随机过程复习题
一、填空题：
1．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t ，
)()]()([12123t t t X t X E -=-，
则15
486}6)5(,4)3(,2)1({-====e X X X P ,6
18}4)3(|6)5({-===e X X P
2. 已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ，初始
分布为),,(4
1
2141，
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎣
⎡=434
10313131
043
411)(P 则167)2(12=P ，161}2,2,1{210====X X X P 3．强度λ的泊松过程的协方差函数},m in{),(t s t s C X λ= 4．已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R ， 则)]()([)(πωδπωδπω-++=X S
5.对于平稳过程X (t)若)()]()([)()(τττX R t X t X E t X t X =+>=+<以概率1成立，则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。
6.已知平稳过程)(t X 的谱密度为2
32
42
++=ωωωω)(S ，则)(t X 的均方值=
2
222-
7. 随机相位过程),cos()(Θω+=t a t X 其中ω,a 为常数，
Θ为),(π20上服从均匀分布的随机变量，则0)(>=ωτ
τcos 2
)()(2
a t X t X >=+<
8．设马尔可夫链},2,1,0,{ =n X n
的状态空间}1,0{=I ，
则一步转移概率矩阵为⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡=9.01.01.09.0P ，初始分布为)3
1
,32(0(=p ，则2
X 的分布律为 (2)P =
(0.547,0.453)，
234(1,1,0)________P X X X ====0.09
9.设...)2,1,0(=n X
n
是只有两个状态的齐次马氏链，其n
步转移概率矩阵为
⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
-=n n n n
D C n P 21311)(，则n n C D ==
n n
2
1
,31
二、计算与证明：
1．设任意相继两天中，雨天转晴天的概率为3
1，晴天
转雨天的概率为2
1
，任一天晴或雨是互为逆事件，以
表示晴天状态，以1表示雨天状态，n
X 表示第n 天的状态（0或1）。
（1） 写出马氏链},{1≥n X n
的一步转移概率矩阵；
（2） 在5月1日为晴天的条件下，5月3日为晴天；5月5日为雨天的概率各是多少？
2．设齐次马氏链的一步转移概率矩阵为
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=323103203103231//////P ，证明此链具有遍历性，并求其平稳分布。
3．将2个红球4个白球任意地放入甲、乙两个盒子中，每个盒子中放3个，现从每个盒子中各取一球，交换后放回盒中，以)(n X 表示经过n 次交换后甲盒子中的红球数，则}0),({≥n n X 是一齐次马尔可夫链，试求：（1）求初始分布；（2）求一步转移概率矩阵；（3）证明}0),({≥n n X 是遍历链。
4．设t B t A t X 0
sin cos )(ω+ω=，0ω是常数，A 与B 为相
互独立的随机变量，且)1,0(~N A ，)1,0(~N B （1）证明)(t X 是平稳过程； （2）证明)(t X 均值具有各态历经性； （3） 求)(t X 的平均功率。
5.随机过程t Y t X t Z cos sin )(+=，其中Y X ,为独立同分布的随机变量，它们的分布律为：
（1） 证明)(t Z 为平稳过程；（2）证明)(t Z 的均值具
有各态历经性.
6．设有随机过程)sin()cos()(t B t A t X ππ+=，其中A 与B 独
立且都是均值为零，方差为2
σ的正态随机变量，求（1）
)1(X 和)4
1
(X 的概率密度；（2）问)(t X 是否是平稳过程？
7．设)cos()(Θπ+=t A t X ，A 为随机变量，具有瑞利分布，
其密度函数为⎪⎩
⎪⎨⎧≤>=-0
04
8
2x x e x x f x )(，Θ是),(π20上
服从均匀分布与A 相互独立的随机变量，问)(t X 是否是平稳过程？
8．设)(t X 是平稳过程，令)()()(a t X a t X t Y --+=，
a 为常数，试证：
（1）)()()()(a R a R R R X X X Y 222--+-=ττττ；
（2）)(sin )()(ωωωa S S X
Y 2
4=。
