证明题(三角形与平行线)

高中数学中的平行线与直角三角形性质证明在高中数学中，平行线和直角三角形是两个重要的概念。

平行线是指在同一平面上永远不会相交的两条直线，而直角三角形则是指其中一个角为90度的三角形。

在本文中，我们将探讨平行线与直角三角形之间的一些性质，并通过证明来加深对这些性质的理解。

首先，我们来讨论平行线与直角三角形之间的关系。

在平行线中，如果有一条横切线与两条平行线相交，那么所形成的各个对应角都是相等的。

这个性质被称为“同位角相等”。

我们可以通过证明来加深对这个性质的理解。

假设有两条平行线AB和CD，以及一条横切线EF。

我们需要证明∠AEF =∠BFE和∠DEF = ∠CFE。

首先，我们可以通过角的对立面角的性质得到∠AEF =∠BED。

然后，我们可以通过平行线的性质得到∠BED = ∠BFE。

因此，我们可以得出结论∠AEF = ∠BFE。

同样地，我们可以通过类似的推理得到∠DEF = ∠CFE。

这样，我们就证明了同位角相等的性质。

接下来，我们来探讨平行线与直角三角形之间的另一个性质。

在平行线中，如果有一条横切线与两条平行线相交，那么所形成的直角三角形中，对于直角边来说，两个直角边的比例是相等的。

这个性质被称为“直角边比例定理”。

我们同样可以通过证明来加深对这个性质的理解。

假设有两条平行线AB和CD，以及一条横切线EF。

我们需要证明直角三角形AEF和BFE中，∠AEF = ∠BFE，并且AE/EF = BF/FE。

首先，我们已经在前面的证明中证明了∠AEF = ∠BFE。

接下来，我们可以通过相似三角形的性质来证明AE/EF = BF/FE。

根据平行线的性质，我们可以得到AE/EF = AD/DC和BF/FE =BD/DC。

由于AD = BD，我们可以得出结论AE/EF = BF/FE。

这样，我们就证明了直角边比例定理的性质。

除了以上两个性质之外，平行线和直角三角形还有其他一些有趣的性质。

例如，在平行线中，如果一条横切线与两条平行线相交，那么所形成的两个直角三角形中，对应的两个锐角的和为180度。

平行线与等边三角形的性质解析平行线和等边三角形在几何学中都具有重要的性质和特点。

本文将从平行线和等边三角形的定义入手，分析它们的性质及相互关系。

一、平行线的性质平行线是指在同一个平面上从未相交的两条直线。

根据平行线的定义，我们可以得出以下性质：1. 对于一组平行线，其上的任意两点与另一条平行线上的任意两点所成的两组相应角相等。

证明：设有两条平行线l1和l2，点A和B分别在l1上，点C和D分别在l2上。

连接AC和BD。

由于l1和l2平行，根据同位角定理可知∠CAB=∠BDA，∠ACB=∠CDB。

因此，对于l1和l2上的任意两点A、B和C、D，∠CAB=∠CDB。

2. 平行线与交线所夹的对应角相等。

证明：设有两条平行线l1和l2，线段AB与l1相交于点P，线段CD与l2相交于点Q。

连接PQ。

根据同位角定理可知∠APQ=∠BCD。

因此，平行线l1和l2与交线AB和CD所夹的角∠APQ和∠BCD相等。

二、等边三角形的性质等边三角形是指三条边均相等的三角形。

根据等边三角形的定义，我们可以得出以下性质：1. 三条边均相等的三角形是等边三角形。

证明：设有三角形ABC，若AB=BC=AC，则三角形ABC是等边三角形。

2. 等边三角形的三个内角均为60度。

证明：设有等边三角形ABC，连接AB、BC和CA。

由于AB=BC=AC，且三角形内角之和为180度，故∠ABC=∠BCA=∠CAB=(180-60)/3=60度。

三、平行线和等边三角形的性质与关系在平行线和等边三角形的性质中，存在着一些重要的关系：1. 平行线与等边三角形的内角若两条平行线l1和l2被一条横截线m截断，且m与l1和l2之间的交线所夹的角为等边三角形的内角之一，则该三角形是等边三角形。

证明：设有平行线l1和l2被横截线m截断，且m与l1和l2之间的交线所夹的角为∠ABC。

连接AC和BC。

由于l1和l2平行，根据同位角定理可知∠ABC=∠ACB。

又由等边三角形的性质可得∠ACB=60度。

小学数学几何证明练习题题目一：平行线的证明题1. 请证明过直线l上的一点P，存在且唯一一条与直线l平行的直线。

2. 证明平行线具有传递性，即如果直线a // 直线b，直线b // 直线c，那么直线a // 直线c。

题目二：三角形和四边形的证明题1. 已知三角形ABC，通过顶点A作BC边的垂线，垂足为D。

请证明：∠ABD = ∠ACD。

2. 已知四边形ABCD，AB // CD，通过顶点A、D分别作BC、AD的垂线，垂足分别为E、F。

请证明∆ABE ≌ ∆CDF。

题目三：平行四边形的证明题1. 已知ABCD是平行四边形，E是AD边的中点，F是BC边的中点。

请证明：EF || AB。

2. 已知ABCD是平行四边形，对角线AC和BD交于点O。

请证明：AO ≌ CO。

题目四：圆的证明题1. 已知AB是圆的直径，C是圆上任意一点，AC交圆于点D。

请证明：∠ABC = 90°。

2. 已知O是ΔABC外接圆的圆心，交BC边于点D。

请证明：∠BAC = ∠BDO。

题目五：相似三角形的证明题1. 已知∆ABC和∆DEF相似，且∠A = ∠D，∠B = ∠E。

请证明：∠C = ∠F。

2. 已知∆ABC和∆EFD相似，且∠B = ∠E，∠F = ∠C。

请证明：∠A = ∠D。

题目六：角平分线的证明题1. 已知∠A和∠B是一个点P的相邻角，角APB的边PC是∠APB 的角平分线。

请证明∠APC = ∠BPC。

2. 已知∠A和∠B是一个点P的相邻角，角APB的边PC是∠APB 的角平分线。

请证明AP = BP。

注意：以上题目仅为示例题目，实际出题时可根据需要和学生水平进行调整。

② ， ③
①
，
得其余两个，都可以推出DE//BC。
结论
三角形一边的平行线判定定理：
如果一条直线截三角形的两边所得的对 应线段成比例，那么这条直线平行于三 角形的第三边。
思考一 若EF截在AB、AC的延长线上，或者截 在BA、CA的延长线上，如图，得到下边的比 例式，那么DE//BC还成立吗？
由 能得出DE//BC
结
论：
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等， 那么在其他直线上截得的线段也相等.
如何来证明？
平行线等分线段定理: 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等， 那么在其 他直线上截得的线段也相等.
已知：如图，直线 l1∥l2∥l3 AB=BC
求证： A1B1=B1C1 证明：过B1作EF∥AC，分别交l1、l3于 点E、F
[例一]
A
D
2
l1 E l2
3
B
?
4
F l3
C
AB m 已知：如图，l . 1//l 2 //l 3， BC n DE m 求证： . DF m n
证明 ：Ql1//l 2 //l 3 ,
F
A E
D B C
l1 l2 l3
\ AB DE m 注意观察： BC EF n 此图与前面图形有何不同？ （平行线分线段成比例定理） A D DE n m EF n EF \ ， DE m DE m E B DF m n 即 . DE m [例二] F C \ DE m . DF m n
例题2
已知：如图, l1 // l2 // l3 ，AB=3 ，DE=2 ，EF=4. 求BC=( 6 )
A D
3
B C

平行线的判定》证明题1.当∠1=∠2时，直线a、b平行。

因为这时∠1+∠2=180°，根据平行线的性质可知a、b平行。

2.已知∠XXX∠BCD，且∠ABC+∠CDG=180°，因此∠BCD=∠XXX根据三角形内角和定理可知∠XXX∠BCD+∠XXX∠ABC+∠BCD=180°，所以BC∥GD。

3.已知∠1=15°，∠2=15°，因此∠ACE=∠BDF=75°。

但AE与BF不平行，因为它们交于点F。

4.BE平分∠ABD，DE平分∠XXX，且∠DQP=∠1=∠2，因此∠XXX∠XXX∠BCQ。

根据同位角和内错角性质可知AB∥CD，DE∥BE，因此AD∥BC。

5.已知∠2=∠3，且∠1+∠2=90°，因此∠1=90°-∠2=90°-∠3.根据同位角和内错角性质可知BE∥DF，因为∠AEB=∠DFB=90°。

6.已知∠1=30°，∠B=60°，因此∠C=90°。

根据三角形内角和定理可知∠ABC=∠ACB=60°，因此AB=AC。

又因为∠BAC=90°，所以AD∥BC。

7.已知∠BAD=∠DCB，∠BAC=∠DCA，因此三角形ABD与三角形CBD相似。

根据相似三角形的性质可知AB∥CD。

8.直线EF分别与直线AB、CD相交于点P和点Q，PG 平分∠APQ，QH平分∠DPQ。

根据角平分线的性质可知∠XXX∠GPQ+∠HPQ=1/2(∠APQ+∠DPQ)=1/2(180°)=90°，因此GH∥AB∥CD。

9.已知XXX，XXX，∠1=∠2，因此∠XXX∠BCD。

根据同位角和内错角性质可知BE∥CF。

10.已知AB⊥DF，∠2=90°，∠2=∠3，因此∠1=90°-∠2=90°-∠3.根据同位角和内错角性质可知BE∥DF，因为∠AEB=∠DFB=90°。

平行线的性质与判定经典题型1.在三角形ABC中，角B等于角ACB，CD平分角ACB 并交AB于点D，AE与DC平行并交BC延长线于点E。

已知角E等于36度，求角B的度数。

2.在图中，如果AB平行于CD，则角α、β、γ之间的关系是什么？3.在图中，AB平行于CD且CD平行于PN，角ABC等于50度，角CPN等于150度。

求角BCP的度数。

4.在图中，直线AB和CD被直线EF所截。

如果角BMN 等于角DNF且角1等于角2，那么MQ平行于NP。

为什么？5.在图中，将一个长方形纸片沿EF折叠后，点D和C分别落在D'和C'的位置。

如果角EFB等于65度，则角AED'等于多少度？6.在图中，如果角1等于角2且角C等于角D，则角A等于角F。

为什么？7.在图中，已知角1加角2等于180度，角3等于角B。

试判断角AED和角ACB的大小关系，并说明理由。

8.已知AB平行于CD，分别探讨下列四个图形中角APC和角PAB、角PCD的关系。

从所得四个关系中任选一个并说明理由。

9.在图中，已知角1等于角2，角3等于角4，角5等于角6.证明AD平行于BC。

10.在图中，已知CD垂直于AB于点D，EF垂直于AB于点F，角DGC等于105度，角BCG等于75度。

求角1加角2的度数。

11.在图中，AD垂直于BC于点D，EF垂直于BC于点F，EF交AB于点G，交CA的延长线于点E，且角1等于角2.AD是否平分角BAC？说明理由。

12.在图中，如果AB平行于CD且角1等于角2，则角E等于角F。

为什么？13.在图中，DB平行于FG平行于EC，角ABD等于60度，角ACE等于36度，AP平分角BAC。

求角PAG的度数。

14.在图中，AB平行于CD，角1等于115度，角2等于140度。

求角3的度数。

15.已知：AC平行于DE，DC平行于EF，CD平分角BCD。

证明：EF平分角BED。

16.已知：AB平行于CD，角1等于角B，角2等于角D。

三角形的垂直与平行线性质三角形是初中数学中的重要内容之一，而三角形的垂直与平行线性质更是其中的重点和难点。

掌握了三角形的垂直与平行线性质，能够帮助我们解决很多与三角形相关的问题。

下面，我将通过举例、分析和说明，来详细介绍三角形的垂直与平行线性质。

一、垂直线性质垂直线性质是指与三角形中某一边垂直的直线与该边上的高、中线、角平分线等相关线段的关系。

我们先来看一个例子：例子1：如图1所示，ABC是一个等腰直角三角形，AD是BC的高，DE是AC的中线，证明AD⊥DE。

（图1）解析：我们需要证明AD与DE垂直。

首先，我们知道直角三角形的高是斜边上的线段与底边上的线段的乘积的一半。

所以，AD是BC的高，即AD = BC/2。

而AC是BC的斜边，所以AC = BC。

根据等腰直角三角形的性质，我们可以得知AC = BC = AB。

由此可得，AC = BC = AB = 2AD。

而DE是AC的中线，所以DE = AC/2 = 2AD/2 = AD。

由此可见，AD = DE，即AD与DE重合。

根据几何学的基本原理，重合的线段是垂直的，所以AD⊥DE。

通过这个例子，我们可以看出，垂直线性质是指与三角形中某一边垂直的直线与该边上的高、中线、角平分线等相关线段的关系。

这些线段之间的关系可以通过等式或者比例关系来表示，从而帮助我们解决关于垂直线性质的问题。

二、平行线性质平行线性质是指与三角形中某一边平行的直线与该边上的其他线段的关系。

我们来看一个例子：例子2：如图2所示，ABC是一个等边三角形，DE是BC的平行线，证明AD⊥DE。

（图2）解析：我们需要证明AD与DE垂直。

首先，我们知道等边三角形的高是底边的一半，所以AD是BC的高，即AD = BC/2。

而DE是BC的平行线，所以DE与BC平行。

根据平行线性质，我们可以得知，在等边三角形中，高与底边的关系是高与平行线的关系相同的。

所以，AD⊥DE。

通过这个例子，我们可以看出，平行线性质是指与三角形中某一边平行的直线与该边上的其他线段的关系。

人教版七年级下册数学平行线的判定及性质证明题训练（含答案）1．如图，三角形ABC 中，点D 在AB 上，点E 在BC 上，点F ，G 在AG 上，连接,,DG BG EF ．己知12∠=∠，3180ABC ∠+∠=︒，求证：∥BG EF ．将证明过程补充完整，并在括号内填写推理依据．证明：∵_____________（已知）∴∥DG BC （_______________________）∴．CBG ∠=________（____________________）∵12∠=∠（已知）∴2∠=________（等量代换）∴∥BG EF （___________________）2．如图，已知12∠=∠，A F ∠=∠，试说明C D ∠=∠的理由．解：把1∠的对顶角记作3∠，所以13∠=∠（对顶角相等）．因为12∠=∠（已知），所以23∠∠=（ ），所以 ∥ （ ）．（请继续完成接下去的说理过程）3．如图，CD ∥AB ，点O 在直线AB 上，OE 平分∠BOD ，OF ⊥OE ，∠D ＝110°，求∠DOF 的度数．4．如图，DH 交BF 于点E ，CH 交BF 于点G ，12∠=∠，34∠=∠，5B ∠=∠．试判断CH 和DF 的位置关系并说明理由．5．已知：如图，直线DE//AB．求证：∠B+∠D=∠BCD．6．如图，已知AB CD∥，BE平分ABC∠，CE平分BCD∠，求证1290∠+∠=︒．证明：∵BE平分ABC∠（已知），∴2∠=（），同理1∠=，∴1122∠+∠=，又∵AB CD∥（已知）∴ABC BCD∠+∠=（），∴1290∠+∠=︒．7．请把下列证明过程及理由补充完整（填在横线上）：已知：如图，BC，AF是直线，AD∥BC，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：AB∥CD．证明：∵AD∥BC（已知），∴∠3＝（）．∵∠3＝∠4（已知），∴∠4＝（）．∵∠1＝∠2（已知），∴∠1+∠CAF＝∠2+∠CAF（）．即∠BAF＝．∴∠4＝∠BAF．（）．∴AB∥CD（）．8．如图，已知∠A＝120°，∠FEC＝120°，∠1＝∠2，试说明∠FDG＝∠EFD．请补全证明过程，即在下列括号内填上结论或理由．解：∵∠A＝120°，∠FEC＝120°（已知），∴∠A＝（）．∴AB∥（）．又∵∠1＝∠2（已知），∴EF ∥ （ ）．∴∠FDG ＝∠EFD （ ）．9．在三角形ABC 中，CD AB ⊥于D ，F 是BC 上一点，FH AB ⊥于H ，E 在AC 上，EDC BFH ∠=∠．(1)如图1，求证：∥DE BC ；(2)如图2，若90ACB ∠=︒，请直接写出图中与ECD ∠互余的角，不需要证明．10．已知：如图，直线MN HQ ∥，直线MN 交EF ，PO 于点A ，B ，直线HQ 交EF ，PO 于点D ，C ，DG 与OP 交于点G ，若1103∠=︒，277∠=︒，396∠=︒．（1）求证：EF OP ∥；（2）请直接写出CDG ∠的度数．11．如图直线a b ∥，直线EF 与,a b 分别和交于点,,A B AC AB AC ⊥、交直线b 于点C ．（1）若160∠=︒，直接写出2∠= ；（2）若3,4,5AC AB BC ===，则点B 到直线AC 的距离是 ；（3）在图中直接画出并求出点A 到直线BC 的距离．12．如图，已知AB CD ，BE 平分∠ABC ，∠CDE = 150°，求∠C 的度数．13．如图，在ABC 中，CD 平分ACB ∠交AB 于D ，EF 平分AED ∠交AB 于F ，已知ADE B ∠=∠，求证：EF CD ∥．14．已知：如图，AB ∥CD ∥EF ，点G 、H 、M 分别在AB 、CD 、EF 上．求证：GHM AGH EMH ∠∠∠=+．15．如图所示，点B 、E 分别在AC 、DF 上，BD 、CE 均与AF 相交，A F ∠=∠，C D ∠=∠，求证：12∠=∠．16．如图，在ABC 中，DE ∥AC ，DF ∥AB ．（1）判断∠A 与∠EDF 之间的大小关系，并说明理由．（2）求∠A +∠B +∠C 的度数．17．已知：如图，ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，EF 交DC 于点F ，32180∠+∠=︒ ，1B ∠=∠．（1）求证：∥DE BC ；（2）若DE 平分ADC ∠，33B ∠=∠，求2∠的度数．18．如图，AB ∥DG ，∠1+∠2＝180°．（1）试说明：AD ∥EF ；（2）若DG 是∠ADC 的平分线，∠2＝142°，求∠B 的度数．19．问题情境：如图1，AB CD ∥，130PAB ∠=︒，120PCD ∠=︒，求APC ∠的度数．小明的思路是：如图2，过P 作PE AB ∥，通过平行线性质，可得APC ∠=______．问题迁移：如图3，AD BC ∥，点P 在射线OM 上运动，ADP α∠=∠，BCP β∠=∠．（1）当点P 在A 、B 两点之间运动时，CPD ∠、α∠、β∠之间有何数量关系？请说明理由．（2）如果点P 在A 、B 两点外侧运动时（点P 与点A 、B 、O 三点不重合），请你直接写出CPD ∠、α∠、β∠之间有何数量关系．20．直线AB CD∠．∥，直线EF分别交AB、CD于点M、N，NP平分MND（1）如图1，若MR平分EMB∠，则MR与NP的位置关系是．∠，则MR与NP有怎样的位置关系？请说明理由．（2）如图2，若MR平分AMN（3）如图3，若MR平分BMN∠，则MR与NP有怎样的位置关系？请说明理由．参考答案：1．解：证明：∵3180ABC ∠+∠=︒（已知）∴∥DG BC （同旁内角互补，两直线平行）∴．1CBG ∠=∠（两直线平行，内错角相等）∵12∠=∠（已知）∴2CBG ∠=∠（等量代换）∴∥BG EF （同位角相等，两直线平行）2．解：把1∠的对顶角记作3∠，所以13∠=∠（对顶角相等）．因为12∠=∠（已知），所以23∠∠=（等量代换），所以//BD CE （同位角相等，两直线平行），所以4C ∠=∠（两直线平行，同位角相等），又因为A F ∠=∠，所以//DF AC （同位角相等，两直线平行），所以4D ∠=∠（两直线平行，内错角相等），所以C D ∠=∠（等量代换）．故答案为：等量代换；BD ；CE ；同位角相等，两直线平行．3．解：∵CD AB ∥∴110DOB D ∠=∠=︒∵OE 平分∠BOD ∴1552DOE DOB ∠=∠=︒ 又∵OF ⊥OE∴90EOF ∠=︒∴905535DOF EOF DOE ∠=∠-∠=︒-︒=︒故答案为：35︒4．解：CH DF，理由如下：∵34∠=∠，∴CD BF，∴5180BED∠+∠=︒，∵5B∠=∠，∴180B BED∠+∠=︒，∴BC DH，∴2H∠=∠，∵12∠=∠，∴1H∠=∠，∴CH DF．5．证明：过点C作CF∥AB，∴∠B=∠BCF，∵DE//AB．CF∥AB，∴CF∥DE，∴∠D=∠DCF，∴∠BCD=∠BCF+∠DCF=∠B+∠D．6．证明：∵BE平分∠ABC（已知），∴∠2=12∠ABC（角平分线的定义），同理∠1=12∠BCD，∴∠1+∠2=12(∠ABC+∠BCD)，又∵AB∥CD（已知）∴∠ABC +∠BCD =180°（两直线平行，同旁内角互补 ），∴∠1+∠2=90°． 故答案为：12∠ABC ；角平分线的定义；12∠BCD ；(∠ABC +∠BCD )；180°；两直线平行，同旁内角互补．7．证明：∵AD ∥BC （已知），∴∠3＝∠CAD （两直线平行，内错角相等）．∵∠3＝∠4（已知），∴∠4＝∠CAD （等量代换）．∵∠1＝∠2（已知），∴∠1+∠CAF ＝∠2+∠CAF （等式的性质）．即∠BAF ＝∠CAD ．∴∠4＝∠BAF ．（等量代换）．∴AB ∥CD （同位角相等，两直线平行）．8．解：∵∠A =120°，∠FEC =120°（已知），∴∠A =∠FEC （等量代换），∴AB ∥EF （同位角相等，两直线平行），又∵∠1=∠2（已知），∴AB ∥CD （内错角相等，两直线平行），∴EF ∥CD （平行于同一条直线的两直线互相平行），∴∠FDG =∠EFD （两直线平行，内错角相等），故答案为：∠FEC ；等量代换；EF ；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；CD ；平行于同一条直线的两直线互相平行；两直线平行，内错角相等．9．证明：∵CD AB ⊥，FH AB ⊥，∴//CD FH ，∴BCD BFH ∠=∠．∵EDC BFH ∠=∠，∴BCD EDC ∠=∠，∴//ED BC ．(2)与ECD ∠互余的角有：EDC BCD BFH A ∠∠∠∠，，，．证明：∵//ED BC ，∴90DEC ACB ∠=∠=︒，EDC BCD ∠=∠，∴90ECD EDC ∠+∠=︒，90ECD BCD ∠+∠=︒．∵//CD FH ，∴BCD BFH ∠=∠，∴90ECD BFH ∠+∠=︒．∵CD AB ⊥，∴90ACD A ∠+∠=︒，即90ECD A ∠+∠=︒．综上，可知与ECD ∠互余的角有：EDC BCD BFH A ∠∠∠∠，，，．10．解：（1）∵1103∠=︒，∴77∠=︒ABC ，∵277∠=︒，∴2ABC ∠=∠，∴EF OP ∥；（2）∵MN HQ ∥，EF OP ∥，∴1103∠=∠=∠=︒FDC FAB ，3180∠+∠=︒FDG ，∵396∠=︒，∴180********∠=︒-∠=︒-︒=︒FDG ，∴1038419∠=∠-∠=︒-︒=︒CDG FDC FDG ．11．解：（1）∵a b ∥，∴12180BAC ∠+∠+∠=︒，∵AC AB ⊥，160∠=︒，∴230∠=︒，故答案为：30︒；（2）∵AC AB⊥，∴点B到直线AC的距离为线段4AB=，故答案为：4；（3）如图所示：过点A作AD BC⊥，点A到直线BC的距离为线段AD的长度，∵AC AB⊥，∴ABC∆为直角三角形，∴1122ABCS AC AB BC AD∆=⨯⨯=⨯⨯，即1134522AD ⨯⨯=⨯⨯，解得：125 AD=，∴点A到直线BC的距离为125．12．解：∵∠CDE=150°，∴∠CDB=180°-∠CDE=30°，又∵AB CD，∴∠ABD=∠CDB=30°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠ABD=60°，∵AB CD，∴∠C=180°-∠ABC=120°．13．证明：ADE B∠=∠（已知），DE//BC∴（同位角相等，两直线平行），ACB AED∴∠=∠（两直线平行，同位角相等），CD 平分ACB ∠，EF 平分AED ∠（已知），12ACD ACB ∴∠=∠，12AEF AED ∠=∠（角平分线的定义）， ACD AEF ∴∠=∠（等量代换）.EF //CD ∴（同位角相等，两直线平行）.14．证明：∵AB ∥CD （已知）∴1AGH ∠=∠（两直线平行，内错角相等） 又 ∵CD ∥EF （已知）∴2EMH ∠=∠，（两直线平行，内错角相等） ∵12GHM ∠∠∠=+（已知）∴GHM AGH EMH ∠∠∠=+（等式性质）15．证明：∵A F ∠=∠，∴AC DF ∥，∴ABD D ∠=∠，又∵C D ∠=∠，∴ABD C ∠=∠，∴DB CE ∥，∴13∠=∠，∵23∠∠=，∴12∠=∠．16．（1）两角相等，理由如下：∵DE ∥AC ，∴∠A =∠BED (两直线平行，同位角相等).∵DF ∥AB ，∴∠EDF =∠BED (两直线平行，内错角相等)， ∴∠A =∠EDF (等量代换).（2）∵DE ∥AC ，∴∠C =∠EDB (两直线平行，同位角相等).∵DF ∥AB ，∴∠B =∠FDC (两直线平行，同位角相等).∵∠EDB +∠EDF +∠FDC =180°，∴∠A +∠B +∠C =180°(等量代换).17．解：（1）∵32180∠+∠=︒，∠2+∠DFE ＝180°， ∴∠3＝∠DFE ，∴EF //AB ，∴∠ADE ＝∠1，又∵1B ∠=∠，∴∠ADE ＝∠B ，∴DE //BC ，（2）∵DE 平分ADC ∠，∴∠ADE ＝∠EDC ，∵DE //BC ，∴∠ADE ＝∠B ，∵33B ∠=∠∴∠5+∠ADE +∠EDC ＝3B B B ∠+∠+∠＝180°， 解得：36B ∠=︒，∴∠ADC ＝2∠B ＝72°，∵EF //AB ，∴∠2＝∠ADC ＝180°－108°＝72°，18．（1）∵AB ∥DG ，∴∠BAD ＝∠1，∵∠1+∠2＝180°，∴∠BAD +∠2＝180°.∵AD ∥EF .（2）∵∠1+∠2＝180°且∠2＝142°，∴∠1＝38°，∵DG 是∠ADC 的平分线，∴∠CDG ＝∠1＝38°，∵AB ∥DG ，∴∠B ＝∠CDG ＝38°．19．解：问题情境：∵AB ∥CD ，PE ∥AB ，∴PE ∥AB ∥CD ，∴∠A +∠APE =180°，∠C +∠CPE =180°，∵∠P AB =130°，∠PCD =120°，∴∠APE =50°，∠CPE =60°，∴∠APC =∠APE +∠CPE =50°+60°=110°；（1）CPD αβ∠=∠+∠；过点P 作PQ AD ∥，又因为AD BC ∥，所以PQ AD BC ∥∥，则ADP DPE ∠=∠，BCP CPE ∠=∠，所以CPD DPE CPE ADP BCP ∠=∠+∠=∠+∠；（2）情况1：如图所示，当点P 在B 、O 两点之间时，过P 作PE ∥AD ，交ON 于E ，∵AD ∥BC ，∴AD ∥BC ∥PE ，∴∠DPE =∠ADP =∠α，∠CPE =∠BCP =∠β， ∴∠CPD =∠DPE -∠CPE =∠α-∠β，情况2：如图所示，点P 在射线AM 上时，过P 作PE ∥AD ，交ON 于E ，∵AD ∥BC ，∴AD ∥BC ∥PE ，∴∠DPE =∠ADP =∠α，∠CPE =∠BCP =∠β， ∴∠CPD =∠CPE -∠DPE =∠β-∠α20．（1）如题图1，AB CD ∥EMB END ∴∠=∠MR 平分EMB ∠，NP 平分MND ∠．11,22EMR EMB ENP END ∴∠=∠∠=∠ EMR ENP ∴∠=∠∴MR ∥NP ；（2）如题图2，AB CD ∥AMN END ∴∠=∠MR 平分AMN ∠，NP 平分MND ∠．11,22RMN AMN ENP END ∴∠=∠∠=∠ RMN ENP ∴∠=∠∴MR ∥NP ；（3）如图，设,MR PN 交于点Q ，过点Q 作QG AB ∥AB CD ∥180BMN END ∴∠+∠=︒，QG CD ∥ ,MQG BMR GQN PND ∴∠=∠∠=∠ MR 平分BMN ∠，NP 平分MND ∠．11,22BMR BMN PND END ∴∠=∠∠=∠ 90BMR PND ∴∠+∠=︒90MQN MQG NQG ∴∠=∠+∠=︒ ∴MR ⊥NP ；。

基础知识点三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在直线，截得的对应线段成比例。

如图(1)，若DE//BC ，则AD AE DB EC =或AD AE AB AC =或DB CEAB AC =如图(2)，若DE//BC ，则AB AC AE AD =或AB AC EB DC =或EA DAEB DC=EDE（2）（1）CBADC BA三角形一边的平行线性质定理推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。

如图(1)已知：△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且DE//BC ，则AD DE AEAB BC AC==; 如图(2)已知：△ABC 中，点D 、E 分别在CA 、BA 的延长线上，且DE//BC ，则AB BC ACAE DE AD==. EDE（2）（1）CBADC BA同高(或等高)的两个三角形的面积之比等于对应底边的比（2）（1）DCBADCBA如图(1)：ABD ADCS BDSDC =如图(2)：若AD//BC,则ADC ABCS ADSBC=三角形重心(三中线交点)：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍。

1、三角形三条中线交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。

2、三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点距离的两倍。

例题解析如图，在ABC ∆中，DE //BC ，下列各式中错误的是( ). A.AD AB AE AC = B.BD EC AD AE = C.AD DE DB BC = D.AE DEAC BC =答案：C变式：如图，已知在ABC ∆中，DE //BC ，EF //CD ，那么下列线段的比中与AEAC相等的有( )个。

①AF AB②AF AD ③FD FB④ADABA.0B.1C.2D.3答案：C,①和④例题讲解:在△ABC 中，DE//BC ，DE 与AB 相交于D ，与AC 相交于E 。

三角形与底边平行线定理三角形与底边平行线定理是几何学中的重要定理之一，它为我们研究三角形提供了有力的工具和方法。

本文将从定理的表述、证明、应用以及实际生活中的意义等多个方面，全面介绍三角形与底边平行线定理。

三角形与底边平行线定理是指：如果一条直线与一个三角形的两条边分别相交，并且与第三边平行，那么这条直线将三角形分割成两个面积相等的小三角形。

首先，我们来看一下该定理的证明过程。

假设有一个三角形ABC，其中直线DE与AB、AC两边相交，并且DE与BC平行。

要证明的是，面积(△ADE)=面积(△BDEC)。

证明过程如下：首先，连接BD和CE，得到四边形BCDE。

因为DE与BC平行，所以由平行线定理可知，△BEC与△BDE是相似三角形，而且它们的相似比为BC：BD=CE：DE。

又因为△ABC与△AED有相同的高，且底边分别为AB和DE，所以它们的面积比为面积(△ADE)：面积(△ABC) = DE：AB。

即面积(△ADE) = (DE/AB) * 面积(△ABC)。

同样地，根据四边形面积的性质，面积(△BDEC) = (CE/(CE+BD)) * 面积(△ABC)。

而根据相似比的定义，BC/(BC+BD) = CE/(CE+BD)。

由此可得：CE/(CE+BD) = DE/AB。

将上述结论带入面积公式，可得到面积(△BDEC) = 面积(△ADE)，即两个小三角形的面积相等。

通过上述证明可以看出，三角形与底边平行线定理是建立在相似三角形和平行线定理的基础上的，它将一个三角形切割成两个具有相等面积的小三角形。

接下来，我们来看一下这个定理的应用。

三角形与底边平行线定理在许多几何问题中都起着重要的作用。

例如，在解决三角形的面积问题时，可以利用该定理将三角形分割成两个面积相等的小三角形，从而简化计算的复杂度。

此外，该定理还可以应用在解决实际生活中的问题中。

例如，在设计房屋或者建筑物的工程中，我们经常需要确定不规则形状的地块的面积。

平行线的证明1、如右图,已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠1=∠2，求证:DG∥BA。

2、如图：已知：AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，∠1=∠3，求证：AD 平分∠BAC。

3、如图5-27，已知：E、F分别是AB和CD上的点，DE、AF分别交BC于G、H，∠A=∠D，∠1=∠2，求证：∠B=∠C。

4、已知：如图，BE∥AO，∠1=∠2,OE⊥OA于O，EH⊥CD于H，求证：∠5=∠65、如图，已知：DE⊥AO于E，BO⊥AO，∠CFB＝∠EDO，求证：CF ∥DO.6、如图，若AB∥CD，在下列三种情况下探究∠APC与∠PAB，∠PCD 的数量关系SSS证明1、点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，则AB 和DE有怎样的位置关系？请证明2、已知AB=CD，BE=DF，AF=CE，则AB与CD有怎样的位置关系？3、如图，已知：AB=AD，AC=AE，BC=DE，求证：∠BAE=∠CAD4、如图，AB=AC，BD=CD，求证：∠1=∠25、在△ABC中，∠C=90°，且AD=BD，AE=BC，DE=DC，说明DE⊥AB。

6、如图，AC与BD交于点O，AD=CB，E、F是BD上两点，且AE=CF，DE=BF.请推导下列结论：⑴∠D=∠B；⑵AE∥CFASA或AAS证明1、如图，已知∠A=∠C，AE=CF，DE∥BF，说明AB、CD的关系。

2、如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE交CD于F，且AD=DF，求证：AC=BF3、如图，已知：BE=CD，∠B=∠C，求证：∠1=∠2。

4、如图，在△ABC中，∠ACB=90，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，求证：DE=AD+BE.5、如图，已知∠1=∠2=∠3，AB=AD.求证：BC=DE6、在△ABC中，DE⊥AB，DF⊥AC，DA平分∠EDF，说明：（1）∠1=∠2（2）DE=DF。

初中平行线相似证明练习题
本文档将提供一些初中平行线相似证明的练题，帮助学生加深对该知识点的理解与应用。

问题一
已知：四边形ABCD中，AB平行CD，且AD与BC相交于点O。

证明：三角形AOD与三角形BOC相似。

解答一
由已知条件可得，AB平行CD，根据平行线的性质，可以推出∠ACD=∠BDC。

又AD与BC相交于点O，根据垂直角的性质，可以得出
∠AOD=∠COB。

综上所述，根据AAA相似性质，可以得出三角形AOD与三角形BOC相似。

问题二
已知：图中的两条直线AB和CD平行，∠FAD=∠DCB。

证明：三角形ADF与三角形CBD相似。

解答二
由已知条件可得，直线AB平行CD，根据平行线的性质，可以推出∠FAD=∠DCB。

综上所述，根据AA相似性质，可以得出三角形ADF与三角形CBD相似。

问题三
已知：图中的直线AB和CD平行，∠EAD=∠CDB。

证明：三角形AED与三角形BCD相似。

解答三
由已知条件可得，直线AB平行CD，根据平行线的性质，可以推出∠EAD=∠CDB。

综上所述，根据AA相似性质，可以得出三角形AED与三角形BCD相似。

结论
通过以上练题的解答，我们可以得出结论：在平行线的相关知识点中，可利用平行线性质和角的性质，通过简单的证明步骤可以得出平行线相似的结论。

希望以上内容对你的学习有所帮助！。

1．一定在△ABC 内部的线段是（ ）A ．锐角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线B ．钝角三角形的三条高、三条中线、一条角平分线C ．任意三角形的一条中线、二条角平分线、三条高D ．直角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线 2．下列说法中，正确的是（ ）A ．一个钝角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形B ．一个等腰三角形一定是锐角三角形，或直角三角形C ．一个直角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形D ．一个等边三角形一定不是钝角三角形，也不是直角三角形3．如图，在△ABC 中，D 、E 分别为BC 上两点，且BD ＝DE ＝EC ，则图中面积相等的三角形有（ ） A ．4对 B ．5对 C ．6对 D ．7对 4．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．无法确定5．若等腰三角形的一边是7，另一边是4，则此等腰三角形的周长是（ ） A ．18 B ．15 C ．18或15 D ．无法确定6．两根木棒分别为5cm 和7cm ，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，如果第三根木棒长为偶数，那么第三根木棒的取值情况有（ ）种 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6A ．180°B ．360°C ．720°D ．540°7．如图:（1）AD ⊥BC ，垂足为D ，则AD 是________的高，∠________＝∠________＝90°； （2）AE 平分∠BAC ，交BC 于点E ，则AE 叫________，∠________＝∠________＝21∠________，（3）若AF ＝FC ，则△ABC 的中线是________；（4）若BG ＝GH ＝HF ，则AG 是________的中线，AH 是________的中线．8．在等腰△ABC 中，如果两边长分别为6cm 、10cm ，则这个等腰三角形的周长为________． 9．如图，△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点I ． （1）若∠ABC ＝70°，∠ACB ＝50°，则∠BIC ＝________； （2）若∠ABC ＋∠ACB ＝120°，则∠BIC ＝________； （3）若∠A ＝60°，则∠BIC ＝________； （4）若∠A ＝100°，则∠BIC ＝________； （5）若∠A ＝n °，则∠BIC ＝________．10．如图，在△ABC 中，∠BAC 是钝角．画出： （1）∠ABC 的平分线； （2）边AC 上的中线；（3）边AC 上的高．11．如图，AB ∥CD ，BC ⊥AB ，若AB ＝4cm ，212cm =∆ABC S ，求△ABD 中AB 边上的高．12．一块三角形优良品种试验田，现引进四个良种进行对比实验，需将这块土地分成面积相等的四块．请你制订出两种以上的划分方案．13．一个三角形的周长为36cm ，三边之比为a ∶b ∶c ＝2∶3∶4，求a 、b 、c ．14．如图，AB ∥CD ，∠BMN 与∠DNM 的平分线相交于点G ， （1）完成下面的证明：∵ MG 平分∠BMN （ ），∴ ∠GMN ＝21∠BMN （ ）， 同理∠GNM ＝21∠DNM ． ∵ AB ∥CD （ ），∴ ∠BMN ＋∠DNM ＝________（ ）． ∴ ∠GMN ＋∠GNM ＝________．∵ ∠GMN ＋∠GNM ＋∠G ＝________（ ）， ∴ ∠G ＝ ________．∴ MG 与NG 的位置关系是________．（2）把上面的题设和结论，用文字语言概括为一个命题：_______________________________________________________________．15．已知，如图D 是△ABC 中BC 边延长线上一点，DF ⊥AB 交AB 于F ，交AC 于E ，∠A ＝46°，∠D ＝50°．求∠ACB 的度数．16．已知，如图△ABC 中，三条高AD 、BE 、CF 相交于点O ．若∠BAC ＝60°， 求∠BOC 的度数．17．已知，如图△ABC 中，∠B ＝65°，∠C ＝45°，AD 是BC 边上的高，AE 是∠BAC 的平分线．求∠DAE 的度数．三、填写理由（3×7）1、已知：如图、BE//CF ，BE 、CF 分别平分∠ABC 和∠BCD 求证：AB//CD证明：∵BE 、平分∠ABC （已知） ∴∠1=21∠ ∵CF 平分∠BCD （ ） ∠2=21∠ （ ） ∵BE//CF （已知）∴∠1=∠2（ ） ∴21∠ABC=21∠BCD （ ） 即∠ABC=∠BCD∴AB//CD （ ）2、如图，已知：∠BCF=∠B+∠F 。

基础知识点三角形一边平行线的判定定理:如果一条直线截三角形两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

(由成比例得平行)A如图，若EC AE DB AD =(或AC AE AB AD =或ACEC AB BD =)，则DE//BCD EB C三角形一边平行线的判定定理的推论：如果一条直线截三角形两边的延长线(这两条延长线在第三边的同侧)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于第三边。

若CE AC BD AB =(或AE AC AD AB =或AC EC AD BD =) 若AC AE AB AD =(或EC AE BD AD =或CEAC BD AB =) 则DE//BC 则DE//BC例题解析例题解析:在△ABC 中，点D 、E 在边AB 、AC 上，根据下列给定的条件，试判断DE 与BC 是否平行？ 并说明理由.(1)AD=3cm ，DB=4cm ，AE=1.8cm ，CE=2.4cm ；(2)AD=6cm ，BD=9cm ，AE=4cm ，AC=10cm;答案：(1)是；(2)不是.变式:在△ABC 中，点D 、E 在边AB 、AC 上，根据下列给定的条件，试判断DE 与BC 是否平行？ 并说明理由.(1)AD=8cm ，AC=16cm ，AE=6cm ，AB=12cm;(2)AB=3BD ，AE=32AC;(3)AB=2BD ，AC=2CE.答案：(1)不是；(2)是；(3)是.例题解析:如图，点D 、E 分别在AB 、AC 上，以下能推得DE//BC 的条件是( )。

A.AD:AB=DE:BCB.AD:DB=DE:BCC.AD:DB=AE:ECD.AE:AC=AD:DB 答案:解析：∵AD:DB=AE:EC ，∴DE//BC ，故选:C ．变式:在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，下列条件中不能判定DE//BC 的是( )。

A.= B.= C.= D.=解析：∵=，∴DE//BC ，选项A 不符合题意；∵=，∴DE//BC ，选项B 不符合题意； ∵=，∴DE//BC ，选项C 不符合题意；=，DE//BC 不一定成立，选项D 符合题意.故选：D ．例题解析:已知:如图，点D ，F 在△ABC 的边AB 上，点E 在边AC 上，且DE//BC ，ABAD AD AF =，求证:EF//DC. 解答:证明:∵DE//BC ，∴AC AE AB AD =， ∵AB AD =，∴AC AD =，∴ADAC =，∴EF//DC.变式:如图，在△ABC 中，EF//CD ，DE//BC 。

三角形一边的平行线【知识梳理】1、三角形一边的平行线性质定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例． 如图，已知ABC ∆，直线//l BC ，且与AB 、AC 所在直线交于点D 和点E ，那么AD AEDB EC=．2、三角形一边的平行线性质定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上， //DE BC ，那么DE AD AE BC AB AC ==．3、三角形的重心定义：三角形三条中线交于一点，三条中线交点叫三角形的重心．性质：三角形重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍． 4、三角形一边的平行线判定定理如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 5、三角形一边的平行线判定定理推论如果一条直线截三角形的两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．如图，在ABC ∆中，直线l 与AB 、AC 所在直线交于点D 和点E ，如果AD AEDB EC=那么l //BC ．6、平行线分线段成比例定理两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例． 如图，直线1l //2l //3l ，直线m 与直线n 被直线1l 、2l 、3l 所截，那么DF EGFB GC=．7、平行线等分线段定理两条直线被三条平行的直线所截，如果一条直线上截得的线段相等，那么另一条直线上截得的线段也相等．【考点剖析】 一．三角形的重心（共13小题）1．（2023•青浦区一模）三角形的重心是（ ） A ．三角形三条角平分线的交点 B ．三角形三条中线的交点C ．三角形三条边的垂直平分线的交点D ．三角形三条高的交点【分析】根据三角形的重心概念作出回答，结合选项得出结果． 【解答】解：三角形的重心是三角形三条中线的交点． 故选：B ．【点评】考查了三角形的重心的概念．三角形的外心是三角形的三条垂直平分线的交点；三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点．2．（2023•奉贤区一模）在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，G 是重心．如果AD ＝6，那么线段DG 的长是 ．BCD E FG【分析】根据重心的性质三角形的重心到一顶点的距离等于到对边中点距离的2倍，直接求得结果．【解答】解：∵三角形的重心到顶点的距离是其到对边中点的距离的2倍，∴DG＝AG＝2．故答案为：2．【点评】本题考查的是三角形的重心，熟知心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解题的关键．3．（2022秋•杨浦区期末）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，点G是△ABC的重心，如果AG＝4，那么BC 的长为．【分析】延长AG交BC于点D，根据重心的性质可知点D为BC的中点，且AG＝2DG＝4，则AD＝6，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解．【解答】解：如图，延长AG交BC于点D．∵点G是△ABC的重心，AG＝4，∴点D为BC的中点，且AG＝4，∴DG＝2，∴AD＝AG+DG＝6，∵△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边的中线，∴BC＝2AD＝12．故答案为12．【点评】本题考查了三角形重心的定义及性质，三角形的重心是三角形三边中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．同时考查了直角三角形的性质．4．（2022秋•青浦区校级期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，点G是△ABC的重心，GE⊥AC，垂足为E，如果CB＝10，则线段GE的长为（）A．B．C．D．【分析】因为点G是△ABC的重心，根据三角形的重心是三角形三条中线的交点以及重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比是2：1，可知点D为BC的中点，，根据GE⊥AC，可得∠AEG＝90°，进而证得△AEG∽△ACD，从而得到，代入数值即可求解．【解答】解：如图，连接AG并延长交BC于点D．∵点G是△ABC的重心，∴点D为BC的中点，，∵CB＝10，∴，∵GE⊥AC，∴∠AEG＝90°，∵∠C＝90°，∴∠AEG＝∠C＝90°，∵∠EAG＝∠CAD（公共角），∴△AEG∽△ACD，∴，∵，∴，∴，∴．故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的重心的定义及其性质，熟练运用三角形重心的性质是解题的关键．5．（2021秋•松江区期末）如图，已知点G是△ABC的重心，那么S△BCG：S△ABC等于（）A．1：2B．1：3C．2：3D．2：5【分析】连接AG延长交BC于点D，由G是重心可得D是BC的中点，所以S△ABD＝S△ACD，S△BG＝S△CDG，又由重心定理可AG＝2GD，则2S△BGD＝S△ABG，进而得到3S△BDG＝S△ABC，即可求解．【解答】解：连接AG延长交BC于点D，∵G是△ABC的重心，∴D是BC的中点，∴S△ABD＝S△ACD，S△BDG＝S△CDG，∵AG＝2GD，∴2S△BDG＝S△ABG，∴3S△BGD＝S△ABD，∴3S△BDG＝S△ABC，∴S△BDG：S△ABC＝1：3，故选：B．【点评】本题考查三角形的重心，熟练掌握三角形重心定理，利用等底、等高三角形面积的特点求解是解题的关键．6．（2022秋•杨浦区校级期末）如图，G是△ABC的重心，延长BG交AC于点D，延长CG交AB于点E，P、Q分别是△BCE和△BCD的重心，BC长为6，则PQ的长为．【分析】连接DE，由G是△ABC的重心，可证DE是△ABC的中位线，从而可求出DE的长．延长EP交BC 于F点，连接DF，利用三角形重心的定义和性质得到EP＝2PF，DQ＝2QF，再证明△FPQ∽△FED得到即可．【解答】解：连接DE，延长EP交BC于F点，连接DF，如图，∵G是△ABC的重心，∴D、E分别是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴．∵P点是△BCE的重心，∴F点为BC的中点，EP＝2PF，∵Q点是△BCD的重心，∴点Q在中线DF上，DQ＝2QF，∵∠PFQ＝∠EFD，，∴△FPQ∽△FED，∴，∴，故答案为：1．【点评】本题考查了三角形的重心，三角形的中位线，相似三角形的判定与性质．三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．7．（2022秋•徐汇区期末）在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，以AC为边在△ABC外作等边△ACD，设点E、F分别是△ABC和△ACD的重心，则两重心E与F之间的距离是．【分析】取AC中点O，连接OB、OD、BD、EF．根据含30度角的直角三角形的性质求出AC＝2BC＝2，利用勾股定理得出AB＝，根据等边三角形的性质得出CD＝AD＝AC＝2，∠CAD＝60°，那么∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝90°，利用勾股定理求出BD＝．然后证明△EOF∽△BOD，得出EF＝BD＝．【解答】解：如图，取AC中点O，连接OB、OD、BD、EF．在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠30°，BC＝1，∴AC＝2BC＝2，AB＝＝＝，∵△ACD是等边三角形，∴CD＝AD＝AC＝2，∴∠CAD＝60°，∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝90°，∴BD＝＝＝．∵点E、F分别是△ABC和△ACD的重心，∴＝＝，又∠EOF＝∠BOD，∴△EOF∽△BOD，∴＝＝＝，∴EF＝BD＝．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质，三角形重心的定义与性质，掌握重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解题的关键．8．（2022秋•黄浦区月考）已知点G是△ABC的重心，那么S△ABG：S△ABC＝．【分析】三角形的重心是三角形三边中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，由此即可计算．【解答】解：延长AG交BC于D，∵点G是△ABC的重心，∴BD＝CD，AG：DG＝2：1，∴AG：AD＝2：3，∴S△ABG：S△ABD＝2：3，∵S△ABD：S△ABC＝1：2，∴S△ABG：S△ABC＝1：3．故答案为：1：3．【点评】本题考查三角形的重心，关键是掌握三角形重心的性质．9．（2023•金山区一模）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠A＝90°，AB＝6，G1为△ABC的重心，E为线段AB上任意一动点，以CE为斜边作等腰Rt△CDE（点D在直线BC的上方），G2为Rt△CDE的重心，设G1、G2两点的距离为d，那么在点E运动过程中d的取值范围是．【分析】分别求出d的最小值和最大值，即可得到d的取值范围．【解答】解：当E与B重合时，G1与G2重合，此时d最小为0，当E与A重合时，G1G2最大，连接并延长AG1交BC于H，连接并延长DG2交AC于K，连接HK，过G2作G2T⊥AH于T，如图：∵G1为等腰直角三角形ABC的重心，∴H为BC中点，∴∠AHB＝∠AHC＝90°，∴△ABH和△ACH是等腰直角三角形，∴BH＝CH＝AH＝＝3，∵AG1＝2G1H，∴AG1＝2，G1H＝，∵G2是为等腰Rt△CDE的重心，∴K为AC中点，∴∠AKD＝∠CKD＝90°，∠AKH＝∠CKH＝90°，∴∠AKD+∠AKH＝180°，∴D，K，H共线，∵AK＝CK＝DK＝AC＝AB＝3＝HK，∴G2K＝DK＝1，G2D＝DK﹣G2K＝2，∴G2H＝G2K+HK＝4，∵TG2∥ED，∴＝＝＝＝，即＝＝，∴TG2＝2，TH＝2，∴TG1＝TH﹣G1H＝，∴G1G2＝＝，∴G1G2最大值为，∴G1G2的范围是0≤G1G2≤，故答案为：0≤d≤．【点评】本题考查三角形的重心，涉及等腰直角三角形的性质及应用，解题的关键是掌握三角形重心的性质．10．（2023•松江区一模）已知△ABC，P是边BC上一点，△P AB、△P AC的重心分别为G1、G2，那么的值为．【分析】由重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，得到△AG1G2∽△ADE，推出△AG1G2的面积：△ADE的面积＝4：9，而△ADE的面积＝×△ABC的面积，即可解决问题．【解答】解：延长AG1交PB于D，延长AG2交PC于E，∵△PAB、△PAC的重心分别为G1、G2，∴AG1：AD＝AG2：AE＝2：3，D是PB中点，E是PC中点，∵∠G1AG2＝∠DAE，∴△AG1G2∽△ADE，∴△AG1G2的面积：△ADE的面积＝4：9，∵D是PB中点，E是PC中点，∴△ADE的面积＝×△ABC的面积，∴的值为．故答案为：．【点评】本题考查三角形的重心，三角形的面积，相似三角形的判定和性质，关键是掌握三角形重心的性质．11．（2022秋•徐汇区期中）已知点G是等腰直角三角形ABC的重心，AC＝BC＝6，那么AG的长为．【分析】根据三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍解答即可．【解答】解：∵G是等腰直角△ABC的重心，AC＝BC＝6，∴CD＝BC＝3，由勾股定理得：AD＝＝3，∴AG＝×＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了三角形的重心，熟记三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍是解题的关键．12．（2018•宝山区校级自主招生）G为重心，DE过重心，S△ABC＝1，求S△ADE的最值，并证明结论．【分析】设AD＝mAB，AE＝nAC，由G为△ABC重心得＝3，再由当＝＝时，有最大值，则mn有最小值，而无论D、E任何移动，mn，即可求出S△ADE的最值．【解答】解：S△ADE的最大值为，最小值为．证明：假设△ABC面积为S1，△ADE面积为S2，设AD＝mAB，AE＝nAC，∵G为△ABC重心，∴＝3，∴S2＝AD•AE•sinA＝mAB•nAC•sinA＝mnS1，当＝＝时，有最大值，则mn有最小值，而无论D、E任何移动，mn，∴S1≤S2≤S1，∴S△ADE的最大值为，最小值为．【点评】本题主要考查了三角形重心的性质，解决此题的关键是根据G为△ABC重心得到＝3．13．（2019秋•嘉定区校级月考）如图，点G是△ABC的重心，过点G作EF∥BC，分别交AB、AC于点E、F，且EF+BC＝7.2cm，求BC的长．【分析】如果连接AG并延长，交BC于点P，由三角形的重心的性质可知AG＝2GP，则AG：AP＝2：3．又EF∥BC，根据相似三角形的判定可知△AGF∽△APC，得出AF：AC＝2：3，最后由EF∥BC，得出△AEF∽△ABC，从而求出EF：BC＝AF：AC＝2：3，结合EF+BC＝7.2cm来求BC的长度．【解答】解：如图，连接AG并延长，交BC于点P．∵G为△ABC的重心，∴AG＝2GP，∴AG：AP＝2：3，∵EF过点G且EF∥BC，∴△AGF∽△APC，∴AF：AC＝AG：AP＝2：3．又∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝＝．又EF+BC＝7.2cm，∴BC＝4.32cm．【点评】本题主要考查了三角形的重心的性质，相似三角形的判定及性质．三角形三边的中线相交于一点，这点叫做三角形的重心．重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍．平行于三角形一边的直线截其它两边，所得三角形与原三角形相似．相似三角形的三边对应成比例．二．平行线分线段成比例（共1914．（2022秋•徐汇区期末）在△ABC中，点D、E分别在边AB和BC上，AD＝2，DB＝3，BC＝10，要使DE∥AC，那么BE必须等于．【分析】此题主要考查了平行线分线段成比例定理的逆定理，根据题意得出要使DE∥AC，必须即可得出BE的长．【解答】解：∵在△ABC中，点D、E分别在边AB和BC上，AD＝2，DB＝3，BC＝10，∴要使DE∥AC，∴，∴，解得：BE＝6．故答案为：6．【点评】此题主要考查了平行线分线段成比例定理的逆定理，根据题意得出要使DE∥AC，必须是解决问题的关键．15．（2022秋•闵行区期末）如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1、l2于点A、C、E和点B、D、F，如果AC：CE＝3：1，BF＝10，那么DF等于（）A．B．C．D．【分析】由AB∥CD∥EF，可得出＝，代入AC＝3CE，BF＝10，即可求出DF的长．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴＝，即＝，∴DF＝．故选：C．【点评】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键．16．（2023•宝山区一模）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD：BD＝1：3，那么下列条件中能判断DE∥BC的是（）A．＝B．＝C．＝D．【分析】如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边，进而可得出结论．【解答】解：∵AD：BD＝1：3，∴，∴当时，，∴DE∥BC，故A选项能够判断DE∥BC；而C，B，D选项不能判断DE∥BC．故选：A．【点评】本题主要考查了由平行线分线段成比例来判定两条直线是平行线的问题，能够熟练掌握并运用．17．（2022秋•嘉定区校级期末）如果点H、G分别在△DEF中的边DE和DF上，那么不能判定HG∥EF 的比例式是（）A．DH：EH＝DG：GF B．HG：EF＝DH：DEC．EH：DE＝GF：DF D．DE：DF＝DH：DG【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．【解答】解：A、当DH：EH＝DG：GF，即＝时，HG∥EF，本选项不符合题意；B、当HG：EF＝DH：DE∥EF，本选项符合题意；C、当EH：DE＝GF：DF，即＝时，HG∥EF，本选项不符合题意；D、当DE：DF＝DH：DG，即＝时，HG∥EF，本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．18．（2023•徐汇区一模）如图，a∥b∥c，若，则下面结论错误的是（）A．B．C．D．【分析】已知a∥b∥c，根据平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可．【解答】解：由，得＝＝，故A不符合题意；∵a∥b∥c，∴＝＝，故B不符合题意；根据已知条件得不出＝，故C符合题意；由＝，得＝＝，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．19．（2021秋•嘉定区期末）如图，已知AB∥CD∥EF，AC：AE＝3：5，那么下列结论正确的是（）A．BD：DF＝2：3B．AB：CD＝2：3C．CD：EF＝3：5D．DF：BF＝2：5【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴BD：DF＝AC：CE＝3：2，A选项错误，不符合题意；AB：CD的值无法确定，B选项错误，不符合题意；CD：EF的值无法确定，C选项错误，不符合题意；DF：BF＝CE：AE＝2：5，D选项正确，符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．20．（2023•长宁区一模）如图，AD∥BE∥CF，已知AB＝5，DE＝6，AC＝15，那么EF的长等于．【分析】由AD∥BE∥CF，可得＝，即＝，可解得DF＝18，从而EF＝DF﹣DE＝12．【解答】解：如图：∵AD∥BE∥CF，∴＝，∵AB＝5，DE＝6，AC＝15，∴＝，解得DF＝18，∴EF＝DF﹣DE＝18﹣6＝12，故答案为：12．【点评】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，列出比列式．21．（2023•松江区一模）如图，已知直线AD∥BE∥CF，如果＝，DE＝3，那么线段EF的长是．【分析】根据平行线分线段成比例解答即可．【解答】解：∵AD∥BE∥CF，∴＝，∵DE＝3，∴＝，∴EF＝，故答案为：．【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．22．（2022秋•松江区月考）如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，且DE∥BC，AD＝3，AB ＝4，AC＝6，求EC．【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，即＝，解得：AE＝，∴EC＝AC﹣AE＝6﹣＝．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．23．（2022秋•松江区月考）如图，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB＝1：3，AE＝3．（1）求EC的值；（2）求证：AD•AG＝AF•AB．【分析】（1）由平行可得＝，可求得AC，且EC＝AC﹣AE，可求得EC；（2）由平行可知＝＝，可得出结论．【解答】（1）解：∵DE∥BC，∴＝，又＝，AE＝3，∴＝，解得AC＝9，∴EC＝AC﹣AE＝9﹣3＝6；（2）证明：∵DE∥BC，EF∥CG，∴＝＝，∴AD•AG＝AF•AB．【点评】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．24．（2023•崇明区一模）四边形ABCD中，点F在边AD上，BF的延长线交CD的延长线于E点，下列式子中能判断AD∥BC的式子是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】根据各个选项中的条件和图形，利用相似三角形的判定和性质、平行线的判定，可以判断哪个选项符合题意．【解答】解：当时，无法判断AD∥BC，故选项A不符合题意；当＝时，∠AFB＝∠DFE，则△AFB∽△DFE，故∠ABF＝∠DEF，AB∥CD，但无法判断AD∥BC，故选项B不符合题意；当时，无法判断AD∥BC，故选项C不符合题意；当时，∠FED＝∠BEC，则△FED∽△BEC，故∠EFD＝∠EBC，可以判断判断AD∥BC，故选项D符合题意；故选：D．【点评】本题考查平行线分线段成比例、平行线的判定、相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．25．（2022秋•杨浦区校级期末）如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BE＝24，那么BC的长等于（）A．4B．C．D．8【分析】根据平行线分线段成比例得到，即可求出BC．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴，∵BE＝24，∴，解得：．故选：C．【点评】本题考查了平行线分线段成比例；熟练掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是本题的关键．26．（2022秋•浦东新区期末）如图，DF∥AC，DE∥BC，下列各式中正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据平行线分线段成比例定理逐个判定即可．【解答】解：A．∵DE∥BC，∴＝，∴＝，故本选项符合题意；B．∵DF∥AC，∴＝，故本选项不符合题意；C．∵DE∥BC，∴＝，∴＝，即＝，故本选项不符合题意；D．∵DE∥BC，DF∥AC，∴，，∴＝，故本选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理和比例的性质，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．27．（2022秋•青浦区校级期末）如图，已知直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3，AB＝6，BC＝3，DF＝12，则DE＝．【分析】根据平行线分线段成比例，即可进行解答．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴，即，∵DF＝12，∴DE+DE＝12，解得：DE＝8．故答案为：8．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．掌握平行线分线段成比例是解题关键．28．（2022•宝山区二模）已知：如图，点D、E、F分别在△ABC的边AB、AC、BC上，DF∥AC，BD＝2AD，AE＝2EC．（1）如果AB＝2AC，求证：四边形ADFE是菱形；（2）如果AB＝AC，且BC＝1，联结DE，求DE的长．【分析】（1）根据菱形的判定方法解答即可；（2）根据相似三角形的判定和性质解答即可．【解答】（1）证明：∵BD＝2AD，AE＝2EC，∴＝，∵DF∥AC，∴＝，∴＝，∴EF∥AB，又∵DF∥AC，∴四边形ADFE是平行四边形，∵AB＝2AC，AE＝AC，∴AE＝AB，∴AD＝AE，∵四边形ADFE是平行四边形，∴四边形ADFE是菱形；（2）如图，在△ADE和△ACB中，∠A是公共角，＝＝＝，＝＝＝，∴△ADE∽△ACB，∵BC＝1，∴DE＝．【点评】本题主要考查了菱形的判定和相似三角形的判定和性质，熟练掌握这些判定定理和性质定理是解答本题的关键．29．（2021秋•杨浦区校级月考）如图，点D为△ABC中内部一点，点E、F、G分别为线段AB、AC、AD 上一点，且EG∥BD，GF∥DC．（1）求证：EF∥BC；（2）当，求的值．【分析】（1）先根据相似比的性质得出＝，＝，故可得出＝，由此即可得出结论；（2）先根据EF∥BC得出∠AEF＝∠ABC，再由DG∥BD得出∠AEG＝∠ABD，故可得出∠GEF＝∠DBC，同理可得，∠GEF＝∠DBC，故可得出△EGF∽△BDC根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得出结论．【解答】（1）证明：∵EG∥BD，∴＝，∵GF∥DC，∴＝，∴＝，∴EF∥BC；（2）解：∵EF∥BC，∴∠AEF＝∠ABC，∵EG∥BD，∴∠AEG＝∠ABD，∴∠AEF﹣∠AEG＝∠ABC﹣∠AED，即∠GEF＝∠DBC，同理可得，∠GEF＝∠DBC，∴△EGF∽△BDC，∵，∴＝＝，∴＝（）2＝．【点评】熟知相似三角形对应边的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．30．（2021秋•宝山区校级月考）如图，已知直线l1、l2、l3分别截直线l4于点A、B、C，截直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3．（1）如果AB＝4，BC＝8，EF＝12，求DE的长．（2）如果DE：EF＝2：3，AB＝6，求AC的长．【分析】（1）由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出DE的长；（2）由平行线分线段成比例定理得出比例式，求出BC的长，即可得出AC的长．【解答】解：（1）∵l1∥l2∥l3．∴＝＝，∴DE＝EF＝6；（2）∵l1∥l2∥l3．∴＝，∴BC＝AB＝×6＝9，∴AC＝AB+BC＝6+9＝15．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．31．（2022秋•奉贤区期中）如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1、l2、l3所截．若AB＝3cm，BC ＝5cm，EF＝4cm．（1）求DE、DF的长；（2）如果AD＝40cm，CF＝80cm，求BE的长．【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理求解；（2）过点A作AK∥DF交BE于点J，交CF于点K，则AD＝JE＝FK＝40cm．求出BJ，可得结论．【解答】解：（1）∵l1∥l2∥l3，∴＝，∴＝，∴DE＝（cm），∴DF＝DE+EF＝4+＝（cm）．（2）如图，过点A作AK∥DF交BE于点J，交CF于点K，则AD＝JE＝FK＝40cm．∴CK＝CF﹣FK＝40cm，∵BJ∥CK，∴＝，∴＝，∴BJ＝15cm，∴BE＝BJ+JE＝15+40＝55cm．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．32．（2022秋•浦东新区校级月考）如图，已知点A、C、E和点B、F、D分别是∠O两边上的点，且AB∥ED，BC∥EF，AF、BC交于点M，CD、EF交于点N．（1）求证：AF∥CD；（2）若OA：AC：CE＝3：2AM＝1，求线段DN的长．【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理，由AB∥DE得到OA•OD＝OE•OB，由BC∥EF得到OC•OF＝OE •OB，所以OA•OD＝OC•OF，即＝，于是可判断AF∥CD；（2）先利用BC∥EF得到＝＝，则可设OB＝5x，BF＝4x，再由AF∥CD得到＝＝，＝＝，所以FD＝6x，接着由FN∥BC得到＝＝，于是可设DN＝3a，则CN＝2a，然后证明四边形MFNC为平行四边形得到MF＝CN＝2a，最后利用＝得到＝，求出a从而得到DN的长．【解答】（1）证明：∵AB∥DE，∴＝，即OA•OD＝OE•OB，∵BC∥EF，∴＝，即OC•OF＝OE•OB，∴OA•OD＝OC•OF，即＝，∴AF∥CD；（2）解：∵OA：AC：CE＝3：2：4，∴OC：CE＝5：4，∵BC∥EF，∴＝＝，设OB＝5x，则BF＝4x，∵AF∥CD，∴＝＝，＝＝∴FD＝OF＝×9x＝6x，∵FN∥BC，∴＝＝＝，设DN＝3a，则CN＝2a，∵FN∥CM，MF∥CN，∴四边形MFNC为平行四边形，∴MF＝CN＝2a，∵＝，即＝，解得a＝1，∴DN＝3a＝3．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．【过关检测】一、单选题A．4【答案】C【分析】根据平行线分线段成比例得到35BC ADBE AF==，即可求出BC．【详解】解：∵AB CD EF∥∥，∴35 BC ADBE AF==，∵24 BE=，∴3 245 BC=，解得：725 BC=．故选：C【点睛】本题考查了平行线分线段成比例；熟练掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是本题的关键．九年级校考期中）在ABC中，分别在ABC的边【答案】A【分析】根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可．【详解】解：A、AD DEAB BC=，不能判定DE BC∥，故A符合题意；B、∵AD AE AB AC=，∴DE BC∥，故B不符合题意；C、∵AED C∠=∠，∴DE BC∥，故C不符合题意；D、∵AD AE BD EC=，∴DE BC∥，故D不符合题意．故选：A．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，平行线的判定，如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．九年级单元测试）在ABC中，点【答案】B【分析】根据题目的已知条件画出图形，然后利用平行线分线段成比例解答即可．【详解】如图：∵DE∥AC，AE：EB=3：2，∴32 AE CDEB BD==∴23BD CD =∵DF AB ∥， ∴23AF BD FC CD == 故选：B【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例这个基本事实是解题的关键． 在ABC 的边 【答案】A【分析】根据平行线分线段成比例可得47AE AD AC AB ==，则可以推出当47AF AE AD AC ==，即37DF AD =时，EF CD ∥．【详解】解：DE BC ∥，43AD DB =，∴44437AE AD AD AC AB AD DB ====++，∴当47AF AE AD AC ==时，EF CD ∥，此时74377DF AD AF AD AD −−===，故A 选项符合题意； B ，C ，D 选项均不能得出EF CD ∥．故选A ．【点睛】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是掌握“如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边”．5．（2023·上海浦东新·校考一模）如图，点D 、E 分别在AB 、AC 上，以下能推得DE BC ∥的条件是（ ）A ．::AD AB DE BC =B ．::AD DB DE BC = C ．::AD DB AE EC =D ．::AE AC AD DB =【答案】C 【分析】平行于三角形一边的直线截其他两边或延长线，所得的对应线段成比例．如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．【详解】解：设DE BC ∥，那么AD AB AE AC AD DB AE EC DB AB EC AC ===::，::，::，选项A 、B 、D 、不符合平行线分段成比例定理．如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．∵AD DB AE EC =::，∴DE BC ∥．故选：C ．【点睛】此题主要考查平行线分线段成比例，解答此题的关键的是明确哪些对应线段成比例．学生初学，容易出错．九年级校考期中）在ABC 中，点【答案】B【分析】利用如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边可对各选项进行判断即可．【详解】当AD AE DB EC =或AD AE AB AC =时, DE BC ∥, 当AD AE DB EC =时，可得23AE EC =，当AD AE AB AC =时，可得25AE AC =， 即23AE EC =或25AE AC =.所以B 选项是正确的，故选：B ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．二、填空题 7．（2022秋·上海嘉定·九年级校考期中）在ABC 中，点D 、E 分别在线段AB 、AC 的延长线上，DE 平行于BC ，1AB =，3BD =，2AC =，那么AE =___________．【答案】8【分析】根据平行线分线段陈比例定理求解即可．【详解】∵DE AB ∥ ∴AB AC AD AE = ∵1AB =，3BD =，2AC =，∴124AE =∴8AE =故答案为：8．【点睛】此题考查了平行线分线段陈比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段陈比例定理．8．（2022春·上海普陀·九年级校考期中）如图，ABCD Y 中，E 是边AD 的中点，BE 交对角线AC 于点F ，那么:AFE FEDC S S 四边形的值为____．【答案】15/0.2【分析】证明12AF EF AE CF BF BC ===，推出24BCF ABF AEF S S S ==，设AEF S m =，则2ABF S m =，4CBF S m =，求出四边形FEDC 的面积，可得结论．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC =，AD BC ∥，∴AF EF AE CF BF BC ==， ∵ E 是边AD 的中点，∴1122AE DE AD BC ===，∴12AF EF AE CF BF BC ===， ∴24BCF ABF AEF S S S ==，设AEF S m =，则2ABF S m =，4S m ， ∴6ACB ADC S S m ==， ∴65FECD S m m m =−=四边形， 1::55AFE FECD S S m m ==四边形； 故答案为：15．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．9．（2022秋·上海黄浦·九年级统考期中）如图，AD 、BC 相交于点O ，点E 、F 分别在BC 、AD 上，AB CD EF ∥∥，如果6CE =，4EO =，5BO =，6AF =，那么AD = ___________．【答案】10【分析】利用平行线分线段成比例定理得到EO FO BO AO =，EO FO CE DF =，求得4893FO AF ==，4DF =即可解决问题.【详解】解：∵AB CD EF ∥∥，EO FO BO AO =，EO FO CE DF =，∵4EO =，5BO =，∴45FO AO =， ∵6AF =，∴4893FO AF ==，∵6CE =，∴8436DF =，∴4DF =，∴6410AD AF DF =+=+=．故答案为：10．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．10．（2022秋·上海奉贤·九年级校联考期中）如图，四边形ABCD 中，AD BC EF ∥∥，如果3810AE AB CD ===，，，则CF 的长是________．【答案】254【分析】根据平行线分线段成比例得出AE DF AB CD =，求出154DF =，即可得出答案． 【详解】∵AD BC EF ∥∥， ∴AE DF AB CD =， ∵3810AE AB CD ===，，， ∴3810DF =， 解得：154DF =， ∴15251044CF CD DF =−=−=， 故答案为：254．【点睛】本题考查平行线分线段成比例，正确得出比例线段是解题的关键． 11．（2022秋·上海宝山·九年级统考期中）在ABC 中，点D 、E 分别在直线AB 、AC 上，如果DE BC ∥，1AB =，2AC =，3AD =，那么CE =________．【答案】4【分析】根据平行线分线段陈比例定理求解即可．【详解】解：作如下图：∵DE BC ∥，∴AB AC AD AE =， ∵1AB =，2AC =，3AD =，∴123AE =，∴6AE =，∴624CE AE AC =−=−=，故答案为：4．【点睛】此题考查了平行线分线段陈比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段陈比例定理．。

第3讲 三角形一边的平行线1、三角形一边的平行线性质定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例． 如图，直线DE // BC，那么AD AE AD AE DB ECDB EC AB AC AB AC===或或．2、三角形一边的平行线性质定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上， DE // BC ，那么DE AD AEBC AB AC==．知识梳理lA BCDEABCDEABCDE ll ABCDE3、三角形的重心定义：三角形三条中线交于一点，三条中线交点叫三角形的重心．性质：三角形重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍．4、三角形一边的平行线判定定理如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．5、三角形一边的平行线判定定理推论如果一条直线截三角形的两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．6、平行线分线段成比例定理ABCDEABCDEABCDE两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例． 如图，直线1l //2l //3l ，直线m 与直线n 被直线1l 、2l 、3l所截，那么DF EGFB GC．7、平行线等分线段定理两条直线被三条平行的直线所截，如果一条直线上截得的线段相等，那么另一条直线上截得的线段也相等．题型探究BCD E FG题型一、利用平行线性质求比例（比值）、长度、面积等【例1】如图，在ABC∆中，//DE BC，18AB=，12AC=，6BD=，求CE．【答案】4．【解析】BD CEAB AC=，代入可得：=4CE．【例2】如图，已知在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，射线AE交DC的延长线于点F，AB=2,BE=3EC,那么DF的长为.【答案】83.【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC=AB=2，又∵CF∥AB,∴13CF CEAB BE==,∴CF=23，则DF=2+CF= 83.【例3】如图,在ABC∆中，CD平分ACB∠，//DE BC，5AC=厘米，3:5ADAB=，求DE的长．【答案】2cm ． 【解析】//DE BC ，35AE AD AC AB ∴==． 由5AC cm =，代入可求得：32AE cm CE cm ==，． 又//DE BC ，EDC DCB ∴∠=∠．又CD 平分ACB ∠， ECD DCB ∴∠=∠． ECD EDC ∴∠=∠， 2DE CE cm ∴==．【例4】如图，在△ABC 中，点G 是△ABC 的重心，过点G 作DE ∥AC 分别交AB 、BC 于点D 、E ，过点D 作DF ∥BC 交AC 于点F ，如果DF=4，那么BE= .【答案】8．【解析】∵点G 是△ABC 的重心，DE ∥AC ，∴2BE BDCE AD==,由题意可得，四边形CEDF 为平行四边形，则DF=CE=4,∴BE=2CE=8.【例5】如图，已知在ABC ∆中，//DE BC ，//EF AB ，2AE CE =，6AB =，9BC =，求四边形BDEF 的周长．【答案】16． 【解析】2AE CE =，2133AE CE AC AC ∴==，．又//DE BC ，//EF AB ，2133AD AE EF CE AB AC AB AC ∴====，，四边形BDEF 为平行四边形． 代入可求得：62DE EF ==，，()2=16BDEF C DE EF ∴=+四边形．【例6】如图，在ABC ∆中，AB AC >，AD BC ⊥于点D ，点F 是BC 中点，过点F 作BC 的垂线交AB 于点E ，:3:2BD DC =，则:BE EA =．【答案】5:1．【解析】由:3:2BD DC =，BF FC =， 即得：32BF FD BF FD +=-，可得：51BF FD =．又AD BC ⊥，EF BC ⊥， EF ∴//AD ，::5:1BE EA BF FD ∴==．【例7】如图，在等腰ABC ∆中，AB=AC ，AD 、BE 分别是边BC 、AC 上的中线，AD 与BE 交于点F ，若BE=6，FD=3,则ABC ∆的面积．【答案】97．【解析】∵点F 是△ABC 的重心，∴AF BFFD EF==2,∴AF=2FD=6，AD=9，BF=4， 又∵AB=AC ，AD 是边BC 上的中线，∴AD 垂直于BC,∴由勾股定理得，BD=CD=7,∴S △ABC =11279=9722BC AD ⨯⨯=⨯⨯. 题型二、利用平行线判定证明线段平行【例8】如图，ABC ∆中，E 点在边AB 上，F 点在边AC 上，下列命题中不正确的是（ ）（A ）若EF //BC ，则AE AFEB FC =（B ）若AE AFEB FC =，则EF //BC （C ）若EF //BC ，则AE EFAB BC =（D ）若AE EFAB BC =，则EF //BC 【答案】D【解析】A 、B 、C 选项都可由三角形一边平行线性质定理及其判定定理可判定正确，D 选 项不符合定理判定内容．故选:B.【例9】如图，点D 、F 在ABC ∆的边AB 上，点E 在边AC 上，且DE //BC ，AF ADAD AB =．求证：EF //DC ．AB CEFA BCDEFGH【答案】见解析．【解析】证明：//DE BC ， AD AE DB EC ∴=， 则AD AEAB AC =． 又AF AD AD AB =，AF AEAD AC ∴=， ∴EF //DC ． 【例10】点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上，且DE //BC ，以DE 为一边作平行四边形DEFG ，延长BG 、CF 交于点H ，连接AH ，求证：AH //EF ． 【答案】略． 【解析】证明：DE //BC ， DE AEBC AC∴=． 又四边形DEFG 为平行四边形， //DE FG DE FG ∴=，． FG HF BC HC ∴=， AE HF AC HC ∴=， AE HFEC FC∴=， ∴AH //EF ．题型三、利用平行线分线段成比例求线段长【例11】如图，1l //2l //3l ，3AB =，8AC =，10DF =， 求DE 、EF 的长．【答案】152544DE EF ==，． 【解析】根据平行线分线段成比例定理和比例的合比性，可得AB DE AC DF =，代入求得154DE =，则ABCDE F B CA DEF254EF DF DE=-=．【例12】如图，直线1l、2l 、3l 分别交直线4l 于点A 、B、C，交直线5l于点D、E、F，且1l//2l// 3l．已知3AB=，5AC=，9DF=，求DE、EF的长．【答案】271855DE EF==，．【解析】根据平行线分线段成比例定理和比例的合比性，可得AB DEAC DF=，代入求得275DE=，则185EF DF DE=-=．题型四、构造“A”与“8”字型【例13】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=9，AB=6，CD=4.若EF∥BC，且EF=7，求AE和DF的长.（用两种方法解决）【答案】AE=4，DF=83；【解析】方法1：如图，过点A作AG∥CD，交EF于点H,交BC于点G,易得FH=CG=AD=3，AG=CD=4，∴EH=EF-FH=4，BG=BC-CG=6，∵EF∥BC，∴46AE EHAB AG==，∴DF AECD AB=,∴AE=4，DF=83.方法2：延长BA、CD交于点Q，可得AD∥EF∥BC，∴13AQ QD ADQB QC BC===,∴AQ=12AB=3，QD=12DC =2，CBADEFABDCE F∵AD ∥EF ，∴37AD QA QD EF QE QF ===，∴QE=7,QF=143，∴AE=7-3=4，DF=QF-QD=83.【例14】如图，D 是线段BC 上一点，且23BD DC =，CE 交AB 于点F ，:1:3AE ED =，求:AF BF 的值．【答案】2:15．【解析】过点A 作//AM BC 交CF 的延长线于点M ， 根据三角形一边平行线的性质定理， 则有13AM AE DC ED ==． 又23BD DC =，即()23BC DC DC -=．可得25DC BC =， 则215AM BC =． 由//AM BC 可得：::2:15AF BF AM BC ==．举一反三1.ABC ∆中，直线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，以下能推出DE //BC 的条件是（ ）A ．23AB AD =，12EC AE = B ．23AD AB =，23DE BC =C ．23AD DB =，23CE AE = D ．43AD AB =，43AE EC = 【答案】A【解析】根据比例的性质，可知只有A 选项中满足2AB AEBD EC ==，根据三角形一边平行线的判定定理可知A 选项正确，其它都不满足．2.（2021•醴陵市模拟）如图，直线123////l l l ，直线AC 和DF 被1l ，2l ，3l 所截，如果2AB =，3BC =，2EF =，那么DE 的长是( )A ．2B ．43C ．1D ．34【答案】B【解析】解：直线123////l l l ，∴AB DEBC EF=， 2AB =，3BC =，2EF =，∴232DE=， 43DE ∴=， 故选：B ．3.（2021•松北区模拟）如图，ABC ∆中，//DE BC ，//GF AC ，下列式子错误的是( )A ．AG CFBG BF=B ．AD AE AB AC=C ．GM AEMF EC=D ．FC AGDM DG=【答案】C 【解析】解：//DE BC ，//GF AC ，ADE ABC ∴∆∆∽，BGF BAC ∆∆∽，DGM DAE ∆∆∽，且四边形MECF 是平行四边形．∴AG CFBG BF=，AD AEAB AC=，ME AGDM DG=，ME FC=．∴FC AGDM DG=．所以ABD正确，C 错误．4.（2021•温岭市模拟）如图，////AB CD EF，AF与BE相交于点G，且2AG=，1GD=，5DF=，则:(BC CE=)A．3:5B．1:3C．5:3D．2:3【答案】A【解析】解：////AB CD EF，∴21355BC ADCE DF+===．故选：A．5.在ABC∆中，点D、E分别在边AB和BC上，2AD=，3DB=，10BC=，要使DE//AC，则BE=．【答案】6．【解析】根据三角形一边平行线的判定定理，要得到DE//AC，则必有DB BEAB BC=，即3=2+310BE，即可求得6BE=．6.如图，ABC∆中，DE//BC，AF ADDF DB=，求证：EF//CD．【答案】略．【解析】证明：DE//BC，AD AEDB EC∴=．又AF ADDF DB=，AF AEDF EC∴=．∴EF//CD．7.如图，已知AD//BE//CF，它们依次交直线1l、2l于点A、B、C和点D、E、F．AB CD EFABCPQ（1）如果6AB =，10BC =，8EF =，求DE 的长； （2）如果:3:5DE EF =，24AC =，求AB 、BC 的长．【答案】（1）245；（2）915AB BC ==，．【解析】（1）根据平行线等分线段成比例定理，则有DE AB EF BC =，代入可求得245DE = （2）根据平行线等分线段成比例定理，则有35AB DE BC EF ==， 根据比例的合比性，则有38AB AC =，代入可得9AB =，15BC AC AB =-= 8.如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，若:1:2DE EC =，则:BF BE =．【答案】3:5．【解析】:1:2DE EC =，可知23CE CE CD AB ==，由//CE AB ，可知32BF AB EF CE ==，故:3:5BF BE =． 9.如图，ABC ∆中，在BC 上取一点P ，CA 上取一点Q ，使得BP : PC = 2 : 5，CQ : QA = 3 : 4，AP 与BQ 交于点R ，则AR : RP =______．【答案】14:3．【解析】过点P 作//PD BQ 交AC 于D ， 根据三角形一边平行线性质定理，则有AR AQPR QD=， 25BP QD PC DC ==，又CQ : QA = 3 : 4，令4AQ a =， 则3CQ a =，2677QD CQ a ==，由此即可得：6::4:14:37AR RP AQ QD a a ===．A B CD E F10.如图，在梯形ABCD中，//AD BC，3AD=，5BC=，E、F是两腰上的点，//EF AD，:1:2AE EB=，求EF的长．【答案】113．【解析】过点A作//AH DC交BC于H，交EF于G，则有32CH FG AD BH====，，又//EG BH，可得：13EG AEBH AB==，解得：23EG=，故113EF EG GF=+=．课后作业1.（2020年•黄浦区一模）如图1，点D、E分别在△ABC的两边BA、CA的延长线上，下列条件能判定ED ∥BC的是（）．（A）AD DEAB BC=；（B）AD AEAC AB=；DRQPCBA（C ）AD AB DE BC ⋅=⋅； （D ）AD AC AB AE ⋅=⋅．【答案】D【解析】根据三角形一边的平行线判定定理以及推论，如果AD AE AD AE DB ECDB EC AB AC AB AC ===或或，那么直线DE // BC ，逐一验证可得A 、B 、C 均不正确，故选：D.2.如图，点F 是▱ABCD 的边CD 上一点，直线BF 交AD 的延长线于点E ，则下列结论错误的是( )A.AB DF EA ED = B.FB EF BC ED = C.BE BF ED BC = D.AEBCBE BF =【答案】C【解析】【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴CD ∥AB ，AD ∥BC ，CD=AB ，AD=BC ，∴ABDFEA ED =，故A 符合题意； ∴FB EF AD DE =，∴FB EFBC ED =，故B 符合题意； ∴EF BF ED BC =，故C 不符合题意； ∴AE AD BE BF =，∴AEBC BE BF =，故D 符合题意． 故答案为：C ．3.（2020年•浦东新区一模）]如图,已知直线123,,l l l 分别交直线4l 于点A ，B ，C ，交直线5l于点D ，E ，F ，且123l l l ∥∥，若AB=4，AC=，,DF=9，则DE 的长为 ( )A.5B.6C.7D.8【答案】B【解析】∵123l l l ∥∥，AB=4，AC=，,DF=9，∴4=69AB DE DEAC DF=即,∴DE=6.故选B. 4.（2020年•徐汇区一模）如图，EF CD AB ////，2=AC ，5=AE ，5.1=BD ，那么下列结论正确的是（ ）（A ）415=DF ； （B ）415=EF ； （C ）415=CD ； （D ）415=BF ．【答案】D【解析】∵EF CD AB ////，2=AC ，5=AE ，5.1=BD ，所以2 1.5=5AC BD AE BFBF =即,∴BF=154.故选D.5.(2021•洪泽区二模）如图，123////l l l ，AC 交1l 、2l 、3l 分别于A 、B 、C ，且6AC =，4BC =，DF 交1l 、2l 、3l 分别于D 、E 、F ，则DEEF= ．【答案】12【解析】解：6AC =，4BC =，A B C D EF（第7题图）2AB AC BC ∴=-=， 123////l l l ，∴12DE AB EF BC ==， 故答案为：12． 6.（2020年•吉林中考）如图，AB ∥CD ∥EF ．若12AC CE =，BD ＝5，则DF ＝ ．【答案】10【解析】∵AB ∥CD ∥EF ， ∴12AC BD CE DF ==,∴DF ＝2BD ＝2×5＝10． 故答案为10．7.（2020年•虹口区一模）如图4，在梯形AEFB 中，AB ∥EF ，AB =6，EF =10，点C 、D 分别在边AE 、BF上且CD ∥AB ，如果AC=3CE ，那么CD 长为 ．【答案】9【解析】如图所示，过点B 作BN ∥AE 交EF 于点N ，交CD 于点M,∵AB ∥EF ∥CD ，BN ∥AE ，∴四边形AENB 为平行四边形，∴EN=CM=AB=6,FN=10-6=4,又∵DM ∥FN ，∴34AC MD AE FN ==,所以MD=3,则CD=3+6=9.8.（2020年•静安区一模）在△ABC 中，边BC 、AC 上的中线AD 、BE 相交于点G ，AD =6，那么AG= ． 【答案】4【解析】∵边BC 、AC 上的中线AD 、BE 相交于点G ，∴点G 为△ABC 的重心，∴AG ：AB=2:3,∵AD=6,∴AG=4.9.如图,在△ABC 中,若BD ∶DC=CE ∶EA=2∶1,AD 与BE 交于F,则AF ∶FD= .【答案】3：4【解析】过点D 作DH ∥BE 交AC 于点H ， ∴2EH BD HC DC ==,∴EH=23CE ，∵BD ∶DC=CE ∶EA=2∶1，∴AE=12CE=34EH ，∴34AF AE DF EH ==.10.（2019年•长宁区月考）如图，平行四边形ABCD 中，点E 在CD 上，点F 在CD 的延长线上，AF 交BD 于点O ，交BC 于点G ，且DF:CD=DE:EC, 求:OE ∥BC【答案】见解析.【解析】∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB=CD,AB ∥CD ，∴DF OD AB OB =,即DF ODCD OB=,又∵DF:CD=DE:EC,∴DE ODEC OB=，∴OE ∥BC. 11.（2020秋•浦东新区期中）如图，已知////AD BE CF ，它们依次交直线1l 、2l 于点A 、B 、C 和点D 、EGF ODCBAE、F．（1）如果6AB=，8BC=，21DF=，求DE的长；（2）如果:2:5DE DF=，9AD=，14CF=，求BE的长．【答案】（1）DE=9；（2）BE=11．【解析】解：（1）////AD BE CF，∴DE ABDF AC=，6AB=，8BC=，21DF=，∴6 2168 DE=+，9DE∴=．（2）过点D作//DG AC，交BE于点H，交CF于点G，则9CG BH AD===，1495GF∴=-=，//HE GF，∴HE DEGF DF=，:2:5DE DF=，5GF=，∴2 55 HE=，2 HE∴=，9211BE∴=+=．12．（2019秋•黄浦区期中）如图，已知在ABC∆中，//EF CD，3AF=，5AD=，4AE=．（1）求CE 的长； （2）当253AB =时，求证：//DE BC ．【答案】（1）CE =38；（2）证明过程见解析. 【解析】解：（1）//EF CD ，∴AF AEAD AC=， 3AF =，5AD =，4AE =，∴345AC=， 解得：203AC =， 4AE =，208433CE AC AE ∴=-=-=； （2）253AB =，5AD =，4AE =，203AC =， ∴35AD AE AB AC ==， A A ∠=∠，ADE ABC ∴∆∆∽，ADE B ∴∠=∠，//DE BC ∴．13.（2019年•上海课时练习）梯形ABCD 中，点E 在AB 上，点F 在CD 上，且AD a =，BC b =． （1）如图（a ），如果点E 、F 分别为AB 、CD 的中点，求证：EF //BC 且2a bEF +=； （2）如图（b ），如果AE DF mEB FC n==，判断EF 和BC 是否平行，并证明你的结论，并用a 、b 、m 、n 的代数式表示EF ．【答案】（1）见解析；（2）平行，an bm EF m n +=+． 【解析】（1）证明：过点F 作//MN AB 交AD 延长线于点M ，交BC 于点N ，则四边形ABNM 为平行四边形，AB MN AM BN ∴==，．F 为CD 中点，由平行可得F 为MN 中点，即12FN MN =，DM CN =．E 为AB 中点，1122BE AB MN NF ∴===．由//MN AB ，∴四边形EBNF 为平行四边形，//EF AB ∴且EF AM BN ==． 即()()()111222EF AM BN a DM b CN a b =+=++-=+． （2）证明：过点F 作//MN AB 交AD 延长线于点M ，交BC 于点N ，则四边形ABNM 为平行四边形，AB MN AM BN ∴==，．由//DM CN ，DM MF DF CN FN CF ∴==．AE DF EB FC =，AE MF EB FN ∴=，AB MN EB FN ∴=，EB FN ∴=．由//MN AB ，∴四边形EBNF 为平行四边形．//EF AB ∴且EF AM BN ==．由DM DF m CN FC n ==，可得AM a m b BN n -=-，即EF a m b EF n -=-， 解得：an bm EF m n +=+．A B C D E FA BC D E F。

三角形一边的平行线判定定理推论的证明三角形一边的平行线判定定理是几何学中的一个重要定理，它是由平行线判定定理推导出来的。

在本文中，我们将证明三角形一边的平行线判定定理的推论。

让我们回顾一下平行线判定定理。

平行线判定定理是说如果两条直线与第三条直线相交，且交角相等，则这两条直线是平行的。

这个定理可以用数学符号表示为：若直线l与直线m相交于点A，直线n 与直线m相交于点B，且∠CAB=∠DAB，则直线l与直线n平行。

现在，我们将使用平行线判定定理来证明三角形一边的平行线判定定理的推论。

假设我们有一个三角形ABC，其中AB和CD是两条边，且直线DE与直线BC相交于点D，直线AE与直线BC相交于点E。

我们需要证明如果DE与AB平行，则AE与CD平行。

我们可以得出∠DEB=∠CAB，因为它们是同位角。

同样地，我们可以得出∠BEC=∠DAB。

由于DE与AB平行，根据平行线判定定理，我们可以得出∠DEB=∠BEC。

现在，我们可以将这些等式代入到我们的第一个等式中，得到∠CAB=∠DAB，即直线AE与直线CD的交角相等。

根据平行线判定定理，我们可以得出直线AE与直线CD平行。

因此，我们证明了三角形一边的平行线判定定理的推论：如果DE与AB平行，则AE与CD平行。

这个推论的证明非常简单，它是由平行线判定定理推导出来的。

这个推论在解决一些几何问题时非常有用，特别是在证明平行线性质时。

总结起来，三角形一边的平行线判定定理的推论是由平行线判定定理推导出来的。

它告诉我们如果两条直线与第三条直线相交，且交角相等，则这两条直线是平行的。

这个推论在解决几何问题时非常有用，可以帮助我们判断三角形中的平行线性质。

希望本文对你理解三角形一边的平行线判定定理的推论有所帮助。