《高中数学 选修4—5 》知识点总结(经典版)

1 /2 柯西不等式与排序不等式知识要点梳理1.经典不等式，就是指那些表示某些基本不等关系，而且经常被当作推理依据，用来推导其他不等关系的不等式，它们都是属于不等式范畴的重要数学结论.2.柯西不等式：（1）（二维形式的柯西不等式）若a b c d ，，，都是实数，则22222()()()a b c d ac bd +≥++，当且仅当ad bc =时，等号成立.（2）（柯西不等式的向量形式）设，αβ是两个向量，则||||||≤αβαβ，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使κα=β时，等号成立.（3）（二维形式的三角不等式）设1122x y x y R ∈，，，，那么≥（4）（一般形式的柯西不等式）设123123n n a a a a b b b b ，，，，，，，，是实数，则22222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥++2，当且仅当0i b =(1)i n =，2，，或存在一个数k ，使得i i a kb =(1)i n =，2，，时，等号成立.3.均值不等式：对于n 个正数12n a a a ，，…，，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即12n n a a a n +++≥当且仅当12n a a a ===时，等号成立.4.排序不等式：设12n a a a ≤≤≤，12n b b b ≤≤≤为两组实数，12n c c c ，，，是12n b b b ，，，的任一排列，那么121111221122.n n n n n n n a b a b a b a c a c a c a b a b a b -+++≤+++≤++2 / 2即“反序和≤乱序和≤顺序和”. 当且仅当12n a a a ===或12n b b b ===时，反序和等于顺序和.。

人教版高中数学必修4-5知识点第一讲不等式和绝对值不等式一.不等式(一)不等式的基本性质1.实数大小的比较(1)数轴上的点与实数之间具有一一对应关系。

(2)设a、b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A、B.当点A在点B的左边时，a<b；当点A在点B的右边时，a>b.(3)两个实数的大小与这两个实数差的符号的关系(不等式的意义)>b⇔a－b>0＝b⇔a－b＝0<b⇔a－b<0(4)两个实数比较大小的步骤①作差；②变形；③判断差的符号；④结论.2.不等关系与不等式(1)不等号有≠，>，<，≥，≤共5个.(2)相等关系和不等关系任意给定两个实数，它们之间要么相等，要么不相等。

现实生活中的两个量从严格意义上说相等是特殊的、相对的，不等是普遍的、绝对的，因此绝大多数的量都是以不等关系存在的。

(3)不等式的定义：用不等号连接起来的式子叫做不等式。

(4)不等关系的表示：用不等式或不等式组表示不等关系。

3.不等式的基本性质(1)对称性：a>b⇔b<a；(2)传递性：a>b，b>c⇒a>c；(3)可加性：a>b，c∈R⇔a＋c>b＋c；(4)加法法则：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(5)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc；(6)乘法法则：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；(7)乘方法则：a>b>0，n∈N且n≥2⇒a n>b n；(8)开方法则：a>b>0，n∈N且n≥2⇒na>nb.(9)倒数法则，即a>b>0⇒1a <1b .(二)基本不等式1.重要不等式定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立。

2.基本不等式(1)定理2：如果a，b>0，那么a b+≥(a＋b2≥ab)，当且仅当a＝b时，等号成立。

高中数学选修4-5知识点总结1、不等式的基本性质①（对称性）a b b a >⇔>②（传递性）,a b b c a c >>⇒>③（可加性）a b a c b c >⇔+>+（同向可加性）d b c a d c b a +>+⇒>>,（异向可减性）d b c a d c b a ->-⇒<>,④（可积性）bc ac c b a >⇒>>0,bc ac c b a <⇒<>0,⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>⇒> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d>><<⇒>⑥（平方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>⇒>∈>且 ⑦（开方法则）0,1)a b n N n >>∈>且 ⑧（倒数法则）ba b a b a b a 110;110>⇒<<<⇒>> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22.2a b ab +≤②（基本不等式） 2a b +≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）.变形公式： a b +≥ 2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.③（三个正数的算术—几何平均不等式）3a b c ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）.④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈， （当且仅当a b c ==时取到等号）.⑤3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>>（当且仅当a b c ==时取到等号）.⑥0,2b a ab a b>+≥若则（当仅当a=b 时取等号）0,2b a ab a b<+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦ba nb n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，， 规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>⇔>⇔<->当时，或22.x a x a a x a <⇔<⇔-<< ⑨绝对值三角不等式.a b a b a b -≤±≤+3、几个著名不等式①平均不等式：1122a b a b --+≤≤≤+，,a b R +∈（，当且仅当a b =时取""=号）.（即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均）. 变形公式：222;22a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭ 222().2a b a b ++≥ ②幂平均不等式：222212121...(...).n n a a a a a a n+++≥+++ ③二维形式的三角不等式：④二维形式的柯西不等式：22222()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈当且仅当ad bc =时，等号成立. ⑤三维形式的柯西不等式： 2222222123123112233()()().a a a b b b a b a b a b ++++≥++⑥一般形式的柯西不等式：2222221212(...)(...)n n a a a b b b ++++++21122(...).n n a b a b a b ≥+++⑦向量形式的柯西不等式： 设,αβu r u r 是两个向量，则,αβαβ⋅≤u r u r u r u r 当且仅当βu r 是零向量，或存在实数k ，使k αβ=u r u r 时，等号成立.⑧排序不等式（排序原理）：设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤为两组实数.12,,...,n c c c 是12,,...,n b b b 的任一排列，则12111122......n n n n n a b a b a b a c a c a c -+++≤+++1122....n n a b a b a b ≤+++（反序和≤乱序和≤顺序和），当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时，反序和等于顺序和. ⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数()f x ,对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或则称f(x)为凸（或凹）函数. 4、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法： ①舍去或加上一些项，如22131()();242a a ++>+ ②将分子或分母放大（缩小），如211,(1)k k k <- 211,(1)k k k >+=⇒<*,1)k N k >∈>等. 5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或 2(0,40)a b ac ≠∆=->解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集. 规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集. 7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()0()()0()()()0()0()0()f x f x g x g x f x g x f x g x g x >⇔⋅>⋅≥⎧≥⇔⎨≠⎩ （<≤“或”时同理） 规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解2()0(0)()f x a a f x a ≥⎧>>⇔⎨>⎩2()0(0)()f x a a f x a ≥⎧<>⇔⎨<⎩2()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x >⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或2()()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩()0()0()()f xg x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩ 规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.9、指数不等式的解法：⑴当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>⑵当01a <<时, ()()()()f x g x a a f x g x >⇔< 规律：根据指数函数的性质转化. 10、对数不等式的解法⑴当1a >时, ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩⑵当01a <<时, ()0log ()log ()()0.()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩ 规律：根据对数函数的性质转化. 11、含绝对值不等式的解法：⑴定义法：(0).(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ⑵平方法：22()()()().f x g x f x g x ≤⇔≤ ⑶同解变形法，其同解定理有：①(0);x a a x a a ≤⇔-≤≤≥②(0);x a x a x a a ≥⇔≥≤-≥或 ③()()()()()(()0)f x g x g x f x g x g x ≤⇔-≤≤≥ ④()()()()()()(()0)f x g x f x g x f x g x g x ≥⇔≥≤-≥或 规律：关键是去掉绝对值的符号. 12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集. 13、含参数的不等式的解法解形如20ax bx c ++>且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：⑴讨论a 与0的大小；⑵讨论∆与0的大小；⑶讨论两根的大小. 14、恒成立问题⑴不等式20ax bx c ++>的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当0a =时 0,0;b c ⇒=> ②当0a ≠时00.a >⎧⇒⎨∆<⎩ ⑵不等式20ax bx c ++<的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当0a =时0,0;b c ⇒=<②当0a ≠时00.a <⎧⇒⎨∆<⎩⑶()f x a <恒成立max ();f x a ⇔<()f x a ≤恒成立max ();f x a ⇔≤⑷()f x a >恒成立min ();f x a ⇔>()f x a ≥恒成立min ().f x a ⇔≥ 15、线性规划问题⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断：法一：取点定域法：由于直线0Ax By C ++=的同一侧的所有点的坐标代入Ax By C ++后所得的实数的符号相同.所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点00(,)x y （如原点），由00Ax By C ++的正负即可判断出0Ax By C ++>(或0)<表示直线哪一侧的平面区域.即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点.法二：根据0Ax By C ++>(或0)<，观察B 的符号与不等式开口的符号，若同号，0Ax By C ++>(或0)<表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上方的区域.⑵二元一次不等式组所表示的平面区域：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分. ⑶利用线性规划求目标函数z Ax By =+(,A B 为常数）的最值：法一：角点法：如果目标函数z Ax By =+ （x y 、即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应z 值，最大的那个数为目标函数z 的最大值，最小的那个数为目标函数z 的最小值 法二：画——移——定——求：第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线0:0l Ax By += ，平移直线0l （据可行域，将直线0l 平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解(,)x y ；第四步，将最优解(,)x y 代入目标函数z Ax By =+即可求出最大值或最小值 .第二步中最优解的确定方法：利用z 的几何意义：A z y x B B =-+,z B为直线的纵截距. ①若0,B >则使目标函数z Ax By =+所表示直线的纵截距最大的角点处，z 取得最大值，使直线的纵截距最小的角点处，z 取得最小值；②若0,B <则使目标函数z Ax By =+所表示直线的纵截距最大的角点处，z 取得最小值，使直线的纵截距最小的角点处，z 取得最大值.⑷常见的目标函数的类型：①“截距”型：;z Ax By =+ ②“斜率”型：y z x =或;y b z x a-=-③“距离”型：22z x y =+或z =22()()z x a y b =-+-或z =在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.。

高中数学选修知识点总结、不等式的基本性质①（对称性）a b b a >⇔>②（传递性）,a b b c a c >>⇒>③（可加性）a b a c b c >⇔+>+（同向可加性）d b c a d c b a +>+⇒>>,（异向可减性）d b c a d c b a ->-⇒<>,④（可积性）bc ac c b a >⇒>>0,bc ac c b a <⇒<>0,⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>⇒> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >><<⇒>⑥（平方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>⇒>∈>且⑦（开方法则）0,1)a b n N n >>∈>且 ⑧（倒数法则）b a b a b a b a 110;110>⇒<<<⇒>>、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22.2a b ab +≤②（基本不等式）2a b +≥()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）.变形公式：a b +≥ 2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭ 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.③（三个正数的算术—几何平均不等式）3a b c ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）.④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈，（当且仅当a b c ==时取到等号）.⑤3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当时取等号）0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，，规律：小于同加则变大，大于同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>⇔>⇔<->当时，或22.x a x a a x a <⇔<⇔-<< ⑨绝对值三角不等式.a b a b a b -≤±≤+、几个著名不等式①平均不等式：1122a b a b --+≤≤+，,a b R +∈（，当且仅当a b =时取""=号）.（即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均）.变形公式：222;22a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭ 222().2a b a b ++≥ ②幂平均不等式：222212121...(...).n n a a a a a a n +++≥+++③二维形式的三角不等式：1122(,,,).x y x y R ∈④二维形式的柯西不等式：22222()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈当且仅当ad bc =时，等号成立. ⑤三维形式的柯西不等式：2222222123123112233()()().a a a b b b a b a b a b ++++≥++⑥一般形式的柯西不等式：2222221212(...)(...)n n a a a b b b ++++++21122(...).n n a b a b a b ≥+++⑦向量形式的柯西不等式：设,αβ是两个向量，则,αβαβ⋅≤当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使k αβ=时，等号成立.⑧排序不等式（排序原理）：设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤为两组实数.12,,...,n c c c 是12,,...,n b b b 的任一排列，则12111122......n n n n n a b a b a b a c a c a c -+++≤+++1122....n n a b a b a b ≤+++（反序和≤乱序和≤顺序和），当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时，反序和等于顺序和.⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数()f x ,对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或则称()为凸（或凹）函数. 、不等式证明的几种常用方法 常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.常见不等式的放缩方法：①舍去或加上一些项，如22131()();242a a ++>+ ②将分子或分母放大（缩小），如211,(1)k k k <- 211,(1)k kk >+=⇒<*,1)k N k >∈>等.、一元二次不等式的解法求一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或 2(0,40)a b ac ≠∆=->解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()0()()0()()()0()0()0()f x f x g x g x f x g x f x g x g x >⇔⋅>⋅≥⎧≥⇔⎨≠⎩ （<≤“或”时同理）规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解⑴2()0(0)()f x a a f x a ≥⎧>>⇔⎨>⎩2()0(0)()f x a a f x a ≥⎧<>⇔⎨<⎩⑶2()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x >⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或⑷2()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩⑸()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.、指数不等式的解法：⑴当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>⑵当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔< 规律：根据指数函数的性质转化.、对数不等式的解法⑴当1a >时, ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩⑵当01a <<时, ()0log ()log ()()0.()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩规律：根据对数函数的性质转化.、含绝对值不等式的解法： ⑴定义法：(0).(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ⑵平方法：22()()()().f x g x f x g x ≤⇔≤⑶同解变形法，其同解定理有： ①(0);x a a x a a ≤⇔-≤≤≥ ②(0);x a x a x a a ≥⇔≥≤-≥或 ③()()()()()(()0)f xg x g x f x g x g x ≤⇔-≤≤≥ ④()()()()()()(()0)f x g x f x g x f x g x g x ≥⇔≥≤-≥或规律：关键是去掉绝对值的符号.、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集. 、含参数的不等式的解法解形如20ax bx c ++>且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：⑴讨论a 与的大小；⑵讨论∆与的大小；⑶讨论两根的大小.、恒成立问题⑴不等式20ax bx c ++>的解集是全体实数（或恒成立）的条件是： ①当0a =时 0,0;b c ⇒=>②当0a ≠时00.a >⎧⇒⎨∆<⎩ ⑵不等式20ax bx c ++<的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：。

高中数学选修4知识点总结(全)
一、函数的圆心极坐标方程：
1 、双曲线的圆心极坐标方程：
x=acoshu；
y=bsinhu；
其中，a为椭圆的焦距，b为另一维的焦距，u为S的极角；
圆心极坐标系是一种以圆心和极角为坐标的极坐标系统，它是一就用以表示空间各点位置的最主要的坐标系统。

所谓的极坐标系（Polar Coordinate System），指的是以固定的极轴为坐标轴，空间各点的位置由极轴上的极角和到极轴的距离来确定。

由于圆心极坐标以圆心作为极轴，所以，圆心极坐标系又称为圆极坐标系。

圆心极坐标系能够完美地描述双曲线和椭圆，将原来由圆点拟合所得到的复杂函数简单化为一个关于极角u的函数。

圆心极坐标系不仅仅可以描述双曲线和椭圆，它还可以描述球面的极坐标，和其他的几何体的极坐标，这使得它特别的有用。

1、圆的极坐标方程：
r = a
其中，a为曲线的半径；
四、三次曲线：
三次曲线指的是由三个参数确定唯一曲线形状的曲线，即存在常数a，b，c，使曲线y=ax^3+bx^2+cx满足给定函数的条件，这类曲线一般可以在直角坐标系中用抛物线画出。

一般的，三次曲线有神符式的表达形式：
y = ax^3+bx^2+cx+d
其中d为常数。

此外，三次曲线在圆心极坐标系中也有表示方法：
r =a +bsinu +csin^2u
其中a、b、c为常数，u为极角。

六、椭圆圆心极坐标表示：。

高中数学选修4-5知识点不等式选讲1、不等式的基本性质①（对称性）a b b a >⇔>②（传递性）,a b b c a c >>⇒>③（可加性）a b a c b c >⇔+>+（同向可加性）d b c a d c b a +>+⇒>>,（异向可减性）d b c a d c b a ->-⇒<>,④（可积性）bc ac c b a >⇒>>0,bc ac c b a <⇒<>0,⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>⇒> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >><<⇒>⑥（平方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>⇒>∈>且 ⑦（开方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>⇒>∈>且 ⑧（倒数法则）b a b a b a b a 110;110>⇒<<<⇒>>2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22.2a b ab +≤②（基本不等式） 2a b ab +≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）.变形公式： 2a b a b +≥ 2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭ 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.③（三个正数的算术—几何平均不等式）33a b c abc ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）.④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈，（当且仅当a b c ==时取到等号）.⑤3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号）0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，，规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>⇔>⇔<->当时，或22.x a x a a x a <⇔<⇔-<< ⑨绝对值三角不等式.a b a b a b -≤±≤+3、几个著名不等式 ①平均不等式：2211222a b a b ab a b --++≤≤≤+，,a b R +∈（，当且仅当a b =时取""=号）.（即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均）.变形公式：222;22a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭ 222().2a b a b ++≥ ②幂平均不等式：222212121...(...).n n a a a a a a n +++≥+++③二维形式的三角不等式：22222211221212()()x y x y x x y y +++≥-+-1122(,,,).x y x y R ∈④二维形式的柯西不等式：22222()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈当且仅当ad bc =时，等号成立. ⑤三维形式的柯西不等式：2222222123123112233()()().a a a b b b a b a b a b ++++≥++⑥一般形式的柯西不等式：2222221212(...)(...)n n a a a b b b ++++++21122(...).n n a b a b a b ≥+++⑦向量形式的柯西不等式：设,αβ是两个向量，则,αβαβ⋅≤当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使k αβ=时，等号成立.⑧排序不等式（排序原理）：设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤为两组实数.12,,...,n c c c 是12,,...,n b b b 的任一排列，则12111122......n n n n n a b a b a b a c a c a c -+++≤+++1122....n n a b a b a b ≤+++（反序和≤乱序和≤顺序和），当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时，反序和等于顺序和.⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数()f x ,对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或则称f(x)为凸（或凹）函数.4、不等式证明的几种常用方法 常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.常见不等式的放缩方法：①舍去或加上一些项，如22131()();242a a ++>+ ②将分子或分母放大（缩小），如211,(1)k k k <- 211,(1)k k k >+ 2212,21kk k k k k =⇒<++- *12(,1)1k N k k k k >∈>++等.5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或 2(0,40)a b ac ≠∆=->解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()0()()0()()()0()0()0()f x f x g x g x f x g x f x g x g x >⇔⋅>⋅≥⎧≥⇔⎨≠⎩ （<≤“或”时同理）规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解 ⑴2()0()(0)()f x f x a a f x a ≥⎧>>⇔⎨>⎩⑵2()0()(0)()f x f x a a f x a ≥⎧<>⇔⎨<⎩ ⑶2()0()0()()()0()0()[()]f x f x f x g x g x g x f x g x >⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或 ⑷2()0()()()0()[()]f x f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩ ⑸()0()()()0()()f x f x g x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩ 规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.9、指数不等式的解法：⑴当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>⑵当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔< 规律：根据指数函数的性质转化.10、对数不等式的解法⑴当1a >时, ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩⑵当01a <<时, ()0log ()log ()()0.()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法： ⑴定义法：(0).(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ⑵平方法：22()()()().f x g x f x g x ≤⇔≤⑶同解变形法，其同解定理有： ①(0);x a a x a a ≤⇔-≤≤≥ ②(0);x a x a x a a ≥⇔≥≤-≥或 ③()()()()()(()0)f xg x g x f x g x g x ≤⇔-≤≤≥ ④()()()()()()(()0)f x g x f x g x f x g x g x ≥⇔≥≤-≥或规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法解形如20ax bx c ++>且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有： ⑴讨论a 与0的大小；⑵讨论∆与0的大小；⑶讨论两根的大小.14、恒成立问题⑴不等式20ax bx c ++>的解集是全体实数（或恒成立）的条件是： ①当0a =时 0,0;b c ⇒=>②当0a ≠时00.a >⎧⇒⎨∆<⎩ ⑵不等式20ax bx c ++<的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当0a =时0,0;b c ⇒=<②当0a ≠时00.a <⎧⇒⎨∆<⎩ ⑶()f x a <恒成立max ();f x a ⇔< ()f x a ≤恒成立max ();f x a ⇔≤⑷()f x a >恒成立min ();f x a ⇔> ()f x a ≥恒成立min ().f x a ⇔≥15、线性规划问题⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断：法一：取点定域法：由于直线0Ax By C ++=的同一侧的所有点的坐标代入Ax By C ++后所得的实数的符号相同.所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点00(,)x y （如原点），由00Ax By C ++的正负即可判断出0Ax By C ++>(或0)<表示直线哪一侧的平面区域. 即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点.法二：根据0Ax By C ++>(或0)<，观察B 的符号与不等式开口的符号，若同号，0Ax By C ++>(或0)<表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上方的区域.即：同号上方，异号下方.⑵二元一次不等式组所表示的平面区域：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.⑶利用线性规划求目标函数z Ax By =+(,A B 为常数）的最值：法一：角点法：如果目标函数z Ax By =+ （x y 、即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应z 值，最大的那个数为目标函数z 的最大值，最小的那个数为目标函数z 的最小值 法二：画——移——定——求：第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线0:0l Ax By += ，平移直线0l （据可行域，将直线0l平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解(,)x y ；第四步，将最优解(,)x y 代入目标函数z Ax By =+即可求出最大值或最小值 .第二步中最优解的确定方法：利用z 的几何意义：A z y x B B =-+,z B 为直线的纵截距.①若0,B >则使目标函数z Ax By =+所表示直线的纵截距最大的角点处，z 取得最大值，使直线的纵截距最小的角点处，z 取得最小值；②若0,B <则使目标函数z Ax By =+所表示直线的纵截距最大的角点处，z 取得最小值，使直线的纵截距最小的角点处，z 取得最大值.⑷常见的目标函数的类型：①“截距”型：;z Ax By =+ ②“斜率”型：y z x =或;y b z x a -=-③“距离”型：22z x y =+或22;z x y =+22()()z x a y b =-+-或22()().z x a y b =-+-在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.。

高中数学选修4--5知识点1、不等式的基本性质①（对称性）a b b a ②（传递性）,a b b c a c ③（可加性）abacbc（同向可加性）d b c a d c b a ,（异向可减性）dbc ad cb a ,④（可积性）bcaccb a,bcaccb a,⑤（同向正数可乘性）0,0abcd ac bd（异向正数可除性）0,0a b a b c dc d⑥（平方法则）0(,1)nnabab nN n且⑦（开方法则）0(,1)nnaba b n N n 且⑧（倒数法则）bab a bab a 110;1102、几个重要不等式①222abab a bR ，,（当且仅当ab 时取""号）.变形公式：22.2ab ab②（基本不等式）2a baba b R，,（当且仅当a b 时取到等号）.变形公式：2a b ab2.2a b ab用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.③（三个正数的算术—几何平均不等式）33a b cabc ()a b c R 、、（当且仅当ab c 时取到等号）.④222abcab bc ca a bR，（当且仅当a bc 时取到等号）.⑤3333(0,0,0)abcabc ab c （当且仅当a b c 时取到等号）.⑥0,2b a aba b 若则（当仅当a=b 时取等号）0,2b a aba b 若则（当仅当a=b 时取等号）⑦ba nbn a mam b ab 1，（其中000)a b m n ，，规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.⑧220;a xaxaxa xa 当时，或22.x a x a a x a ⑨绝对值三角不等式.aba bab3、几个著名不等式①平均不等式：2211222a b ab abab，,a b R （，当且仅当a b 时取""号）.（即调和平均几何平均算术平均平方平均）.变形公式：222;22a bab ab222().2a b ab②幂平均不等式：222212121...(...).nn a a a a a a n ③二维形式的三角不等式：22222211221212()()x y x y x x y y 1122(,,,).x y x y R ④二维形式的柯西不等式：22222()()()(,,,).ab cd ac bd a b c dR 当且仅当ad bc 时，等号成立.⑤三维形式的柯西不等式：2222222123123112233()()().aa ab b b a b a b a b ⑥一般形式的柯西不等式：2222221212(...)(...)n n aa ab bb 21122(...).n n a b a b a b ⑦向量形式的柯西不等式：设,是两个向量，则,当且仅当是零向量，或存在实数k ，使k时，等号成立.⑧排序不等式（排序原理）：设1212...,...n n a a a b b b 为两组实数.12,,...,n c c c 是12,,...,n b b b 的任一排列，则12111122......n n n n na b a b a b a c a c a c 1122....n n a b a b a b （反序和乱序和顺序和），当且仅当12...n a a a 或12...n b b b 时，反序和等于顺序和.⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数()f x ,对于定义域中任意两点1212,(),x x x x 有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f 或则称f(x)为凸（或凹）函数.4、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.常见不等式的放缩方法：①舍去或加上一些项，如22131()();242aa②将分子或分母放大（缩小），如211,(1)kk k 211,(1)kk k2212,21kkkkkk*12(,1)1k N kkkk 等.5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式20(0)ax bx c 或2(0,40)a bac解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()0()()0()()()0()()()f x f xg x g x f x g x f x g x g x （“或”时同理）规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解⑴2()0()(0)()f x f x a a f x a⑵2()0()(0)()f x f x a a f x a⑶2()0()0()()()()()[()]f x f x f x g x g x g x f x g x 或⑷2()0()()()0()[()]f x f x g x g x f x g x ⑸()0()()()0()()f x f xg x g x f x g x 规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.9、指数不等式的解法：⑴当1a 时,()()()()f x g x aaf xg x ⑵当01a时, ()()()()f xg x a af xg x 规律：根据指数函数的性质转化.10、对数不等式的解法⑴当1a时, ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x ⑵当01a时, ()0log ()log ()()0.()()a a f x f x g x g x f x g x 规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法：⑴定义法：(0).(0)a a a a a ⑵平方法：22()()()().f xg x f x g x ⑶同解变形法，其同解定理有：①(0);x a a x a a ②(0);xaxa xa a或③()()()()()(()0)f xg x g x f x g x g x ④()()()()()()(()0)f xg x f x g x f x g x g x 或规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法解形如20ax bx c 且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：⑴讨论a 与0的大小；⑵讨论与0的大小；⑶讨论两根的大小.14、恒成立问题⑴不等式20axbx c 的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当0a时0,0;bc②当0a 时00.a ⑵不等式20axbx c 的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当0a时0,0;bc②当0a 时00.a ⑶()f x a 恒成立max();f x a()f x a 恒成立max ();f x a ⑷()f x a 恒成立min ();f x a ()f x a 恒成立min().f x a 15、线性规划问题⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断：法一：取点定域法：由于直线0AxBy C 的同一侧的所有点的坐标代入Ax By C 后所得的实数的符号相同.所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点00(,)x y （如原点），由00Ax By C 的正负即可判断出0Ax By C (或0)表示直线哪一侧的平面区域.即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点.法二：根据0AxBy C (或0)，观察B 的符号与不等式开口的符号，若同号，0AxBy C (或0)表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上方的区域.即：同号上方，异号下方.⑵二元一次不等式组所表示的平面区域：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.⑶利用线性规划求目标函数z Ax By (,A B 为常数）的最值：法一：角点法：如果目标函数z Ax By （x y 、即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应z 值，最大的那个数为目标函数z 的最大值，最小的那个数为目标函数z 的最小值法二：画——移——定——求：第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线0:0l Ax By，平移直线0l （据可行域，将直线0l 平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解(,)x y ；第四步，将最优解(,)x y 代入目标函数z AxBy 即可求出最大值或最小值 .第二步中最优解的确定方法：利用z 的几何意义：A z yxBB,z B为直线的纵截距.①若0,B 则使目标函数z Ax By 所表示直线的纵截距最大的角点处，z 取得最大值，使直线的纵截距最小的角点处，z 取得最小值；②若0,B 则使目标函数zAxBy 所表示直线的纵截距最大的角点处，z 取得最小值，使直线的纵截距最小的角点处，z 取得最大值.⑷常见的目标函数的类型：①“截距”型：;z Ax By ②“斜率”型：y zx或;y b zxa③“距离”型：22z xy 或22;zxy 22()()z x a y b 或22()().zx a y b 在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.。

高中数学选修 4-5知识点不等式选讲1、不等式的基本性质①（对称性） a b b a ②（传递性） a b , b c a c ③（可加性）a b ac bc（同向可加性） a b , c d a c b d （异向可减性） a b,cda cb d④（可积性） a b ,c 0 ac bca, 0 b c ac bc⑤（同向正数可乘性） a b 0, cd0 ac bda bab 0, 0c d（异向正数可除性） c d⑥（平方法则）0 ( , 1) abab n N 且nnn⑦（开方法则）0 n n( , 1) a bab n N 且n1 1 1 1 ab0 ; a b⑧（倒数法则） a ba b2、几个重要不等式ab① a2b 22ab a ，b R ,（当且仅当 ab 时取" "号）. 变形公式：,（当且仅当 ab 时取" "号）. 变形公式：ab 222.a baba ，bR②（基本不等式） 2,（当且仅当 a b 时取到等号）.变形公式： ab2 a baba b22.用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.③（三个正数的算术—几何平均不等式）a b c33 abc(a、b、cR)（当且仅当a b c 时取到等号）.④a b c ab bc ca a，b R2 2 2（当且仅当a b c 时取到等号）.a 3b 3c 3 3abc(a 0,b 0,c 0)⑤（当且仅当a b c 时取到等号）.b a若则ab 0,2a b⑥（当仅当 a=b 时取等号）b a若ab0,则2a b（当仅当 a=b 时取等号）b b m a na1⑦ a b n ba m ，（其中ab 0，m 0，n 0)规律：小于 1 同加则变大，大于 1 同加则变小.当0时，或;a x a x 2 a 2 x a x a⑧x a x 2 a 2 a x a.a b a b a b .⑨绝对值三角不等式3、几个著名不等式2 a b a 2 b2aba b 2 2 （1 1 ，a,b R①平均不等式：，当且仅当a b 时取" "号）.（即调和平均几何平均算术平均平方平均）. 变形公式：ab a b ab; 2 2 (a b)a b2.。

高中数学选修4-5知识点不等式选讲1、不等式的基本性质①（对称性）a b b a >⇔>②（传递性）,a b b c a c >>⇒>③（可加性）a b a c b c >⇔+>+（同向可加性）d b c a d c b a +>+⇒>>,（异向可减性）d b c a d c b a ->-⇒<>,④（可积性）bc ac c b a >⇒>>0,bc ac c b a <⇒<>0,⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>⇒> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >><<⇒>⑥（平方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>⇒>∈>且 ⑦（开方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>⇒>∈>且 ⑧（倒数法则）b a b a b a b a 110;110>⇒<<<⇒>>2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22.2a b ab +≤②（基本不等式） 2a b ab +≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）.变形公式： 2a b a b +≥ 2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭ 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.③（三个正数的算术—几何平均不等式）33a b c abc ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）.④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈，（当且仅当a b c ==时取到等号）.⑤3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号）0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，，规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>⇔>⇔<->当时，或22.x a x a a x a <⇔<⇔-<< ⑨绝对值三角不等式.a b a b a b -≤±≤+3、几个著名不等式 ①平均不等式：2211222a b a b ab a b --++≤≤≤+，,a b R +∈（，当且仅当a b =时取""=号）.（即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均）.变形公式：222;22a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭ 222().2a b a b ++≥ ②幂平均不等式：222212121...(...).n n a a a a a a n +++≥+++③二维形式的三角不等式：22222211221212()()x y x y x x y y +++≥-+-1122(,,,).x y x y R ∈④二维形式的柯西不等式：22222()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈当且仅当ad bc =时，等号成立. ⑤三维形式的柯西不等式：2222222123123112233()()().a a a b b b a b a b a b ++++≥++⑥一般形式的柯西不等式：2222221212(...)(...)n n a a a b b b ++++++21122(...).n n a b a b a b ≥+++⑦向量形式的柯西不等式：设,αβ是两个向量，则,αβαβ⋅≤当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使k αβ=时，等号成立.⑧排序不等式（排序原理）：设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤为两组实数.12,,...,n c c c 是12,,...,n b b b 的任一排列，则12111122......n n n n n a b a b a b a c a c a c -+++≤+++1122....n n a b a b a b ≤+++（反序和≤乱序和≤顺序和），当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时，反序和等于顺序和.⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数()f x ,对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或则称f(x)为凸（或凹）函数.4、不等式证明的几种常用方法 常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.常见不等式的放缩方法：①舍去或加上一些项，如22131()();242a a ++>+ ②将分子或分母放大（缩小），如211,(1)k k k <- 211,(1)k k k >+ 2212,21kk k k k k =⇒<++- *12(,1)1k N k k k k >∈>++等.5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或 2(0,40)a b ac ≠∆=->解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()0()()0()()()0()0()0()f x f x g x g x f x g x f x g x g x >⇔⋅>⋅≥⎧≥⇔⎨≠⎩ （<≤“或”时同理）规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解 ⑴2()0()(0)()f x f x a a f x a ≥⎧>>⇔⎨>⎩⑵2()0()(0)()f x f x a a f x a ≥⎧<>⇔⎨<⎩ ⑶2()0()0()()()0()0()[()]f x f x f x g x g x g x f x g x >⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或 ⑷2()0()()()0()[()]f x f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩ ⑸()0()()()0()()f x f x g x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩ 规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.9、指数不等式的解法：⑴当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>⑵当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔< 规律：根据指数函数的性质转化.10、对数不等式的解法⑴当1a >时, ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩⑵当01a <<时, ()0log ()log ()()0.()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法： ⑴定义法：(0).(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ⑵平方法：22()()()().f x g x f x g x ≤⇔≤⑶同解变形法，其同解定理有： ①(0);x a a x a a ≤⇔-≤≤≥ ②(0);x a x a x a a ≥⇔≥≤-≥或 ③()()()()()(()0)f xg x g x f x g x g x ≤⇔-≤≤≥ ④()()()()()()(()0)f x g x f x g x f x g x g x ≥⇔≥≤-≥或规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法解形如20ax bx c ++>且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有： ⑴讨论a 与0的大小；⑵讨论∆与0的大小；⑶讨论两根的大小.14、恒成立问题⑴不等式20ax bx c ++>的解集是全体实数（或恒成立）的条件是： ①当0a =时 0,0;b c ⇒=>②当0a ≠时00.a >⎧⇒⎨∆<⎩ ⑵不等式20ax bx c ++<的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当0a =时0,0;b c ⇒=<②当0a ≠时00.a <⎧⇒⎨∆<⎩ ⑶()f x a <恒成立max ();f x a ⇔< ()f x a ≤恒成立max ();f x a ⇔≤⑷()f x a >恒成立min ();f x a ⇔> ()f x a ≥恒成立min ().f x a ⇔≥15、线性规划问题⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断：法一：取点定域法：由于直线0Ax By C ++=的同一侧的所有点的坐标代入Ax By C ++后所得的实数的符号相同.所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点00(,)x y （如原点），由00Ax By C ++的正负即可判断出0Ax By C ++>(或0)<表示直线哪一侧的平面区域. 即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点.法二：根据0Ax By C ++>(或0)<，观察B 的符号与不等式开口的符号，若同号，0Ax By C ++>(或0)<表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上方的区域.即：同号上方，异号下方.⑵二元一次不等式组所表示的平面区域：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.⑶利用线性规划求目标函数z Ax By =+(,A B 为常数）的最值：法一：角点法：如果目标函数z Ax By =+ （x y 、即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应z 值，最大的那个数为目标函数z 的最大值，最小的那个数为目标函数z 的最小值 法二：画——移——定——求：第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线0:0l Ax By += ，平移直线0l （据可行域，将直线0l平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解(,)x y ；第四步，将最优解(,)x y 代入目标函数z Ax By =+即可求出最大值或最小值 .第二步中最优解的确定方法：利用z 的几何意义：A z y x B B =-+,z B 为直线的纵截距.①若0,B >则使目标函数z Ax By =+所表示直线的纵截距最大的角点处，z 取得最大值，使直线的纵截距最小的角点处，z 取得最小值；②若0,B <则使目标函数z Ax By =+所表示直线的纵截距最大的角点处，z 取得最小值，使直线的纵截距最小的角点处，z 取得最大值.⑷常见的目标函数的类型：①“截距”型：;z Ax By =+ ②“斜率”型：y z x =或;y b z x a -=-③“距离”型：22z x y =+或22;z x y =+22()()z x a y b =-+-或22()().z x a y b =-+-在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.。

高中数学选修4-1知识点总结相似三角形的判定及性质。

由于从定义出发判断两个三角形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例，显然比较麻烦。

所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形相似的简单方法：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似。

对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

简述为：两角对应相等，两三角形相似。

对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

简述为：三边对应成比例，两三角形相似。

1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。

似。

（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比；（2）相似三角形周长的比等于相似比；（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方。

直角三角形的射影定理例中项。

90°的圆周角所对的弦是直径。

圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。

切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

弦切角的性质高中数学选修4-4知识点总结一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求： 1．坐标系：① 理解坐标系的作用. ② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.④ 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. 2．参数方程：① 了解参数方程，了解参数的意义.② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. 二、知识归纳总结：1．伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅=').0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ的作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。

高中数学选修4-5知识点1．不等式的基本性质1．实数大小的比较(1)数轴上的点与实数之间具有一一对应关系．(2)设a 、b 是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A 、B .当点A 在点B 的左边时，a <b ；当点A 在点B 的右边时，a >b ．(3)两个实数的大小与这两个实数差的符号的关系(不等式的意义){a >b ⇔a －b >0a ＝b ⇔a －b ＝0a <b ⇔a －b <0)(4)两个实数比较大小的步骤①作差；②变形；③判断差的符号；④结论．2．不等关系与不等式(1)不等号有≠，>，<，≥，≤共5个．(2)相等关系和不等关系任意给定两个实数，它们之间要么相等，要么不相等．现实生活中的两个量从严格意义上说相等是特殊的、相对的，不等是普遍的、绝对的，因此绝大多数的量都是以不等关系存在的．(3)不等式的定义：用不等号连接起来的式子叫做不等式．(4)不等关系的表示：用不等式或不等式组表示不等关系．3.不等式的基本性质(1)对称性：a >b ⇔b <a ；(2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ；(3)可加性：a >b ，c ∈R ⇔a ＋c >b ＋c ；(4)加法法则：a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；(5)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc ；(6)乘法法则：a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；(7)乘方法则：a >b >0，n ∈N 且n ≥2⇒a n >b n ；(8)开方法则：a >b >0，n ∈N 且n ≥2⇒>.n a n b （9）倒数法则，即a >b >0⇒<.1a 1b 2．基本不等式1．重要不等式定理1：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a＝b 时，等号成立．2．基本不等式(1)定理2：如果a ，b >0，那么 ( ≥)，当且仅当a ＝b a b +≥a ＋b2ab 时，等号成立．(2)定理2的应用：对两个正实数x ，y ，①如果它们的和S 是定值，则当且仅当x ＝y 时，它们的积P 取得最大值，最大值为.S 24②如果它们的积P 是定值，则当且仅当x ＝y 时，它们的和S 取得最小值，最小值为2.P 3．≤的几何解释ab a ＋b2如图，AB 是⊙O 的直径，C 是AB 上任意一点，DE 是过C 点垂直AB 的弦．若AC ＝a ，BC ＝b ，则AB ＝a ＋b ，⊙O 的半径R ＝，Rt △ACD ∽Rt △a ＋b2DCB ，CD 2＝AC ·BC ＝ab ，CD ＝，CD ≤R ⇒≤，当且仅当C 点与ab ab a ＋b 2O 点重合时，CD ＝R ＝，即＝.AB 2ab a ＋b24．几个常用的重要不等式(1)如果a ∈R ，那么a 2≥0，当且仅当a ＝0时取等号；(2)如果a ，b >0，那么ab ≤，当且仅当a ＝b 时等号成立．（a ＋b ）24(3)如果a >0，那么a ＋≥2，当且仅当a ＝1时等号成立．1a (4)如果ab >0，那么＋≥2，当且仅当a ＝b 时等号成立．a b ba 3．三个正数的算术-几何平均不等式1．如果a 、b 、c ∈R ＋，那么a 3＋b 3＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．2．(定理3)如果a 、b、c ∈R ＋，那么≥)，3++≥a b c a ＋b ＋c33abc 当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．即三个正数的算术平均不小于它们的几何平均．3．如果a 1，a 2，…，a n ∈R ＋，那么≥，当且仅a 1＋a 2＋…＋a nn n a 1a 2…an 当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．即对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均．二　绝对值不等式1．绝对值三角不等式1．绝对值及其几何意义(1)绝对值定义：|a |＝{a （a ≥0）－a （a <0）)(2)绝对值几何意义：实数a 的绝对值|a |表示数轴上坐标为a 的点A 到原点O 的距离|OA |.(3)数轴上两点间的距离公式：设数轴上任意两点A ，B 分别对应实数x 1，x 2，则|AB |＝|x 1－x 2|．2．绝对值三角不等式(1)定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立．推论1：如果a ，b 是实数，那么|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |.推论2：如果a ，b 是实数，那么|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |.(2)定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法1．|x |<a 与|x |>a 型不等式的解法设a >0，则(1)|x |<a ⇔－a <x <a ；(2)|x |≤a ⇔－a ≤x ≤a ；(3)|x |>a ⇔x <－a 或x >a ；(4)|x |≥a ⇔x ≤－a 或x ≥a ．2．|ax ＋b |≤c (c >0)与|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法(1)|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ；(2)|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≤－c 或ax ＋b ≥c ．3．|x －a |＋|x －b |≤c 与|x －a |＋|x －b |≥c 型不等式的解法(1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现数形结合思想，理解绝对值的几何意义，给绝对值不等式以准确的几何解释．(2)以绝对值的零点为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想．确定各个绝对值号内多项式的正、负号，进而去掉绝对值号．(3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．正确求出函数的零点并画出函数图象(有时需要考察函数的增减性)是关键．注：绝对值的几何意义(1)|x |的几何意义是数轴上点x 与原点O 的距离；(2)|x －a |＋|x －b |的几何意义是数轴上点x 到点a 和点b 的距离之和；(3)|x －a |－|x －b |的几何意义是数轴上点x 到点a 和点b 的距离之差．2．绝对值不等式的几何意义(1)|x |≤a (a >0)的几何意义是以点a 和－a 为端点的线段，|x |≤a 的解集是[－a ，a ]．(2)|x |>a (a >0)的几何意义是数轴除去以点a 和－a 为端点的线段后剩下的两条射线，|x |>a 的解集是(－∞，－a )∪(a ，＋∞)．3．解含绝对值不等式的关键是去掉绝对值变形为不含绝对值的不等式(组)求解．例题：例如：分类讨论法：即通过合理分类去绝对值后再求解。

数学选修4-5知识点汇总Ⅲ单选题（共5道）1、用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0有有理根，那么a，b，c存在偶数”时，否定结论应为（）Aa，b，c都是偶数Ba，b，c中至多一个是偶数Ca，b，c都不是偶数Da，b，c中至多有两个是偶数2、用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0有有理根，那么a，b，c存在偶数”时，否定结论应为（）Aa，b，c都是偶数Ba，b，c都不是偶数Ca，b，c中至多一个是偶数Da，b，c中至多有两个是偶数3、用柯西不等式求函数y=的最大值为（）AB3C4D54、若0＜x1＜x2，0＜y1＜y2，且x1+x2=y1+y2=1，则下列代数式中值最大的是（）Ax1y1+x2y2Bx1x2+y1y2Cx1y2+x2y1D5、已知α：不等式|x-1|+|x+2|＞m的解集为R；β：函数f（x）=log（5-2m）x在其定义域上是减函数．则α成立是β成立的（）A充要条件B充分非必要条件C必要非充分条件D既非充分又非必要条件填空题（共5道）6、设存在实数，使不等式成立，则实数的取值范围是__________。

7、若关于x的不等式|x-1|+|x+m|>3的解集为R，则实数m的取值范围是.8、对一切实数x，不等式x2+a|x|+1≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）．9、不等式|x-2|+|x+1|≥a对于任意x∈R恒成立，则实数a的集合为（）。

10、对于所有实数x，不等式x2+|2x-4|≥a恒成立，则实数a的最大值是______．-------------------------------------1-答案：tc解：对结论否定，“存在”的否定是“都不是”，即否定结论应为a，b，c都不是偶数，故选B．2-答案：tc解：对结论否定，“存在”的否定是“都不是”，即否定结论应为a，b，c都不是偶数，故选B．3-答案：tc解：由柯西不等式可得，函数y=≤•=4，当且仅当==时，等号成立，故函数y的最大值为4，故选：C．4-答案：tc解：依题意取x1=，x2=，y1=，y2=，计算x1y1+x2y2=，x1x2+y1y2=，x1y2+x2y1=，故选：A．5-答案：C-------------------------------------1-答案：解：因为设存在实数，使不等式成立，则根据去掉绝对值符号得到不等式，机诶和函数的单调性得到实数的取值范围2-答案：分析：根据绝对值的意义可得|x-1|+|x+m|的最小值为|m+1|，再由|m+1|＞3 求得实数m的取值范围。

高中数学选修4-5知识点不等式选讲1、不等式的基本性质①（对称性）a b b a >⇔>②（传递性）,a b b c a c >>⇒>③（可加性）a b a c b c >⇔+>+（同向可加性）d b c a d c b a +>+⇒>>,（异向可减性）d b c a d c b a ->-⇒<>,④（可积性）bc ac c b a >⇒>>0,bc ac c b a <⇒<>0,⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>⇒> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >><<⇒>⑥（平方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>⇒>∈>且 ⑦（开方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>⇒>∈>且 ⑧（倒数法则）b a b a b a b a 110;110>⇒<<<⇒>>2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22.2a b ab +≤②（基本不等式） 2a b ab +≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）.变形公式： 2a b a b +≥ 2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭ 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.③（三个正数的算术—几何平均不等式）33a b c abc ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）.④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈，（当且仅当a b c ==时取到等号）.⑤3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号）0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，，规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>⇔>⇔<->当时，或22.x a x a a x a <⇔<⇔-<< ⑨绝对值三角不等式.a b a b a b -≤±≤+3、几个著名不等式 ①平均不等式：2211222a b a b ab a b --++≤≤≤+，,a b R +∈（，当且仅当a b =时取""=号）.（即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均）.变形公式：222;22a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭ 222().2a b a b ++≥ ②幂平均不等式：222212121...(...).n n a a a a a a n +++≥+++③二维形式的三角不等式：22222211221212()()x y x y x x y y +++≥-+-1122(,,,).x y x y R ∈④二维形式的柯西不等式：22222()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈当且仅当ad bc =时，等号成立. ⑤三维形式的柯西不等式：2222222123123112233()()().a a a b b b a b a b a b ++++≥++⑥一般形式的柯西不等式：2222221212(...)(...)n n a a a b b b ++++++21122(...).n n a b a b a b ≥+++⑦向量形式的柯西不等式：设,αβ是两个向量，则,αβαβ⋅≤当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使k αβ=时，等号成立.⑧排序不等式（排序原理）：设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤为两组实数.12,,...,n c c c 是12,,...,n b b b 的任一排列，则12111122......n n n n n a b a b a b a c a c a c -+++≤+++1122....n n a b a b a b ≤+++（反序和≤乱序和≤顺序和），当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时，反序和等于顺序和.⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数()f x ,对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或则称f(x)为凸（或凹）函数.4、不等式证明的几种常用方法 常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.常见不等式的放缩方法：①舍去或加上一些项，如22131()();242a a ++>+ ②将分子或分母放大（缩小），如211,(1)kk k <- 211,(1)k k k >+ 2212,21k k k k k k =⇒<++- *12(,1)1k N k k k k >∈>++等.5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或 2(0,40)a b ac ≠∆=->解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()0()()0()()()0()0()0()f x f x g x g x f x g x f x g x g x >⇔⋅>⋅≥⎧≥⇔⎨≠⎩ （<≤“或”时同理）规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解 ⑴2()0()(0)()f x f x a a f x a ≥⎧>>⇔⎨>⎩⑵2()0()(0)()f x f x a a f x a ≥⎧<>⇔⎨<⎩ ⑶2()0()0()()()0()0()[()]f x f x f x g x g x g x f x g x >⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或 ⑷2()0()()()0()[()]f x f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩ ⑸()0()()()0()()f x f x g x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩ 规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.9、指数不等式的解法：⑴当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>⑵当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔< 规律：根据指数函数的性质转化.10、对数不等式的解法⑴当1a >时, ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩⑵当01a <<时, ()0log ()log ()()0.()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法： ⑴定义法：(0).(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ⑵平方法：22()()()().f x g x f x g x ≤⇔≤⑶同解变形法，其同解定理有： ①(0);x a a x a a ≤⇔-≤≤≥ ②(0);x a x a x a a ≥⇔≥≤-≥或 ③()()()()()(()0)f xg x g x f x g x g x ≤⇔-≤≤≥ ④()()()()()()(()0)f x g x f x g x f x g x g x ≥⇔≥≤-≥或规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法解形如20ax bx c ++>且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有： ⑴讨论a 与0的大小；⑵讨论∆与0的大小；⑶讨论两根的大小.14、恒成立问题⑴不等式20ax bx c ++>的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当0a =时 0,0;b c ⇒=> ②当0a ≠时00.a >⎧⇒⎨∆<⎩ ⑵不等式20ax bx c ++<的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当0a =时0,0;b c ⇒=<②当0a ≠时00.a <⎧⇒⎨∆<⎩ ⑶()f x a <恒成立max ();f x a ⇔< ()f x a ≤恒成立max ();f x a ⇔≤⑷()f x a >恒成立min ();f x a ⇔> ()f x a ≥恒成立min ().f x a ⇔≥15、线性规划问题⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断：法一：取点定域法：由于直线0Ax By C ++=的同一侧的所有点的坐标代入Ax By C ++后所得的实数的符号相同.所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点00(,)x y （如原点），由00Ax By C ++的正负即可判断出0Ax By C ++>(或0)<表示直线哪一侧的平面区域. 即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点.法二：根据0Ax By C ++>(或0)<，观察B 的符号与不等式开口的符号，若同号，0Ax By C ++>(或0)<表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上方的区域.即：同号上方，异号下方.⑵二元一次不等式组所表示的平面区域：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.⑶利用线性规划求目标函数z Ax By =+(,A B 为常数）的最值：法一：角点法：如果目标函数z Ax By =+ （x y 、即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应z 值，最大的那个数为目标函数z 的最大值，最小的那个数为目标函数z 的最小值 法二：画——移——定——求：第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线0:0l Ax By += ，平移直线0l （据可行域，将直线0l平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解(,)x y ；第四步，将最优解(,)x y 代入目标函数z Ax By =+即可求出最大值或最小值 .第二步中最优解的确定方法：利用z 的几何意义：A z y x B B =-+,z B 为直线的纵截距.①若0,B >则使目标函数z Ax By =+所表示直线的纵截距最大的角点处，z 取得最大值，使直线的纵截距最小的角点处，z 取得最小值；②若0,B <则使目标函数z Ax By =+所表示直线的纵截距最大的角点处，z 取得最小值，使直线的纵截距最小的角点处，z 取得最大值.⑷常见的目标函数的类型：①“截距”型：;z Ax By =+ ②“斜率”型：y z x =或;y b z x a -=-③“距离”型：22z x y =+或22;z x y =+22()()z x a y b =-+-或22()().z x a y b =-+-在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.。

高 中 数 学 选 修 4-5知识点不等式选讲1、不等式的基本性质 a >b ⇔b > a ①（对称性） a >b ,b > c ⇒ a > c ②（传递性） ③（可加性） a >b ⇔ a +c >b +c（同向可加性）a > b,c > d ⇒ a + c > b + d （异向可减性）a > b,c < d ⇒ a -c > b -d ④（可积性）a > b,c > 0 ⇒ ac > bc a > b,c < 0 ⇒ ac < bc⑤（同向正数可乘性）a > b > 0,c > d > 0 ⇒ ac > bda >b > 0,0 <c <d ⇒ a > b（异向正数可除性）c d ⑥（平方法则）a > b > 0 ⇒ a > b (n ∈N ,且n >1)n n⑦（开方法则）a >b > 0⇒ n a > n b (n ∈N ,且n >1)1 1 1 1a >b > 0 ⇒ < ;a < b < 0 ⇒ >a b a b ⑧（倒数法则）2、几个重要不等式ab ≤ a 2+b2 . a2 b 2+ ≥ 2ab (a ，b ∈R ) ①,（当且仅当a = b 时取"= "号）.变形公式：2 a +b ≥ ab() ,（当且仅当a ，b ∈R + a = b 时取到等号）.2 ②（基本不等式）⎛ a +b ⎫2ab ≤  ⎝ 2 ⎭ .⎪ a + b ≥ 2 a b 变形公式：用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、 三相等”.a +b +c ≥ 3 abc(a 、b 、c ∈R +)（当且仅当 3 ③（三个正数的算术—几何平均不等式）a =b =c 时取到等号）.a 2 + + ≥ab +bc +ca (a ，b ∈R ) b 2c 2④（当且仅当 a = b = c 时取到等号）. a +b +c ≥ 3abc (a > 0,b > 0,c > 0)3 3 3⑤ （当且仅当 a = b = c 时取到等号）.b a若ab > 0,则 + ≥ 2a b ⑥ （当仅当 a=b 时取等号） b a若ab < 0,则 + ≤ - 2a b （当仅当 a=b 时取等号）b a b + m < 1< a + n < aa + mb + n b ，（其中a >b > 0，m > 0，n > 0)< ⑦规律：小于 1同加则变大，大于 1同加则变小.> a ⇔ x < -a 或x > a ;⑧当a > 0时，x > a ⇔ x 2 2x < a ⇔ x 2 < a 2 ⇔ -a < x < a .a -b ≤ a ±b ≤ a + b .⑨绝对值三角不等式 3、几个著名不等式2+b - a +b ≤ a 2+b 2 ≤ ab ≤ a - 1①平均不等式： 1 2 2 ，（a ,b ∈R+a =b 时取"= "，当且仅当号）.≤ ≤ ≤ （即调和平均几何平均算术平均平方平均）.变形公式：⎛ a +b ⎫ 2≤ a 2 +b 2(a +b )2 ab ≤ ⎝ 2 ⎭ 2 ; ⎪ a 2 +b 2 ≥ .2②幂平均不等式：1 a 12 + a 2 2 +...+ a n 2 ≥ (a + a +...+ a n ) 2.1 2 n ③二维形式的三角不等式：x 1 + y 1 + x 2 + y 2 ≥ (x - x 2) + (y - y 2)2 2 2 2 2 2(x , y ,x , y ∈R ).1 11 12 2④二维形式的柯西不等式：(a2 +b 2 )(c 2 +d 2 ) ≥ (ac +bd ) 2 (a ,b ,c ,d ∈R ).当且仅当 ad = bc 时，等号成立. ⑤三维形式的柯西不等式：(a 1 +a 2 +a 3 )(b 1 +b 2 +b 3 ) ≥ (ab +a b +a b 3) .2 2 2 2 2 2 21 12 2 3⑥一般形式的柯西不等式：2 2 2 2 2 2(a 1 +a 2 +...+a n )(b 1 +b 2 +...+b n) ≥ (ab +a 2b 2 ... a b n ) . + + n21 1⑦向量形式的柯西不等式：α ⋅β ≤ α β , 设α,β是两个向量，则 当且仅当 β α = k β时，k是零向量，或存在实数，使等号成立.⑧排序不等式（排序原理）： a 1 ≤ a ≤...≤ a ,b ≤b ≤...≤b n 为两组实数 .c 1,c ,...,c n 是b 1,b ,...,b n 的任一排列，则设2 n 1 2 2 2 a 1b +a b +...+a b ≤ a c +a c +...+a c ≤ ab+a b +...+a b . （反序和乱序和≤ ≤n 2 n -1 n 1 1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n n a 1 = a = ...= a n 或b 1 = b = ...= b n 时，反序和等于顺序和.顺序和），当且仅当2 2 ⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）f (x ) ,对于定义域中任意两点 x 1,x(x ≠ x ),有 若定义在某区间上的函数 2 1 2 f (x 1 + x 2 ) ≤ f (x )+ f (x 2)或 f (x 1 + x ) ≥ f (x )+ f (x 2). 121 2 22 2 则称 f(x)为凸（或凹）函数.4、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法：(a + 1) + >(a + 1) 3 ;2 2 2 2 4 ①舍去或加上一些项，如②将分子或分母放大（缩小），1 11 12 2 1 < 2 < k (k -1) , > k (k +1) , = k + k ⇒ k + k -1 , k 2 k 2 2 k k如1 2> k + k +1 (k ∈ N * ,k >1) k 等.5、一元二次不等式的解法ax 2+bx +c > 0(或< 0) 求一元二次不等式(a ≠ 0,∆ =b 2 -4ac > 0)解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.。