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第7章-正交试验设计的极差分析第7章正交试验设计的极差分析正交试验设计和分析⽅法⼤致分为⼆种：⼀种是极差分析法(⼜称直观分析法),另⼀种是⽅差分析法（⼜称统计分析法)。
本章介绍极差分析法,它简单易懂,实⽤性强，在⼯农业⽣产中⼴泛应⽤。
７.1 单指标正交试验设计及其极差分析极差分析法简称R 法。
它包括计算和判断两个步骤,其内容如图7-1所⽰。
图7－１ R 法⽰意图图中，Ｋj ｍ为第ｊ列因素m ⽔平所对应的试验指标和，K ｊm 为Ｋjm 的平均值。
由K jm 的⼤⼩可以判断ｊ因素的优⽔平和各因素的⽔平组合，即最优组合。
R j 为第j 列因素的极差，即第j 列因素各⽔平下平均指标值的最⼤值与最⼩值之差：R j =max(jm j j K K K ,,,21 ）-ｍin(jm j j K K K ,,,21 )R j 反映了第ｊ列因素的⽔平变动时，试验指标的变动幅度。
R j 越⼤,说明该因素对试验指标的影响越⼤，因此也就越重要。
于是依据R j的⼤⼩,就可以判断因素的主次。
极差分析法的计算与判断,可直接在试验结果分析表上进⾏，现以例6-2来说明单指标正交试验结果的极差分析⽅法。
⼀、确定因素的优⽔平和最优⽔平组合例６-2 为提⾼⼭楂原料的利⽤率，某研究组研究了酶法液化⼯艺制造⼭楂精汁。
拟通过正交试验寻找酶法液化⼯艺的最佳⼯艺条件。
在例6-2中，不考虑因素间的交互作⽤(因例6-2是四因素三⽔平试验，故选⽤L9（34）正交表），表头设计如表６-５所⽰,试验⽅案则⽰于表６-6中。
试验结果的极差分析过程，如表7-1所⽰.表6-4 因素⽔平表表6-6 试验⽅案及结果试验指标为液化率，⽤y i 表⽰，列于表6-６和表7-1的最后⼀列。
表7－1 试验⽅案及结果分析计算⽰例：因素A 的第１⽔平Ａ1所对应的试验指标之和及其平均值分别为：K A １=ｙ１+y ２+ｙ3＝0+１７+２4=４1,=1A K 31K A1=１3．7同理，对因素Ａ的第2⽔平Ａ２和第３⽔平A 3，有ＫA2=ｙ4+ｙ5+y 6=１２＋47＋28=87,=2A K 31K Ａ2=2９ K A ３＝y ７+y 8＋y ９=１＋18+42＝61，=3A K 31K Ａ3=20.３由表7－１或表6－６可以看出，考察因素A 进⾏的三组试验中(Ａ1,A 2,Ａ3),B 、Ｃ、D 各⽔平都只出现了⼀次,且由于B 、C 、Ｄ间⽆交互作⽤,所以B 、C 、D 因素的各⽔平的不同组合对试验指标⽆影响，因此，对A 1、Ａ2和A ３来说,三组试验的试验条件是完全⼀样的。
第七章-正交试验设计法第七章：正交试验设计法正交试验设计法是一种实验设计方法，旨在有效地确定多个因素对结果的影响，并找到最佳的组合条件。
正交设计法是一种统计方法，通过在试验设计中使用正交矩阵来实现对各个因素的全面考虑和分析。
本章将详细介绍正交试验设计法的原理、应用和优势。
7.1 正交试验设计法的原理正交试验设计法的原理基于一个关键观点：在多因素实验设计中，通过设计合理的试验矩阵，能够避免因素之间的相互干扰，从而有效地确定各个因素对结果的影响。
正交试验设计法通过使用正交矩阵，将各个因素进行组合，确保在限定的试验条件下，各个因素之间的相互影响最小化。
这样，通过对正交试验设计法进行数据分析，可以准确地确定各个因素对结果的主导程度。
7.2 正交试验设计法的应用正交试验设计法在许多领域中得到广泛应用，特别是在工程、医学、化学和农业等实验研究中。
正交试验设计法可以帮助研究人员从多个因素中确定影响结果的主要因素，并找到最佳的操作条件。
例如，在工程领域中，正交试验设计法可以用于确定材料的最佳组合，以提高产品质量和性能。
在医学研究中，正交试验设计法可用于确定药物的最佳剂量和治疗方案。
在农业研究中，正交试验设计法可以用于确定最佳的种植条件和施肥方法。
总之，正交试验设计法可以帮助研究人员快速、准确地找到最佳的解决方案。
7.3 正交试验设计法的优势正交试验设计法相比传统的试验设计方法有以下几个优势：1. 高效性：正交试验设计法可以通过使用正交矩阵，将多个因素进行有效组合，从而减少试验次数，提高试验效率。
2. 统计可靠性：正交试验设计法通过使用正交矩阵，可以有效地避免因素之间的相互干扰，确保实验结果的统计可靠性。
3. 实用性：正交试验设计法不仅可以用于确定各个因素对结果的影响程度，还可以用于优化因素的组合以达到最佳效果。
4. 灵活性：正交试验设计法可以应用于不同的实验设计要求，可灵活调整试验因素和水平，以满足具体的研究需求。
正交试验设计1正交试验的引入在实际的生产实践当中，由于需要考虑的因素（对结果产生影响的变量）通常比较多，同时，每个因素的水平个数（每个变量的可取值个数）也不止一两个。
如果对每个因素的每个水平交互搭配全部进行试验，例如：对于5因素4水平的实验，全部次数为：541024，需要用相当长的时间进行统计分析计算，同时耗费了大量的人力物力。
而如果采用正交试验设计，试验的次数将大大减少，同时对统计结果的分析也变得简单。
正交试验设计是利用正交表科学的安排与分析多因素试验的方法，是最常用的试验设计之一。
2正交表的分类及优势正交表分为：等水平正交表和混合水平正交表。
等水平代表各因素所取的水平数相同，混合水平表示各因素的水平数不一定相同。
正交表的优点：（1）能够在所有方案中均匀的选出具有代表性的方案；（2）通过对少数试验的分析，可以推得较优的方案，并且较优方案往往不包含在少数进行试验了的方案中。
（3）通过对结果分析，可以得到更多有用的信息。
包括各因素的重要性等。
3正交试验设计的步骤总的来说包括两部分：一是试验设计，二是数据处理。
归纳为：（1）明确试验目的，确定评价指标；（2）挑选因素，确定水平；（3）选正交表，进行表头设计：一般要求为因素数≤正交表列数（4）明确试验方案，进行试验得到结果；（5）对结果进行统计分析：采用直观分析法或方差分析法，得到因素的主词以及优方案等信息；（6）进行验证试验，做进一步的分析。
4有交互作用的正交试验设计在许多试验中，不仅要考虑各个因素对试验指标起作用，还有考虑因素间的交互作用对试验解结果的影响。
在这种正交试验的设计当中，要把交互作用也作为因素考虑进去。
可以查对应的正交表来进行表头设计。
5举例下面通过举例来说明如何设计正交表以及对用不同的方法对试验结果进行分析。
例1（三水平三因素正交表设计以及直观分析法）以下试验考虑的两个指标全部解：可选用正交表49(3)L 来安排试验级差R 0.59 0.55 0.59 1.86因素主次 CAB 优方案131C A B符号说明：i K ：表示人一类上水平号为i 是所对应的试验结果之和；级差R ：表示在任一列上K 的最大值与最小值之差；级差越大，说明对结果影响越大，那么这个因素越重要。
应用概率统计讲稿第一讲正交试验设计在生产实践中，试制新产品，改革工艺，寻求好的生产条件，提高产品的质量和产量，都需要作试验，如何使做实验的次数尽量少，而得到的结果尽可能的好，则应对试验做合理的安排。
正交试验设计时利用正交表安排多因素影响指标的试验，每个因素又有2到3个水平，用最少的组合次数安排试验，并分析出因素的主次，最优的组合方式，较优的生产工艺条件，并指出下一步试验的方向。
一.正交表正交表是一种特制的表格，一般用Ln （mk）表示，L代表是正交表，n代表试验次数或正交表的行数，k表最多可安排影响指标因素的个数或正交表的列数，m表示每个因素水平数。
如L9(34)表四个因素，每个因素三个水平，安排9次试验，若全面组合搭配试验则需81次。
又如L8（27）表七个因素，每个因素2个水平，安排8次试验，若全面组合搭配试验则需128次。
再如L27（313）表13个因素，每个因素3个水平，安排27次试验，若全面组合搭配试验则需1594323次。
一般常用表有32张，包括交互作用表、表头设计表等。
且有n－1=k(m－1)9－1＝4(3－1),8－1＝7(2－1),27－1＝13(3－1)L16(4×212) 16次试验，一个因素4个水平，12个因素2个水平16－1＝1×（4－1）＋12×(2－1)＝15L16(43×26) 16次试验，三个因素四个水平，6个因素两个水平16－1＝3×（4－1）＋6×(2－1)＝15对L9(34)，1,2,3三个数中可能的数对为（1,1），（1,2），（1,3），（2,1），（2,2），（2,3），（3,1），（3,2），（3,3）九种。
表中任意两列九对数皆出现一次，称之为搭配均匀，分配合理,组合最佳，前三列A1(1,1,1)，A2(1,2,2)，A 3(1,3,3),A4(2,1,2),A5(2,2,3),A6(2,3,1),A7(3,1,3),A8(3,2,1),A9(3,3,2)前中后，左中右，中下9个平面各三个点。
可在空间直角坐票系下设原点为A1(1,1,1)表出。
二．应用1. 单指数正交实验设计例1. 为了提高某种产品的转化率，决定进行试验寻找较好的生产工艺条件，据以前生产经验影响指标的四个因素及每因素三个水平见表，其中转化率越大越好。
A 表反应温度（℃）B 表反应时间（秒）C 表用碱量（kg ）D 表反应压力（大气压）⑴排正交表L 9(34)作9次试验，其试验结果如表称之为极差分析表⑵ 极限分析 1°算一算K ij i 表水平数，j 表因素K 11表示A 因素第一个水平下试验值之和。
K 23表示C 因素第二个水平下试验值之和。
K 32表示B 因素第三个水平下试验值之和。
K 11＝31＋54＋38＝123 K 23＝54＋53＋64＝171 K 32＝38＋42＋64＝144 20比一比极差 max min j ij ij iiR K K =-R 1=183-123=60 R 2=24 R 3=36 R 4=9由于各因素在不同水平下的差异大,表明该因素对指标影响大，则可按极差大小顺序排出因素主次。
本例为A C B D →→→3O看一看最优水平组合 32223223A C B D A C B D 或由于试验号没有该水平组合，可补充该组合试验，考察该试验的该产品的转化率是否更好。
(3)方差分析（可判定对指标的影响程度）1o总离差平方和 S T =2211()nni i i i y y y -==-=∑∑-2n y -=∑=ni i y 12-211()n i i y n =∑且)8()1(~1222χχσ=-n S T2o各因素组间平方和2221111()m n m j ij i ij i i i m n m S k y k y n n m n -===⎡⎤⎛⎫=-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑∑即各j 列组间平方和，j=1,2,3······ 且()()2221~12j S m χχσ-= ()11-=-m k n本例中，9484509123484912291912=⨯-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑==i i i i T y y S()618450911831441239322221=⨯-++==A S S()114450911441651419322222=⨯-++==B S S ()234450911441711359322223=⨯-++==C S S()22224311441531534501899E S S =++-⨯==33.342182618==A F 33.618114==B F 0.1318234==C Fα=0.05,()192,205.0=F A 作用显著，B,C 不够显著，仅有影响。
2.多指标分析法，若考察的指标是多个，一般可用二种方法。
(1)综合平衡法，如考察产品的质量为3个指标，抗压强度、落下强度和裂纹度，前两项大好，后一项小好。
三个因素A(水分)、B(粒度)、C(碱度)各三个水平仍按()493L 安排试验，极差分析，分别得最优组合抗压强度 132C B A B C A →→落下强度 233C B A B C A →→ 因素主次 裂纹度 132C B A B C A →→ 综合后， 132C B A .(2)综合评分法，按指标的重要性给一定的权系数如生产一种化工产品。
两个指标：核酸纯度和回收率，纯度重要性是回收的4倍，则权系数分别为4和1。
仍按正交试验设计分析最优组合和因素主次。
3.对因素取不同水平的混合水平的正交试验设计，可选用混合水平正交表如148(42)L ⨯。
一个因素4水平，四个因素2水平，8次试验。
分析方法相同，拟水平法是对缺水平的因素补一个水平使之成同水平数即可。
4．有交互作用的正交试验设计（1）交互作用表。
按此作表头设计。
P278 表12.17 78(2)L 的交互作用表 列号1 (1)2 3 (2)3 2 1 (3)4 5 6 7 (4)5 4 76 1 (5)6 7 4 5 2 3 (6)7 6 5 4 3 2 1 (7)从左往右看，带括号之列与从上往下看的不带括号之列交叉处为交叉作用列。
如（1）×2置于第3列（2）×4置于第6列.若考虑四个因素A,B,C,D 及A ×B,A ×C,B ×C ， 则表头设计列号:例2．设某产品的产量y 和四个因素A,B,C,D 及A ×B 有关。
每个因素两个水平，选择正交表8L 7（2）试验结果分别为115,160,145,155,140,155,100,125，作分析选D 第7列以避免选5,6列影响A ×C,811095ii y==∑解:(1)极差分析1°分别计算1j K ,2j K j=1,2,…7如表2°计算极差j R ，j=1,2,…7.如表，按极差大小因子主次 C A B A B D →⨯→→→ 3°选最优组合B 1 B 2A 1 115+160=275 145+155=300 最大者取A 1B 2 A 2 140+155=295 100+125=225 故最优组合 2122C A BD （2）方差分析 1°总离差平方和882221111()15312510953246.87588T ii i i S y y ===-=-⨯=∑∑2°822212111()()48j j j i i S K K y ==+-∑2212121211[()2]()48j j j j j j K K K K K K =+--+ 22212121212111()(2)828j j j j j j j j K K K K K K K K =+-=+-221211()88j j j K K R =-=各因素离差平方和如表所示0.05α= 0.05(1,2)18.51F =, 因素A ×B ，C 显著。
例3 陶粒混凝土的抗压强度试验，考虑A 、B 、C 、D 、E 、F ，6个因素，每个因素三个水平，以及交互作用A ×B,A ×C,B ×C 。
A 因素 水泥标号 300（A 1） 400（A 2） 500（A 3）B 因素 水泥的用量（kg ） 180 190 200C 因素 陶粒的用量（kg ） 150 180 200D 因素 含砂率（%） 38 40 42E 因素 养护方式 空气 水 蒸汽F 因素 搅拌时间（分） 1 1.5 2取27L 13（3）正交表安排试验，每交互作用列占两列，表头设计为（见27L 13（3）交互作用表）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13ABC A C⨯B C⨯A B⨯E FD空试验数据i y :103,98,97,95,96,99,94,99,101,85,82,98,85,90,85,91,89,80,73 90,77,84,80,76,89,78,85 共27次试验2712399ii y==∑2221231()9j j j j s k k k =++-27211()27i i y =∑ 因素主次 A D E B C B A B A C F C →→→⨯→→⨯→⨯→→510130.963 1.185 6.7418.889E S S S S =++=++= 自由度6E f =4B C f ⨯= 4A B f ⨯= 4A C f ⨯= 2A D E B F f f f f f =====若0.05α= 0.05(2,6) 5.14F = 0.05(4,6) 4.53F = 又若0.01α= 0.01(2,6)10.92F = 0.01(4,6)9.15F =1285.852/2433.828.889/6A A E MS F MS ===*** 5.42B F =* 5.42A B F ⨯=* 114.08D F =*** 42.09E F =*** 7.15B C F ⨯=* 3.92A C F ⨯=A,D,E 高度显著，B ×C,B,A ×B 显著。
以下分析最优组合：C 1 C 2 C 3B 1 103+85+73=261 98+82+90=270 97+98+77=272 B 2 95+85+84=264 96+90+80=266 99+85+76=260 B 3 94+91+89=274 99+89+78=266 101+80+85=266最优组合B 3C 1，较优组合B 1C 3或B 1C 2B 1 B 2 B 3A 1 103+98+97=298 95+96+99=290 94+99+101=294 A 2 85+82+98=265 85+90+85=260 91+89+80=260 A 3 73+90+77=240 84+80+76=240 89+78+85=252最优组合A 1B 1，较优组合A 1B 3或A 1B 2。
