下载文档原格式
山东省泰安市肥城市第三中学高一数学人教A 版必修2学案：3.2直线的两点式方程教案学习内容 即时感悟【情境导入】1、直线方程的点斜式、斜截式方程2、两点确定一直线，那么如何求过两点的直线方程？【精讲点拨】一、直线的两点式方程探究1、利用点斜式解答如下问题：（1）已知直线l 经过两点)5,3(),2,1(21P P ,求直线l 的方程.（2）已知两点),(),,(222211y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠，求通过这两点的直线方程。
直线的两点式方程探究2、若点),(),,(222211y x P x x P 中有21x x =，或21y y =，此时这两点的直线方程是什么？例1、已知三角形的三个顶点A （-5，0），B （3，-3），C （0，2），求BC 边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程。
二、直线的截距式方程探究3、已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ，其中0,0≠≠b a ，求直线l 的方程。
直线的截距式方程对截距式方程要注意下面三点：(1)如果已知直线在两轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程；(2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x 轴和y 轴上的截距，这一点常被用来作图；(3)与坐标轴平行和过原点的直线不能用截距式表示．例2、求过点P(2,3),并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程。
探究4、直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程的使用范围写出前面学过的直线方程的各种不同形式，并指出其局限性：直线方程 形式 限制条件点斜式斜截式两点式截距式问题：上述四种直线方程的表示形式都有其局限性，是否存在一种更为完美的代数形式可以表示平面中的所有直线？三、直线和二元一次方程的关系探究1、 直线的方程都可以写成关于,x y 的二元一次方程吗？反过来，二元一次方程0Ax By C ++=（A,B 不同时为0）都表示直线吗？①当0B ≠,0Ax By C ++=可化为 ,这是直线的 式.②当0B =,0A ≠时, 0Ax By C ++=可化为 .这也是直线方程.定义：关于,x y 的二元一次方程: 叫直线的一般式方程,简称一般式.探究2、直线方程0Ax By C ++=（A,B 不同时为0），A 、B 、C 满足什么条件时，方程表示的直线（1）平行于在x 轴；（2）平行于y 轴；（3）与x 轴重合；（4）与y 轴重合；（5）与x 轴y 轴都相交；（6）直线在两坐标轴上的截距相等；（7）直线过一、二、三象限。
《直线的两点式方程》教学设计一、教学目标【知识与技能】掌握直线方程的两点式的形式特点及适用范围，能根据两点求直线的两点式方程。
【过程与方法】通过应用直线的点斜式方程的探究过程中获得两点式方程，增强比较、分析、应用的能力。
【情感态度与价值观】通过学习直线的两点式方程的特征和适用范围，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点。
二、教学重难点重点：直线的两点式方程。
难点：两点式方程推导过程的理解。
三、教学过程（一）复习引入直线的点斜式和斜截式方程练习：已知直线经过P1(1,3)和P2(2,4)两点，求直线的方程． 解：设直线方程为：y=kx+b.由已知得{b k b k +=+=324解方程组得：{12==k b所以，直线方程为: y=x+2请同学们想一想还有其他做法吗？(二)学习新课设P(x,y)为直线上不同于P1 ， P2的动点，与P1(1,3)P2(2,4)在同一直线上，根据斜率相等可得：kPP1= kP1P2 即：123413--=--x y 得:y=x+2想一想：是不是已知任一直线中的两点就 能用两点式121121x x x x y y y y --=-- 写出直线方程呢？当x1 ＝x2或y1= y2时，直线P1 P2没有两点式方程.( 因为x1 ＝x2或y1= y2时，两点式的分母为零，没有意义)，那么两点式不能用来表示哪些直线的方程呢？注意：两点式不能表示平行于坐标轴或与坐标轴重合的直线．若点P1 （ x1 , y1 ），P2（ x2 , y2）中有x1 ＝x2 ,或y1= y2,此时过这两点的直线方程是什么？例1：如图，已知直线 l 与x 轴的交点为A(a,0),与y 轴的交点为B (0,b),其中a ≠0,b ≠0,求直线l 的方程．解：将两点A(a,0), B(0,b)的坐标代入两点式, 得：,00y x a b a --=--所以直线l 的方程为： 1.x y a b +=该方程为直线的截距式方程。
高二数学教案 必修2 直线方程——两点式（截距式） 班级 姓名 教学目标（1）掌握直线方程的两点式、截距式，了解截距式是两点式的特殊情况；（2）能够根据条件选择恰当的方法求直线的方程；（3）能认识到等截距的多解性，并能很好的解决相关问题。
复习提问：上一节课，我们学习了直线的哪些表达式？创设问题情境，引出问题情境。
过两定点的直线方程该如何求解？已知直线l 经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)，如何求l 的方程．先求直线l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1，再利用点斜式方程求解，得出y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)． 已知直线过两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，则其方程为y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1 (x 1≠x 2且y 1≠y 2)，称为直线的两点式方程．【精典范例】例1：已知直线l 与x 轴的交点(,0)a ，与y 轴的交点(0,)b ，其中0,0a b ≠≠，求直线l 的方程．【解】∵l 经过两点(,0)a ，(0,)b ，代入两点式得：000y x a b a --=--，即1x y a b+=． 点评:（1）以上方程是由直线在x 轴与y 轴上的截距确定，叫做直线方程的截距式；（2）截距式方程适用范围是0,0a b ≠≠．（3）当直线l 过原点时，在x 轴与y 轴上的截距都为0.例2：三角形的顶点是(5,0)A -、(3,3)B -、(0,2)C ，求这个三角形三边所在直线方程．点评:过两点1122(,),(,)P x y Q x y 的直线能写成两点式的条件是12x x ≠且12y y ≠，如果没有这个条件，就必须分类讨论，这点容易被忽略；只有当直线在坐标轴上的截距都不为零时，才可以用直线方程的截距式． 练习：1.直线324x y -=的截距式方程为1423x y +=-.2．根据下列条件，求直线的方程：（1）过点(3,4)A 和(3,2)B -；3x =； （2）在x 轴上、y 轴上的截距分别是2，3-；123x y -=；（3）过点(1,4)A -，且在x 轴上的截距为3．30x y +-=．3.求经过点(3,4)-且在两坐标轴上截距相等的直线方程是430x y +=10x y ++=或例3：求经过点(4,3)-且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程．分析： 涉及直线在坐标轴上的截距时，可选择直线方程的截距式．【解】设直线在x 轴与y 轴上的截距分别为,a b ，①当0,0a b ≠≠时，设直线方程为1x y a b +=， ∵直线经过点(4,3)-，∴431a b-=， ∵||||a b =，∴11a b =⎧⎨=⎩或77a b =⎧⎨=-⎩，∴直线方程为 10x y +-=或70x y --=；②当0a b ==时，则直线经过原点及(4,3)-，∴直线方程为 340x y +=，综上，所求直线方程为10x y +-=或70x y --=或340x y +=．点评:题设中涉及到了直线在两坐标轴上的截距，因此可考虑用截距式，但应注意到截距能否为零，这是应用截距式求直线方程最易出错和疏忽的地方．例4：直线l 与两坐标轴在第一象限围成的三角形面积为2，两截距之差为3，求直线l 的方程． 分析：根据题意，直线l 在两坐标轴上截距都大于零，因此可以用截距式方程．【解】由题意，直线l 在两坐标轴上截距都大于零， 故可设直线方程为1x y a b+=(0,0)a b >>， 由已知得：122||3ab a b ⎧=⎪⎨⎪-=⎩，解得14a b =⎧⎨=⎩或41a b =⎧⎨=⎩或14a b =-⎧⎨=-⎩（舍）或41a b =-⎧⎨=-⎩（舍） ∴直线方程为14x y +=或14y x +=． 练习：求过点(2,1)P -，在x 轴和y 轴上的截距分别为,a b ，且满足3a b =的直线方程．答案：分截距为零、不为零两种情况讨论，可得所求直线方程为310x y ++=或12y x =-．后记：高二数学学案 必修2 直线方程——两点式（截距式） 班级 姓名 我的学习目标（1）掌握直线方程的两点式、截距式，了解截距式是两点式的特殊情况；（2）能够根据条件选择恰当的方法求直线的方程；（3）能认识到等截距的多解性，并能很好的解决相关问题。
必修二《3.2.2直线的两点式方程》教学案一、教学目标1、知识与技能(1)掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围；(2)了解直线方程截距式的形式特点及适用范围.2、过程与方法让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点.3、情态与价值观(1)认识事物之间的普遍联系与相互转化；(2)培养学生用联系的观点看问题.二、教学重点、难点：1、 重点：直线方程两点式.2、难点：两点式推导过程的理解.三、教学过程Ⅰ.复习回顾师:上一节课，我们一起学习了直线方程的点斜式，并要求大家熟练掌握，首先我们作一简要的回顾(略)， 这一节，我们将利用点斜式来推导直线方程的两点式. Ⅱ.讲授新课1. 直线方程的两点式:),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=-- 其中2211,,,y x y x 是直线两点),(),,(2211y x y x 的坐标.推导:因为直线l 经过点),(),,(222111y x P y x P ，并且21x x ≠，所以它的斜率1212x x y y k --=.代入点斜式，得，)(112121x x x x y y y y ---=-. 当12112112,x x x x y y y y y y --=--≠方程可以写成时. 说明:①这个方程由直线上两点确定；②当直线没有斜率(21x x =)或斜率为)(021y y =时，不能用两点式求出它的方程. 2. 直线方程的截距式:1=+by a x ，其中a ，b 分别为直线在x 轴和y 轴上截距. 说明:①这一直线方程由直线在x 轴和y 轴上的截距确定，所以叫做直线方程的截距式；②截距式的推导由例2给出.3. 例题讲解:例2.已知直线l 与x 轴的交点为(a ，0)，与y 轴的交点为(0，b )，其中a ≠0，b ≠0，求直线l 的方程.解:因为直线l 经过A (a ，0)和B (0，b )两点，将这两点的坐标代入两点式，得:.1,000=+--=--by a x a a x b y 就是 说明:此题应用两点式推导出了直线方程的截距式.例3.三角形的顶点是A (-5，0)、B (3，-3)、C (0，2)，求这个三角形三边所在直线的方程.解:直线AB 过A (-5，0)、B (3，-3)两点，由两点式得)5(3)5(030----=---x y 整理得：01583=++y x ，即直线AB 的方程.直线BC 过C (0，2)，斜率是3530)3(2-=---=k ， 由点斜式得:)0(352--=-x y整理得:0635=-+y x ，即直线BC 的方程.直线AC 过A (-5，0)，C (0，2)两点，由两点式得:)5(0)5(020----=--x y 整理得：01052=+-y x ，即直线AC 的方程.说明:例3中用到了直线方程的点斜式与两点式，说明了求解直线方程的灵活性，应让学生引起注意.Ⅲ.课堂练习：课本P 97练习 1、2、3Ⅳ.课堂小结师:通过本节学习，要求大家掌握直线方程的两点式，并能运用直线方程的多种形式灵活求解直线方程.Ⅴ.课后作业:P 100习题3.2 2、3、4。
《2.2.2直线的两点式方程》教案【教材分析】本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习直线的两点式方程。
本节课的关键是关于两点式的推导以及斜率k不存在或斜率k=0时对两点式的讨论及变形。
直线方程的两点式可由点斜式导出，若已知两点恰好在坐标轴上(非原点)，则可用两点式的特例截距式写出直线的方程。
由于由截距式方程可直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便。
在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式。
解决问题的关键是理解理解直线方程的两点式和截距式的形式特点及适用范围。
教学中应充分体现坐标法建立方程的一般思路，为后续学习圆的方程及圆锥曲线的方程奠定基础。
发展学生数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养。
【教学目标与核心素养】课程目标学科素养A.掌握直线的两点式方程和截距式方程.B.会选择适当的方程形式求直线方程.C.能用直线的两点式方程与截距式方程解答有关问题. 1.数学抽象：直线的两点式方程和截距式方程2.逻辑推理：直线方程之间的关系3.数学运算：用直线的两点式方程与截距式方程求直线方程4.直观想象：截距的几何意义【教学重点】：掌握直线方程的两点式及截距式【教学难点】：会选择适当的方程形式求直线方程【教学过程】教学过程教学设计意图一、情境导学我们知道在直角坐标系内确定一条直线的几何要素：点和倾斜角（斜率），即已知直线上的一点和直线的斜率可以确定一条直线，或已知两点也可以确定一条直线。
这样，在直角坐标系中，给定一个点通过对直线几何要素及点斜式方程的回顾，提出问题，让p 0(x 0,y 0)和斜率k,可得出直线方程。
若给定直线上两点p 1(x 1,y 1)p 2(x 2,y 2),你能否得出直线的方程呢?二、探究新知 1．直线的两点式方程(1)直线的两点式方程的定义 ________________就是经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2，y 1≠y 2)的直线方程，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式． y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1点睛：1.当两点(x 1,y 1),(x 2,y 2)的直线斜率不存在(x 1=x 2)或斜率为0(y 1=y 2)时,不能用两点式方程表示,即两点式方程不能表示与坐标轴垂直的直线.2.对于两点式中的两个点,只要是直线上的两个点即可;另外,两点式方程与这两个点的顺序无关,如直线过点P 1(1,1),P 2(2,3),由两点 式可得y -13-1=x -12-1,也可以写成y -31-3=x -21-2.1. 把由直线上已知的两点坐标得到的直线方程化为整式形式(y-y 1)(x 2-x 1)=(y 2-y 1)(x-x 1),对两点的坐标还有限制条件吗?答案:这个方程对两点的坐标没有限制,即它可以表示过任意两点的直线方程.2.已知直线l 过点A(3,1),B(2,0),则直线l 的方程为 . 解析:由两点式,得y -10-1=x -32-3,化简得x-y-2=0. 答案:x-y-2=0二、直线的截距式方程 点睛：直线的截距式方程是直线的两点式方程的特殊情况,由直线的截距式方程可以直接读出直线在x 轴和y 轴上的截距,所以截距式在解决直线与坐标轴围成的三角形的面积和周长问题时非常方便. 3．在x ，y 轴上的截距分别是－3,4的直线方程是( ) A ．x －3＋y 4＝1 B ．x 3＋y－4＝1 C ．x －3－y 4＝1 D ．x 4＋y－3＝1 答案A解析：由截距式方程知直线方程为x －3＋y4＝1.选A. 4.直线xa 2−yb 2=1(ab≠0)在y 轴上的截距是( )A.a 2B.b 2C.-b 2D.|b|答案:C解析:原直线方程化为截距式方程为x 2a 2+y 2-b 2=1,故在y 轴上的截距是-b 2.三、典例解析例1 已知三角形的三个顶点A(-4,0),B(0,-3),C(-2,1),求: (1)BC 边所在的直线方程; (2)BC 边上中线所在的直线方程.思路分析:已知直线上两个点的坐标,可以利用两点式写出直线的方程.解:(1)直线BC 过点B(0,-3),C(-2,1),由两点式方程得y+31+3=x -0-2-0,化简得2x+y+3=0.(2)由中点坐标公式,得BC 的中点D 的坐标为0-22,-3+12,即D(-1,-1).又直线AD 过点A(-4,0),由两点式方程得y+10+1=x+1-4+1,化简得x+3y+4=0.延伸探究例1已知条件不变,求: (1)AC 边所在的直线方程; (2)AC 边上中线所在的直线方程. 解:(1)由两点式方程,得y -01-0=x -(-4)-2-(-4),化简得x-2y+4=0.(2)由中点坐标公式得AC 边的中点E(-3,12),中线BE 所在直线的方程为y -(-3)12-(-3)=x -0-3-0,化简得7x+6y+18=0. 两点式方程的应用用两点式方程写出直线的方程时,要特别注意横坐标相等或纵坐标相等时,不能用两点式.已知直线上的两点坐标,也可先求出斜率,再利用点斜式写出直线方程.例2过点P(1,3),且与x 轴、y 轴的正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是( ) A.3x+y-6=0 B.x+3y-10=0 C.3x-y=0D.x-3y+8=0思路分析:设出直线的截距式方程,然后利用点P 在直线上以及三角形的面积列出参数所满足的条件,解方程求出参数. 解析:设所求的直线方程为xa +yb =1(a>0,b>0),由于过点P(1,3)且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积等于6, 因此有{1a+3b =1,12ab =6,解得{a =2,b =6,故所求直线的方程为3x+y-6=0.荒地上划出一块长方形地面(不改变方位)进行开发.问如何设计才能使开发的面积最大?最大开发面积是多少?思路分析将问题转化为在线段AB 上求一点P,使矩形面积最大,根据图形特征,可建立适当的坐标系,求出AB 的方程.这里设点P 的坐标是关键.解:以BC 所在直线为x 轴,AE 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系(如图),由已知可得A(0,60),B(90,0), ∴AB 所在直线的方程为x 90+y60=1,即y=60(1-x90).∴y=60-23x.从而可设P(x,60-23x),其中0≤x≤90, ∴所开发部分的面积为S=(300-x)(240-y).故S=(300-x)(240-60+23x)=-23x 2+20x+54 000(0≤x≤90), ∴当x=-202×(-23)=15,且y=60-23×15=50时,S 取最大值为-23×152+20×15+54 000=54 150(m 2). 因此点P 距AE 15 m,距BC 50 m 时所开发的面积最大, 最大面积为54 150 m 2.归纳总结 二次函数最值问题,一方面要看顶点位置,另一方面还要看定义域的范围.结合图形求解,有时并非在顶点处取得最值. 三、达标检测四、小结五、课时练【教学反思】通过本节学习，要求学生掌握直线方程两点式和截距式的发现和推导过程，并能运用这两种形式求出直线的方程。
3.2.2《直线的两点式方程》教案【教学目标】1.直线的两点式方程的推导过程；2.直线的截距式方程的构成，了解直线方程截距式的形式特点及适用范围； 3 截距的含义。
掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围。
【导入新课】 问题导入：利用点斜式解答如下问题：（1）已知直线l 经过两点)5,3(),2,1(21P P ,求直线l 的方程。
（2）已知两点),(),,(222211y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠，求通过这两点的直线方程。
新授课阶段1.直线的两点式方程的推导过程已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程：（1）)1(232-=-x y（2）)(112121x x x x y y y y---=-指出：当21y y ≠时，方程可以写成),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程，简称两点式。
思考：若点),(),,(222211y x P x x P 中有21x x =，或21y y =，此时这两点的直线方程是什么？当21x x =时，直线与x 轴垂直，所以直线方程为：1x x =；当21y y =时，直线与y轴垂直，直线方程为：1y y=。
例1 已知直线l ：120kx y k -++= (1) 证明直线l 经过定点；（2）若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S ，求S 的最小值并求此时直线l 的方程；（3） 若直线不经过第三象限，求k 的取值范围。
解：（1）（－2，1）；（2）由直线l 的方程得A （－12kk+，0），B （0，1＋2k)，由题知：－12kk+＜0，且1＋2k ＞0，∴k ＞0 ∵S=12 |OA||OB|=11(44)2k k++≥4．当且仅当k ＞0,4k=1k ,即k=12时，面积取最小值4，此时直线的方程是：x －2y ＋4=0．(3)由（2）知直线l 在坐标轴上的截距，直线不经过第四象限则－12kk+≤0，且1＋2k≥0，∴k ＞0。
2.2.2直线的两点式方程(人教A 版普通高中教科书数学选择性必修第一册第二章)一、教学目标1．探索并掌握直线的两点式方程；2．根据直线位置的不同几何要素，确定直线方程的不同形式．二、教学重难点重点：直线的两点式和截距式方程．难点：直线的两点式方程的建立．三、教学过程1．直线的两点式方程的建立1.1温故知新，引发思考我们知道确定直线位置的基本几何要素有两类：（1）直线上一点和方向（斜率）；（2）两点确定一条直线．我们已经探索了过点，斜率为的直线的点斜式方程为． 特例：直线的斜截式方程．问题1：（1）已知直线经过两点，（其中，），因为两点确定一条直线，所以直线是唯一确定的．即是说，对于直线上的任意一点，它的坐标与点，的坐标之间具有唯一确定的关系．这一关系是什么？【预设答案】方案一：用点，的坐标可以唯一确定直线的方程，点的坐标是方程的解；方案二：由点与点，三点中任意两点确定的直线的斜率相等．【设计意图】通过方案一可以引导学生理解“直线上任意点的坐标都是直线方程的解”，从而领悟到“表示直线上任意点的坐标满足的关系，也就是确定直线的方程”．方案二可以直线建立点的坐标满足的关系式，两种方案中斜率均处于核心地位．1.2尝试探究，建立方程00()P x y ，k l 00()y y k x x -=-l y kx b =+l 111()P x y ，222()P x y ，12x x ≠12y y ≠l l ()P x y ，1P 2P 1P 2P l P P 1P 2P PP探究活动：以小组为单位在方案一和方案二中选取一种方案探究点的坐标与点，的坐标之间的关系，然后以组为单位汇报探究的过程和分享探究成果．【活动预设】让学生自主设计探究思路，规划探究步骤，经历数学探究过程，规范探究成果，从而积累数学活动经验．【设计意图】不同的方案将得到不果的探究成果，根据所得关系式的不同，进而引导学生思考，如何统一结论，规范探究成果．问题2：如何用统一的形式表示所得结果，谈谈你的想法？【活动预设】（1）从得到的关系式的形式上，分析其异同点；（2）化异为同，使得结果的结构特点更明确，形式更美．【设计意图】引导学生对所得成果，进一步分析，找出其区别与联系，并在此基础上进行优化，积累数学活动经验．问题3：在探究过程中，你认为关键步骤是什么，谈谈你的体会？【活动预设】引导学生发现两种方案中，斜率均处于核心地位．斜率公式是联系直线上任意点与两已知点桥梁，是化“两点”为“一点和方向”的关键，体会所得直线方程与点斜式方程的关系．【设计意图】引导学生体会斜率在建立直线方程的过程中处于核心地位，以斜率公式为桥梁，将问题“两点确定一条直线”转化为“一点和斜率唯一确定一条直线”，体会直线的两点式方程是点斜式方程的一个“变式”或推论．课堂新授：已知直线经过两点，，其中，．则直线的方程为 ． 我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式（two-point form ）．问题4：请分析直线的两点式方程的结构特点、适用条件，以及它与直线的点斜式方程的关系．【预设答案】（1）直线方程的结构特点：○1运算：两边均是分式形式；○2数量：左边均是纵坐标（），右边均是横坐标（）；○3下标：上下、左右下标序号一致；○4两边分子之比P 1P 2P l 111()P x y ，222()P x y ，12x x ≠12y y ≠112121y y x x y y x x --=--y x与分母之比相等，且都等于直线的斜率．所以直线的两点式方程具有结构美、对称美、有序美、运算美等特点．（2）适用条件，由，的条件，可知当直线与坐标轴不垂直（或平行）时，才可以写出直线的两点式方程．（3）直线的两点式方程可以看作是直线的点斜式方程的“变式”或推论．【设计意图】引导学生认识直线的两点式方程的本质与结构特点，了解它与直线的点斜式方程之间的关系，发现感受数学之美．1.3操作确认，创新应用问题5：直线方程的斜截式是点斜式的特例，类比探索直线的两点式方程的特例，并对你的结果进行优化和评析．【预设答案】当直线的两点是它分别与轴，轴的交点时，两点式可改写成更简洁美观的形式（截距式）．【设计意图】引导学生根据已有活动经验，利用特殊化的方法，类比斜截式的探索过程，自主探索直线的斜截式方程，对方程进行结构优化，并对方程结构特点进行评析，感受方程之美．培养学生的探索意识和创新精神，提升数学学科核心素养．课堂新授：已知直线与轴的交点为，与轴的交点为，其中，．则直线的方程为 ． 我们把它叫做直线的截距式方程，简称截距式（intercept form ）．其中是直线在轴上的截距，类似的叫做直线在轴上的截距．1.4典型例题，灵活应用例4 已知的三个顶点，，，求边所在直线的方程，以及这条边上的中线所在直线的方程．【思路分析】（1）直接写出所在直线的两点式方程，然后化简；（2）先确定边中点的坐标，然后写出中线所在直线的两点式方程，化简．【追问】你是否还有其他方案求解？12x x ≠12y y ≠x y l x (0)A a ，y (0)B b ，0a ≠0b ≠1x y a b+=b y a x ABC △(50)A -，(33)B -，(02)C ，BC AM BC BC M AMBC AM 【预设答案】先求斜率，再写出所在直线的斜截式方程，中线所在直线的点斜式方程，然后化简．【设计意图】例4主要是两点式方程的综合应用．既需要根据两点的坐标建立两点式方程，也需要确定线段中点坐标，由边的中点与对应顶点坐标建立三角形中线的方程．引导学生理解和感受用坐标和方程量化点和直线，从而把图形的几何特征转化为代数表达．AC变式若求边所在直线的方程，你能设计几种不同的方案？【预设答案】（1）斜截式；（2）两点式；（3）截距式．【设计意图】引导学生理解根据确定直线的几何要素不同可以建立不同形式的直线方程，但这些方程形异而质同，从而为进一步学习直线方程的一般式做铺垫．1.5反思总结，理解升华思考：直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，各有什么几何意义？它们本质是什么？它们之间存在怎样的联系？谈谈你的理解和认识．【预设答案】（1）直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，都具有明确的几何意义，都涉及确定直线位置的两个基本要素：两点或一点与斜率；（2）它们形式不同，但本质一致，都是对直线（几何图形）的定量（代数）刻画，并且在对直线的定量刻画中，斜率均处于核心地位；（3）点斜式方程是所有形式方程的基础，其他所有形式的方程都是点斜式方程在一定条件下的变式或推论；（4）所有不同形式的直线方程都有不同的适用条件，且都不能刻画斜率不存在的直线．【设计意图】梳理直线方程的不同形式，理解其区别与内在联系，认识到所有这些形式的方程在刻画直线时的局限性，从而为进一步学习直线的一般式方程做好必要的铺垫；在此基础上加深学生对直线方程本质的理解，初步加深对解析法研究几何问题的认识．1.5课堂练习，自我检测教材P64 练习四、课后作业教材P67 习题2.2 第1、4、9题。
直线的两点式方程一、教课目的1、知识与技术：（1）掌握直线方程的两点的形式特色及合用范围；（ 2）认识直线方程截距式的形式特色及合用范围。
2、过程与方法让学生在应用旧知识的研究过程中获获取新的结论，并经过新旧知识的比较、剖析、应用获取新知识的特色。
3、神态与价值观（ 1）认识事物之间的广泛联系与互相转变；（2）培育学生用联系的看法看问题。
二、教课要点、难点教课要点：掌握直线的两点式方程。
教课难点：直线的两点式方程的推导过程和理解它。
三、教具：三角板。
学具：三角尺。
四、教课过程（一）复习导入上节课我们学习了直线的点斜式方程，此刻同学们利用点斜式解答以下问题：①已知直线 l 经过两点P1(1,2), P2(3,5),求直线 l 的方程.②已知两点P1 ( x1 , x2 ), P2 (x2 , y2 ) 此中 ( x1 x2 , y1y2 ) ，求经过这两点的直线方程。
学生解得：① y23( x 1) ；②y y1y2y1 (x x1 ) 2x2x1（二）新课解说1、直线两点式方程推导教师指出：关于上边的②当y1y2时，方程能够写成y y1x x1 (x1 x2 , y1 y2 )y2 y1x2 x1因为这个直线方程由两点确立，因此我们把它叫直线的两点式方程，简称两点式。
思虑；若点 P1 ( x1 , x2 ), P2 ( x2 , y2 ) 中有 x1x2，或 y1y2，此时这两点的直线方程是什么教师指引学生经过绘图、察看和剖析，发现当 x1x2时，直线与x轴垂直，所以直线方程为： x x1；当 y1y2时，直线与y轴垂直，直线方程为：y y1；使学生懂得两点式的合用范围和当已知的两点不知足两点式的条件时它的方程形式。
告诉学生经过点P1 ( x1 , x2 ), P2 (x2 , y2 ) 的全部直线的方程能够写成：( y y1 )( x2x1 ) ( x x1 )( y2y1 )02、例题解说例 1、已知直线l 与 x a 0,b 0 ，求直线l 轴的交点为 A (a,0)，与y轴的交点为 B (0, b)，此中的方程。
2.2.2 直线的两点式方程教案教学目标•理解直线的两点式方程的概念。
•掌握求解直线的两点式方程的方法。
•能够应用直线的两点式方程解决实际问题。
教学内容1.直线的两点式方程的定义和特点。
2.求解直线的两点式方程的步骤和方法。
3.直线的两点式方程在实际问题中的应用。
教学步骤步骤一：引入1.进行导入：引导学生回顾直线的一般式方程，指出其限制和不足之处。
2.引入直线的两点式方程的概念：告诉学生直线的两点式方程可以更便捷地表示直线的方程，使得解直线方程的计算更加简单。
步骤二：讲解概念和特点1.定义直线的两点式方程：是用直线上的两个点(x₁, y₁) 和(x₂, y₂) 来表示直线方程的一种方式。
2.解释直线两点式方程的特点：通过给出直线上的两个点，可以唯一确定直线的方程。
步骤三：求解直线的两点式方程1.介绍求解直线两点式方程的步骤：a.确定直线上的两个点坐标。
b.根据两点的坐标，计算直线的斜率。
c.根据斜率和其中一个点的坐标，使用斜截式方程得到直线的方程。
d.化简直线的方程，得到最终的两点式方程。
步骤四：应用实际问题1.通过实际问题的例子，展示直线的两点式方程的应用：a.解决给定两点的直线问题，如求直线的方程、距离等。
b.引导学生应用直线的两点式方程解决其他几何问题。
步骤五：总结与扩展1.总结直线的两点式方程的概念和求解方法。
2.引导学生思考直线两点式方程的优缺点，与其他直线方程的比较。
3.拓展其他相关概念，如点斜式方程、截距式方程等。
教学资源•教材《数学课程标准实验教科书》•讲义：直线的两点式方程教学评估1.布置课后作业，让学生练习求解直线的两点式方程。
2.参与课堂讨论，回答教师提出的问题，并解决相关问题。
3.课堂小结，检查学生对直线的两点式方程的理解程度及掌握情况。
拓展练习1.给定两点A(1,2)和B(4,5)，求过这两点的直线方程。
2.已知直线的两点式方程为：2x + 3y - 6 = 0，求直线的斜率和截距。
第二章2.2直线的方程2.2.2直线的两点式方程【素养导引】1.结合教材实例掌握直线的两点式、截距式方程.(数学运算)2.了解两点的中点坐标公式.(数学运算)3.会求直线的两点式、截距式方程,能利用直线的两点式、截距式方程,中点坐标公式解决相应的问题.(数学运算)【导学素材】某区商业中心O有通往东、西、南、北的四条大街,某公园位于东大街北侧、北大街东侧P处,如图所示.公园到东大街、北大街的垂直距离分别为1 km和4 km.现在要在公园前修建一条直线大道分别与东大街、北大街交会于A,B两处,并使商业中心O到A,B两处的距离之和最短.【问题1】要解决这个问题,需要用到直线AB的方程,若已知A(a,0),B(0,b),能否直接写出直线AB的方程?【问题2】若已知直线上的两个点A(x1,y1),B(x2,y2),能否写出直线AB的方程?直线的两点式、截距式方程名称两点式方程截距式方程已知条件经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),其中x1≠x2,y1≠y2在x轴,y轴上的截距分别为a,b,且a≠0,b≠0图形直线y-y1y2-y1=x-x1x2-x1xa+yb=1方程适用范围 斜率存在且不为零斜率存在且不为零,不过原点【思考与交流】(1)什么样的直线的方程不能用两点式表示? 提示:与x 轴、y 轴平行的直线,x 轴,y 轴. (2)什么样的直线的方程不能用截距式表示? 提示:与x 轴、y 轴平行或重合及过原点的直线. 【解透教材】1.本质:通过直线的两点式方程可以进一步理解平面几何中“两点确定一条直线”的含义,是一种代数形式的表示.2.直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程都有明确的几何意义,都涉及确定直线位置两个要素:两个点和斜率.这些直线的方程,形式不同但本质一致,都是对直线的定量刻画.在对直线的定量刻画中,斜率处于核心地位.点斜式方程是其他所有形式的方程的基础,其他所有形式的方程都是点斜式方程在一定条件下的变式. 【基础小测】1.经过两点A (-3,2),B (0,-3)的直线的方程为 ( ) A .y =13x -3 B .y =-13x -3 C .y =53x -3D .y =-53x -3【解析】选D .经过点A (-3,2),B (0,-3)的直线的方程为y+32+3=x -0-3-0,即y =-53x -3.2.(教材改编题)在x 轴和y 轴上的截距分别为-2,3的直线方程是( )A .x 3+y-2=1 B .x 2+y-3=1 C .x -2+y 3=1D .x -3+y 2=1【解析】选C .由直线的截距式方程可得x -2+y 3=1. 3.直线x 4-y 3=-1在两坐标轴上的截距之和为 .【解析】方程可化为x -4+y3=1,所以在x 轴和y 轴上的截距分别为-4和3,故-4+3=-1.答案:-14.如图,直线l的截距式方程是xa +yb=1,则a0,b0.(用>,<,=填空)【解析】由题意可得M(a,0),N(0,b),由题图知M在x轴正半轴上,N在y轴负半轴上,所以a>0,b<0.答案:><学习任务一直线的两点式方程(数学运算)1.已知直线l的两点式方程为y-0-3-0=x-(-5)3-(-5),则l的斜率为()A.-38B.38C.-32D.322.已知A(1,2),B(-1,4),C(5,2),则△ABC的边AB上的中线所在的直线方程为()A.x+5y-15=0B.x=3C.x-y+1=0D.y-3=03.过两点(-2,1)和(1,4)的直线的两点式方程为.【解析】1.选A.由两点式方程y-0-3-0=x-(-5) 3-(-5),知直线l过点(-5,0),(3,-3),所以l的斜率为0-(-3)-5-3=-38.2.选A.由题意可知.A,B的中点坐标为(0,3),又点C(5,2),所以△ABC的边AB上的中线所在的直线方程为y-22-3=x-55-0,即x+5y-15=0.3.由两点式方程可得y-14-1=x+2 1+2.答案:y-14-1=x+2 1+2【思维提升】由两点式求直线方程的步骤(1)根据题中的条件,找到或解出两个不同点的坐标.(2)由直线的两点式方程写出直线的方程.提醒:要注意判断两点是否满足两点式方程的适用条件,即两点的连线不垂直于坐标轴.学习任务二直线的截距式方程(直观想象)【典例】(1)经过点(0,-2),且在两坐标轴上的截距和为2的直线方程是 ( ) A .x 2+y-2=1 B .x -2+y2=1 C .x 4+y 2=1D .x 4-y2=1(2)若直线ax +by +6=0在x 轴、y 轴上的截距分别是-2和3,则a ,b 的值分别为( ) A .3,2 B .-3,-2 C .-3,2 D .3,-2【解析】(1)选D .依题意可设x a +y2-a=1,把(0,-2)代入方程可得a =4. 所以直线方程为x 4-y2=1.(2)选D .在x 轴,y 轴上的截距分别是-2,3的直线的方程是x -2+y3=1,化为3x -2y +6=0,所以a =3,b =-2. 【思维提升】用截距式方程解决问题的优点及注意事项(1)由截距式方程可直接确定直线与x 轴和y 轴的交点的坐标,因此用截距式画直线比较方便.(2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时,经常使用截距式.(3)当直线与坐标轴平行时,有一个截距不存在;当直线通过原点时,两个截距均为零.在这两种情况下都不能用截距式,故解决问题过程中要注意分类讨论. 【即学即练】过两点(-1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距为 ( ) A .-32B .-23C .25D .2【解析】选A .由两点式y -19-1=x+13+1,得直线方程为y =2x +3,令y =0,得x =-32,即直线在x轴上的截距为-32.学习任务三 与截距相关的问题(逻辑推理、直观想象)【典例】(1)过点P (2,-1)且在两坐标轴上的截距和为0的直线的方程为 .(2)经过点P (-3,2)且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线方程为 .【解析】(1)当所求的直线经过原点时,斜率为-12,方程为y =-12x ,即x +2y =0;当所求的直线不经过原点时,设所求直线的方程为x a +y-a=1,把点(2,-1)代入可得2a +-1-a=1,解得a =3,故要求的直线方程为x -y -3=0. 答案:x -y -3=0或x +2y =0(2)根据题意,当直线经过原点时,满足,此时直线方程为2x +3y =0,当直线不经过原点,设此时直线的方程为x2a +ya =1, 直线经过点(-3,2),则有-32a +2a =1,解可得a =12,此时直线的方程为x +2y -1=0.所以要求直线的方程为x +2y -1=0或2x +3y =0. 答案:x +2y -1=0或2x +3y =0 【思维提升】当直线过原点时,利用可求直线的点斜式方程;当直线不过原点时,则设出截距式方程较为方便. 【即学即练】求经过点A (-2,2)并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程.【解析】设直线方程为x a +yb=1,则{12|ab |=1,-2a+2b=1,解得{a =2,b =1,或{a =-1,b =-2.故所求的直线方程为x +2y -2=0或2x +y +2=0.。
