第6章正交试验设计共67页

正交试验设计范文正交试验设计（orthogonal experimental design）是一种统计方法，用来确定影响一个或多个因素的不同水平对观测结果的影响程度和相互关系。

该方法通过一系列的实验来探索不同因素对结果的影响，同时最大限度地减少干扰因素的影响，提供实验数据分析的依据和决策依据。

正交试验设计是基于正交阵（也称为拉丁方）的设计方法，通过将因素的不同水平进行排列组合，从而构建一个有效的实验方案。

正交阵的特点是各因素之间相互独立，能够同时考虑多个因素的影响，降低实验的复杂度和成本。

在正交试验设计中，首先需要确定研究的因素和水平。

因素是影响结果的变量，水平是每个因素的取值范围。

然后，通过正交阵的组合，构建不同水平的因素组合，形成实验方案。

在实验过程中，根据实验结果对各个因素进行分析和比较，确定主要因素和最佳组合。

1.减少实验次数：正交试验设计能够通过少量的实验次数，确定最佳因素组合，大大减少实验的工作量和成本。

2.消除干扰因素：正交试验设计能够排除干扰因素的影响，提高实验的可靠性和准确性。

3.有效分析因素：正交试验设计能够同时考虑多个因素的影响，找到主要因素和最佳组合，提高实验结果的可比性和可靠性。

然而，正交试验设计也存在一些限制和注意事项：1.模型简化：正交试验设计假定各个因素之间相互独立，这可能不符合实际情况，导致结果的失真。

2.限定水平选择：正交试验设计的水平选择通常是事先确定的，可能无法包含所有可能的取值范围，影响结果的全面性。

3.实验误差控制：正交试验设计无法完全消除实验误差，可能会影响结果的可靠性。

综上所述，正交试验设计是一种有效的实验设计方法，通过少量的实验次数，确定最佳因素组合，提高实验结果的可靠性和准确性。

在应用正交试验设计时，需要注意模型的简化、水平选择的局限性和实验误差的控制。

正交试验设计在工程、生产和科学研究中具有广泛的应用前景。

第六章 正交试验设计试验设计是数理统计中一个很庞大的分支, 其内容十分丰富, 本章只介绍正交试验设计(简称正交设计或正交试验). 正交试验设计是利用“正交表”进行科学地安排与分析多因素试验的方法, 其主要优点是能在很多实验方案中挑选出代表性较强的试验方案, 并通过对少数试验方案之试验结果的分析, 推断出最优方案, 得到比试验结果本身给出的还要多得多的有关多因素之信息. 在正交试验中, 对试验结果的分析, 通常采用直观分析法(也称极差分析法)和方差分析法.第一节 引 言一、正交试验设计的背景引例 为了提高维尼纶耐水性能, 需要分析维尼纶生产的最后一道工序—醛化过程. 醛化过程的好坏用一个叫缩醛化度的指标来衡量, 缩醛化度越高, 纤维的耐水性能越好. 但影响缩醛化度的因素很多, 如反应时间、反应温度、甲醛浓度、硫酸浓度、芒硝浓度等. 这些因素除芒硝浓度取三个水平外, 其余四个因素都各取七个水平. 这样多的因素和水平, 若全面试验需做3×74=7203次试验, 约用五年时间, 这实际上是行不通的.面对上述试验问题, 我们很希望只选做其中一部分有代表性的试验而又能较好地反应全面醛配可能出现的各种情况, 以便从中挑选出较好的试验方案, 这正是正交试验设计所研究的范畴.通常, 称两个因素以上的试验为多因素试验. 正交试验设计是以概率论和数理统计为基础, 科学地安排多因素试验的一类实用性很强的数学方法, 它是数理统计学中一个很大的分支. 它所研究的主要内容是, 如何利用“正交表”进行科学地安排与分析多因素试验以减少试验的次数. 其主要优点是能在很多实验方案中挑选出代表性较强的试验方案, 并通过对少数试验方案之试验结果的分析, 推断出最优方案, 得到比试验结果本身给出的还要多得多的有关多因素之信息. 对试验结果的分析, 通常采用两种方法: 一种是直观分析法(也称极差分析法), 另一种是方差分析法.表6.1 正交表L(27)表6.2 正交表L 4二、正交表正交表是一种特殊的表格, 这里只介绍它的记号、特点及使用方法. 表L 8(27)与L 9(34)即是两张常用的正交表. L 8(27)与L 9(34)是正交表的记号, 其具体含义为:L 是正交表代号; 8或9表示该正交表的行数, 即需要做的试验次数; 2或3表示水平数; 7或4表示正交表的纵列数, 即最多可安排的因素的个数.正交表L 8(27)与L 9(34具有如下的性质:(1) 整齐可比性: 表中任一列所含各种水平的个数都相同;(2) 均衡搭配性: 表中任两列所有各种可能的数对出现的次数都相同. 凡具有上述两种性质的表, 都称为正交表.三、正交试验设计正交试验设计, 包括选表、表头设计以及利用所选定的正交表安排试验方案, 并对试验结果进行统计分析, 确定较优或最优试验方案的一种科学方法. 具体地说, 正交试验设计能明确地回答如下几个方面的问题:(1) 因素的主次, 即各因素对所考察指标影响的大小顺序;(2) 因素与指标的关系, 即每个因素的各水平变化时, 指标是怎样变化的; (3) 什么是最优试验方案或最优工艺条件; (4) 进一步试验的方向.第二节 正交试验的直观分析一、直观分析(无交互作用)例1(合成氨最佳工艺条件试验) 根据已有的经验, 决定在合成氨试验中选取的因素与水平如表6.3所示. 假定各因素之间无交互作用, 试验的目前是提高产量. 要求进行试验设计并对试验的结果进行分析.解: 为了避免试验产生系统误差,因素的各水平哪一个定为1水平、2水平、3水平, 应按“随机化”的方法确定. 1.选表与表头设计 本例是一个三水平的试验, 因此要选用L n (3t )型正交表. 由于有3个因素, 且不考虑因素之间的交互作用, 所以选一张3≥t 的表, 而L 9(34)是是满足条件3≥t 的最小L n (3t )型表, 故选用正交表L 9(34)安排试验. 由于不考虑各因素之间的交互作用,只需将各因素分别填写在所选表的上方与列号对应的位置上, 一个因素占有一列, 不同的因素占有不同的列, 就得到所谓的表头设计, 如表6.4所示.注意: 未放置因素的列, 称为空白列或空列. 空白列在正交设计的方差分析中也称为误差列, 它有着重要的作用, 一般要求至少有一个空白列.2.确定试验方案完成了表头设计以后, 只要将表中各列的数字“1”、“2”、“3”分别看成该列所填因素在各个试验中的水平数, 而正交表的每一行就是一个试验方案. 于是, 本例得到9个试验方案.3.按规定的试验方案做试验并记录试验结果按正交表的各试验号中规定的水平组合进行试验, 并记录其结果得到表 6.5. 注意: 必须严格按照规定的方案完成每一号试验; 为了保证具有相同的随机性, 试验往往不按照表上试验号的顺序进行, 而是采取抽签的方法决定试验的顺序.4.计算极差, 确定因素的主次顺序 记K ij =第j 列上水平号为i 的各试验结果之和;k ij = K ij /s, 其中s 为第j 列上水平号i 出现的次数, 即k ij 表示第j 列的表6.3 例1的因素水平表因素取水平i时进行试验所取得的试验结果的平均值;R j=max i{ K ij }－min i{ K ij }, R j称为第j列的极差或所在因素的极差, 也可定义r j=max i{ k ij }－min i{ k ij }为第j列的极差或所在因素的极差.对于本例, 我们有:K11=y1+ y2+ y3=1.72+1.82+1.80=5.34, k11= K11/3=1.780,K21=y4+ y5+ y6=1.92+1.83+1.98=5.73, k21= K21/3=1.910,K31=y7+ y8+ y9=1.59+1.60+1.81=5.00, k31= K31/3=1.667,R1=max i{ K i1 }－min i{ K i1}=5.73－5.00=0.73;其它的K ij , k ij与R j类似地可以得到, 见表6.5.表6.5例1的试验方案及试验结果分析一般地, 各列的极差是不相等的, 这说明各因素的水平改变对试验结果的影响是不相同的. 极差越大, 说明这个因素的水平改变对试验结果的影响也越大. 因此, 极差最大的那一列因素就是水平改变对试验结果影响最大的因素, 也就是主要的因素. 由于有R1 >R2 >R3 >R4, 因此本例的因素主次顺序为:主→次A B C注意: 有时空白列的极差比所有其他因素的极差还要大, 这说明因素之间可能存在有不可忽视的交互作用, 或者忽略了对试验结果有重要影响的其它因素, 或者试验误差太大, 需要具体问题具体分析.5.最优方案的确定挑选因素的优水平与所要求的指标有关. 若指标越大越好, 则应该选取使指标最大的水平, 即各列K1j、K2j和K3j（或k1j、k2j和k3j）中最大的那个水平; 反之, 若指标越小越好, 则应取使指标小的那个水平. 对于本例, 试验的指标是提高合成氨的产量, 指标越大越好, 所以应该挑选每个因素的K1j、K2j、K3j之中最大的那个水平. 由于K2A>K1A>K3A K3B>K2B>K1B K2C>K1C>K3C故得最优方案为: A 2B 3C 2. 即反应温度为490(ºC )、反应压力为300个大气压以及使用乙种催化剂时, 生产方案是最优的.注意: 实际确定最优方案时, 还应区分因素的主次. 对于主要因素, 一定要按有利于指标的要求选取最好的水平, 而对于不重要的因素则可以根据有利于提高效率、降低消耗等要求来考虑因素水平的选取.本例确定的最优方案A 2B 3C 2, 并不包含在正交表里已做过的9个试验方案之中, 这正体现了正交试验设计的优越性. 那么, 它是不是真正的最优方案呢? 我们可以作进一步的理论计算来论证.6.最优方案的工程平均由于任何试验结果总是带有误差, 对某一试验方案来说, 我们关心的是这个试验方案之试验结果的平均值, 最优试验方案试验结果的平均值就称为“最优工程平均”. 为此, 我们先来讨论“效应”的问题:设μ为试验总体的理论总均值, ij μ为因素j 的第i 个水平所对应试验总体的理论均值, 定义a i =iA μ－μ为因素A 的第i 个水平的效应. 由于μ与iA μ均为未知, 此时可用样本均值来进行估计, 因而定义i aˆ=k iA －y 称i aˆ为因素A 的第i 水平的效应. 不难验证∑i a ˆ=0，即同一个因素(或同一列) 的各水平效应之和为0.本例中, 因素A 的各水平的效应分别为:1ˆa=k 1A －y =1.78－1.786=－0.006, 2ˆa=k 2A －y =0.124, 3ˆa = k 3A －y =－0.119. 它们的含义是: 因素A 取A 1水平会使产量平均降低0.006t, 因素A 取A 2水平会使产量平均增加0.124t, 因素A 取A 3水平会使产量平均降低0.119t. 同样可得:1ˆb = k 1B －y =－0.043, 2ˆb = k 2B －y =－0.036, 3ˆb = k 3B －y =0.077; 1ˆc= k 1C －y =－0.019, 2ˆc = k 2C －y =0.064, 3ˆc = k 3C －y =－0.046. 综合起来, 在不考虑交互作用的情况下, 可用迭加的方法求得某一试验方案试验结果的平均值—称为该试验方案的工程平均, 它等于总平均y 加上该试验方案各因素所取水平的效应之和. 某一方案的工程平均, 实质上就是该试验方案试验结果真值的无偏点估计. 对本例, 最优方案A 2B 3C 2的工程平均为y ˆ=2.051.7.对比验证试验最优方案在正式作为生产方案实施之前还需要进行对比验证试验: 将最优方案A 2B 3C 2与按正交表之规定做过的9个方案中产量最高的第6号方案A 2B 3C 1作对比试验. 若方案A 2B 3C 2比第6号试验产量更高, 通常认为A 2B 3C 2就是真正的最优方案; 否则, 就取第6号试验方案A 2B 3C 1作为最优方案. 后一种情况发生, 一般来说可能是没有考虑交互作用, 或者是试验误差较大引起的, 需要作进一步的研究, 可能有提高产量的潜力.8.作出因素水平－指标变化的趋势图 二、正交试验设计原理的解释由于正交表的整齐可比性与均衡搭配性, 使得用正交表安排的试验具有均衡分散性与整齐可比性, 所以它能大大地减少试验次数, 甚至比简单地比较全面试验的结果有可能提供更多更有用的信息.图6.1 例1的因素水平－指标变化趋势图三、直观分析(有交互作用)在此情况下, 对多因素正交试验的表头设计必须借助两列间的交互作用表, 许多正交表的后面都附有相应的交互作用表. 表6.6即是正交表L 8(27)的交互作用表.用正交表安排有交互作用的试验时, 通常将交互作用看作一个新的因素, 它在正交表上的占有列, 称为交互作用列. 为了避免“混杂”现象, 交互作用列应该通过杳交互作用表来确定. 从表6.6可以确定任何两列的交互作用列.例2 工件的渗碳层深度要求为1±0.25mm, 试验与考察的水平如表 6.7所示,还要考察交互作用A ×B 与B ×C. 试验的目的是确定这4个因素及两个交互作用对渗碳指标影响的重要性主次顺序, 并找到最优的生产方案(注意, 渗碳层深度越接近1越好).解: 1.选表与表头设计这是一个4因素2水平试验, 加上考虑交互因素A ×B 与B ×C, 因此所选的2水平正交表至少要有6列, 满足这种条件的2水平正交表中以L 8(27)为最小, 因此选用正交表L 8(27)安排试验.将因素A 、B 分别放在正交表的1、2两列上, 查L 8B 占用第三列, 因此第3列不能安排其它因素, 否则就会产生混杂现象; 现将因素C 入放在第4列, 再查L 8(27)的交互作用表得交互作用B ×C 占用第6列, 因素D 可安排在第5列或第7列上. 现将因素D 安排在第5列, 从而得到如表6.8的表头设计.2.明确试验方案, 依照试验方案进行试验并记录试验结果由此得到表 6.9. 注意, 交互作用所在列和空白列对确定试验方案不起任何作用, 因为那些列的数字“1”、“2”不代表任何实际水平.73. 计算极差, 确定因素的主次仿例1, 可得因素的主次顺序如表6.9所示. 4.确定最优方案交互因素A ×B 是影响试验结果最重要的因素, 但是交互因素A ×B 没有实际的水平, 故不能按K 13与K 23大小来确定, 而应该按A 与B 搭配的好坏来确定. 表6.10是因素A 与B 的水平搭配表, 也称之为二元表. 由于指标y 越小越好, 可知A 与B 的最优搭配为A 1B 2; 类似地, 可以得到B 与C 的最优搭配为B 2C 2.由于D 的最优水平为D 1, 从而得到最优方案为A 1B 2C 2D 1, 而不考虑交互作用的最优方案为A 1B 2C 1D 1, 两方案的不同之处在于因素C 的水平取法. 不般来说, 次要因素应服从于主要因素, 因此我们认为方案A 1B 2C 2D 1是最优的.第三节 正交试验的方差分析极差分析法的优点是, 方法简单、直观、计算量较小, 便于普及和推广. 但是, 极差分析法不能估计试验过程中以及结果测定中必然存在的误差大小, 不能真正区分某因素各水平所对应试验结果的差异, 究竟是由于水平的改变引起的还是由于试验误差引起的; 再者, 极差分析法得到的结论不够精确, 而且当水平数超过3时, 极差分析方法不便于使用.一、方差分析(无交互作用)表6.10 例2的因素A 与B 的水平搭配表。

正交试验设计1 正交试验设计的概念及原理 1.1 基本概念利用正交表来安排与分析多因素试验的一种设计方法。

特点：在试验因素的全部水平组合中，仅挑选部分有代表性的水平组合进行试验。

通过部分实施的试验结果，了解全面试验情况，从中找出较优的处理组合。

考察增稠剂用量、pH 值和杀菌温度对豆奶稳定性的影响。

每个因素设置3个水平进行试验 。

全面试验：可以分析各因素的效应，交互作用，也可选出最优水平组合。

全面试验包含的水平组合数较多，工作量大，在有些情况下无法完成 。

若试验的主要目的是寻求最优水平组合，则可利用正交表来设计安排试验。

● 正交试验是用部分试验来代替全面试验的，它不可能像全面试验那样对各因素效应、交互作用一一分析； ● 当交互作用存在时，有可能出现交互作用的混杂。

● 虽然正交试验设计有上述不足，但它能通过部分试验找到最优水平组合，因而很受实际工作者青睐。

1.2 基本原理在试验安排中，每个因素在研究的范围内选几个水平， 可以理解为在选优区内打上网格，如果网上的每个点都做试验，就是全面试验。

3个因素的选优区可以用一个立方体表示。

3个因素各取3个水平，把立方体划分成27个格点。

若27个网格点都试验，就是全面试验。

A2 A3A1B1C1B3 B2A 因素：增稠剂用量，A1、A2、A3B 因素：pH ，B1、B2、B3C 因素：杀菌温度，C1、C2、C33因素3水平33＝271.2 基本原理正交设计就是从选优区全面试验点（水平组合）中挑选出有代表性的部分试验点（水平组合）来进行试验。

A1B1C1 A1B2C2A1B3C3A2B1C2A2B2C3A3B1C3A3B2C1A3B3C2A2B3C1A1B1C3A1B3C1A2B1C1 A2B2C1A2B3C3A3B1C1A3B2C39个组合保证了A 的每个水平与B 、C 的各个水平在试验中各搭配一次。

任一因素的每个水平都与另外两个因素的每个水平相组合且组合１次。

正交试验设计1正交试验的引入在实际的生产实践当中，由于需要考虑的因素（对结果产生影响的变量）通常比较多，同时，每个因素的水平个数（每个变量的可取值个数）也不止一两个。

如果对每个因素的每个水平交互搭配全部进行试验，例如：对于5因素4水平的实验，全部次数为：541024，需要用相当长的时间进行统计分析计算，同时耗费了大量的人力物力。

而如果采用正交试验设计，试验的次数将大大减少，同时对统计结果的分析也变得简单。

正交试验设计是利用正交表科学的安排与分析多因素试验的方法，是最常用的试验设计之一。

2正交表的分类及优势正交表分为：等水平正交表和混合水平正交表。

等水平代表各因素所取的水平数相同，混合水平表示各因素的水平数不一定相同。

正交表的优点：（1）能够在所有方案中均匀的选出具有代表性的方案；（2）通过对少数试验的分析，可以推得较优的方案，并且较优方案往往不包含在少数进行试验了的方案中。

（3）通过对结果分析，可以得到更多有用的信息。

包括各因素的重要性等。

3正交试验设计的步骤总的来说包括两部分：一是试验设计，二是数据处理。

归纳为：（1）明确试验目的，确定评价指标；（2）挑选因素，确定水平；（3）选正交表，进行表头设计：一般要求为因素数≤正交表列数（4）明确试验方案，进行试验得到结果；（5）对结果进行统计分析：采用直观分析法或方差分析法，得到因素的主词以及优方案等信息；（6）进行验证试验，做进一步的分析。

4有交互作用的正交试验设计在许多试验中，不仅要考虑各个因素对试验指标起作用，还有考虑因素间的交互作用对试验解结果的影响。

在这种正交试验的设计当中，要把交互作用也作为因素考虑进去。

可以查对应的正交表来进行表头设计。

5举例下面通过举例来说明如何设计正交表以及对用不同的方法对试验结果进行分析。

例1（三水平三因素正交表设计以及直观分析法）以下试验考虑的两个指标全部解：可选用正交表49(3)L 来安排试验级差R 0.59 0.55 0.59 1.86因素主次 CAB 优方案131C A B符号说明：i K ：表示人一类上水平号为i 是所对应的试验结果之和；级差R ：表示在任一列上K 的最大值与最小值之差；级差越大，说明对结果影响越大，那么这个因素越重要。