北师版数学高二-选修1-2教案疑难规律方法

教学准备1. 教学目标知识与技能：了解结构图,能够绘制简单问题的结构图，能根据所给的结构图，用语言描述结构图所包含的信息；过程与方法：通过运用结构图梳理已学过的知识，来认识结构图的知识，熟悉绘制结构图的方法，进而体会它的作用；情感,态度与价值观：通过学习结构图，感受结构图在交流中的方便、简洁的特征和优越性，体会结构图在整理知识中的作用，提高学生思维和表达的能力。

2. 教学重点/难点重点：认识和绘制结构图。

难点：对于一个问题中事物之间逻辑关系的理解3. 教学用具4. 标签教学过程复习导入复习常见的流程框图.流程图，用来描述具有时间特征的动态过程，可以表示完成某项工作的程序，按照流程图表示的顺序完成相应工序，就能实现目的。

但是，有些事物之间并不是先后顺序关系，而是存在某种逻辑关系，那么它们的关系，我们可以用一种新的方法，描述系统结构的图示----结构图来表示.自主探究活动:请同学们阅读课本P44—P45,思考下列问题：1、什么是结构图？2、结构图有什么特征？3、结构图与流程图有什么区别？4、如何画结构图？时间：4分钟+3分钟 (4分钟自学+3分钟)点拨精讲结构图与流程图有什么区别？结构图是一种静态图示，通常用来描述一个系统各部分和各环节之间的关系．流程图是一种动态图示，通常用来描述有先后关系的问题典例精讲例1、某公司里，总经理对董事会负责，总工程师、常务副总经理、副总经理分别对总经理负责。

常务副总经理分管行政人事部、资金财务部、业务发展部和技术工程部，副总经理分管市场营销部、深圳办事处和杭州办事处。

请用框图的形式表示该公司的结构图。

例2、阅读框图，对其进行解释说明.例3、在本书中，我们学习了统计案例，请画出这一章的章节结构图。

1.下面的结构图反映了( )(A)知识结构图中的从属关系 (B)组织结构图(C)知识结构图中的逻辑先后关系 (D)其他结构图2、下列结构图中，体现要素之间是逻辑先后关系的是( )3.下列关于结构图的说法不正确的是( )(A)结构图中各要素之间通常表现为概念上的从属关系和逻辑上的先后关系(B)结构图都是“树形”结构(C)简洁的结构图能更好地反映主体要素之间关系和系统的整体特点(D)复杂的结构图能更详细地反映系统中各细节要素及其关系。

2.1条件概率与独立事件学习目标 1.理解条件概率的定义及计算方法.2.了解两个事件相互独立的概念.3.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决问题．知识点一条件概率思考(1)3张奖券中只有1张能中奖，现分别由3名同学无放回地抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比其他同学小？(2)如果已知第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率是多少？梳理(1)概念：已知事件B发生的条件下，A发生的概率称为B发生时A发生的条件概率，记为________．(2)公式：当P(B)>0时，P(A|B)＝P(AB) P(B).知识点二相互独立事件思考在一次数学测试中，甲考满分对乙考满分有影响吗？梳理(1)定义：对两个事件A，B，如果P(AB)＝________，则称A，B相互独立．(2)性质：如果A，B相互独立，则A与B，A与________，A与B也相互独立．(3)如果A1，A2，…，A n相互独立，则有P(A1A2…A n)＝____________________.类型一条件概率例1甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，问：(1)乙地为雨天时，甲地也为雨天的概率是多少？(2)甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率是多少？反思与感悟在概率的求解题目中，若出现“已知在…前提下(条件下)”等字眼时，一般需用到条件概率；若题中出现“事件B的发生受事件A发生的影响”时，也需利用条件概率解决．跟踪训练1甲、乙、丙、丁4人到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A＝“4个人去的景点不相同”，事件B＝“甲独自去一个景点”，则P(A|B)＝________.类型二独立事件的判定及概率计算命题角度1独立事件的判定例2对于下列给出的事件：①甲、乙两同学同时解一道数学题，事件A表示“甲同学做对”，事件B表示“乙同学做对”；②在某次抽奖活动中，记事件A表示“甲抽到的两张奖券中，一张中一等奖，另一张未中奖”，事件B表示“甲抽到的两张奖券均中二等奖”；③一个布袋里有3个白球和2个红球，记事件A，B分别表示“从中任意取一个是白球”与“取出的球不放回，再从中任取一球是红球”；④在有奖储蓄中，记甲在不同奖组M和N中所开设的两个户头分别中一等奖为事件A和B.其中事件A和事件B相互独立的是________．(填序号)反思与感悟事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件称为相互独立事件．跟踪训练2掷一枚骰子一次，设事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3点或6点”，则事件A，B的关系是()A．互斥但不相互独立B．相互独立但不互斥C．互斥且相互独立D．既不相互独立也不互斥命题角度2相互独立事件同时发生的概率例3甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：(1)2人都射中目标的概率；(2)2人中恰有1人射中目标的概率；(3)2人至少有1人射中目标的概率；(4)2人至多有1人射中目标的概率．反思与感悟求P(AB)时注意事件A、B是否相互独立，求P(A＋B)时同样应注意事件A、B 是否互斥，对于“至多”“至少”型问题的解法有两种思路：①分类讨论；②求对立事件，利用P(A)＝1－P(A)来运算．跟踪训练3某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05，求两次抽奖中以下事件的概率：(1)都抽到某一指定号码；(2)恰有一次抽到某一指定号码；(3)至少有一次抽到某一指定号码．1．下列说法正确的是() A ．P (B |A )<P (AB ) B ．P (B |A )＝P (B )P (A )是可能的 C ．0<P (B |A )<1D ．P (A |A )＝02．坛子中放有3个白球和2个黑球，从中进行不放回地取球2次，每次取一球，用A 1表示第一次取得白球，A 2表示第二次取得白球，则A 1与A 2是( ) A ．互斥事件 B ．相互独立事件 C ．对立事件D ．不相互独立事件3．甲，乙，丙三人独立去破译一个密码，分别破译出的概率为15，13，14，则此密码能破译出的概率是( ) A.160 B.25 C.35 D.59604．已知A 、B 是相互独立事件，且P (A )＝12，P (B )＝23，则P (A B )＝________；P (A B )＝________.5．在感冒流行的季节，设甲、乙两人患感冒的概率分别为0.6和0.5，则他们中有人患感冒的概率是________．1．条件概率的前提条件是：在知道事件A 必然发生的前提下，只需局限在A 发生的范围内考虑问题，在事件A 发生的前提下事件B 发生，等价于事件A 和B 同时发生，由古典概型知，其条件概率为P (B |A )＝n (AB )n (A )＝n (AB )n (Ω)n (A )n (Ω)＝P (AB )P (A )，其中，n (Ω)为一次试验可能出现的所有结果数，n (A )为事件A 所包含的结果数，n (AB )为AB 同时发生时的结果数．2．P (AB )＝P (A )P (B )使用的前提条件是A ，B 为相互独立事件；当事件A 与B 相互独立时，事件A 与B 、A 与B 、A 与B 也相互独立．3．求事件的概率时，有时遇到求“至少”或“至多”等事件概率问题，可考虑用他们的对立事件求解．答案精析问题导学 知识点一思考 (1)最后一名同学抽到中奖奖券的概率为13，不比其他同学小．(2)按照古典概型的计算公式，此时最后一名同学抽到中奖奖券的概率为12.梳理 (1)P (A |B ) 知识点二 思考 没有影响．梳理 (1)P (A )P (B ) (2)B (3)P (A 1)P (A 2)…P (A n ) 题型探究例1 解 设A ＝“甲地为雨天”，B ＝“乙地为雨天”，则： (1)乙地为雨天时，甲地也为雨天的概率是P (A |B )＝P (AB )P (B )＝0.120.18＝0.67. (2)甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率是P (B |A )＝P (AB )P (A )＝0.120.20＝0.60. 跟踪训练1 29解析 甲独自去一个景点，有4个景点可选，其余3人每人都有3种选择，可能性为3×3×3＝27(种)．故甲独自去一个景点的可能性为4×27＝108(种)， 4人去不同的景点的可能性为4×3×2×1＝24(种)． 故P (A |B )＝24108＝29.例2 ①④ 解析跟踪训练2B例3解记“甲射击1次，击中目标”为事件A，“乙射击1次，击中目标”为事件B，则A与B，A与B，A与B，A与B为相互独立事件，(1)“2人都射中”的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝0.8×0.9＝0.72，所以2人都射中目标的概率是0.72.(2)“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲击中、乙未击中(事件A B发生)，另一种是甲未击中、乙击中(事件A B发生)．根据题意，事件A B与A B互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为P(A B)＋P(A B)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9＝0.08＋0.18＝0.26.所以2人中恰有1人射中目标的概率是0.26.(3)方法一“2人至少有1人射中”包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种情况，其概率为P＝P(AB)＋＝0.72＋0.26＝0.98.方法二“2人至少有一人射中”与“2人都未射中”为对立事件，“2个都未射中目标”的概率是P(A B)＝P(A)P(B)＝(1－0.8)(1－0.9)＝0.02，所以“两人至少有1人射中目标”的概率为P＝1－P(A B)＝1－0.02＝0.98.(4)方法一“至多有1人射中目标”包括“2人都未射中”和“有1人射中”，故所求概率为P＝P(A B)＋P(A B)＋P(A B)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝0.02＋0.08＋0.18＝0.28.方法二“至多有1人射中目标”的对立事件是“2人都射中目标”，故所求概率为P＝1－P (AB )＝1－P (A )P (B )＝1－0.72＝0.28.跟踪训练3 解 设“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A ，“第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B ，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB .(1)由于两次抽奖结果互不影响，因此事件A 与B 相互独立．于是由独立性可得两次抽奖都抽到某一指定号码的概率为P (AB )＝P (A )P (B )＝0.05×0.05＝0.002 5.(2)“两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用(A B )∪(A B )表示．由于事件A B 与A B 互斥，根据概率的加法公式和相互独立事件的定义，可得所求事件的概率为 P (A B )＋P (A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝0.05×(1－0.05)＋(1－0.05)×0.05＝0.095. 即恰有一次抽到某一指定号码的概率为0.095.(3)方法一 “两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用(AB )∪(A B )∪(A B )表示．由于事件AB ，A B 和A B 两两互斥，根据概率的加法公式和相互独立事件的定义，可得所求事件的概率为P (AB )＋P (A B )＋P (A B )＝0.002 5＋0.095＝0.097 5. 方法二 1－P (A B )＝1－(1－0.05)2＝0.097 5. 即至少有一次抽到某一指定号码的概率为0.0975. 当堂训练1．B 2.D 3.C 4.16 165.0.8。

变量间的相关关系、回归分析及独立性检验【知识精讲】1．会作两个相关变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量的相关关系． 2．了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．3．掌握独立检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法简单应用. 4. 掌握假设检验和聚类分析的基本思想、方法简单应用. 【基础梳理】1．相关关系的量：当自变量一定时，因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系称为相关关系．2．回归分析：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析． 3．散点图：表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图． 4．正相关与负相关概念：如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内，称为正相关．如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内，称为负相关．6．相关系数：r ＝∑∑∑===---ni ini ini ii y n yx n xyx n yx 1221221叫做变量y 与x 之间的样本相关系数，简称相关系数，用它来衡量两个变量之间的线性相关程度．7．相关系数的性质：|r|≤1，且|r|越接近1，相关程度越大；且|r|越接近0，相关程度越小．8．独立性检验：一般地，假设有两个分类变量X 和Y ，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为： 2×2列联表若要推断的论述为H1：X 与Y 有关系，可以按如下步骤判断结论H1成立的可能性： (1)通过三维柱形图和二维条形图，可以粗略地判断两个分类变量是否有关系，但是这种判断无法精确地给出所得结论的可靠程度．①在三维柱形图中，主对角线上两个柱形高度的乘积ad 与副对角线上的两个柱形高度的乘积bc 相差越大，H1成立的可能性就越大．②在二维条形图中，可以估计满足条件X ＝x1的个体中具有Y ＝y1的个体所占的比例ba a+ ，也可以估计满足条件X ＝x2的个体中具有Y ＝y2的个体所占的比例.“两个比例的值相差越大，H1成立的可能性就越大．”(2)可以利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度．具体做法是：①根据实际问题需要的可信程度确定临界值k0；②利用公式K 2＝d)c)(b d)(a b)(c (a bc)-ad n 2++++（ ，由观测数据计算得到随机变量K 2的观测值k ；③如果k ＞k0，就以(1－P(K2≥k0))×100%的把握认为“X 与Y 有关系”；否则就说样本观测数据没有提供“X 与Y 有关系”的充分证据． 【要点解读】要点七 相关关系的判断【例7】山东鲁洁棉业公司的科研人员在7块并排、形状大小相同的试验田上对某棉花新品种进行施化肥量x 对产量y 影响的试验，得到如下表所示的一组数据(单位：kg)．(1)画出散点图；(2)判断是否具有相关关系．【命题立意】考查相关关系的分析方法.【标准解析】用施化肥量x作为横轴，产量y为纵轴可作出散点图，由散点图即可分析是否具有线性相关关系．【误区警示】正确选择坐标描点，并准确观察散点的实际分布判断两变量的正相关和负相关是常用方法.【答案】(1)散点图如右图所示，[来源:学.科.网Z.X.X.K](2)由散点图知，各组数据对应点大致都在一条直线附近，所以施化肥量x与产量y具有线性相关关系.【变式训练】(2009·宁夏、海南)对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图(1)；对变量u、v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图(2)．由这两个散点图可以判断( )A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关【标准解析】由图(1)可知，各点整体呈递减趋势，x与y负相关，由图(2)可知，各点整体呈递增趋势，u与v正相关．【技巧点拨】注意正负相关的判断标准.【答案】C要点八线性回归分析【例8】一台机器使用时间较长，但还可以使用．它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器运转的速度而变化，下表为抽样试验结果：[来源:学科(1)对变量y 与x 进行相关性检验；(2)如果y 与x 有线性相关关系，求回归直线方程；(3)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个，那么，机器的运转速度应控制在什么范围内？ 【命题立意】考查线性回归分析方法。

运用归纳推理 解决数学问题归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，历史上许多数学结论的发现，往往都是通过归纳推理获得的．归纳推理对我们的数学学习也有着重要的指向作用，下面例谈如何运用归纳推理来解决一些数学问题． 例１ 设在R 上定义的函数()f x ，对x ∀∈R 都有(2)(1)()f x f x f x +=+-，且(1)lg3lg 2f =-，(2)lg3lg5f =+，试归纳出(2007)f 的值．分析：我们先由已知条件求出(1)(2)(3)(8)f f f f ，，，…，的值，分析其特征，然后归纳猜想出(2007)f 的值．解：(1)lg3lg 2f =-，(2)lg3lg5f =+，(3)(2)(1)lg5lg 2f f f =-=+，(4)(3)(2)lg 2lg3(1)f f f f =-=-=-，(5)(4)(3)lg3lg5(2)f f f f =-=--=-，(6)(5)(4)lg5lg 2(3)f f f f =-=--=-，(7)(6)(5)lg3lg 2(1)f f f f =-=-=，(8)(7)(6)lg3lg5(2)f f f f =-=+=．由此观察可发现，函数()f x 可能是一个以6为最小正周期的周期函数．故猜想(2007)(33463)(3)lg5lg 2lg101f f f =⨯+==+==．点评：归纳推理主要是通过观察、分析某类事物的部分对象，归纳其特征，然后猜想该类事物都具有这些特征，它的关键在于观察过程中如何发现规律．因此，为了更好地进行归纳推理，除要求同学们具备敏锐的观察力外，还要具备一定的数学知识，才能在数学的天空中展开丰富的想象．当然，由归纳推理得到的结论是否正确还有待运用演绎推理来证明，但归纳推理可以为我们的研究提供一种方向，避免研究时的盲目性．例2 设{}n a 是集合{}22|0t s s t s t +∈Z ≤≤，且，中所有的数从小到大排列的数列，且13a =，25a =，36a =，49a =，510a =，612a =，…．将数列{}n a 各项按照上小下大、左小右大的原则写成如右所示的三角形数表：（1）写出这个三角形数表中的第4行、第5行各数；（2）求出100a ．分析：对于（1），只需按照集合中元素特征写出三角形数表中前三行各数的指数表示，并观察指数规律，据此归纳、抽象出第4、第5两行数的指数规律，即可写出第4行、第5行各数．对于（2），关键是判断出100a 是这个三角形数表中第几行第几个数，进而便可用（1）所得的指数规律求出100a ．解：（1）将前三行各数写成22t s +的形式：第1行：10322=+；第2行：20522=+，21622=+；第3行：30922=+，311022=+，321222=+；由此归纳猜想：第4行：402217+=，412218+=，422220+=，432224+=；第5行：502233+=，512234+=，522236+=，532240+=，542248+=．即第4行各数依次是：17，18，20，24；第５行各数依次为：33，34，36，40，48．（2）由每行上数的个数与行数相同，即第1行1个数，第2行2个数，第3行3个数，…，由(1)1002n n +≤（n *∈N ）得13n ≤．由前13行共有1231391++++=…个数．因此，100a 应当是第14行中第9个数．所以148100221638425616640a =+=+=．点评：这里我们运用归纳推理的思维方式解决了问题．特例试验，归纳猜想是理性思维的重要体现，是获得发现的源泉．学习中要善于运用归纳推理，大胆猜想和发现．。

归纳推理学习目标1. 结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；2. 能利用归纳进行简单的推理，体会并熟悉归纳推理在数学发觉中的作用.学习进程一、课前预备在日常生活中咱们常常碰到如此的现象：（1）看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家，推断天要下雨；（2）八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯.以上例子能够得出推理是的思维进程.二、新课导学※学习探讨探讨任务：归纳推理问题1:哥德巴赫猜想：观察6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97，猜想：. 问题2：由铜、铁、铝、金等金属能导电，归纳出. 新知：归纳推理就是由某些事物的,推出该类事物的的推理，或由的推理.简言之，归纳推理是由的推理.※典型例题例1 观察下列等式：1+3=4=22，1+3+5=9=23，1+3+5+7=16=24，1+3+5+7+9=25=25，……你能猜想到一个如何的结论？变式：观察下列等式：1=11+8=9，1+8+27=36，1+8+27+64=100，……你能猜想到一个如何的结论？例2已知数列{}n a 的第一项11a =，且nn n a a a +=+11(1,2,3...)n =，试归纳出那个数列的通项公式.变式：在数列{n a }中，11()2n n n a a a =+（2n ≥），试猜想那个数列的通项公式.※ 动手试试练1.的结果.练2. 在数列{n a }中，11a =，122n n n a a a +=+（*n N ∈）,试猜想那个数列的通项公式.三、总结提升※ 学习小结1．归纳推理的概念.2. 归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情形发觉某些相同的性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）※ 知识拓展1.费马猜想：法国业余数学家之王—费马（1601-1665）在1640年通过对020213F =+=，121215F =+=，2222117F =+=，32321257F =+=，4242165537F =+=的观察，发觉其结果都是素数，提出猜想：对所有的自然数n ，任何形如221nn F =+的数都是素数. 后来瑞士数学家欧拉发觉5252142949672976416700417F =+==⨯不是素数，推翻费马猜想. 2.四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位弄地图着色工作时，发觉了一种有趣的现象：“每幅地图都能够用四种颜色着色，使得有一路边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子运算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判断，完成证明.学习评价※ 自我评价 你完本钱节导学案的情形为（ ）.A. 专门好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1.下列关于归纳推理的说法错误的是（ ）A.归纳推理是由一般到一般的一种推理进程B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理进程C.归纳推理得出的结论具有或然性，不必然正确D.归纳推理具有由具体到抽象的熟悉功能2.若2()41,f n n n n N =++∈，下列说法中正确的是（ ）.A.()f n 能够为偶数B. ()f n 必然为奇数C. ()f n 必然为质数D. ()f n 必为合数3.已知2()(1),(1)1()2f x f x f f x +==+ *x N ∈（），猜想(f x ）的表达式为（ ）. A.4()22x f x =+ B.2()1f x x =+C.1()1f x x =+D.2()21f x x =+ 4.111()1()23f n n N n +=+++⋅⋅⋅+∈，经计算得357(2),(4)2,(8),(16)3,(32)222f f f f f =>>>>猜想当2n ≥时，有__________________________.5. 从22211,2343,345675=++=++++=中得出的一般性结论是_____________ .课后作业1. 对于任意正整数n ，猜想(21)n -与2(1)n +的大小关系.2. 已知数列{n a }的前n 项和n S ，123a =-，知足12(2)n n nS a n S ++=≥，计算1234,,,,S S S S 并猜想n S 的表达式.。

如何绘制结构图绘制结构图第一要明确组成系统的大体要素,而且要肯定要素之间的彼此关系,然后画出结构图表示整个系统。

要注意实问题的逻辑顺序和概念上的从属关系。

在结构图中会出现“树”形结构，也会出现一些“环”形结构.一般来讲，包括从属关系的结构图呈“树”形结构，包括逻辑前后关系的结构图则可呈“环”形结构.其具体进程为：（1）从头至尾抓住主要脉络分解成若干步。

（2）将每一步提炼成简练语言放在矩形框内。

（3）各步按逻辑顺序排列并用线段相连。

下面咱们通过绘制几个常常利用的知识结构图，来体会结构图的绘制及其相关知识。

一．绘制熟悉数的进程的知识结构图 例1、试写出我们认识数的过程的知识结构图。

分析：从大范围到小范围，慢慢细化。

解：如图评注：要熟悉知识结构。

二．绘制函数知识结构图例二、试画出函数的知识结构图。

复数实数虚数有理数整数分数自然数负整数真分数 假分数正无理数负无理数纯虚数 非纯虚数无理数分析：函数主要研究了概念、性质和图象。

解：如图三．绘制统计知识结构图 例3、设计一个结构图，表示“统计”的知识结构图。

分析：在统计一章中，主要有抽样方式，样本估量整体，线性回归分析。

解：如图 四．绘制数列知识结构图例4、请写出“数列”一章的知识结构图。

分析：数列一章的内容主要包括了数列概念、等差数列、等比数列、和数列的综合应用。

解：如图收集数据简单随机抽样系统抽样 分层抽样整理分析数据用样本估变量间的用样本的频率分布估计总体用样本的数字特征估计总体线性回归函数的定义函数解析式 定义域 单调性 奇偶性 值 域概念性质图象函数常见函数图象 图象变换 周期性 一般数列等差数列等比数列数列综合应用概念通项公式 概念性质 求和 概念性质 求和数列。

北师大版数学选修1-2第三章推理与证明§4 反证法一、教学目标：1.知识与技能：(1)了解间接证明的一种基本方法──反证法；(2)了解反证法的思考过程与特点,会用反证法证明数学问题.2.过程与方法:通过学生动手及简单实例,让学生充分体会反证法的数学思想,并学会简单应用.3.情感态度与价值观通过反证法的学习,让学生形成逆向思维的模式,体验数学方法的多样性。

提高学生推导、推理能力及思考问题和解决问题的能力，并在合作探究中找到一种解决生活生产实际问题的新方法。

二.教学重点：了解反证法的思考过程与特点..三.教学难点：正确理解、运用反证法.四.教学方法：多媒体辅助教学；小组合作探究，多元活动.教学过程：一、课前复习与思考：（1）请学生复习旧知，为本节课夯实基础：直接证明：是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推理证明结论的真实性。

常用的直接证明方法：综合法与分析法。

综合法的思路是由因导果；分析法的思路是执果索因。

（2）让学生思考间接证明是什么？它有哪些方法？（初中所学）间接证明：不是从正面证明命题的真实性，而是证明命题的反面为假，或改证它的等价命题为真，间接地达到证明的目的。

反证法就是一种常用的间接证明方法。

二、探究新知【新课导引】多媒体课件显示9个白色球.上课时要求学生将9个球分别染成红色或绿色.让学生注意观察现象.提问学生，让学生由感性认识上升到理性认识：同学们请看，这9个球无论如何染色，至少有5个球是同色的.你能用数学中的什么方法来证明这个结论吗？【学生自主合作探究】学生阅读完教材后，小组合作探究以下问题：1、什么是反证法？2、反证法的证题步骤有哪几步？3、什么样的命题适合用反证法来证明？4、反证法的应用关键在于什么？【学生展示、交流】（1）反证法概念反证法：假设命题结论不成立（即命题结论的反面成立），经过正确的推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法。

教学准备1. 教学目标结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。

2. 教学重点/难点教学重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点。

难点：分析法的思考过程、特点3. 教学用具4. 标签教学过程（一）、复习：直接证明的方法：综合法、分析法。

（二）、引入新课分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。

在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。

综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。

对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。

在很多数学命题的证明中，往往需要综合地运用这两种思维方法。

（三）、例题讲解：例1：如图、已知BE，CF分别为△ABC的边AC，AB上的高，G为EF的中点，H 为BC的中点.求证：HG⊥EF.证明：考虑待证的结论“HG⊥EF” .根据命题的条件：G为EF的中点，连接EH，HF，只要证明△EHF为等腰三角形，即EH=HF.（四）、小结：综合法与分析法各有其特点.从需求解题思路来看，分析法执果索因，常常根底渐近，有希望成功；综合法由因导果，往往枝节横生，不容易奏效，就表达过程而论，分析法叙述烦琐，文辞冗长；综合法形式简洁，条理清晰.也就是说，分析法利于思考，综合法宜于表述.因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程.课堂小结综合法与分析法各有其特点.从需求解题思路来看，分析法执果索因，常常根底渐近，有希望成功；综合法由因导果，往往枝节横生，不容易奏效，就表达过程而论，分析法叙述烦琐，文辞冗长；综合法形式简洁，条理清晰.也就是说，分析法利于思考，综合法宜于表述.因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程.课后习题课本习题1-2： 7、9.。

1.1归纳与类比(高二理)使用说明：1.独立认真限时完成导学案，规范书写。

2•认真反思，总结方法规律。

重点、难点：用归纳与类比进行推理与猜想一. 学习目标：1. 了解归纳与类比的定义。

2.会用归纳与类比进行简单的推理与猜想，3.掌握用归纳与类比推理事物规律的方法及过程。

4 •体验数学推理过程，激发学生学习兴趣，培养创新能力。

二：问题导学：1. _________________ 推理一般包括推理和推理。

2.根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中________ 都有这种属性，我们将这种推理方式称为___________ 推理。

3.由于两类不同的对象具有某些________ 特征，在此基础上，根据一类对象的_________ 特征，推断另一类对象也具有________ 特征，我们将这种推理过程称为 ___________ 推理。

4. _______ _________ 推理和推理是常见的合情推理。

合情推理是_________________________________________________________________________ 。

演绎推理是_________________________________________________________________________ 。

三.合作探究：2a例1已知数列 a ｛满足-1, a n—— (n • N..),a n +2(1)求a2，a3，a4.(2)猜测a5及数列的通项公式；例2如图(1)有面积关系：S PAB二PA PB则图(2)有体积关系：V p^BcS庄AB pA PB四.巩固拓展:1.根据图中5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有_________ 个点2•图（1）为相互成120角的三条线段，长度均为 1,图（2）在图（1）的每条线段的前端 各作两条与该线段成120角的线段，长度为其一半，图（3）用图（2）的方法在每条线段的前端生成两条线段， 长度为其一半，重复前面的方法至第 n 张图，设第n 张图所有线段长度之和为 a n ,则a n= ________________ 3•经计算发现下列不等式：• 2 -18 ：：2.10, .4.5•15.5 ：： 2 -10, 3 . 2 .. 17 —，2 ：： 2 . 10,……根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数 a,b 都成立的条件不等式 __________________1 j4. 三角形的面积为 S a b c r, a,b,c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，禾U2用类比推理可以得出四面体的体积为（ ）11 A . V abcB. V sh 331 C • V = —（3 +S2 +S3 +S4 r, （ S 1 S 2,S 3,S 4为四个面的面积，r 为内切球的半径） 31 JD. V ab bc ac h, （h 为四面体的高）3 5. 有“等腰三角形的两底角相等，两腰相等”可以类比推出正棱锥的类似属性是_________ (1)求 a 1,a 2,a 3(2)猜想a n7•已知以下过程可以求 1+2 + 3+ OOOOOO 因为(n+1 f —n 2=2n + 16.设数列'a n 匚的各项为正数，前n 项之和为 a n+n 的和。

教学准备1. 教学目标1.能绘制简单实际问题的流程图,体会流程图在解决实际问题中的作用,并能通过框图理解某件事情的处理过程.2.在使用流程图过程中, 发展学生条理性思考与表达能力和逻辑思维能力.2. 教学重点/难点教学重点: 识流程图.教学难点:数学建模.3. 教学用具4. 标签教学过程例1 按照下面的流程图操作,将得到怎样的数集?9+(5+2)=9+7=16,16+7+2)=16+9=25,25+(9+2)=25+11=36 ,36+(11+2)=36+13=49,49+(13+2)=49+15=64,64+(15+2)=64+17=81,81+(17+2)=81+19=100.这样,可以得到数集{1,4,9,16,25,36,49,64,81,100}.我们知道用数学知识和方法解决实际问题的过程就是数学建模的过程,数学建模的过程可以用下图所示的流程图来表示:以”哥尼斯堡七桥问题”为例来体会数学建模的过程.(1)实际情景:在18世纪的东普鲁士,有一个叫哥尼斯堡的城市.城中有一条河,河中有两个小岛,河上架有七座桥,把小岛和两岸都连结起来.(2) 提出问题:人们常常从桥上走过,于是产生了一个有趣的想法:能不能一次走遍七座桥,而在每座桥上只经过一次呢?尽管人人绞尽脑汁,谁也找不出一条这样的路线来.(3) 建立数学模型:1736年,这事传到了瑞士大数学家欧拉的耳里,他立刻对这个问题产生了兴趣,动手研究起来.作为一个数学家,他的研究方法和一般人不同,他没有到桥上去走走,而是将具体问题转化为一个数学模型.欧拉用点代表两岸和小岛,用线代表桥,于是上面的问题就转化为能否一笔画出图中的网络图形,即”一笔画”问题,所谓”一笔画”,通俗的说,就是笔不离开纸面,能不重复的画出网络图形中的每一条线.(4)得到数学结果:在”一笔画”问题中,如果一个点不是起点和终点,那么有一条走向它的线,就必须有另一条离开它的线.就是说,连结着点的线条数目是偶数,这种点成为偶点.如果连结一个点的数目是奇数,那么这种点成为奇点,显然奇点只能作为起点或终点.因此,能够一笔画出一个网络图形的条件,就是它要么没有奇点,要么最多只有两个奇点,(分别作为起点和终点).而图中所有的点均为奇点,且共有4个奇点,所有这些图形不能”一笔画”.(5) 回到实际问题:欧拉最后得出结论:找不出一条路线能不重复地走遍七座桥.练习:书82页练习.小结:。

3.1归纳与类比归纳推理教材依据“归纳推理”是北京师范大学出版社出版的普通中学课程标准实验教科书数学（选修1－2）第三章第一节的内容。

教学目标：1.知识与技能目标：理解归纳推理的原理，并能运用解决一些简单的问题。

2.过程与方法目标：通过自主、合作与探究实现“一切以学生为中心”的理念。

3.情感、态度与价值观：感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。

教学重点：归纳推理的原理教学难点：归纳推理的具体应用。

教学过程：1.创设情景：1．情景㈠：苹果落地的故事，正是基于这个发现，牛顿大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“万有引力定理”思考：整个过程对你有什么启发？教师：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。

2．情景㈡：陈景润和他在“歌德巴赫猜想”证明中的伟大成就：任何一个大于4的偶数都可以写成两个奇素数之和。

如：6＝3+3，8＝3+5，10＝5+5, 12＝5+7，14＝7+7，16＝5+11,…，1000＝29＋971，1002＝139＋863，……2.探求研究:探究1．学生根据自备的多面体进行观察，统计多面体的面数、顶点数和棱数；（学生实验与教师课件演示结合）探究2．观察、猜想它们之间是否有稳定的数量关系？探究3．整理所得结论，并尝试证明；若得证，则改写成定理，否则修改猜想，进一步尝试证明。

教师指导，合作交流，归纳：22V V V =棱柱棱台棱锥＝－，32EE E =棱柱棱台棱锥＝，1F F F 棱柱棱台棱锥＝＝＋，F+V-E=2等等，其中“F+V -E=2”为“欧拉公式”。

3.概念讲解结合情景问题和探究过程所得，教师引导学生完成归纳推理的概念及分析。

定义：根据一类事物的部分事物具有某种属性,推断该类事物的每一个都具有这种属性的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).说明：⑴归纳推理的作用：发现新事实，获得新结论；(2)归纳推理的一般步骤：试验、观察→概括、推广→猜测一般性结论→证明；⑶归纳推理的结论不一定成立。

§归纳与类比．归纳推理．了解归纳推理的含义，能利用归纳推理进行简单的推理．(重点)．了解归纳推理在数学发展中的作用．(难点)[基础·初探]教材整理归纳推理阅读教材～“练习”以上部分，完成下列问题．．归纳推理的定义根据一类事物中部分事物都有具有某种属性，推断该类事物中每一个事物归纳推理这种属性，这种推理方式称为．．归纳推理的特征到部分整体归纳推理是由的推理．利用归纳推理得出的结，由到一般个别论不一定是正确的．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) ()统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于归纳推理．( )()由个别到一般的推理称为归纳推理．( )()由归纳推理所得到的结论一定是正确的．( )【答案】()√()√()×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问：解惑：疑问：解惑：疑问：解惑：[小组合作型],数式中的归纳推理()观察下列各式：＋＝，＋＝，＋＝，＋＝，＋＝，…，则＋＝( )．．．．()已知()＝，设()＝()，()＝－(－())(>，且∈＋)，则()的表达式为，猜想()(∈)的表达式为.＋【精彩点拨】()记＋＝()，观察()，()，()，()，()之间的关系，再归纳得出结论．()写出前项发现规律，归纳猜想结果．【自主解答】()记＋＝()，则()＝()＋()＝＋＝；()＝()＋()＝＋＝；()＝()＋()＝.通过观察不难发现()＝(－)＋(－)(∈＋，≥)，则()＝()＋()＝；()＝()＋()＝；()＝()＋()＝；()＝()＋()＝；()＝()＋()＝.所以＋＝.()()＝()＝，()＝(())＝＝，()＝(())＝＝，由()，()，()的表达式，归纳()＝(∈＋)．【答案】() ()()＝()＝(∈＋)已知等式或不等式进行归纳推理的方法：()要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；。

学习目标 1.能通过相关系数判断两变量间的线性相关性.2.掌握建立线性回归模型的步骤.3.理解条件概率的定义及计算方法.4.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题.5.掌握利用独立性检验解决一些实际问题．知识点一线性回归分析1．线性回归方程在线性回归方程y＝a＋bx中，b＝____________＝____________，a＝____________.其中x＝____________，y＝____________.2．相关系数(1)相关系数r的计算公式r＝∑ni＝1x i y i－n x y∑ni＝1x2i－n x2∑ni＝1y2i－n y2.(2)相关系数r的取值范围是________，|r|值越大，变量之间的线性相关程度越高．(3)当r>0时，b________0，称两个变量正相关；当r<0时，b________0，称两个变量负相关；当r＝0时，称两个变量线性不相关．知识点二条件概率1．条件概率的概念设A，B为两个事件，已知B发生的条件下，A发生的概率，称为B发生时A发生的条件概率，记为P(A|B)．2．计算公式P(B|A)＝P(AB)P(A)＝n(AB)n(A).知识点三独立事件1．独立事件的概念设A，B为两个事件，若P(AB)＝________，则称事件A与事件B相互独立．2．相互独立事件与互斥事件的对比互斥事件相互独立事件定义不可能同时发生的两个事件事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响概率公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)P(AB)＝P(A)P(B)知识点四独立性检验1．2×2列联表设A、B为两个变量，每一变量都可以取两个值，得到表格BB1B2总计AA1a bA2c d总计n＝________其中，a表示变量A取________，且变量B取________时的数据，b表示变量A取______，且变量B取_______时的数据；c表示变量A取_______，且变量B取________时的数据；d表示变量A取______，且变量B取______时的数据．上表在统计中称为2×2列联表．2．统计量χ2＝____________________.3．独立性检验当χ2≤2.706时，没有充分的证据判定变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的；当χ2>2.706时，有________的把握判定变量A，B有关联；当χ2>3.841时，有________的把握判定变量A，B有关联；当χ2>6.635时，有________的把握判定变量A，B有关联．类型一线性回归分析例1某城市理论预测2010年到2014年人口总数与年份的关系如表所示：年份201x(年)01234人口数y(十万)5781119(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a；(3)据此估计2018年该城市人口总数．反思与感悟解决回归分析问题的一般步骤(1)画散点图．根据已知数据画出散点图．(2)判断变量的相关性并求回归方程．通过观察散点图，直观感知两个变量是否具有相关关系；在此基础上，利用最小二乘法求回归系数，然后写出回归方程．(3)实际应用．依据求得的回归方程解决实际问题．跟踪训练1在一段时间内，某种商品的价格x元和需求量y件之间的一组数据为：且知x与y具有线性相关关系，求出y关于x的线性回归方程．类型二条件概率与独立事件例2(1)一个盒子中有6支好晶体管，4支坏晶体管，任取两次，每次取一支，第一次取后不放回，若已知第一支是好的，则第二支也是好的概率为________．(2)小张参加某电视台举办的百科知识竞赛的预选赛，只有闯过了三关的人才能参加决赛．按规则：只有过了第一关，才能去闯第二关；只有过了第二关，才能去闯第三关．对小张来说，过第一关的概率为0.8，如果不按规则去闯第一关，而直接去闯第二关能通过的概率为0.75，直接去闯第三关能通过的概率为0.5.①求小张在第二关被淘汰的概率；②求小张不能参加决赛的概率．反思与感悟 (1)要正确理解条件概率公式的意义，P (AB )为事件A ，B 同时发生的概率，P (A |B )表示在B 发生的前提下，A 发生的概率．(2)在解决互斥事件、对立事件与独立事件的综合问题时，一般先利用独立事件的定义求出各互斥事件发生的概率，然后利用概率加法公式求概率．(3)“至多”“至少”类题目可考虑利用对立事件的概率公式求解，以简化计算．跟踪训练2 若某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一只20岁的这种动物，则它能活到25岁的概率是________． 类型三 独立性检验思想与应用例3 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班48人进行了问卷调查得到了如下的2×2列联表：已知在全班48人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为23.(1)请将上面的2×2列联表补充完整；(不用写计算过程)(2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由．反思与感悟 独立性检验问题的求解策略 χ2统计量法：通过公式 χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )先计算统计量，再用以下结果对变量的独立性进行判断．(1)当χ2≤2.706时，没有充分的证据判定变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的；(2)当χ2>2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联；(3)当χ2>3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联；(4)当χ2>6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联．跟踪训练3某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用茎叶图表示30人的饮食指数，如图所示．(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主)．(1)根据茎叶图，帮助这位同学说明其亲属30人的饮食习惯；(2)根据以上数据完成如下2×2列联表；主食蔬菜主食肉类合计50岁以下50岁以上总计(3)在犯错误的概率不超过0.01的前提下，是否能认为“其亲属的饮食习惯与年龄有关”？1．“回归”一词是在研究子女的身高与父母的身高之间的遗传关系时由高尔顿提出的，他的研究结果是子代的平均身高向中心回归．根据他的结论，在儿子的身高y与父亲的身高x的线性回归方程y＝bx＋a中，b()A．在(－1,0)内B．等于0C．在(0,1)内D．在[1，＋∞)内2．已知线性回归方程中斜率的估计值为1.23，回归方程过点(4,5)，则线性回归方程为() A．y＝1.23x＋0.08 B．y＝0.08x＋1.23C．y＝1.23x＋4 D．y＝1.23x＋53．为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取了60名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：作文成绩优秀作文成绩一般总计课外阅读量较大221032课外阅读量一般82028总计303060由以上数据，计算得到χ2≈9.643，则以下说法正确的是()A．没有充足的理由认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关B．有1%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关C．有99.9%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关D．有99%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关4．考察棉花种子经过处理与生病之间的关系，得到下表中的数据：种子处理种子未处理总计生病32101133不生病61213274总计93314407根据以上数据可得出()A．种子是否经过处理与是否生病有关B．种子是否经过处理与是否生病无关C．种子是否经过处理决定是否生病D．有90%的把握认为种子经过处理与生病有关5．对于线性回归方程y＝bx＋a，当x＝3时，对应的y的估计值是17，当x＝8时，对应的y 的估计值是22，那么，该线性回归方程是______，根据线性回归方程判断当x＝_______时，y的估计值是38.1．建立回归模型的基本步骤：(1)确定研究对象，明确变量．(2)画出散点图，观察它们之间的关系．(3)由经验确定回归方程的类型．(4)按照一定的规则估计回归方程中的参数．2．独立性检验是对两个分类变量间是否存在相关关系的一种案例分析方法．答案精析知识梳理 知识点一1.∑ni ＝1 (x i －x )(y i －y )∑n i ＝1 (x i －x )2 ∑ni ＝1x i y i －n x y ∑ni ＝1x 2i －n x 2 y －b x 1n ∑n i ＝1x i 1n ∑n i ＝1y i 2．(2)[－1,1] (3)> < 知识点三 1．P (A )P (B ) 知识点四1．a ＋b c ＋d a ＋c b ＋d a ＋b ＋c ＋d A 1 B 1 A 1 B 2 A 2 B 1 A 2 B 2 2.n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ) 3．90% 95% 99% 题型探究例1 解 (1)散点图如图．(2)因为x ＝0＋1＋2＋3＋45＝2，y ＝5＋7＋8＋11＋195＝10，∑5i ＝1x i y i ＝0×5＋1×7＋2×8＋3×11＋4×19＝132，∑5i ＝1x 2i ＝02＋12＋22＋32＋42＝30， 所以b ＝132－5×2×1030－5×22＝3.2，a ＝y －b x ＝3.6.所以线性回归方程为y ＝3.2x ＋3.6.(3)令x ＝8，则y ＝3.2×8＋3.6＝29.2， 故估计2018年该城市人口总数为292万人．跟踪训练1 解 x ＝15×(14＋16＋18＋20＋22)＝18，y ＝15×(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，∑i ＝15x 2i ＝142＋162＋182＋202＋222＝1 660，∑i ＝15y 2i ＝122＋102＋72＋52＋32＝327，∑i ＝15x i y i ＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，所以b ＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x2＝620－5×18×7.41 660－5×182＝－1.15， 所以a ＝7.4＋1.15×18＝28.1，所以y 对x 的线性回归方程为y ＝－1.15x ＋28.1.例2 (1)59(2)解 记“小张能过第一关”为事件A ，“直接去闯第二关能通过”为事件B ，“直接闯第三关能通过”为事件C ，则P (A )＝0.8，P (B )＝0.75，P (C )＝0.5. ①小张在第二关被淘汰的概率为P (A B )＝P (A )[1－P (B )]＝0.8×(1－0.75)＝0.2.②小张不能参加决赛的概率为1－P (ABC )＝1－P (A )·P (B )·P (C )＝1－0.8×0.75×0.5＝0.7. 跟踪训练2 0.5例3 解 (1)列联表补充如下：(2)由χ2＝48×(22×10－6×10)228×20×32×16≈4.286.因为4.286>3.841，所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜爱打篮球与性别有关． 跟踪训练3 解 (1)30位亲属中50岁以上的人多以食蔬菜为主，50岁以下的人多以食肉类为主．(2)2×2列联表如下：(3)χ2＝30×(4×2－8×16)212×18×20×10＝10>6.635，故在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“其亲属的饮食习惯与年龄有关”． 当堂训练1．C 2.A 3.D 4.B 5．y ＝x ＋14 24。

教学准备1. 教学目标1．知识与技能：（1）结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；（2）能利用归纳进行简单的推理；（3）体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.2．方法与过程：归纳推理是从特殊到一般的一种推理方法，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。

3．情感态度与价值观：通过本节学习正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析事物、发现事物之间的质的联系的良好品质，善于发现问题，探求新知识。

2. 教学重点/难点教学重点：了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理。

教学难点：培养学生“发现—猜想—证明”的归纳推理能力。

3. 教学用具4. 标签教学过程(一)、引入新课归纳推理的前提是一些关于个别事物或现象的命题，而结论则是关于该类事物或现象的普遍性命题。

归纳推理的结论所断定的知识范围超出了前提所断定的知识范围，因此，归纳推理的前提与结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的。

也就是说，其前提真而结论假是可能的，所以，归纳推理乃是一种或然性推理。

拿任何一种草药来说吧，人们为什么会发现它能治好某种疾病呢?原来，这是经过我们先人无数次经验(成功的或失败的)的积累的。

由于某一种草无意中治好了某一种病，第二次，第三次，……都治好了这一种病，于是人们就把这几次经验积累起来，做出结论说，“这种草能治好某一种病。

”这样，一次次个别经验的认识就上升到对这种草能治某一种病的一般性认识了。

这里就有着归纳推理的运用。

从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理。

见书上的三个推理案例，回答几个推理各有什么特点？都是由“前提”和“结论”两部分组成，但是推理的结构形式上表现出不同的特点，据此可分为合情推理与演绎推理(二)、哥德巴赫猜想（见课件）(三)、例题探析例1、在一个凸多面体中，试通过归纳猜想其顶点数、棱数、面数满足的关系。

学习目标 1.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点.2.会用综合法、分析法解决问题．知识点一综合法思考阅读下列证明过程，总结此证明方法有何特点？已知a，b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.证明：因为b2＋c2≥2bc，a>0，所以a(b2＋c2)≥2abc.又因为c2＋a2≥2ac，b>0，所以b(c2＋a2)≥2abc.因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.梳理(1)定义：从______________出发，利用________、________、________及运算法则，通过____________，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明．我们把这样的思维方法称为____________．(2)综合法的框图表示P⇒Q1―→Q1⇒Q2―→Q2⇒Q3―→…―→Q n⇒Q(P表示________、已有的________、________、________等，Q表示_____________)知识点二分析法思考阅读证明基本不等式的过程，试分析证明过程有何特点？已知a >0，b >0，求证：a ＋b 2≥ab . 证明：要证a ＋b 2≥ab ， 只需证a ＋b ≥2ab ，只需证a ＋b －2ab ≥0，只需证(a －b )2≥0，因为(a －b )2≥0显然成立，所以原不等式成立．梳理 (1)定义：从______________出发，一步步地探索保证前一个结论成立的____________，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等．这样的思维方法称为__________．(2)分析法的框图表示Q ⇐P 1―→P 1⇐P 2―→P 2⇐P 3―→…―→得到一个明显成立的条件类型一 综合法命题角度1 用综合法证明不等式例1 已知a ，b ，c ∈R ，且它们互不相等，求证a 4＋b 4＋c 4＞a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.反思与感悟 (1)用综合法证明有关角、边的不等式时，要分析不等式的结构，利用正弦定理、余弦定理将角化为边或边化为角．通过恒等变形、基本不等式等手段，可以从左证到右，也可以从右证到左，还可两边同时证到一个中间量，一般遵循“化繁为简”的原则．(2)用综合法证明不等式时常用的结论：①ab ≤(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )； ②a ＋b ≥2ab (a ≥0，b ≥0)．跟踪训练1 已知a ，b ，c 为不全相等的正实数．求证：b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －c c>3.命题角度2 用综合法证明等式例2 求证：sin(2α＋β)＝sin β＋2sin αcos(α＋β)．反思与感悟 证明三角等式的主要依据(1)三角函数的定义、诱导公式及同角基本关系式．(2)和、差、倍角的三角函数公式．(3)三角形中的三角函数及三角形内角和定理．(4)正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式．跟踪训练2 在△ABC 中，AC AB ＝cos B cos C，证明：B ＝C .类型二 分析法例3 已知a >0，求证：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2.跟踪训练3 (1)求证：a －a －1<a －2－a －3 (a ≥3)；(2)在锐角△ABC 中，求证：tan A tan B >1.1．设a ＝lg2＋lg5，b ＝e x (x <0)，则a 与b 的大小关系为( )A ．a >bB ．a ＝bC ．a <bD ．无法确定2．设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝x ＋1，c ＝11－x中最大的是( ) A ．cB ．bC ．aD ．随x 取值不同而不同3．欲证2－3<6－7成立，只需证明( )A ．(2－3)2<(6－7)2B ．(2－6)2<(3－7)2C ．(2＋7)2<(3＋6)2D ．(2－3－6)2<(－7)24.3－2________2－1.(填“>”或“<”)5．设x ，y 是正实数，且x ＋y ＝1，求证：(1＋1x )(1＋1y)≥9.1．综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因．2．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语．3．在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用．答案精析问题导学知识点一思考 利用已知条件a >0，b >0和重要不等式，最后推导出所要证明的结论．梳理 (1)命题的条件 定义 公理 定理 演绎推理 综合法 (2)已知条件 定义 公理 定理 所要证明的结论知识点二思考 从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件，最终把要证明的结论变成一个明显成立的条件．梳理 (1)求证的结论 充分条件 分析法题型探究例1 证明 ∵a 4＋b 4≥2a 2b 2，b 4＋c 4≥2b 2c 2，a 4＋c 4≥2a 2c 2，∴2(a 4＋b 4＋c 4)≥2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2)，即a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.又∵a ，b ，c 互不相等，∴a 4＋b 4＋c 4＞a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.跟踪训练1 证明 因为b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －c c ＝b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋c a－3. 又a ，b ，c 为不全相等的正实数，而b a ＋a b ≥2，c b ＋b c ≥2，a c ＋c a≥2， 且上述三式等号不能同时成立，所以b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋c a－3>6－3＝3， 即b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －c c>3. 例2 证明 因为sin(2α＋β)－2sin αcos(α＋β)＝sin －2sin αcos(α＋β)＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2sin αcos(α＋β)＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝sin ＝sin β.所以原等式成立．跟踪训练2 证明 在△ABC 中，由正弦定理及已知，得sin B sin C ＝cos B cos C . 于是sin B cos C －cos B sin C ＝0，即sin(B －C )＝0.因为－π<B －C <π，从而B －C ＝0，所以B ＝C .例3 证明 要证明a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2， 只需证明a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2. 因为a >0，故只需证明(a 2＋1a 2＋2)2≥(a ＋1a ＋2)2， 即a 2＋1a2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a 2＋22(a ＋1a )＋2， 从而只需证明2a 2＋1a 2≥2(a ＋1a)， 只需证明4(a 2＋1a 2)≥2(a 2＋2＋1a2)， 即a 2＋1a2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立． 跟踪训练3 证明 (1)方法一 要证明a －a －1<a －2－a －3， 只需证明a ＋a －3<a －2＋a －1， 只需证明(a ＋a －3)2<(a －2＋a －1)2，只需证明2a －3＋2a 2－3a <2a －3＋2a 2－3a ＋2， 只需证明a 2－3a <a 2－3a ＋2，只需证明0<2，而0<2显然成立，所以a －a －1<a －2－a －3(a ≥3)． 方法二 ∵a ＋a －1>a －2＋a －3， ∴1a ＋a －1<1a －2＋a －3， ∴a －a －1<a －2－a －3(a ≥3)．(2)要证明tan A tan B >1，只需证明sin A sin B cos A cos B>1， 因为A 、B 均为锐角，所以cos A >0，cos B >0. 即证sin A sin B >cos A cos B ，即cos A cos B －sin A sin B <0，只需证明cos(A ＋B )<0.因为△ABC 为锐角三角形，所以90°<A ＋B <180°， 所以cos(A ＋B )<0，因此tan A tan B >1.当堂训练1．A 2.A 3.C4．<5．证明 要证(1＋1x )(1＋1y)≥9成立， 因为x ，y 是正实数，且x ＋y ＝1，所以y ＝1－x ，只需证明(1＋1x )(1＋11－x)≥9， 即证(1＋x )(1－x ＋1)≥9x (1－x )，即证2＋x －x 2≥9x －9x 2，即证4x 2－4x ＋1≥0，即证(2x －1)2≥0，此式显然成立．∴原不等式成立．。