第十六章二次根式复习课件

a b
二次根式的乘法 积的算术平方根的性质
二次根式的除法 商的算术平方根的性质
ab (a≥0，b≥0), a (a≥0，b＞0) b
3种思想方法：整体思想，转化思想，分类讨论思想
回顾与思考
1．当 x 是怎样的实数时， x 在实数范围内有意义？
2．什么叫最简二次根式？你能举出一些最简二次根 式的例子吗？ 被开方数不含分母；被开方数中不含能开得
a(a 0), 4个性质：( a )2=a(a≥0)；a2 =｜a｜=0(a 0), 积的平方根的性质
a(a 0); 商的平方根的性质 a a (a≥0，b＞0)
bb
ab a b (a≥0，b≥0)；
3种运算：二次根式的乘除运算，二次根式的加减运算，二次根式的混合运算
2个互逆过程： a b
（3）原式 =(2 3 )2 ( 6 )2 （4）原式 =(8 3 - 9 3) 6
=12-6 =6
=- 2 2
复复习习巩巩固固
（5）（2 2 3 3）2 （5）原式 =(2 2)2 + 2 2 2 3 3 + (3 3)2
=8 + 12 6 + 27 =35 + 12 6
复习巩固
（6）（ 3 1 2 - 1 1）2 23 4
解：由题意得：I 2 5 1=30 即I = 6
I≈2.45
答：电流 I 的值约为2.45A.
拓广探索
【选自教材第19页 复习题16 第8题】
8. 已知 n 是正整数， 189n 是整数，求 n 的最小值.
解： 189n 3 3 21 n 又 n 是正整数， 189n也是正整数 所以 n 的最小值是21.
解：由题意得：
πr 2 =πOD2 π(OC 2 OD2 ) π(OB2 OC 2 ) 4

解： ?a ? 2?2 ? ?a ? 1?2 ???a? 2 a 1 , 分三种情况(qíngkuàng)讨
?当a =(- ≤-2时，原式
a -2)-[-(
a-1)]=-a-2+a -1=-3;
?当-2＜a≤1时，原式 =(a+2)+( a-1)= 2a+1;
?当a＞1时，原式 =(a +2)-( a-1)=3.
第九页，共28页。
考点讲练
初中(chūzhōng)阶段主要涉及三种非a负≥数0 ，：|a|≥0，
a2≥0. 如果(rúguǒ)若干个非负数0的，和那为么(nà me)这若干个
非负数都必为 0.这是求一个方程中含有多个未知
数的有效方法之一 .
第十页，共28页。
考点讲练
例3 实数(as、hìbs在hù数) 轴(shùzhóu)上的位置如图所示，请化简：
y x xy
xy
? ?2
2 2 ?2
?
? 6.
1
第二十四页，共28页。
专题 3 类别思想
专题讲练
例3 阅读(yuèdú)材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子(shì zi)可以
? ? 写成另一个(yī ɡè)式子的平方3，? 2如2 ? 1 ? 2 2 ，善于思
考的小明进行了以下探索：
第十五页，共28页。
考点讲练
例5 把两张面积(miàn18j的ī)正都方为形纸片各剪去一个(yī ɡè)面 为 2的正方形，并把这两张正方形纸片按照(ànzhào)如图所
示叠合在一起，做出一个双层底的无盖长方体纸 盒．求这个纸盒的侧面积（接缝忽略不计）．
解： S= ??（ 18 -
2 ）?

3 2 3 1.5 5 木板够宽
情境引入
现有一块长为7.5 dm、宽为5 dm的木板， 能否采用如教教材图16.3-1的方式，在这块 木板上截出两个面积分别是8 dm2和18 dm2 的正方形木板？
问题3：从长方形木板上截取两个正方形木板， 长方形木板够长吗？ 你是如何得出答案的？
8 18 2 2 3 2 (2 3) 2 5 2
七、布置作业
• 1.教材第3页练习1.2题. • 2.教材第5页习题16.1第1题.
第十六章 二次根式
16.1 二次根式
第2课时
一、提出问题
根据算术平方根的意义填空.
1. ( 4) 2 __4_;
1 ( 1 )2 _3__;
3
( 2 )2 _2__;
( 0)2 _0__ .
2. 22 __2_;
化
简
解：（2）（ 12 20）+（ 3- 5）
、
.
去
2 3 2 5+ 3- 5
括 号
、
3 3+ 5
合
并
巩固提高
练习1 计算:
（1） 2 7 6 7
仔细认 真哦！
-4 7
（2） 80- 20+ 5
.
（3） 18+（ 98- 27）
35 10 2-3 3
（4）（ 24+ 0.5）-（ 1 - 6） 8
5 2 5 1.5 7.5
木板够长
情境引入
现有一块长为7.5 dm、宽为5 dm的木板， 能否采用如教材图16.3-1的方式，在这块木 板上截出两个面积分别是8 dm2和18 dm2 的正方形木板？
问题4：观察 8 18的计算过程，你能总结

第十六章 二次根式
知识结构
三个概念
最简二次根式 同类二次根式 有理化因式
二 次 根 式
ab a b a 0, b 0
两个性质
两个公式
a
2
a a (a 0, b 0) b b
2
a a 0
a a
运算
aa 0 aa 0
二次根式的概念
2
2
a , a a ,a 0 0 a , a 0 a ,a0
题型:二次根式非负性的应用.
3.已知：
x4 +
2x y
=0,求 x-y 的平方根.
解：由题意，得 x-4=0 且 2x+y=0 解得 x=4,y=-8 x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12
4.已知x,y为实数,且
(1) 2 x 3 ( 2) ( x 5)
2 (4) 1 x
2
3 (3) 2x 1
0
(5) x 5 ( x 6)
(6) x 2 2 x
二次根式的性质
（1）． （2）． ( （3）．
a 0 （ａ 0） aa （ａ 0） )0 a
2
a a a { { a
x2 成立的条件是 x3
.
ab
2
=
.
x 3 14.化简 x = 2 x
.
15.已知a满足 1992-a a 1993 a, 那么a-1992 的值是（ C ）
2
A.1991
B.1992
C.1993
D.1994
1 16.若把根号外的因式移到根号内则a 等于（ A ） a
A．-
2 2 2 2

上一级
目录
(4)二次根式的混合运算 ①二次根式的混合运算顺序： 与 实 数 的 混 合 运 算 顺 序 一 样 ， 先 算 __乘__方____ ， 再 算 __乘__除____ ， 最 后 算 __加__减____，有括号的先算括号内的运算(或先去掉括号)； ②在二次根式的混合运算中，实数的运算律、多项式的乘法法则、多项式 的乘法公式仍然适用．
上一级
目录
9．已知等腰三角形的两边长满足 a－4＋b－2＝0，那么这个等腰三角形
的周长为( B )
A．8
B．10
C．8 或 10
D．9
上一级
目录
10．【例】若 y＝ 2－x＋ x－2＋4，求 x2＋y2 的平方根． 解：∵2－x≥0，x－2≥0， 解得 x≤2，x≥2，则 x＝2， ∴y＝4， 故 x2＋y2＝22＋42＝20， ∴x2＋y2 的平方根为± 20 ＝±2 5 .
＝2.
上一级
目录
16．【例】已知 a＝ 7－3，b＝ 7＋3，求下列各式的值：(1)a2－b2； 解：∵a＝ 7 －3，b＝ 7 ＋3， ∴a＋b＝( 7 －3)＋( 7 ＋3)＝2 7 ， a－b＝( 7 －3)－( 7 ＋3)＝－6， ab＝( 7 －3)( 7 ＋3)＝－2， a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝－12 7 ； (2)a2＋b2. 解：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝28＋4＝32.
B．a≤0
C．a<0
D．a≥－2
上一级
目录
题型3 二次根式的性质
7．【例】若实数 a，b，c 在数轴上的对应点如图所示，则 a2＋ b2－|b－c|
的结果是( C )
A．a－c
B．－a－2b＋c

1 (6) x2
(8) 3 x | x | 4
x0
X≤3且X≠-4
3、若数轴上表示数x的点在原点的左边，则化简 |3x+x2| 的结果是（ -2X ）
4、求下列二次根式中字母的取值范围：
(1) a 1 (2) 1
1 2a
(3) (a 3)2
4 2 5x 5 2x 12
6 x 5 3 2x
x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12
2.已知x,y为实数,且
x 1 +3(y-2)2 =0,则x-y的值为( D )
A.3
B.-3
C.1
D.-1
初中阶段的三个非负数：
a (a≥０)
|a|
≥０
a2
a + b = 0 ? a 0,b = 0 a+ | b |= 0 ? a 0,b = 0 a2+ | b |= 0 ? a 0,b = 0 ......
∴ x2 - 2x + 1 = 1- x = 1+ 3
∴当x＝- 3时， x2 - 2x+ 1 = 1+ 3
( a )2 a (a 0)
a2
a
a(a 0) a(a 0)
a2与（ a）2一样吗？
你的理由是什么？
( a )2 a(a 0)
a(a 0)
a2 a a(a 0)
注意区别 a 2 与( a）2
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, a ≥0 ( 双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
式子 S25 ，

1．要使下列式子有意义，求字母Ｘ
的取值范围
1
（１） 3 x
（２）
2x 5
（３） 1 x （４） x3 8x
x
（５） x2 2x（６） x2 2x 1
2．（１） (3)2 ____
（２）当 x 1 时， (1x)2 ____
（３） (x2)2 x2 ，
则Ｘ的取值范围是＿＿＿
（４）若
(x 7)2 1
4
拓展1
设a、b为实数,且| 2 -a|+ √ b-2 =0
（ 1 ） 求 a 2- 22 a + 2 + b 2 的 值 . a 2， b 2
(2)若满足上式的a,b为等腰三角形的两边,求这 个等腰三角形的面积.
解:若a为腰,b为底,此时底边上的高为 （ 2）2 1 1
∴三角形的面积为 1 2 1 1
A.3
B.-3
C.1
D.-1
抢答:判断下列二次根式是否是最简二次根式, 并说明理由。
(1) 50
(2) a2bc
(3) x2y
(4)0.75 (5)(ab)a(2b2) (6)16 2 满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式 （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
宽25cm，长60cm.一只蚂蚁从A点爬到B
点最短路程是多少？
B
解：
60
25
B
15
60
25
25
15
15
60
15
60
A 25
AB 602 802
A
10000
100
必做题： 复习题21
DP

形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式.
a
被开方数
二次根号
a 读作“根号 ”
•
9、要学生做的事，教职员躬亲共做； 要学生 学的知 识，教 职员躬 亲共学 ；要学 生守的 规则， 教职员 躬亲共 守。2021/8/102021/8/10Tuesday, August 10, 2021
•
10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。2021/8/102021/8/102021/8/108/10/2021 9:50:19 PM
讨论
实数p在数轴上的位置如图所示，化简
(1p)2
2
2p
1 p (2 p) p 1 2 p 1
你的收获？
检测
1.用心算一算:
1 25 5 2 72 7
33
2
2
18
4
2
1 2
2 1
5 x22xyy2y x
(x﹤y)
检测
2.下列 2x式 6子 1 中字 x的母 取值 _ 3 _范 _x __ 围 _0 _
•
15、一年之计，莫如树谷；十年之计 ，莫如 树木； 终身之 计，莫 如树人 。2021年8月2021/8/102021/8/102021/8/108/10/2021
•
16、提出一个问题往往比解决一个更 重要。 因为解 决问题 也许仅 是一个 数学上 或实验 上的技 能而已 ，而提 出新的 问题， 却需要 有创造 性的想 像力， 而且标 志着科 学的真 正进步 。2021/8/102021/8/10August 10, 2021
•
17、儿童是中心，教育的措施便围绕 他们而 组织起 来。2021/8/102021/8/102021/8/102021/8/10

当x＝ 3 时，x－１<０
∴ x2 2x11x 1 3
∴当x＝ 3 时， x2 2x 1 1 3
性质2:
( a )2 a (a 0)
性质3:
a2
a
a(a0)
a(a0)
a2与（ a）2一样吗？
你的理由是什么？
( 性质2: a )2 a(a 0)
性质3:
a(a0)
a2 a a(a0)
注意区别 a2与( a）2
-a ( a <0 )
归 纳
由 a2 aa0,可以得 a a2a0。
利用这个式子，可以把任何一个非负数写成 带有“ ”的形式，例： 5 25,
0.9 0.81
例 求下列二次根式的值
(1 )(3 )2 (2 )x 2 2 x1 (x 3 )
解：(1) (3 )2 |3 |
∵3 0
∴ (3 )2
3
(2) x2 2x1 (x1)2 |x1|
当 a＜ 0 时 ， a2 = -a 。
也 就 是 说 ： a 2 = |a | 。
第三部分 二次根式的乘除法
复习归纳
二次根式的性质：
（1） ( a ) 2 a （a≥0）
（2） a 2 |a|
当a≥0时，= a； 当a≤0时，= -a.
复习归纳
二次根式的性质：
（3） a b a • b（a ≥0 ， b≥0）
(1)x2 2
x 2 (2 ) 2 x 2 x 2
(2)2x2 3y2
( 2 x ) 2 ( 3 y ) 2 2 x 3 y 2 x 3 y
a2 a(a 0) 反过来就是 a a2 (a 0)
把) 3 2
(3) x 1 x

同类二次根式的定义： 几个二次根式化成最简二次 根式以后，如果被开方数相同， 这几个二次根式叫做同类二次 根式.
⑴ 同类二次根式的判断，一般首先需 要把所需判断的二次根式化成最简二次根 式，再观察被开方数是否相同.若相同， 则是同类二次根式，否则不是.
⑵ 几个二次根式是不是同类二次根式， 只与被开方数和根指数有关，而与根号外 的因式或因数无关.
⑶ 只有同类二次根式才可以合并，不 是同类二次根式的不能合并. ⑷ 合并同类二次根式时，将同类二次 根式的系数相加减，根指数与被开方数 （式）保持不变.
二次根式加减运算的一般步骤
⑴ 将每个二次根式化为最简二次根式； ⑵ 找出其中同类二次根式； ⑶ 合并同类二次根式. 1、在运算过程中要注意，根号外的因 式就是这个二次根式的系数，如果系数 是带分数，还要化成假分数. 2、二次根式化为最简二次根式后，被 开方数不同的二次根式不能合并，但是 绝不能丢弃，它们也是结果的一部分.
( )
求下列各式的值：
4 2 ⑴ ( 300)² ⑵ 3 9 ⑶ (－ 2.7)² ⑷ (－2 5)²
⑴ 可直接运用性质 1 ，⑵ ⑶ ⑷ 先利用积的乘方性质 (ab)² ＝ a² b²进行 变形，然后再计算.
( )
解： ⑴ ( 300)² ＝300
⑵
( ) ( )
3 4 9
2
＝3² ×
4 9
2
1.从形式上看，二次根式必须含有 9 ＝3 “ ”如： ，等号左边是二 次根式，右边不是二次根式.
a (a≥o)的式子叫做二次根 形如＿＿ 式。在二次根式 a中，字母 a 必须满 a≥0 足＿＿＿，即被开方数必须是非负数 .
2. 被开方数 a 可以是一个数，也可 以是一个含有字母的式子，但前提是 a≥0.