型】四、“子母(双垂直)”型模型展示：如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常见的结论有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.1、如图，在R t △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D .如果AC ＝3，AB ＝6，那么A D 的值为()A .32B .92C .332D ．332、如图，AD ∥BC ，AE 平分∠DAB ，BE 平分∠ABC ，EF ⊥AB .证明：△AEF ∽△ABE .【模型】五、“三垂直”模型与“一线三等角”模型模型展示：(1)“三垂直”模型如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE.(2)“一线三等角”模型如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE.特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE.1、如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE.(1)求证：△ABE∽△ECD；(2)若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的长．2、如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动(点E不与点B，C重合)，满足∠DEF＝∠B，且点D，F分别在边AB，AC上．(1)求证：△BDE∽△CEF；(2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC.【基础训练】1.（2019浙江杭州中考）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC，M为BC边上一点（不与点B，C重合），连接AM交DE于点N，则（）A．＝B．＝C．＝D．＝2.如图，在矩形ABCD中，E为AB中点，以BE为边作正方形BEFG，边EF交CD于点H，在边BE上取点M使BM＝BC，作MN∥BG交CD于点L，交FG于点N，欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，现以点F为圆心，FE为半径作圆弧交线段DH于点P，连结EP，记△EPH的面积为S1，图中阴影部分的面积为S2．若点A，L，G在同一直线上，则的值为（）A．B．C．D．3.如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是（）A．2B．3C．4D．54.已知△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，若AD＝10，A'D'＝6，则△ABC与△A'B'C'的周长比是（）A．3：5B．9：25C．5：3D．25：95.如图，在▱ABCD中，点E在对角线BD上，EM∥AD，交AB于点M，EN∥AB，交AD于点N，则下列式子一定正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝6.已知△ABC∽△A'B'C'，AB＝8，A'B'＝6，则＝（）A．2B．C．3D．7.如图，已知△AOB和△A1OB1是以点O为位似中心的位似图形，且△AOB和△A1OB1的周长之比为1：2，点B的坐标为（﹣1，2），则点B1的坐标为（）A．（2，﹣4）B．（1，﹣4）C．（﹣1，4）D．（﹣4，2）（二）填空题1.在△ABC和△A1B1C1中，已知∠C＝∠C1＝90°，AC＝A1C1＝3，BC＝4，B1C1＝2，点D、D1分别在边AB、A1B1上，且△ACD≌△C1A1D1，那么AD的长是．2.如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起10cm，已知杠杆的动力臂AC 与阻力臂BC之比为5：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压cm．3.已知正方形ABCD的面积是2，E为正方形一边BC在从B到C方向的延长线上的一点，若CE＝，连接AE，与正方形另外一边CD交于点F，连接BF并延长，与线段DE交于点G，则BG的长为．4.教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．例2如图，在△ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点，AD，CE相交于点G，求证：＝＝证明：连结ED．请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程结论应用：在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为边BC的中点，AE、BD交于点F．（1）如图②，若▱ABCD为正方形，且AB＝6，则OF的长为．（2）如图③，连结DE交AC于点G，若四边形OFEG的面积为，则▱ABCD的面积为．5.如图，A是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一点，点B、D在y轴正半轴上，△ABD是△COD关于点D的位似图形，且△ABD与△COD的位似比是1：3，△ABD的面积为1，则k的值为．6.如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心．位似比为2：3，点B、E在第一象限，若点A的坐标为（1，0），则点E的坐标是．7.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，D是边AB上的一点，E是边AC上的一点（D、E与端点不重合），如果△CDE与△ABC相似，那么CD的长是．8.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠ABC＝90°，且AB＝3，点E是边AB上的动点，当△ADE，△BCE，△CDE两两相似时，则AE＝．【巩固提升】1.在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP 绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．（1）观察猜想如图1，当α＝60°时，的值是1，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60°．（2）类比探究如图2，当α＝90°时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．（3）解决问题当α＝90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值．2.如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，C、E是⊙O上的两点，CE＝CB，∠BCD＝∠CAE，延长AE交BC的延长线于点F．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）求证：CE＝CF；（3）若BD＝1，CD＝，求弦AC的长．3.如图①，在R t△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．求作菱形DEFG，使点D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上．小明的作法1．如图②，在边AC上取一点D，过点D作DG∥AB交BC于点G．2．以点D为圆心，DG长为半径画弧，交AB于点E．3．在EB上截取EF＝ED，连接FG，则四边形DEFG为所求作的菱形．（1）证明小明所作的四边形DEFG是菱形．（2）小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点D的位置变化而变化……请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的CD的长的取值范围．4.阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，点D、E在BC上，AD＝AB，AB＝kBD（其中＜k＜1）∠ABC＝∠ACB+∠BAE，∠EAC的平分线与BC相交于点F，BG⊥AF，垂足为G，探究线段BG与AC的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自已的想法：小明：“通过观察和度量，发现∠BAE与∠DAC相等．”小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段BG与AC的数量关系．”……老师：“保留原题条件，延长图1中的BG，与AC相交于点H（如图2），可以求出的值．”（1）求证：∠BAE＝∠DAC；（2）探究线段BG与AC的数量关系（用含k的代数式表示），并证明；（3）直接写出的值（用含k的代数式表示）．5.已知：如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，D是AO延长线上一点，联结BD并延长交⊙O于点E，联结CD并延长交⊙O于点F．（1）求证：BD＝CD；（2）如果AB2＝AO•AD，求证：四边形ABDC是菱形．6.如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，点M，Q分别是边AB，BC上的动点（点M不与A，B 重合），且MQ⊥BC，过点M作BC的平行线MN，交AC于点N，连接NQ，设BQ为x．（1）试说明不论x为何值时，总有△QBM∽△ABC；（2）是否存在一点Q，使得四边形BMNQ为平行四边形，试说明理由；（3）当x为何值时，四边形BMNQ的面积最大，并求出最大值．7.已知在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（﹣3，0），C（﹣3，8），以线段BC为直径作圆，圆心为E，直线AC交⊙E于点D，连接OD．（1）求证：直线OD是⊙E的切线；（2）点F为x轴上任意一动点，连接CF交⊙E于点G，连接BG；①当tan∠ACF＝时，求所有F点的坐标（直接写出）；②求的最大值．8.在图1，2，3中，已知▱ABCD，∠ABC＝120°，点E为线段BC上的动点，连接AE，以AE为边向上作菱形AEFG，且∠EAG＝120°．（1）如图1，当点E与点B重合时，∠CEF＝°；（2）如图2，连接AF．①填空：∠FAD＝∠EAB（填“＞”，“＜“，“＝”）；②求证：点F在∠ABC的平分线上；（3）如图3，连接EG，DG，并延长DG交BA的延长线于点H，当四边形AEGH是平行四边形时，求的值．专题08相似三角形中的基本模型答案【专题说明】相似三角形本章节内容在初中数学中是一个重点，也是历年中考必考的一个知识点。

模型探究相似三角形考查范围广，综合性强，其模型种类多，其中有关一线三垂直模型在前面的专题已经很详细的讲解，这里就不在重复.模型一、A字型相似模型A字型（平行）反A字型（不平行）模型二、8字型与反8字型相似模型模型三、AX型相似模型（A字型及X字型两者相结合）模型四、共边角相似模型（子母型）模型五、手拉手相似模型考点一、A 字相似模型 【例1】．如图，在△ABC 中，∠A ＝78°，AB ＝4，AC ＝6，将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．➢变式训练 【变式1-1】．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AH ⊥BC 于点H ，与DE 交于点G ．若，则＝ ．例题精讲【变式1-2】.如图，在△ABC中，M是AC的中点，E是AB上一点，AE＝AB，连接EM并延长，交BC 的延长线于D，则＝__________.【变式1-3】．如图，在△ABC中，点D在边AB上，AD＝9，BD＝7．AC＝12．△ABC的角平分线AE交CD于点F．（1）求证：△ACD∽△ABC；（2）若AF＝8，求AE的长度．考点二、8字与反8字相似模型【例2】．如图，AG∥BD，AF：FB＝1：2，BC：CD＝2：1，求的值➢变式训练【变式2-1】．如图，AB∥CD，AE∥FD，AE、FD分别交BC于点G、H，则下列结论中错误的是（）A．B．C．D．【变式2-2】．如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC，BE交于点F．若△AEF的面积为2，则△ABC的面积为（）A．8B．10C．12D．14【变式2-3】.如图，锐角三角形ABC中，∠A＝60°，BE⊥AC于E，CD⊥AB于D，则DE：BC＝．考点三、AX型相似模型（A字型及X字型两者相结合）【例3】.如图，在△ABC中，点D和E分别是边AB和AC的中点，连接DE，DC与BE交于点O，若△DOE的面积为1，则△ABC的面积为（）A．6B．9C．12D．➢变式训练【变式3-1】.如图，DE是△ABC的中位线，F为DE中点，连接AF并延长交BC于点G，若S△EFG＝1，则S△ABC＝．【变式3-2】．如图：AD∥EG∥BC，EG交DB于点F，已知AD＝6，BC＝8，AE＝6，EF＝2．（1）求EB的长；（2）求FG的长．【变式3-3】.如图，已知AB∥CD，AC与BD相交于点E，点F在线段BC上，，．（1）求证：AB∥EF；（2）求S△ABE：S△EBC：S△ECD．模型四、子母型相似模型【例4】.如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且∠APB＝120°，求证：（1）△ACP∽△PDB，（2）CD2＝AC•BD．➢变式训练【变式4-1】.如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．D．【变式4-2】.如图，在△ABC中，点D在AC边上，连接BD，若∠ABC+∠BDC＝180°，AD＝2，CD＝4，则AB的长为（）A．3B．4C．D．2【变式4-3】．如图，边长为4的正方形，内切圆记为圆O，P为圆O上一动点，则P A+PB的最小值为．模型五、手拉手相似模型【例5】.如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，则AD：BE的值为．➢变式训练【变式5-1】.如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ADE．求证：（1）△BAC∽△DAE；（2）△BAD∽△CAE．【变式5-2】.如图，点D是△ABC内一点，且∠BDC＝90°，AB＝2，AC＝，∠BAD＝∠CBD＝30°，AD＝．【变式5-3】．如图，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝2，CD＝5，AD ＝kAB（k为常数），则BD的长为．（用含k的式子表示）实战演练1．如图，已知DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是（）A．＝B．C．D．2．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°，AB＝2，DC＝3，则△ABC与△DCA的面积比为（）A．2：3B．2：5C．4：9D．：3．如图，菱形ABCD中，E点在BC上，F点在CD上，G点、H点在AD上，且AE∥HC∥GF．若AH＝8，HG＝5，GD＝4，则下列选项中的线段，何者长度最长？（）A．CF B．FD C．BE D．EC4．如图，在△ABC中，BC＝6，E，F分别是AB，AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于点D，∠CBP的平分线交CE于点Q，当CQ＝CE时，EP+BP的值为（）A．6B．9C．12D．185．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝2，AD＝2，将△ABC绕点C顺时针方向旋转后得△A′B′C，当A′B′恰好经过点D时，△B′CD为等腰三角形，若BB′＝2，则AA′等于（）A．B．2C．D．6．如图，已知，△ABC中边AB上一点P，且∠ACP＝∠B，AC＝4，AP＝2，则BP＝．7．如图，在▱ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是OA的中点，联结BE并延长交AD于点F，如果△AEF的面积是4，那么△BCE的面积是．8．如图，在△ABC中，点G为ABC的重心，过点G作DE∥AC分别交边AB、BC于点D、E，过点D作DF∥BC交AC于点F，如果DF＝4，那么BE的长为．9．如图，已知Rt△ABC中，两条直角边AB＝3，BC＝4，将Rt△ABC绕直角顶点B旋转一定的角度得到Rt△DBE，并且点A落在DE边上，则sin∠ABE＝．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交边BC于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E．（1）求线段DE的长；（2）取线段AD的中点M，联结BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求的值．11．如图，在菱形ABCD中，∠ADE、∠CDF分别交BC、AB于点E、F，DF交对角线AC于点M，且∠ADE＝∠CDF．（1）求证：CE＝AF；（2）连接ME，若＝，AF＝2，求ME的长．12．[问题背景]（1）如图①，已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE．[尝试应用]（2）如图②，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，＝，①填空：＝；②求的值．13．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，AE、AF分别交BD于点M、N，连接EN、EF．（1）求证：△ABN∽△MBE；（2）求证：BM2+ND2＝MN2；（3）①求△CEF的周长；②若点G、F分别是EF、CD的中点，连接NG，则NG的长为．14．问题背景如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；尝试应用如图（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE 相交于点F，点D在BC边上，＝，求的值；拓展创新如图（3），D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB＝4，AC＝2，直接写出AD的长．15．如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的数量关系BG＝DE及所在直线的位置关系BG⊥DE；②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2，如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断；（2）将原题中正方形改为矩形（如图4﹣6），且AB＝a，BC＝b，CE＝ka，CG＝kb（a≠b，k＞0），则线段BG、线段DE的数量关系＝及所在直线的位置关系BG⊥DE；（3）在第（2）题图5中，连接DG、BE，且a＝4，b＝3，k＝，直接写出BE2+DG2的值为．。

教师辅导教案授课日期：年月日授课课时：课时ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线，则有AB BC AC AD k A B B C A C A D ====''''''''（k 为相似比）． 4．相似三角形周长的比等于相似比． ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC ACk A B B C A C A B B C A C++====''''''''''''++． 5．相似三角形面积的比等于相似比的平方．ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AH k A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．进而可得21212ABC A B C BC AHS BC AH k S B C A H B C A H '''⋅⋅==⋅=''''''''⋅⋅△△．二、相似三角形的判定1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似．3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似．5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似． 三、相似证明中的基本模型A 字形图①A 字型，DE//BC ;结论：AD AE DEAB AC BC==， 【例1】李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是（ ）已知：如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，且DE ∥BC ，DF ∥AC ，求证：△ADE∽△DBF．证明：①又∵DF∥AC，②∵DE∥BC，③∴∠A=∠BDF，④∴∠ADE=∠B，∴△ADE∽△DBF．A．③②④① B．②④①③ C．③①④② D．②③④①【解答】证明：②∵DE∥BC，④∴∠ADE=∠B，①又∵DF∥AC，③∴∠A=∠BDF，∴△ADE∽△DBF．故选：B．【练1】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=16cm，AC=12cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度向点C移动，同时点Q从点C出发，以1cm/秒的速度向点A移动，设运动时间为t秒，当t= 4.8或秒时，△CPQ与△ABC相似．【解答】解：CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA，所以，，即，解得t=4.8；CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，所以，，即，解得t=．综上所述，当t=4.8或时，△CPQ与△CBA相似．故答案为4.8或．图②反A字型，∠ADE=∠B或∠1=∠B结论：AE AD DE==AC AB BC【例2】如同，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（）A．=B．=C．∠ADE=∠C D．∠AED=∠B【解答】解：∵∠DAE=∠CAB，∴当∠AED=∠B或∠ADE=∠C时，△ABC∽△AED；当=即=时，△ABC∽△AED．故选：A．【例3】如图，P是△ABC的边AB上的一点．（不与A、B重合）当∠ACP=∠ B 时，△APC与△ABC是否相似；当AC、AP、AB满足时，△ACP与△ABC相似．【解答】解：∵∠A=∠A，∠ACP=∠B，∴△ACP∽△ABC；∵，∠A=∠A，∴△ACP与△ABC；故答案为：B；．【练习1】如图，D、E为△ABC的边AC、AB上的点，当∠ADE=∠B 时，△ADE∽△ABC．其中D、E分别对应B、C．（填一个条件）．【解答】解：当∠ADE=∠B，∵∠EAD=∠CAB，∴△ADE∽△ABC．故答案为∠ADE=∠B．【练习2】如图，在△ABC中，D、E分别在AB与AC上，且AD=5，DB=7，AE=6，EC=4．求证：△ADE∽△ACB．【解答】证明：∵AD=5，DB=7，AE=6，EC=4，∴AB=5+7=12，AC=6+4=10，∴====，∴=，又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB．【练习3】如图，AB=AC，∠A=36°，BD是∠ABC的角平分线，求证：△ABC∽△BCD．【解答】证明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD是角平分线，∴∠ABD=∠DBC=36°，∴∠A=∠CBD，又∵∠C=∠C，∴△ABC∽△BCD．【练习4】已知：如图，△ABC中，∠ACD=∠B，求证：△ABC∽△ACD．【解答】证明：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD．【练习5】如图，已知AD•AC=AB•AE．求证：△ADE∽△ABC．【解答】证明：∵AD•AC=AE•AB，∴=在△ABC与△ADE 中∵=，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADE．【练习6】已知：如图，在△ABC中，D，E分别为AB、AC边上的点，且AD=AE，连接DE．若AC=4，AB=5．求证：△ADE∽△ACB．【解答】证明：∵AC=3，AB=5，AD=，∴，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB．图③双A字型【例4】如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，∠AED=∠ABC，∠BAC 的平分线AF交DE于点G，交BC于点F．（1）试写出图中所有的相似三角形，并说明理由（2）若=，求的值．【解答】解：（1）∵∠AED=∠ABC，∠EAD=∠BAC，∴△ABC∽△AED．∵∠AED=∠ABC，∠EAG=∠BAF，∴△AEG∽△ABF．∵∠EDG=∠ACF，∠DAG=∠CAF，∴△ADG∽△ACF．（2）∵=，∴=，∵△ADG∽△ACF，∴==．【练习1】如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，AE=4，AB=6，AD：AC=2：3，△ABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F．（1）请你直接写出图中所有的相似三角形；（2）求AG与GF的比．【解答】解：（1）△ADG∽△ACF，△AGE∽△AFB，△ADE∽△ACB；（2）∵==，=，∴=，又∵∠DAE=∠CAB，∴△ADE∽△ACB，∴∠ADG=∠C，∵AF为角平分线，∴∠DAG=∠FAE∴△ADG ∽△ACF ， ∴==，∴=2．图④内含正方形A 字形，结论AH a aAH BC-=（a 为正方形边长）【例5】如图，△ABC ，是一张锐角三角形的硬纸片，AD 是边BC 上的高，BC=40cm ，AD=30cm ，从这张硬纸片上剪下一个长HG 是宽HE 的2倍的矩形EFGH ，使它的一边EF 在BC 上，顶点G 、H 分别在AC ，AB 上，AD 与HG 的交点为M ． （1）求证：=；（2）求这个矩形EFGH 的周长；（3）是否存在一个实数a ，当HE=a 时从三角形硬纸片上剪下的矩形面积最大？若存在，试求出a ；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：∵四边形HEFG 为矩形， ∴HG ∥EF ， 而AD ⊥BC ， ∴AM ⊥BC ，。