【精品讲义】人教版 七年级下册寒假同步课程(培优版)11不等式及不等式组的应用.学生版

第一讲有理数的巧算有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性．1．括号的使用在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．例1计算：分析中学数学中，由于负数的引入，符号“+”与“-”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号．因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，尤其是要注意去括号时符号的变化．注意在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算．例2计算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445．分析直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算．解原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)=211×(555+445)+(445+555)×789=211×1000+1000×789=1000×(211+789)=1 000 000．说明加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧．例3计算：S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n．分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”．如果按照将第一、第二项，第三、第四项，…，分别配对的方式计算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括号”的习惯，而取“添括号”之法．解 S=(1-2)+(3-4)+…+(-1)n+1·n．下面需对n的奇偶性进行讨论：当n为偶数时，上式是n／2个(-1)的和，所以有当n为奇数时，上式是(n-1)／2个(-1)的和，再加上最后一项(-1)n+1·n=n，所以有例4在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？分析与解因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，…，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，…，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1．现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．这启发我们将1，2，3，…，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1．所以，所求最小非负数是1．说明本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化．2．用字母表示数我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4=1002-22．这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2．于是我们得到了一个重要的计算公式(a+b)(a-b)=a2-b2，①这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算．例5计算 3001×2999的值．解 3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8 999 999．例6计算 103×97×10 009的值．解原式=(100+3)(100-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99 999 919．例7计算：分析与解直接计算繁．仔细观察，发现分母中涉及到三个连续整数：12 345，12 346，12 347．可设字母n=12 346，那么12 345=n-1，12 347=n+1，于是分母变为n2-(n-1)(n+1)．应用平方差公式化简得n2-(n2-12)=n2-n2+1=1，即原式分母的值是1，所以原式=24 690．例8计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．分析式子中2，22，24，…每一个数都是前一个数的平方，若在(2+1)前面有一个(2-1)，就可以连续递进地运用(a+b)(a-b)=a2-b2了．解原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)×(216+1)(232+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)×(232+1)=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=……=(232-1)(232+1)=264-1．例9计算：分析在前面的例题中，应用过公式(a+b)(a-b)=a2-b2．这个公式也可以反着使用，即a2-b2=(a+b)(a-b)．本题就是一个例子．通过以上例题可以看到，用字母表示数给我们的计算带来很大的益处．下面再看一个例题，从中可以看到用字母表示一个式子，也可使计算简化．例10计算：我们用一个字母表示它以简化计算．3．观察算式找规律例11某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．分析与解若直接把20个数加起来，显然运算量较大，粗略地估计一下，这些数均在90上下，所以可取90为基准数，大于90的数取“正”，小于90的数取“负”，考察这20个数与90的差，这样会大大简化运算．所以总分为90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)=1800-1=1799，平均分为 90+(-1)÷20=89.95．例12 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．分析观察发现：首先算式中，从第二项开始，后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000，于是可有如下解法．解用字母S表示所求算式，即S=1+3+5+…+1997+1999．①再将S各项倒过来写为S=1999+1997+1995+…+3+1．②将①，②两式左右分别相加，得2S=(1+1999)+(3+1997)+…+(1997+3)+(1999+1)=2000+2000+…+2000+2000(500个2000)=2000×500．从而有 S=500 000．说明一般地，一列数，如果从第二项开始，后项减前项的差都相等(本题3-1=5-3=7-5=…=1999-1997，都等于2)，那么，这列数的求和问题，都可以用上例中的“倒写相加”的方法解决．例13计算 1+5+52+53+…+599+5100的值．分析观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍．如果将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算．解设S=1+5+52+…+599+5100，①所以5S=5+52+53+…+5100+5101．②②—①得4S=5101-1，说明如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等(本例中是都等于5)，那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决．例14 计算：分析一般情况下，分数计算是先通分．本题通分计算将很繁，所以我们不但不通分，反而利用如下一个关系式来把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法．解由于所以说明本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项，这种方法在有理数巧算中很常用．练习一1．计算下列各式的值：(1)-1+3-5+7-9+11-…-1997+1999；(2)11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100；(3)1991×1999-1990×2000；(4)4726342+472 6352-472 633×472 635-472 634×472 636；(6)1+4+7+ (244)2．某小组20名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分．81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85．第二讲绝对值绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题．下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识，然后进行例题分析．一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关．在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值．结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立．由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数．例1 a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜；(4)若｜a｜=b，则a=b；(5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b；(6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜．解 (1)不对．当a，b同号或其中一个为0时成立．(2)对．(3)对．(4)不对．当a≥0时成立．(5)不对．当b＞0时成立．(6)不对．当a＋b＞0时成立．例2设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．解由图1-1可知，a＞0，b＜0，c＜0，且有｜c｜＞｜a｜＞｜b｜＞0．根据有理数加减运算的符号法则，有b-a＜0，a＋c＜0，c-b＜0．再根据绝对值的概念，得｜b-a｜=a-b，｜a+c｜=-(a+c)，｜c-b｜=b-c．于是有原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c．例3已知x＜-3，化简：｜3+｜2-｜1+x｜｜｜．分析这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号．解原式=｜3+｜2+(1+x)｜｜(因为1+x＜0)=｜3+｜3+x｜｜=｜3-(3+x)｜(因为3+x＜0)=｜-x｜=-x．解因为 abc≠0，所以a≠0，b≠0，c≠0．(1)当a，b，c均大于零时，原式=3；(2)当a，b，c均小于零时，原式=-3；(3)当a，b，c中有两个大于零，一个小于零时，原式=1；(4)当a，b，c中有两个小于零，一个大于零时，原式=-1．说明本例的解法是采取把a，b，c中大于零与小于零的个数分情况加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用．例5若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值．解因为｜x-y｜≥0，所以y-x≥0，y≥x．由｜x｜=3，｜y｜=2可知，x＜0，即x=-3．(1)当y=2时，x+y=-1；(2)当y=-2时，x+y=-5．所以x+y的值为-1或-5．例6若a，b，c为整数，且｜a-b｜19+｜c-a｜99=1，试计算｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的值．解 a，b，c均为整数，则a-b，c-a也应为整数，且｜a-b｜19，｜c-a｜99为两个非负整数，和为1，所以只能是｜a-b｜19=0且｜c-a｜99=1，①或｜a-b｜19=1且｜c-a｜99=0．②由①有a=b且c=a±1，于是｜b-c｜=｜c-a｜=1；由②有c=a且a=b±1，于是｜b-c｜=｜a-b｜=1．无论①或②都有｜b-c｜=1且｜a-b｜+｜c-a｜=1，所以｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜=2．解依相反数的意义有｜x-y+3｜=-｜x+y-1999｜．因为任何一个实数的绝对值是非负数，所以必有｜x-y+3｜=0且｜x+y-1999｜=0．即由①有x-y=-3，由②有x+y=1999．②-①得2y=2002， y=1001，所以例8 化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜．分析本题是两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事．例如，化简｜3x+1｜，只要考虑3x+1的正负，即可去掉绝对值符号．这里我们为三个部分(如图1－2所示)，即这样我们就可以分类讨论化简了．原式=-(3x+1)-(2x-1)=5x；原式=(3x+1)-(2x-1)=x+2；原式=(3x+1)+(2x-1)=5x．即说明解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数轴分成几个部分，根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”．例9已知y=｜2x+6｜+｜x-1｜-4｜x+1｜，求y的最大值．分析首先使用“零点分段法”将y化简，然后在各个取值范围内求出y的最大值，再加以比较，从中选出最大者．解有三个分界点：-3，1，-1．(1)当x≤-3时，y=-(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=x-1，由于x≤-3，所以y=x-1≤-4，y的最大值是-4．(2)当-3≤x≤-1时，y=(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=5x+11，由于-3≤x≤-1，所以-4≤5x+11≤6，y的最大值是6．(3)当-1≤x≤1时，y=(2x+6)-(x-1)-4(x+1)=-3x+3，由于-1≤x≤1，所以0≤-3x+3≤6，y的最大值是6．(4)当x≥1时，y=(2x+6)+(x-1)-4(x+1)=-x+1，由于x≥1，所以1-x≤0，y的最大值是0．综上可知，当x=-1时，y取得最大值为6．例10设a＜b＜c＜d，求｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜+｜x-d｜的最小值．分析本题也可用“零点分段法”讨论计算，但比较麻烦．若能利用｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜的几何意义来解题，将显得更加简捷便利．解设a，b，c，d，x在数轴上的对应点分别为A，B，C，D，X，则｜x-a｜表示线段AX之长，同理，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜分别表示线段BX，CX，DX之长．现要求｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜之和的值最小，就是要在数轴上找一点X，使该点到A，B，C，D四点距离之和最小．因为a＜b＜c＜d，所以A，B，C，D的排列应如图1－3所示：所以当X在B，C之间时，距离和最小，这个最小值为AD+BC，即(d-a)+(c-b)．例11若2x+｜4-5x｜+｜1-3x｜+4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值．分析与解要使原式对任何数x恒为常数，则去掉绝对值符号，化简合并时，必须使含x的项相加为零，即x的系数之和为零．故本题只有2x-5x+3x=0一种情况．因此必须有｜4-5x｜=4-5x且｜1-3x｜=3x-1．故x应满足的条件是此时原式=2x+(4-5x)-(1-3x)+4=7．练习二1．x是什么实数时，下列等式成立：(1)｜(x-2)+(x-4)｜=｜x-2｜+｜x-4｜；(2)｜(7x+6)(3x-5)｜=(7x+6)(3x-5)．2．化简下列各式：(2)｜x+5｜+｜x-7｜+｜x+10｜．3．若a＋b＜0，化简｜a+b-1｜-｜3-a-b｜．4．已知y=｜x+3｜+｜x-2｜-｜3x-9｜，求y的最大值．5．设T=｜x-p｜+｜x-15｜+｜x-p-15｜，其中0＜p＜15，对于满足p≤x≤15的x 来说，T的最小值是多少？6．已知a＜b，求｜x-a｜+｜x-b｜的最小值．7．不相等的有理数a，b，c在数轴上的对应点分别为A，B，C，如果｜a-b｜+｜b-c｜=｜a-c｜，那么B点应为( )．(1)在A，C点的右边；(2)在A，C点的左边；(3)在A，C点之间；(4)以上三种情况都有可能．第三讲求代数式的值用具体的数代替代数式里的字母进行计算，求出代数式的值，是一个由一般到特殊的过程．具体求解代数式值的问题时，对于较简单的问题，代入直接计算并不困难，但对于较复杂的代数式，往往是先化简，然后再求值．下面结合例题初步看一看代数式求值的常用技巧．例1求下列代数式的值：分析上面两题均可直接代入求值，但会很麻烦，容易出错．我们可以利用已经学过的有关概念、法则，如合并同类项，添、去括号等，先将代数式化简，然后再求值，这样会大大提高运算的速度和结果的准确性．=0-4a3b2-a2b-5=-4×13×(- 2)2- 12×(-2)-5=-16+2-5=-19．(2)原式=3x2y-xyz+(2xyz-x2z)+4x2?[3x2y-(xyz-5x2z)]=3x2y-xyz+2xyz-x2z+4x2z-3x2y+(xyz-5x2z)=(3x2y-3x2y)+(-xyz+2xyz+xyz)+(-x2z+4x2z-5x2z)=2xyz-2x2z=2×(-1)×2×(-3)-2×(-1)2×(-3)=12+6=18．说明本例中(1)的化简是添括号，将同类项合并后，再代入求值；(2)是先去括号，然后再添括号，合并化简后，再代入求值．去、添括号时，一定要注意各项符号的变化．例2已知a-b=-1，求a3+3ab-b3的值．分析由已知条件a-b=-1，我们无法求出a，b的确定值，因此本题不能像例1那样，代入a，b的值求代数式的值．下面给出本题的五种解法．解法1由a-b=-1得a=b-1，代入所求代数式化简a3+3ab-b3=(b-1)3+3(b-1)b-b3=b3-3b2+3b-1+3b2-3b-b3=-1．说明这是用代入消元法消去a化简求值的．解法2因为a-b=-1，所以原式=(a3-b3)+3ab=(a-b)(a2+ab+b2)+3ab=-1×(a2+ab+b2)+3ab=-a2-ab-b2+3ab=-(a2-2ab+b2)=-(a-b)2=-(-1)2=-1．说明这种解法是利用了乘法公式，将原式化简求值的．解法3 因为a-b=-1，所以原式=a3-3ab(-1)-b3=a3-3ab(a-b)-b3=a3-3a2b+3ab2-b3=(a-b)3=(-1)3=-1．说明这种解法巧妙地利用了-1=a-b，并将3ab化为-3ab(-1)=-3ab(a-b)，从而凑成了(a-b)3．解法4 因为a-b=-1，所以(a-b)3=(-1)3=1，即 a3+3ab2-3a2b-b3=-1，a3-b3-3ab(a-b)=-1，所以 a3-b3-3ab(-1)=-1，即 a3-b3+3ab=-1．说明这种解法是由a-b=-1，演绎推理出所求代数式的值．解法 5a3+3ab-b3=a3+3ab2-3a2b-b3-3ab2+3a2b+3ab=(a-b)3+3ab(a-b)+3ab=(-1)3+3ab(-1)+3ab=-1．说明这种解法是添项，凑出(a-b)3，然后化简求值．通过这个例题可以看出，求代数式的值的方法是很灵活的，需要认真思考，才能找到简便的算法．在本例的各种解法中，用到了几个常用的乘法公式，现总结如下：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2；(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3；a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．解由已知，xy=2(x+y)，代入所求代数式中，消去xy，然后化简．所以解因为a=3b，所以c=5a=5×(3b)=15b．将a，c代入所求代数式，化简得解因为(x-5)2，｜m｜都是非负数，所以由(1)有由(2)得y+1=3，所以y=2．下面先化简所求代数式，然后再代入求值．=x2y+5m2x+10xy2=52×2+0+10×5×22=250例6如果4a-3b=7，并且3a+2b=19，求14a-2b的值．分析此题可以用方程组求出a，b的值，再分别代入14a-2b求值．下面介绍一种不必求出a，b的值的解法．解 14a-2b=2(7a-b)=2[(4a+3a)+(-3b+2b)]=2[(4a-3b)+(3a+2b)]=2(7+19)=52．｜x｜+｜x-1｜+｜x-2｜+｜x-3｜+｜x-4｜+｜x-5｜的值．分析所求代数式中六个绝对值的分界点，分别为：0，1，2，据绝对值的意义去掉绝对值的符号，将有3个x和3个-x，这样将抵消掉x，使求值变得容易．原式=x+(x-1)+(x-2)-(x-3)-(x-4)-(x-5)=-1-2+3+4+5=9．说明实际上，本题只要x的值在2与3之间，那么这个代数式的值就是9，即它与x具体的取值无关．例8若x:y:z=3:4:7，且2x-y+z=18，那么x+2y-z的值是多少？分析 x:y:z=3:4:7可以写成的形式，对于等比，我们通常可以设它们的比值为常数k，这样可以给问题的解决带来便利．x=3k，y=4k，z=7k．因为2x-y+z=18，所以2×3k-4k+7k=18，所以k=2，所以x=6，y=8，z=14，所以x+2y-z=6+16-14=8．例9已知x=y=11，求(xy-1)2+(x+y-2)(x+y-2xy)的值．分析本题是可直接代入求值的．下面采用换元法，先将式子改写得较简洁，然后再求值．解设x+y=m，xy=n．原式=(n-1)2+(m-2)(m-2n)=(n-1)2+m2-2m-2mn+4n=n2-2n+1+4n-2m-2mn+m2=(n+1)2-2m(n+1)+m2=(n+1-m)2=(11×11+1-22)2=(121+1-22)2=1002=10000．说明换元法是处理较复杂的代数式的常用手法，通过换元，可以使代数式的特征更加突出，从而简化了题目的表述形式．练习三1．求下列代数式的值：(1)a4+3ab-6a2b2-3ab2+4ab+6a2b-7a2b2-2a4，其中a=-2，b=1；的值．3．已知a=3.5，b=-0.8，求代数式｜6-5b｜-｜3a-2b｜-｜8b-1｜的值．4．已知(a+1)2-(3a2+4ab+4b2+2)=0，求 a，b的值．5．已知第四讲一元一次方程方程是中学数学中最重要的内容．最简单的方程是一元一次方程，它是进一步学习代数方程的基础，很多方程都可以通过变形化为一元一次方程来解决．本讲主要介绍一些解一元一次方程的基本方法和技巧．用等号连结两个代数式的式子叫等式．如果给等式中的文字代以任何数值，等式都成立，这种等式叫恒等式．一个等式是否是恒等式是要通过证明来确定的．如果给等式中的文字(未知数)代以某些值，等式成立，而代以其他的值，则等式不成立，这种等式叫作条件等式．条件等式也称为方程．使方程成立的未知数的值叫作方程的解．方程的解的集合，叫作方程的解集．解方程就是求出方程的解集．只含有一个未知数(又称为一元)，且其次数是1的方程叫作一元一次方程．任何一个一元一次方程总可以化为ax=b(a≠0)的形式，这是一元一次方程的标准形式(最简形式)．解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项，化为最简形式ax=b；(5)方程两边同除以未知数的系数，得出方程的解．一元一次方程ax=b的解由a，b的取值来确定：(2)若a=0，且b=0，方程变为0·x=0，则方程有无数多个解；(3)若a=0，且b≠0，方程变为0·x=b，则方程无解．例1解方程解法1从里到外逐级去括号．去小括号得去中括号得去大括号得解法2按照分配律由外及里去括号．去大括号得化简为去中括号得去小括号得例2已知下面两个方程3(x+2)=5x，①4x-3(a-x)=6x-7(a-x) ②有相同的解，试求a的值．分析本题解题思路是从方程①中求出x的值，代入方程②，求出a的值．解由方程①可求得3x-5x=-6，所以x=3．由已知，x=3也是方程②的解，根据方程解的定义，把x=3代入方程②时，应有4×3-3(a-3)=6×3-7(a-3)，7(a-3)-3(a-3)=18-12，例3已知方程2(x+1)=3(x-1)的解为a+2，求方程2[2(x+3)-3(x-a)]=3a的解．解由方程2(x+1)=3(x-1)解得x=5．由题设知a+2=5，所以a=3．于是有2[2(x+3)-3(x-3)]=3×3，-2x=-21，例4解关于x的方程(mx-n)(m+n)=0．分析这个方程中未知数是x，m，n是可以取不同实数值的常数，因此需要讨论m，n取不同值时，方程解的情况．解把原方程化为m2x+mnx-mn-n2=0，整理得 m(m+n)x=n(m+n)．当m+n≠0，且m=0时，方程无解；当m+n=0时，方程的解为一切实数．说明含有字母系数的方程，一定要注意字母的取值范围．解这类方程时，需要从方程有唯一解、无解、无数多个解三种情况进行讨论．例5解方程(a+x-b)(a-b-x)=(a2-x)(b2+x)-a2b2．分析本题将方程中的括号去掉后产生x2项，但整理化简后，可以消去x2，也就是说，原方程实际上仍是一个一元一次方程．解将原方程整理化简得(a-b)2-x2=a2b2+a2x-b2x-x2-a2b2，即 (a2-b2)x=(a-b)2．(1)当a2-b2≠0时，即a≠±b时，方程有唯一解(2)当a2-b2=0时，即a=b或a=-b时，若a-b≠0，即a≠b，即a=-b时，方程无解；若a-b=0，即a=b，方程有无数多个解．例6已知(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程，求代数式199(m+x)(x-2m)+m的值．解因为(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程，所以m2-1=0，即m=±1．(1)当m=1时，方程变为-2x+8=0，因此x=4，代数式的值为199(1+4)(4-2×1)+1=1991；(2)当m=-1时，原方程无解．所以所求代数式的值为1991．例7 已知关于x的方程a(2x-1)=3x-2无解，试求a的值．解将原方程变形为2ax-a=3x-2，即 (2a-3)x=a-2．由已知该方程无解，所以例8 k为何正数时，方程k2x-k2=2kx-5k的解是正数？来确定：(1)若b=0时，方程的解是零；反之，若方程ax=b的解是零，则b=0成立．(2)若ab＞0时，则方程的解是正数；反之，若方程ax=b的解是正数，则ab＞0成立．(3)若ab＜0时，则方程的解是负数；反之，若方程ax=b的解是负数，则ab＜0成立．解按未知数x整理方程得(k2-2k)x=k2-5k．要使方程的解为正数，需要(k2-2k)(k2-5k)＞0．看不等式的左端(k2-2k)(k2-5k)=k2(k-2)(k-5)．因为k2≥0，所以只要k＞5或k＜2时上式大于零，所以当k＜2或k＞5时，原方程的解是正数，所以k＞5或0＜k＜2即为所求．例9若abc=1，解方程解因为abc=1，所以原方程可变形为化简整理为化简整理为说明像这种带有附加条件的方程，求解时恰当地利用附加条件可使方程的求解过程大大简化．例10若a，b，c是正数，解方程解法1原方程两边乘以abc，得到方程ab(x-a-b)+bc(x-b-c)+ac(x-c-a)=3abc．移项、合并同类项得ab[x-(a+b+c)]+bc[x-(a+b+c)]+ac[x-(a+b+c)]=0，因此有[x-(a+b+c)](ab+bc+ac)=0．因为a＞0，b＞0，c＞0，所以ab+bc+ac≠0，所以x-(a+b+c)=0，即x=a+b+c为原方程的解．解法2将原方程右边的3移到左边变为-3，再拆为三个“-1”，并注意到其余两项做类似处理．设m=a+b+c，则原方程变形为所以即x-(a+b+c)=0．所以x=a+b+c为原方程的解．说明注意观察，巧妙变形，是产生简单优美解法所不可缺少的基本功之一．例11设n为自然数，[x]表示不超过x的最大整数，解方程：分析要解此方程，必须先去掉[ ]，由于n是自然数，所以n与(n+1)…，n[x]都是整数，所以x必是整数．解根据分析，x必为整数，即x=[x]，所以原方程化为合并同类项得故有所以x=n(n+1)为原方程的解．例12已知关于x的方程且a为某些自然数时，方程的解为自然数，试求自然数a的最小值．解由原方程可解得a最小，所以x应取x=160．所以所以满足题设的自然数a的最小值为2．练习四1．解下列方程：*2．解下列关于x的方程：(1)a2(x-2)-3a=x+1；4．当k取何值时，关于x的方程3(x+1)=5-kx，分别有：(1)正数解；(2)负数解；(3)不大于1的解．第五讲方程组的解法二元及多元(二元以上)一次方程组的求解，主要是通过同解变形进行消元，最终转化为一元一次方程来解决．所以，解方程组的基本思想是消元，主要的消元方法有代入消元和加减消元两种，下面结合例题予以介绍．例1解方程组解将原方程组改写为由方程②得x=6+4y，代入①化简得11y-4z=-19．④由③得2y+3z=4．⑤④×3+⑤×4得33y+8y=-57+16，所以 y=-1．将y=-1代入⑤，得z=2．将y=-1代入②，得x=2．所以为原方程组的解．说明本题解法中，由①，②消x时，采用了代入消元法；解④，⑤组成的方程组时，若用代入法消元，无论消y，还是消z，都会出现分数系数，计算较繁，而利用两个方程中z的系数是一正一负，且系数的绝对值较小，采用加减消元法较简单．解方程组消元时，是使用代入消元，还是使用加减消元，要根据方程的具体特点而定，灵活地采用各种方法与技巧，使解法简捷明快．例2解方程组解法1由①，④消x得由⑥，⑦消元，得解之得将y=2代入①得x=1．将z=3代入③得u=4．所以解法2由原方程组得所以x=5-2y=5-2(8-2z)=-11+4z=-11+4(11-2u)=33-8u=33-8(6-2x)=-15+16x，即x=-15+16x，解之得x=1．将x=1代入⑧得u=4．将u=4代入⑦得z=3．将z=3代入⑥得y=2．所以为原方程组的解．解法3①+②+③+④得x+y+z+u=10，⑤由⑤-(①+③)得y+u=6，⑥由①×2-④得4y-u=4，⑦⑥+⑦得y=2．以下略．说明解法2很好地利用了本题方程组的特点，解法简捷、流畅．例3解方程组分析与解注意到各方程中同一未知数系数的关系，可以先得到下面四个二元方程：①+②得x+u=3，⑥②+③得y+v=5，⑦③+④得z+x=7，⑧④+⑤得u+y=9．⑨又①+②+③+④+⑤得x+y+z+u+v=15．⑩⑩-⑥-⑦得z=7，把z=7代入⑧得x=0，把x=0代入⑥得u=3，把u=3代入⑨得y=6，把y=6代入⑦得v=-1．所以为原方程组的解．例4解方程组解法1①×2+②得由③得代入④得为原方程组的解．为原方程组的解．说明解法1称为整体处理法，即从整体上进行加减消元或代入消为换元法，也就是干脆引入一个新的辅助元来代替原方程组中的“整体元”，从而简化方程组的求解过程．例5已知分析与解一般想法是利用方程组求出x，y，z的值之后，代入所求的代数式计算．但本题中方程组是由三个未知数两个方程组成的，因此无法求出x，y，z的确定有限解，但我们可以利用加减消元法将原方程组变形．①-②消去x得①×3+②消去y得①×5+②×3消去z得例6已知关于x，y的方程组分别求出当a为何值时，方程组(1)有唯一一组解；(2)无解；(3)有无穷多组解．分析与一元一次方程一样，含有字母系数的一次方程组求解时也要进行讨论，一般是通过消元，归结为一元一次方程ax=b的形式进行讨论．但必须特别注意，消元时，若用含有字母的式子去乘或者去除方程的两边时，这个式子的值不能等于零．解由①得2y=(1+a)-ax，③将③代入②得(a-2)(a+1)x=(a-2)(a+2)．④(1)当(a-2)(a+1)≠0，即a≠2且a≠-1时，方程④有因而原方程组有唯一一组解．(2)当(a-2)(a+1)=0且(a-2)(a+2)≠0时，即a=-1时，方程④无解，因此原方程组无解．(3)当(a-2)(a+1)=0且(a-2)(a+2)=0时，即a=2时，方程④有无穷多个解，因此原方程组有无穷多组解．例7已知关于x，y的二元一次方程(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0，当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解．解法1根据题意，可分别令a=1，a=-2代入原方程得到一个方程组将x=3，y=-1代入原方程得(a-1)·3+(a+2)·(-1)+5-2a=0．所以对任何a值都是原方程的解．说明取a=1为的是使方程中(a-1)x=0，方程无x项，可直接求出y值；取a=-2的道理类似．解法2可将原方程变形为a(x+y-2)-(x-2y-5)=0．由于公共解与a无关，故有例8甲、乙两人解方程组原方程的解．分析与解因为甲只看错了方程①中的a，所以甲所得到的解4×(-3)-b×(-1)=-2．③a×5+5×4=13．④解由③，④联立的方程组得所以原方程组应为练习五1．解方程组2．若x1，x2，x3，x4，x5满足方程组试确定3x4+2x5的值．3．将式子3x2+2x-5写成a(x+1)2+b(x+1)+c的形式，试求4．k为何值时，方程组有唯一一组解；无解；无穷多解？5．若方程组的解满足x+y=0，试求m的值．第六讲一次不等式(不等式组)的解法不等式和方程一样，也是代数里的一种重要模型．在概念方面，它与方程很类似，尤其重要的是不等式具有一系列基本性质，而且“数学的基本结果往往是一些不等式而不是等式”．本讲是系统学习不等式的基础．下面先介绍有关一次不等式的基本知识，然后进行例题分析．1．不等式的基本性质这里特别要强调的是在用一个不等于零的数或式子去乘(或去除)不等式时，一定要注意它与等式的类似性质上的差异，即当所乘(或除)的数或式子大于零时，不等号方向不变(性质(5))；当所乘(或除)的数或式子小于零时，不等号方向要改变(性质(6))．2．区间概念在许多情况下，可以用不等式表示数集和点集．如果设a，b为实数，且a＜b，那么(1)满足不等式a＜x＜b的数x的全体叫作一个开区间，记作(a，b)．如图1－4(a)．(2)满足不等式a≤x≤b的数x的全体叫作一个闭区间，记作[a，b]．如图1－4(b)．(3)满足不等式a＜x≤b(或a≤x＜b)的x的全体叫作一个半开半闭区间，记作(a，b](或[a，b))．如图1－4(c)，(d)．3．一次不等式的一般解法一元一次不等式像方程一样，经过移项、合并同类项、整理后，总可以写成下面的标准型：ax＞b，或ax＜b．为确定起见，下面仅讨论前一种形式．一元一次不等式ax＞b．(3)当a=0时，用区间表示为(-∞，+∞)．例1解不等式解两边同时乘以6得12(x+1)+2(x-2)≥21x-6，化简得-7x≥-14，两边同除以-7，有x≤2．所以不等式的解为x≤2，用区间表示为(-∞，2]．例2求不等式的正整数解．正整数解，所以原不等式的正整数解为x=1，2，3．例3解不等式分析与解因y2+1＞0，所以根据不等式的基本性质有例4解不等式为x+2＞7，解为x＞5．这种错误没有考虑到使原不等式有意义的条件：x≠6．解将原不等式变形为解之得所以原不等式的解为x＞5且x≠6．例5已知2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x)，且y＜x+9，试比较解首先解关于x的方程得x=-10．将x=-10代入不等式得y＜-10+9，即y＜-1．例6解关于x的不等式：解显然a≠0，将原不等式变形为3x+3-2a2＞a-2ax，即(3+2a)x＞(2a+3)(a-1)．说明对含有字母系数的不等式的解，也要分情况讨论．例7已知a，b为实数，若不等式(2a-b)x+3a-4b＜0解由(2a-b)x+3a-4b＜0得(2a-b)x＜4b-3a．。

课题9.1.1不等式及其解集授课人教学目标知识技能1.了解不等式和一元一次不等式的意义.2•通过解决简单的实际问题，使学生自发地寻找不等式的解，理解不等式的解集.3•会把不等式的解集正确地表示在数轴上.数学思考经历现实生活不等关系的探究过程，体会建立不等模型的思想；通过不等式解集在数轴上表示的探究，渗透数形结合思想.问题解决能用不等式刻画事物间的相互关系；学会用观察、类比、猜测解决问题.情感态度1 •通过对不等式、不等式解与解集的探究，引导学生在独立思考的基础上积极参与对数学问题的讨论，体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性.2 •通过问题解决，获得成功体验，建立学习自信心，让学生充分体会到生活中处处有数学，并能将它们应用到生活的各个领域.教学重占正确理解不等式、不等式的解与解集的意义，把不等式的解集正确地表示在数轴上.教学难点正确理解不等式解集的意义.（续表）授课类型新授课课时教具多媒体，自制教具教学活动教学步骤师生活动设计意图活动■•创设情境导入新课【课堂引入】①两个体重相同的孩子正在跷跷板上做游戏.现在换了一个小胖子上去，跷跷板发生了倾斜，游戏无法继续进行下去了.这是什么原因呢？②一辆匀速行驶的汽车在11： 20时距离A地50千米.要在12： 00之前到达A地，车速应该具备什么条件？若设车速为每小时X千米，能用一个式子表示吗？通过实例创设情境，从“等”过渡到“不等”，培养学生的观察能力，激发他们的学习兴趣，从吋间上来看：¥<彳；从路程上看：|x>50.从而引入新课.活动■实践探究交流新知【探究1】不等式、一元一次不等式的概念像以上两式这样用等表示大小关系的式子叫做不等式.我们把含有一个未知数且未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式.练习：1 -下列式子那些是不等式？其中一元一次不等式的有那些？(1)3>2； (2)a2+1^0； (3)3X2+2X；(4)X<2X+1；(5)X =2X—5； (6)X2+4X<3X+1； (7)a+bHc； (8)_・2•用适当的符号表示下列关系：(1)x与1的和是正数；(2)y的2倍与1的和不等于3；(3)x的*与x的2倍的差是非正数；(4)c与4的和的30%不大于一2；(5)x除以2的商加上2，至少为5.【探究2】不等式的解、不等式的解集问题1：［课堂引入］中要使汽车在12： 00之前到达A地，你认为车速应该为多少呢？问题2：车速可以是每小时85千米吗？每小时82千米呢？每小时75.1千米呢？每小时74千米呢？问题3：我们曾经学过“使方程两边相等的未知数的值就是方程的解”，我们也可以把使不等式成立的未知数的值叫做2不等式的解.上面所说的这些数，哪些是不等式彳x>50的解呢？2问题4：判断下列数中哪些是不等式fx>50的解：76，73，79，80，74.9，75.1，90，60.你能找出这个不等式其他的解吗？它到底有多少个解？你从中发现了什么规律？1.通过观察思考引出一元一次不等式的定义.(续表)活动二：实践探究交流2师生讨论后得出：当x>75时，不等式事>50成立；当2x<75或x=75时、不等式qx>50不成立•这就是说，任何2.类比方程的解的概念，确定不等式的解，不等式的解集的概念.让学生充分新知2一个大于75的数都是不等式彳x>50的解，这样的解有无数2个.因此，x>75表示了能使不等式畚>50成立的“x”的取值范围我们把它叫做不等式x>50的解的集合简称解集•这个解集还可以用数轴来表示.【探究3】在数轴上表示不等式的解、不等式的解集已知X1 = 1，X2=2，请在数轴上表示出X1，X2的位置，根据数轴判断xvl，x>2，l<x<2各对应数轴的哪部分？J ・r 1 11 2 1 2 1 2图9-1-7用数轴表示不等式的解集步骤及注意事项：第一步：画数轴；第二步：定界点；第三步：定方向.“〉”是空心；“W”是实心.“〉” “2”向右画；“W”向左画.一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集.求不等式的解集的过程叫做解不等式.练习：在数轴上表示下列不等式的解集：(l)x>—1； (2)xN —1； (3)x<—1； (4)xW_l.解：-i 6 -i 6(1) (2)丄・F I-1 0 -1 0(3) ⑷发表意见，并通过计算、动手验证、动脑思考，遵循学生的认知规律，有意识、有计划、有条理地设计一些引人入胜的问题，可让学生始终处在积极的思维状态. 3•通过引导学生回忆实数与数轴上的点的对应关系，知道不等式的解集也可以用数轴表示.同时，引导学生体验用数轴表示不等式的解集具有直观的优越性，以增強学生数形结合的意识.活动开放训练体现应用【应用举例】例1设某数为x，根据某数与2的差小于3，列出关系式并结合数轴取点验证.解：x—20.分别取x=—2 »— 1 » 0 » 1 » 3.1 ? 5 » 6 » 10. 代入不等式，其中x=-2，—1，0，1，3.1代入后不等式成立，所以x=-2，一1，0，1，3.1是不等式x-2<3的解；x=5，6，1()不是不等式x-2<3的解，这个不等式的解集表示为x<5.变式练习下列说法是否正确？(1)x = 3 是2x>3 —个解；(2)x = 3是2x>3的解集；(3)x = 3是2x>3的唯一解；(4)x>1.5 是2x>3 的解集.由浅入深的讲解，帮助学生理解不等式的解和解集.(续表)活动三：开放训练体现应用【拓展提升】例2下列哪些是不等式x + 3>6的解？哪些不是？-4，-2.5，0，1，2.5，3，3.2，4.8，8，12.例3直接写出不等式的解集，并在数轴上表示出来：(l)x + 3>6；(2)2x<8； (3)x-2>0.拓展题型，提高学生应用知识解决问题时的应变能力.活动四：课堂总结反思【当堂训练】课本第115页练习第1〜3题.课后作业：课本第119页习题9.1第1，2,3题.通过练习进一步巩固不等式的知识.【板书设计】9 • 1.1不等式及其解集提纲挈领，重点突出.一、不等式的概念1 •不等式的解2•不等式的解集3•解不等式•二、用数轴表示不等式的解集【教学反思】①［授课流程反思］本节通过实例创设情境，从“等”过渡到“不等”，进而拚究了不等式的概念，解与解集，在数轴上表示不等式的解集②［讲授效果反思］通过本节教学，学生对不等式有了进一步的认识，能够根揽题意列出简单的不等式，并能验证不等式的解及表示不等d 的解集.③［师生互动反思］§反思教学设计，更进一步提升教师教学能力.④［习题反思］好题题号错题题号。

讲座内容：一、不等式的基本性质1. 如果一个数值不等另一个数值大，那么这个数值就是较大的数值；如果一个数值不大于另一个数值，那么这个数值就是较小的数值。

2. 如果一个数值不等另一个数值小，那么这个数值就是较小的数值；如果一个数值不小于另一个数值，那么这个数值就是较大的数值。

3. 如果一个数值大于另一个数值的n倍，那么这个数值就大于原数值的n倍；如果一个数值小于另一个数值的n倍，那么这个数值就小于原数值的n倍。

二、不等式的解法1. 移项：将不等式中的项移到另一边，并使用加、减、乘、除运算符号表示出来。

2. 系数化1：将不等式中的系数化成1或-1，使不等式转化为等式。

3. 验证：将不等式中的系数化成1或-1后，再根据不等式的性质进行验证。

三、不等式组的解法1. 分别求出不等式组中每个不等式的解集，并用数轴表示出来。

2. 根据各不等式的解集，找出它们之间的公共部分，即不等式组的解集。

3. 验证：将不等式组的解集代入每个不等式中，看是否仍然成立。

四、应用举例例1：解不等式组：x-3(x-2) > 5①2x-4 < 8②解：①式移项得：x-3x+6 > 5，合并同类项得：-2x > -1，系数化1得：x < 1/2 解②式得：x < 2 ∴原不等式组的解集为：x < 1/2。

例2：某工厂生产A、B两种产品，生产B产品时需要使用C材料，已知生产A产品的成本为每件40元，生产B产品的成本为每件60元，C材料的价格为每千克30元。

工厂每天用于生产A产品的工时为m小时，用于生产B产品的工时为n小时（m、n均为整数），且m ＜n＜90）。

工厂每天投入的工时和C材料费用总和为$76m + 36n$元。

工厂每天至少要获得$70$件产品且生产成本不超过$3464$元，需要同时满足两个条件。

请你根据题意，写出关于$m$、$n$的二元一次方程组。

（1）若投入工时不超过$80$小时，求该工厂每天至少生产多少件产品？（结果取整数）（2）是否存在符合题意的方案使得工厂每天的生产成本刚好达到最低？若存在，请求出该方案的成本最低值；若不存在，请说明理由。

第十一讲不等式(组)的应用趣题引路】(2002年江苏省常州市中考题)某校为了奖励在数学竞赛中获奖的学生，买了若干本课外读物准备送给他们•如果每人送3本，则还余8本；如果前面每人送5本，则最后一人得到的课外读物不足3本•设该校买了加本课外读物，有x需学生获奖，请解答下列问题：(1)用含x的代数式表示加；(2)求出该校的获奖人数及所买的课外读物的本数.解析：(1) m=3x+8；(2)依题意得严F-ipo, ®3x + 8-5(x-l)<3・(2)•由①得点6丄；2由②得x>5・•••原不等式组的解集为5<xW6丄.2•・• x是正整数，・・.x = 6.把；v = 6彳弋入〃？ = 3x+8 ,得加=26.答：该校的获奖人数为6人，所买的课外读物的本数为26.点评：在一些实际问题中，往往含有“不足” “不超过”“不低于”等关键词，将这些关键词转换成不等符号，就可以建立不等式，从而使问题得以解决.知识延伸】一、不等关系与相等关系的综合在实际问题中，往往既存在相等关系又存在不等关系，我们充分利用这些关系建立方程和不等式，可以把问题解决.例1：(黑龙江省中考题)为了迎接2002年的世界杯足球赛，某足球协会举办了一次足球赛，其记分规则和奖励方案如下：当比赛进行到第12轮结束时(每队需要比赛12场)，A队共积19分.(1)请通过计算，判断A队胜.平.负各几场？(2)若每赛一场，每个参赛队员得出场费500元，设A队其中一需参赛队员所得的奖金和出场费的和为W (元人试求W的最大值.解析：(1)设A队胜x场，平y场，负z场，则有(兀 + y + z = 12,(3x+y = 19 ・2 = 19-3上iz = 2x — 7.解得：由题意可知4^0,且X、八z均为整数,19-3x^0,心0・解得：3丄WrWl, ••• x=4, 5, 6.2 3•••A队胜4场，平7场，负1场；或胜5场，平4场，负3场：或胜6场，平1场，负5场.(2) VV = (1500 + 500)x + (700 + 500)y + 500z = -600x +19300观察代数式-6OO.r+19300,发现x越小，W越大.•••当x = 4时，比叭=16900元.点评：题中有两个明显的相等关系•可以列出两个方程，但问题中迫切需要求出三个未知量，利用题中隐含的不等关系“三个未知量都是非负整数”建立不等式组，确泄未知量的取值范国•这实际上也是利用不等式求不定方程组的整数解的一种重要方法.二、不等式与商品定价在商品销售问题中往往牵涉到价格、商品数目“至多…至少…盈利”等词语，将这些词语转化为不等符号，即可建立不等式，解决实际问题.例2：商业大厦购进某种商品1000件，销售价左为购进价的125%.现计划节日期间按原左销售价让利10%,售出至多100件商品，而在销售淡季按原立销售价的60%大甩卖，为使全部商品售完后盈利，在节日和淡季外要按原定价销售至少多少件商品？解析：设购进价为“元，按原立价销售x件，节日让利销售y件，则淡季销售（1000-x-y ）件•依题意有：125%心 + 125%（1-10%）© + 125%x60%“（100-x-y） > 1000u 即4x + 3y > 2000 ,V 応100 ,•••4x>2000-3yM1700,又x是整数，•••x±425・所以，在节日和淡季外要按原定价销售至少435件商品才能盈利.点评：充分利用“盈利”这一不等关系，盈利即销售金额大于成本•题目中并没有包含儿y的等量关系，但利用）0100和不等式的传递性建立关于x的不等式，从而求岀;v的取值范耐三.不等式与决策方案现实生活中职能部门政策的制左，公司生产方案的决策等都蕴含着大量的数学知识，不等式在其中时常会有所体现.例3：某市政府为了进一步改善投资环境和居民生活环境，并吸引更多的人来观光旅游，决左对古运河城区段实施二期开发工程，现需要A. B两种花砖50万块，全部由某砖瓦厂完成此项生产任务•该厂现有甲种原料180万千克，乙种原料145万千克.已知生产1万块A砖，用甲种原料4.5万千克，乙种原料1・5万千克，造价1.2万元；生产1万块B砖，用甲种原料2万千克，乙种原料5万千克，造价1.8万元.（1）利用现有的原料，该厂是否能按要求完成任务？若能，按A、B两种花砖生产的块数，有哪几种生产方案？请你设计出来.（以1万块为一个单位且取整数）（2）试分析你设计的哪种方案总造价最低？最低造价是多少？解析：（1）设应生产A种花砖x万块，则应生产B种花砖（50-天）万块.j4・5x + 2(50-x)W180,①依题意得il.5x + 5(50-x)W145・②由①、②可得30WxW32・V 兀是整数,••• x=30, 31, 32：对应的50-x=20, 19, 18.所以有以下三种方案可供选择：方案一：生产A种花砖30万块，B种花砖20块；方案二：生产A种花砖31万块，B种花砖19块；方案三：生产A种花砖32万块，B种花砖18块.（2）三种方案的造价分别为：方案一：30x1.2+20x1.8 = 72 （万元）：方案二：31x1.2 + 19x1.8 = 71.4 （万元）；方案三：32x1.2+18x1.8=70.8 （万元）.显然，方案三造价最低，最低造价为70.8万元.点评：利用“所需原料不能超过现有原科”这一隐含的不等关系建立不等式，求岀未知量的取值范围. 得到可行方案.好题妙解】佳题好题品味例：某校组织师生春游，如果单独租用45座客车若干辆，刚好坐满；如果单独租用60座客车，可少租一俩，且余30个座位.（1）求该校参加春游的人数：（2）已知45座客车的租金为每辆250元，60座客车的租金为每俩300元，这次春游同时租用这两种客车，其中60座客车比45座客车多租一辆，所用租金比单独租用一种客车要节省，按照这种方案需租金多少元？解析：设参加春游的有X人.依题意得丄=出2+1・45 60解得x=270 （人）・（2）单独粗用45座客车时需车6俩，所需租金为1500元：单独租用60座客车时需车5辆，所需租金也为1500元.设租用45座客车y俩，则租用60座客车y+1辆，依题意得250y + 3OO（y + l）<15OO ・解之得y<晋，（y是正整数），•: y = 1 ♦或y = 2 ・当y = l 时，45xl+60x2=165<270 （不合题意,舍去）;当y = 2时，45 x 2 + 60 x 3 = 270符合题意.选择这种方案需要租金：2 x 250 + 3 x 300 = 1400 （元）.点评：利用“所用租金比单独租用一种客车要巧省”这一隐含的限制条件来构建不等式，求出未知量的取值范围，得到符合题意的方案.中考真题欣赏例：（2003年哈尔滨市中考题）建网校就等于建一所学校，哈尔滨市慧明中学为了加强现代信息技术课教学，拟投资建一个初级讣算机机房和一个髙级计算机机房，每个计算机房只配一台教师用机，若T•台学生用机，其中初级机房教师用机每台8000元，学生用机每台3500元：高级机房教师用机每台11500元, 学生用机每台7000元•已知两机房购买计算机的总钱数相同，且每个机房购买汁算机的总钱数不少于20 万，也不超过21万，则该学校拟建的初级机房、高级机房各有多少台计算机？解析：设初级机房有X台计算机，髙级机房有y台讣算机.8000 + 35OO（x-1） = 11500+ 7000（y-1）,①根据题意有200000^8000 + 35OO（A- 1）^210000, ⑥200000W11500 + 7000（$-1）0210000. ③由①得x = 2y,由②得55-^A<58-,7 71 Q 气由③得27 —W）W29—,14 - 14•••八y是正整数，•: y = 28 > 人‘ =56 ； y = 29 ♦x = 58 ・答：初级机房有56台计算机,高级机房有28台计算机;或初级机房有58台计算机,髙级机房有29 台计算机.点评：先将两个机房所需的总钱数用代数式表示出来，再利用不等关系“不少于20万，也不超过21 万”建立不等式，利用相等关系“两机房购买计算机的总钱数相同”建立方程.竞赛样题展示例：（江苏省竞赛试题）货轮上卸下若干只箱子，其总重量为10（,每只箱子的重量不超过山为保证能把这些箱子一次运走，问至少需要多少俩载重3t的汽车？解析：设共需"辆汽车，它们运走的重量依次为…，©•则2WqW3 （ / = 1 ♦ 2, •••♦“），q+G+••• + ©= 10,/. 2 + 2 +・・・+ 2念］+ ① + … + “S3 + 3t…+ 3，”个IT个即解得—^n^：5 ・3•・•车子数”应为整数，•“ 4或5,但4辆车子不够.例如有13只箱子，每只重量为挣，而3X寻V3, 4X 吕>3,即每辆车子只能运走3只箱子，4辆车子只能运走12只箱子，还剩一只箱子，故需5辆汽车.点评：每只箱子不超过M意味着每辆车的载重虽大于或等于2/且小于等于引.利用“总重量等于各车的实际载重量之和”，建立关于车辆数”的I不等式，使问题得以解决.过关检测】A级1.（2001年河北省中考题）在一次“人与自然“知识竞赛中，竞赛试题共有25道，每道题都给岀4个答案，苴中只有一个正确答案，要求学生把正确答案写出来，每逍题选对得4分，不选或选错倒扣2分.如果某学生在本次竞赛中的得分不低于60分，那么他至少选对了________________ 道题.2.一种含药率为15%的火虫药粉30怨，现要用含药率较髙的同种火虫药粉50炖和它混合，使混合后的含药率大于20%,而小于35%,则所用药粉的含药率x的范围是（）A. 15%<x<25%B. 15%<JT<35%C. 23%<x<47%D. 23%<x<50%3.（南京市中考题）一个长方形足球场的长为宽为70,如果它的周长大于350m而积小于7560胪, 求x的取值范伟I,并判断这个球场是否可以用作国际足球比赛.（注：国际足球比赛的足球场的长在100加到110加之间,宽在64/w到75加之间）4.在双休日，某公司决泄组织48名员工到附近一水上公园坐船游玩，船只租赁情况如下表:怎样设汁租船方案才能使所支岀的租金最少？（严禁超载）5.（浙江宁波市中考题）为了能有效地使用电力资源，宁波市电业局从2001年1月起进行居民“峰谷“ 用电试点，每天8 ： 00到22 : 00用电的电价为0.56元/千瓦时（“峰电"价），22 ： 00至次日8 ： 00用电的价为0.28元/千瓦时（“谷电"价），而目前不使用“峰谷“电的居民用电的电价为0.53元/千瓦时.（D-居民家庭在某月使用“峰谷“电后，付电费95.2元,经测算比不使用“峰谷“电节约10.8元.问该家庭当月使用峰电和谷电各多少千瓦时？（2）“邮电"用量不超过每月总电疑的百分之几时，使用“il金谷"电合算？（精确到1%）6.现在计划把甲种货物1240r和乙种货物880/用一列货车运往某地，已知这列货车挂有A、B两种不同规格的货车车厢共40节,使用A型车厢每节费用6000元，使用B型车厢每节费用为8000元.（1）设运送货物的总运费为y万元，这列货车挂A型车厢x肖，试写出y与x的函数关系式（即用含x 的代数式表示y）:（2）如果每节A型车厢最多可以装甲种货物35r和乙种货物15/,每节B型车厢最多可以装甲种货物25/ 和乙种货物35/,装货时按此要求安排A、B两种车厢的节数，那么共有几种安排方案？（3）在上述方案中哪个方案运费最少？最少运费为多少？B级1.（第14届江苏省赛题）小林拟将1, 2,…，"这“个数输入电脑求平均数，当他认为输入完毕时，电脑显示只输入了 "一1个数，平均数为35专，假设这“一1个数输入无误，则漏输入的一个数为（）A. 10B. 53C. 56D. 672.（1999年全国初中赛题）江堤边一洼地发生管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用两台抽水机抽水，40加“可抽完：如果用4台抽水机抽水，16”曲可以抽完.如果要在10加“内抽完水，那么至少需要抽水机______________ 台.3.（北京市赛题）今有浓度为5%、8%、9%的甲、乙、丙三种盐水分别为60g、60g、47g,现要配制7%的盐水100g,问甲种盐水最多可用多少克？最少可用多少克？4.有一片牧场，草每天都在均匀生长（即每天草增长的量都相等），如果每天放牧24头牛，则6天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天可以吃完牧草.设每头牛每天的吃草量相等，问：（1）如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草？（2）要使牧草永远都吃不完，至多放牧多少头牛？5.据有关部门统汁：20世纪初全世界共有哺乳类和鸟类动物约13000种，由于环境等因素影响，到20世纪末这两类动物种数共灭绝1.9%,其中哺乳类火绝约3.0%,鸟类灭绝约1.5%.（1）问20世纪初期哺乳类和鸟类动物各有多少种？（2）现在人们越来越意识到保护动物就是保护自己，到本世纪末，如果要把哺乳类和鸟类动物的火绝种数控制在0.9%以内，英中哺乳类动物的火绝种数与乌类动物的火绝种数之比约为6：7,为实现这个目标, 鸟类灭绝不能超过多少种？6.六人共订六种报纸，其中每人至少订一种报纸.已知前五人分別订了2、2、4. 3. 5种报纸，而前五种报纸分别有1、4、2、2、2人订，问第六个人订几种报纸？第六种报纸有几人订?第十一讲不等式（组）的应用A级亠•二1.19.2. C.3.105<x<108,可以4-租大船9只，小船1只时支付租金址少,租金为29元5-（1）该家庭当月使用峰电HO千瓦时，谷电60千瓦时;⑵不超过89%6.厂-0.加十32；（2）24WK26,故有三种方案（略）；（3）最佳方案是A型车厢26节』型车厢14节最少运费是26 8万元B级1. c.提示;设漏输的一> 数为匕则有♦ qq丄一L+2十…十n -k一1+2十•・・+•□・1 n +27n n -1 2 '35 y = —冬中十……"=27n・l n-1 2 f3 3解得69〒•又71 （n “ 1）,则n =71 •于是代人原式解得k = 56.2. 6 台.3.提示:设甲、乙、丙三种盐水分别取xg.yg.zg,则|x +y + 7 = 100,l5%z+8%y+9%x= 100 x7%ffy =200 -4x t^V=3x-100.（0W60.又有lo<y^6O,lowv47.可解得35 Cx ^49.4. （1） 18天可以吃完$（2）至多放牧12头牛・5•⑴哺乳类和鸟类动物各有3470种和9530种；（2）鸟类灭绝不能超过62种.6.提示:从整体考虑•六个人订报的总效等于六种报纸的总订数・o设第六个人廿了皿种报纸，第六种报纸有，人订，叫％为正整数，并且则有2*2+4+3 + 5 5 = 1 +4+2+2 +2卄，解得"25.由JH+5W6得mWl,但m多1.所以心1声"・。