不等式[1].版块九.不等式的综合问题.学生版

一元一次不等式的综合问题一、不等式的概念与性质1.不等式的定义：用“>”、“<”、“≥”、“≤”、“≠”等符号表示两个数之间的大小关系。

2.不等式的性质：a)不等式两边加（减）同一个数（式），不等号方向不变；b)不等式两边乘（除）同一个正数，不等号方向不变；c)不等式两边乘（除）同一个负数，不等号方向改变。

二、一元一次不等式的解法1.标准形式：ax + b > 0（或 < 0，≤ 0，≥ 0）2.解法步骤：a)移项：将含有未知数x的项移到不等式的一边，将常数项移到另一边；b)合并同类项：将移项后的同类项合并；c)化简：将不等式化简，得到x的解集。

三、一元一次不等式的应用1.实际问题：根据实际问题列出不等式，求解未知数的取值范围。

2.线性不等式组：由多个一元一次不等式组成的集合，求解公共解集。

3.线性不等式与平面区域：将线性不等式转化为平面区域，通过几何方法分析问题。

四、不等式的恒成立问题1.定义：求解使得不等式对所有可能的x值都成立的条件。

a)求解不等式的解集；b)分析解集的边界情况，确定恒成立的条件。

五、不等式的解的存在性1.定义：求解使得不等式有解的条件。

a)分析不等式的系数和常数项；b)确定不等式的解集范围；c)判断解集范围内是否存在满足不等式的x值。

六、不等式的比较大小1.定义：比较两个不等式的大小关系。

a)将不等式化为同一边的符号；b)比较两边的大小关系。

七、不等式的恒不成立问题1.定义：求解使得不等式对所有可能的x值都不成立的条件。

a)求解不等式的解集；b)分析解集的边界情况，确定恒不成立的条件。

八、不等式的应用问题1.线性规划：求解线性不等式组表示的平面区域的最优解。

2.经济问题：求解成本、收益等经济问题中的不等式。

3.物理问题：求解物理定律中的不等式，分析物体运动的范围。

九、不等式的拓展问题1.不等式的推广：研究多变量不等式、分式不等式等；2.不等式的转换：将不等式转化为等式或其他形式的不等式；3.不等式的综合应用：将不等式与其他数学知识结合，解决实际问题。

基本不等式及其应用【九大题型】【新高考专用】【题型1基本不等式及其应用】【题型2直接法求最值】【题型3配凑法求最值】【题型4常数代换法求最值】【题型5消元法求最值】【题型6齐次化求最值】【题型7多次使用基本不等式求最值】【题型8利用基本不等式解决实际问题】【题型9与其他知识交汇的最值问题】1.基本不等式及其应用考点要求真题统计考情分析(1)了解基本不等式的推导过程(2)会用基本不等式解决最值问题(3)理解基本不等式在实际问题中的应用2020年天津卷：第14题，5分2021年乙卷：第8题，5分2022年I 卷：第12题，5分2023年新高考I 卷：第22题，12分基本不等式及其应用是每年高考的必考内容，从近几年的高考情况来看，对基本不等式的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，应适当关注利用基本不等式大小判断、求最值和求取值范围的问题；同时要注意基本不等式在立体几何、平面解析几何等内容中的运用.【知识点1基本不等式】1.两个不等式不等式内容等号成立条件重要不等式a 2+b 2≥2ab (a ,b ∈R )当且仅当“a =b ”时取“=”基本不等式ab ≤a +b2(a >0,b >0)当且仅当“a =b ”时取“=”a +b2叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．2025年新高考数学一轮复习基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．2.基本不等式与最值已知x，y都是正数，(1)如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2P；(2)如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值14S2.温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件．3.常见的求最值模型(1)模型一：mx+nx≥2mn(m>0,n>0)，当且仅当x=n m时等号成立；(2)模型二：mx+nx−a =m(x−a)+nx−a+ma≥2mn+ma(m>0,n>0)，当且仅当x−a=n m时等号成立；(3)模型三：xax2+bx+c =1ax+b+cx≤12ac+b(a>0,c>0)，当且仅当x=c a时等号成立；(4)模型四：x(n−mx)=mx(n−mx)m≤1m⋅mx+n−mx22=n24m m>0,n>0,0<x<n m，当且仅当x=n2m时等号成立.4.利用基本不等式求最值的几种方法(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值．(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值.(4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.【题型1基本不等式及其应用】1(2023·安徽蚌埠·模拟预测)已知实数a,b,c满足a<b<c且abc<0，则下列不等关系一定正确的是()A.ac<bcB.ab<acC.bc +cb>2 D.ba+ab>22(2023·湖南长沙·一模)已知2m=3n=6，则m，n不可能满足的关系是()A.m+n>4B.mn>4C.m2+n2<8D.(m-1)2+(n-1)2>23(2024·山东枣庄·一模)已知a>0,b>0，则“a+b>2”是“a2+b2>2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4(2023·辽宁·二模)数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形△ABC中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设AD=a，BD=b，用该图形能证明的不等式为( )．A.a+b2≥ab a>0,b>0B.2aba+b≤ab a>0,b>0C.a+b2≤a2+b22a>0,b>0D.a2+b2≥2ab a>0,b>0【题型2直接法求最值】1(2023·湖南岳阳·模拟预测)已知函数f x =3-x-2x，则当x<0时，f x 有()A.最大值3+22B.最小值3+22C.最大值3-22D.最小值3-222(2023·北京东城·一模)已知x>0，则x-4+4x的最小值为()A.-2B.0C.1D.223(22-23高三下·江西·阶段练习)3+1 x21+4x2的最小值为()A.93B.7+42C.83D.7+434(23-24高二下·山东潍坊·阶段练习)函数y=3-4x-x(x>0)的最大值为()A.-1B.1C.-5D.5【题型3配凑法求最值】1(2023·山西忻州·模拟预测)已知a>2，则2a+8a-2的最小值是()A.6B.8C.10D.122(2024·辽宁·一模)已知m >2n >0，则m m -2n +mn的最小值为()A.3+22B.3-22C.2+32D.32-23(2023·河南信阳·模拟预测)若-5<x <-1，则函数f x =x 2+2x +22x +2有()A.最小值1B.最大值1C.最小值-1D.最大值-14(23-24高三下·河南·开学考试)已知a >0,b >0，则a +2b +4a +2b +1的最小值为()A.6B.5C.4D.3【题型4常数代换法求最值】1(2024·江苏南通·二模)设x >0，y >0，1x +2y =2，则x +1y 的最小值为()A.32B.22C.32+2 D.32(2024·黑龙江哈尔滨·二模)已知正实数x ，y 满足1x +2y=1，则2xy -3x 的最小值为()A.8B.9C.10D.113(2024·广东湛江·一模)已知ab >0，a 2+ab +2b 2=1，则a 2+2b 2的最小值为()A.8-227B.223C.34D.7-2284(2023·广东广州·模拟预测)已知正实数x ，y 满足2x +y =xy ，则2xy -2x -y 的最小值为()A.2B.4C.8D.9【题型5消元法求最值】1(2024·陕西西安·三模)已知x >0,y >0，xy +2x -y =10，则x +y 的最小值为42-1．2(2023·上海嘉定·一模)已知实数a 、b 满足ab =-6，则a 2+b 2的最小值为12．3(2024·天津河东·一模)若a >0,b >0,ab =2，则a +4b +2b 3b 2+1的最小值为．4(2024·四川德阳·模拟预测)已知正实数x ，y ，z 满足x 2+xy +yz +xz +x +z =6，则3x +2y +z 的最小值是43-2.【题型6齐次化求最值】1(23-24高一上·湖南娄底·期末)已知x >0，则x 2-x +4x 的最小值为()A.5B.3C.-5D.-5或32(23-24高一上·辽宁大连·期末)已知x ，y 为正实数，且x +y =1，则x +6y +3xy的最小值为()A.24B.25C.6+42D.62-33(23-24高二上·安徽六安·阶段练习)设a+b=1,b>0，则1|a|+9|a|b的最小值是()A.7B.6C.5D.44(23-24高三上·浙江绍兴·期末)已知x为正实数，y为非负实数，且x+2y=2，则x2+1x+2y2y+1的最小值为()A.34B.94C.32D.92【题型7多次使用基本不等式求最值】1(2023·河南·模拟预测)已知正实数a，b，满足a+b≥92a+2b，则a+b的最小值为()A.5B.52C.52 D.5222(2023·全国·模拟预测)已知a为非零实数，b，c均为正实数，则a2b+a2c4a4+b2+c2的最大值为()A.12B.24C.22D.343(2024·全国·模拟预测)已知a>0，b>0，c>1，a+2b=2，则1a+2bc+2c-1的最小值为()A.92B.2 C.6 D.2124(23-24高三下·浙江·开学考试)已知a、b、c、d均为正实数，且1a+2b=c2+d2=2，则a+bcd的最小值为()A.3B.22C.3+22D.3+222【题型8利用基本不等式解决实际问题】1(23-24高二下·北京房山·期中)某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为750m2的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间A，B，C三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季(其中B，C区域的形状、大小完全相同).设矩形花园的一条边长为xm，鲜花种植的总面积为Sm2.(1)用含有x的代数式表示a；(2)当x的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？2(23-24高一上·辽宁朝阳·期末)冷链物流是指以冷冻工艺为基础、制冷技术为手段，使冷链物品从生产、流通、销售到消费者的各个环节始终处于规定的温度环境下，以减少冷链物品损耗的物流活动.随着人民食品安全意识的提高及线上消费需求的增加，冷链物流市场规模也在稳步扩大.某冷链物流企业准备扩大规模，决定在2024年初及2025年初两次共投资4百万元，经预测，每年初投资的x百万元在第m(1≤m≤8，且m∈N*)年产生的利润(单位：百万元)G m=mx,m∈N*,1≤m≤44-16-mx2,m∈N*,5≤m≤8，记这4百万元投资从2024年开始的第n年产生的利润之和为f n x .(1)比较f42 与f52 的大小；(2)求两次投资在2027年产生的利润之和的最大值.3(23-24高一上·河南开封·期末)如图，一份印刷品的排版(阴影部分)为矩形，面积为32，它的左、右两边都留有宽为2的空白，上、下两边都留有宽为1的空白.记纸张的面积为S，排版矩形的长和宽分别为x，y.(1)用x，y表示S;(2)如何选择纸张的尺寸，才能使纸张的面积最小?并求最小面积.4(23-24高一上·四川成都·期末)如图所示，一条笔直的河流l(忽略河的宽度)两侧各有一个社区A,B (忽略社区的大小)，A社区距离l上最近的点A0的距离是2km,B社区距离l上最近的点B0的距离是1km，且A0B0=4km.点P是线段A0B0上一点，设A0P=akm.现规划了如下三项工程：工程1：在点P处修建一座造价0.1亿元的人行观光天桥；工程2：将直角三角形AA0P地块全部修建为面积至少1km2的文化主题公园，且每平方千米造价为1+92a2亿元；工程3：将直角三角形BB0P地块全部修建为面积至少0.25km2的湿地公园，且每平方千米造价为1亿元.记这三项工程的总造价为W 亿元.(1)求实数a 的取值范围；(2)问点P 在何处时，W 最小，并求出该最小值.【题型9与其他知识交汇的最值问题】1(23-24高三上·江苏南通·阶段练习)已知ΔABC 内接于单位圆，且1+tan A 1+tan B =2，(1)求角C(2)求△ABC 面积的最大值．2(23-24高三上·山东青岛·期末)《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早1000多年,在《九章算术》中,将底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵(qian d u );阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥,鳖膈(bie nao )指四个面均为直角三角形的四面体.如图在堑堵ABC -A 1B 1C 1中,AB ⊥AC .(1)求证:四棱锥B -A 1ACC 1为阳马;(2)若C 1C =BC =2,当鳖膈C 1-ABC 体积最大时,求锐二面角C -A 1B -C 1的余弦值.3(2024·广东珠海·一模)已知A 、B 、C 是ΔABC 的内角，a 、b 、c 分别是其对边长，向量m=a +b ,c ，n =sin B -sin A ,sin C -sin B ，且m ⊥n.(1)求角A 的大小；(2)若a =2，求ΔABC 面积的最大值.4(2024·黑龙江大庆·一模)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，过点1,32 且离心率为12，A ,B 是椭圆上纵坐标不为零的两点，若AF =λFB λ∈R 且AF ≠FB，其中F 为椭圆的左焦点．(1)求椭圆的方程；(2)求线段AB 的垂直平分线在y 轴上的截距的取值范围．一、单选题1(2023·全国·三模)已知a >0，b >0，且a +b =1，则下列不等式不正确的是()A.ab≤14B.a2+b2≥12C.1a+1b+1>2 D.a+b≤12(2024·甘肃定西·一模)x2+7x2+7的最小值为()A.27B.37C.47D.573(2024·辽宁葫芦岛·一模)已知a>0，b>0，a+b=2，则()A.0<a≤1B.0<ab≤1C.a2+b2>2D.1<b<24(2024·浙江嘉兴·二模)若正数x,y满足x2-2xy+2=0，则x+y的最小值是() A.6 B.62C.22D.25(2024·四川成都·模拟预测)若a,b是正实数，且13a+b+12a+4b=1，则a+b的最小值为()A.45B.23C.1D.26(2024·陕西西安·模拟预测)下列说法错误的是()A.若正实数a,b满足a+b=1，则1a +1b有最小值4B.若正实数a,b满足a+2b=1，则2a+4b≥22C.y=x2+3+1x2+3的最小值为433D.若a>b>1，则ab+1<a+b7(2024·黑龙江哈尔滨·一模)已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别为m元和n元(m≠n)，甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每周购买20件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为a1,a2，则()A.a1=a2B.a1<a2C.a1>a2D.a1,a2的大小无法确定8(2024·四川成都·三模)设函数f x =x3-x，正实数a,b满足f a +f b =-2b，若a2+λb2≤1，则实数λ的最大值为()A.2+22B.4C.2+2D.22二、多选题9(2023·全国·模拟预测)已知实数x,y，下列结论正确的是()A.若x+y=3，xy>0，则x2x+1+y2+1y≥3B.若x>0，xy=1，则12x +12y+8x+y的最小值为4C.若x≠0且x≠-1，则yx<y+1x+1D.若x 2-y 2=1，则2x 2+xy 的最小值为1+3210(2023·重庆沙坪坝·模拟预测)某单位为了激励员工努力工作，决定提高员工待遇，给员工分两次涨工资，现拟定了三种涨工资方案，甲：第一次涨幅a %，第二次涨幅b %；乙：第一次涨幅a +b 2%，第二次涨幅a +b2%；丙：第一次涨幅ab %，第二次涨幅ab %.其中a >b >0，小明帮员工李华比较上述三种方案得到如下结论，其中正确的有()A.方案甲和方案乙工资涨得一样多B.采用方案乙工资涨得比方案丙多C.采用方案乙工资涨得比方案甲多D.采用方案丙工资涨得比方案甲多11(2024·全国·模拟预测)已知a >0，b >0且1a +4b =2，则下列说法正确的是()A.ab 有最小值4B.a +b 有最小值92C.2ab +a 有最小值25D.16a 2+b 2的最小值为42三、填空题12(2024·全国·模拟预测)已知x >1，y >0，且x +2y =2，则1x -1+y 的最小值是．13(2024·上海奉贤·二模)某商品的成本C 与产量q 之间满足关系式C =C q ，定义平均成本C=C q ，其中C =C (q )q ，假设C q =14q 2+100，当产量等于时，平均成本最少.14(2024·全国·模拟预测)记max x 1,x 2,x 3 表示x 1,x 2,x 3这3个数中最大的数．已知a ,b ,c 都是正实数，M =max a ,1a +2b c ,c b，则M 的最小值为．四、解答题15(2023·甘肃张掖·模拟预测)已知正实数x ，y 满足等式1x +3y=2．(1)求xy 的最小值；(2)求3x +y 的最小值．16(2023·全国·模拟预测)已知x,y,z∈0,+∞，且x+y+z=1．(1)求证：yx+zy+xz>1+z-z；(2)求x2+y2+z2+5xy+4yz+4xz的最大值．17(2023·陕西安康·模拟预测)已知函数f x =x+a+x-b．(1)当a=2,b=3时，求不等式f x ≥6的解集；(2)设a>0,b>1，若f x 的最小值为2，求1a +1b-1的最小值．18(23-24高一上·贵州铜仁·期末)2020年初至今，新冠肺炎疫情袭击全球，对人民生命安全和生产生活造成严重影响. 在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失. 为降低疫情影响，某厂家拟在2022年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x=4-2m+1. 已知生产该产品的固定成本为8万元，生产成本为16万元/万件，厂家将产品的销售价格定为8+16xx万元/万件(产品年平均成本)的1.5倍.(1)将2022年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2022年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？19(2023·全国·模拟预测)已知x，y，z∈0,+∞．(1)若x+y=1，证明：4x+4y≤48；(2)若x+y+z=1，证明yx+zy+xz>1+z-z．11。

不等式综合求解多元不等式组在数学中，不等式是描述两个数或者两个式子之间关系的一种数学表达式。

不等式组则是由多个不等式组成的集合。

解决不等式组的问题，就是要找到满足所有不等式条件的变量取值。

首先，我们需要了解不等式的基本性质和解决方法。

然后，我们将具体讨论如何综合求解多元不等式组。

一、不等式的基本性质和解决方法：1. 不等式的基本性质：- 加减性质：如果a < b，那么a + c < b + c，其中c是一个实数。

- 乘除性质：如果a < b，并且c > 0，那么ac < bc；如果a < b，并且c < 0，那么ac > bc。

2. 不等式的解决方法：- 图像法：将不等式转化为图像，通过观察图像来得到解。

- 代数法：通过代数运算来得到解，包括化简、配方、移项等操作。

二、综合求解多元不等式组：当我们遇到多个变量的不等式组时，需要将其化简为更简单的形式，然后逐步求解。

1. 例子：假设我们有如下的多元不等式组：- 2x - 3y ≤ 6- x + 4y > 122. 化简：首先，我们可以将第一个不等式化简为：- x ≤ (6 + 3y) / 23. 图像法求解：将第一个不等式的图像绘制在坐标系中，即直线 x = (6 + 3y) / 2。

然后，在图像上方的区域找到满足第二个不等式 x + 4y > 12 的解。

4. 代数法求解：我们可以通过代数方法来求解不等式组。

将第一个不等式的解代入到第二个不等式中：- (6 + 3y) / 2 + 4y > 125. 化简：将上式化简为：- 6 + 3y + 8y > 24- 11y > 18- y > 18/116. 带回原式：将求得的y的取值 y > 18/11 带回第一个不等式中：- x ≤ (6 + 3(18/11)) / 2- x ≤ 48/11综上所述，原多元不等式组的解是：x ≤ 48/11，y > 18/11。

九年级数学下册综合算式专项练习题不等式运算不等式是数学中常见的一种数值关系表达形式。

在九年级数学下册中，不等式运算是一个重要的知识点。

本文将针对九年级数学下册综合算式专项练习题中的不等式运算部分展开讨论，为同学们提供解题思路和方法。

I. 不等式基本概念回顾在进一步讲解九年级数学下册综合算式专项练习题中的不等式运算前，我们先回顾一下不等式的基本概念。

不等式是含有不等号（<, ≤, >, ≥）的数值关系表达式。

两个数之间的大小关系可通过不等号来表达。

比如，a < b表示a小于b，a ≤ b表示a小于等于b。

不等式还可以包含变量，即未知数。

其解是指能够使得不等式成立的变量值。

II. 不等式的加减运算在九年级数学下册综合算式专项练习题中，经常会遇到需要进行不等式的加减运算。

下面我们以具体的例题来讲解。

例题1：已知不等式3x + 5 > 7，求x的解集。

解题步骤：1. 首先，将不等式中的加法运算转化为减法运算，得到3x > 2。

2. 接下来，将不等式中的乘法运算转化为除法运算，得到x > 2/3。

3. 因此，x的解集为{x | x > 2/3}，表示x的取值范围为大于2/3的所有实数。

例题2：已知不等式2x - 3 ≤ 4，求x的解集。

解题步骤：1. 首先，将不等式中的减法运算转化为加法运算，得到2x ≤ 7。

2. 接下来，将不等式中的乘法运算转化为除法运算，得到x ≤ 7/2。

3. 因此，x的解集为{x | x ≤ 7/2}，表示x的取值范围为小于等于7/2的所有实数。

通过以上例题我们可以看出，在不等式的加减运算中，我们需要注意保持不等式的方向一致性，并将加减运算转化为等效的减法或加法运算。

III. 不等式的乘除运算在九年级数学下册综合算式专项练习题中，不等式的乘除运算也是一个重要的考点。

下面我们以具体的例题来讲解。

例题3：已知不等式5x/2 > 10，求x的解集。

完整版)基本不等式知识点和基本题型基本不等式专题辅导一、知识点总结1.基本不等式原始形式若a,b∈R，则a+b≥2ab若a,b∈R，则ab≤(a^2+b^2)/22.均值不等式若a,b∈R，则a+b/2≥√(ab)3.基本不等式的两个重要变形若a,b∈R，则(a+b)/2≥√(ab)若a,b∈R，则ab≤(a+b)^2/4特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”4.求最值的条件：“一正，二定，三相等”5.常用结论1.x+1/x≥2 (当且仅当x=1时取“=”)2.x+1/x≤-2 (当且仅当x=-1时取“=”)3.若ab>0，则(a/b+b/a)/2≥2 (当且仅当a=b时取“=”)4.若a,b∈R，则ab≤(a^2+b^2)/2≤(a+b)^2/2特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”6.柯西不等式若a,b∈R，则(a^2+b^2)(1+1)≥(a+b)^2二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1.设a,b均为正数，证明不等式:ab≥(a+b)^2/42.已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a^2/(b-c)^2+b^2/(c-a)^2+c^2/(a-b)^2≥23.已知a+b+c=1，求证：a^2+b^2+c^2+3(ab+bc+ca)≥4/34.已知a,b,c∈R，且a+b+c=1，求证：(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc5.已知a,b,c∈R，且a+b+c=1，求证：|a-b|+|b-c|+|c-a|≥4√2/3题型二：利用不等式求最值1.已知a+b=1，求证：a^3+b^3≥1/42.已知a,b,c>0，且abc=1，求证：a/b+b/c+c/a≥a+b+c3.已知a,b,c>0，且a+b+c=1，求证：a/b+b/c+c/a≥34.已知a,b,c>0，求证：(a^2+b^2)/(a+b)+(b^2+c^2)/(b+c)+(c^2+a^2)/(c+a)≥(3/2)(a+b+c)5.已知a,b,c>0，求证：(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≥9基本不等式专题辅导一、知识点总结1.基本不等式原始形式若a,b∈R，则a+b≥2ab若a,b∈R，则ab≤(a²+b²)/22.均值不等式若a,b∈R，则a+b/2≥√(ab)3.基本不等式的两个重要变形若a,b∈R，则(a+b)/2≥√(ab)若a,b∈R，则ab≤(a+b)²/4特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”4.求最值的条件：“一正，二定，三相等”5.常用结论1.x+1/x≥2 (当且仅当x=1时取“=”)2.x+1/x≤-2 (当且仅当x=-1时取“=”)3.若ab>0，则(a/b+b/a)/2≥2 (当且仅当a=b时取“=”)4.若a,b∈R，则ab≤(a²+b²)/2≤(a+b)²/2特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”6.柯西不等式若a,b∈R，则(a²+b²)(1+1)≥(a+b)²二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1.设a,b均为正数，证明不等式:ab≥(a+b)²/42.已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a²/(b-c)²+b²/(c-a)²+c²/(a-b)²≥23.已知a+b+c=1，求证：a²+b²+c²+3(ab+bc+ca)≥4/34.已知a,b,c∈R，且a+b+c=1，求证：(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc5.已知a,b,c∈R，且a+b+c=1，求证：|a-b|+|b-c|+|c-a|≥4√2/3题型二：利用不等式求最值1.已知a+b=1，求证：a³+b³≥1/42.已知a,b,c>0，且abc=1，求证：a/b+b/c+c/a≥a+b+c3.已知a,b,c>0，且a+b+c=1，求证：a/b+b/c+c/a≥34.已知a,b,c>0，求证：(a²+b²)/(a+b)+(b²+c²)/(b+c)+(c²+a²)/(c+a)≥(3/2)(a+b+c)5.已知a,b,c>0，求证：(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≥9选修4-5：不等式选讲1.设a,b,c均为正数，且a+b+c=1，证明：Ⅰ) ab+bc+ca≤1/3；Ⅱ) a^2b+b^2c+c^2a≥1/9.2.已知a≥b>0，求证：2a-b≥2ab-b^2.3.求下列函数的值域：1) y=3x+2；2) y=x(4-x)；3) y=x+(x>2)；4) y=x+(x<2)。

6.7 不等式的综合问题●知识梳理1.方程与不等式、函数与不等式、解析几何与不等式的综合问题.2.解决上述问题的关键是找出综合题的各部分知识点及解法，充分利用数学思想和数学方法求解.●点击双基1.（2004年湖北，5）若＜＜0，则下列不等式中，正确的不等式有①a+b＜ab②|a|＞|b| ③a＜b④+＞2A.1个B.2个C.3个D.4个解析：∵＜＜0，∴b＜a＜0.∴故①正确，②③错误.∵a、b同号且a≠b，∴、均为正.∴+＞2=2.故④正确.∴正确的不等式有2个.答案：B2.（2004年福建，11）（理）定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（x+2），当x∈［3，5］时，f（x）=2－|x－4|，则A.f（sin）＜f（cos）B.f（sin1）＞f（cos1）C.f（cos）＜f（sin）D.f（cos2）＞f（sin2）解析：由f（x）=f（x+2），知T=2，又∵x∈［3，5］时，f（x）=2－|x－4|，可知当3≤x≤4时，f（x）=－2+x.当4＜x≤5时，f（x）=6－x.其图象如下图.故在（－1，0）上是增函数，在（0，1）上是减函数.又由|cos2|＜|sin2|，∴f（cos2）＞f（sin2）.答案：D（文）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）=f（x+2），当x∈［3，4］时，f（x）=x－2，则A.f（sin）＜f（cos）B.f（sin）＞f（cos）C.f（sin1）＜f（cos1）D.f（sin）＞f（cos）解析：仿理科分析.答案：C3.设M=a+（2＜a＜3），N=log（x2+）（x∈R），那么M、N的大小关系是A.M＞NB.M=NC.M＜ND.不能确定解析：由2＜a＜3，M=a+=（a－2）++2＞2+2=4（注意a≠1，a≠3），N=log（x2+）≤log=4＜M.答案：A4.对于0≤m≤4的m，不等式x2+mx＞4x+m－3恒成立，则x的取值范围是____________.解析：转化为m（x－1）+x2－4x+3＞0在0≤m≤4时恒成立.令f（m）=m（x－1）+x2－4x+3.则∴x＜－1或x＞3.答案：x＞3或x＜－1●典例剖析【例1】已知f（x）=log a（a＞0，a≠1）.（1）判断f（x）在（1，+∞）上的单调性，并加以证明；（2）当x∈（r，a－2）时，f（x）的值域为（1，+∞），求a与r的值；（3）若f（x）≥log a2x，求x的取值范围.剖析：单调性只要用定义证明，可先比较真数的大小再证.函数值域可利用函数的单调性确定端点后再比较，化为方程组求解.对数型不等式要化成同底后分a＞1与0＜a＜1求解，同时要注意定义域.解：（1）任取1＜x1＜x2，则f（x2）－f（x1）=log a－log a=log a=log a.又∵x2＞x1＞1，∴x1－x2＜x2－x1.∴0＜x1x2－x2+x1－1＜x1x2－x1+x2－1.∴0＜＜1.当a＞1时，f（x2）－f（x1）＜0，∴f（x）在（1，+∞）上是减函数；当0＜a＜1时，f（x2）－f（x1）＞0，∴f（x）在（1，+∞）上是增函数.（2）由＞0得x∈（－∞，－1）∪（1，+∞）.∵=1+≠1，∴f（x）≠0.当a＞1时，∵x＞1f（x）＞0，x＜－1f（x）∈（0，1），∴要使f（x）的值域是（1，+∞），只有x＞1.又∵f（x）在（1，+∞）上是减函数，∴f－1（x）在（1，+∞）上也是减函数.∴f（x）＞11＜x＜f－1（1）=.∴∴当0＜a＜1时，∵x＞1f（x）＜0，x＜1f（x）＞0，∴要使值域是（1，+∞），只有x＜－1.又∵f（x）在（－∞，－1）上是增函数，∴f（x）＞1－1＞x＞f－1（1）=.∴无解.综上，得a=2+，r=1.（3）由f（x）≥log a2x得当a＞1时，＜x＜且x＞1.∴1＜x＜.当0＜a＜1时，∴x＞.【例2】已知抛物线y=ax2－1上存在关于直线x+y=0成轴对称的两点，试求实数a的取值范围.解法一：设抛物线上关于直线l对称的两相异点为P（x1，y1）、Q（x2，y2），线段PQ的中点为M（x0，y0），设直线PQ的方程为y=x+b，由于P、Q两点存在，所以方程组有两组不同的实数解，即得方程ax2－x－（1+b）=0. ①判别式Δ=1+4a（1+b）＞0. ②由①得x0==，y0=x0+b=+b.∵M∈l，∴0=x0+y0=++b，即b=－，代入②解得a＞.解法二：设同解法一，由题意得将①②代入③④，并注意到a≠0，x1－x2≠0，得由二元均值不等式易得2（x12+x22）＞（x1+x2）2（x1≠x2）.将⑤⑥代入上式得2（－+）＞（）2，解得a＞.解法三：同解法二，由①－②，得y1－y2=a（x1+x2）（x1－x2）.∵x1－x2≠0，∴a（x1+x2）==1.∴x0==.∵M（x0，y0）∈l，∴y0+x0=0，即y0=－x0=－，从而PQ的中点M的坐标为（，－）.∵M在抛物线内部，∴a（）2－（－）－1＜0.解得a＞.（舍去a＜0，为什么?）夯实基础1.已知y=log a（2－ax）在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是A.（0，1）B.（1，2）C.（0，2）D.［2，+∞）解析：∵y=log a（2－ax）在［0，1］上是关于x的减函数，∴∴1＜a＜2.答案：B2.如果对任意实数x，不等式|x+1|≥kx恒成立，则实数k的范围是____________.解析：画出y1=|x+1|，y2=kx的图象，由图可看出0≤k≤1.答案：0≤k≤13.在下面等号右侧两个分数的分母方块处，各填上一个自然数，并且使这两个自然数的和最小，1=.解析：设+=1，a、b∈N*，则a=.∴a+b=+b+1，b＞9时，a+b=+b－9+10≥16.=b－9，即b=12取等号，此时a=4.b＜9无解.∴a=4，b=12.答案：4 124.已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足①x＞1时，f（x）＜0；（2）f（）=1；（3）对任意的x、y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y），求不等式f（x）+f（5－x）≥－2的解集.解：需先研究y=f（x）的单调性，任取x1、x2∈（0，+∞）且x1＞x2，则＞1.f（x1）=f（·x2）=f（）+f（x2），∴f（x1）－f（x2）=f（）＜0.∴f（x）在（0，+∞）上为减函数.又f（1）=f（1）+f（1），则f（1）=0.又∵f（1）=f（2）+f（）=f（2）+1=0.∴f（2）=－1.∴f（4）=2f（2）=－2.∴原不等式等价于解得{x|0＜x≤1或4≤x＜5}.5.设p=（log2x）2+（t－2）log2x－t+1，若t在区间［－2，2］上变动时，p恒为正值，试求x的取值范围.解：p=（log2x－1）t+（log2x）2－2log2x+1，∵t∈［－2，2］时p 恒为正值，∴解得1＜log2x＜3.∴2＜x＜8.培养能力6.（2004年江西九校联考三月）已知函数f（x）=－+（x＞0）.（1）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并证明；（2）解关于x的不等式f（x）＞0；（3）若f（x）+2x≥0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围.解：（1）f（x）在（0，+∞）上为减函数，∵（x）=－＜0，∴f（x）在（0，+∞）上为减函数.（2）由f（x）＞0得－+＞0，即＜0.①当a＞0时，不等式解集为{x|0＜x＜2a}.②当a＜0时，原不等式为＞0.解集为{x|x＞0}.（3）若f（x）+2x≥0在（0，+∞）上恒成立，即－++2x≥0.∴≤+2x.∵+2x≥4，∴≤4.解得a＜0或a≥.7.已知二次函数f（x）=x2+bx+c（b、c∈R），不论α、β为何实数，恒有f（sinα）≥0，f（2+cosβ）≤0.（1）求证：b+c=－1；（2）求证：c≥3；（3）若函数f（sinα）的最大值为8，求b、c的值.（1）证明：∵|sinα|≤1且f（sinα）≥0恒成立，可得f（1）≥0.又∵1≤2+cosβ≤3且f（2+cosβ）≤0恒成立，可得f（1）≤0，∴f（1）=01+b+c=0b+c=－1.（2）证明：∵b+c=－1b=－1－c，∴f（x）=x2－（1+c）x+c=（x－1）（x－c）.∴x－c≤0，即c≥x恒成立.∴c≥3.（3）解：∵f（sinα）=sin2α－（1+c）sinα+c=（sinα－）2+c－（）2，∴当sinα=－1时，f（sinα）的最大值为1－b+c.由1－b+c=8与b－c=－1联立可得b=－4，c=3.8.设f（x）=x2－bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（－1，3），若f（7+|t|）＞f（1+t2），求实数t的取值范围.解：∵f（x）＜0的解集是（－1，3），∴a＞0，f（x）的对称轴是x=1，且ab=2.∴f（x）在［1，+∞）上单调递增.又∵7+|t|≥7，1+t2≥1，∴由f（7+|t|）＞f（1+t2），得7+|t|＞1+t2.∴|t|2－|t|－6＜0，解得－3＜t＜3.探究创新9.有点难度哟！已知函数f（x）满足2axf（x）=2f（x）－1，f（1）=1，设无穷数列{a n}满足a n+1=f（a n）.（1）求函数f（x）的表达式；（2）若a1=3，从第几项起，数列{a n}中的项满足a n＜a n+1；（3）若1+＜a1＜（m为常数且m∈N，m≠1），求最小自然数N，使得当n≥N时，总有0＜a n＜1成立.解：（1）令x=1得2a=1，∴a=.∴f（x）=.（2）若a1=3，由a2==－1，a3==，a4==，假设当n≥3时，0＜a n＜1，则0＜a n+1=＜=12－a n＞0.从而a n+1－a n=－a n=＞0a n+1＞a n.从第2项起，数列{a n}满足a n＜a n+1.（3）当1+＜a1＜时，a2=，得＜a2＜.同理，＜a3＜.假设＜a n－1＜.由a n=与归纳假设知＜a n＜对n∈N*都成立.当n=m时，＜a m，即a m＞2.∴a m+1=＜0.0＜a m+2=＜＜1.由（2）证明知若0＜a n＜1，则0＜a n+1=＜=1.∴N=m+2，使得n≥N时总有0＜a n＜1成立.●思悟小结1.不等式的实际应用，题源丰富，综合性强，是高考应用题命题的重点内容之一.不等式应用题大都是以函数的面目出现，以最优化的形式展现.在解题过程中涉及均值不等式，常常与集合问题，方程（组）解的讨论，函数定义域、值域的确定，函数单调性的研究，三角、数列、立体几何中的最值问题，解析几何中的直线与圆锥曲线位置关系的讨论等等有着密切的关系.2.不等式应用大致可分为两类：一类是建立不等式参数的取值范围或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用均值不等式求最值问题.3.建立不等式的主要途径有：利用问题的几何意义；利用判别式；利用函数的有界性；利用函数的单调性；利用均值不等式.4.不等式应用的特点是：（1）问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、税收、销售、市场、信息”等，题目往往篇幅较长；（2）建立函数模型常见的有“正（反）比例函数、一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数，以及y=ax+（a＞0，b＞0）、y=ax2+、y=k（a+b）x·（c－ax）（d－bx）”的形式.5.解答不等式的实际应用问题，一般可分三个步骤：（1）阅读理解材料.应用题所用语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，而且文字叙述篇幅较长，阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型.这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题的方向.（2）建立数学模型，即根据题意找出常量与变量的不等关系.（3）利用不等式的有关知识解题，即将数学模型转化为数学符号或图形符号.●教师下载中心教学点睛1.在解不等式时，要注意函数思想、数形结合思想、分类讨论思想的应用.2.加强利用均值不等式及其他方法求最值的练习，在求最大（小）值时，有三个问题必须注意：第一，注意不等式成立的充分条件，即x ＞0，y＞0（x+y≥2）；第二，注意一定要出现积为定值或和为定值；第三，要注意等号成立的条件，若等号不成立，利用均值不等式x+y≥2不能求出最大（小）值.拓展题例【例1】设f（x）=ax2+bx+c，若f（1）=，问是否存在a、b、c∈R，使得不等式x2+≤f（x）≤2x2+2x+对一切实数x都成立，证明你的结论.解：由f（1）=，得a+b+c=.令x2+=2x2+2x+x=－1.由f（x）≤2x2+2x+推得f（－1）≤，由f（x）≥x2+推得f（－1）≥，∴f（－1）=.∴a－b+c=.故a+c=且b=1.∴f（x）=ax2+x+－a.依题意ax2+x+－a≥x2+对一切x∈R都成立，∴a≠1且Δ=1－4（a－1）（2－a）≤0.由a－1＞0得a=.∴f（x）=x2+x+1.证明如下：x2+x+1－2x2－2x－=－x2－x－=－（x+1）2≤0.∴x2+x+1≤2x2+2x+对x∈R都成立.∴存在实数a=，b=1，c=1，使得不等式x2+≤f（x）≤2x2+2x+对一切x∈R都成立.【例2】已知二次函数y=ax2+2bx+c，其中a＞b＞c且a+b+c=0.（1）求证：此函数的图象与x轴交于相异的两个点.（2）设函数图象截x轴所得线段的长为l，求证：＜l＜2.证明：（1）由a+b+c=0得b=－（a+c）.Δ=（2b）2－4ac=4（a+c）2－4ac=4（a2+ac+c2）=4［（a+）2+c2］＞0.故此函数图象与x轴交于相异的两点.（2）∵a+b+c=0且a＞b＞c，∴a＞0，c＜0.由a＞b得a＞－（a+c），∴＞－2.由b＞c得－（a+c）＞c，∴＜－.∴－2＜＜－.l=|x1－x2|=.由二次函数的性质知l∈（，2）.。

一、选择题（每小题6分，共42分） 1.不等式ax 2+5x+c>0的解集为（21,31），那么a,c 为（ ） A.a=6,c=1 B.a=-6,c=-1 C.a=1,c=6 D.a=-1,c=-6 答案：B解析：由题意得21,31为方程ax 2+5x+c=0的两根是a<0. 故2131+=-ac a =⨯2131,5, ∴a=-6,c=-1.2.不等式|x-1|+|x-2|≤3的最小整数解是（ ）A.0B.-1C.1D.2 答案：A解析：将x=-1代入不等式知不成立，将x=0代入不等式成立，故选A. 3.不等式|x+1|(2x-1)≥0的解集为（ ）A.［21，+∞） B.（-∞,-1]∪［21,+∞) C.{-1}∪［21，+∞） D.［-1，21］答案：C解析：当|x+1|=0即x=-1时不等式成立， 当|x+1|≠0时不等式等价于2x-1≥0，即x ≥21. 4.设a>0,不等式|ax+b|<c 的解集是{x|-2<x<1},则a ∶b ∶c 等于（ ） A.1∶2∶3 B.2∶1∶3 C.3∶1∶2 D.3∶2∶1 答案：B解析：|ax+b|<c a c b --⇔<x<a b c -，故a c b --=-2,abc -=1即a ∶b ∶c=2∶1∶3.5.设U=R ，A={x|mx 2+8mx+21>0},A=∅,则m 的取值范围是（ ）A.0≤m<1621 B.m>1621或m=0 C.m ≤0 D.m ≤0或m>1621答案：A 解析：∵A=∅,∴A=R,即mx 2+8mx+21>0恒成立. 当m=0时，不等式恒成立. 当m ≠0时， 则⇒⎩⎨⎧<⨯-=∆>0214)8(,02m m m 0<m<1621.∴m 的取值范围为［0，1621）. 6.已知a>0,集合A={x||x+2|<a},B={x|a x>1},若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是（ ） A.（2，+∞） B.（0，1）C.（0，1）∪（2，+∞）D.(0,1)∪（1，+∞） 答案：C解析：A={x|-a-2<x<a-2}当0<a<1时，B={x|x<0}又a-2<0故此时A ⊆B ，则A ∩B ≠∅. 当a>1时，B={x|x>0},∵A ∩B ≠∅,∴a-2>0,即a>2.∴a 的取值范围为（0，1）∪（2，+∞）. 7.(2010辽宁沈阳模拟，1)若不等式xxa ++12-3≥0的解集是{x|-7≤x<-1},则实数a 等于（ ） A.0 B.-4 C.-6 D.-8 答案：B 解析：∵不等式xxa ++12≥0， 即为1)3(+--x a x ≤0的解集为{x|-7≤x<-1},∴a-3=-7. ∴a=-4.选B.二、填空题（每小题5分，共15分） 8.不等式2||||3+-x x ≥21的解集是__________________.答案：［-34,34］ 解析：∵|x|+2>0故原不等式为6-2|x|≥|x|+2即|x|≤34,-34≤x ≤34. 9.若关于x 的不等式a 2-4+4x-x 2>0成立时，不等式|x 2-4|<1成立，则正数a 的取值范围是_______. 答案：（0，5-2]解析：a 2-4+4x-x 2>0⇒2-a<x<2+a.|x 2-4|<1⇒-5<x<5,由已知得⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥-.52,52a a 即0<a ≤5-2.10.(2010江苏南通一模，14)若不等式|x-4|+|3-x|<a 的解集是空集，则实数a 的取值范围是_____________________. 答案：（-∞,1］解析：由|x-4|+|3-x|≥|x-4+3-x|=1,故原不等式解集为空集，a 的取值范围是（-∞,1］. 三、解答题（11—13题每小题10分，14题13分，共43分）11.(2010福建厦门一中模拟，17)解不等式：|x 2-3x-4|<x+1.解析：不等式等价于⎩⎨⎧>--<--⇔⎪⎩⎪⎨⎧--<+-+<--)2(.032)1(,054,43)1(,1432222x x x x x x x x x x 解①得-1<x<5,解②得x<-1或x>3，故原不等式的解集为{x|3<x<5}. 12.已知|x-1|≤2且|x-a|≤2,求： （1）当a<0时，求x 的范围；（2）若x 的范围构成的集合是空集，求a 的取值范围. 解析：|x-1|≤2⇒-1≤x ≤3. |x-a|≤2⇒-2+a ≤x ≤a+2. (1)当a<0时，a+2<3,-2+a<-1.①当a+2≥-1,即a ≥-3时，x 的取值范围为［a+2,3］; ②当a+2<-1,即a<-3时，x . (2)由题意得 a+2<-1或-2+a>3. 故所求a 的取值范围为a<-3或a>5.13.已知全集U=R ，A={x|x 2-2x-8<0},B={x||x+3|>2},C={x|x 2-4ax+3a 2<0}. (1)C ⊆(A ∩B),求a 的取值范围； （2）C ⊆（A ）∩（B ），求a 的取值范围.解析：A={x|-2<x<4},B={x|x>-1或x<-5}. ∴A ∩B={x|-1<x<4}.当a>0时，C={x|a<x<3a}; 当a=0时，C=∅;当a<0时，C={x|3a<x<a}. (1)若C ⊆A ∩B,则a=0或⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥>⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥<.43,1,04,13,0a a a a a a 或∴a ∈［-34,31］. （2）（A ）∩（B ）={x|-5≤x ≤-2}.若C ⊇(A)∩(B),则⎪⎩⎪⎨⎧->-<<.2,53,0a a a∴-2<a<-35,即a ∈(-2,-35). 14.已知a>1,设P ：a(x-2)+1>0,Q:(x-1)2>a(x-2)+1,试寻求使得P 、Q 都成立的x 集合.解析：由题意得：⎪⎩⎪⎨⎧>--->⇒⎪⎩⎪⎨⎧>++-->⇒⎩⎨⎧+->->+-.0)2)((,12,02)2(,12,1)2()1(,01)2(22x a x a x a x a x a x x a x x a 若1<a<2,则有⎪⎩⎪⎨⎧<>->.2,12a x x ax 或而a-(2-a 1)=a+a 1-2>0,所以a>2-a1, 故x ∈{x|x>2或2-a 1<x<a};若a=2,则有x ∈{x|x>23,且x ≠2};若a>2,则有⎪⎩⎪⎨⎧<>->.2,12x a x ax 或 若x ∈{x|x>a 或2-a1<x<2}. 高三数学单元练习题：不等式（Ⅳ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

版块一．不等式的性质1．用不等号()<>≠，，≤，≥，表示不等关系的式子叫做不等式．2．对于任意两个实数a 和b ，在,,a b a b a b =><三种关系中，有且仅有一种关系成立． 3．两个实数的大小比较：对于任意两个实数,a b ，对应数轴上的两点，右边的点对应的实数比左边点对应的实数大．作差比较法：0a b a b ->⇔>；0a b a b -<⇔<；0a b a b -=⇔=．其中符号⇔表示它的左边与右边能够互相推出．4．不等式的性质： 性质1：（对称性）如果a b >，那么b a <；如果b a <，那么a b >． 性质2：（传递性）如果a b >，且b c >，则a c >． 性质3：如果a b >，则a c b c +>+． 推论1：（移项法则）不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边．推论2：如果,a b c d >>，则a c b d +>+．我们把a b >和c d >（或a b <和c d <）这类不等号方向相同的不等式，叫做同向不等式．推论2说明：同向不等式的两边可以分别相加，所得的不等式与原不等式同向． 推广：几个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向． 性质4：如果a b >，0c >，则ac bc >；如果a b >，0c <，则ac bc <．实数大小的作商比较法：当0b ≠时，若1a b >，且0b >，则a b >；若1ab>，且0b <，则a b <．推论1：如果0,0a b c d >>>>，则ac bd >．推广：几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向．推论2：如果0a b >>，则(,1)n n a b n n +>∈>N ． 推论3：如果0a b >>，则(,1)n n a b n n +>∈>N<教师备案>1． 对于任意两个实数,a b ，有0a b a b ->⇔>；0a b a b -<⇔<；0a b a b -=⇔=，这几个等价符号的左边反映的是实数的运算性质，右边反映的是实数的大小顺序．由此知：比较两个实数的大小，可以归结为判断它们的差的符号．这是不等式这一章的理论基础，是不等式性质的证明，证明不等式和解不等式的主要依据．在学习了不等式的性质后，比较两个实数的大小还可以用作商法，与1比较，知识内容不等式的综合问题但这时要注意分母的正负情况．2．比较两个代数式的大小关系，实际上是比较它们的值的大小，又归结为判断它们的差的符号，要引导学生意识到比较法是不等式证明的基本方法．它有两个基本步骤：先作差，再变形判断正负号，难点是后者．这里的代数式的字母是有范围的，省略不写时就表示取值范围是实数集，它的主要变形方法有两种，一是因式分解法，二是配方法，变形时要尽量避免讨论，让依据尽量简便．3．可以介绍异向不等式，并提醒学生注意什么样的不等式可以相加相减．对于不等式的性质与推论，可以根据学生的情况适当进行推导（比如性质４的推论３可以用反证法证明），让学生知道这些定理的来龙去脉，在不等式的证明中减少想当然，对数学证明的严格化有一定的认识．版块二．均值不等式1．均值定理：如果,a b +∈R （+R 表示正实数），那么2a b+，当且仅当a b =时，有等号成立．此结论又称均值不等式或基本不等式．2．对于任意两个实数,a b ，2a b+叫做,a b,a b 的几何平均值．均值定理可以表述为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．3．两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．<教师备案>1．在利用均值定理求某些函数的最值时，要注意以下几点： ⑴函数式中的各项必须都是正数，在异号时不能运用均值不等式，在同负时可以先进行转化，再运用均值不等式；⑵函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；⑶只有具备了不等式中等号成立的条件，才能使函数式取到最大或最小值．否则不能由均值不等式求最值，只能用函数的单调性求最值． 运用均值不等式的前提有口诀：一正二定三相等． 2．均值不等式的几何解释：半径不小于半弦．⑴对于任意正实数,a b ，作线段AB a b =+，使,AD a DB b ==； ⑵以AB 为直径作半圆O ，并过D 点作CD AB ⊥于D ， 且交半圆于点C ；⑶连结,,AC BC OC ，则2a bOC +=， ∵,AC BC CD AB ⊥⊥∴CD 当a b ≠时，在Rt COD ∆中，有2a bOC CD +=>CODB A当且仅当a b =时，,O D两点重合，有2a bOC CD +=== 3．已知：a b +∈R 、（其中+R 表示正实数），22112a b a b+⎝⎭+≥2a b +称为算术平均数，211a b+称为调和平均数．证明：()2221024a b a b +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭≥∴222a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭≥ ∵a b +∈R 、，∴2a b+，当且仅当“a b =”时等号成立．221024a b +-=⎝⎭Q ≥∴22a b +⎝⎭≥，当且仅当“a b =”时等号成立．∵22104-=⎝⎭≥∴2⎝⎭，当且仅当“a b =”时等号成立．∴2211ab a b a b==++=0=∴211a b+，当且仅当“a b =”时等号成立．了解这组不等式对解决一些不等式的证明题会有帮助，可选择性介绍．板块三．解不等式1．含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次不等式．有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决．其方法大致有：①用一元二次方程根的判别式，②参数大于最大值或小于最小值，③变更主元利用函数与方程的思想求解．2． 解不等式⑴解一元二次不等式通常先将不等式化为20ax bx c ++>或20 (0)ax bx c a ++<>的形式，然后求出对应方程的根（若有根的话），再写出不等式的解：大于0时两根之外，小于0时两根之间；⑵分式不等式主要是转化为等价的一元一次、一元二次或者高次不等式来处理； ⑶高次不等式主要利用“序轴标根法”解．【例1】 若实数x 、y 、m 满足x m y m ->-，则称x 比y 远离m ．⑴ 若21x -比1远离0，求x 的取值范围；⑵ 对任意两个不相等的正数a 、b ，证明：33a b +比22a b ab +远离2ab ； ⑶ 已知函数()f x 的定义域ππ24k D x x k x ⎧⎫⎧=≠+∈∈⎨⎨⎬⎩⎩⎭Z R ，，．任取x D ∈，()f x 等于sin x 和cos x 中远离0的那个值．写出函数()f x 的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）．【考点】不等式的综合问题 【难度】3星 【题型】解答【关键字】2010年，上海高考 【解析】略【答案】⑴ ()22x ∈-∞+∞U，⑵ 略⑶ π3πsin ππ44()ππcos ππ44x x k k f x x x k k ⎧⎛⎫∈++ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪∈-+ ⎪⎪⎝⎭⎩，，性质：⑴偶函数关于y 轴对称； ⑵周期π2T = ⑶πππ242k k ⎛⎫-⎪⎝⎭，单调增 ，πππ224k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，单调减⑷最大值为12典例分析【例2】 设1()1xxa f x a +=-（0a >且1a ≠），()g x 是()f x 的反函数．⑴设关于x 的方程求2log ()(1)(7)a tg x x x =--在区间[]26，上有实数解，求t 的取值范围；⑵当a e =（e为自然对数的底数）时，证明：22()nk g k =∑；⑶当102α<≤时，试比较1()nk f k n =-∑与4的大小，并说明理由．【考点】不等式的综合问题 【难度】4星 【题型】解答【关键字】2010年，四川高考 【解析】略【答案】⑴解得()1log 1a x g x x -⎛⎫=⎪+⎝⎭，于是有()()21117t x x x x -=+--． 即()()()()()321112171114232223t x x x x x ⎛⎫=-⋅-=-⋅-⋅-⋅=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭≤ 当且仅当1142x x -=-，即5x =时取等号．不妨设()()()217p x x x =--，有()()25,625p p ==，于是当[]2,6x ∈时，[]5,32t ∈．⑵由()1ln 1k g k k -=+，于是()()22ln 1n k g k n n =⎛⎫= ⎪ ⎪+⎝⎭∑， 于是仅需证明()2ln1n n >+，即()1ln 2n n +2m ≥，于是仅需证明222ln m>不妨设()2ln 22ln p m m =-，由()2ln 20p =->，而()220p m m m -'=+=>，于是()0p m >恒成立．⑶()14nk f k n =-<∑，证明如下：()1112211k knnnk kk k k a a f k n a a===-==--∑∑∑ 而当102a <≤时，有1111k k k ka a a a a ++<⋅--， 于是有()1112221111k k nnnkk k k a a af k n a aa a ===-=<<⋅----∑∑∑． 仅需证明()2241aa -≤即可．而此式当102a <≤时是显然的．也可这样放缩：设1,11a p p=+≥， 于是()()()()12212112221111111kkkk k k k p f k C p C p C C p p ++==+<+<++++-+- 即()()21114112f k k k k k k ⎛⎫-<=⋅- ⎪-+⎝⎭+则()1111441nnk k f k n k k ==⎛⎫-<-< ⎪+⎝⎭∑∑．【例3】 某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30︒且与该港口相距20海里的A 处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小船沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．⑴ 若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？⑵ 假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．【考点】不等式的综合问题 【难度】4星 【题型】解答【关键字】2010年，福建高考 【解析】略 【答案】解法一：⑴ 设相遇的小艇航行的距离为S 海里，则S故当13t =时，min S =3v =即，小艇以海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小． ⑵ 设小艇与轮船在B 处相遇，则30°ABO()22240090022030cos 9030v t t t =+-⋅⋅⋅︒-︒故22600400900v t t =-+∵030v <≤∴2600400900900t t -+≤即2230t t -≤， 解得23t ≥．又23t =时，30v =，故30v =时，t 取得最小值，且最小值等于23此时，在OAB △中，有20OA OB AB ===，故可设计航行方案如下： 航行方向向北偏东30︒，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇． 解法二：⑴ 若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向，设小艇与轮船在C 相遇．在Rt OAC △中，20cos30OC =︒=，20sin3010AC =︒= 又30AC t =，OC vt =． 此时，轮船航行时间101303t ==，3v ==COA 30°即，小艇以海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小． ⑵ 猜想30v =时，小艇能以最短时间与轮船在D 处相遇，此时30AD DO t ==，又60OAD ∠=︒，所以20AD DO OA ===，解得23t =DC OA θ30°据此可设计航行方案如下航行方向为北偏东30︒，航行速度的大小为30海里/小时，这样，小艇能以最短时间与轮船相遇． 证明如下：如图，由⑴得103OC =，10AC =， 故OC AC >，且对于线段AC 上任意点P ，有OP OC AC >≥．而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时， 故小艇与轮船不可能在A ，C 之间（包含C ）的任意位置相遇． 设()090COD θθ∠=︒<<︒，则在Rt COD △中，103tan CD θ=，103OD =． 由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为10103tan t θ+和103t ，10103tan 103θ+()153v ． 又30v ≤，故()3sin 30θ+︒ 从而，3090θ︒<︒≤，由于30θ=︒时，tan θ3 于是，当30θ=︒时，10103tan t θ+=取得最小值，且最小值为2.3解法三：⑴ 同解法一或解法二⑵ 设小艇与轮船在B 处相遇，依据题意得：30°ABO()22240090022030cos 9030v t t t =+-⋅⋅⋅︒-︒，22(900)6004000v t t -+-=．若030v <<，则由23600001600(900)v ∆=+-()216006750v =-≥，得v ≥从而，t ，)30v ⎡∈⎣，当t令x =[)015x ∈，，230020204225153x t x x ---==--≥，当且仅当0x =即v =时等号成立．当t 时，同理可得2433t ≤≤． 由①、②得，当)30v ⎡∈⎣时，2.3t > 若30v =，则23t =；综合⑴、⑵可知，当30v =，时，t 取最小值，且最小值等于23；此时，在OAB △中，20OA OB AB ===，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30︒，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇．【例4】 设()12A x y ，，()22B x y ，是平面直角坐标系xOy 上的两点，现定义由点A 到点B的一种折线距离()p A B ，为()2121p A B x x y y =-+-，．对于平面xOy 上给定的不同的两点()12A x y ，，()22B x y ，，⑴ 若点()C x y ，是平面xOy 上的点，试证明()()()p A C p C B p A B +，，≥， ⑵ 在平面xOy 上是否存在点()C x y ，，同时满足①()()()p A C p C B p A B +=，，， ② ()()p A C p C B =，， 若存在，请求出所有符合条件的点，请予以证明．【考点】不等式的综合问题 【难度】5星【题型】解答【关键字】2010年，广东高考 【解析】略【答案】⑴ 依题意：()()1122A C C B x x y y x x y y ρρ+=-+-+-+-，，， 而121221x x x x x x x x x x -+--+-=-≥，等号当且仅当1x x -与2x x -同号时取得，又121221y y y y y y y y y y -+--+-=-≥，等号当且仅当1y y -与2y y -同号时取得．故11222121x x y y x x y y x x y y -+-+-+---≥，即()()()A C C B A B ρρρ+，，≥，，等号当且仅当1x x -与2d x -同号且1y y -与2y y -也同号时取得．⑵ 不失一般性，设12x x ≤． ①若12y y ≤，假设这样的点存在，由⑴知，当()()()A C C B A B ρρρ+=，，，时，1x x -与2x x -同号且1y y -与2y y -也同号，此时有：12x x x ≤≤且12y y y ≤≤，即点C 的轨迹是以线段AB 灰对角线，且四边分别平行两坐标轴的矩形区域（含边界），（当12y y =时点C 的轨迹退化成线段AB ）． 而根据C 满足的第二个条件()()A C CB ρρ=，，可得1122x x y y x x y y -+-=-+-，考虑到12x x x ≤≤且12y y y ≤≤，去掉绝对值得1122x x y y x x y y -+-=-+-， 即121222x x y y y x ++=-++， 设AB 的中点为()00M x y ，，则00y x x y =-++，显然AB 的中点()00M x y ，在该直线上，故满足条件的点存在，为线段00y x x y =-++（[]12x x x ∈，，[]12y y y ∈，）上任意一点．（当12y y =时，线段“退化”成一点（线段AB 的中点），即此时满足条件的C 点只有一个）．②同理，若12y y >，假设这样的点存在，由C 满足第一个条件，可得12x x x ≤≤且21y y y ≤≤， 结合C 满足的第二个条件可得121222x x y y y x ++=-+， 设AB 的中点为()00M x y ，，则00y x x y =-+，显然AB 的中点()00M x y ，在该直线上，故此时满足条件的点亦存在，为线段00y x x y =-+（[]12x x y ∈，，[]12y y y ∈，）上任意一点．【例5】 设0a >，0b >，称2aba b+为a ，b 的调和平均数．如图，C 为线殴AB 上的点，且AC a =，CB b =，O 为AB 中点，以AB 为直径作半圆．过点C 作OD 的垂线，垂足为E ．连结OD ，AD ，BD ．过点C 作OD 的垂线，垂足为E ．则图中线段OD 的长度是a ，b 的算术平均数，线段 的长度是a ，b 的几何平均数，线段 的长度是a ，b 的调和平均数．DOEACB【考点】不等式的综合问题 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2010年，湖北高考 【解析】略 【答案】,CD DE【例6】 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：()()01035kC x x x =+≤≤，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．⑴求k 的值及()f x 的表达式；⑵隔热层修建多厚对，总费用()f x 达到最小，并求最小值．【考点】不等式的综合问题 【难度】4星 【题型】解答【关键字】2010年，湖北高考 【解析】略【答案】⑴设隔热层厚度为cm x ，由题设，每年能源消耗费用为()35kC x x =+， 再由(0)8C =，得40k =，因此40()35C x x =+， 而建造费用为1()6C x x =，最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为11040800()20()()2066(0)3535x f x C x C x x x x x =+=⨯+=+++≤≤． ⑵22400()6(35)f x x '=-+，令()0f x '=，即224006(35)x =+． 解得5x =，253x =（舍去） 当05x <<时，()0f x '<，当510x <<时，()0f x '>，故5x =是()f x 的最小值点，对应的最小值为800(5)6570155f =⨯+=+． 当隔热层修建5cm 厚时，总费用达到最小值70万元．【例7】 已知a ，b ，c 均为正数，证明：2222111a b c a b c ⎛⎫+++++ ⎪⎝⎭≥并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立．【考点】不等式的综合问题 【难度】4星 【题型】解答【关键字】2010年，辽宁高考 【解析】略【答案】方法一：因为a ，b ，c 均为正数，由平均值不等式得()222233a b c abc ++≥， ①()131113abc a b c-++≥， 所以()2231119abc a b c -⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥． ②故()()2222223311139a b c abc abc a b c -⎛⎫++++++ ⎪⎝⎭≥．又22333()9()abc abc -+≥ ③所以原不等式成立．当且仅当a b c ==时，①式和②式等号成立． 当且仅当22333()9()abc abc -=时， ③式等号成立． 即当且仅当143a b c ===时，原式等号成立． （证法二）因为a ，b ，c 均为正数，由基本不等式得222a b ab +≥， 222b c bc +≥， 222c a ac +≥．所以222a b c ab bc ac ++++≥ ① 同理222111111a b c ab bc ac++++≥ ② 故2222111a b c a b c ⎛⎫+++++ ⎪⎝⎭111333ab bc ac ab bc ac +++++≥≥所以原不等式成立．当且仅当a b c ==时时，①式和②式等号成立，当且仅当a b c ==，()()()2223ab bc ac ===时，③式等号成立．即当且仅当143a b c ===时，原式等号成立．【例8】 设函数()|24|1f x x =-+．⑴画出函数()y f x =的图像；⑵若不等式()ax f x ≤的解集非空，求a 的取值范围．【考点】不等式的综合问题 【难度】4星 【题型】解答【关键字】2010年，全国高考 【解析】略【答案】⑴由于2252()23x x f x x x -+<⎧=⎨-⎩≥，，，则函数()y f x =的图像如图所示．⑵由函数()y f x =与函数y ax =的图像可知，当且仅当12a ≥或2a <-时，函数()y f x =与函数y ax =的图像有交点．故不等式()ax f x ≤的解集非空时，a 的取值范围为1(2)2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭U ，，．【例9】 经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y （千辆/小时）与汽车的平均速度v （千米/小时）之间的函数关系为：2920(0)31600vy v v v =>++．⑴在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到0.1千辆/小时）⑵若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？ 【考点】不等式的综合问题 【难度】3星 【题型】解答【关键字】2005年，北京春季高考 【解析】略【答案】⑴依题意，9209201600833()y v v==++， 当且仅当1600v v =，即40v =时，上式等号成立．所以max 92011.183y =≈（千辆／小时）⑵由条件得29201031600vv v >++，∵2316000v v ++>，故可整理得28916000v v -+<， 即(25)(64)0v v --<， 解得2564v <<．答：当40v =千米/小时时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/小时．如果要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应大于25千米/小时且小于64千米/小时．【例10】 某种汽车购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费和约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元．问这种汽车使用多少年报废最合算?（最佳报废时间也就是年平均费用最低的时间）【考点】不等式的综合问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】略【答案】设使用x 年平均费用最少，由于“年维修费用第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元”，可知汽车每年维修费构成以0.2万元为首项，0.2万元为公差的等差数列，因此，汽车使用x 年总维修费用为0.20.22xx +⋅万元． 设汽车的年平均费用为y 万元，则有0.20.2100.910211310xx xx y x x +++⋅==+++=≥，当1010xx =，即10x =（负值直接舍去）时取到等号， 即当汽车使用10年报废，年平均费用y 最小． 答：这种汽车使用10年报废最合算．【例11】 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为218000cm ，四周空白的宽度为10cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm ，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm ），能使矩形广告面积最小？【考点】不等式的综合问题 【难度】3星 【题型】解答【关键字】2008年，湖北高考 【解析】略 【答案】法一：设矩形栏目的高为cm a ，宽为cm b ，则9000ab =． ①广告的高为20a +，宽为225b +，其中0a >，0b >． 广告的面积(20)(225)S a b =++24025500185002540ab b a a b =+++=++185001850024500++=≥．当且仅当2540a b =时等号成立，此时58b a =，代入①式得120a =，从而75b =．即当120a =，75b =时，S 取得最小值24500．故广告的高为140cm ，宽为175cm 时，可使广告的面积最小． 法二：设广告的高为宽分别为cm x ，cm y ，则每栏的高和宽分别为20x -，252y -，（其中20x >，25y >）两栏面积之和为()25220180002y x -⋅-⋅=，由此得180002520y x =+-，广告的面积180001800025252020xS xy x x x x ⎛⎫==+=+ ⎪--⎝⎭，整理得36000025(20)1850020S x x =+-+-．因200x ->，所以1850024500S =≥．当且仅当36000025(20)20x x =--时等号成立，此时有()()2201440020x x -=>，解得140x =，代入180002520y x =+-，得175y =，即当140x =，175y =时，S 取得最小值24500，故当广告的高为140cm ，宽为175cm 时，可使广告的面积最小．【例12】 如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱．污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出．设箱体长度为a 米，高度为b 米．已知流出的水中，杂质的质量分数与,a b 的乘积ab 成反比．现有制箱材料60平方米，问当,a b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（,A B 孔的面积忽略不计）2BAba【考点】不等式的综合问题 【难度】星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】法一：设y 为流出的水中，杂质的质量分数，则ky ab=，其中0k >为比例系数， 依题意，即要求对应的,a b 的值，使得y 的值最小．根据题设，有42260(0,0)b ab a a b ++=>>，得30(030)2ab a a-=<<+① 于是(30)64(2)3422k k k y a a ab a a a ===--+-+++18k=，当6422a a +=+时取等号，此时y 取到最小值，这时6a =或10a =-（舍去），将6a =代入①式得3b =．故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小． 法二：依题意，即要求对应的,a b 的值，使得ab 最大． 由题设知42260(0,0)b ab a a b ++=>> 即230(0,0)b ab a a b ++=>>∵2a b +≥∴30ab +当且仅当2a b =时，上式取等号．由0,0a b >>，解得018ab <≤． 即当2a b =时，ab 取得最大值，其最大值为18． ∴2218b =，解得3,6b a ==．故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．【例13】 设计一幅宣传画，要求画面面积为24840cm ，画面的宽与高的比为(1)λλ<，画面的上下各留8cm 的空白，左右各留5cm 的空白，问怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？如果23[,]34λ∈，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？【考点】不等式的综合问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】设画面的高为xcm ，宽为xcm λ，则24840x λ=，故x =设纸张面积为S ，则有(16)(10)S x x λ=++2(1610)160x x λλ=+++50004410(8)6760λλ=++≥，当且仅当8λλ=时，即58λ=时，S 取最小值，此时，高102288x cm λ==，宽588558x cm λ=⨯=． 如果23[,]34λ∈，则上述等号不能成立．现证函数()S λ在23[,]34上单调递增．设122334λλ<≤≤，则1212121212()()4410(88)4410()(8)S S λλλλλλλλλλ-=+--=--，因为1212258038λλλλ>>⇒->， 又120λλ-<，所以12()()0S S λλ-<，故()S λ在23[,]34上单调递增，因此对23[,]34λ∈，当23λ=时，()S λ取得最小值．【例14】 某单位用木料制作如图所示的框架， 框架的下部是边长分别为,x y （单位：m ）的矩形．上部是等腰直角三角形． 要求框架围成的总面积28m ． 问,x y 分别为多少（精确到0．01m ） 时用料最省?【考点】不等式的综合问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】由题意得1822x xy x +⋅⋅=，∴2884(04x x y x x x -==-<< 于是， 框架用料的长度为：316222(4(22l x y x x=++=++≥，当316(2x x=，即8x =-此时， 2.34x ≈， 2.83y =≈． 答：当x 为2.34m ，y 为2.83m 时， 用料最省．【例15】 某村计划建造一个室内面积为8002m 的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左．右两侧与后侧内墙各保留1m 宽的通道，沿前侧内墙保留3m 宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大．最大种植面积是多少？【考点】不等式的综合问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】设矩形温室的左侧边长为am ，后侧边长为bm ，则800ab =．蔬菜的种植面积(4)(2)4288082(2)S a b ab b a a b =--=--+=-+．所以2808648().S m -≤当2a b =，即40(),20()a m b m ==时，2648()S m =最大值．答：当矩形温室的左侧边长为40m ，后侧边长为20m 时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为2648m ．【例16】 对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度（含污物体的清洁度定义为：1-污物质量）物体质量（含污物）为0.8，要求清洗完后的清洁度为0.99．有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙： 分两次清洗．该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为(13)a a ≤≤．设用x 单位质量的水初次清洗后的清洁度是0.81x x ++(1)x a >-，用y 单位质量的水第二次清洗后的清洁度是y acy a++，其中c (0.80.99)c <<是该物体初次清洗后的清洁度． ⑴分别求出方案甲以及0.95c =时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少；⑵若采用方案乙，当 1.4a =时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最小?【考点】不等式的综合问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】⑴设方案甲与方案乙的用水量分别为x 与z ，由题设有0.80.991x x +=+， 解得19x =．由0.95c =得方案乙初次用水量为3，第二次用水量y 满足方程0.950.99y ay a+=+，解得4y a =，故43z a =+．即两种方案的用水量分别为19与43a +． 因为当13a ≤≤时，4(4)0x z a -=->，即x z >，故方案乙的用水量较少． ⑵设初次与第二次清洗的用水量分别为x 与y ，由0.81x c x +=⇒+545(1)c x c -=-，由0.99y ac y a +=+⇒(99100)y a c =-（*）， 于是549(99100)5(1)5c x y c c -+=+--1180(1)15(1)c a c =+----，当a 为定值时，111x y a a +-=-+≥，当且仅当1180(1)5(1)c c =--时等号成立．此时3130c =（不合题意，舍去）或29(0.80.99)30c =∈，将2930c =代入（*）式得492156555x y =>=-=，．故2930c =时总用水量最少， 此时第一次与第二次用水量分别为：5与215，最少总用水量是46()5T a =．【例17】 按照某学者的理论，假设一个人生产某产品的单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为m 元，则他的满意度为mm a+；如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为an a+．如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为1h 和2h现假设甲生产A 、B 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A 、B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A 、B 的单价分别为A m 元和B m 元，甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲，乙卖出A 与买进B 的综合满意度为h 乙；⑴求h 甲和h 乙关于A m 、B m 的表达式；当35A B m m =时，求证：h 甲=h 乙；⑵设35A B m m =，当A m 、B m 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？⑶记⑵中最大的综合满意度为0h ，试问能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h 甲≥和0h h 乙≥同时成立，但等号不同时成立？试说明理由．【考点】不等式的综合问题 【难度】4星 【题型】解答【关键字】2009年，江苏高考 【解析】略【答案】设A m x =，B m y =．⑴甲买进产品A 的满意度：11212h x =+甲；甲卖出产品B 的满意度：25y h y =+甲；甲买进产品A 和卖出产品B的综合满意度：h =甲； 同理，乙卖出产品A 和买进产品B的综合满意度：h =乙． 当35x y =时，h ==甲h ==乙h h =乙甲；⑵当35x y =时，由⑴知h h ==乙甲因为()()20204100205925y y y y y=++++≤，且等号成立当且仅当10y =．当10y =时，6x =．因此，当6A m =，10B m =时，甲、乙两人的综合满意度均最大，且最大的综合满意度为23．⑶由⑵知023h =．因为h h 乙甲49=， 所以，当23h 甲≥，23h 乙≥时，有23h h ==乙甲．因此，不能取到A B m m ，的值，使得0h h 甲≥和0h h 乙≥同时成立，但等号不同时成立．。