第十六章二次根式复习课件

a b
二次根式的乘法 积的算术平方根的性质
二次根式的除法 商的算术平方根的性质
ab (a≥0，b≥0), a (a≥0，b＞0) b
3种思想方法：整体思想，转化思想，分类讨论思想
回顾与思考
1．当 x 是怎样的实数时， x 在实数范围内有意义？
2．什么叫最简二次根式？你能举出一些最简二次根 式的例子吗？ 被开方数不含分母；被开方数中不含能开得
a(a 0), 4个性质：( a )2=a(a≥0)；a2 =｜a｜=0(a 0), 积的平方根的性质
a(a 0); 商的平方根的性质 a a (a≥0，b＞0)
bb
ab a b (a≥0，b≥0)；
3种运算：二次根式的乘除运算，二次根式的加减运算，二次根式的混合运算
2个互逆过程： a b
（3）原式 =(2 3 )2 ( 6 )2 （4）原式 =(8 3 - 9 3) 6
=12-6 =6
=- 2 2
复复习习巩巩固固
（5）（2 2 3 3）2 （5）原式 =(2 2)2 + 2 2 2 3 3 + (3 3)2
=8 + 12 6 + 27 =35 + 12 6
复习巩固
（6）（ 3 1 2 - 1 1）2 23 4
解：由题意得：I 2 5 1=30 即I = 6
I≈2.45
答：电流 I 的值约为2.45A.
拓广探索
【选自教材第19页 复习题16 第8题】
8. 已知 n 是正整数， 189n 是整数，求 n 的最小值.
解： 189n 3 3 21 n 又 n 是正整数， 189n也是正整数 所以 n 的最小值是21.
解：由题意得：
πr 2 =πOD2 π(OC 2 OD2 ) π(OB2 OC 2 ) 4

提高练习：
5、已知： 4x2y2-4x6y100,
求23x 9xy2
yx3-x2
15x xxy的值。Fra bibliotek堂小结•
13、认识到我们的所见所闻都是假象，认识到此生都是虚幻，我们才能真正认识到佛法的真相。钱多了会压死你，你承受得了吗?带，带不走，放，放不下。时时刻刻发悲心，饶益众生为他人。
•
14、梦想总是跑在我的前面。努力追寻它们，为了那一瞬间的同步，这就是动人的生命奇迹。
•
8、千万别迷恋网络游戏，要玩就玩好人生这场大游戏。
•
9、过错是暂时的遗憾，而错过则是永远的遗憾！
•
10、人生是个圆，有的人走了一辈子也没有走出命运画出的圆圈，其实，圆上的每一个点都有一条腾飞的切线。
•
11、没有压力的生活就会空虚；没有压力的青春就会枯萎；没有压力的生命就会黯淡。
•
12、我以为挫折、磨难是锻炼意志、增强能力的好机会。——邹韬奋
•
20、每一个成就和长进，都蕴含着曾经受过的寂寞、洒过的汗水、流过的眼泪。许多时候不是看到希望才去坚持，而是坚持了才能看到希望。
•
1、机遇对于有准备的头脑有特别的亲和力。
•
2、不求与人相比，但求超越自己，要哭就哭出激动的泪水，要笑就笑出成长的性格！
•
3、在你内心深处，还有无穷的潜力，有一天当你回首看时，你就会知道这绝对是真的。
复习回顾：
2
12 10
32
3、同类二次根式的定义：
几个二次根式化成最简二次根
式以后，如果被开方数相同，这几 个二次根式就叫做同类二次根式.
巩固练习
5、下列各式中，哪些是同类二次根式？
2 75 1
13

知识点4.二次根的乘除
（1）、积的算术平方根的性质
ab a b (a 0, b 0)
（2）、二次根式的乘法法则
a b ab (a 0, b 0)
（3）、商的算术平方根的性质
a a (a 0, b 0) bb
商的算术平方根等于被除式的算 术平方根除以除式的算术平方根
（4）、二次根式的除法法则
t 的 式 子 ， 它 们 都 是 用 基本 运 算 符 号 （ 基 本 运 算 包 括 加 、 减 、 乘 、除 、 乘 方 和 开 方 ） 把 数 和 表 示 数 的 字 母 连接 起 来 的 式 子 ，
我 们 称 这 样 的 式 子 为代 数 式 .
变式练习：
1、式子 (a 1)2 a 1 成立的条件
例10、计算
(1)2 18 1 18 1 32
2
4
(2)(3 5 4 2) (2 5 3 2)
(3) a2b ab2 a2 b ab a
例11、计算
(1)(2 6 7 2) (7 2 2 6)
(2)(2 3 5)(2 3 5) (3)(2 3 5)2 (2 3 5)2 (4)(3 10 )2005 (3 10 )2005
的式子叫做二次根式，“ ”称为二
次根号， a 称为被开方数。
二次根式
被开方数a≥0；
根指数为2. ( 双重非负性)
典型例题
例1、找出下列各根式中的二次根式。
4
a2 2a 1
3 27
a2 2
(4) 2a 1(a 1)
2
典型例题
例2、x为何值时，下列各式在实数范围内有 意义。
(1) 2x 3 (2) 1 3x (3) (x 5)2
a a (a 0,b 0) bb

3 2 3 1.5 5 木板够宽
情境引入
现有一块长为7.5 dm、宽为5 dm的木板， 能否采用如教教材图16.3-1的方式，在这块 木板上截出两个面积分别是8 dm2和18 dm2 的正方形木板？
问题3：从长方形木板上截取两个正方形木板， 长方形木板够长吗？ 你是如何得出答案的？
8 18 2 2 3 2 (2 3) 2 5 2
七、布置作业
• 1.教材第3页练习1.2题. • 2.教材第5页习题16.1第1题.
第十六章 二次根式
16.1 二次根式
第2课时
一、提出问题
根据算术平方根的意义填空.
1. ( 4) 2 __4_;
1 ( 1 )2 _3__;
3
( 2 )2 _2__;
( 0)2 _0__ .
2. 22 __2_;
化
简
解：（2）（ 12 20）+（ 3- 5）
、
.
去
2 3 2 5+ 3- 5
括 号
、
3 3+ 5
合
并
巩固提高
练习1 计算:
（1） 2 7 6 7
仔细认 真哦！
-4 7
（2） 80- 20+ 5
.
（3） 18+（ 98- 27）
35 10 2-3 3
（4）（ 24+ 0.5）-（ 1 - 6） 8
5 2 5 1.5 7.5
木板够长
情境引入
现有一块长为7.5 dm、宽为5 dm的木板， 能否采用如教材图16.3-1的方式，在这块木 板上截出两个面积分别是8 dm2和18 dm2 的正方形木板？
问题4：观察 8 18的计算过程，你能总结

（ B） D.6个
考点讲练
2.求下列二次根式中字母的取值范围:
(1) x 4 4 x ;
1 (2) x 5 . 3 x
x 4≥0, 解：(1) 由题意，得 4-x≥0，
∴x =4.
x 5 0, (2) 由题意，得 3 x 0,
解得 - 5≤x＜3.
当 a 2 时，原式

22 1 2. 2
专题讲练
专题1 分类讨论思想
例1 已知a是实数，求 a 22 a 12 的值. 解： a 2 2 a 12 a 2 a 1 , 分三种情况讨论： 当a≤-2时，原式=(-a-2)-[-(a-1)]=-a-2+a-1=-3; 当-2＜a≤1时，原式=(a+2)+(a-1)= 2a+1; 当a＞1时，原式=(a+2)-(a-1)=3.
(1) 24 1 1 4 (1 2)0 ; 3 8
(2) 3( 2 3) 24 | 6 3|.
1 2 24 4 1 解：(1)原式 3 4 2 2 2 2.
(2)原式 6 3 2 6 3 6
6.
考点讲练
4. 交警为了估计肇事汽车在出事前的速度，总结出 经验公式 v 16 df ，其中v是车速（单位：千米 每小时），d 是汽车刹车后车轮滑动的距离（单 位：米），f 是摩擦系数．在某次交通事故调查中， 测得d =20米，f =1.2，请你帮交警计算一下肇事 汽车在出事前的速度． 解：由题意，得 v 16 20 1.2 32 6 （千米/时）． 即肇事汽车在出事前的速度是 32 6 千米/时．
但是她的计算结果仍然是正确的，这是为什么？

例5已知 a b 6与 a b 8 互为相反数，
求a、b的值。
解： a b 6 与 a b 8 互为相反数
a b 6 a b 8 0
a b 6 0 a b 8 0
a 1, b 7
三、最简二次根式
3 (5) 2x 1
2 (6) 1 x
(3) ( x 5) 2
(4) x 2 1
(7) x 5 ( x 6)0
解： (1) 2 x 3 0 x
3 3 x ∴当 时， 2 x 3 有意义。 2 2 1 1 (2) 1 3x 0 x ∴当 x 时，1 3x 有意义。 3 3
(3)
2 ∵无论x取何值时， （x 5） 0 。
∴当x取任意实数时，( x 5) 2 有意义。 ( 4) ∵无论x取何值时， x2 1 0 。
∴当x取任意实数时， x2 1 有意义。
例2、x为何值时，下列各式在实数范围内有意义。
(1) 2 x 3 (2) 1 3x
(3) ( x 5) 2
二、二次根式的性质
( a)
2
a (a≥0)
a ( a 0) a 2 a 0 ( a 0) -a (a 0)
例3、计算:
2 (1)( ) 2 3
1 ( 2)( 6 ห้องสมุดไป่ตู้2 2
(3)(2 3)2
(4)(3 x )2
解：(1) (
2 2 2 ) 3 3
1 1 ( 2) ( 6 ) 2 6 3 2 4 2
4 无意义
a 1 2
4 2
2 2
a 2 2a 1 (a 1) 2 a 1

上一级
目录
(4)二次根式的混合运算 ①二次根式的混合运算顺序： 与 实 数 的 混 合 运 算 顺 序 一 样 ， 先 算 __乘__方____ ， 再 算 __乘__除____ ， 最 后 算 __加__减____，有括号的先算括号内的运算(或先去掉括号)； ②在二次根式的混合运算中，实数的运算律、多项式的乘法法则、多项式 的乘法公式仍然适用．
上一级
目录
9．已知等腰三角形的两边长满足 a－4＋b－2＝0，那么这个等腰三角形
的周长为( B )
A．8
B．10
C．8 或 10
D．9
上一级
目录
10．【例】若 y＝ 2－x＋ x－2＋4，求 x2＋y2 的平方根． 解：∵2－x≥0，x－2≥0， 解得 x≤2，x≥2，则 x＝2， ∴y＝4， 故 x2＋y2＝22＋42＝20， ∴x2＋y2 的平方根为± 20 ＝±2 5 .
＝2.
上一级
目录
16．【例】已知 a＝ 7－3，b＝ 7＋3，求下列各式的值：(1)a2－b2； 解：∵a＝ 7 －3，b＝ 7 ＋3， ∴a＋b＝( 7 －3)＋( 7 ＋3)＝2 7 ， a－b＝( 7 －3)－( 7 ＋3)＝－6， ab＝( 7 －3)( 7 ＋3)＝－2， a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝－12 7 ； (2)a2＋b2. 解：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝28＋4＝32.
B．a≤0
C．a<0
D．a≥－2
上一级
目录
题型3 二次根式的性质
7．【例】若实数 a，b，c 在数轴上的对应点如图所示，则 a2＋ b2－|b－c|
的结果是( C )
A．a－c
B．－a－2b＋c

1 (6) x2
(8) 3 x | x | 4
x0
X≤3且X≠-4
3、若数轴上表示数x的点在原点的左边，则化简 |3x+x2| 的结果是（ -2X ）
4、求下列二次根式中字母的取值范围：
(1) a 1 (2) 1
1 2a
(3) (a 3)2
4 2 5x 5 2x 12
6 x 5 3 2x
x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12
2.已知x,y为实数,且
x 1 +3(y-2)2 =0,则x-y的值为( D )
A.3
B.-3
C.1
D.-1
初中阶段的三个非负数：
a (a≥０)
|a|
≥０
a2
a + b = 0 ? a 0,b = 0 a+ | b |= 0 ? a 0,b = 0 a2+ | b |= 0 ? a 0,b = 0 ......
∴ x2 - 2x + 1 = 1- x = 1+ 3
∴当x＝- 3时， x2 - 2x+ 1 = 1+ 3
( a )2 a (a 0)
a2
a
a(a 0) a(a 0)
a2与（ a）2一样吗？
你的理由是什么？
( a )2 a(a 0)
a(a 0)
a2 a a(a 0)
注意区别 a 2 与( a）2
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, a ≥0 ( 双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
式子 S25 ，

2 =3-1+1-4 =-1.
6.(黔西南州中考)阅读材料题:小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成 另一个含根号的式子的平方,如 3+2 2 =(1+ 2 )2,善于思考的小明进行了如下探索: 设 a+b 2 =(m+n 2 )2,(其中 a, b, m, n 均为正整数), 则有 a+b 2 =m2+2mn 2 +2n2, 所以 a=m2+2n2,b=2mn,
(3) 2 3 5 2 - 2 3 5 2 ;
(4) 3
2019
10 3
2019
10
.
解:(3) 2
3
5 2- 2
3
2
5
=[(2- 3 + 5 )+(2+ 3 - 5 )][(2- 3 + 5 )-(2+ 3 - 5 )]=4×(-2 3 +2 5 ) =-8 3 +8 5 .
+
3 )2;
解:(1)m2+3n2,2mn; (2)13,4,1,2等(答案不唯一);
(3)若 a+4 3 =(m+n 3 )2,且 a,m,n 均为正整数,求 a 的值.
解:(3)由b=2mn得4=2mn,则mn=2, a,m,n均为正整数, mn=1×2或mn=2×1, 即m=1,n=2或m=2,n=1, 当m=1,n=2时, a=m2+3n2=12+3×22=13, 当m=2,n=1时, a=m2+3n2=22+3×12=7.
这样,小明找到了把部分 a+b 2 的式子化为平方式的方法.
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题:

第二十一页，共二十九页。
练一练
考点(kǎo diǎn) 讲练
1. 先化简，再求值：1aa224a2a24aa4,其中 a 2 .
a 2 4 a 2 a (a 1)
解：原式 ( a 2 ) ( a 2 ) ( a 2 ) 2
(a 2)(a 1) (a 2)2
(a 2)(a 2) a (a 1)
专题3 类别(lèibié)思想
专题(zhuāntí) 讲练
例3 阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现(fāxiàn)一些含根号的式子可以写成
另一个式子的平方，如 了以下探索：
，善于思考2的小明进行
32 21 2
设
（其2中a、b、m、n均为整数），则有
ab2mn2
这样小明就找到了一种把类似
2 (3)∵(a+3)2≥0，∴a为全体(quántǐ)实数.
(4)由题意，得
a
a≥ 0， ∴a≥0且a≠1.
1 0,
第六页，共二十九页。
考点讲练
求二次根式中字母(zìmǔ)的取值范围的基本依据：
①被开方数(bèi kāi fānɡ shù)大于或等于零；
②分母中有字母时，要保证(bǎozhèng)分母不为零. 练一练
第十页，共二十九页。
考点讲练
例3 实数a、b在数轴(shùzhóu)上的位置如图所示，请化
简|a：| a2 b2.
a0 b
解析:化简此代数式的关键是能准确地判断a、b的符号(fúhào)，
然后利用绝对值及二次根式的性质化简.
解：由数轴可以(kěyǐ)确定a<0,b>0，
∴ |a|a, a2a, b2b.
1.下列各式： 5 ;a 2 ; 3 ;38 ;x 1 (x 1 ) ;x 2 2 x 1

数学·新课标（RJ）
第16章复习 ┃ 知识归类
2．二次根式的性质 ( a)2＝
a
(a≥0)
2 ； a ＝a＝
a
a>0， 0 a＝0， -a a<0.
3．最简二次根式 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． (1)被开方数不含
分母
；
(2)被开方数中不含能
三、分类讨论思想 当解决的问题包含多种情况，又不能一概而论时， 必须按出现的所有情况来分别讨论，得出各种情况下 相应的结论，这种处理问题的思维方法叫做分类讨论 思想. 如:在解决二次根式化简的问题时，有时被开方 数中所含字母的取值范围不确定时，进行不重不漏 的分情况讨论，使问题得以解决.
例4、已知a 是实数，化简
开得尽方
的因数或因式．
数学·新课标（RJ）
第16章复习 ┃ 知识归类
4．二次根式的运算 a· b＝ b>0)． 二次根式加减时，可以先将二次根式化成 最简二次根式 ， 再将
ab
a (a≥0，b≥0)； ＝ b
a b
(a≥0，
被开方数相同
的二次根式进行合并．
数学·新课标（RJ）
二次根式的性质 依据：
第十六章复习
数学·新课标（RJ）
第16章复习 ┃ 知识归类
┃知识归纳┃
1．二次根式的概念 一般地，形如
a
(a≥0)的式子叫做二次根式；
(1)对于二次根式的理解：①带有根号；②被开方数是非负数． (2) a是非负数，即 a≥0. [易错点] (1)二次根式中， 被开方数一定是非负数， 否则就没有 意义； (2) 9是二次根式，虽然 9＝3，但 3 不是二次根式．因此二次 根式指的是某种式子的“外在形态”．

同类二次根式的定义： 几个二次根式化成最简二次 根式以后，如果被开方数相同， 这几个二次根式叫做同类二次 根式.
⑴ 同类二次根式的判断，一般首先需 要把所需判断的二次根式化成最简二次根 式，再观察被开方数是否相同.若相同， 则是同类二次根式，否则不是.
⑵ 几个二次根式是不是同类二次根式， 只与被开方数和根指数有关，而与根号外 的因式或因数无关.
⑶ 只有同类二次根式才可以合并，不 是同类二次根式的不能合并. ⑷ 合并同类二次根式时，将同类二次 根式的系数相加减，根指数与被开方数 （式）保持不变.
二次根式加减运算的一般步骤
⑴ 将每个二次根式化为最简二次根式； ⑵ 找出其中同类二次根式； ⑶ 合并同类二次根式. 1、在运算过程中要注意，根号外的因 式就是这个二次根式的系数，如果系数 是带分数，还要化成假分数. 2、二次根式化为最简二次根式后，被 开方数不同的二次根式不能合并，但是 绝不能丢弃，它们也是结果的一部分.
( )
求下列各式的值：
4 2 ⑴ ( 300)² ⑵ 3 9 ⑶ (－ 2.7)² ⑷ (－2 5)²
⑴ 可直接运用性质 1 ，⑵ ⑶ ⑷ 先利用积的乘方性质 (ab)² ＝ a² b²进行 变形，然后再计算.
( )
解： ⑴ ( 300)² ＝300
⑵
( ) ( )
3 4 9
2
＝3² ×
4 9
2
1.从形式上看，二次根式必须含有 9 ＝3 “ ”如： ，等号左边是二 次根式，右边不是二次根式.
a (a≥o)的式子叫做二次根 形如＿＿ 式。在二次根式 a中，字母 a 必须满 a≥0 足＿＿＿，即被开方数必须是非负数 .
2. 被开方数 a 可以是一个数，也可 以是一个含有字母的式子，但前提是 a≥0.