山东省烟台市高三5月适应性训练(一)数学(文)试题(解析版).docx

山东省烟台市高三适应性练习（一）数 学 试 题（文）参考公式：样本数据n x x x ,,21的标准差锥体体积公式])()()[(122221x x x x x x nS nSh V 31其中x 为样本平均数其中S 为底面面积，h 为高 注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。

2．使用答题纸时，必须使用0.5毫米黑色的墨水签字笔书写，作图时，可用2B 铅笔。

要字迹工整，笔迹清晰，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效。

3．答卷前将密封线内的项目填写清楚。

一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，把正确选项的代号涂写在答题卡上。

1．已知全集{1,2,3,5},{1,3,5},{2,3}U A B ，则集合{1,5}等于（ ）A ．()CB A U IB ．()UC A B IC ．()U C A B ID ．()U C B A U2．已知复数133i z i，z r是z 的共轭复数，则z r 的模等于（ ）A ．4B ．2C ．1D ．143．已知双曲线221259x y 的左支上一点M 到右焦点F 2的距离为18，N 是线段MF 2的中点，O 是坐标原点，则|ON|等于 （ ） A ．4 B ．2C ．1D ．234．如图，一个“半圆锥”的正视图是边长为2的正三角形，侧 视图是直角三角形，俯视图是半圆及其圆心，这个几何体的体积为 （ ）A ．33 B ．36C ．23D ．35．设010211()sin ,()(),()(),,()(),,n n f x x f x f x f x f x f x f x n N L 则2011()f x =（ ）A ．sin xB ．sin xC ．cos xD ．cos x6．已知函数()sin f x x 的图象的一部分如下方左图，则下方右图的函数图象所对应的函数解析式为（ ）A ．1(2)2y f x B ．(21)y f xC ．(1)2x y fD ．1()22x y f7．已知a ，b 为实数，则“a b ”是“2a bab ”的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 8．在某路段检测点对200辆汽车的车速进行检测，检测结果 表示为如图所示的频率分布直方图，则车速不小于90km/h 的汽车有 （ ） A ．60辆 B ．90辆 C ．120辆 D ．150辆 9．圆224440x y x y 关于直线20x y 对称的圆的方程是（ ） A ．224x y B ．22440x y x yC ．222x yD ．224440x y x y10．下列命题中真命题的是（ ） A ．常数列既是等差数列，又是等比数列 B ．实数等差数列中，若公差0d ，则数列必是递减数列C ．实数等比数列中，若公比1q ，则数列必是递增数列D ．首项为1a ，公比为q 的等比数列的前n 项和为1(1)1n n a q S q11．设偶函数()f x 满足()24(0),{|(2)0}xf x x x f x 则（ ）A ．{|24}x x x 或B ．{|04}x x x 或C ．{|06}x x x 或D ．{|22}x x x 或12．对任意的实数,,a b 记max{a,b}()()a a b b a b若()max{(),()}()F x f x g x x R ，其中奇函数()y f x 在1x 时有极小值-2，()y g x 是正比例函数，函数()(0)y f x x 与函数()y g x 的图象如图所示，则下列关于函数()y F x 的说法中，正确的是 （ ）A ．()y F x 为奇函数B ．()y F x 有极大值F （1）且有极小值(1)FC ．()y F x 在（-3，0）上不是单调函数D ．()y F x 的最小值为-2且最大值为2二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分。

山东省烟台市2014届高三5月适应性训练一文科数学试卷（带解析）1．设复数+=1z i2(其中i 为虚数单位)，则3z z +的虚部为（ ） A ．4i B ．4 C ．4i - D ．4- 【答案】B【解析】因为, +=1z i i212-=，所以，3123(12)44z z i i i +=-++=+，其虚部为4.故选B考点：复数的四则运算,复数的概念.2(02)a ≤≤的最大值为（ ）A ．0BC ．32D ．94【答案】C=(02)a ≤≤，所以，12a =(02)a ≤≤的最大值为32，选C . 考点：二次函数的性质.3．下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．命题“若1,12==x x 则”的否命题为：“若1,12≠=x x 则”；B ．“1-=x ”是“0652=--x x ”的必要不充分条件；C ．命题“∈∃x R ,使得012<-+x x ”的否定是：“∈∀x R ,均有012>-+x x ”；D ．命题“若y x y x sin sin ,==则”的逆否命题为真命题. 【答案】D【解析】命题“若1,12==x x 则”的否命题应为：“若21x ≠，则1x ≠”.A 错；当1-=x 时，0652=--x x 成立；反之，0652=--x x 可得1-=x 或6x =.所以，B错；命题“∈∃x R ,使得012<-+x x ”的否定应是：全称命题“∈∀x R ,均有012≥-+x x ”，C错；命题“若y x y x sin sin ,==则”是真命题，所以其逆否命题为真命题.故选D ．考点：1、命题；2、简单逻辑联结词；3、存在性命题与全称命题；4、充要条件. 4．已知()2παπ∈ , ，3sin()45πα+=，则sin α=（ ）A ．10B ．10C ．10-或10D ．10-【答案】B 【解析】由已知，354,cos()44445ππππαα<+<+=-， 所以，s i n 44ππαα=+-， 故选B .考点：1、同角三角函数的基本关系；2、两角和差的三角函数.5．已知向量a )2,1(-=x ,b ),4(y =且a ⊥b ，则93x y+的最小值为（ ）A ．B ．6C ．12D ． 【答案】B【解析】由已知，a ⋅02)1(4),4()2,1(=+-=⋅-=y x y x ，即22x y +=.所以，936x y +≥==，当且仅当121,,12x y x y ====时，93x y +取得最小值6.故选B .考点：1、平面向量的数量积；2、基本不等式.6．若双曲线C ：224(0)x y λλ-=>与抛物线24y x =的准线交于,A B 两点，且AB =λ的值是（ ）A.1B.2C.4D.13 【答案】A【解析】抛物线24y x =的准线为1x =-，代人224(0)x y λλ-=>解得(0)y λ=>，所以，由双曲线的对称性得，||1AB λ===. 选A .考点：1、抛物线的几何性质；2、双曲线的几何性质. 7．如果在一次试验中，测得(,x y )的四组数值分别是根据上表可得回归方程ˆˆ1.04yx a =+，据此模型预报当x 为5时，y 的值为（ ） A ．6.9 B ．7.1 C ．7.04 D ．7.2【答案】B【解析】由题意知，12343 3.8 5.262.5, 4.544x y ++++++====，代人ˆˆ1.04yx a =+解得，ˆ 1.9a=，即ˆ 1.04 1.9y x =+，所以，5x =时，ˆ 1.045 1.97.1y =⨯+=，选B ． 考点：回归分析.8．已知函数()g x 是R 上的奇函数，且当0x <时，()ln(1)g x x =--，设函数3(0)()()(0)x x f x g x x ⎧≤=⎨>⎩ ,若2(2)f x ->()f x ，则实数x 的取值范围是（ ）A ．(,1)(2,)-∞+∞ B ．(,2)(1,)-∞-+∞C ．(1,2)D ．(2,1)- 【答案】D【解析】由已知，0x >时，0x -<，所以()()l n (1g x g x x =--=+，即3(0)()ln(1)(0)x x f x x x ⎧≤=⎨+>⎩；由幂函数、对数函数的性质可知，其在(,)-∞+∞是增函数，所以，由2(2)f x ->()f x 可得22,x x ->，解得，21x -<<，故选D .考点：1、函数的奇偶性、单调性；2、分段函数；3、幂函数、对数函数的性质；4、一元二次不等式解法.9．已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A.34 B.38C.4D.8 【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体是一四棱锥，其底面正方形边长为2，高为2，故其体积为2182233⨯⨯=，选B . 考点：1、三视图；2、几何体的体积. 10．已知函数22()()(),()(1)(1)f x x a x bx c g x ax cx bx =+++=+++，集合{}()0,S x f x x ==∈R ，{}()0,T x g x x ==∈R ，记c a r d ,c a r d S T 分别为集合,S T 中的元素个数，那么下列结论不正确的是（ ）A ．card 1,card 0S T ==B ．card 1,card 1S T ==C ．card 2,card 2S T ==D ．card 2,card 3S T == 【答案】D【解析】集合{}()0,S x f x x ==∈R ， {}()0,T x g x x ==∈R 均表示方程的解集，集合中元素的个数，就是方程解的个数.当20,40a b c =-<时，2()()0x a x bx c +++=有一解，2(1)(1)0ax cx bx +++=无解，A 正确；当20,40a b c ≠-<时，2()()0x a x bx c +++=有一解，2(1)(1)0ax cx bx +++=有一解，B 正确；当20,40a b c ≠-=时，2()()0x a x bx c +++=有两解，2(1)(1)0ax cx bx +++=有两解，其不可能有三个解，C 正确，D 不正确. 故选D .考点：1、新定义；2、集合的概念；3、函数与方程.11．执行如图所示程序框图，若输入A 的值为2，则输出的=P .【答案】4【解析】执行程序，运行情况如下：输入,2=A 1,1P S ==，满足条件S A ≤，32,2P S ==；继续运行，满足条件S A ≤，113,6P S ==； 继续运行，满足条件S A ≤，254,12P S ==； 不满足条件S A ≤，输出 4.P = 所以答案应填：4考点：算法与程序框图.12．如图，目标函数z ax y =-的可行域为四边形OACB (含边界)，若点(3,2)C 是该目标函数取最小值时的最优解，则a 的取值范围是 .【答案】22a -≤≤-【解AC 的斜率20234AC k -==--,直线BC 的斜率BC k =当直线z a xy =-的斜率介于AC 与BC 的斜率之间时，(3,2)C 是该目标函数z a x y =-取最小值的最优解，所以, 223a -≤≤-.所以答案应填：223a -≤≤-考点：直线的斜率，简单线性规划.13．在圆22260x y x y +--=内，过点(0,1)E 的最长弦与最短弦分别为AC 与BD ,则四【答案】【解析】点(0,1)E 在圆22260x y x y +--=内，过点(0,1)E 的最长弦与最短弦分别为圆的直径及与该直径垂直的弦.如图所示AC 为直径，BD 是与AC 垂直的弦，由1101312BD AC k k -=-=-=--得，直线BD 的方程为112y x =-+，由圆的几何性质得，BD ====.所以答案应填：考点：1、圆的几何性质；2、直线的斜率与方程；2、点到直线的距离.14．一艘海轮从A 处出发，以每小时20海里的速度沿南偏东40°方向直线航行．30分钟后到达B 处．在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B 、C 两点间的距离是 .【答案】 【解析】由已知，图中000070403,406BA CA B C A B ∠=-=∠=+=(海里)，所以，045,C ∠=，由正弦定理得，0000,sin 30sin 30sin 45sin 45BC AB ABBC ==⨯= 即B 、C两点间的距离是.所以答案应填： 考点：正弦定理的应用.15．已知函数)(x f 的定义域［-1，5］，部分对应值如表，)(x f 的导函数)('x f y =的图象如图所示，下列关于函数)(x f 的命题:①函数)(x f 的值域为12［，］； ②函数)(x f 在02［，］上是减函数；③当21<<a 时，函数a x f y -=)(最多有4个零点；④如果当],1[t x -∈时，)(x f 的最大值是2，那么t 的最大值为4. 其中正确命题的序号是(写出所有正确命题的序号) . 【答案】①②③【解析】由图知，0,2,4x x x ===是极值点，且0,4x x ==处取得极大值2，2x =时取得极小值1.5，由函数的单调性，5x =时，1y =最小，故函数的值域为12［，］，①正确； 因为，在02(，)，导函数值为负，所以，函数)(x f 在02［，］上是减函数，所以，②正确； a x f y -=)(的零点的个数，即(),y f x y a ==交点的个数.由导函数的图象可知，导函数值由正变负，再变正，后变为负值.所以，函数的图象先升后降，再升又降，其最大值、最小值分别为2,1，故当21<<a 时，函数a x f y -=)(最多有4个零点，③正确；由于在区间15-［，］，函数)(x f 的值域为12［，］，所以，如果当],1[t x -∈时，)(x f 的最大值是2，t 的最大值为5，④不正确.综上知，答案为①②③.考点：1、应用导数研究函数的单调性、极值、最值；2、函数的零点；3、函数的图象.16．某数学兴趣小组有男女生各5名.以下茎叶图记录了该小组同学在一次数学测试中的成绩(单位：分).已知男生数据的中位数为125，女生数据的平均数为8.126. （1）求x ，y 的值；（2）现从成绩高于125分的同学中随机抽取两名同学，求抽取的两名同学恰好为一男一女的概率.【答案】(1)5=x ，8=y ；(2)53. 【解析】试题分析：(1)由茎叶图，列出男生成绩为119 ，122，x +120 ,134 ,137 根据位数为125，得5=x .列出女生成绩为119 ，125，y +120 ,128 ,134 根据平均数为=8.1265134128120125119+++++y ,解之得8=y .(2)设成绩高于125的男生分别为1a 、2a ，记1341=a ,1372=a设成绩高于125的女生分别为1b 、2b 、3b ，记1281=b ,1282=b ,1343=b 列出从高于125分同学中取两人的所有取法：),(21a a , ),(11b a ,),(21b a ,),(31b a ,),(12b a ,),(22b a ,),(32b a ,),(21b b ),(31b b ),(32b b 共10种，其中恰好为一男一女的取法：),(11b a ,),(21b a ,),(31b a ,),(12b a ,),(22b a ,),(32b a 共6种，利用古典概型概率的计算公式得解.(1)男生成绩为119 ，122，x +120 ,134 ,137 其中位数为125，故5=x . 3分 女生成绩为119 ，125，y +120 ,128 ,134平均数为=8.1265134128120125119+++++y ,解之得8=y 6分(2)设成绩高于125的男生分别为1a 、2a ，记1341=a ,1372=a设成绩高于125的女生分别为1b 、2b 、3b ，记1281=b ,1282=b ,1343=b 从高于125分同学中取两人的所有取法：),(21a a , ),(11b a ,),(21b a ,),(31b a ,),(12b a ,),(22b a ,),(32b a ,),(21b b ),(31b b ),(32b b 共10种， 8分其中恰好为一男一女的取法：),(11b a ,),(21b a ,),(31b a ,),(12b a ,),(22b a ,),(32b a 共6种， 10分因为53106= 故抽取的两名同学恰好为一男一女的概率为53. 12分 考点：茎叶图，中位数，平均数，古典概型. 17．设函数2()sin(2)2sin 6f x x x πωω=++（0ω>），其图象的两个相邻对称中心的距离为2π. （1）求函数)(x f 的解析式；（2）若△ABC 的内角为C B A ,,所对的边分别为c b a ,,（其中c b ＜），且()2f A =，7=a ,ABC ∆面积为323，求c b ,的值. 【答案】（1）1)62sin()(+-=πx x f ；（2）⎩⎨⎧==32c b ； 【解析】 试题分析：（1）根据三角公式化简得()sin(2)1cos 26f x x x πωω=++-1)62sin(+-=πωx ，根据π=T , 得1=ω，得到1)62sin()(+-=πx x f ；（2）由()2f A =，得3π=A ,利用面积表达式及余弦定理可得方程组⎩⎨⎧=+=13622c b bc ，求解即得所求.（1）()sin(2)1cos 26f x x x πωω=++-12cos 212sin 23+-=x x ωω1)62sin(+-=πωx 3分由题意知π=T , 所以πωπ=22，1=ω 1)62sin()(+-=πx x f 6分（2）由()2f A =，得1)62sin(=-πA , π<<A 0,所以3π=A ,∴bc bc S ABC 433sin 21233===Λπ即6=bc , 8分 又A bc c b a cos 2222-+= ,将7=a ,3π=A 代入得1322=+c b ， 10分又c b <解⎩⎨⎧=+=13622c b bc 得⎩⎨⎧==32c b 12分 考点：三角函数式的图象和性质，三角函数式的化简，余弦定理的应用.18．如图，四边形PCBM 是直角梯形，o 90=∠PCB ，BC PM //，1=PM ，2=BC ．又1=AC ，o 120=∠ACB ，PC AB ⊥，直线AM 与直线PC 所成的角为60°．（1）求证：AC PC ⊥； （2）求三棱锥B MAC V -的体积.【答案】（1）证明：见解析；（2【解析】试题分析：（1）利用BC PC ⊥,AB PC ⊥，可得 PC ⊥平面ABC ，从而AC PC ⊥；（2）过M 做BC MN ⊥,连接AN ，APCBM可得1==PM CN ，MN ⊥平面ABC,o 60=∠AMN ，在ACN ∆中，由余弦定理得， 3120c o s 2222=⋅-+=o CN AC CN AC AN 在AMN Rt ∆中，计算得1=MN ，点M 到平面ACB 的距离为1，进一步计算得到体积. （1）证明：∵BC PC ⊥,AB PC ⊥，又B BC AB =⋂∴ PC ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， ∴AC PC ⊥ 5分（2）过M 做BC MN ⊥,连接AN ，则1==PM CN ，MN ⊥平面ABC,o 60=∠AMN 7分在ACN ∆中，由余弦定理得， 3120c o s 2222=⋅-+=o CN AC CN AC AN 在AMN Rt ∆中， ∴1=MN ∴点M 到平面ACB 的距离为1，而13sin1202ACB S AC CB ∆=⋅=10分.∴13B ACM M ACB ACB V V S MN --∆==⋅=12分 考点：平行关系，垂直关系，余弦定理的应用，体积计算. 19．在数列}{n a 中，已知411=a ,411=+n n a a ,1423log ()n n b a n *+=∈N . （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设数列n n n n b a c c +=满足}{，求{}n c 的前n 项和n S .【答案】（1）*)()41(N n a n n ∈=；（2）n S n n n n n n )41(313123411])41(1[412)231(2⋅-+-=--+-+= .【解析】PCB M试题分析：（1）由411=+n n a a , 知数列}{n a 是首项为41，公比为41的等比数列，即得所求.（2）由（1）知，23,)41(-==n b a n nn ,得到,)41()23(n n n c +-= 利用“分组求和法”.+⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=32417414411n Snn n n ⎪⎭⎫⎝⎛+-+⎪⎭⎫⎝⎛+-+-41)23(41)53(1[])23()53(741-+-+⋅⋅⋅+++=n n ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛++-nn 4141414112.（1）∵411=+n n a a , ∴数列}{n a 是首项为41，公比为41的等比数列，∴*)()41(N n a nn ∈=. 6分 （2）由（1）知，23,)41(-==n b a n nn ,∴,)41()23(nn n c +-= 8分∴+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=32417414411n S nn n n ⎪⎭⎫⎝⎛+-+⎪⎭⎫⎝⎛+-+-41)23(41)53(1[])23()53(741-+-+⋅⋅⋅+++=n n ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛++-nn 414141411210分n n n n n n )41(313123411])41(1[412)231(2⋅-+-=--+-+= 12分考点：等比数列的概念及其求和公式，等差数列的求和公式，“分组求和法”.20．已知向量()x =a ，()1 0，b =，且()()0+⋅=a a ．(1)求点()Q x y ，的轨迹C 的方程；(2)设曲线C 与直线y kx m =+相交于不同的两点M N 、，又点()0 1A -，，当A M A N =时，求实数m 的取值范围．【答案】(1)2213x y +=.(2)当0k ≠时，m 的取值范围是1,22⎛⎫⎪⎝⎭，当=0k 时，m 的取值范围是()1 1-，. 【解析】试题分析：(1)由题意得()=x +a，()=x a ，()()0⋅=a a ，计算并化简得2213x y +=.(2)由2213y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()()222316310k x mkx m +++-=， 由于直线与椭圆有两个不同的交点，∴0∆>，即2231m k <+. 讨论当0k ≠时，得所求的m 的取值范围是1,22⎛⎫⎪⎝⎭； 当=0k 时，得m 的取值范围是()1 1-，.(1)由题意得()=x +a，()=x a ，∵()()0⋅=a a，∴(0x x =，化简得2213x y +=，∴Q 点的轨迹C 的方程为2213x y +=. 4分 (2)由2213y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()()222316310k x mkx m +++-=， 由于直线与椭圆有两个不同的交点，∴0∆>，即2231m k <+.① 6分(i)当0k ≠时，设弦MN 的中点为()P P P x y ，，M N x x 、分别为点M N 、的横坐标，则23231M N P x x mkx k +==-+， 从而2=31P P m y kx m k +=+，21313P AP P y m k k x mk+++==-， 8分 又AM AN =，∴AP MN ⊥.则23113m k mk k++-=-，即2231m k =+， ②将②代入①得22m m >，解得02m <<，由②得22103m k -=>，解得12m >， 故所求的m 的取值范围是1,22⎛⎫⎪⎝⎭. 10分 (ii)当=0k 时，AM AN =，∴AP MN ⊥，2231m k <+， 解得11m -<<. 12分 综上，当0k ≠时，m 的取值范围是1,22⎛⎫⎪⎝⎭， 当=0k 时，m 的取值范围是()1 1-，. 13分 考点：平面向量的数量积，椭圆方程，直线与圆锥曲线的位置关系. 21．已知2()ln (f x x ax x a =+-∈R ).（1）若0=a 时，求函数()y f x =在点))1(,1(f 处的切线方程； （2）若函数()f x 在[]2,1上是减函数，求实数a 的取值范围； （3）令2()(),g x f x x =-是否存在实数a ，当(0,e ](ex ∈是自然对数的底）时，函数()g x 的最小值是3.若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）0x y -=；（2（3）存在实数2a e =，使()l n g x a x x =-在(0,]x e ∈上的最小值是3. 【解析】试题分析：（1）当0a =时，2()ln f x x x =-，求其在切点处的导函数值，得到切线斜率，由点斜式即得所求；（2）函数()f x 在[]2,1上是减函数，[1,2]上恒成立；令2()21h x x ax =+-，解(1)0(2)0h h ≤⎧⎨≤⎩（3）假设存在实数a ，使()l n g x a xx =-在(0,]x e ∈上的最小值是3，根据11()ax g x a x x-'=-=， 讨论当0a ≤、 10a e <≤、1a e >等三种情况时，令()0g x '<，求解即得.（1）当0a =时，2()ln f x x x =- 1()2f x x x '∴=-1分(1)1,(1)1f f '∴==,函数()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为0x y -= 3分（2）函数()f x 在[]2,1上是减函数2121()20x ax f x x a x x+-'∴=+-=≤在[1,2]上恒成立 4分令2()21h x x ax =+-，有(1)0(2)0h h ≤⎧⎨≤⎩得172a a ≤-⎧⎪⎨≤-⎪⎩ 6分72a ∴≤-7分 （3）假设存在实数a ，使()ln g x ax x =-在(0,]x e ∈上的最小值是311()ax g x a x x-'=-= 8分 当0a ≤时，()0g x '<，()g x ∴在(0,]e 上单调递减，min ()()13g x g e ae ==-=4a e=（舍去) 10分 当0a >且1e a ≥时，即10a e<≤，()0g x '<在(0,]e 上恒成立，()g x ∴在(0,]e 上单调递减min ()()13g x g e ae ∴==-=，4a e=（舍去) 11分当0a >且1e a <时，即1a e >时，令()0g x '<，得10x a <<；()0g x '>，得1x e a <≤()g x ∴在1(0,)a 上单调递减，在1(,]e a 上单调递增min 1()()1ln 3g x g a a ∴==+=，2a e =满足条件 13分综上所述，存在实数2a e =，使()ln g x ax x =-在(0,]x e ∈上的最小值是3. 14分 考点：应用导数研究函数的单调性、最（极）值，导数的几何意义，不等式恒成立问题，转化与化归思想，分类讨论思想.。

第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A={||2|2x x ->}，B={|x x N ∈}，则()u C A B =（ ）A ．{1，2，3}B ．{0，1，2，3}C ．{0，1，2，3，4}D ．{1，2，3，4}2. 若复数z 满足(2)5i z +=(其中i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3. 某班有60名学生，一次考试后数学成绩()110,102N ξ~,若()1001100.35P ξ≤≤=，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为（ ） A ．10 B ．9 C ．8 D ．74. 设,a b R ∈，则“0,0a b >>，是“2a bab +>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5. 定义2×2矩阵12142334a a a a a a a a ⎛⎫=-⎪⎝⎭，若sin()3()cos()1x f x x ππ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭，则()f x 的图象向右平移3π个单位得到的函数解析式为（ ） A ．22sin()3y x π=-B ．2sin()3y x π=+ C ． 2cos y x = D ．2sin y x =6. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（ ） A ．23π B ．43π C ．83π D ．163π【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是底面半径为2，高为4的圆锥的一半，故其体积为211824233ππ⨯⨯⨯=. 选C .考点：三视图，圆锥的体积.7. 已知圆C 的方程为2220x y x +-=，若以直线2y kx =-上任意一点为圆心，以l 为半径的圆与圆C 没有公共点，则k 的整数值是（ ） A ．-l B ．0 C ．1 D ．28. 函数sin ()ln(2)xf x x =+的图象可能是（ ）【答案】A 【解析】函数sin ()ln(2)xf x x =+的定义域为{|21}x x x >-≠且-，可排除,B D ；又 1.5x =-时，sin( 1.5)sin1.50,ln( 1.52)ln 0.50-=-<-+=<，即sin( 1.5)( 1.5)0ln( 1.52)f --=>-+，故选A .考点：函数的图象，函数的定义域，正弦函数、对数函数的性质.9. 若在曲线(),0f x y =上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线(),0f x y =的“自公切线”．下列方程：①1xy e =-；②2y x x =-；③214x y +=-；④2||||y x x =+对应的曲线中存在“自公切线”的有（ ）A ．①② B．②③ C．②④ D ．③④③l x +=24y -即22 230x x y ++-=，其图形为实线部分，不存在“自公切线”；10. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>左、右焦点分别为()()12,0,,0F c F c -，若双曲线右支上存在点P使得1221sin sin a c PF F PF F =∠∠，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．(0，21-)B ．(21-，1)C ．(1,21]+D ．(21+，+∞)第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11. 右方茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为l5，乙组数据的平均数为16.8，则x y +的值为12. 直线y x =与抛物线22y x x =-，所围成封闭图形的面积为13. 已知数列{}n a 中1n n a a n +=+若利用如右图所示的程序框图计算该数列的第8项，则判断框内的条件是14.已知关于x 的二项式3na x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a 的值为15. 已知函数()x x f x e e -=-，实数x ，y 满足22(2)(2)0f x x f y y -+-≥，若点()1,2M ，(),N x y ，则当14x ≤≤时，OM ON ⋅的最大值为 (其中O 为坐标原点)【答案】12【解析】由已知，(1,2)(,)2OM ON x y x y ⋅=⋅=+. 因为，1()x xx x f x e ee e-=-=-是奇函数，且为单调增函数. 所以，由22(2)(2)0f x x f y y -+-≥得，2222(2)(2),22,f x x f y y x x y y -≥--≥- 所以，22220,()(2)0x y x y x y x y --+≥-+-≥，N(x y)，对应的平面区域如图所示.三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16. （本小题满分12分）己知函数21()3sin cos sin ()2f x x x x x R =++∈ (1)当5[,]1212x ππ∈-时，求函数()f x 的最小值和最大值；(2)设∆ABC 的内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，且c=3，f(C)=2，若向量m=(1，a)与向量n=(2，b)共线，求a ，b 的值．应用余弦定理得， 22a +b -ab =3，即可解得.由余弦定理得，222πc=a+b-2abcos3，即22a+b-ab=3②由①②解得a=1,b=2. …………12分考点：三角函数式的图象和性质，三角函数式的化简，余弦定理的应用.17. （本小题满分12分）第十二届全国人民代表大会第二次会议和政协第十二届全国委员会第二次会议，2014年3月在北京召开．为了做好两会期间的接待服务工作，中国人民大学学生实践活动中心从7名学生会干部(其中男生4人，女生3人)中选3人参加两会的志愿者服务活动．(1)所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望：(2)在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率．【答案】（1）97；（2）13.【解析】试题分析：（1）ξ得可能取值为 0,1,2,3由题意P(ξ=0)=3437435CC=, P(ξ=1)=2143371835C CC=,P(ξ=2)=1243371235C CC= P(ξ=3)=034337135C CC=因此，由公式计算即得 Eξ.种数为155C=…………10分∴P(C)=152651153 CC==在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为13……12分考点：随机变量的分布列及数学期望，古典概型.18.（本小题满分12分）已知等比数列{a n}的前n项和S n满足：S4-S1=28，且a3+2是a2，a4的等差中项． (1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{a n }为递增数列，2221log log n n n b a a +=，12...n n T b b b =+++，问是否存在最小正整数n 使得12n T >成立?若存在，试确定n 的值，不存在说明理由．依题意，有423)22a a a +=+（， 由4128S S -=可得,28432=++a a a 得20,8423=+∴=a a a ……3分⎪⎩⎪⎨⎧===+∴820213311q a a q a q a 解之得11122232q q a a ⎧==⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎩或 ………………5分 所以n n a 2=或6)21(-=n n a ………………6分 （2）因为数列{}n a 单调递增，nn a a q 2,2,21=∴=∴=∴ 22211111()log 2log 2(2)22n n n b n n n n +===-⋅++，……………………7分19.（本小题满分12分）(本小题满分12分) 在如图所示的多面体中，底面BCFE 是梯形，EF//BC ，又EF ⊥平面AEB ，AE ⊥EB ，AD//EF ，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G 为BC 的中点．(1)求证：AB//平面DEG ；(2)求证：BD ⊥EG ；(3)求二面角C —DF —E 的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）30.6C DF E --二面角的正弦值为【解析】试题分析：（1）利用已有平行关系，可得到 ABGD 四边形是平行四边形， 得到//.AB DG 而得证.(2)通过证明,,EB EF EA 两两垂直. 以点E 为坐标原点，,,,,EB EF EA x y z 分别为轴，建立空间直角坐标系，根据(220),(22,2),EG BD ==-，，，计算它们的数量积为零，得证. (3)由已知可得(2,0,0)EB =是平面EFDA 的一个法向量.确定平面DCF 的一个法向量为(1,2,1).=-n利用2630cos cos ,,sin .6626n EB θθ-=<>==-=得解.(0-1,2(210)FD FC ==，），，，，20,11, 2.(1,2,1).20y z z x y x y -+=⎧∴==-==-⎨+=⎩n 令得即……………10分 设二面角C FD E --的大小为θ， 则2630cos cos ,,sin .6626n EB θθ-=<>==-=…………11分 30.6C DF E ∴--二面角的正弦值为………………………12分 考点：立体几何平行关系、垂直关系，二面角角的计算，空间向量的应用.20.（本小题满分13分）已知椭圆C 1和抛物线C 2有公共焦点F(1，0)，C 1的中心和C 2的顶点都在坐标原点，过点M(4，0)的直线l 与抛物线C 2分别相交于A ，B 两点．(1)如图所示，若14AM MB =，求直线l 的方程； (2)若坐标原点O 关于直线l 的对称点P 在抛物线C 2上，直线l 与椭圆C 1有公共点，求椭圆C 1的长轴长的最小值．从而得到1232,8,2y y m =-==，求得直线方程. （2）可求得对称点2288(,)11m P m m -++， 代入抛物线中可得：1m =±，直线l 方程为4x y =±+，考虑到对称性不妨取4x y =+,椭圆设为221(1)1x y λλλ+=>-联立直线、椭圆方程并消元整理可得22(21)8(1)17160y y λλλλ-+--+-=， 由0∆≥，可得17(02λλ≥≤删除） ，即得解.代入抛物线中可得：1m =±，直线l 方程为4x y =±+，考虑到对称性不妨取4x y =+, 设椭圆方程为221(1)1x y λλλ+=>-，联立直线方程和椭圆方程并消元整理得22(21)8(1)17160y y λλλλ-+--+-=， ………………10分因为椭圆与直线有交点，所以0∆≥， 即：264(1)4(1)(16)(21)0λλλλ-+---≥，解得17(02λλ≥≤删除） ………12分即21734,22a a ≥≥ ∴长轴长的最小值为34.. ………………………13分考点：抛物线及其标准方程，椭圆方程，直线与圆锥曲线的位置关系.21. （本小题满分14分） 已知函数21()ln (1)()2f x x ax a x a R =+-+∈． (1)当a=1时，求曲线()y f x =在点(1，f(1))处的切线方程；(2)当a>0时，若f(x)在区间[1，e]上的最小值为-2，求a 的值；(3)若对任意1212,(0,),x x x x ∈+∞<，且1122()()f x x f x x +<+恒成立，求a 的取值范围．因为3'(1)0,(1)2f f ==-. ………………2分 所以切线方程是3.2y =- …………………………3分（2）函数21()ln (1)2f x x ax a x =+-+的定义域是），（∞+0.当0>a 时，21(1)1'()(1)(0)ax a x f x ax a x x x-++=+-+=> 令0)('=x f ，即2(1)1(1)(1)'()0ax a x x ax f x x x-++--===， 所以1x =或ax 1=. ……………………6分当0=a 时，01)('>=xx g ，此时)(x g 在），（∞+0上单调递增； ……………………12分 当0≠a 时，只需0)('≥x g 在），（∞+0上恒成立，因为),0(+∞∈x ，只要210ax ax -+≥， 则需要0>a ， ………………………………13分对于函数21y ax ax =-+，过定点（0，1），对称轴102x =>，只需240a a ∆=-≤， 即04a <≤. 综上04a ≤≤. ……………………14分考点：应用导数研究函数的单调性、最（极）值，导数的几何意义，不等式恒成立问题，转化与化归思想，分类讨论思想.。

山东省烟台市2020届高三数学适应性练习试题（一）（含解析）注意事项：1.本试题考试时间为120分钟.2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上.3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰.超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.一、单项选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合{M x y ==，{}220N x x x =-<，则M N ⋂=（ ）A. {}01x x <<B. {}01x x <≤C. {}12x x <<D.{}12x x ≤<【答案】B 【解析】 【分析】求出集合,M N 后可得它们的交集.【详解】{(],1M x y ===-∞，{}()2200,2N x x x =-<=，故(]0,1MN =.故选：B.【点睛】本题考查集合的交运算以及一元一次不等式、一元二次不等式的解，考虑集合运算时，要认清集合中元素的含义，如(){}|,x y f x x D =∈表示函数的定义域，而(){}|,y y f x x D =∈表示函数的值域，()(){},|,x y y f x x D =∈表示函数的图象.2.已知复数z 满足1i21iz +-=-（i 为虚数单位），则z =（ ）B. 2D. 3【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法计算可得z ，再利用复数的模的计算公式可得z .【详解】因为1i 21i z +-=-，故()()1i 1i 222z i ++=+=+，故z 故选：C.【点睛】本题考查复数的乘法和除法以及复数的模，注意复数的除法是分子、分母同乘以分母的共轭复数，本题属于基础题.3.已知132a =，2log 0.3b =，b c a =，则（ ） A. a b c <<B. b a c <<C. c a b <<D.b c a <<【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性和指数函数的单调性可得三者之间的大小关系. 【详解】因为2log y x =为增函数，且0.31<，故22log 0.30log 1b =<=， 又2xy =为增函数，且103>，故103221a =>=， 又x y a =为增函数，且0b <，故001b a a c =<=<， 故b c a <<. 故选：D.【点睛】本题考查指数幂、对数式的大小关系，此类问题的关键是根据底数的形式构建合理的单调函数，必要时还需利用中间数来传递大小关系.4.已知O 为坐标原点，点P 在单位圆上，过点P 作圆C ：22(4)(3)4x y -+-=切线，切点为Q ，则PQ 的最小值为（ ）B. C. 2 D. 4【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分析圆C 的圆心以及半径，由切线长公式分析可得||PQ =||PC最小时，||PQ 最小，由点与圆的位置关系分析||PC 的最小值，计算可得答案． 【详解】解：根据题意，圆22:(4)(3)4C x y -+-=，其圆心(4,3)C ，半径2r ，过点P 作圆22:(4)(3)4C x y -+-=的切线，切点为Q ，则||PQ =||PC 最小时，||PQ 最小，又由点P 在单位圆上，则||PC 的最小值为||114OC -==，则||PQ ==； 故选：B ．【点睛】本题考查直线与圆、圆与圆的位置关系，涉及直线与圆相切的性质，属于基础题． 5.《九章算术》是我国古代的一本数学名著.全书为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题.在第六章“均输”中有这样一道题目：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为：“现有五个人分5钱，每人所得成等差数列，且较多的两份之和等于较少的三份之和，问五人各得多少？”在此题中，任意两人所得的最大差值为多少？（ ） A.13B.23C.16D.56【答案】B 【解析】 【分析】设每人分到的钱数构成的等差数列为{}n a ，公差0d >，由题意可得，12345a a a a a ++=+，55S =，结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解．【详解】解：设每人分到的钱数构成的等差数列为{}n a ，公差0d >， 由题意可得，12345a a a a a ++=+，55S =， 故113327a d a d +=+，15105a d +=， 解可得，123a =，16d =， 故任意两人所得的最大差值243d =．故选：B ．【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式在实际问题中的应用，属于基础题．6.函数2πln(1)()ex x f x +-=的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】利用()10f <，结合选项运用排除法得解． 【详解】解：(21)(1)0ln f -=<，可排除选项BCD ； 故选：A ．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用特征值的符号是否与选项对应是解决本题的关键．7.窗的运用是中式园林设计的重要组成部分，常常运用象征、隐喻、借景等手法，将民族文化与哲理融入其中，营造出广阔的审美意境.从窗的外形看，常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边形等.如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形128PP P 的中心，18PP x ⊥轴，现用如下方法等可能地确定点M ：点M 满足2i j OM OP OP ++=0（其中1,8i j ≤≤且*,i j N ∈，i j ≠），则点M （异于点O ）落在坐标轴上的概率为（ ）A.35B.37C. 38D. 27【答案】D 【解析】 【分析】写出i j OP OP +所有可能结果，结合条件找到满足点M （异于点O ）落在坐标轴上的结果，根据古典概率进行求解.【详解】由题意可知i j OP OP +所有可能结果有：12131415161718OP OP OP OP OP OP OP OP OP OP OP OP OP OP +++++++，，，，，，， 232425262728OP OP OP OP OP OP OP OP OP OP OP OP ++++++，，，，，， 3435363738OP OP OP OP OP OP OP OP OP OP +++++，，，，，45464748OP OP OP OP OP OP OP OP ++++，，，，565758OP OP OP OP OP OP +++，，，676878OP OP OP OP OP OP +++，，，共有28种；点M （异于点O ）落在坐标轴上的结果有：23456718OP OP OP OP OP OP OP OP ++++，，，，14365827OP OP OP OP OP OP OP OP ++++，，，，共有8种；所以点M （异于点O ）落在坐标轴上的概率为82287p ==. 故选：D.【点睛】本题主要考查古典概率的求解，求出所有基本事件及符合题意的基本事件是解题关键，侧重考查数学建模的核心素养.8.将函数()cos f x x =的图象向右平移2π3个单位长度，再将各点的横坐标变为原来的1(0)ωω>，得到函数()g x 的图象，若()g x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则ω范围为（ ）A. 48,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 15,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. 8,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】 【分析】由题意利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，余弦函数的单调性，得出结论． 【详解】解：将函数()cos f x x =的图象向右平移23π个单位长度，可得2cos()3y x π=-的图象；再将各点的横坐标变为原来的1(0)ωω>，得到函数2()cos()3g x x πω=-的图象． 若()g x 在[0,]2π上的值域为1[,1]2-，此时，22[33x ππω-∈-，2]23ωππ-， 220233ωπππ∴-，求得4833ω， 故选：A ．【点睛】本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于基础题．二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合要求. 9.已知m ，n 为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则（ ） A. 若//m α，βn//，//αβ，则//m n B. 若m α⊥，n β⊥，αβ⊥，则m n ⊥ C. 若//m n ，m α⊥，n β⊥，则//αβ D. 若//m n ，n α⊥，αβ⊥，则//m β 【答案】BC 【解析】【分析】根据直线和直线，直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断每个选项得到答案. 【详解】若//m α，βn//，//αβ，则//m n 或,m n 异面，A 错误；若m α⊥，αβ⊥，则//m β或m β⊂，当//m β时，因为n β⊥，所以m n ⊥；当m β⊂时，由n β⊥结合线面垂直的性质得出m n ⊥，B 正确； 若//m n ，m α⊥，则n α⊥，又n β⊥，则//αβ，C 正确；若//m n ，n α⊥，则m α⊥，又αβ⊥，则//m β或m β⊂，D 错误； 故选：BC【点睛】本题考查了直线和直线，直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力.10.某校计划在课外活动中新増攀岩项目，为了解学生喜欢攀岩和性别是否有关，面向学生开展了一次随机调查，其中参加调查的男女生人数相同，并绘制如下等高条形图，则（ ）参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.()20P K k ≥ 0.05 0.010k3.841 6.635A. 参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人数多B. 参与调查的女生中喜欢攀岩的人数比不喜欢攀岩的人数多C. 若参与调查的男女生人数均为100人，则有99%的把握认为喜欢攀岩和性别有关D. 无论参与调查的男女生人数为多少，都有99%的把握认为喜欢攀岩和性别有关 【答案】AC 【解析】 【分析】由于参加调查的男女生人数相同，则设为m 人，从而可求出男女生中喜欢攀岩的人数和不喜欢攀岩的人数，再代入2K 公式中计算，可得结论.【详解】解：由题意设参加调查的男女生人数均为m 人，则所以参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人数多，A 对B 错；22222(0.560.06)501.10.999m m m mK m m m m -==⋅⋅⋅， 当100m =时，2505010050.505 6.6359999m K ⨯==≈>， 所以当参与调查的男女生人数均为100人，则有99%的把握认为喜欢攀岩和性别有关，C 对D 错， 故选：AC【点睛】此题考查了独立性检验，考查了计算能力，属于基础题.11.已知1(F ，2F 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点，A 为左顶点，O为坐标原点，P 是C 右支上一点，满足2222()()0F P F A F P F A +⋅-=，2222F P F A F P F A +=-，则（ ）A. C 的方程为2244139x y -= B. C的渐近线方程为y = C. 过1FC 的渐近线交于M ，N 两点，则OMN 的面积为38D. 若点Q 是2F 关于C 的渐近线的对称点，则1QOF 为正三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】由2222()()0F P F A F P F A +-=，2222||||F P F A F P F A +=-，可得22||||F A F P =，22F A F P ⊥，及c =，再由a ，b ，c 之间的关系求出a ，b 的值，进而求出双曲线的方程及渐近线的方程，可得A ，B 正确；求过1F与C 的渐近线方程求出交点M ，N 的坐标，求出||MN 的值，再求O 到直线MN 的距离，进而求出OMN 的面积可得C 不正确；求出2F 关于渐近线的对称点Q 的坐标，进而求出||OQ ，1|OF |，1||QF 的值，可得1QOF 为正三角形，所以D 正确．【详解】解：由2222()()0F P F A F P F A +-=，可得2222F P F A =，即22||||F A F P =，由2222||||F P F A F P F A +=-，可得22F A F P ⊥，将x c ==代入双曲线的方程可得2||b y a =，由题意可得2222b ac a c c a b ⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得234a =，294b =，所以双曲线的方程为：2244139x y -=，渐近线的方程：by x a=±=，所以A ，B 正确；C 中：过1FMN的方程为：x =则333x y y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩解得：3x =，32y =，即3(M ，3)2，则333x y y x⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，解得：3x =-，34y =，即3(N -，3)4，所以2233333||()()24242MN =++-=， O 到直线MN 的距离为2233(3)1d ==+， 所以113333||222△===MNO S MN d 所以C 不正确；D 中：渐近线方程为3y x =，设2(3F ，0)的关于渐近线的对称点(,)Q m n ，则3322333n mm ⎧+=⋅⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩解得：3m =-，32n =，即3(Q -，3)2， 所以2233||()()322OQ =-+=，1||3OF =，22133||(3)()322QF =-++=， 所以1QOF 为正三角形，所以D 正确； 故选：ABD ．【点睛】本题考查由向量的关系线段的长度及位置关系，及点关于线的对称，和三角形的面积公式，属于中档题．12.已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，()1f x +是偶函数，且当(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，则（ ）A. ()f x 是周期为2的函数B. ()()201920201f f +=-C. ()f x 的值域为[-1，1]D. ()f x 的图象与曲线cos y x =在()0,2π上有4个交点 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A ，由()f x 为R 上的奇函数，()1f x +为偶函数，得()()4f x f x =-，则()f x 是周期为4的周期函数，可判断A ；对于B ，由()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==，()()()2019111f f f =-=-=-，可判断B ．对于C ，当(]01x ∈，时，()()2f x x x =--，有()01f x ≤＜，又由()f x 为R 上的奇函数，则[)10x ∈-，时，()10f x -≤＜，可判断C ． 对于D ，构造函数()()cos g x f x x =-，利用导数法求出单调区间，结合零点存在性定理，即可判断D ．【详解】根据题意，对于A ，()f x 为R 上的奇函数，()1f x +为偶函数，所以()f x 图象关于1x =对称，(2)()()f x f x f x +=-=- 即(4)(2)()f x f x f x +=-+=则()f x 是周期为4的周期函数，A 错误；对于B ，()f x 定义域为R 的奇函数，则()00f =，()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==；当(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，则()()11121f =-⨯-=，则()()()()201912020111f f f f =-+=-=-=-， 则()()201920201f f +=-；故B 正确．对于C ，当(]01x ∈，时，()()2f x x x =--，此时有()01f x ≤＜， 又由()f x 为R 上的奇函数，则[)10x ∈-，时，()10f x -≤＜， (0)0f =，函数关于1x =对称，所以函数()f x 的值域[11]-，．故C 正确． 对于D ，(0)0f =，且(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，[0,1],()(2)x f x x x ∴∈=--，[1,2],2[0,1],()(2)(2)x x f x f x x x ∴∈-∈=-=--， [0,2],()(2)x f x x x ∴∈=--，()f x 是奇函数，[2,0],()(2)x f x x x ∴∈-=+， ()f x 的周期为4，[2,4],()(2)(4)x f x x x ∴∈=--，[4,6],()(4)(6)x f x x x ∴∈=---， [6,2],()(6)(8)x f x x x π∴∈=--，设()()cos g x f x x =-，当2[0,2],()2cos x g x x x x ∈=-+-，()22sin g x x x '=-++，设()(),()2cos 0h x g x h x x =''=-+<在[0,2]恒成立，()h x 在[0,2]单调递减，即()g x '在[0,2]单调递减，且(1)sin10,(2)2sin20g g '=>'=-+<， 存在00(1,2),()0x g x ∈'=，0(0,),()0,()x x g x g x ∈'>单调递增， 0(,2),()0,()x x g x g x ∈'<单调递减，0(0)1,(1)1cos10,()(1)0,(2)cos20g g g x g g =-=->>>=->，所以()g x 在0(0,)x 有唯一零点，在0(,2)x 没有零点， 即2(]0,x ∈，()f x 的图象与曲线cos y x =有1个交点，当[]24x ∈，时，，()()2cos 6+8cos x x g x f x x x =-=--，则()26+sin g x x x '=-，()()26+sin x x h x g x ='=-，则()2+cos >0h x x '=，所以()g x '在[]24，上单调递增， 且()()3sin3>0,22+sin20g g '='=-<，所以存在唯一的[][]12324x ∈⊂，，，使得()0g x '=， 所以()12,x x ∈，()0g x '<，()g x ()12,x 单调递减，()14x x ∈，，()>0g x '，()g x 在()14x ，单调递增，又()31cos30g =--<，所以()1(3)0g x g <<， 又()()2cos2>0,4cos4>0g g =-=-，所以()g x 在()12,x 上有一个唯一的零点，在()14x ，上有唯一的零点， 所以当[]24x ∈，时，()f x 的图象与曲线cos y x =有2个交点，，当[]46x ∈，时，同[0,2]x ∈，()f x 的图象与曲线cos y x =有1个交点， 当[6,2],()(6)(8)0,cos 0x f x x x y x π∈=--<=>，()f x 的图象与曲线cos y x =没有交点，所以()f x 的图象与曲线cos y x =在()0,2π上有4个交点，故D 正确； 故选：BCD ．【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性、周期性、两函数图像的交点，属于较难题. 三、填空题：13.261()2x x -展开式中的常数项是 . 【答案】1516【解析】【详解】试题分析：通项为261231661()()(1)22rrrr r r r r T C x C x x---+=-=-，令1230r -=，得4r =，所以常数项为422456115()()216T C x x =-=. 考点：二项展开式系数【方法点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.14.已知向量(cos θ=a ，1,tan 3θ⎛⎫= ⎪⎝⎭b ，且//a b ，则cos2θ=________.【答案】59- 【解析】 【分析】直接利用向量共线的充要条件列出方程求解，然后利用二倍角公式求解即可．【详解】解：向量(cos θ=a ，1,tan 3θ⎛⎫= ⎪⎝⎭b ，且//a b ，∴可得tan cos θθ=，sin θ∴=，225cos212sin 129θθ∴=-=-⨯=-． 故答案为：59-． 【点睛】本题考查向量共线的充要条件，二倍角的余弦函数的应用，考查计算能力，属于基础题．15.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)(0)F c c >，两条平行线1l ：y x c =-，2l ：y x c =+交椭圆于A ，B ，C ，D 四点，若以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形面积为22b，则椭圆的离心率为________. 【答案】22-【解析】【分析】直线CD的方程与椭圆的方程联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长CD，再求两条平行线间的距离，进而求出平行四边形的面积，再由题意可得a，c的关系，进而求出椭圆的离心率．【详解】解：设1(C x，1)y，2(D x，2)y，联立直线1l与椭圆的方程：22221y x cx ya b=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理可得：22222222()20a b x a cx a c a b+-+-=，212222a cx xa b+=+，22221222a c a bx xa b-=+，所以42222221212222224()22||11()4242()a c a cb aCD x x x x ba b a b-=++-=-=++，直线1l，2l间的距离22d c==，所以平行四边形的面积2222||222aS CD d b c b===，整理可得：222220c ac a+-=，即22220e e+-=，解得：22e=-±，由椭圆的性质可得，离心率22e=-，故答案为：22-．【点睛】本题考查椭圆的性质及直线与椭圆的综合，属于中档题．16.已知ABC 是边长为4的等边三角形，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，将ADE 沿DE 折起，使平面ADE ⊥平面BCED ，则四棱锥A BCED -外接球的表面积为________，若P 为四棱锥A BCED -外接球表面上一点，则点P 到平面BCED 的最大距离为________.【答案】 (1). 52π3 (2). 3【解析】 【分析】由题意画出图形，找出四棱锥外接球的球心，利用勾股定理求半径，代入球的表面积公式求球的表面积，再由球的对称性可知，球表面上的点到平面BCED 距离的最大值为半径加球心到面的距离.【详解】解：如图，取BC 的中点G ，连接,,DG EG AG ，AG 交DE 于K ，可知DG EG BG CG ===，则G 为等腰梯形BCED 的外接圆的圆心，过G 作平面BCED 的垂线，再过折起后的ADE 的外心作平面ADE 的垂线，设两垂线的交点为O ，则O 为四棱锥A BCED -外接球的球心，因为ADE 的边长为2，所以OG HK ==，所以四棱锥A BCED -外接球的半径3OB ==,所以四棱锥A BCED -外接球的表面积为25243ππ⨯=⎝⎭，由对称性可知，四棱锥A BCED -外接球的表面上一点P 到平面BCED 的最大距离为：=故答案为：52π3【点睛】此题考查空间中点、线在、面间的距离计算，考查空间想象能力，属于中档题. 四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，2232S a a =+. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2212log n n nn b a a -=+，求数列{}n b 的前n 项和. 【答案】（1）2nn a =；（2）13(23)(1)2nn T n n n ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）设正项等比数列{}n a 的公比为q ，由题设条件列出q 的方程，求出q 及n a ；（2）由题意得1(21)()22nn b n n =-+，利用分组求和及错位相减法求和求出数列{}n b 的前n 项和．【详解】解：（1）因为2232S a a =+，所以1232a a a +=， 所以220q q --=，解得2q.所以2n n a =.（2）由题意得1(21)22nn b n n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 令1(21)2nn c n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其前n 项为n P ，则211113(21)222nn P n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋯+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2311111113(23)(21)22222n n n P n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相减得：2311111112(21)222222n n n P n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++--⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 1111142112(21)12212n n n -+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+⋅--⋅ ⎪⎝⎭- 11311(21)222n n n -+⎛⎫⎛⎫=---⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以13(23)2nn P n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，而(1)2(12)2(1)2n n n n n ++++=⨯=+， 所以数列{}nb 的前n 项和13(23)(1)2nn T n n n ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算及分组求和、错位相减法求和在数列求和中的应用，属于中档题．18.在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 对边，且ABC 同时满足下列四个条件中的三个：①2223a cb ac +=-；②21cos22sin2A A +=；③a =2b =. （1）满足ABC 有解的序号组合有哪些？ （2）在（1）的组合中任选一组，求ABC 的面积.【答案】（1）①③④或②③④；（2）答案不唯一，具体见解析. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理由条件①得cos B =，由条件②得3A π=，由于233A B πππ+>+=，与A B π+<矛盾，所以ABC 不能同时满足①②，经验证①③④作为条件和②③④作为条件，ABC 都有解，（2）若选择组合①③④，由cos B 计算出sin B ，再利用三角形面积公式即可求出结果，若选择组合②③④，因为2B π=，利用勾股定理求出c 的值，再利用三角形面积公式即可求出结果．【详解】（1）由条件①得2221cos 22a c b B ac ac +-==⨯= 由条件②得212cos 11cos A A +-=-，即22cos cos 10A A +-=， 解得1cos 2A =或cos 1A =-（舍），因为(0,π)A ∈，所以π3A =.因为12πcos cos23B =<-=，(0,π)B ∈， 而cos y x =在(0,π)单减，所以2ππ3B <<. 于是π2ππ33A B +>+=，与πA B +<矛盾. 所以ABC 不能同时满足①②. 当①③④作为条件时：有2222cos b a c ac B =+-，即221c c +=，解得1c =. 所以ABC 有解. 当②③④作为条件时：有sin sin a b A B=2sin B =.解得sin 1B =. 因为(0,π)B ∈， 所以π2B =，ABC 为直角三角形， 所以ABC 有解.综上所述，满足有解三角形的所有组合为：①③④或②③④. （2）若选择组合①③④： 因为(0,π)B ∈，所以2236sin 1cos 133B B ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭. 所以ABC 的面积11622sin 3(21)2232S ac B -==⨯⨯-⨯=. 若选择组合②③④： 因为π2B =， 所以222(3)1c =-=所以ABC 的面积13132S =⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的运用，考查了考生的计算能力和解决问题的能力，属于中档题．19.如图，在四棱锥S ABCD -中，SA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为平行四边形，60ABC ∠=︒，5SA =，6AB =，3AD =，M 为SD 上一点.（1）求证：平面AMC ⊥平面SAD ；（2）若//BS 平面AMC ，求面SAB 与面AMC 所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（25102. 【解析】 【分析】（1）由SA ⊥平面ABCD ，得SA AC ⊥，在ABC 中，利用余弦定理求出AC 的长，从而可得222AC BC AB +=，由此得AC BC ⊥，则有AC ⊥平面SAD ，进而可证得平面ACM ⊥平面SAD ；（2）由（1）可知,,SA AC AD 两垂直，所以以A 为原点，以AC 、AD 、AS 所在方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，利用空间向量求二面角即可.【详解】（1）证明：因为SA ⊥平面ABCD ， AC ⊂平面ABCD ，所以SA AC ⊥. 在ABC 中，2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠1369263272=+-⨯⨯⨯=， 所以33=AC ，因为222AC BC AB +=， 所以ACB △为直角三角形，AC BC ⊥.因为ABCD 为平行四边形，所以//AD BC ，所以AC AD ⊥. 又SAAD A =， SA ⊂平面SAD ， AD ⊂平面SAD ，所以AC ⊥平面SAD .又AC ⊂平面ACM ，所以平面ACM ⊥平面SAD . （2）连接BD ，设AC 与BD 交点为N ，连接MN ，因为//BS 平面ACM ，BS ⊂平面SBD ，平面ACM ⋂平面SBD MN =， ∴//BS MN .∵N 是BD 中点，∴M 是SD 中点.如图，以A 为原点，以AC 、AD 、AS 所在方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -.于是()0,0,0A ，()0,0,5S ，33,()3,0B -，()33,0,0C ，()0,3,0D ，350,,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭(0,0,5)AS =，(33,3,0)AB =-，(33,0,0)AC =，350,,22AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭设()1111,,n x y z =为平面SAB 的一个法向量，则1100n AB n AS ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11100y z -==⎪⎩，取1(1,3,0)n =. 设()2222,,n x y z =为平面ACM 的一个法向量，则220n AC n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2220350x y z =⎧⎨+=⎩，取2(0,5,3)n =-. 121212cos ,68n n n n n n ⋅==-. 设平面SAB 与平面ACM 所成角的平面角的大小为θ， 则125coscos ,68n n θ==所以平面SAB 与平面ACM 所成角【点睛】此题考查了空间图形中证明面面垂直，利用空间向量求二面角，考查了推理能力和计算能力，属于中档题.20.受新冠肺炎疫情影响，2020年春节过后，广大市民积极响应国家号召居家防疫，工厂企业延迟开工，大中小学延迟开学，“网上办公”“网上教学”“网上购物”等成为人们的生活常态.为了解用户流量需求，提升服务水平，某市移动公司面向用户进行了一次使用手机流量上网时间的问卷调查，通过随机抽样，得到100人每天使用流量上网时间Z （单位：分钟）的数据，并统计如下：（1）由频率分布表可以认为，用户每天使用流量上网时间Z 服从正态分布(,958)N μ，μ近似为这100人使用流量上网时间的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表），求(60.6153.6)P Z <≤；（2）记X 表示全市100万用户中每天使用流量上网时间不低于60.6分钟的人数，在（1）的条件下，求EX ；（3）在（1）的条件下，移动公司在疫情防控期间针对用户制定下表中的奖励方案： ①每天使用流量上网时间不低于μ的用户每天可2次获赠随机流量，低于μ的用户每天可1次获赠随机流量；②每次获赠的随机流量和对应的概率如表所示.设某用户获赠的随机流量为ξ，求ξ的分布列及数学期望.31≈；②若()2~,Z Nμσ，则()0.6827P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9545P Z μσμσ-<<+=，(33)0.9973P Z μσμσ-<<+=.【答案】（1）0.8186；（2）841350EX =；（3）分布列见解析；期望为200. 【解析】 【分析】（1）由题意知91.6μ=，31σ≈，再根据正态曲线的性质求出概率；（2）使用流量上网时间不低于60.6分钟的概率为0.84135，6~(10X B ，0.84135)，由此能求出EX ．（3）由题意知1()()2P Z P Z μμ<=>=，ξ的所有可能取值为100，200，300，400，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列及数学期望． 【详解】解：（1）由题意可知，300.05500.1700.2900.31100.151300.121500.08μ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯91.6=.因为31σ=≈，所以60.631μ=-，153.6231μ=+⨯，故0.68270.9545(60.6153.6)(2)0.818622P Z P Z μσμσ<≤=-<<+=+=（2）因为每位用户每天使用流量上网时间不低于60.6分钟的概率0.6827(60.6)()0.50.841352P Z P Z μσ≥=≥-=+=. 所以()6~10,0.84135X B ，因此6100.84135841350EX =⨯=. （3）由题意可知，1()()2P Z P Z μμ<=≥=， ξ的所有可能取值为100，200，300，400.121(100)233P ξ==⨯=，111227(200)2323318P ξ==⨯+⨯⨯=，1212(300)22339P ξ==⨯⨯⨯=，1111(400)23318P ξ==⨯⨯=，所以分布列为：所以1721100200300400200318918E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，属于中档题．21.已知O 为坐标原点，F 为抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点，过F 斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，AOB 的面积为（1）求抛物线C 的方程；（2）若P 为C 上位于第一象限的任一点，直线l 与C 相切于点P ，连接PF 并延长交C 于点M ，过P 点作l 的垂线交C 于另一点N ，求PMN 面积S 的最小值.【答案】（1）28y x =；（2）64.【解析】 【分析】（1）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由题可知，直线AB 的方程为2py x =-，将其与抛物线的方程联立，写出韦达定理，于是12||y y -，所以2121||22AOB p S y y p ∆=⨯⨯-==，解出p 的值即可得抛物线C 的方程；（2）设0(P x ，00)(0)y y >，211(,)8y M y ，222(,)8y N y ，切线l 的方程为00()x x t y y -=-，因为M 、F 、P 三点共线，所以//FM FP ，利用平面向量共线的坐标运算可得220101(2)(2)088y y y y ---=，因为01y y ≠，所以0116y y =-．联立切线l 与抛物线的方程，消去x ，结合△0=可得04y t =，所以直线PN 的方程为000()4yy y x x -=--，然后利用点到直线的距离公式，得点M 到直线PN的距离2310010|44|y y y y y d +--=代入1016y y =-对d 的表达式进行化简．再次联立直线PN 与抛物线的方程，消去x，利用弦长公式求得||PN =，而1||2S d PN =，将d 和||PN 均代入，并结合均值不等式即可得解．【详解】解：（1）由已知，直线AB 的方程为2py x =-，设()11,A x y ，()22,B x y ， 联立222y px p y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，可得2220y py p --=，且122y y p +=，212y y p =-.于是12y y -===.212122AOB p S y y p =⨯⨯-==△4p =. 故抛物线C 的方程为28y x =.（2）设()()000,0P x y y >，211,8y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,8y N y ⎛⎫⎪⎝⎭，切线l 的方程为()00x x t y y -=-，则有2112,8y FM y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2002,8y FP y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由M ，F ，P 三点共线，可知//FM FP ， 即22010122088y y y y ⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为01y y ≠，化简可得0116y y =-. 由()0028x x t y y y x⎧-=-⎨=⎩，可得2008880y ty ty x -+-=， 因为直线l 与抛物线相切，故2200643240t ty y ∆=-+=，故04y t =. 所以直线PN 的方程为：()0004y y y x x -=--，即3004408y y x y y +--=，点M 到直线PN的距离为d =将1016y y =-代入可得，()2216yd +==.联立300244088y y x y y y x ⎧+--=⎪⎨⎪=⎩，消x 可得，2300032320y y y y y +--=， 所以02032y y y +=-，20032y y y =--.0200032PN y y y =-=+= 故23220001616111228y y S d PN y +⎛⎫+=== ⎪⎝⎭，330011616488y y ⎛⎛⎫=+≥= ⎪ ⎝⎭⎝，，当且仅当04y =时，“=”成立， 此时，PMN 面积S 的最小值为64.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，多次用到直线与曲线的方程联立，还涉及点到直线的距离公式、弦长公式、均值不等式等基本公式，综合性很强，计算量也非常大，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于难题．22.已知函数2()e ()x f x a x a =-∈R .（1）若2a =，求函数()f x 在0x =处的切线方程； （2）讨论函数()f x 极值点的个数；（3）若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，且212x x >，证明：10ln 2x <<.【答案】（1）220x y -+=；（2）答案不唯一，具体见解析；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）先求出切线的斜率(0)f '，再写出切点坐标(0，(0))f ，最后由点斜式写出直线的方程． （2）由已知：()2x f x ae x '=-，令()2x g x ae x =-，则讨论函数()f x 极值点的个数，转化为讨论()g x 的零点的情况，分两大类：当0a 时，当0a >时，函数()g x 的单调性，零点个数；当0a >时，令()20x g x ae '=-=，解得2x ln a =，得2x ln a =时，函数()g x 取得最小值222ln a-．分两种情况①当2220lna-，②当2220ln a -<，()g x 的零点个数．（3）由题意可知，20a e<<，且112x ae x =，222xae x =，21(0)x x >>，两式相除得21212x x x e x -=>，并两边取自然对数可得2211x x x ln x -=，令21x t x =，则1(2)1lntx t t =>-，令()(2)1lnth t t t =>-，求导，分析单调性，函数值取值范围．进而得出答案． 【详解】解：（1）当2a =时，2()2e xf x x =-，()2e 2xf x x '=-， 所以(0)2f =，(0)2f '=，所以切线方程为220x y -+=.（2）()e 2x f x a x '=-，令()e 2xg x a x =-，则讨论函数()f x 的极值点的个数，转化为讨论()g x 的零点的情况.注意到()e 2xg x a '=-，e 0x >，可知当0a ≤时，()0g x '≤，函数()g x 在(,)-∞+∞上单调递减，又当x →-∞时，()g x →+∞，当x →+∞时，()g x →-∞，此时()g x 有一个零点0x ，且当()0,x x ∈-∞时，()0g x >，()f x 单增，当()0,x x ∈+∞时，()0g x <，()f x 单减，函数()f x 有一个极大值点0x .当0a >时，令()e 20xg x a '=-=，解得2lnx a =.因为当2,ln x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭）时，()0g x '<，当2ln ,+x a ⎛⎫∈∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，所以2ln x a =时，函数()g x 取得最小值222ln a -. 当222ln0a -≥，即2ea ≥时，此时函数()0g x ≥，所以()0f x '≥，函数()f x 单调递增，无极值点. 当222ln0a -<，即20e a <<时，因为2ln 0g a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以当x →-∞时，()g x →+∞，当x →+∞时，()g x →+∞，所以存在122lnx x a<<，使得()()120g x g x ==.当()1,x x ∈-∞时，()0g x >，()f x 单增，当()12,x x x ∈时，()0g x <，()f x 单减，当()2,x x ∈+∞时，()0g x >，()f x 单增.此时，()f x 存在极大值点1x 、极小值点2x ，共2个极值点.综上，当0a ≤时，函数()f x 有一个极大值点，当20ea <<时，函数()f x 存在1个极大值点、1个极小值点，当2ea ≥时，函数()f x 无极值点. （3）由题意可知，20ea <<，且11e 2xa x =，222x ae x =. 因此210x x >>，且2121e2x x x x -=>，并两边取自然对数可得2211ln xx x x -=，令21x t x =，则1ln (2)1t x t t =>-， 令ln ()1t h t t =-，211ln ()(1)t th t t '--=-，令1()1ln F t t t =--，则22111()tF t t t t-'=-=， 当2t >时，()0F t '<，函数()F t 单调递减，所以1()(2)ln 202F t F <=-<， 所以()0h t '<，函数()h t 单调递减，所以()ln 2h t <，即10ln 2x <<.【点睛】本题考查导数的综合应用，切线方程、极值，不等式的证明，属于难题．。

2019年高考适应性练习（一）文科数学参考答案一、选择题B C C A D B C B A A D C二、填空题13. 210x y -+= 14. 27-2 三、解答题17.解：（1）因为sin(+)sin 03c A a C π-=，所以1sin (sin )sin sin C 02C A A A -=,所以1cos sin 022A A -=，即tan A = ……………4分 因为(0,)A π∈，所以3A π=； ……………6分（2）因为2222cos a b c bc A =+-，所以2281624cos 3c c π=+-⨯，所以24120c c --=，因为0c >，所以6c =， ……………10分所以11sin 46sin 223ABC S bc A π∆==⨯⨯⨯=. …………12分 18.（1）证明：依题意，PO ⊥平面ABCD ，又AB ⊂平面ABCD ,所以PO AB ⊥. ……………3分又AD AB ⊥,AD PO O =,所以AB ⊥平面PAD . ……………5分又AB ⊂平面PAB ,所以平面PAB ⊥平面PAD . ……………6分（2）因为PO ⊥平面ABCD ，O 是AD 的中点，所以PAD ∆是等腰三角形，又2AD =,PA =1PO =. ……………8分 因为M 是PB 的中点，所以M 到平面PDC 的距离等于点B 到平面PDC 距离的一半， ………10分 连接BD ，所以1122M PDC B PDC P BDC V V V ---==111112(42)1.232323BDC S PO ∆=⨯⋅=⨯⨯⨯⨯⨯= ………………………12分19.解：（1）对线下培训满意度更高．……………2分理由如下：（i）由茎叶图可知：在线上培训中，有72%的学员满意度评分至多79分，在线下培训中，有72%的学员评分至少80分．因此学员对线下培训满意度更高．（ii）由茎叶图可知：线上培训满意度评分的中位数为76分，线下评分的中位数为85分．因此学员对线下培训满意度更高．（iii）由茎叶图可知：线上培训的满意度评分平均分高于80分；线下培训的平均分低于80分，因此学员对线下培训满意度更高．（iv）由茎叶图可知：线上培训的满意度评分在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布；线下培训的评分分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布，又两种培训方式打分的分布区间相同，故可以认为线下培训评分比线上培训打分更高，因此线下培训的满意度更高. ……………4分以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．（2）由茎叶图知798079.52m+==．……………6分（i）参加线上培训满意度调查的25名学员中共有7名对线上培训非常满意，频率为7 25，又本次培训共300名学员，所以对线上培训满意的学员约为73008425⨯=人. …8分（ii）列联表如下：……………10分于是250(181877)9.6825252525k⨯-⨯==⨯⨯⨯，……………………11分因为9.687.879>，所以有99.5%的把握认为学员对两种培训方式的满意度有差异．……………12分20.解：（1）由题意可得：123caa c⎧=⎪⎨⎪+=⎩,解得21ac=⎧⎨=⎩，所以2223b a c=-=. ………3分所以椭圆C 的方程为22143x y +=. …………4分 （2）当MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，设11(,)M x y ，22(,)N x y ,则中点00(,)T x y ， 由22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得2222(43)84120k x k x k +-+-=， 则221212228412,4343k k x x x x k k -+==++， ……………6分 所以20002243,(1)4343k k x y k x k k -==-=++， ……………7分 因为MN 的中垂线的方程为001()y y x x k-=--， 令0x =，得002113434k t x y k k k k=+==++， ……………8分当0k >时，34k k +≥，则(0,12t ∈； ……………9分 当0k <时，34k k +≤-[,0)12t ∈-， …………10分 当MN 斜率不存在时，显然0t =， ………………………………11分综上，t的取值范围是[. ……………12分 21.解：（1）()f x '=2e [(2)1]x x a x a --+-+， …………1分令()0f x '=，得到122a x ---=，22a x --=. …………2分 令()0f x '>，得12x x x <<，所以()f x在单调递增， ……………4分令()0f x '<，得1x x <或2x x >，所以()f x 在(-∞，)+∞单调递减. ……………6分 （2）由（1）知，(0)1f a '=-， ……………7分当1a <时，(0)0f '>，因为1210x x a =-<，且20x =>， 由（1）可知，()f x 在2(0,)x 单调递增，此时若2(0,)x x ∈，()(0)1f x f >=， 与0x ≥时，()1f x ≤矛盾. …………………………9分当1a ≥时，(0)0f '≤，20x =≤， 由（1）可知，()f x 在(0,)+∞单调递减，因此对∀[0,)x ∈+∞，()(0)1f x f ≤=，此时结论成立. …………11分 综上，a 的取值范围为1a ≥. ……………12分22. 解：（1）直线l 的普通方程为sin cos sin 2cos 0x y αααα--+=. ………… 2分因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ+=，所以曲线C 的直角坐标方程0218622=+--+y x y x . ……………… 4分（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程： 04)cos (sin 42=+α+α-t t . ……………………… 6分 因为直线l 与曲线C 有两个不同的交点，所以上述方程有两个不同的解，设为12,t t ， 则 =+21t t )cos (sin 4α+α，421=t t . …………………………………… 7分 并且216(sin cos )1632sin cos 0αααα∆=+-=>， 注意到πα<≤0 ，解得20π<α<. …………………………………… 8分 因为直线l 的参数方程为标准形式，所以根据参数t 的几何意义， 有=+22||||PB PA 2212t t +==-+212212)(t t t t 8)cos (sin 162-α+α 16sin 28α=+，因为20π<α<，所以sin 2(0,1]α∈，16sin 28(8,24]α+∈. 因此22||||PB PA +的取值范围是(8,24]. …………………………… 10分23. 解：（1）当2=m 时，只需解不等式6|32||12|≤-++x x .当12x <-时，不等式化为(21)(23)6x x -+--≤，解得112x -≤<-； 当1322x -≤≤时，不等式化为(21)(23)6x x +--≤，解得1322x -≤≤； 当32x >时，不等式等价于(21)(23)6x x ++-≤，解得322x <≤ 综上，不等式的解集为{}|12x x -≤≤. ……………… 4分（2）因为212326x m x x +-+-≤-的解集包含区间13[,]22-，所以当13[,]22x ∈-时，212326x m x x +-+-≤-成立，也就是 21(23)(26)x m x x +---≤--，即213x m +-≤成立. ………………… 6分 解上述不等式得 3213x m -≤+-≤，即1222m m x --≤≤-. ……………… 7分 由已知条件13[,][1,2]2222m m -⊆---， 所以11223222m m ⎧-≥--⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩， …………………………………………………… 9分 解得11m -≤≤.所以m 的取值范围是{}|11m m -≤≤. ………………………………… 10分。

（文数第6题图片）参考答案一、选择题B C D C B C C B A A A B 二、填空题 13.6π 14. 7 15. 122n n +--16. 3 三、解答题17.解:(1)由正、余弦定理得222222223a c b a b c abc abc c+-+-+=， ………………2分即222a abc =……………………………………………………4分整理得：b =……………………………………………………5分（2）由cos 2.B B =得2sin()26B π+=，即sin(+=16B π），(0,)B π∈Q 62B ππ∴+=3B π∴=. ……………………………………7分 2222cos b a c ac B =+-Q 2232a c ac ac ac ac ∴=+-≥-=3ac ∴≤（当且仅当a c ==……………………………10分11sin 322S ac B ∴=≤⨯= 所以ABC ∆ ……………………………12分 18.证明:（1）取BD 中点O ，连接,OM OE ，因为,O M 分别为,BD BC 中点，所以//OMCD 且 ………………………1分由已知//EF AB 且12EF AB =，又在菱形ABCD 为菱形中，AB 与CD 平行其相等，所以//EF CD 且12EF CD =. ……………………………3分于是所以EF OM //且EF OM=,所以四边形OMEF 为平行四边形，所以//MF OE . …………………4分 又OE ⊂平面BDE 且MF ⊄平面BDE ，所以//MF 平面BDE . ……………………………6分（2）由（1）得//FM 平面BDE ， 所以F 到平面BDE 的距离等于M 到平面BDE 的距离． ……………7分取AD 的中点H ，因为EA ED =，所以EH AD ⊥， 因为平面ADE ⊥平面ABCD ，平面ADE I 平面ABCD AD =，EH ⊂平面ADE ，所以EH ⊥平面ABCD . ………………………………………9分由已知，可得EH =BE ==所以等腰三角形BDE ∆的面积12BDES ∆=⨯=.又因为111(442222BDM BCD S S ∆∆==⨯⨯⨯⨯= 设F 到平面BDE 的距离为h ， 由E BDM M BDE V V --=得1133BDM BDE S EH S h ∆∆⋅⋅=⋅⋅, ………………………11分即1133h ⨯=⨯⨯解得h =,即F 到平面BDE ． ………………………12分 19. 解：（1）因为参加社会实践活动的时间在)2,0[内的有1人，对应的频率为：05.02025.0=⨯, 所以样本容量1200.05n ==. …………………………2分 根据频率分布直方图，该校学生每周参加社会实践活动时间的平均值为:)11025.09075.07125.0515.031.01025.0(2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯8.5=小时.……………………………………4分 （2）由题意得“不经常参加社会实践”的学生有：10.12205+⨯⨯=，所以完整的列联表：……………………………………6分所以2K 的观测值：220(41213) 5.934 3.841713155k ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯. …………………8 分所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下可以认为青少年科技创新大赛成绩优秀与经常参加社会实践活动有关系. ……………………………………9 分 （3）由（2）可知不经常参加社会实践活动的有5人，其中成绩优秀的有1人，不妨设编号为1，成绩一般的学生有4人，编号依次为,,,a b c d .所有参加培训的情况有：(1,),(1,),(1,),(1,),(,),a b c d a b (,),(,),(,),(,),(,)a c a d b c b d c d ，共10种.…………………………10 分恰好一人成绩优秀的情况有(1,),(1,),(1,),(1,)a b c d ,共4种. ………………11 分所以由古典概型计算公式得：42105=. ………………………12分 20. 解：（1）由题意可知c =1122(,),(,)A x y B x y ，代入椭圆可得：22221122222211x y x y a b a b+=+=，，两式相减并整理可得， 2221221112y x y y b y x x x a-+⋅=--+，即22AB OD b k k a ⋅=-. ……………………………2分又因为12AB k =，12OD k =-，代入上式可得，224a b =. 又2222,3a b c c =+=，所以224,1a b ==，故椭圆的方程为2214x y +=. …………………………4分 （2）由题意可知，(F ，当MN 为长轴时，OP 为短半轴，此时21115=+1=||||44MN OP +； ……………………………………………5分 否则，可设直线l的方程为(y k x =+，联立2214(x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，消y 可得，2222(1+4)1240k x x k ++-=， 设1122(,),(,)M x y N x y ，则有：2121221241+4k x x x x k -+==， ………………………………7分所以21124+4|||1+4k MN x x k =-= ………………………………8分设直线OP 方程为1y x k =-，联立22141x y y xk ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，根据对称性，不妨令(P ，于是||OP == ……………………10分故2222222111+41+445=+=||||4+44+44+44k k k MN OP k k k ++， 综上所述，211||||MN OP +为定值54. …………………………………12分 21. 解：（1）当0b =时，()cos f x x a x =-.由题意，()1sin 0f x a x '=+≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立. ……………2分 若0a =，不等式显然成立； 若0a <，()max 1sin ,(0,)x x a≤-∀∈+∞，所以10a -≤<；若0a >，()min sin ,(0,)x x a≥-∀∈+∞，所以01a <≤； 综上，a 的取值范围是[1,1]-. ………………………………………5分（2）若0b ≥，()1sin b f x a x x '=++10b ba x x>-+>≥，于是()f x 在(0,)+∞单增， 与存在12,x x 满足12()()f x f x =矛盾. 所以0b <. ……………………7分 因为12()()f x f x =，所以111222cos ln cos ln x a x b x x a x b x -+=-+, 所以()()212121ln ln cos cos b x x x x a x x --=---．不妨设120x x <<，由（1）知cos y x x =-在(0,)+∞单调递增， 所以2211cos cos x x x x ->-，即2121cos cos x x x x -<-.所以()()()21212121ln ln cos cos (1)b x x x x a x x a x x --=--->--． 又01a <<，所以212101ln ln x x b a x x ->>--． ……………………………9分下面证明2121ln ln x x x x ->-21x t x =，则1t >．于是证明上述不等式等价于证明1ln t t ->ln 0t <．事实上，设)()ln 1g t t t =>，则()210g t -'=<在(1,)+∞恒成立． 所以()g t 在(1,)+∞单调递减，故()()10g t g <=，从而ln 0t <得证．于是21211ln ln x x b a x x ->>-- ………………………12分 22. 解：（1）直线l 的参数方程为⎩⎨⎧α+=α+=sin 2cos 3t y t x ，普通方程为sin cos 2cos 3sin 0x y αααα-+-=， ……………………2分将ρθρ==代入圆C 的极坐标方程θ=ρcos 2中,可得圆的普通方程为0222=-+x y x ， ………………………………4分（2）解：直线l 的参数方程为⎩⎨⎧α+=α+=sin 2cos 3t y t x 代入圆的方程为0222=-+x y x 可得：07)sin 4cos 4(2=+α+α+t t （*），且由题意 )sin (cos 421α+α-=+t t ，721=⋅t t , ………………………5分||||||||||1||1MB MA MB MA MB MA ⋅+=+12124|sin cos |7t t t t αα+==+. ………7分 因为方程（*）有两个不同的实根，所以028)sin (cos 162>-α+α=∆，即|sin cos |αα+> ………………………………………………8分又sin cos )[4πααα+=+∈， ………………………9分所以|sin cos |αα+∈.因为|sin cos |αα+∈，所以4|sin cos |7αα+∈ 所以724||1||1772≤+<MB MA . …………………………………………10分 23. 解：（1）当1=a 时，()12112+++=+++=x x x a x x f ，()⇒≤1x f 1121≤+++x x ， ………………………………1分所以 ⎩⎨⎧≤-----≤11211x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≤--+-<<-1121211x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≤+++-≥112121x x x ， 即⎩⎨⎧-≥-≤11x x 或⎪⎩⎪⎨⎧-≥-<<-1211x x 或⎪⎩⎪⎨⎧-≤-≥3121x x ， ……………………………3分解得1-=x 或211-<<-x 或11.23x -≤<-．所以原不等式的解集为1{|1}3x x -≤≤-． ……………………………4分（2）因为P ⊆⎥⎦⎤⎢⎣⎡--41,1，所以当⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈41,1x 时，不等式()21f x x ≤-+，即2121x a x x +++≤-+在⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈41,1x 上恒成立， ……………………5分当⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈21,1x 时，1212+-≤--+x x a x ，即2≤+a x ，所以22≤+≤-a x ，x a x -≤≤--22在⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈21,1x 恒成立所以min max )2()2(x a x -≤≤--，即251≤≤-a ……………………7分 当⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈41,21x 时，1212+-≤+++x x a x 即x a x 4-≤+ 所以x a x x 44-≤+≤，x a x 53-≤≤在⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈41,21x 恒成立 所以min max )5()3(x a x -≤≤，即4543≤≤-a ……………………9分 综上，a 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-45,43. …………………………………10分。

山东省烟台市高三高考适应性练习（一）数学（文）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集，则（）A. B. C. D.2. 已知复数是纯虚数（是虚数单位），则实数等于（）A. -4B. 4C. 1D. -13. 在区间内任取一实数，的图像与轴有公共点的概率为（）A. B. C. D.4. 双曲线的离心率为2，则双曲线的渐近线方程是（）A. B. C. D.5. 将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，若在上为增函数，则的最大值为（）A. 3B. 2C.D.6. 《算法统宗》是我国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该著作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的转变，对我国民间普及珠算起到了重要的作用.如果所示的程序框图的算法思路源于该著作中的“李白沽酒”问题.执行该程序框图，若输出的的值为0，则输入的的值为（）A. B. C. D.7. 已知为等比数列，数列满足，且，则数列的前项和为（）A. B. C. D.8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A. B. C. D.9. 已知奇函数的定义域为，且对任意，若当时，则（）A. B. C. -1 D. 110. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，两两垂直，则球的体积为（）A. B. C. D.11. 某传媒大学的甲乙丙丁四位学生分别从影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持四门课程中选修一①甲和丙均不选播音主持，也不选广播电视；②乙不选广播电视，也不选公共演讲；③如果甲不选公共演讲，那么丁就不选广播电视.若这些信息都是正确的，依据以上信息推断丙同学选修的课程是（）A. 影视配音B. 广播电视C. 公共演讲D. 播音主持12. 已知函数，.设为实数，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若平面向量满足，，则向量与的夹角为__________．14. 已知实数满足条件，则的最大值是__________．15. 已知在平面直角坐标系中，依次连接点得到折线，若折线所在的直线的斜率为，则数列的前项和为__________．16. 已知抛物线的焦点为是抛物线上一点，若的延长线交轴的正半轴于点，交抛物线的准线于点，且，则=__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在中，角所对的边分别为，且.（1）求的值；（2）若，求面积的最大值.18. 如图所示，在五面体中，四边形为菱形，且，为的中点.（1）求证：平面；（2）若平面平面，求点到平面的距离.19. 某中学为调查该校学生每周参加社会实践活动的情况，随机收集了若干名学生每周参加社会实践活动的时间（单位：小时），将样本数据绘制如图所示的频率分布直方图，且在[0,2)内的学生有1人.（1）求样本容量，并根据频率分布直方图估计该校学生每周参加社会实践活动时间的平均值；（2）将每周参加社会实践活动时间在[4,12]内定义为“经常参加社会实践”，参加活动时间在[0,4)内定义为“不经常参加社会实践”.已知样本中所有学生都参加了青少年科技创新大赛，有13人成绩等级为“优秀”，其余成绩为“一般”，其中成绩优秀的13人种“经常参加社会实践活动”的有12人.请将2×2列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为青少年科技创新大赛成绩“优秀”与经常参加社会实践活动有关；（3）在（2）的条件下，如果从样本中“不经常参加社会实践”的学生中随机选取两人参加学校的科技创新班，求其中恰好一人成绩优秀的概率.参考公式和数据：.20. 已知椭圆的焦距为，斜率为的直线与椭圆交于两点，若线段的中点为，且直线的斜率为.（1）求椭圆的方程；（2）若过左焦点的斜率为的直线与椭圆交于两点，为椭圆上一点，且满足，问：是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由.21. 设函数，（1）若，且在（0，+∞）为增函数，求的取值范围；（2）设，若存在，使得，求证：且.22. 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.（1）求直线和圆的普通方程；（2）已知直线上一点，若直线与圆交于不同两点，求的取值范围.23. 已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）设关于的不等式的解集为，且，求的取值范围.数学（文）试题（解析版）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：解方程求得集合B，然后求出，最后再求．详解：由题意得，∴．故选B．点睛：本题考查二次方程的解法和集合的运算，属容易题，主要考查学生的运算能力．2. 已知复数是纯虚数（是虚数单位），则实数等于（）A. -4B. 4C. 1D. -1【答案】C【解析】分析：化简复数为代数形式，再根据纯虚数的概念求得实数的值．详解：，∵复数为纯虚数，∴且，解得．故选C．点睛：本题考查复数的基本概念，解题的关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．3. 在区间内任取一实数，的图像与轴有公共点的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先由二次函数的判别式大于等于零求出实数的取值范围，再根据几何概型概率公式求解．∴，解得或．由几何概型概率公式可得所求概率为．故选D．点睛：解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围，当考察对象为点，且点的活动范围在线段上时，可用线段长度比计算，然后根据公式计算即可．4. 双曲线的离心率为2，则双曲线的渐近线方程是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意可得双曲线的渐近线方程为，根据离心率求得即可得到所求．详解：由题意得，∴．又双曲线的渐近线方程为，∴双曲线的渐近线方程是，即．故选C．点睛：（1）求双曲线的渐近线方程时，可令，解得，即为所求的渐近线方程，对于焦点在y轴上的双曲线也是一样．（2）求双曲线的离心率时，是常用的一种方法，同时也体现了双曲线的离心率和渐近线斜率之间的关系．5. 将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，若在上为增函数，则的最大值为（）【答案】B【解析】分析：根据平移变换可得，然后结合所给选项逐一验证可得结果．详解：由题意可得．当时，，由于，故函数在上不是增函数．当时，，由于，故函数在上是增函数．故选B．点睛：本题考查三角函数图象的平移变换和函数的性质，对于图象的平移变换，一是要注意平移的方向，二是要注意变换量的大小，在解题中一定要注意在横方向上的变换只是针对于而言的，当的系数不是1时，首先要化为1后再进行变换．6. 《算法统宗》是我国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该著作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的转变，对我国民间普及珠算起到了重要的作用.如果所示的程序框图的算法思路源于该著作中的“李白沽酒”问题.执行该程序框图，若输出的的值为0，则输入的的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】阅读流程图，程序运行如下：首先初始化：，进入循环结构：第一次循环：，此时满足，执行 ;第二次循环：，此时满足，执行 ;第三次循环：，此时满足，执行 ;第四次循环：，此时不满足，跳出循环，输出结果为：，由题意可得： .本题选择C选项.7. 已知为等比数列，数列满足，且，则数列的前项和为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意可得，故，从而可得数列的公比为，于是得到，故可得数列为等差数列，并由此得到数列的前项和．详解：∵，且，∴，即，又数列为等比数列，∴数列的公比为，∴，∴数列是首项为2，公差为3的等差数列，∴数列的前项和为．故选C．点睛：本题考查等差数列和等比数列的综合问题，解题时要分清两类数列的基本量，将所求问题转化为对数列基本量求解的问题处理．在本题中得到数列为等差数列是解题的关键，由此可得所求．8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据题意得到原图是正方体中挖去一个高为1的圆锥后剩下的图，表面积为正方体的各个面和圆锥的侧面积为：.故答案为：B.9. 已知奇函数的定义域为，且对任意，若当时，则（）A. B. C. -1 D. 1【答案】A【解析】分析：根据性质可得，然后再根据奇函数将问题转化到区间上解决即可．详解：由题意得，又函数为奇函数，∴．故选A．点睛：本题考查函数性质的综合运用及求函数值，解题的关键是根据所给出的函数的性质将所求值进行转化，逐步转化到区间上，再根据对数运算求得．10. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，两两垂直，则球的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由题意可构造以为过一顶点的三条棱的长方体，则该三棱锥的外接球即为长方体的外接球，由于长方体的体对角线即为其外接球的直径，由此可得球半径，从而可求得球的体积．详解：∵三棱锥中两两垂直，∴以为过同一顶点的三条棱构造长方体，该长方体的外接球即为三棱锥的外接球．又是边长为的正三角形，∴，∴长方体的体对角线为，即球的直径为，∴球的体积为．故选A．点睛：关于球的内接几何体的问题，往往涉及到求球的体积或表面积，求解的关键是确定球心的位置和求出球的半径．当球外接于正方体（或长方体），即正方体（或长方体）的顶点均在球面上时，则正方体（或长方体）的体对角线长等于球的直径．11. 某传媒大学的甲乙丙丁四位学生分别从影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持四门课程中选修一门，且选修课程互不相同.下面是关于他们选课的一些信息：①甲和丙均不选播音主持，也不选广播电视；②乙不选广播电视，也不选公共演讲；③如果甲不选公共演讲，那么丁就不选广播电视.若这些信息都是正确的，依据以上信息推断丙同学选修的课程是（）A. 影视配音B. 广播电视C. 公共演讲D. 播音主持【答案】A【解析】分析：结合题意及给出的相关信息，先确定四位同学的选修课程的范围，然后对其中的每一种情况进行讨论，看是否满足题意即可得到结论．详解：由信息①可得，甲、丙选择影视配音和公共演讲；由信息②可得，乙选择影视配音或播音主持；第一种可能：当甲选择影视配音时，则丙选择公共演讲，乙选择播音主持，丁选择广播电视，与信息③矛盾，不和题意．第二种可能：当甲选择公共演讲时，则丙选择影视配音，乙选择播音主持，丁选择广播电视，符合题意．综上可得丙同学选修的课程是影视配音．故选A．点睛：本题考查推理的知识，考查学生的推理论断能力和解决实际问题的能力．解题的关键是根据题意进行判断，看是否能得到与题意矛盾的结论．12. 已知函数，.设为实数，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：利用二次函数的性质和对数函数的单调性求出函数的值域，然后根据存在实数，使得成立，得到，即，解得，即可得到所求的范围．详解：当时，，∵，∴，∴．当时，单调递增，∴．综上可得．若存在实数，使得成立，则，即，整理得，解得．∴实数的取值范围为．故选B．点睛：本题考查分段函数的值域的求法和函数的能成立问题，解题的关键一是如何根据函数的性质求得值域，二是正确理解题意，由题意得到关于实数的不等式，然后解不等式可得所求的范围．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若平面向量满足，，则向量与的夹角为__________．【答案】【解析】分析：由及条件可得，然后根据数量积的定义可得两向量的夹角．详解：∵，∴．设向量与的夹角为，则．又，∴，即向量与的夹角为．点睛：本题考查向量的数量积的运算，求向量与的夹角时可根据公式求解，关键是求得向量的数量积．另外在求解过程中不要忽视了向量夹角的范围，否则会得到错误的结果．14. 已知实数满足条件，则的最大值是__________．【答案】7【解析】如图，过点时，15. 已知在平面直角坐标系中，依次连接点得到折线，若折线所在的直线的斜率为，则数列的前项和为__________．【答案】【解析】分析：先由题意得到数列的递推关系，然后根据累加法求得数列的通项公式，再结合通项公式的特征选择求和的方法求解即可．详解：由题意得直线的斜率为，即，解得．当时，直线的斜率为，即，∴．∴．又满足上式，∴．∴数列的前项和为．点睛：本题将数列与解析几何综合在一起，考查数列的递推关系、数列通项公式和前n项和的求法，解题的关键是根据题意，将其中直线斜率的问题转化为数列的问题，然后再结合数列的相关知识求解．16. 已知抛物线的焦点为是抛物线上一点，若的延长线交轴的正半轴于点，交抛物线的准线于点，且，则=__________．【答案】3【解析】分析：画出图形后结合抛物线的定义和三角形的相似求解即可．详解：画出图形如下图所示．由题意得抛物线的焦点，准线为．设抛物线的准线与y轴的交点为，过M作准线的垂线，垂足为，交x轴于点．由题意得，又，即为的中点，∴，∴，∴．又，即，解得．点睛：解答与抛物线有关的综合问题时，可利用抛物线的定义、标准方程、几何性质，并结合图形，利用形的直观性和数形结合，构建关于待求量的方程(组)或不等式(组)，然后再逐步求解可得结果．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在中，角所对的边分别为，且.（1）求的值；（2）若，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）在式子中运用正弦、余弦定理后可得．（2）由经三角变换可得，然后运用余弦定理可得，从而得到，故得．详解：(1)由题意及正、余弦定理得，整理得，∴（2）由题意得，∴，∵，∴，∴.由余弦定理得，∴，，当且仅当时等号成立．∴．∴面积的最大值为．点睛：（1）正、余弦定理经常与三角形的面积综合在一起考查，解题时要注意整体代换的应用，如余弦定理中常用的变形，这样自然地与三角形的面积公式结合在一起．（2）运用基本不等式求最值时，要注意等号成立的条件，在解题中必须要注明．18. 如图所示，在五面体中，四边形为菱形，且，为的中点.（1）求证：平面；（2）若平面平面，求点到平面的距离.【答案】（1）见解析；（2）【解析】分析：（1）取中点，连接，由三角形中位线的性质及条件可得且,从而得四边形为平行四边形，故，然后根据线面平行的判定定理可得结论．（2）由（1）得平面，故到平面的距离等于到平面的距离，并设为．然后根据等积法可得，即, 解得即为所求．详解：（1）取中点，连接，因为分别为中点，所以且，由已知且，又在菱形为菱形中，且，所以且.所以且,所以四边形为平行四边形，所以.又平面，平面，所以平面．（2）由（1）得平面，所以到平面的距离等于到平面的距离．取的中点，连，因为，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.由已知得，，所以等腰三角形的面积为.又，设到平面的距离为，由得,即，解得,∴点到平面的距离为．点睛：（1）证明线面平行的常用方法有两种，一是通过线线平行证明线面平行，二是通过证明面面平行来证线面平行．（2）求空间中点到面的距离时，等体积法是常用解题方法．解题时可将所求距离作为某一个三棱锥的高，然后从另外一个角度求出该三棱锥的体积后可得所求的距离．19. 某中学为调查该校学生每周参加社会实践活动的情况，随机收集了若干名学生每周参加社会实践活动的时间（单位：小时），将样本数据绘制如图所示的频率分布直方图，且在[0,2)内的学生有1人.（1）求样本容量，并根据频率分布直方图估计该校学生每周参加社会实践活动时间的平均值；（2）将每周参加社会实践活动时间在[4,12]内定义为“经常参加社会实践”，参加活动时间在[0,4)内定义为“不经常参加社会实践”.已知样本中所有学生都参加了青少年科技创新大赛，有13人成绩等级为“优秀”，其余成绩为“一般”，其中成绩优秀的13人种“经常参加社会实践活动”的有12人.请将2×2列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为青少年科技创新大赛成绩“优秀”与经常参加社会实践活动有关；（3）在（2）的条件下，如果从样本中“不经常参加社会实践”的学生中随机选取两人参加学校的科技创新班，求其中恰好一人成绩优秀的概率.参考公式和数据：.【答案】（1），5.8小时；（2）见解析；（3）【解析】分析：（1）先根据条件求得样本容量，然后再根据频率分布直方图中平均数的求法求解．（2）结合题意完成列联表，并求出，与临界值表对照后可得结论．（3）根据题意得不经常参加社会实践活动的有人，其中成绩优秀的有1人，然后根据古典概型概率的求法求解．详解：（1）由题意得活动时间在的频率为,又参加社会实践活动的时间在内的有人，所以样本容量.根据频率分布直方图，该校学生每周参加社会实践活动时间的平均值为:（小时）．（2）由题意得“不经常参加社会实践”的学生有人，所以列联表如下：由表中数据可得．所以在犯错误的概率不超过的前提下可以认为“青少年科技创新大赛成绩优秀与经常参加社会实践活动有关系”.（3）由（2）知不经常参加社会实践活动的有人，其中成绩优秀的有1人．设成绩优秀的编号为；成绩一般的学生有人，编号依次为.所有参加培训的情况有：，共10种.恰好一人成绩优秀的情况有,共4种.所以由古典概型计算公式得所求概率为.点睛：（1）独立性检验中在得到后查表时不是查最大允许值，而是先根据题目要求的百分比找到第一行对应的数值，再将该数值对应的k值与求得的K2相比较．另外，表中第一行数据表示两个变量没有关联的可能性p，所以其有关联的可能性为1－p．（2）解答古典概型概率问题时，关键是通过列举得到基本事件总数及所求概率对应的事件包含的基本事件的个数，然后根据公式求解即可得到概率．20. 已知椭圆的焦距为，斜率为的直线与椭圆交于两点，若线段的中点为，且直线的斜率为.（1）求椭圆的方程；（2）若过左焦点的斜率为的直线与椭圆交于两点，为椭圆上一点，且满足，问：是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由.【答案】（1）；（2）定值【解析】分析：（1）焦距说明，用点差法可得＝.这样可解得，得椭圆方程；（2）若，这种特殊情形可直接求得，在时，直线方程为，设，把直线方程代入椭圆方程，后可得，然后由纺长公式计算出弦长，同时直线方程为，代入椭圆方程可得点坐标，从而计算出，最后计算即可.详解：（1）由题意可知，设，代入椭圆可得：，两式相减并整理可得，，即.又因为，，代入上式可得，.又，所以，故椭圆的方程为.（2）由题意可知，，当为长轴时，为短半轴，此时；否则，可设直线的方程为，联立，消可得，，则有：，所以设直线方程为，联立，根据对称性，不妨得，所以.故，综上所述，为定值.点睛：设直线与椭圆相交于两点，的中点为，则有，证明方法是点差法：即把点坐标代入椭圆方程得，，两式相减，结合斜率公式可得. 21. 设函数，（1）若，且在（0，+∞）为增函数，求的取值范围；（2）设，若存在，使得，求证：且.【答案】（1）；（2）见解析【解析】分析：（1）由在（0,+∞）为增函数可得上恒成立，然后对的符号分类讨论可得结果．（2）结合题意先排除时不成立，从而得．由得，设，并结合（1）知，故得，从而，故转化为证成立，变形后通过令构造新函数，可证得，即证得不等式成立．....................................详解：（1）当时，.由题意得对任意恒成立.当时，不等式显然成立；当时，可得恒成立，所以，解得；当时，可得恒成立，所以，解得．综上可得．∴实数的取值范围是．（2）若，则有，∴在单增，与存在满足矛盾.∴.由，得,∴．不妨设，由（1）知在单调递增，∴，即.∴．又，∴．下面证明，令，则．于是等价于证明，即证．设，则在恒成立．∴在单调递减，∴，从而得证．于是，即不等式成立．点睛：（1）函数在某一区间上单调递增（减）等价于导函数在该区间上大于等于（小于等于）零在该区间上恒成立，然后转化为最值问题求解即可．（2）在本题的（2）中证明不等式时，用到了转化的方法，通过放缩、构造新函数等手段，将所证的不等式逐步转化为容易求解的问题处理．22. 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.（1）求直线和圆的普通方程；（2）已知直线上一点，若直线与圆交于不同两点，求的取值范围.【答案】（1），；（2）【解析】分析：（1）用代入法消参数可得直线的普通方程，由公式可化极坐标方程为直角坐标方程；（2）把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，其中参数的绝对值表示直线上对应点到的距离，因此有，，直接由韦达定理可得，注意到直线与圆相交，因此判别式＞0，这样可得满足的不等关系，由此可求得的取值范围.详解：（1）直线的参数方程为，普通方程为，将代入圆的极坐标方程中,可得圆的普通方程为，（2）解：直线的参数方程为代入圆的方程为可得：（*），且由题意，,.因为方程（*）有两个不同的实根，所以，即，又，所以.因为，所以所以.点睛：（1）参数方程化为普通方程，一般用消参数法，而消参法有两种选择：一是代入法，二是用公式；（2）极坐标方程与直角坐标方程互化一般利用公式；（3）过的直线的参数方程为（为参数）中参数具有几何意义：直线上任一点对应参数，则.23. 已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）设关于的不等式的解集为，且，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）由绝对值的定义去掉绝对值符号，分类求解；（2）题意说明不等式在上恒成立，而在上不等式又可化为，在上不等式又可化为，分别求出的范围，再求交集即得.详解：（1）当时，，，所以或或，即或或，解得或或．所以原不等式的解集为．（2）因为，所以当时，不等式，即在上恒成立，当时，，即，所以，在恒成立所以，即当时，即所以，在恒成立所以，即综上，的取值范围是.点睛：本题考查解含绝对值不等式，一般是根据绝对值定义去掉绝对值符号，分类求解，有时也可根据绝对值的性质（例如平方后）去绝对值符号后求解.。

烟台市高三第二次模拟考试数学（文）一、选择题：本大题共10小题：每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上．1.已知复数2(2)(2)()z a a a i a R =+-+-∈，则“1a =”是“z 为纯虚数”的 A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件2.设集合{}2|230M x x x =--<，{}|N y y x R =∈，则MN 等于A ．(1,1)-B ．[)1,3C ．(0,1)D ．(1,0)-3.若α是第二象限角，且1tan()2πα-=，则3cos()2πα-= A．2B．2-C．5D．5-4.右图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为A ．11B ．11.5C ．12D ．12.55.已知函数22,0()3log ,0x f x x x x ⎧-<⎪=⎨⎪+>⎩，则((1))f f -等于A ．2-B ．2C ．4-D ．46.若某程序框图如右图所示，当输入50时，则该程序运行后输出的结果是A ．6B ．5C ．4D ．37.已知平面上三点A 、B 、C 满足||3AB =，||4BC =，||5CA =，则A B B C ⋅B C C A +⋅C A A B +⋅的值等于A ．25B ．24C ．25-D ．24-8.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表，根据下表可得回归方程y bx a =+中的10.6b =，据此模型预报广告费用为10万元时销售额为A ．112.1万元B ．113.1万元C ．111.9万元D ．113.9万元9.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点与抛物线28y x =-的焦点重合，斜率为1的直线l 与双曲线交于A ，B 两点，若AB 中点坐标为(3,1)--，则双曲线的离心率为AB ．2CD ．310.定义在实数集R 上的函数()y f x =的图象是连续不断的，若对任意实数x ，存在实数t 使得()()f t x tf x +=-恒成立，则称()f x 是一个“关于t 的函数”，给出下列“关于t 的函数”的结论：①()0f x =是常数函数中唯一一个“关于t 的函数”；②“关于12的函数”至少有一个零点；③2()f x x =是一个“关于t 的函数”． 其中正确结论的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：本大题共有5个小题，每小题5分，共25分．把正确答案填在答题卡的相应位置．11.一个几何体的三视图如右图所示，该几何体的表面积为 ． 12.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=-．若方程()0f x =有2015个实数根，则这2015个实数根之和为 ．13.已知直线l 过圆22(3)4x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则直线l 的方程是 ．14.给出下列等式：2cos4π=，2cos8π=，2cos16π=，…，依次可得第n 个等式：2222=n +++个… ．15.某运输公司承担了每天至少搬运280吨水泥的任务，已知该公司有6辆A 型卡车和8辆B 型卡车．又已知A 型卡车每天每辆的运载量为30吨，成本费为0.9千元；B 型卡车每天每辆的运载量为40吨，成本费为1千元，则该公司所花的最小成本费是．三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤．16.（本小题满分12分）以工厂生产甲、乙、丙三种样式的杯子，每种样式均有500ml和700ml两种型号，某天的产量如右表（单位：个）：按分层抽样的方法在这个月生产的杯子中抽取100个，其中有甲样式杯子25个．（1）求z的值；（2）用分层抽样的方法在甲样式杯子中抽取一个容量为5的样本，从这个样本中任取2个杯子，求至少有1个500ml杯子的概率．17.（本小题满分12分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且1cos2a C c b-=．（1）求角A的大小；（2）若1a=，求△ABC的周长的取值范围．如图，已知AB ⊥平面ACD ，//DE AB ，AD AC =22DE AB ===，且F 是CD 的中点，AF =． （1）求证：//AF 平面BCE ；（2）求证：平面BCE ⊥平面CDE ； （3）求此多面体的体积．19.（本小题满分12分）已知{}n a 是一个公差大于0的等差数列，且满足3655a a =，2716a a +=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 和数列{}n b 满足等式：312232222n n n b b b b a =++++…（*n N ∈），求数列{}n b 的前n 项和n S ．已知函数2()(1)x f x x ax e =-+，x R ∈．（1）若函数()f x 的图象在(0,(0))f 处的切线与直线30x y +-=垂直，求实数a 的值； （2）求()f x 的单调区间；（3）当2a =时，若对于任意[]2,2x ∈-，[]1,3t ∈，2()22f x t mt ≥-+恒成立，求实数m 的取值范围．21.（本小题满分14分）已知点(0,2)A -，椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>F 是椭圆的焦点，直线AF O 为坐标原点． （1）求椭圆E 的方程；（2）设过点A 的直线l 与椭圆E 相较于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．高三适应性练习 (一) 文科数学参考答案及评分标准一、选择题A B D C D A C C D B 二、填空题11. 6 12. 0 13. 30x y －＋＝ 14.12cos 2n π+ 15. 7千元三、解答题16.解: (1).设该厂本月生产的乙样式的杯子为n 个,在丙样式的杯子中抽取x 个，由题意得,,8000500025x=,所以x =40. …………2分 则100－40－25＝35，所以，,35500025n=n =7000， 故z ＝2500 …………………………6分(2) 设所抽样本中有m 个500ml 杯子,因为用分层抽样的方法在甲样式杯子中抽取一个容量为5的样本, 所以,550002000m=,解得m =2 也就是抽取了2个500ml 杯子,3个700ml 杯子, …………………………8分 分别记作S 1,S 2;B 1,B 2,B 3,则从中任取2个的所有基本事件为(S 1, B 1), (S 1, B 2) , (S 1, B 3) (S 2 ,B 1), (S 2 ,B 2), (S 2 ,B 3),( (S 1, S 2),(B 1 ,B 2), (B 2 ,B 3) ,(B 1 ,B 3) 共10个,其中至少有1个500ml 杯子的基本事件有7个基本事件:(S 1, B 1), (S 1, B 2) , (S 1, B 3) (S 2 ,B 1), (S 2 ,B 2), (S 2 ,B 3),( (S 1, S 2),所以从中任取2个, 至少有1个500ml 杯子的概率为710. …………………………12分 17.解：（1）1cos 2a C cb -=，由正弦定理得：1sin cos sin sin 2A C CB -=, …………………………2分又sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+,1sin cos sin ,sin 02C A C C ∴=-≠，1cos ,2A ∴=-， ………………4分(0,)A π∈，23A π∴=. …………………………5分（2）由正弦定理得：sin ,sin B b B c C A ===， …………7分周长1sin )1sin())l a b c B C B A B =++=+=++11(sin )1)223B B B π=+=+， …………9分2,(0,),sin()333A B B πππ=∴∈∴+∈, …………11分故ABC ∆的周长的取值范围为1]. …………12分 18.解：（1）取CE 中点P ，连结FP 、BP ， ∵F 为CD 的中点，∴//FP DE ，且FP =.21DE 又//AB DE ，且AB =.21DE∴//AB FP ，且AB =FP ，∴ABPF 为平行四边形，∴//AF BP ． ……………2分 又∵AF ⊄平面BCE ，BP ⊂平面BCE ，∴//AF 平面BCE ………………………4分（2）∵2AF CD ==，所以△ACD 为正三角形，∴AF ⊥CD ∵AB ⊥平面ACD ，DE //AB∴DE ⊥平面ACD 又AF ⊂平面ACD∴DE ⊥AF ………………………6分 又AF ⊥CD ，CD ∩DE=D∴AF ⊥平面CDE 又BP ∥AF ∴BP ⊥平面CDE 又∵BP ⊂平面BCE∴平面BCE ⊥平面CDE ………………………8分 (3)此多面体是一个以C 为顶点，以四边形ABED 为底边的四棱锥，(12)232ABED S +⨯==， ………………………10分 ABDE ADC ⊥面面，∴等边三角形AD 边上的高就是四棱锥的高133C ABDE V -=⨯= ………………………12分19．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为(0)d >， 由2716a a +=，得12716a d += ①由3655,a a ⋅=得11(2)(5)55a d a d ++= ② …………………2分 易得11,2a d ==，所以*21()n a n n =-∈N …………………4分 （2）令2nn n b c =，则有12n n a c c c =+++，*1121(,2)n n a c c c n n --=+++∈≥N1n n n a a c -∴-=，由（1）得12n n a a -∴-=，故*2(,2)n c n n =∈≥N ，即22nnb =， 而11a =，所以可得12,12,2n n n b n +=⎧=⎨≥⎩ ． …………………8分 于是3411232222n n n S b b b b +=+++=++++=234122222n ++++++4-=1222(21)426,2621n n n n S +++--=-=--即．…12分20.解：（1）∵2()(2)e (1)e x x f x x a x ax '=-+-+2[(2)1]e x x a x a =+--+ ∴0(0)(1)e 1f a a '=-=-， …………………2分 ∵()f x 的图象在(0,(0))f 处的切线与直线30x y +-=垂直，∴(1)(1)1a -⨯-=-，可得0a =. …………………4分 （2）由（1）2()[(2)1]e (1)(1)e xxf x x a x a x x a '=+--+=+-+， 令()0f x '=，可得1x =-，或1x a =-，所以当0a =时，2()(1)e 0xf x x '=+≥在R 上恒成立，函数()f x 在R 上单调递增； …………………6分当0a >时，11a ->-，在(,1)-∞-上()0f x '>，()f x 单调递增，在(1,1)a --上()0f x '<，()f x 单调递减，在(1,)a -+∞上()0f x '>，()f x 单调递增； 当0a <时，11a -<-，在(,1)a -∞-上()0f x '>，()f x 单调递增，在(1,1)a --上()0f x '<，()f x 单调递减，在(1,)-+∞上()0f x '>，()f x 单调递增；………………8分（3）当2a =时，2()(21)e x f x x x =-+，由（2）可知，()f x 在(2,1)--上单调递增，在(1,1)-上单调递减，在(1,2)上单调递增；所以()f x 在1x =处取得极小值0，而29(2)0ef -=>，所以()f x 在[2,2]-上取得最小值0，原命题等价于不等式2022t mt ≥-+在[1,3]t ∈恒成立， …………………10分即：12t m t ≥+在[1,3]t ∈恒成立，只需max 1()2t m t ≥+， 令1()2t g t t =+，可得()g t在上单调递减，在上单调递增，而311(1)(3)26g g =<=，所以max 11()6g t =， …………………12分 所以116m ≥. …………………13分21.解： （1）显然F 是椭圆的右焦点，设(c,0)F由题意2AF K c ==c ∴= ………2分又离心率c a =2a ∴=，1b ∴== 故椭圆E 的方程为2214x y += …………4分 （2）由题意知，直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ,方程为2y kx =-联立直线与椭圆方程：22142x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，化简得：22(14)16120k x kx +-+=． ∵216(43)0k ∆=->，∴234k >， 设1122(,),(,)P x y Q x y ，则 1212221612,1414k x x x x k k +==++……………7分 ∴212443k PQ x --． 坐标原点O 到直线l 的距离为d =……………9分22211443441221OPQk k S l d k k ∆-∴==+=+令 (0)t t =>，则 24444OPQ t S t t t ∆==++ (12)分 44t t +≥ （当且仅当4t t= 即2t =时等号成立）1OPQ S ∆∴≤ 故当2t=即2=，k =OPQ ∆的面积最大 从而直线l 的方程为 2y x =- ……………14分。

【基础训练】 （一）给下列加点的字注音 嫣然（ ） 惬意（ ） 新年伊始（ ） （二）解释下列加点的词 比比皆是 神采奕奕 不亦说乎 笑容可掬 （三）根据课文内容填空 笑也是一种运动，不断地变化发展。

笑的声音有大有小；有高有低；有粗有细；有快有慢；有______的，有________的；有________的，有粗暴的；有爽朗的，有______的；有现实的，有_______的；有冷笑，有_________的笑，如此等等，不一而足。

（四）请写出带“笑”字的成语（不少于五个） 【精读训练】 （五）阅读下面文段，按要求答题 笑，是人们心情愉快的表现，对于健康是有益的。

笑，是一种复杂的神经反射作用，当外界的一种笑料变成信号，通过感官传入大脑皮层，大脑皮层接到信号，就会立刻指挥肌肉或一部分肌肉动作起来，于是出现了笑。

笑在胸腔，能扩张胸肌，加强肺部的运动，使人呼吸正常。

笑在肚子里，能使腹肌收缩了又张开，及时产生胃液，帮助消化，增进食欲，促进人体的新陈代谢。

笑在心脏，能使血管的肌肉加强运动，促进血液循环，加快淋巴循环，使人面色红润，神采奕奕。

笑在全身，能让全身肌肉都动作起来，兴奋之余，使人轻松，睡眠充足，精神饱满。

笑，也是一种运动，不断地变化发展，有助于身心健康。

1．从内容看，这段文字是谈笑的________、_________、_______，是对“笑”一词的说明。

2．从结构看，这段文字是按哪种结构安排的？ （ ） A．总—分—总B．总—分 C．分—总 3．有四处用“笑在……”开头，这叫________段，说明________。

这显示了写作上思路清晰，从另一个方面也反映祖国语言富有表现力。

4．从文段中，可以看出，笑的本质是： （ ） A．有益健康 B．心情愉快 C．神经反射 D．一种运动 参考答案 （一）yān qiè yī （二）到处； 精神焕发的样子； 通“悦”，愉快； 两手捧起来。