基本不等式题型总结(经典,非常好,学生评价高)

基本不等式题型及常用方法总结1. 引言不等式是数学中重要的概念之一，它在数学建模、优化理论、概率论等领域中有着广泛的应用。

基本不等式是解决不等式问题的基础，掌握常用的解题方法对于学习和应用不等式理论至关重要。

本文将系统总结基本不等式题型及常用方法，以帮助读者更好地理解和应用这一领域的知识。

2. 一元一次不等式2.1 一元一次线性不等式2.1.1 基本性质：线性函数图像特点、函数值与符号关系在解决一元一次线性函数时，我们首先需要了解线性函数图像的特点。

对于形如ax+b>0或ax+b<0的线性函数，我们可以通过求解对应方程ax+b=0得到临界点x=-b/a，并以此为界将数轴分为两个区间。

在每个区间内，我们可以通过选取任意一个测试点来判断该区间内函数值与符号之间的关系。

2.1.2 解法：图像法、代数法对于一元一次线性不等式，我们可以通过图像法和代数法来解决问题。

图像法是通过绘制线性函数的图像，通过观察函数在不同区间的变化来确定不等式的解集。

代数法则是通过代数运算，将不等式转化为等价的形式，从而得到解集。

例如，对于ax+b>0形式的线性不等式，我们可以将其转化为ax>-b，并根据a的正负性讨论出解集。

2.2 一元一次绝对值不等式绝对值函数是一个常见的非线性函数，在解决绝对值不等式时我们需要特别注意其特点和解题方法。

对于形如|ax+b|>c或|ax+b|<c的绝对值不等式，我们可以将其转化为一个或多个线性不等式，并根据这些线性不等式得到最终的解集。

2.3 一元二次根号型不等式二次根号型函数在数学中也有着重要地位，在解决二次根号型函数时我们需要掌握特定方法。

例如，在求解形如√(ax^2+bx+c)>0或√(ax^2+bx+c)<0 的二次根号型函数时，可以通过求出二次方程ax^2+bx+c=0 的两个实数根，并根据根的位置和函数的凹凸性来确定函数值与符号之间的关系。

基本不等式知识点和基本题型基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式若$a,b\in R$，则$a+b\geq 2ab$，其中$a^2+b^2$为定值。

2、基本不等式一般形式（均值不等式）若$a,b\in R$，则$\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$。

3、基本不等式的两个重要变形若$a,b\in R$，则$a+b\geq 2\sqrt{ab}$，其中$\frac{a+b}{2}\leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$。

总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最小值。

特别说明：以上不等式中，当且仅当$a=b$时取“=”。

4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”。

5、常用结论若$x>1$，则$\frac{x+1}{2}>\sqrt{x}$（当且仅当$x=1$时取“=”）。

若$x<1$，则$\frac{x+1}{2}<-\frac{1}{x}$（当且仅当$x=-1$时取“=”）。

若$ab>0$，则$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$（当且仅当$a=b$时取“=”）。

若$a,b\in R$，则$a^2+b^2\geq 2ab$，$\frac{a+b}{2}\geq \frac{2ab}{a+b}$，$\frac{a+b}{2}\leq \sqrt{a^2+b^2}$。

6、柯西不等式若$a,b\in R$，则$(a^2+b^2)(1+1)\geq (a+b)^2$。

题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1、设$a,b$均为正数，证明不等式：$ab\geq\frac{a^2+b^2}{2}$。

2、已知$a,b,c$为两两不相等的实数，求证：$a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$。

3、已知$a+b+c=1$，求证：$a^2+b^2+c^2+\frac{9}{4}\geq 2(ab+bc+ca)$。

完整版)基本不等式知识点和基本题型基本不等式专题辅导一、知识点总结1.基本不等式原始形式若a,b∈R，则a+b≥2ab若a,b∈R，则ab≤(a^2+b^2)/22.均值不等式若a,b∈R，则a+b/2≥√(ab)3.基本不等式的两个重要变形若a,b∈R，则(a+b)/2≥√(ab)若a,b∈R，则ab≤(a+b)^2/4特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”4.求最值的条件：“一正，二定，三相等”5.常用结论1.x+1/x≥2 (当且仅当x=1时取“=”)2.x+1/x≤-2 (当且仅当x=-1时取“=”)3.若ab>0，则(a/b+b/a)/2≥2 (当且仅当a=b时取“=”)4.若a,b∈R，则ab≤(a^2+b^2)/2≤(a+b)^2/2特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”6.柯西不等式若a,b∈R，则(a^2+b^2)(1+1)≥(a+b)^2二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1.设a,b均为正数，证明不等式:ab≥(a+b)^2/42.已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a^2/(b-c)^2+b^2/(c-a)^2+c^2/(a-b)^2≥23.已知a+b+c=1，求证：a^2+b^2+c^2+3(ab+bc+ca)≥4/34.已知a,b,c∈R，且a+b+c=1，求证：(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc5.已知a,b,c∈R，且a+b+c=1，求证：|a-b|+|b-c|+|c-a|≥4√2/3题型二：利用不等式求最值1.已知a+b=1，求证：a^3+b^3≥1/42.已知a,b,c>0，且abc=1，求证：a/b+b/c+c/a≥a+b+c3.已知a,b,c>0，且a+b+c=1，求证：a/b+b/c+c/a≥34.已知a,b,c>0，求证：(a^2+b^2)/(a+b)+(b^2+c^2)/(b+c)+(c^2+a^2)/(c+a)≥(3/2)(a+b+c)5.已知a,b,c>0，求证：(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≥9基本不等式专题辅导一、知识点总结1.基本不等式原始形式若a,b∈R，则a+b≥2ab若a,b∈R，则ab≤(a²+b²)/22.均值不等式若a,b∈R，则a+b/2≥√(ab)3.基本不等式的两个重要变形若a,b∈R，则(a+b)/2≥√(ab)若a,b∈R，则ab≤(a+b)²/4特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”4.求最值的条件：“一正，二定，三相等”5.常用结论1.x+1/x≥2 (当且仅当x=1时取“=”)2.x+1/x≤-2 (当且仅当x=-1时取“=”)3.若ab>0，则(a/b+b/a)/2≥2 (当且仅当a=b时取“=”)4.若a,b∈R，则ab≤(a²+b²)/2≤(a+b)²/2特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”6.柯西不等式若a,b∈R，则(a²+b²)(1+1)≥(a+b)²二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1.设a,b均为正数，证明不等式:ab≥(a+b)²/42.已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a²/(b-c)²+b²/(c-a)²+c²/(a-b)²≥23.已知a+b+c=1，求证：a²+b²+c²+3(ab+bc+ca)≥4/34.已知a,b,c∈R，且a+b+c=1，求证：(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc5.已知a,b,c∈R，且a+b+c=1，求证：|a-b|+|b-c|+|c-a|≥4√2/3题型二：利用不等式求最值1.已知a+b=1，求证：a³+b³≥1/42.已知a,b,c>0，且abc=1，求证：a/b+b/c+c/a≥a+b+c3.已知a,b,c>0，且a+b+c=1，求证：a/b+b/c+c/a≥34.已知a,b,c>0，求证：(a²+b²)/(a+b)+(b²+c²)/(b+c)+(c²+a²)/(c+a)≥(3/2)(a+b+c)5.已知a,b,c>0，求证：(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≥9选修4-5：不等式选讲1.设a,b,c均为正数，且a+b+c=1，证明：Ⅰ) ab+bc+ca≤1/3；Ⅱ) a^2b+b^2c+c^2a≥1/9.2.已知a≥b>0，求证：2a-b≥2ab-b^2.3.求下列函数的值域：1) y=3x+2；2) y=x(4-x)；3) y=x+(x>2)；4) y=x+(x<2)。

专题 基本不等式【一】基础知识基本不等式：)0,0a b a b +≥>>（1）基本不等式成立的条件： ；（2）等号成立的条件：当且仅当 时取等号.2.几个重要的不等式（1）()24a b ab +≤(),a b R ∈；（2）)+0,0a b a b ≥>>；【二】例题分析【模块1】“1”的巧妙替换【例1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则41x y +的最小值为 .【变式1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则4x x y +的最小值为 .【变式2】（2013年天津）设2,0a b b +=>， 则1||2||a a b +的最小值为 .【例2】（2012河西）已知正实数,a b 满足211a b +=，则2a b +的最小值为 .【变式】已知正实数,a b 满足211a b+=，则2a b ab ++的最小值为 .【例3】已知0,0x y >>，且280x y xy +-=，则x y +的最小值为 .【例4】已知正数,x y 满足21x y +=，则8x y xy +的最小值为 .【例5】已知0,0a b >>，若不等式212m a b a b+≥+总能成立，则实数m 的最大值为 .【例6】（2013年天津市第二次六校联考）()1,0by a b +=≠与圆221x y +=相交于,A B 两点，O 为坐标原点，且△AOB 为直角三角形，则2212a b +的最小值为 .【例7】（2012年南开二模）若直线()2200,0ax by a b -+=>>始终平分圆222410x y x y ++-+=的周长，则11a b+的最小值为 .【例8】设12,e e 分别为具有公共焦点12,F F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足120PF PF ⋅=，则22214e e +的最小值为【例9】已知0,0,lg 2lg 4lg 2x y x y >>+=，则 ）A ．6B ．5 C【例10】已知函数()4141x x f x -=+，若120,0x x >>，且()()121f x f x +=，则()12f x x +的最小值为 .【模块二】“和”与“积”混合型【例1】（2012年天津）设,m n R ∈,若直线:10l mx ny +-=与x 轴相交于点A,与y 轴相交于B ，且l 与圆224x y +=相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则AOB ∆面积的最小值为 .【例2】设,x y R ∈，1,1a b >>，若2x y a b ==，28a b +=，则11x y+的最大值为_______.【例3】若实数,x y 满足221x y xy ++=，则x y +的最大值为 .【例4】（2013年南开一模）已知正实数,a b 满足21a b ab ++=，则a b +的最小值为 .【例5】设,m n R ∈，若直线()()1120m x n y +++-=与圆()()22111x y -+-=相切，则m n +的取值范围是（ ）（A ）1⎡⎣ （B ）(),11⎡-∞⋃+∞⎣（C ）2⎡-+⎣ （D ）(),22⎡-∞-⋃++∞⎣【例6】已知1,1x y >>，且11ln ,,ln 44x y 成等比数列，则xy 的最小值为 .【例7】（2015天津）已知0,0,8,a b ab >>= 则当a 的值为 时()22log log 2a b ⋅取得最大值.【例8】（2011年天津）已知22log log 1a b +≥，则39a b +的最小值为 .【例9】下列说法正确的是（ ）ABCD【例10】设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是（ ）A ．10 B。

□▲○○○《不等式》考点及题型总结第一节 不等式一、知识要点：（一）不等式的定义：用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式。

（二）不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

（三）不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

（四）不等式的性质：1、不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变2、不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

，3、不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

二、题型分析：题型一： 不等式的概念和表达例1： x 的21与5的差不小于3，用不等式可表示为__________. 答案：1532x -≥例2：设“○”、“□”、“△”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示，那么每个“○”、“□”、“△”这样的物体，按质量从大到小的顺序排列为（ ）…A 、○□△B 、○△□C 、□○△D 、△□○ 答案：A题型二：不等式性质的考察]A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个分析：由a﹤b﹤0得，a、b同为负数并且︱a︱﹥︱b︱。

可取特殊值代入，如取a=－2，b=－1代入式子中。

答案：C例2：若a﹥b，则下列式子一定成立的是（）。

A、a＋3﹥b＋5，B、a－9﹥b－9，C、－10a﹥－10b，D、a2c﹥b2c分析：由于不等式的两边乘除同一个数时存在变号的问题，因此需要对a，b的符号进行分类讨论。

或者此题也可以取特殊值代入验证，通过排除法来求解。

A、C取0，-1即可排除，D将常数取0也可排除。

答案：B例3：下列结论：①若a﹤b，则a2c﹤b2c；②若a c﹥b c，则a﹥b；③若a﹥b且若c=d，则a c﹥b d；④若a2c﹤b2c，则a﹤b。

正确的有（）。

'A、4个B、3个C、2个D、1个分析：①2c=0，即可排除；②若a、b、c都为负数即可否定；③任用前两种方法都可以排除；只有④正确。

基本不等式 一、考点、热点回顾 1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大) 知识拓展不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若f (x )在区间D 上存在最小值，则不等式f (x )>A 在区间D 上恒成立⇔f (x )min >A (x ∈D )； 若f (x )在区间D 上存在最大值，则不等式f (x )<B 在区间D 上恒成立⇔f (x )max <B (x ∈D )．(2)能成立问题：若f (x )在区间D 上存在最大值，则在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )>A 成立⇔f (x )max >A (x ∈D )； 若f (x )在区间D 上存在最小值，则在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )<B 成立⇔f (x )min <B (x ∈D )．(3)恰成立问题：不等式f (x )>A 恰在区间D 上成立⇔f (x )>A 的解集为D ；不等式f (x )<B 恰在区间D 上成立⇔f (x )<B 的解集为D .二、典型例题例1、设0a b ，则下列不等式中正确的是（ ）A ．a ＜b ＜＜ B. a ＜＜＜bC ．a ＜＜b ＜ D ．＜a ＜＜b变式训练1、已知等比数列的各项均为正数，公比0＜q ＜1，设392a a P +=，Q =，则a 3，a 9，P 与Q 的大小关系是（ ）A ．a 3＞P ＞Q ＞a 9 B. a 3＞Q ＞P ＞a 9C ．a 9＞P ＞a 3＞QD ．P ＞Q ＞a 3＞a 9考点二、利用基本不等式求最值例2、(1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________．(2)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________． （3）设a ＞0，b ＞0，且21a b +=，则11a b+的最小值为 。

基本不等式常见题型归纳汇总与求值相关的数学问题和与不等式相关的数学问题是高中数学中大的两个考察方向，而基本不等式作为不等式问题的重要组成部分，贯穿高中数学中圆锥曲线、数列、函数、三角函数等多个知识点，所有掌握基本不等式的基本题型，对解决与基本不等式相关的问题显得尤为重要。

现笔者对基本不等式常出现的题型予以总结，以供师生参考。

主要知识题型一基于简单变换的基本不等式问题此类题型以求和的取值范围转化为积为定值求解，求积的取值范围问题转化为和为定值求解为突破口，借助构造思想，构造为可以使用基本不等式的形式；常见的构造变换方法有凑项变换、拆项变换、系数变换、平方变换、常量代换、三角代换等。

题目思路点拨以上8题借助常见的转换形式，往和为定值或者积为定值的方向转化即可。

解析变式提升思路点拨借助常见的转换形式，往常见基本不等式相关形式转化即可。

注意基本不等式“一正二定三相等”条件的限制。

题目思路点拨解析变式提升思路点拨分离参量，然后分子分母同除，再借助分离变换即可。

题型二基于ax+by+cxy=d类型的构造此类题型常常以和以及积的等式形式出现，然后求和或者积的取值范围，题型切入口为将等式转化为不等式，常见的解题思路有构造法、判别式法、化法，变量代换、整体代换等。

题目思路点拨将等式转化为不等式，找出可以利用的不等量关系即可。

解析题目思路点拨将等式转化为不等式，找出可以利用的不等量关系即可。

解析变式提升思路点拨借助构造与变形转化为不等式或者单变量函数关系式，然后利用构造法、判别式法、化法，变量代换、整体代换等方法求解即可。

题目思路点拨把题目中等式进行变形，变量代换后整体代入运用基本不等式求解。

解析题型三基于复杂变换类型的构造此类题型常常题设复杂，需要向基本不等式方向变换多次或者多次运用基本不等式，考察的角度为学生综合处理问题能力以及对不等式的熟练程度。

能够掌握这类题型需要建立在掌握题型一、题型二的基础上，解题的中心思路还是往和为定值或者积为定值的方向转化。

基本不等式-题型总结(经典-非常好-学生评价高)基本不等式一. 基本不等式①公式：(0,0)2a b a b +≥≥≥，常用a b +≥ ②升级版：22222a b a b ab ++⎛⎫≥≥ ⎪⎝⎭,a b R ∈ 选择顺序：考试中，优先选择原公式，其次是升级版二．考试题型【题型1】 基本不等式求最值求最值使用原则：一正 二定 三相等一正： 指的是注意,a b 范围为正数。

二定： 指的是ab 是定值为常数三相等：指的是取到最值时a b =典型例题：例1 .求1(0)2y x x x=+<的值域 分析：x 范围为负，提负号（或使用对钩函数图像处理） 解：1()2y x x =--+- 00x x <∴->Q12x x ∴-+≥=-12x x∴+≤得到(,y ∈-∞例2 .求12(3)3y x x x =+>-的值域 解：123y x x =+- （“添项”，可通过减3再加3，利用基本不等式后可出现定值） 12(3)63x x =+-+-330x x >∴->Q 12(3)3x x ∴+-≥-6y ∴≥， 即)6,y ⎡∈+∞⎣例3.求2sin (0)sin y x x xπ=+<<的值域 分析：sin x 的范围是(0,1)，不能用基本不等式，当y 取到最小值时，sin x 的值是不在范围内解：令sin (0,1)t x t =∈，2y t t=+ 是对钩函数，利用图像可知： 在(0,1)上是单减函数，所以23t t +>，（注：3是将1t =代入得到） (3,)y ∴∈+∞注意：使用基本不等式时，注意y 取到最值，x 有没有在范围内，如果不在，就不能用基本不等式，要借助对钩函数图像来求值域。

例4．求221(2)2x x y x x ++=>-+的值域 分析：先换元，令2,0t x t =+>，其中2x t =- 解：22(2)2(2)16116t t t t y t t t t-+-+++===++ 110268t t t t t>∴+≥∴++≥Q [8,)y ∴∈+∞ 总之：形如2(0,0)cx dx f y a c ax b++=≠≠+的函数，一般可通过换元法等价变形化为p y t t=+()p 为常数型函数，要注意t 的取值范围； 【失误与防范】1．使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．2．在运用重要不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足重要不等式中“正”“定”“等”的条件．3．连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．【题型2】 条件是a b +或ab 为定值，求最值（值域）（简）例5．若0,0x y >>且18x y +=，则xy 的最大值是________．解析：由于0,0x y >>，则x y +≥18≤，则xy 的最大值为81 例6．已知,x y 为正实数，且满足4312x y +=，则xy 的最大值为________．解析：43x y +≥Q12≤，3xy ∴≤当且仅当434312x y x y =⎧⎨+=⎩即322x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩时，xy 取得最大值3.例7．已知0,0m n >>，且81mn =，则m n +的最小值为________．解析：Q 0,0m n >>，18m n ∴+≥=，当且仅当9m n ==时，等号成立．总结：此种题型：和定积最大，积定和最小【题型3】 条件是a b +或11a b+为定值，求最值（范围）（难） 方法：将1整体代入例8.已知0,0x y >>且1x y +=，则11x y+的最小值是________________ 解析：1x y +=Q1111()()224y x x y x y x y x y ∴+=++=++≥+= 所以最小值是4例9. 已知0,0a b >>，2a b +=，则14y a b=+的最小值是________． 解析：212a b a b ++=∴=Q则141412()()2222a b b a a b a b a b++=+=+++52592222b a a b =++≥+= 所以最小值是92例10.已知0,0x y >>，且121,x y+=求2x y +的最小值是____________ 解析：Q 121,x y+=则12222()(2)14y x x y x y x y x y +=++=+++59=+= 从而最小值为9【题型4】 已知a b +与ab 关系式，求取值范围例11. 若正数,a b 满足3ab a b =++，求ab 及a b +的取值范围．解析：把ab 与a b +看成两个未知数，先要用基本不等式消元解：⑴求ab 的范围 （需要消去a b +：①孤立条件的a b +②a b +≥③将a b +替换）①3ab a b =++Q 3a b ab ∴+=-，②a b +≥③3ab ⇒-≥a b +结束，下面把ab 看成整体，换元，求ab 范围）令(0)t t =>，则3ab -≥232t t -≥解得3t ≥或1t ≤-（舍去），从而9ab ≥⑵求a b +的范围 （需要消去ab ：①孤立条件的ab ②2()2a b ab +≤ ③将ab 替换）3ab a b =++Q 2,2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭， ∴232a b a b +⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭（消ab 结束，下面把a b +看成整体，换元，求a b +范围） 令(0)t a b t =+> 则有232t t ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，2412t t +≤，24120t t --≥，得到6t ≥或2t ≤-（舍去） 得到6a b +≥。

高中基本不等式的十一类经典题型类型一：基本不等式的直接运用类型二：分式函数利用基本不等式求最值类型三：分式与整式乘积构造的基本不等式类型四：1的妙用类型五：利用整式中和与积的关系来求最值类型六：两次运用基本不等式的题型类型七： 负数的基本不等式类型八： 化成单变量形式☆类型九：与函数相结合类型十： 判别式法类型十一：构造高考真题10.已知512a -=，函数()x f x a =，若实数m 、n 满足()()f m f n >，则m 、n 的大小关系为▲.[解析] 考查指数函数的单调性. 51(0,1)2a -=∈，函数()x f x a =在R 上递减.由()()f m f n >得：m<n.类型一、基本不等式的直接运用1 （1）求(4)(04)y x x x =-<<的最大值，并求取时的x 的值 （改)4(2x x y -=）（2）求)20(42<<-=x x x y 的最大值，并求取最大值时x 的值（3）求)20(42<<-+=x x x y 的最大值，并求取最大值时x 的值2 ,141,0,0=+>>yx y x 则xy 的最小值是 3 ,141,0,0=+>>yx y x 则y x +的最小值是 4已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22 ＝1，求x 1＋y 2 的最大值 5.如果函数f （x ）=（m ﹣2）x 2+（n ﹣8）x+1（m ≥0，n ≥0）在区间[]上单调递减，则mn 的最大值为 18 ．【解答】解：∵函数f （x ）=（m ﹣2）x 2+（n ﹣8）x+1（m ≥0，n ≥0）在区间[，2]上单调递减，∴f ′（x ）≤0，即（m ﹣2）x+n ﹣8≤0在[，2]上恒成立．而y=（m ﹣2）x+n ﹣8是一次函数，在[，2]上的图象是一条线段．故只须在两个端点处f ′（）≤0，f ′（2）≤0即可．即，由②得m ≤（12﹣n ），∴mn ≤n （12﹣n ）≤=18， 当且仅当m=3，n=6时取得最大值，经检验m=3，n=6满足①和②．∴mn 的最大值为18．故答案为：18．类型二、分式函数利用基本不等式求最值1设1->x ，求函数1)2)(5(+++=x x x y 的最值 2 已知1x >-，求2311x x y x -+=+的最值及相应的x 的值 3 不等式1322<+-x x 的解集为类型三、分式与整式乘积构造的基本不等式1 若c b a >>，求使11k a b b c a c+≥---恒成立的k 的最大值. 2 若0,0>>b a 且11121=+++b b a ，求b a 2+的最小值 3 函数y ＝log a (x ＋3)－1 (a >0，a ≠1)的图象恒过点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n的最小值为________．4. 设,1,1,,>>∈b a R y x 若,4,22=+==b a b a x x 则yx 12+的最大值为 5. 求)490(4911<<-+x x x 的最小值 6. 已知0,0x y >>且191x y+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值围。

基本不等式20种题型一、基本不等式简介基本不等式是高中数学中的一个重要内容，它是指两个正数的平均数不小于它们的几何平均数，两个数的算术平均数不大于它们的几何平均数。

基本不等式在解决一些最值问题时非常有用，包括求和、积、方差的最值，求三角形的边长问题等。

二、20种题型1. 证明型题型：通过基本不等式证明一些不等式，例如，用基本不等式证明一个数的平方大于另一个数的平方。

2. 求最值题型：用基本不等式求和、积、方差的最值，求三角形的边长问题等。

3. 构造型题型：通过构造一个等式，利用基本不等式构造另一个等式，进而解决问题。

4. 拆分型题型：将一个数拆分成两个数的和或差，利用基本不等式进行求解。

5. 参数型题型：在基本不等式中引入参数，利用基本不等式求解参数的取值范围或最值问题。

6. 反证型题型：通过反证法，利用基本不等式证明一些不等式的正确性。

7. 优化型题型：利用基本不等式优化一些算法或求解过程。

8. 覆盖型题型：用基本不等式覆盖一些其他类型的题目，如解三角形问题等。

9. 扩展型题型：将基本不等式进行扩展，利用扩展后的不等式解决问题。

10. 分段型题型：对于一些分段函数，利用基本不等式分段求解。

三、解题步骤1. 确定使用基本不等式的条件：在应用基本不等式之前，需要保证所使用的不等式是成立的。

如果不能保证，需要先证明不等式的正确性。

2. 确定正数的个数：在应用基本不等式时，需要保证所使用的正数不超过两个。

如果不能保证，需要重新考虑问题的解法。

3. 确定平均数和几何平均数：根据题目中的数据，确定使用哪个平均数和几何平均数。

4. 计算并比较大小：根据题目中的数据，利用基本不等式计算出结果的大小，并与题目中的要求进行比较。

5. 验证结果的正确性：在得到结果后，需要验证结果的正确性，确保结果的合理性。

四、例题解析【例1】求函数f(x) = x(10-x)的最小值。

解：根据题意，可以知道f(x)是一个积的形式，可以使用基本不等式求解最小值。

基本不等式一. 基本不等式①公式：a bab ( a 0,b 0) ，常用 a b 2 ab 2②升级版：a2b2 a b2ab a,b R 22选择次序：考试中，优先选择原公式，其次是升级版二．考试题型【题型 1】基本不等式求最值求最值使用原则：一正二定三相等一正：指的是注意 a, b 范围为正数。

二定：指的是 ab 是定值为常数三相等：指的是取到最值时a b典型例题：例 1 .求y x1( x 0) 的值域2x剖析： x 范围为负，提负号（或使用对钩函数图像办理）解： y ( x 1 )Q x 0x 02xx1 2 ( x) ( 1)22x2xx1获得 y ( , 2]22x例 2 .求y1的值域2x ( x 3)x31解： y2x（“添项”，可经过减 3 再加 3，利用基本不等式后可出现定值）x 312(x 3) 6x31Q x 3 x 3 02( x 3) 2 2x3y 2 2 6 ，即y 2 26,例 3.求y sin x2(0 x ) 的值域sin x剖析： sinx 的范围是 (0,1) ，不可以用基本不等式，当 y 取到最小值时， sin x 的值是 2 ，但 2 不在范围内解：令 t sin x， t(0,1)2y t是对钩函数，利用图像可知：t在 (0,1)上是单减函数，因此 t 21代入获得）3，（注： 3 是将 tty (3, )注意：使用基本不等式时，注意y 取到最值，x有没有在范围内，假如不在，就不可以用基本不等式，要借助对钩函数图像来求值域。

例 4． 求 yx 22x 1( x 2) 的值域x2剖析：先换元，令 t x 2 , t 0 ，此中 x t 2(t 2)22(t 2) 1 t 2 6t 11 解： ytt6ttQ tt12 t1 6 8y [8, )tt总 之 ： 形 如 ycx 2dxf0,c 0) 的 函 数 ， 一 般 可 通 过 换 元 法 等 价 变 形 化 为ax b (aytpt 的取值范围；( p 为常数 ) 型函数，要注意 t【失误与防备】1． 使用基本不等式求最值，其失误的真实原由是对其前提 “一正、二定、三相等 ”的忽略． 要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不行．2 ．在运用重要不等式时，要特别注意 “拆 ”“拼 ”“凑 ”等技巧，使其知足重要不等式中“正 ”“定 ”“等 ”的条件．3．连续使用公式时取 等号的条件很严格 ，要求同时知足任何一次的字母取值存在且一致．【题型 2】 条件是 a b 或 ab 为定值，求最值（值域） （简）例 5．若 x0, y 0 且 xy 18 ，则 xy 的最大值是 ________．分析：因为 x0, y 0 ，则 x y 2 xy ，因此 2 xy 18 ，则 xy 的最大值为 81例 6． 已知 x, y 为正实数，且知足4x 3 y 12 ，则 xy 的最大值为 ________．4x 3 yx 3分析： Q 4x3y2 4x 3y ∴ 4 3xy 12 ，2 时， xyxy 3 当且仅当3 y 12即4x y2获得最大值 3 .例 7． 已知 m 0, n0 ，且 mn 81，则 m n 的最小值为 ________．分析： Q m0,n 0 ，m n2 mn 18 ，当且仅当 m n 9 时，等号建立．总结：此种题型：和定积最大，积定和最小【题型 3】条件是 ab 或 11为定值，求最值（范围） （难）a b方法：将 1整体代入已知x 0, y 0 且 x y 1 ，则11 例 8.x的最小值是 ________________y分析： Q x y 11 1 ( x y)(1 1) 2y x 2 2y x4x yxyx yx y因此最小值是4例 9. 已知 a0,b 0 ， a b 2 ，则 y1 4a 的最小值是 ________．b分析： Q ab2 a b12则 1 4 (1 4)( a b) 1 b 2a2 5 b 2a 52 b 2a9 a b a b22 2a b2 2a b 22a b2因此最小值是92例 10.已知 x0, y 0，且12 1, 求 x 2 y 的最小值是 ____________xy分析：Q12 1, xy则 x 2 y (12)( x 2 y) 12 y 2x45 2 2 y 2 x9x yxyx y进而最小值为 9【题型4】已知a b 与 ab 关系式，求取值范围例11.若正数a, b知足ab a b 3 ，求ab 及 a b 的取值范围．分析：把 ab 与 a b 当作两个未知数，先要用基本不等式消元解：⑴求 ab 的范围① Q ab a b3（需要消去a baabb ：①孤立条件的 3 ，a b ②a b 2 ab ③将a b 替代）②a b 2 ab③ab 3 2 ab （消 a b 结束，下边把ab 当作整体，换元，求ab 范围）令 t ab (t 0) ，则ab 3 2 ab 变为 t 232t解得 t 3 或 t 1 （舍去），进而 ab9⑵求 a b 的范围（需要消去 ab ：①孤立条件的 ab ② ab (a b)2③将 ab 替代）2a b2Q ab a b 3，, ab2a b2a b（消 ab 结束，下边把a b 当作整体，换元，求 a b 范围）32令 t a b (t0)t 2则有t3， 4t12 t 2， t 24t 12 0 ，获得 t 6 或 t 2 （舍去）2获得 a b6。

基本不等式知识点及题型归纳总结知识点精讲1. 几个重要的不等式（1）（2）基本不等式：如果，则(当且仅当“”时取“”).特例：同号.（3）其他变形：①(沟通两和与两平方和的不等关系式)②(沟通两积与两平方和的不等关系式)③(沟通两积与两和的不等关系式)④重要不等式串：即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件).2. 均值定理已知.（1）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.（2）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即积为定值，和有最小值”.题型归纳及思路提示题型1 基本不等式及其应用思路提示熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证.例7.5“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件解析：由能推出；但反之不然，因为的条件是，故选A.变式1 已知且，则（）A. B. C. D.变式2下列不等式中一定成立的是（）A. B.C. D.例7.6 若，则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是（写出所有正确命题的序号）.①；②；③；④；⑤.解析：对于①，由及得，即(当且仅当时取等号)，故①正确；对于②，由及得，即(当且仅当时取等号)，故②正确；对于③，由得，故③正确.对于④，，因此(当且仅当时取等号)，故④不恒成立；对于⑤，，又，则，故⑤正确，故填①③⑤.变式1如果正数满足，那么（）A. ，且等号成立时的取值唯一B. ，且等号成立时的取值唯一C. ，且等号成立时的取值不唯一D. ，且等号成立时的取值不唯一题型2 利用基本不等式求函数最值思路提示（1）在利用基本不等式求最值时，要把握四个方面，即“一正各项都是正数；二定和或积为定值；三相等等号能否取到（对于不满足‘相等’的函数求最值，可考虑利用函数单调性解题）；四同时多次使用基本不等式时等号要同时取得”，求最值时，这是个方面缺一不可，若忽视了某个条件的验证，可能会出现错误.（2）利用基本不等式求函数最值常用的技巧有：1通过加减项的方法配凑成使用基本不等式的形式；2注意“1”的变换；3灵活选择和应用基本不等式的变形形式；4合理配组，反复使用基本不等式等.一、利用基本不等式求最值要注意条件的验证例7.7 （1）若，求函数的最小值；（2）若，求函数的值域.分析：（1）因为满足不等式条件，可以直接利用基本不等式求最值.（2）因为，故需先转化为，才能利用基本不等式求最值.解析：因为，由基本不等式得，当且仅当，即时，取最小值.（2）因为，所以，则，且，即. 当且仅当，即时，取最大值.故函数的值域为.评注：解（1）时，应注意积为定值这个前提条件；解（2）时，应注意使用基本不等式求最值时，各项必须为正数.变式1 （1）求函数的值域（2）求函数的最小值；（3）求函数的最小值.二、通过代数变换凑配成使用基本不等式的形式例7.8已知，求函数的最大值.分析：因为，所以首先要调整符号，又不是常数，所以要对进行拆凑项，通过将函数解析式拆凑成可以使用基本不等式的形式，从而求得函数的最值.解析：因为，所以，由（当且仅当时，即时取等号）得. 所以函数的最大值为1.当且仅当时，即时取等号，故当时，.评注：利用基本不等式求最值时要重视各种条件，即“一正二定上相等四同时”必须全部满足，方可利用其求得最值. 如果本题中的条件“”改为“”，则如下求解：因为，所以，为错误求解，错误原因：在于只注重基本不等式的形式构造而未对成立条件“三相等”加以验证，事实上，.一般地，对勾函数在上单调递减，在上单调递增，若不满足“三相等”的条件可以利用函数的单调性求最值.另外，还要注意与对勾函数同形质异的函数在上和均为单调增函数.如可直接利用单调性求最值.变式1 求函数的最大值.变式2 设正实数满足，则当取得最大值时，最大值为（ ）A. 0B. 1C.D. 3 三、“1”的变换 例7.9 已知，且，求的最小值.分析：利用条件中“1”的变换.解析：解法一：因为，且，所以.当且仅当即，的最小值为16.解法二：由，且，得，所以10.因为0y >，所以90y ->，所以99(9)102(9)101699y y y y -++≥-+=--. 当且仅当999y y -=-，即12y =时取等号，此时4x =，所以当4,12x y ==时，x y +取得最小值16 评注 本题的解法一是利用条件中的“1”，代换成“19x y+”，将其所求的形配凑成利用基本不等式的形式，使得题目顺利求解，但下面的解法是错误的：因为1919612x y x y xy+=≥=，即36xy ≥，所以223612x y xy +≥=，错误的原因在于连续使用了两次基本不等式，但未对两个“=”成立的条件是否吻合进行验证，其实，这两次“=”不能同时取得，这就提醒我们，在多次使用基本不等式时，一定要验证多次“=”满足的条件能否同时成立.变式1 已知0a >，0b >，2a b +=，则11y a b=+的最小值是 变式2 求函数2214(0)sin cos 2y x x x π=+<<的最小值 变式3已知a b c >>，证明：1113a b b c c a a c++≥---- 变式4 设2a b +=，0b >则当a = 时，12a a b+最得最小值. 四、转化思想和方程消元思想在求二元函数最值中的应用例7.10若正数,a b 满足3ab a b =++，则：（1）ab 的取值范围是 （2）a b +的取值范围是分析 由等量关系的结构特征可知，只需将所求部分之外的部分利用不等式转化为所求的形式，然后解不等式即可.解析（1）解法一：基本不等式.33ab a b =++≥，当且仅当a b =时取等号，所以230≥，3≥1-（舍），3≥，故有9ab ≥.当且仅当3a b ==时取等号，即ab 的取值范围是[9,)+∞解法二：判别式法.令ab t =（3t >），则t b a =，代入原式得，3t t a a=++，整理得2(3)0a t a t +-+=. 2(3)40t t ∆=--≥，得9t ≥或1t ≤（舍），ab 的取值范围是[9,)+∞（2）解法一：23()2a b ab a b +=++≤，当且仅当a b =时取等号，令0S a b =+>，则234S S +≤，整理得即24120S S --≥得6S ≥或2S ≤-（舍），即a b +的取值范围是[6,)+∞解法二：判别式法，令a b t +=（0t >），则b t a =-，代入原式得，()3a t a t -=+，整理得230a at t -++=24(3)0t t ∆=-+≥，得6t ≥或2t ≤-（舍）.即a b +的取值范围是[6,)+∞评注：注意体会使用方程消元法求范围与利用基本不等式求范围的优劣，试用方程消元法求解本题的第（2）问.变式1 若,0x y >满足26x y xy ++=，则xy 的最小值是变式2 若,0x y >满足2x y xy ++=，则x y +的最小值是 变式3 若,0x y >满足228x y xy ++=，则2x y +的最小值是（ ）.A 3 .B 4 .C 92 .D 112五、灵活选择和运用基本不等式的变形形式例7.11 设0,0x y ≥≥，2212y x +=，则的最大值为 分析 观察所求式子与题中所给条件的联系，运用基本不等式灵活建立两者之间的关系是解题的核心.解析 0x ≥，0y ≥，2212y x +=所以== 221222y x ++≤2212222y x ++==（当且仅当2212y x +=时取“=”，即x =，2y =时取“=”）. 评注 本题除了利用基本不等式求解外，还可以利用已知条件中的2212y x +=，采用三角换元来求解，望同学们自己尝试．变式１ 已知0a >，0b >，4a b +=，求2211()()a b a b+++的最小值． 六、合理配组，反复应用基本不等式 例7.12 设0a b >>，则211()a ab a a b ++-的最小值是（ ） .A 1 .B 2 .C 3 .D 4解析 解法一：因为2112a b a b +≤+，所以411a b a b+≥+.故2114()ab a a b a ab ab +≥-+- 则211()a ab a a b ++-224a a ab ab≥++-2222444a a a =+≥=（当且仅当2ab a ab =-与44a =，0a b >>同时成立时，取得“=”），即当a =2b =211()a ab a a b ++-的最小值为4，故选D解法二：22111111()()a a ab a a b ab b a b a++=++---，因为0b >，0a b ->，所以22()()24a a b a b -≤=（当且仅当2a b =时取“=”），则222221444()a a b a b a a+≥+≥=-（当且仅当a ==”），所以当a =2b =时，211()a ab a a b ++-的最小值为4，故选D变式1 若0a >，0b >，满足11a b++ ）.A 2 .B .C 4 .D 5变式2 若,x y 是正数，则2211()()22x y y x+++的最小值是（ ） .A 3 .B 72 .C 4 .D 92题型3 利用基本不等式证明不等式思路提示类似于基本不等式的结构的不等式的证明可以利用基本不等式去组合、分解、运算获得证明. 例7.13 （1）,,a b c R +∈，求证：11()()4a b c a b c+++≥+ （2）,,a b c R +∈，求证：222a b c a b c b c a++≥++（3）,,x y z R +∈，且1x y z ++=解析 （1）因为,,0a b c >，所以1111()()[()]()a b c a b c a b c a b c+++=+++++ 11a b c b c a +=++++2a b cb c a+=+++224≥+=当且仅当a b c =+时等号成立. （2）因为,,0a b c >，所以22a b a b +≥，22b c b c +≥，22c a c a +≥三式相加得：222()()()a b c b c a b c a +++++222a b c ≥++，即222a b c a b c b c a++≥++（3）分析法.要证明≤，只需证3x y z +++≤，只需证：1≤因为,,x y z R +∈，x y +≥，x z +≥，y z +≥，所以2()x y z ++≥1≤成立.评注 本题（2）的证明是综合法，（3）的证明是分析法.综合是从已知出发推导结果，分析法是从结果出发，去分析命题成立的条件，一般情况下两种方法是可以通用的，对于比较复习的问题，也可以结合这两种方法使用变式1若,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：111(1)(1)(1)8a b c---≥变式2 证明：若,,,,,x y z a b c R +∈，则222()b c c a a b y z xy yz xz a b c+++++≥++最有效训练题1．函数1()2f x x x =+-（2x >）在x a =处取得最小值，则a =（ ）.A 1 .B 1 .C 3 .D 42．已知0a >，0b >，2a b +=，则19y a b=+的最小值是（ ）.A 72 .B 8 .C 92.D 5 3．若0x >，0y >，2282y xm m x y+>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） .A (,2][4,)-∞-⋃+∞ .B (,4][2,)-∞-⋃+∞ .C (2,4)- .D (4,2)-4．已知,a b R +∈，且21a b +=，则224S a b =-的最大值为（ ）.A .B 1 .C 1 .D 5．若0x >，0y >，且()1xy x y -+=则（ ）.A 2x y +≤ .B 2x y +≥ .C 21)x y +≤ .D 21)x y +≥6．若224mn+<，则点(,)m n 必在（ ）.A 直线20x y +-=的左下方 .B 直线20x y +-=的右上方 .C 直线220x y +-=的右上方 .D 直线220x y +-=的左下方7．在“4+91=”中的“ ”处分别填上一个自然数，使他们的和最小，其和的最小值为8．已知函数()1pf x x x =+-（p 为常数，且0p >），若()f x 在(1,)+∞上的最小值是4，则实数p 的值为9．已知关于x 的不等式227x x a+≥-在(,)x a ∈+∞上恒成立，则实数a 的最小值为10．（1）设02x <<，求函数(42)y x x =-最大值. （2）设(0,)x π∈，求函数4()sin sin f x x x=+的最小值. （3）已知0x >，0y >，且1x y +=，求34x y+的最小值 （4）若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是11．已知,a b≥12．提高过江大桥车辆的通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车辆速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0，当车流速度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明，当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数. （1）当20200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式；（2）当车密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）()()f x x v x =可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）.。

基本不等式总结题型一、基本不等式的概念基本不等式呢，就是那个超有用的不等式啦，对于正数a、b，有(a + b)/2 ≥ √(ab)。

这就像是数学世界里的一个小宝藏，在好多题型里都会用到哦。

二、基本不等式总结题型1. 求最值题型比如给你一个式子y = x+1/x（x>0），要求这个式子的最小值。

这时候就可以用基本不等式啦。

因为x和1/x都是正数，根据基本不等式(a + b)/2 ≥ √(ab)，这里 a = x，b = 1/x，那么y=x + 1/x≥2√(x×1/x)=2，所以y的最小值就是2啦。

还有像已知2x + 3y = 6，求xy的最大值这种题。

我们可以把2x和3y看作基本不等式里的a和b，由2x+3y = 6可得y=(6 - 2x)/3，那么xy=x×(6 - 2x)/3=-2/3x² + 2x。

再根据基本不等式变形可得2x+3y≥2√(6xy)，6≥2√(6xy)，解这个不等式就可以求出xy的最大值。

2. 证明不等式题型比如说要证明(a² + b²)/2≥ab。

我们可以从基本不等式出发，因为(a - b)²≥0，展开得到a² - 2ab + b²≥0，移项就得到a² + b²≥2ab，两边同时除以2，就得到(a² + b²)/2≥ab啦。

再比如证明1/(a + b)+1/(b + c)+1/(c + a)≥9/(2(a + b + c))（a,b,c都是正数）。

这种题就需要巧妙地构造基本不等式的形式，把式子进行变形然后利用基本不等式来证明。

3. 比较大小题型例如比较(a + b)/2和√((a² + b²)/2)的大小（a,b都是正数）。

我们可以采用作差法，把(a + b)/2 - √((a² + b²)/2)进行化简，然后根据基本不等式的性质来判断这个差是大于0、小于0还是等于0，从而得出两个式子的大小关系。

「熬夜整理」高中数学基本不等式题型全归纳
基本不等式是高一年级遇到的一大难点，原因在于题型多，变化多端，很多题目如果不善于总结真的很难做！不要说高一的学生，就是高三的或者老师部分题目真的一时难以下手，必须根据平时所学快速找到题眼或者尝试不同的解题策略。

今天给大家分享下基本不等式的题型归纳全集：
题型一：基本不等式及其应用
题型二：直接法求最值
题型三：常规凑配法求最值
题型四：消参法求最值
题型五：双换元求最值
题型六：“1”的代换求最值
题型七：齐次化求最值
题型八：基本不等式的综合应用
题型九：利用基本不等式解决实际问题。

专题：基本不等式基本不等式求最值利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号．三个不等式关系：（1）a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． （2）a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2，当且仅当a ＝b 时取等号． （3）a ，b ∈R ，≤()2，当且仅当a ＝b 时取等号．上述三个不等关系揭示了a 2＋b 2 ，ab ，a ＋b 三者间的不等关系．其中，基本不等式与其变形：a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2(或ab ≤()2)，当且仅当a ＝b 时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值． 【题型一】利用拼凑法构造不等关系【典例1】已知1＞＞b a 且7log 3log 2=+a b b a ，则112-+b a 的最小值为.练习：1．若实数,x y 满足0x y >>，且22log log 1x y +=，则22x y x y+-的最小值为．2.若实数,x y 满足133(0)2xy x x +=<<，则313x y +-的最小值为．3.已知0,0,2a b c >>>，且2a b +=，则2ac c c b ab +-+的最小值为. 【典例2】已知x ，y 为正实数，则4x 4x ＋y ＋yx ＋y的最大值为．【典例3】若正数a 、b 满足3ab a b =++,则a b +的最小值为__________.变式：1.若,a b R +∈,且满足22a b a b +=+,则a b +的最大值为_________.2.设0,0>>y x ，822=++xy y x ，则y x 2+的最小值为_______3.设R y x ∈,，1422=++xy y x ，则y x +2的最大值为_________4.已知正数a ，b 满足195a b+=，则ab 的最小值为 【题型二】含条件的最值求法【典例4】已知正数y x ,满足1=+y x ，则1124+++y x 的最小值为练习1．已知正数y x ,满足111=+yx ，则1914-+-y yx x 的最小值为.2.已知正数,x y 满足22x y +=，则8x yxy+的最小值为．3．已知函数(0)xy a b b =+>的图像经过点(1,3)P ，如下图所示，则411a b+-的最小值为.4．己知a ，b 为正数，且直线 60ax by +-=与直线 2(3)50x b y +-+=互相平行，则2a+3b 的最小值为________．5.常数a ，b 和正变量x ，y 满足ab ＝16，a x ＋2b y ＝12.若x ＋2y 的最小值为64，则a b ＝________.6.已知正实数,a b 满足()()12122a b b b a a+=++，则ab 的最大值为．【题型三】代入消元法【典例5】（XX 市2016届高三调研测试·14）已知14ab =，,(0,1)a b ∈，则1211ab+--的最小值为．练习1．设实数x ，y 满足x 2＋2xy －1＝0，则x 2＋y 2的最小值是．2．已知正实数x ，y 满足，则x + y 的最小值为．3．已知正实数,x y 满足(1)(1)16x y -+=，则x y +的最小值为．4.若2,0>>b a ，且3=+b a ，则使得214-+b a 取得最小值的实数a =。

基本不等式常见题型归纳汇总与求值相关的数学问题和与不等式相关的数学问题是⾼中数学中⼤的两个考察⽅向，⽽基本不等式作为不等式问题的重要组成部分，贯穿⾼中数学中圆锥曲线、数列、函数、三⾓函数等多个知识点，所有掌握基本不等式的基本题型，对解决与基本不等式相关的问题显得尤为重要。

现笔者对基本不等式常出现的题型予以总结，以供师⽣参考。

主要知识题型⼀基于简单变换的基本不等式问题此类题型以求和的取值范围转化为积为定值求解，求积的取值范围问题转化为和为定值求解为突破⼝，借助构造思想，构造为可以使⽤基本不等式的形式；常见的构造变换⽅法有凑项变换、拆项变换、系数变换、平⽅变换、常量代换、三⾓代换等。

题⽬思路点拨以上8题借助常见的转换形式，往和为定值或者积为定值的⽅向转化即可。

解析变式提升思路点拨借助常见的转换形式，往常见基本不等式相关形式转化即可。

注意基本不等式“⼀正⼆定三相等”条件的限制。

思路点拨解析变式提升思路点拨分离参量，然后分⼦分母同除，再借助分离变换即可。

题型⼆基于ax+by+cxy=d类型的构造此类题型常常以和以及积的等式形式出现，然后求和或者积的取值范围，题型切⼊⼝为将等式转化为不等式，常见的解题思路有构造法、判别式法、化法，变量代换、整体代换等。

题⽬思路点拨将等式转化为不等式，找出可以利⽤的不等量关系即可。

题⽬思路点拨将等式转化为不等式，找出可以利⽤的不等量关系即可。

解析变式提升思路点拨借助构造与变形转化为不等式或者单变量函数关系式，然后利⽤构造法、判别式法、化法，变量代换、整体代换等⽅法求解即可。

题⽬思路点拨把题⽬中等式进⾏变形，变量代换后整体代⼊运⽤基本不等式求解。

解析题型三基于复杂变换类型的构造此类题型常常题设复杂，需要向基本不等式⽅向变换多次或者多次运⽤基本不等式，考察的⾓度为学⽣综合处理问题能⼒以及对不等式的熟练程度。

能够掌握这类题型需要建⽴在掌握题型⼀、题型⼆的基础上，解题的中⼼思路还是往和为定值或者积为定值的⽅向转化。

根本不等式题型归纳【重点知识梳理】1．根本不等式：2a b ab +≤ 〔1〕根本不等式成立的条件：0a >，0b >．〔2〕等号成立的条件：当且仅当a b =时，等号成立．2．几个重要的不等式：〔1〕222a b ab +≥〔,a b R ∈〕； 〔2〕2b a a b +≥〔0ab >〕； 〔3〕2()2a b ab +≤〔,a b R ∈〕； 〔4〕2222()()a b a b +≥+〔,a b R ∈〕． 3．算术平均数与几何平均数设0a >，0b >，那么,a b 的算术平均数为2a b +，几何平均数为ab ，根本不等式可表达为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用根本不等式求最值问题 0a >，0b >，那么〔1〕如果积ab 是定值p ，那么当且仅当a b =时，a b +有最小值是2p ．〔简记：积定和最小〕〔2〕如果和a b +是定值p ，那么当且仅当a b =时，ab 有最大值是24p ．〔简记：和定积最大〕 题型一览1、0a >，0b >，且41a b +=，那么ab 的最大值为_______，那么1ab 的最小值为_______； 2、21x y +=，那么24x y +的最小值为_______3、设03x <<，那么函数4(52)y x x =-的最大值为_______4、假设0x >，那么4x x +的最小值为_______；假设0x <，那么4x x +的最大值为_______ 5、假设2x > ，那么12x x +-的最小值为_______；假设2x < ，那么12x x +-的最大值为_______ 假设函数1()(2)2f x x x x =+>-在 x a =处有最小值，那么a =_______ 6、,a b R +∈，且22a b +=，那么12a b +〔2a b b a +〕的最小值为_______，此时,a b 的值分别是_______ 7、0x >，0y >，212x y+=〔22x y xy +=或220x y xy +-=〕，那么2x y +的最小值为_______ 8、0,0a b >>，如果不等式212m a b a b+≥+恒成立，那么m 的最大值等于_______9、几个分式的变形：〔1〕假设0x >，那么函数21x y x+=的最小值是_______ 〔2〕 0t >，那么函数241t t y t-+= 的最小值为_______ 〔3〕函数2+5+15=(0)2x x y x x ≥+的最小值为_______ 分析：变形得22515(2)2922x x x x y x x ++++++==++9(2)1172x x =+++≥=+， 当且仅当9(2)2x x +=+，即1x =时取等号， 故函数2515(0)2x x y x x ++=≥+的最小值为7 〔4〕0b a >>，2ab =，那么22a b a b+-的取值范围是_______ 解：2222()2()444()[()]4a b a b ab a b a b b a a b a b a b a b b a+-+-+===-+=--+≤------ 〔5〕设22()4x f x x =+〔0x >〕， 那么()f x 的最大值为_______； 〔6〕0,0a b >>，那么222232a ab b a ab b++++的最小值是_______ 〔7〕,a b 都是负实数，那么2a b a b a b+++的最小值是_______10、〔1〕非负实数,x y 满足1x y +=，那么11x y +++的最小值为_______ 分析：因为 1x y +=，所以 113x y +++=，即1[(1)(1)]13x y +++=，因为非负实数,x y ，所以 10,10x y +>+>，所以11111()[(1)(1)]11113x y x y x y +=+⋅+++++++ 114(1)[14]311y x x y ++=+++++119[5(54)3333≥+=+== 当且仅当14(1)11y x x y ++=++，即12(1)y x +=+，0,1x y ==时取等号，所以 1411x y +++的最小值为3〔2〕实数,x y 满足102x y x y >>+=，且，那么213x y x y++-的最小值为_______1[(3)()]2x y x y x y =+=++-，那么(3)()1x y x y ++-= 21212()3()[(3)()]3()3333x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y-++=+++-=++≥++-+-+-【法二】令x y t -=，3x y s +=〔0,0t s >>〕121212()()3()3t s s t x y s t s t s t=+=++=++≥+-11、〔1〕,x y 均为正实数，且3xy x y =++，那么xy 的最小值为_______解：因为,x y 均为正实数，所以x y +≥3xy x y =++可化为3xy ≥，即1)0≥3,9,xy ≥≥故当且仅当x y =时，xy 取得最小值9〔2〕,x y 均为正实数，39x y xy ++=，那么3x y +的最小值为_______解：因为,x y 均为正实数，所以211393333()332x y x y xy x y x y x y +=++=++⋅≤++⋅， 12、〔1〕假设正实数,x y 满足221x y xy ++=，那么x y +的最大值是_______解：由221x y xy ++=，得21()x y xy =+-， 22()()114x y x y xy ++=+≤+，解得x y ≤+≤x y ∴+ 〔2〕设,x y 为实数，假设2241x y xy ++=，那么2x y +的最大值是_______ 解：由2241x y xy ++=得2222314(2)3(2)22x y xy x y xy x y x y =++=+-=+-⋅⋅ 2223251(2)()(2)228x y x y x y +≥+-⋅=+那么2x y ≤+≤13、假设,(0,2]x y ∈且2xy =，使不等式(2)(2)(4)a x y x y +≥--恒成立，那么实数a 的取值范围为A ．12a ≤B ．2a ≤C ．2a ≥D ．12a ≥分析：由,(0,2]x y ∈，2xy =， 得()1022(2)(4)102222x y x y a x y x y x y-+--≥==-+++．又24x y +≥=由，∴12a ≥，选D ． 14、 假设0,0ab >> ，且4a b += ，那么以下不等式恒成立的是〔 〕A ．112ab >B ．111a b+≤ C2 D ．228a b +≥ 分析：因为0a >，0b >利用根本不等式有2a b +=≤，当且仅当a b =时等号成立，C2≤得，114ab ≥，A 错；222()21688a b a b ab +=+-≥-=，当且仅当a b =时，等号成立，D 正确；11414a b a b ab ++=≥=，当且仅当a b =时等号成立，B 错；综上可知，选D ． 15、设正实数,,x y z 满足22340x xy y z -+-=，那么当xy z 取得最大值时，212x y z +-的最大值为 A ．0 B ．1 C ．94D ．3 答案：由22340x xy y z -+-=得2234z x xy y =-+，那么22114343xy xy x y z x xy y y x ==≤=-++-，当且仅当2x y =时等号成立，此时22z y = 222122122111(2)122x y z y y y y y y y+-=+-=-=-≤． 16、〔2021天津理14〕设2a b +=，0b >，那么当a =_____时，1||2||a a b+取得最小值． 解：因为2a b +=，所以1=2a b + 1||||||22||2||4||4||a ba a ab a a b a b a a b ++=+=+++14||4||a a a a ≥+=， 当0a >时，5+1=4||4a a ，1||52||4a ab +≥； 当0a <时，3+1=4||4a a ，1||32||4a a b +≥，当且仅当2b a =时等号成立． 因为0b >，所以原式取最小值时2b a =-.又2a b +=，所以2a =-时，原式取得最小值．【本文档内容可以自由复制内容或自由编辑修改内容期待你的好评和关注，我们将会做得更好】。