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优化，再优化！——从《鹰蛋》一题浅析对动态规划算法的优化安徽省芜湖市第一中学朱晨光目录Ø关键字 (2)Ø摘要 (2)Ø正文 (2)n引言 (2)n问题 (2)n分析 (3)u算法一 (3)u算法二 (4)u算法三 (4)u算法四 (6)u小结 (7)u算法五 (7)Ø总结 (10)Ø结束语 (11)关键字优化动态规划模型摘要本文就Ural 1223 《鹰蛋》这道题目介绍了五种性能各异的算法，并在此基础上总结了优化动态规划算法的本质思想及其一般方法。
全文可以分为四个部分。
第一部分引言，阐明优化动态规划算法的重要性；第二部分给出本文讨论的题目；第三部分详细讨论这道题目五种不同的动态规划算法，并阐述其中的优化思想；第四部分总结全文，再次说明对于动态规划进行优化的重要性，并分析优化动态规划的本质思想与一般方法。
正文引言在当今的信息学竞赛中，动态规划可以说是一种十分常用的算法。
它以其高效性受到大家的青睐。
然而，动态规划算法有时也会遇到时间复杂度过高的问题。
因此，要想真正用好用活动态规划，对于它的优化方法也是一定要掌握的。
优化动态规划的方法有许多，例如四边形不等式、斜率优化等。
但是这些方法只能对某些特定的动态规划算法进行优化，尚不具有普遍的意义。
本文将就《鹰蛋》这道题目做较为深入的分析，并从中探讨优化动态规划的本质思想与一般方法。
问题有一堆共M个鹰蛋，一位教授想研究这些鹰蛋的坚硬度E。
他是通过不断从一幢N层的楼上向下扔鹰蛋来确定E的。
当鹰蛋从第E层楼及以下楼层落下时是不会碎的，但从第（E+1）层楼及以上楼层向下落时会摔碎。
如果鹰蛋未摔碎，还可以继续使用；但如果鹰蛋全碎了却仍未确定E，这显然是一个失败的实验。
教授希望实验是成功的。
例如：若鹰蛋从第1层楼落下即摔碎，E=0；若鹰蛋从第N层楼落下仍未碎，E=N。
这里假设所有的鹰蛋都具有相同的坚硬度。
给定鹰蛋个数M与楼层数N。
摘抄自C博客组合数学计数与统计2001 - 符文杰：《Pólya原理及其应用》2003 - 许智磊：《浅谈补集转化思想在统计问题中的应用》2007 - 周冬：《生成树的计数及其应用》2008 - 陈瑜希《Pólya计数法的应用》数位问题2009 - 高逸涵《数位计数问题解法研究》2009 - 刘聪《浅谈数位类统计问题》动态统计2004 - 薛矛：《解决动态统计问题的两把利刃》2007 - 余江伟：《如何解决动态统计问题》博弈2002 - 张一飞：《由感性认识到理性认识——透析一类搏弈游戏的解答过程》2007 - 王晓珂：《解析一类组合游戏》2009 - 曹钦翔《从“k倍动态减法游戏”出发探究一类组合游戏问题》2009 - 方展鹏《浅谈如何解决不平等博弈问题》2009 - 贾志豪《组合游戏略述——浅谈SG游戏的若干拓展及变形》母函数2009 - 毛杰明《母函数的性质及应用》拟阵2007 - 刘雨辰：《对拟阵的初步研究》线性规划2007 - 李宇骞：《浅谈信息学竞赛中的线性规划——简洁高效的单纯形法实现与应用》置换群2005 - 潘震皓：《置换群快速幂运算研究与探讨》问答交互2003 - 高正宇：《答案只有一个——浅谈问答式交互问题》猜数问题2003 - 张宁：《猜数问题的研究:<聪明的学生>一题的推广》2006 - 龙凡：《一类猜数问题的研究》数据结构数据结构2005 - 何林：《数据关系的简化》2006 - 朱晨光：《基本数据结构在信息学竞赛中的应用》2007 - 何森：《浅谈数据的合理组织》2008 - 曹钦翔《数据结构的提炼与压缩》结构联合2001 - 高寒蕊：《从圆桌问题谈数据结构的综合运用》2005 - 黄刚：《数据结构的联合》块状链表2005 - 蒋炎岩：《数据结构的联合——块状链表》2008 - 苏煜《对块状链表的一点研究》动态树2006 - 陈首元：《维护森林连通性——动态树》2007 - 袁昕颢：《动态树及其应用》左偏树2005 - 黄源河：《左偏树的特点及其应用》跳表2005 - 魏冉：《让算法的效率“跳起来”！——浅谈“跳跃表”的相关操作及其应用》2009 - 李骥扬《线段跳表——跳表的一个拓展》SBT2007 - 陈启峰：《Size Balance Tree》线段树2004 - 林涛：《线段树的应用》单调队列2006 - 汤泽：《浅析队列在一类单调性问题中的应用》哈希表2005 - 李羽修：《Hash函数的设计优化》2007 - 杨弋：《Hash在信息学竞赛中的一类应用》Splay2004 - 杨思雨：《伸展树的基本操作与应用》图论图论2005 - 任恺：《图论的基本思想及方法》模型建立2004 - 黄源河：《浅谈图论模型的建立与应用》2004 - 肖天：《“分层图思想”及其在信息学竞赛中的应用》网络流2001 - 江鹏：《从一道题目的解法试谈网络流的构造与算法》2002 - 金恺：《浅谈网络流算法的应用》2007 - 胡伯涛：《最小割模型在信息学竞赛中的应用》2007 - 王欣上：《浅谈基于分层思想的网络流算法》2008 - 周冬《两极相通——浅析最大—最小定理在信息学竞赛中的应用》最短路2006 - 余远铭：《最短路算法及其应用》2008 - 吕子鉷《浅谈最短径路问题中的分层思想》2009 - 姜碧野《SPFA算法的优化及应用》欧拉路2007 - 仇荣琦：《欧拉回路性质与应用探究》差分约束系统2006 - 冯威：《数与图的完美结合——浅析差分约束系统》平面图2003 - 刘才良：《平面图在信息学中的应用》2007 - 古楠：《平面嵌入》2-SAT2003 - 伍昱：《由对称性解2-SAT问题》最小生成树2004 - 吴景岳：《最小生成树算法及其应用》2004 - 汪汀：《最小生成树问题的拓展》二分图2005 - 王俊：《浅析二分图匹配在信息学竞赛中的应用》Voronoi图2006 - 王栋：《浅析平面Voronoi图的构造及应用》偶图2002 - 孙方成：《偶图的算法及应用》树树2002 - 周文超：《树结构在程序设计中的运用》2005 - 栗师：《树的乐园——一些与树有关的题目》路径问题2009 - 漆子超《分治算法在树的路径问题中的应用》最近公共祖先2007 - 郭华阳：《RMQ与LCA问题》划分问题2004 - 贝小辉：《浅析树的划分问题》数论欧几里得算法2009 - 金斌《欧几里得算法的应用》同余方程2003 - 姜尚仆：《模线性方程的应用——用数论方法解决整数问题》搜索搜索2001 - 骆骥：《由“汽车问题”浅谈深度搜索的一个方面——搜索对象与策略的重要性》2002 - 王知昆：《搜索顺序的选择》2005 - 汪汀：《参数搜索的应用》启发式2009 - 周而进《浅谈估价函数在信息学竞赛中的应用》优化2003 - 金恺：《探寻深度优先搜索中的优化技巧——从正方形剖分问题谈起》2003 - 刘一鸣：《一类搜索的优化思想——数据有序化》2006 - 黄晓愉：《深度优先搜索问题的优化技巧》背包问题2009 - 徐持衡《浅谈几类背包题》匹配2004 - 楼天城：《匹配算法在搜索问题中的巧用》概率概率2009 - 梅诗珂《信息学竞赛中概率问题求解初探》数学期望2009 - 汤可因《浅析竞赛中一类数学期望问题的解决方法》字符串字符串2003 - 周源：《浅析“最小表示法”思想在字符串循环同构问题中的应用》多串匹配2004 - 朱泽园：《多串匹配算法及其启示》2006 - 王赟：《Trie图的构建、活用与改进》2009 - 董华星《浅析字母树在信息学竞赛中的应用》后缀数组2004 - 许智磊：《后缀数组》2009 - 罗穗骞《后缀数组——处理字符串的有力工具》字符串匹配2003 - 饶向荣：《病毒的DNA———剖析一道字符匹配问题解析过程》2003 - 林希德：《求最大重复子串》动态规划动态规划2001 - 俞玮：《基本动态规划问题的扩展》2006 - 黄劲松：《贪婪的动态规划》2009 - 徐源盛《对一类动态规划问题的研究》状态压缩2008 - 陈丹琦《基于连通性状态压缩的动态规划问题》状态设计2008 - 刘弈《浅谈信息学中状态的合理设计与应用》树形DP2007 - 陈瑜希：《多角度思考创造性思维——运用树型动态规划解题的思路和方法探析》优化2001 - 毛子青：《动态规划算法的优化技巧》2003 - 项荣璟：《充分利用问题性质——例析动态规划的“个性化”优化》2004 - 朱晨光：《优化，再优化！——从《鹰蛋》一题浅析对动态规划算法的优化》2007 - 杨哲：《凸完全单调性的加强与应用》计算几何立体几何2003 - 陆可昱：《长方体体积并》2008 - 高亦陶《从立体几何问题看降低编程复杂度》计算几何思想2004 - 金恺：《极限法——解决几何最优化问题的捷径》2008 - 程芃祺《计算几何中的二分思想》2008 - 顾研《浅谈随机化思想在几何问题中的应用》圆2007 - 高逸涵：《与圆有关的离散化》半平面交2002 - 李澎煦：《半平面交的算法及其应用》2006 - 朱泽园：《半平面交的新算法及其实用价值》矩阵矩阵2008 - 俞华程《矩阵乘法在信息学中的应用》高斯消元2002 - 何江舟：《用高斯消元法解线性方程组》数学方法数学思想2002 - 何林：《猜想及其应用》2003 - 邵烜程：《数学思想助你一臂之力》数学归纳法2009 - 张昆玮《数学归纳法与解题之道》多项式2002 - 张家琳：《多项式乘法》数形结合2004 - 周源：《浅谈数形结合思想在信息学竞赛中的应用》黄金分割2005 - 杨思雨：《美，无处不在——浅谈“黄金分割”和信息学的联系》其他算法遗传算法2002 - 张宁：《遗传算法的特点及其应用》2005 - 钱自强：《关于遗传算法应用的分析与研究》信息论2003 - 侯启明：《信息论在信息学竞赛中的简单应用》染色与构造2002 - 杨旻旻：《构造法——解题的最短路径》2003 - 方奇：《染色法和构造法在棋盘上的应用》一类问题区间2008 - 周小博《浅谈信息学竞赛中的区间问题》序2005 - 龙凡：《序的应用》系2006 - 汪晔：《信息学中的参考系与坐标系》物理问题2008 - 方戈《浅析信息学竞赛中一类与物理有关的问题》编码与译码2008 - 周梦宇《码之道—浅谈信息学竞赛中的编码与译码问题》对策问题2002 - 骆骥：《浅析解“对策问题”的两种思路》优化算法优化2002 - 孙林春：《让我们做得更好——从解法谈程序优化》2004 - 胡伟栋：《减少冗余与算法优化》2005 - 杨弋：《从<小H的小屋>的解法谈算法的优化》2006 - 贾由：《由图论算法浅析算法优化》程序优化2006 - 周以苏：《论反汇编在时间常数优化中的应用》2009 - 骆可强《论程序底层优化的一些方法与技巧》语言C++2004 - 韩文弢：《论C++语言在信息学竞赛中的应用》策略策略2004 - 李锐喆：《细节——不可忽视的要素》2005 - 朱泽园：《回到起点——一种突破性思维》2006 - 陈启峰：《“约制、放宽”方法在解题中的应用》2006 - 李天翼：《从特殊情况考虑》2007 - 陈雪：《问题中的变与不变》2008 - 肖汉骏《例谈信息学竞赛分析中的“深”与“广”》倍增2005 - 朱晨光：《浅析倍增思想在信息学竞赛中的应用》二分2002 - 李睿：《二分法与统计问题》2002 - 许智磊：《二分，再二分！——从Mobiles(IOI2001)一题看多重二分》2005 - 杨俊：《二分策略在信息学竞赛中的应用》调整2006 - 唐文斌：《“调整”思想在信息学中的应用》随机化2007 - 刘家骅：《浅谈随机化在信息学竞赛中的应用》非完美算法2005 - 胡伟栋：《浅析非完美算法在信息学竞赛中的应用》2008 - 任一恒《非完美算法初探》提交答案题2003 - 雷环中：《结果提交类问题》守恒思想2004 - 何林：《信息学中守恒法的应用》极限法2003 - 王知昆：《浅谈用极大化思想解决最大子矩形问题》贪心2008 - 高逸涵《部分贪心思想在信息学竞赛中的应用》压缩法2005 - 周源：《压去冗余缩得精华——浅谈信息学竞赛中的“压缩法”》逆向思维2005 - 唐文斌：《正难则反——浅谈逆向思维在解题中的应用》穷举2004 - 鬲融：《浅谈特殊穷举思想的应用》目标转换2002 - 戴德承：《退一步海阔天空——“目标转化思想”的若干应用》2004 - 栗师：《转化目标在解题中的应用》类比2006 - 周戈林：《浅谈类比思想》分割与合并2006 - 俞鑫：《棋盘中的棋盘——浅谈棋盘的分割思想》2007 - 杨沐：《浅析信息学中的“分”与“合”》平衡思想2008 - 郑暾《平衡规划——浅析一类平衡思想的应用》。
承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：吉林师范大学参赛队员(打印并签名) ：1. 宋关华2. 李婷婷3. 卢时伟指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：滕飞日期： 2008 年 9 月 22 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：数码相机定位摘要数码相机在计算机视觉中的应用逐渐普及和深入，在应用中数码相机的标定相当重要.本文根据数码相机的成像原理，由摄影几何学中的相关知识，提出了一种标定方法.将数码相机的成像过程转化为图像在四个坐标系的变换，实现了三个变换步骤，分别将世界坐标系中的信息转换到摄像机坐标系，再由摄像机坐标系转换到图像坐标系，最后由图像坐标系转换到像素坐标系.本文通过一台相机拍摄的二维图像，实现空间坐标系与像平面坐标的透视变换，设计了一种方法检验了建立的模型算法，模型具有较好的稳定性.同时完成了对双目标定的重构，给出了两部固定相机相对位置的数学模型和方法.1、对问题中给定的标定图像及由相机拍摄得到的图像，引入四个坐标系即世界坐标系、摄像机坐标系、图像坐标系、像素坐标系，由坐标系的转换关系得到确定像平面坐标的数学模型.通过对内部参数矩阵及外部参数矩阵的确定实现了以圆为标定图像时，圆心坐标的转换，得到了圆心在像坐标系的坐标，建立确定靶标上圆的圆心在像平面坐标的数学模型.2、由给定的像平面建立坐标系，确定各圆心的坐标，根据（1）的模型利用Matlab 编程解得投影矩阵M（即内外参数），再根据坐标于内外参数M的关系得到靶标上圆的圆心在像平面的坐标。
浅谈二分策略的应用华东师大二附中杨俊【摘要】本文着重讨论三种不同类型的二分问题，意在加深大家对二分的认识。
它们所考虑的对象从一般有序序列，到退化了的有序序列，最后到无序序列。
事实上它们也正代表了二分策略的三种不同应用。
【关键字】二分、序、应用【正文】“二分”，相信这个词大家都再熟悉不过了。
二分是一种筛选的法则，它源于一个很简单的想法——在最坏情况下排除尽可能多的干扰，以尽可能快地求得目标。
二分算法的高效，源于它对信息的充分利用，尽可能去除冗余，减少不必要的计算，以极大化算法效率。
事实上许多二分问题都可以用判定树或其它一些定理来证明，它达到了问题复杂度的下界。
尽管二分思想本身很简单，但它的扩展性之强、应用面之广，或许仍是我们所未预见的。
大家也看到，近年来各类竞赛试题中，二分思想的应用不乏令人眼前一亮的例子。
下面是作者归纳的二分思想的三种不同类型的应用，希望能让读者有所收获。
类型一：二分查找——应用于一般有序序列申明：这里所指的有序序列，并不局限于我们通常所指的，按从小到大或是从大到小排好序的序列。
它仅包含两层意思：第一，它是一个序列，一维的；第二，该序列是有序的，即序列中的任意两个元素都是可以比较的。
也就是拥有我们平时所说的全序关系。
虽说二分查找大家都再熟悉不过了，但这里还是先简要地回顾一下二分查找的一般实现过程：（1）确定待查找元素所在范围（2）选择一个在该范围内的某元素作为基准（3）将待查找元素的关键字与基准元素的关键字作比较，并确定待查找元素新的更精确的范围（4）如果新确定的范围足够精确，输出结果；否则转至（2）让我们看一个经典问题——顺序统计问题[问题描述]给定一个由n个不同的数组成的集合S，求其中第i小的元素。
[分析]相信大家对这个问题都很熟悉，让我们回顾一下二分查找是如何应用于该问题上的。
（1）确定待查找元素在S中（2）在n个元素中随机．．取出一个记为x，将x作基准（3）设S中比元素x小的有p个。
线段树的应用广西柳铁一中林涛【摘要】在竞赛解题中，常遇到与区间有关的操作，比如统计若干矩形并的面积，记录一个区间的最值、总量，并在区间的插入、删除和修改中维护这些最值、总量。
线段树拥有良好的树形二分结构，能够高效的完成这些操作，本文将介绍线段树的各种操作以及一些推广。
本文通过3个例子：《蛇》、《空心长方体》、《战场统计系统》，讲述线段树中基本的插入、删除、查找操作，和不规则的修改和删除操作，以及到二维的推广。
关键字：线段树二分子树收缩叶子释放面积树【正文】1. 线段树的定义及特征定义1：线段树一棵二叉树，记为T (a,b)，参数a,b表示该节点表示区间[a,b]。
区间的长度b-a记为L。
递归定义T[a,b]：若L>1 ：[a, (a+b) div 2]为T的左儿子[(a+b) div 2,b]为T的右儿子。
若L=1 ：T为一个叶子节点。
表示区间[1, 10]的线段树表示如下：(以下取对数后均向上取整)定理1：线段树把区间上的任意一条线段都分成不超过2log L条线段证明：(1)在区间(a，b)中，对于线段(c，d)，如果(c<=a) 或(d>=b)，那么线段在(a，b)中被分为不超过log(b-a)。
用归纳法证明，如果是单位区间，最多被分为一段，成立。
如果区间(a，b)的左儿子与右儿子成立，那么如果当c<=a时，1．若d<=(a+b)div2那么相当与其左儿子分该线段，所分该线段数树不超过log((a+b)div 2-a)，即不超过log(b-a),成立。
2．若d>(a+b) div 2那么相当于该线段被分为它左儿子表示的线段，加上右儿子分该线段，线段数不超过1+log(b-(a+b) div 2),也不超过log(b-a)，成立。
对于d>=b的情况证明类似，不再赘述。
(2)在区间(a,b)中，对于任意线段也用归纳法证明。
对于单位区间，最多分为一段，成立。
浅谈几类背包题浙江省温州中学徐持衡指导老师：舒春平2008年12月目录摘要 (3)关键字 (3)正文 (4)一、引言 (4)二、背包的基本变换 (5)①完全背包 (5)②多次背包 (5)③单调队列优化☆ (6)三、其他几类背包问题 (8)①树形依赖背包（获取学分）☆ (8)②PKU3093☆ (11)四、总结 (12)附录 (13)参考文献 (13)文中原题 (13)摘要背包问题作为一个经典问题在动态规划中是很基础的一个部分，然而以0-1背包问题为原题，衍生转变出的各类题目，可以说是千变万化，当然解法也各有不同，如此就有了继续探究的价值。
本文就4道背包变化的题做一些探讨研究，提出本人的一些做法，希望能起到抛砖引玉的作用。
关键字动态规划背包优化正文一、引言背包问题是运筹学中的一个经典的优化难题，是一个NP-完全问题，但其有着广泛的实际应用背景，是从生活中一个常见的问题出发展开的：一个背包，和很多件物品，要在背包中放一些物品，以达到一定的目标。
在信息学中，把所有的数据都量化处理后，得到这样的一个问题：0-1 背包问题：给定n 件物品和一个背包。
物品i的价值是W i，其体积为V i，背包的容量为C。
可以任意选择装入背包中的物品，求装入背包中物品的最大总价值。
在选择装入背包的物品时，对每件物品i ，要么装入背包，要么不装入背包。
不能将物品i 多次装入背包，也不能只装入部分物品i （分割物品i）。
因此，该问题称为0-1 背包问题。
用于求解0-1背包问题的方法主要有回溯算法、贪婪算法、遗传算法、禁忌搜索算法、模拟退火算法等。
在高中阶段，我们所谓的经典0-1背包问题，保证了所有量化后的数据均为正整数，即是一个特殊的整数规划问题，本文中如无特殊说明均以此为前提。
其经典的O(n*C)动规解法是：状态是在前i件物品中，选取若干件物品其体积总和不大于j，所能获得的最大价值为F i[j]，当前的决策是第i件物品放或者不放，最终得到转移方程：F i[j] = F i-1[j] (V i>j>=0)F i[j] = max{ F i-1[j] , F i-1[j-V i]+W i } (C>=j>=V i)其中由于F i只与F i-1有关，可以用滚动数组来节省程序的空间复杂度。
浅析竞赛中一类数学期望问题的解决方法福建省福州第八中学汤可因摘要期望在我们生活中有着十分广泛的应用，而对于我们信息学奥赛也出现了不少求解期望值的问题。
本文对于竞赛中涉及求离散型随机变量的数学期望的题目所使用的常用方法归纳成为两大类，并进行了总结与分析。
关键字期望递推动态规划方程组目录引言 (3)预备知识 (3)一、期望的数学定义 (3)二、期望的线性性质 (3)三、全概率公式 (4)四、条件期望与全期望公式 (4)一、利用递推或动态规划解决 (4)例题一：聪聪与可可 (5)分析 (5)小结 (6)例题二：Highlander (6)分析 (6)小结 (8)例题三：RedIsGood (8)分析 (8)小结 (9)二、建立线性方程组解决 (10)引入 (10)分析 (10)需要注意的地方 (12)例题四：First Knight (12)分析 (12)例题五：Mario (15)分析 (15)总结 (16)参考文献 (17)引言数学期望亦称为期望，期望值等，在概率论和统计学中，一个离散型随机变量的期望值是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。
而期望在我们生活中有着十分广泛的应用。
例如要设计一个彩票或赌博游戏，目标为赢利，那么计算能得到的钱以及需要付出的钱的期望，它们的差则需要大于0。
又例如对于是否进行一项投资的决策，可以通过分析总结得出可能的结果并估算出其概率，得到一个期望值而决定是否进行。
期望也许与每一个结果都不相等，但是却是我们评估一个事情好坏的一种直观的表达。
正因为期望在生活中有如此之多的应用，对于我们信息学奥赛也出现了不少求解期望值的问题。
而其中大多数又均为求离散型随机变量的数学期望。
本文对于这类题目所会涉及到的常用方法进行了归纳，总结与分析。
预备知识一、期望的数学定义如果X 是一个离散的随机变量，输出值为 x 1, x 2, ...， 和输出值相应的概率为p 1, p 2, ... （概率和为1）, 那么期望值 ∑=ii i x p X E )(。
线性规划的简单应用和实现浙江省杭州二中李宇骞摘要线性规划在实际生活中应用非常广泛，已经创造了无数的财富。
但是它在竞赛中的应用很少。
然而，我相信它的潜力很大，所以在这里向大家简单地介绍了线性规划的一些应用，以及如何实现解线性规划，以抛砖引玉，希望线性规划能够在竞赛中如同网络流一样熠熠生辉。
本文主要分三部分，第一部分简单地介绍了线性规划，给出了其定义；第二部分给出了一些简单的应用，以及一个线性规划的经典应用——多物网络流；第三部分是用单纯形（Simplex）算法实现解线性规划。
由于对大多数竞赛选手而言，写一个线性规划的程序比构造一个模型更为恐怖（虽然难度可能不及），并且单纯形法不是多项式级别的，不实践很难知道它的速度到底怎么样，所以本文着重于第三部分，较详细地描述了一些实现的细节，以及简单的证明，并且对单纯形法的运行速度做了一些实验，还与专业的数学软件MA TLAB和LINDO做了对比，从一定程度上说明了单纯形法的速度是卓越的。
同时，200行左右的程序可以让大家不必那么担心编程的复杂度，某些情况下，100行左右的程序就足够了。
关键字线性规划（Linear programming）单纯形法（Simplex）多物网络流（Multicommodity flow）引言“随著强有力的算法的发展与应用,线性规划能解决的问题也越来越来多。
在历史上，没有哪种数学方法可以像线性规划那样，直接为人类创造如此巨额的财富，并对历史的进程发生如此直接的影响。
”孙捷，这位曾经执教于清华大学的美国华盛顿大学博士如此评价线性规划。
他还举了这样一个实例：在波斯湾战争期间，美国军方利用线性规划，有效地解决了部队给养和武器调运问题，对促进战争的胜利，起了关键的作用。
难怪人们说，因为使用炸药，第一次世界大战可说是「化学的战争」；因为使用原子弹，第二次世界大战可说是「物理的战争」；因为使用线性规划，波斯湾战争可称为「数学的战争」。
线性规划在实际生活当中的威力已毋庸质疑，但是在信息学竞赛中，他的光芒还没有闪耀在我们的眼前，让我们通过学习和了解，去渐渐感受它的光彩。
数学归纳法与解题之道山西省实验中学张昆玮教练：唐文斌胡伟栋2008年12月16日引言我们在学习算法的时候，总会有这样那样的疑惑：如此之多的浑然天成的算法，是怎样想到的？这些算法巧诚巧矣，可它们为什么是正确的呢？其实林林总总的算法背后，无不隐藏着真正的解题之道。
解题之道博大精深，该从何谈起？上面的疑惑又该如何解决？两千五百多年前，著名的哲学家和思想家老子对道之本质参透得可谓淋漓尽致。
引文中他给我们的答案是：参悟解题之道，从数学归纳法开始。
摘要本文简述了数学归纳法的相关理论，并结合作者的解题实践，以一些经典问题与竞赛题目为例，从证明算法正确性、构造性算法、与算法优化的关系等几个方面介绍了数学归纳法在信息学竞赛中的应用，讨论了数学归纳法的实用性与适用范围，以及归纳式算法设计相关的其他一些延伸与拓展。
目录●引言 (1)●摘要 (1)●目录 (2)●关于数学归纳法 (3)简短的回顾 (3)基本的定理、概念与方法 (3)是总结更是探索 (5)●在证明算法正确性上的应用 (6)贪心算法 (6)其他算法 (7)●在构造性算法中的应用 (8)数据结构的恢复性构造 (9)策略与解决方案的构造 (12)●数学归纳法与算法优化 (14)巧妙选择归纳对象 (14)力求完善归纳基础 (16)慎重选择归纳方向 (16)适当加强归纳假设 (17)●启发作用与美学价值 (19)●问题与缺陷 (19)理论上是否欠完备 (20)应用上是否较繁琐 (20)不适用的问题 (20)●后记 (21)●题目来源 (21)关于数学归纳法简短的回顾数学归纳法原理的发现可以追溯到公元1494年意大利数学家Francesco Maurolico 的著作Arithmeticorum libri duo 。
作为皮亚诺公理系统的应用，它自诞生之日就受到广泛关注。
同时，作为应对与正整数相关的问题的一种通用而简洁的处理方法，数学归纳法在许多算术、逻辑问题的解决中都占有核心地位。
一种矩阵相乘的并行算法实现与性能评测苑野;于永澔【摘要】With traditional serial algorithm for matrix multiplication , the result will be con-strained by matrix scale , CPU frequency , and memory size and storage space .The most ef-fective way to solve the limitation was parallel algorithm .Therefore, this paper completed the matrix multiplication with SPMD model and MPI in cluster computing environment .Experi-mental results showed that this algorithm under a certain size of the matrix has a good speed-up and efficiency .%用传统的串行算法进行矩阵相乘运算会受到矩阵规模、单机的CPU主频、内存大小和存储器空间等方面的限制。
而使用并行算法是解决上述限制的最有效途径。
为此，在集群计算环境下，使用SPMD计算模型和基于MPI消息传递技术设计实现了矩阵相乘的并行算法。
实验表明，此并行算法在一定矩阵规模下具有较好的加速比和并行效率。
【期刊名称】《哈尔滨商业大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(000)005【总页数】4页(P604-607)【关键词】矩阵相乘;消息传递接口;加速比;并行效率【作者】苑野;于永澔【作者单位】哈尔滨工业大学基础与交叉科学研究院，哈尔滨150080;哈尔滨工业大学基础与交叉科学研究院，哈尔滨150080【正文语种】中文【中图分类】TP319随着多核处理器技术、高速网络和分布式计算技术的发展，集群系统已经成为高性能计算领域最重要的计算平台[1].集群系统具有性能价格比高、可扩展性好、高可用性、高利用率和易用性好等特点.MPI(Message Passing Interface)[2]是面向并行编程环境下的一种基于消息传递的标准函数库，被广泛应用于分布式存储的可扩展的并行计算机(Scalable Parallel Computers)和工作站集群(Networks of Workstations).MPI具有较高的通信性能、程序可移植性好、可扩展性好、程序代码实现灵活及高效统一的编程环境等特点.由于集群系统具有典型的分布式存储特征，因此MPI编程模型已经成为目前集群系统上主流的并行程序设计环境.矩阵计算主要应用于科学与工程计算领域，是科学计算的核心问题.而矩阵相乘是矩阵计算最基本的运算.用传统的串行算法库进行矩阵相乘运算[3-4]会受到矩阵规模、单机硬件性能(CPU速度、内存大小、存储器空间)等方面的限制.对串行算法进行并行化处理，使其达到更高的运算性能，是解决上述限制的最有效途径.人们采用了各种方法对矩阵相乘进行并行化处理，并取得了一定的进展，主要包括基于顺序矩阵直接相乘算法(行列划分方法)、基于递归实现的块矩阵相乘方法、基于二维网格实现的矩阵相乘算法(Cannon算法、脉动阵列算法)和Strassen算法等.行列划分算法是经典的矩阵相乘算法中的一种，以其并行时间复杂性优良、代码简单且易于实现等优势使该方法备受研究者的重视.本文在集群环境下，使用SPMD计算模型及MPI消息传递技术对矩阵相乘的行列划分方法进行了并行化算法实现，并定量的对该并行算法的性能进行了测试，实验表明此并行算法在一定矩阵规模下具有较好的加速性能及效率，优于传统的串行算法.1 MPI编程技术MPI是一种消息传递编程模型[5]，并已经成为这种编程模型事实上的标准.它不是一种编程语言，而是一个并行函数库.MPI标准函数库为C语言和FORTRAN语言提供了通用的并行程序编程接口.一个MPI系统通常由一组函数库、头文件和相应的运行、调试环境组成.MPI并行程序通过调用MPI库中的函数来完成消息传递. 1.1 MPI基本概念1.1.1 进程组(process group)MPI程序全部进程集合的一个有序子集.进程组中的进程被赋予一个惟一的序号(rank)，用于标识该进程.1.1.2 通信器(communicator)由一个进程组和一个标识构成.在该进程组中，进程间可以相互通信.MPI程序中的所有通信必须在通信器中进行.默认的通信器是MPI_COMM_WORLD，所有启动的MPI进程通过调用函数MPI_Init()包含在通信器中，每个进程通过函数MPI_Comm_size()获取通信器中的初始MPI进程个数.通信器可分为在同一进程组内通信的域内通信器和在不同进程组进程间通信的域间通信器.1.1.3 进程序号(rank)MPI程序中用于标识进程组或通信器中一个进程的唯一编号，同一个进程在不同的进程组或通信器中可以有不同的序号.MPI_PROC_NULL代表空进程.1.1.4 消息(message)包括数据(data)和信封(envelope)两部分.数据包含用户将要传递的内容，信封由接收进程序号/发送进程序号、消息标号和通信器三部分组成.消息被封装在“信封”中，然后经缓冲区向网络传输层打包发送.1.1.5 MPI对象MPI系统内部定义的数据结构，包括数据类型、通信器(MPI_Comm)、通信请求(MPI_Request)等，它们对用户不透明.1.1.6 MPI连接器(handles)连接MPI对象的具体变量，用户可以通过它访问和参与相应的MPI对象的具体操作.1.2 点对点通信点对点通信是指在一对进程之间进行的消息收发操作，是MPI中最基本的通信模式.MPI提供阻塞型(blocking)和非阻塞型(non blocking)两种类型的点对点通信函数.阻塞型函数是指一个例程需等待操作完成才返回，返回后用户可以重新使用调用中所占用的资源.非阻塞型函数是指一个例程不必等待操作完成便可以返回，返回后用户不可重用所占用的资源.根据以上两类通信函数的不同特点，MPI提供了四种不同的通信模式，分别是标准模式(standard mode)、缓冲模式(buffered mode)、同步模式(synchronous mode)和就绪模式(ready mode).1.3 聚合通信聚合通信是指在一个通信器内的所有进程同时调用同一个聚合通信函数而进行的通信.聚合通信包括障碍同步(MPI_Barrier)、广播(MPI_Bcast)、数据收集(MPI_Gather)、数据发散(MPI_Scatter)、数据转置(MPI_Alltoall)和规约(MPI_Reduce).2 矩阵乘法并行算法集群上矩阵乘法并行算法采用了行列划分方法、SPMD计算模型和基于MPI消息传递的并行处理技术.假设A为m*k阶矩阵，B为k*n阶矩阵，C为m*n阶矩阵，计算问题C=A*B.令m=m`*p、n=n`*p，矩阵A=[A0t A1t …Ap-1t]，矩阵B=[B0 B1 …Bp-1]，矩阵A第i行的每个元素与矩阵B第j列的各元素分别相乘，并将乘积相加到矩阵C的第i行第j列的一个元素Ci,j，此时C=(Ci,j)=(AiBj).将j=0，1…，p-1存放在Pi中，使用p个处理机，每次每个处理机计算出一个Ci,j，需要p次完成.具体算法[6-7]如下：beginMp1≡myid+1 mod p，mm1≡myid-1 mod pfor i=0 to p-1 dol≡i+myid mod pCl=ABIf i≠p-1，send(B,mm1),recv(B,mp1)endforendfor在p=n2个处理器进行n*n矩阵乘法时，并行时间的复杂性为O(n).广播算法决定通信开销进而支配通信时间，n*n矩阵通过独立的消息分发到n2个从处理器上，每个从处理器向主处理器返回C的一个元素.其通信时间tcomm=n2(2tstartup+(2n+1)tdata)，其中tstartup是数据传送的延迟或启动时间，tdata是数据传输返回时间[8].3 实验验证本文的硬件测试环境是8个节点组成的集群系统，采用Infiniband高速网络互联，每个节点配有1颗Intel Xeon 2.5 G处理器，32 G内存，1 T SAS磁盘，GPFS共享文件系统，软件环境是Red Hat Linux操作系统，编译器为Intel C++13.0.1，MPI的版本为Intel MPI 4.1.加速比和效率是衡量多处理机和单处理机系统相对性能的重要指标.把串行应用程序在单处理机上的执行时间和该程序并行化后在多处理机上的执行时间的比值定义为加速比，它是并行算法可扩展性的重要参数.将加速比与CPU个数之间的比值定义为效率，它反映了在某一时间段内，一个处理器真正用于计算的时间.设矩阵大小分别为1 200×1 200、4 000×4 000，8 000×8 000，各做5次实验，将5次计算时间的平均值作为执行时间.表1为单处理机系统的串行程序执行时间.表2为多处理机系统的并行程序执行时间.图1为矩阵并行程序运行时间变化.图2为不同矩阵规模下运行时间比较.表1 单处理机的串行执行时间矩阵大小串行执行时间1 200×1 2000.411 1214 000×4 0001.124 6448 000×8 0003.280 423表2 多处理机并行程序执行时间矩阵大小并行执行时间 2 节点 4 节点 8 节点1 200×1 200 0.244 172 0.147 231 0.276 6124 000×4 000 0.579 226 1.100 790 0.592 2958000×8 000 2.228 761 1.129 427 0.576 136图1 矩阵并行程序运行时间图2 不同矩阵规模下运行时间比较如图1所示，可以看到在所有矩阵的多节点测试中，并行程序的运行时间随着矩阵规模不断变大时，其运行时间基本保持不断的增加.然而在节点较多(如node=8时)的并行环境下运行时，其并行程序运行时间随矩阵规模变化不明显.如在矩阵为4 000×4 000、8 000×8 000下，运行时间基本保持不变.这主要是因为在程序的执行时间中，绝大部分的时间用于数据的通信而非用于真正的计算.由图2可知，在矩阵规模很大时(当矩阵为8 000×8 000)，其运行时间随着节点数的增加而不断减少.其原因是用于计算的时间占了绝大部分，数据通信时间大量减少，并行计算的优势得到了体现.表3为多处理机并行算法的加速比和效率.图3为不同矩阵规模下加速比比较，图4为不同矩阵规模下并行效率比较.图5为矩阵规模在8 000阶下的加速比.表3 多处理机并行算法的加速比和效率矩阵大小 2 节点 4 节点 8 节点加速比效率加速比效率加速比效率1 200×12001.680.842.790.701.480.194 000×4 0001.940.971.020.261.900.248 000×8 0001.470.742.900.735.690.71图3 不同矩阵规模下加速比比较图4 不同矩阵规模下并行效率比较图5 矩阵规模在8 000阶下的加速比如图3～5可知，该并行算法的在不同矩阵规模下，其加速比均大于1，这说明此算法与传统的串行算法相比具有较高的加速性能.当矩阵规模较小时(如矩阵为1 200×1 200时)，其加速比随着节点数的增加表现为先迅速变大，然后逐渐变小.并行效率呈现逐渐下降的趋势.在node=4时获得最大加速比2.79，此时的效率为70%.当矩阵的规模较大时(如矩阵为8 000×8 000)，其加速比几乎表现为线性增加，在node=8时获得最大加速比5.69，而并行效率几乎保持不变，基本维持的在72%左右.这说明此种并行算法在矩阵规模较大的条件下，加速效果明显，效率较高.4 结语本文对集群计算环境下矩阵相乘问题应用SPMD计算模型和基于MPI消息传递技术实现了其并行算法，并通过实验验证了该算法的有效性.与传统的串行算法相比，结果证明此算法在一定的矩阵规模下具有较好的加速性能及效率.参考文献：[1] CHAI L, LAI P, JIN H, et al. Designing an efficient kernel-level and user-level hybrid approach for mpi intra-node communication on muti-core systems[C]//ICPP’08:Proceedings of the 2008 37th International Conference on Parallel Processing，Washington DC: IEEE Computer Society, 2008.[2] MPI: A Message-Passing Interface Standard[S].[3] BLACKFORD L S, DEMMEL J, J DONGARRA, et al. An update set of basic linear algebra subprograms(BLAS)[J]. ACM Transactions on Mathematical Software，2002, 28(2): 135-151.[4] COHN H, KLEINBERG R, SZEGEDY B, et al. Group-theoretic algorithms for matrix multiplication[C]//Proceedings of the 46th Annual Symposium on Foundations of Computer Science, 23-25 ，2005.[5] MCQUILLAN J M, D WALDEN C. Some considerations for a high performance message-based interprocess communication system [J]. SIGOPS Oper.Syst.Rev., 1975, 9: 77-86.[6] 张林波, 迟学斌. 并行算法导论[M]. 北京: 清华大学出版社，2006.[7] 陆鑫达. 并行程序设计[M]. 北京: 机械工业出版社, 2006.[8] 徐红波，胡文，潘海为，等.高维空间范围查询并行算法研究[J].哈尔滨商业大学学报：自然科学版，2013，29(1)：73-75，111.。
矩阵乘法的相关探讨摘要: 矩阵是数学中的常见工具，而矩阵的一般乘积又是矩阵相乘最重要的方法。
本文简单介绍了矩阵及矩阵相乘的定义，然后介绍了Hadmamard 乘积以及Kronecker 乘积的定义及应用。
并通过实例讲述了矩阵相乘的来源和推广。
关键词:矩阵 矩阵相乘 Hadamard Kronecker正文:一．引言.矩阵的概念最早于1922年见于中文。
1922年，程廷熙在一篇介绍文章中将矩阵译为“纵横阵”。
1925年，科学名词审查会算学名词审查组在《科学》第十卷第四期刊登的审定名词表中，矩阵被翻译为“矩阵式”，方块矩阵翻译为“方阵式”，而各类矩阵如“正交矩阵”、“伴随矩阵”中的“矩阵”则被翻译为“方阵”。
1935年，中国数学会审查后，中华民国教育部审定的《数学名词》（并“通令全国各院校一律遵用，以昭划一”）中，“矩阵”作为译名首次出现。
1938年，曹惠群在接受科学名词审查会委托就数学名词加以校订的《算学名词汇编》中，认为应当的译名是“长方阵”。
中华人民共和国成立后编订的《数学名词》中，则将译名定为“（矩）阵”。
1993年，中国自然科学名词审定委员会 公布的《数学名词》中，“矩阵”被定为正式译名，并沿用至今。
二．矩阵及矩阵乘法基本定义.1.矩阵定义：称数域F 中m ×n 个数ij a （i=I ，2，…，m;j=1,2,…,n ）排成的m 行n 列的矩形表格⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211为数域F 上的一个m×n矩阵，简记为()n m ij a ⨯，其中ij a 称为矩阵的第i 行第j 列交叉点上的元素（简称元）。
2.矩阵乘法的基本定义：设A=()s m ij a ⨯，B=()n s ijb ⨯.称m×n 矩阵C=()n m ijc ⨯为A与B 的乘积，其中∑=++++=s k kj ik sj is j i j i ij b a b a b a b a c 12211 （i=1,2,…，m;j=1,2,…，n ）.记为C=AB.三．矩阵乘法的由来.矩阵乘法是由Arthur Cayley 在约1855年发明的，他在剑桥三一学院学习文学，却对数学产生了强烈的兴趣。
