代 数 方 程 2

八年级数学第二章代数方程知识点总结超
详细
八年级数学第二章代数方程知识点总结
本文档将对八年级数学第二章代数方程的知识点进行详细总结。

以下为各个知识点的概述：
1. 一元一次方程
- 定义：含有未知数的一次方程。

- 解方程的方法：可采用逆运算法、等式性质法等解法。

- 解方程的步骤：利用逆运算逐步消去未知数的系数和常数项。

- 常见的应用问题：运用一元一次方程解决实际问题，如等价
比例、速度与时间的关系等。

2. 二元一次方程组
- 定义：含有两个未知数的一次方程组。

- 解方程的方法：可采用代入法、消元法等解法。

- 解方程的步骤：通过逐步消元或代入未知数的值，求得方程组的解。

- 常见的应用问题：两个变量之间的关系问题，如面积与边长的关系等。

3. 一元二次方程
- 定义：含有未知数的二次方程。

- 解方程的方法：可采用因式分解法、配方法等解法。

- 解方程的步骤：将二次方程转化为一次方程，再进行求解。

- 常见的应用问题：利用二次方程解决实际问题，如抛物线的轨迹、物体自由落体等。

4. 二元二次方程组
- 定义：含有两个未知数的二次方程组。

- 解方程的方法：可采用代入法、消元法等解法。

- 解方程的步骤：通过逐步消元或代入未知数的值，求得方程组的解。

- 常见的应用问题：两个变量之间的关系问题，如抛物线与直线的交点等。

以上就是八年级数学第二章代数方程的知识点总结。

希望本文档对您有所帮助！
*备注：本文档内容仅供参考，如有需要，请与课本或教师指导的内容相结合。

*。

代数学方法卷二代数学是数学的一个重要分支，研究数与数之间的关系、运算和性质。

代数学方法卷二是代数学的其中一个学习资料，本文将对其内容进行详细描述，包括卷中涉及的主要内容、解题思路和一些具体的例子。

一、卷中主要内容代数学方法卷二主要包含以下几个方面的内容：1. 四则运算及其扩展：整数、分数、小数等的加、减、乘、除运算。

2. 代数式的化简和展开：利用代数运算性质，将一个复杂的代数式化简为简单形式，或将简单形式的表达式展开成复杂形式。

3. 方程与不等式的解：通过代数运算和方程的变形，求解给定的方程和不等式的解集。

4. 函数及其图像与性质：通过代数方法分析函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等性质，并绘制函数的图像。

5. 线性方程组与矩阵：利用矩阵和线性方程组的代数运算，求解线性方程组的解集，并讨论其解的唯一性。

6. 二次函数与二次方程：研究二次函数的图像和性质，以及二次方程的求解方法和解的判别式。

二、解题思路1. 四则运算及其扩展：根据运算法则和优先级，逐步进行加减乘除运算。

注意对于分数和小数的运算应进行通分和对齐。

2. 代数式的化简和展开：利用分配律、结合律、消去律等代数运算性质逐步化简或展开代数式。

注意变量之间的运算顺序和运算法则。

3. 方程与不等式的解：对于线性方程和一元二次方程，可以通过因式分解、配方法和求根公式等方法求解。

对于不等式，可以通过代数方法和图像分析的方法求解。

4. 函数及其图像与性质：通过确定函数的定义域和值域，分析函数的增减性、奇偶性、单调性等性质，并绘制函数的图像以验证结果。

5. 线性方程组与矩阵：利用矩阵的一系列运算，并运用高斯消元法和矩阵的性质来求解线性方程组的解集。

6. 二次函数与二次方程：通过求二次函数的顶点和对称轴，分析二次函数的图像和性质。

对于二次方程，可以利用求根公式和配方法来求解，并通过解的个数和判别式来判断其解的情况。

三、举例说明1. 对于四则运算及其扩展，例如计算：(1/2 + 3/4) × (2/3 ÷ 1/5)。

新初中数学方程与不等式之二元二次方程组知识点总复习含答案解析一、选择题1．k 为何值时，方程组2216x y x y k ⎧+=⎨-=⎩只有唯一解？ 【答案】k=42±.【解析】【分析】 将方程组转化为一元二次方程，根据△=0求解即可.【详解】2216(1)(2)x y x y k ⎧+=⎨-=⎩ 由（2）得， y=x-k （3）将（3）代入（1）得，2222160x kx k -+-=，要使原方程组有唯一解，只需要上式的△=0，即22(2)42(16)0k k --⨯⨯-=，解得，k=42±.所以当k=42±时，方程组2216x y x y k⎧+=⎨-=⎩只有唯一解. 【点睛】本题考查的是高次方程的解法和一元二次方程根的判别式的应用，掌握当判别式为0时，一元二次方程有两个相等的实数根是解题的关键．2．阅读材料，解答问题材料：利用解二元一次方程组的代入消元法可解形如的方程组． 如：由（2）得，代入（1）消元得到关于的方程： ，将代入得：，方程组的解为 请你用代入消元法解方程组：【答案】解：由（1）得，代入（2）得化简得：，把，分别代入得：，，【解析】这是阅读理解题，考查学生的阅读理解能力，把二元二次方程组利用代入消元转化成一元二次方程，解出一元二次方程的解，再求另一个未知数的解即可3．解方程组：⑴3{351x yx y-=+=⑵3+10{2612x y zx y zx y z-=+-=++=【答案】（1）2{1xy==-；（2）3{45xyz===【解析】（1）先用代入消元法求出x的值，再用代入消元法求出y的值即可．（2）先利用加减消元法去z得到关于x、y的两个方程，解这两个方程组成的方程组求出x、y，然后利用代入法求z，从而得到原方程组的解.（1）2{1xy==-； (2)3{45xyz===“点睛”本题考查了解二元一次方程组、三元一次方程组：利用加减消元法或代入消元法把解三元一次方程组的问题转化为二元一次方程组的问题.4．如图，要建一个面积为45 m2的长方形养鸡场(分为两片)，养鸡场的一边靠着一面长为14m的墙，另几条边用总长为22 m的竹篱笆围成，每片养鸡场的前面各开一个宽l m的门.求这个养鸡场的长与宽.【答案】这个养鸡场的长为9m，宽为5 m.【解析】试题分析：设鸡场的长为x m，宽为y m，根据鸡场的面积和周长列出两个等量关系，解方程组即可，注意鸡场的长小于围墙的长．解：设鸡场的长为xm，宽为ym，由题意可得：322245x y xy +-=⎧⎨=⎩，且x <14，解得y =3或5； 当y =3时，x =15；∵x <14，∴不合题意，舍去；当y =5时，x =9，经检验符合题意．答：这个养鸡场的长为9m ，宽为5m.5．解方程组：2322441x y x xy y +=⎧-+=⎨⎩【答案】2112115,175x x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩【解析】分析：把方程组中的第二个方程变形为两个一元一次方程，与组中的第一个方程构成新方程组，求解即可．详解：2322441x y x xy y +=⎧-+=⎨⎩①② 由②得2(2)1x y -=，所以21x y -=③，21x y -=-④由①③、①④联立，得方程组： 2321x y x y +=⎧-=⎨⎩，2321x y x y +=⎧-=-⎨⎩ 解方程组2321x y x y +=⎧-=⎨⎩得，{11x y == 解方程组2321x y x y +=⎧-=-⎨⎩得，1575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 所以原方程组的解为：1111x y =⎧=⎨⎩，221575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩点睛：本题考查了二元二次方程组的解法，解决本题亦可变形方程组中的①式，代入②式得一元二次方程求解．6．解方程组：22x 2xy 3y 3x y 1⎧--=⎨+=⎩ 【答案】x 1.5y 0.5=⎧⎨=-⎩【解析】【分析】把方程组的第一个方程分解因式求出x 3y 3-=，再解方程组解x y 1x 3y 3+=⎧⎨-=⎩即可． 【详解】由22x 2xy 3y 3--=得：()()x y x 3y 3+-=， x y 1+=Q ，x 3y 3∴-=，解x y 1x 3y 3+=⎧⎨-=⎩得：x 1.5y 0.5=⎧⎨=-⎩． 【点睛】本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成低次方程组是解此题的关键．7．解方程组：2220334x y x y y -=⎧⎨+-=⎩. 【答案】21x y =⎧⎨=⎩或63x y =-⎧⎨=-⎩【解析】【分析】由①可知x=2y ，代入②可得一个关于y 的一元二次方程，进行解答，求出y 值，再进一步求x 即可．【详解】解：2220......33 4......x y x y y -=⎧⎨+-=⎩①②, 由①得：2x y =………… ③将③代入②，化简整理，得：2340y y +-=，解得：13y y ==-或，将13y y ==-或代入①，得：21x y =⎧⎨=⎩或63x y =-⎧⎨=-⎩.【点睛】考查了解方程组，解答此类题目一般用代入法比较简单，先消去一个未知数，再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可．8．22x -y -3x 10y ⎧=⎨++=⎩，①，② 【答案】x 1y -2=⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】根据解二元二次方程组的步骤求解即可.【详解】解：由方程①得：()()x y x-y -3+⋅=，③由方程②得：x y -1+=，④联解③④得x-y=3，⑤联解④⑤得x 1y -2=⎧⎨=⎩所以原方程组的解为x 1y -2=⎧⎨=⎩ 【点睛】本题考查解二元二次方程组，解二元二次方程组的基本思想是先消元转化为一元二次方程,再降次转化为一元一次方程解之.9．解方程组：222232()x y x y x y ⎧-=⎨-=+⎩. 【答案】111,1x y =⎧⎨=-⎩；223232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；331252x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. 【解析】分析：把原方程组中的第二个方程通过分解因式降次，转化为两个一次方程，再分别和第一方程组合成两个新的方程组，分别解这两个新的方程组即可求得原方程组的解.详解：由方程222()x y x y -=+可得，0x y +=，2x y -=；则原方程组转化为223,0.x y x y ⎧-=⎨+=⎩（Ⅰ）或 223,2.x y x y ⎧-=⎨-=⎩ （Ⅱ）， 解方程组（Ⅰ）得21123,1,21;3.2x x y y ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=⎪⎩， 解方程组（Ⅱ）得43341,1,21;5.2x x y y ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=-⎪⎩， ∴原方程组的解是21123,1,21;3.2x x y y ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=⎪⎩ 331,25.2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. 点睛：本题考查的是二元二次方程组的解法，解题的要点有两点：（1）把原方程组中的第2个方程通过分解因式降次转化为两个二元一次方程，并分别和第1个方程组合成两个新的方程组；（2）将两个新的方程组消去y ，即可得到关于x 的一元二次方程.10．解方程组：222221x y x xy y +=⎧⎨++=⎩【答案】1110x y =⎧⎨=⎩，2234x y =⎧⎨=-⎩． 【解析】【分析】由方程②得出x +y =1，或x +y =﹣1，进而解答即可．【详解】222221x y x xy y +=⎧⎨++=⎩①②，由②可得：x +y =1，或x +y =﹣1，所以可得方程组221x y x y +=⎧⎨+=⎩①③或221x y x y +=⎧⎨+=-⎩①④，解得：1110x y =⎧⎨=⎩，2234x y =⎧⎨=-⎩； 所以方程组的解为：1110x y =⎧⎨=⎩，2234x y =⎧⎨=-⎩． 【点睛】本题考查了解二元二次方程组，关键是根据完全平方公式进行消元解答．11．解方程组： 22320449x y x xy y -+=⎧⎨++=⎩．【答案】1111x y =⎧⎨=⎩,2213515x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩． 【解析】【分析】由完全平方公式，组中②可变形为（x +2y ）2＝9，即x +2y ＝3或x +2y ＝﹣3．这样原方程组可变形为关于x 、y 的两个二元一次方程组，这两个二元一次方程组的解就是原方程组的解．【详解】22320449x y x xy y -+=⎧⎨++=⎩①②由②得：（x +2y ）2＝9，即：x +2y ＝3或x +2y ＝﹣3所以原方程组可化为3223x y x y -=-⎧⎨+=⎩； 3223x y x y -=-⎧⎨+=-⎩． 解方程组3223x y x y -=-⎧⎨+=⎩；得1111x y =⎧⎨=⎩； 解方程组3223x y x y -=-⎧⎨+=-⎩．得2213515x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩． ∴原方程组的解是得1111x y =⎧⎨=⎩；得2213515x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩． 【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法．把二元二次方程组转化为一元一次方程组是解决本题的关键．12．解方程组： 2223412916x y x xy y -=⎧⎨-+=⎩． 【答案】1212117,210x x y y ⎧=-=-⎧⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩ 【解析】【分析】根据代入消元法，将第一个方程带入到第二个方程中，即可得到两组二元一次方程，分别计算解答即可【详解】2223412916x y x xy y -=⎧⎨-+=⎩①② 由②得：（2x ﹣3y ）2＝16，2x ﹣3y ＝±4，即原方程组化为23234x y x y -=⎧⎨-=⎩和23234x y x y -=⎧⎨-=-⎩， 解得： 1212117,210x x y y ⎧=-=-⎧⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩， 即原方程组的解为：1212117,210x x y y ⎧=-=-⎧⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩． 【点睛】本题的关键是将第一个方程式带入到第二个方程式中得到两组方程组13．222102520x y x xy y +-=⎧⎨-+=⎩ 【答案】111412x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 【解析】【分析】首先将二元二次方程进行因式分解，然后组成两个新的二元二次方程，求解即可.【详解】222102520x y x xy y +-=⎧⎨-+=⎩①② 将②因式分解，得()()220x y x y --=∴方程组可化为两个新方程组：21020x y x y +-=⎧⎨-=⎩，21020x y x y +-=⎧⎨-=⎩∴方程组的解为：111412x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.【点睛】此题主要考查二元二次方程组的求解，熟练掌握，即可解题.14．前年甲厂全年的产值比乙厂多12万元，在其后的两年内，两个厂的产值都有所增加：甲厂每年的产值比上一年递增10万元，而乙厂每年的产值比上一年增加相同的百分数．去年甲厂全年的产值仍比乙厂多6万元，而今年甲厂全年产值反而比乙厂少3.2万元．前年甲乙两车全年的产值分别是多少？乙厂每年的产值递增的百分数是多少？【答案】前年甲厂全年的产值为92万元，乙厂全年的产值为80万元，乙厂每年的产值递增的百分数是20%．【解析】【分析】根据题意，设前年乙厂全年的产值为x 万元，乙厂每年比上一年递增的百分数为y ，则甲厂前年的产值为（x+12）万元，利用甲厂和乙厂的产值关系列出二元二次方程组，解得即可．【详解】设前年乙厂全年的产值为x 万元，乙厂每年比上一年递增的百分数为y ，根据题意得 ()()()()21210161210101 3.2x x y x x y ++-+=⎧⎪⎨+++=+-⎪⎩ 解得8020%x y =⎧⎨=⎩80+12=92（万元），答：前年甲厂全年的产值为92万元，乙厂全年的产值为80万元，乙厂每年的产值递增的百分数是20%，故答案为：92，80，20%．【点睛】本题考查了方程组的列式求解问题，二元二次方程组的求解，根据等量关系列出方程组是解题的关键．15．解方程组：2263100x y x xy y -=⎧⎨+-=⎩ 【答案】11126x y =⎧⎨=⎩，1151x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】先将二次方程化为两个一次方程，则原方程组化为两个二元一次方程组，解方程组即可．【详解】解：2263100x y x xy y -=⎧⎨+-=⎩由②得：()()250x y x y -+=原方程组可化为620x y x y -=⎧⎨-=⎩或650x y x y -=⎧⎨+=⎩， 解得：11126x y =⎧⎨=⎩，1151x y =⎧⎨=-⎩． ∴原方程组的解为11126x y =⎧⎨=⎩，1151x y =⎧⎨=-⎩. 【点睛】本题考查了解高次方程组，将高次方程化为一次方程是解题的关键．16．解方程组：2220{25x xy y x y --=+=①②【答案】5{5x y ==-或21x y =⎧⎨=⎩. 【解析】【分析】将①左边因式分解，化为两个二元一次方程，分别与②联立构成两个二元一次方程组求解即可.【详解】 2220{25x xy y x y --=+=①②由①得()()20x y x y +-=，即0x y +=或20x y -=，∴原方程组可化为0{25x y x y +=+=或20{25x y x y -=+=. 解0{25x y x y +=+=得5{5x y ==-；解20{25x y x y -=+=得21x y =⎧⎨=⎩. ∴原方程组的解为5{5x y ==-或21x y =⎧⎨=⎩.17．解方程组：22222303x xy y x xy y ⎧--=⎨-+=⎩【答案】111,1.x y =⎧⎨=-⎩【解析】【分析】首先将由22230x xy y --=得30x y -=或0x y +=，分别与223x xy y -+=求解即可.【详解】解： 22222303x xy y x xy y ⎧--=⎨-+=⎩①②由①得30x y -=或0x y +=，原方程组可化为22303x y x xy y -=⎧⎨-+=⎩；2203x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩解这两个方程组得原方程组的解为11,7x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩227x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩331,1,x y =-⎧⎨=⎩441,1.x y =⎧⎨=-⎩ 【点睛】 此题考查二元二次方程，解题关键在于掌握运算法则.18．解方程组：2234021x xy y x y ⎧--=⎨+=⎩． 【答案】112316x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，2211x y =-⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】方程组中第一个方程可因式分解为两个二元一次方程，这两个方程与组中的另一个方程组成两个二元一次方程组，解这两个二元一次方程组即可求得原方程组的解．【详解】解：2234021x xy y x y ①②⎧--=⎨+=⎩， 由①得：(x ﹣4y )(x +y )＝0，∴x ﹣4y ＝0或x +y ＝0．原方程组可化为4021x y x y -=⎧⎨+=⎩，021x y x y +=⎧⎨+=⎩． 解4021x y x y -=⎧⎨+=⎩，得112316x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；解021x y x y +=⎧⎨+=⎩，得，2211x y =-⎧⎨=⎩．∴原方程组的解为112 316xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，2211xy=-⎧⎨=⎩【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，熟练掌握解法是求解的关键.19．有一直立杆，它的上部被风吹折，杆顶着地处离杆脚20dm，修好后又被风吹折，因新断处比前次低5dm，故杆顶着地处比前次远10dm，求此杆的高度．【答案】此竿高度为50dm【解析】【分析】由题中条件，作如下示意图，可设第一次折断时折断处距地面AB的高为x dm，余下部分BC长为y dm，进而再依据勾股定理建立方程组，进而求解即可．【详解】解：设第一次折断时，折断处距地面AB=x dm，余下部分为BC为ydm．由题意得22222220;(5)(5)30.y xy x⎧=+⎨+=-+⎩解得2129xy=⎧⎨=⎩此杆的高度为x+y=21+19=50 dm答：此竿高度为50dm【点睛】本题主要考查了简单的勾股定理的应用问题，能够熟练掌握．20．解方程组：22560{21x xy yx y+-=-=①②【答案】11613{113xy==-,221{1xy==.【解析】【分析】先将方程①变形为（x+6y ）（x ﹣y ）=0得x+6y=0或x ﹣y=0，分别与方程②组成二元一次方程组，从而求出方程的解.【详解】解：方程①可变形为（x+6y ）（x ﹣y ）=0得x+6y=0或x ﹣y=0将它们与方程②分别组成方程组，得（Ⅰ）6021x y x y +=⎧⎨-=⎩或（Ⅱ）021x y x y -=⎧⎨-=⎩ 解方程组（Ⅰ）613113x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解方程组（Ⅱ）11x y =⎧⎨=⎩， 所以原方程组的解是11613113x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,2211x y =⎧⎨=⎩． 故答案为11613113x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,2211x y =⎧⎨=⎩. 【点睛】此题是解高次方程，解题思路与解一元一次方程组差不多，都是先消元再代入来求解，只是计算麻烦点.。

数学方程式汇总一、代数方程式1. 一元一次方程式一元一次方程式是一种最简单的代数方程式，它的一般形式是`ax + b = 0`，其中 a 和 b 是已知常数，x 是未知数。

例如：2x + 3 = 7，解为 x = 2。

2. 二元一次方程式二元一次方程式有两个未知数和两个方程，可以用来求解两个变量之间的关系。

一般形式为：ax + by = cdx + ey = f其中 a、b、c、d、e、f 是已知的常数，x 和 y 是未知数。

3. 二次方程式二次方程式是一种含有未知数的二次幂的代数方程，一般形式为 `ax^2 + bx + c = 0`，其中 a、b 和 c 是已知的常数，x 是未知数。

例如：2x^2 + 3x - 5 = 0，可以通过求根公式或配方法求解。

二、几何方程式1. 直线方程式直线方程式是用来描述直线的方程式，一般形式为 `y = mx +c`，其中 m 是直线的斜率，c 是 y 轴截距。

例如：y = 2x + 3 描述了斜率为 2，截距为 3 的直线。

2. 圆的方程式圆的方程式用来描述圆的几何性质，一般形式为 `(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2`，其中 (a,b) 是圆心的坐标，r 是半径。

例如：(x-2)^2 + (y-3)^2 = 4 描述了圆心为 (2,3)，半径为 2 的圆。

三、微积分方程式1. 导数计算导数是用来描述函数变化率的数学工具，一般表示为 `f'(x)` 或者 `dy/dx`。

例如：对于函数 y = x^2，它的导数为 dy/dx = 2x。

2. 积分计算积分是导数的逆运算，用来计算函数曲线下的面积或者求解定积分问题。

例如：∫(2x+3)dx = x^2 + 3x + C，其中 C 为积分常数。

以上是一些常见的数学方程式的汇总，希望对你有帮助！。

小学数学点知识归纳解二元二次方程组二元二次方程组是指由两个未知数和两个方程组成的方程组，每个方程都是二次方程。

在解二元二次方程组之前，我们需要先了解一些基本知识。

一、二次方程的定义二次方程是指一个未知数的最高次数为2的代数方程。

一般的二次方程表达式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c是已知数，且a≠0。

二、一元二次方程的解法假设有一元二次方程ax^2+bx+c=0，我们可以通过以下步骤解出x 的值：1. 判断a、b、c的值，如果a=0，方程不是二次方程；2. 计算Δ（判别式）=b^2-4ac的值；3. 如果Δ>0，则方程有两个不相等的实数根；4. 如果Δ=0，则方程有两个相等的实数根；5. 如果Δ<0，则方程无实数根，但有两个共轭复数根。

三、二元二次方程组的解法1. 消元法消元法是解二元二次方程组的常用方法。

我们可以通过以下步骤解出方程组的解：（1）将其中一方程两边乘以适当的数，使得两个方程的系数相等或者相差一个系数关系；（2）将所得的两个方程相减或相加，消去其中一个未知数；（3）解得另一个未知数的值；（4）将求得的未知数的值带入任意一个方程，解得另一个未知数的值。

2. 代入法代入法也是一种解二元二次方程组的方法。

我们可以通过以下步骤解出方程组的解：（1）选取一个方程，解出其中一个未知数，得到它的值；（2）将所求的未知数值代入另一个方程，得到一个一元二次方程；（3）根据一元二次方程的解法，求出另一个未知数的值。

四、实例分析假设有以下二元二次方程组：1. -2x^2+3y^2-7=02. 4x^2+5y^2+11=0我们可以通过消元法解出该方程组的解：（1）将第一个方程两边乘以4，得到-8x^2+12y^2-28=0；（2）将所得的方程与第二个方程相减，消去x^2，得到-8x^2+12y^2-4x^2-5y^2-28+11=0；（3）整理化简，得到-12x^2+7y^2-17=0；（4）将该方程移项并因式分解，得到12x^2-7y^2+17=0；（5）将得到的方程两边除以17，得到12x^2/17-7y^2/17+1=0；（6）观察该方程，发现其形式为Ax^2+By^2+C=0，满足了一元二次方程的形式；（7）根据一元二次方程的解法，可以求出x和y的值。

第5讲 代数方程（二）知识精要一、无理方程1、方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程或根式方程。

2、求解无理方程的一般步骤：1）利用两边平方把无理方程转化为有理方程； 2）求解有理方程； 3）检验； 4） 写结论。

二、二元二次方程组1、仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做二元二次方程；仅含有两个未知数，各方程是整式方程，并且含有未知数的项的最高次数是2，像这样的方程组叫做二元二次方程组。

2、解法：代入消元法和因式分解法【典型例题】类型一、无理方程概念1．已知下列关于x 的方程：.3231)6(;21)5(;721)4(;071)3(;015)2(;015122=-++=+=+-=-+=++=++xx x x x x a x x x x x ）（其中无理方程是____________________(填序号).【思路点拨】判断无理方程的唯一依据就是看看根式中是否还有未知数.【答案与解析】（2），（3），（5）【总结升华】判断无理方程的唯一依据是无理方程的定义：方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程.举一反三：【变式】下列方程哪些是无理方程？(1)=0； (2)=0； (3).=0；（4）（是常数）．【答案】（1）（2）（3）是无理方程．类型二、判断无理方程解的情况2．不解方程，你能判断出下列方程的根的情况吗？①；②； ③.【思路点拨】不解方程直接判断它的解的情况，主要看该方程能否成立，依据是“对于二次根式，有.” 【答案与解析】（1，所以方程无解（2，所以方程无解（3所以x ≥5且x ≤2，所以方程无解【总结升华】对于某些特殊的无理方程，可以不解方程直接判断它的解的情况，主要依据是“对于二次根式，有.”类型三、解无理方程3．解方程【答案与解析】两边平方得：移项，合并同类项得：解得：或检验：把代入原方程，左边右边，所以是增根．把代入原方程，左边 = 右边，所以是原方程的根． 所以，原方程的解是． 11=+-x x 325=-+-x x a 0,0≥≥a a 010＞0≤0≥0a 0,0≥≥a a 71x x +=1x =+2721x x x +=++260x x +-=3x =-2x =3x =-≠3x =-2x =2x =2x =【总结升华】解含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤：①移项，使方程的左边只保留含未知数的二次根式，其余各项均移到方程的右边；②两边同时平方，得到一个整式方程；③解整式方程；④验根．举一反三：【变式】方程的根是 ．【答案】解：方程两边同时平方得：x+1=4，解得：x=3．检验：x=3时，左边==2，则左边=右边， 故x=3是方程的解．故答案是：x=3．4、【答案与解析】x=23原方程变形为两边平方得 x+2=81-+x-7整理得再两边平方得 x-7=16 解得 x=23检验：把x=23代入原方程得，左边=右边所以，原方程的根是 x=23【总结升华】由于在方程的一边含有两个根式，直接平方将很困难．这时通常采用把一个根式移到另一边再平方的方法，这样就可以转化为上例的模式.举一反三：【变式】（20164=.【答案】4=5163x x +=--1=31x -=4x =经检验4x =是原方程的根，所以原方程的根为4x =．类型四、“换元法”解无理方程5、（杨浦区校级期中）解方程：4x 2﹣10x+=17．972=-++x x【思路点拨】利用换元法解方程：设=t ，原方程转化为2t 2+t ﹣21=0，解此一元二次方程得到t 1=3，t2=﹣，再分别解=3和=﹣，然后把解得的结果进行检验即可得到原方程的解．【答案与解析】解：方程变形为2（2x 2﹣5x+2）﹣﹣21=0 设=t ，则原方程转化为2t 2+t ﹣21=0，（t ﹣3）（2t+7）=0，解得t 1=3，t2=﹣，当t=3时，=3，则2x 2﹣5x+2=9， 整理得2x 2﹣5x ﹣7=0，解得x 1=，x 2=﹣1；当t=﹣时，=﹣，则方程无解，经检验原方程的解为x 1=，x 2=﹣1．【总结升华】本题考查了无理方程：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．举一反三：【变式】解方程x 2+3x －=1.【答案】解：设 换元后，整理得方程是，解得，，，所以， ，，解这两个方程得，，，，，检验：把，，，代入原方程得，，是原方程的根， 所以，原方程的根是，. 1x 6x 22++2+3y x x =y 1=4y 2=0y 2+3=4x x 2+3=0x x 1=-4x 2=1x 3=-3x 4=0x 1=-4x 2=1x 3=-3x 4=0x 1=-4x 2=1x 1=-4x 2=1x类型五、二元二次方程（组）判断1．下列方程中，哪些是二元二次方程？是二元二次方程的请指出它的二次项、一次项和常数项. 【思路点拨】该题主要依据二元二次方程的定义。

§2 代数方程的性质一、多项式与代数方程的一般性质[代数基本定理] 每个复数域上n 次代数方程f (x )=a 0x n +a 1x n -1+ +a n －1x +a n =0(n ≥1)在复数域中至少有一个根.代数基本定理的推论：每个n 次代数方程在复数域中有n 个根，而且只有n 个根. [多项式的导数] 多项式f (x )的导数为f '(x )=na 0x n －1+(n －1)a 1x n －2+ +a n －1微分学中仅考虑实变数函数的导数，而代数学中必须考虑复系数的复变数多项式的导数，但是它们的定义与计算公式仍然一样.[单根与重根]1° 多项式的单根不是它的导数的根.2° 多项式的m 重根（即有m 个根相同）是它的导数的m －1重根（m >1）. 3° 若x 1,x 2, ,x k 分别为f (x )的α1,α2, ,αk (α1+α2+ +αk =n )重根，则f (x )=a 0(x －x 1)1α(x －x 2)2α (x －x k )k α[洛尔定理及其推论] 由微分学中的洛尔定理可知，在实系数方程f (x )=0的两个实根之间总有f '(x )=0的一个实根.从这个定理可推出下列两个推论：1° 若f (x )的一切根都是实的，则f '(x )的一切根也是实的.在f (x )的相邻两根之间有f '(x )的一个根并且是一个单根.2° 若f (x )的一切根都是实的，且其中有p 个（计算重根）是正的，则f '(x )有p 个或 p －1个正根.[多项式的相关]1° 若多项式f (x ),ϕ(x )的次数都不超过n ，而它们对n +1个不同的数α1, ,1+n α有相等的值，即f (αi )=ϕ(αi ) (i =1, ,n +1),则f (x )= ϕ(x ).2° 多项式f (x )和ϕ(x )的根完全相同的充分必要条件是f (x )和ϕ(x )只差一个不等于零的常数因子.[整根与有理根] 任意整系数方程f (x )=0，若有一个有理根qp（为既约分数），则p 是αn的约数，q 是α0的约数. 由此可推出：任意整系数方程的整根必为常数项的约数，若整系数方程的首项系数为1，则它的有理根必为整数.[实根与复根，共轭实根与共轭复根]1° 任意有理系数方程f (x )=0，若有一个根a +b (a,b 是有理数，b 是无理数)，则必有另一个根a －b .这时a +b 与a －b 称为一对共轭实根.2° 任意实系数方程f (x )=0的复根只可能是成对的共轭复根，并且根的重数相同.从而，复根的个数是偶数.3° 任意实系数奇数次方程f (x )=0至少有一个实根.4° 任意实系数偶数次方程f (x )=0,a 0a n <0,则至少有两个实根（一个正根和一个负根）.[根与系数的关系] 设f (x )=x n +a 1x n －1+ +a n为复数域S 上的一元多项式，x 1,x 2, ,x n 为f (x )在S 中的n 个根，则根与系数的关系为x 1+x 2+ +x n =∑=ni i x 1=－a 1x 1x 2+x 1x 3+ +x n -1x n =∑<=nj i j i j i x x )(1,=a 2x 1x 2x 3+x 1x 2x 4+ +x n -2x n -1x n =∑<<=nk j i k j i kjixx x )(1,,=－a 3x 1x 2 x n =(－1)n a n这就是说，f (x )的x n -k 的系数a k 等于从它的根x 1,x 2, ,x n 中每次取k 个（不同的）一切可能乘积之和,若k 是偶数,则取正号，若k 为奇数，则取负号.[根的范围] 设ξ为复系数代数方程f (x )=a 0x n +a 1x n -1+ +a n -1x +a n =0(1)的根.1° 若所有系数a i ≠0 (i =0,1, ,n ),则σξ≤,其中σ为实系数代数方程F (x )=0a x n －1a x n －1- -n a =0的一个正实根.2° 设γ1,γ2, ,γn -1为任意正数，则≤ξτ,其中τ为下列n 个数中最大的一个: 01a a +11γ,2a a 1γ+21γ, ,1a a n -21γγ 2-n γ+11-n γ,1210-n n a a γγγΛ特别,取γi =1(i =1,2, ,n －1)时,有≤ξmax ⎭⎬⎫⎩⎨⎧++-nn n a aa a a a 10101,,1,Λ (2)方程(1)中作变换x =y1,可求出y 的上界，因而得到 ≥ξ11101,,1,max --⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎭⎬⎫⎩⎨⎧++nn n n a a a a a a Λ (3)更进一步，记(2)式右边为M ，记(3)式右边为m ，如果取ρ<M ,使得-n a ρ0--11n a ρ--22n a ρ ρ1--n a 0>-n a取ρ'>m ，使得+'n a ρ0+'-11n a ρ ρ'+-1n a 0<-n a那末有ρ'ρξ≤≤.3° 设γ为任意正数，则1τξ≤，其中τ1=max ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++-100201,1n n a aa aa aγγγΛ特别，取γ=1，有⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤∑=ni i a a 101,1max ξ 4° 若所有系数都为正实数，则min ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧--1120111201,,,max ,,,n n n n a a a a a a a a a a a a ΛΛξ5° 若方程（1）的系数满足不等式n a a a a a ----<Λ3210则方程（1）至多有一个绝对值≥1的根ξ1，而且n a a a ---≥Λ211ξ[多项式的分解]1° 设f (x )为实数域上的多项式，若有非常数的实系数多项式g (x )和h (x ),使得 f (x )=g (x )h (x )则称f (x )为实数域上可约（或可化），否则称f (x )为实数域上的不可约多项式. 2° 实数域上不可约多项式，除一次多项式外，只有含（共轭）复根的二次多项式. 3° 每个实系数多项式都可分解为实系数的一次因式与二次因式之积. 有理数域上的多项式的分解见第二十章，§5，2.[余数定理与综合除法] 若c 为一常数，则多项式f (x )除以x －c 所得的余数等于f (c ). 设f (x )=a 0x n +a 1x n -1+ +a n －1x +a n求f (x )除以x －c 的商式与余数其计算格式如下： c ) a 0 a 1 a 2 a n -1 a n b 0c b 1c b n -2c b n -1c b 0 b 1 b 2 b n -1 b n 式中b 0=a 0,b i =a i +b i -1c (i =1,2, ,n ).于是得到商式 q (x )=b 0x n -1+b 1x n -2+ +b n -1 余数r =b n =f (c )例 f (x )＝532234--+x x x 除以 x －2. 列出算式 2) 1 2 －3 0 －52 8 10 201 4 5 10 15= f (2)所以 ()2151054223-++++=-x x x x x x f[多项式的泰勒公式（秦九韶法）] n 次多项式f (x )=a 0x n +a 1x n -1+ +a n -1x +a n(a 0≠0)在任意点c 的泰勒展开式为f (x )=b 0(x －c )n +b 1(x －c )n -1+ +b n -1(x －c )+b n式中系数b i (0≤i ≤n )按下面的方法计算.首先在(n +2)⨯(n +2)方阵的对角线上列出a 0,a 1, ,a n ,d （d 为符号），在第1列上列出a 0(即a i,i =a i -1,i =1,2, ,n +1;a n +2,n +2=d ;a i ,1=a 0,i =1,2, ,n +2).c ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++++da a a a a a a n n n n n 1,23,22,203,12,1033,42,402,0100ΛΛO M M M M 然后再按递推公式a i,j c +a i,j +1=a i +1,j +1 (i =2, ,n +1; j =1, ,i －1)自上而下，自左而右依次计算出对角线下其余各元素，那末第n +2行各元素即为所求系数，即b 0=a 0, b i =a n +2,i +1 (i =1,2, ,n )例 求f (x )＝523--x x 在x =2处的泰勒展开式. 解2⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡d 110615241221011－－－ 则f (x )＝()()()121026223--+-+-x x x二、多元多项式·对称多项式·结式[多元多项式] 设常数c 1,c 2, ,c k 属于一个数域S ,αi ,βi , ,νi (i =1,2, ,k )是正整数或零，则称形如+111211νβαn x x x c Λ+222212vn x x x c Λβα+k k k n k x x x c νβαΛ21的表达式为数域S 上元素x 1,x 2, ,x n 的n 元多项式.i i i n i x x x c νβαΛ21称为它的项，c i 为它的系数，αi 为项中关于x 1的次数，βi 为项中关于x 2的次数,等等.αi +βi + +i v 为项的次数.在多项式中系数不为零的任一项关于x i 的最高次数称为多项式关于x i 的次数，系数不为零的任一项的最高次数叫做多项式的次数.各项次数都相等的多项式称为齐次多项式.每个m 次多项式f (x 1,x 2, ,x n )都可唯一地表示成f (x 1,x 2, ,x n )=∑=mi n i x x x f 021),,,(Λ式中f i (x 1,x 2, ,x n )为i 次齐次多项式.为了方便，经常把一个多元多项式按某一个变数，例如x 1的降幂排列如下：a 0(x 2, ,x n )x 1m + a 1(x 2, ,x n )x 1m -1+ + a m (x 2, ,x n ) 式中a 0(x 2, ,x n ), a 1(x 2, ,x n ), , a m (x 2, ,x n )为x 2, ,x n 的n －1元多项式. 若f 1,f 2, ,f k 分别为m 1,m 2, ,m k 次的多元多项式，则乘积f 1f 2 f k 为m 1+m 2+ +m k 次. [对称多项式] 如果在一个n 元多项式f (x 1,x 2, ,x n )中，对调任一对x i 和x j 后，f (x 1,x 2, ,x n )不变，那末称它为x 1,x 2, ,x n 的对称多项式.[初等对称多项式] 设∑==ni i x 11,σ ∑<==nj i j i jixx )(1,2σ ∑<<==nk j i k j i kj ix x x )(1,,3,σσn =x 1x 2 x n则称σ1,σ2, ,σn为初等对称多项式.例如，由多项式的根与系数的关系（本节，一）可知，多项式的系数除符号外都是根的初等对称多项式.[对称多项式基本定理] 在数域S 上，每个n 元对称多项式f (x 1, ,x n )都可唯一地表成x 1, ,x n 的初等对称多项式（系数在S 中）的多项式.[牛顿公式] 设f (x )=(x －x 1) (x －x 2) (x －x n )=x n －σ1x n －1+ +(－1)n σns k =x 1k +x 2k + +x n k (k =0,1,2, )则下面牛顿公式成立： k ≤n 时, s k －σ1s k -1+σ2s k -2+ +(－1)k -1σk -1s 1+(－1)k k σk =0 k >n 时， s k －σ1s k -1+σ2s k -2+ +(－1)n σn s k -n =0 [结式] 设f (x )=a 0x m+a 1x m －1+ +am =a 0∏=-mi ix x 1)((m >0) ϕ(x )=b 0x n +b 1x n －1+ +b n =b 0∏=-n j j y x 1)((n >0)则R (f ,ϕ)= nn n mm m b b b b b b b b b a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ1101101010行行m n ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫ 这个m +n 阶行列式R (f ,ϕ)称为多项式f (x )和ϕ( x )的结式，式中空白处的元素都是零.结式具有性质： R (f ,ϕ)=(－1)mn R (ϕ,f )R (f ,ϕ)=∏∏∏∏====-==-m i nj mi nj jm mnin j im n yf bx a y xba 1111)()1()()(ϕ设a 0,b 0不全为零，则f (x ),ϕ(x )在复数域上有公共根的充分必要条件是它们的结式R (f ,ϕ)=0.行列式R (f ,ϕ)是f (x )与ϕ(x )的系数的一个m +n 次齐次多项式，关于a 0,a 1, ,a m 是n 次齐次多项式，关于b 0,b 1, ,b n 是m 次齐次多项式.三、代数方程的根的隔离[傅立叶-布当判别法] 设f (x )=0为实系数n 次代数方程，a ,b 为二实数，适合a <b ，f (a )≠0,f (b )≠0,f (x )的各阶导数为 f (x ),f '(x ), ,f (n )(x )若序列{ f (a ),f '(a ), ,f (n )(a )}的变号次数*为p ，序列{ f (b ),f '(b ), ,f (n )(b )}*序列{}n c c c c ,,,,210Λ的变号次数定义如下：设两个相邻数1,+k k c c 都不为零，它们的符号相反，则称两数之间有一次变号，否则变号次数为零.如果遇到零时则应考虑该数后面第一个非零数是否变号.也就是说把序列中的一切零去掉再考虑变号次数.的变号次数为q ，则p ≥q ，且a 与b 之间的f (x )=0的实根个数（一个k 重根按k 个根计算）等于p －q ，或者比p －q 少一个正偶数. 特别，当p -q =0时，(a ,b )内无实根，当p －q =1时，(a ,b )内只有一个实根. [笛卡儿符号法则] 设f (x )=a 0x n +a 1x n -1+ +a n =0(a 0≠0,a n ≠0)为实系数n 次代数方程，若系数序列 {a 0,a 1, ,a n }的变号次数为p ，则方程f (x )=0的正根个数（一个k 重根按k 个根计算）等于p ，或者比p 少一个正偶数.特别，当p =0时，无正根，当p =1时，有且仅有一个单正根.上面两个定理没有解答这样的问题：一个给定的实系数方程是否有实根，有几个实根，并且在给定的区间(a ,b )内有几个实根.斯图姆解决了这些问题.[斯图姆判别法] 设f (x )为区间(a ,b )内的无重根的实系数多项式，a ,b 为二实数，适合a <b ,f (a )≠0,f (b )≠0,以f 0(x )表示f (x )，以f 1(x )表示f (x )的导数f '(x ).用f 1(x )除f (x )，并以f 2(x )表示由这个除法所得到的余式反号后的多项式，然后用f 2(x )除f 1(x )，并以f 3(x )表示余式反号后 的多项式，这样继续下去，最后一个记作f s (x ) (等于非零常数).这样得到的函数序列 {f 0(x ),f 1(x ),f 2(x ), ,f s (x )} (1) 称为在区间(a ,b )内以f (x ), f '(x )为基的一个斯图姆组. 若序列{f 0(a ),f 1(a ),f 2(a ), ,f s (a )}的变号次数为p ，序列 {f 0(b ),f 1(b ),f 2(b ), ,f s (b )}的变号次数为q ，则f (x )=0在区间(a ,b )内的实根个数等于p -q . 应用斯图姆判别法可以查清实系数代数方程的根在实轴上的分布情况.特别，可以求出一组区间，使得每个区间内只含有方程的一个根.关于代数方程f (z )=0的复根个数可参看第十章，§4，二的辐角原理. [卢斯判别法] 假设实系数多项式 f (z )=z n +a 1z n －1+ +a n －1z +a n 以f 0(t )=t n －a 2t n －2+a 4t n －4-a 6t n －6+f 1(t )=a 1t n －1－a 3t n －3+a 5t n －5－为基的斯图姆组为{f 0(t ),f 1(t ),f 2(t ), ,f s (t )}(2)1° f (z )=0在虚轴及右半平面上没有根的充分必要条件是：斯图姆组（2）内s =n ，且每个多项式的次数比前一个低一次，首项系数都是正数.2° 若斯图姆组（2）内s =n ，则组内每个多项式的次数比前一个低一次，f (z )=0在虚轴上没有根，在右半平面的根的个数等于首项系数组成的序列的变号次数.3° f (z )=0在右半平面上没有根而在虚轴上有p 个根的充分必要条件是：斯图姆组（2）内s =n -p ，且每个多项式的次数比前一个低一次，首项系数都是正数，且最后的p 次方程 f n －p (z )=0有p 个实根.这些实根就是f (z )=0在虚轴上的p 个根的虚部.如果考虑f (z )=0在单位圆上和单位圆外的根数问题，只要作线性变换z =11－＋ωω 化为对g (ω)=0在虚轴上和右半平面上根数的讨论.对此用卢斯判别法可以解决.[胡尔威茨判别法] 实系数多项式f (z )=z n +a 1z n －1+ +a n的一切根都位于左半平面上的充分必要条件是系数a 1>0，并且多项式f 0(t )=t n －a 2t n －2+a 4t n －4+和f1(t)=a1t n－1－a3t n－3+a5t n－5－ 的根都是互相间隔的实根.。

代数方程化归思想：高次化低次：降次的方法：因式分解，换元分式化整式：化整式的方法：去分母，换元无理化有理：化有理方程的方法：平方法，换元多元化一元：代入和加减消元一、一元一次方程和一元二次方程的解法1、一元二次方程的解法主要有四种：（1）直接开平方法：适用于（mx+n）2=h (h≥0)的一元二次方程。

（2）配方法：适用于所有化为一般形式后的一元二次方程。

但是，具有二次项系数为1，一次项系数为偶数特点的一元二次方程，用配方法解才较简便。

配方法是通过配方将一元二次方程化成（mx+n）2=h (h≥0)的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法。

其基本步骤是：①首先在方程两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1；②把常数项移到等式的右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④方程左边写成完全平方式，右边化简为常数；⑤利用直接开平方法解此方程用配方法解一元二次方程要注意，当二次项系数不为1时，一定要化为1，然后才能方程两边同时加上一次项系数一半的平方（3）公式法：适用于解一般形式的一元二次方程。

利用公式()042422≥--±-=ac b a ac b b x 可以解所有的一元二次方程。

注意：当b 2-4ac ≥0时，方程才有实数解；当b 2-4ac ＜0时，原方程无实数解。

（4）因式分解法：适用于方程右边是0，左边是易于分解成两个一次因式乘积的一元二次方程。

2、含字母系数的整式方程的解法3、特殊的高次方程的解法（1）二项方程)0,0(0≠≠=+b a b ax n 的解法二项方程的定义：如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另外一边是零，则这样的方程叫做二项方程。

关于x 的一元n 次二项方程的一般形式是二项方程的解法及根的情况：一般地，二项方程)0,0(0≠≠=+b a b ax n 可变形为ab x n -= 可见，解一元n 次二项方程，可以转化为求一个已知数的n 次方根，运用开方运算可以求出这个方程的根。

二个未知数方程的解法二个未知数方程的解法其实就像一个小侦探故事，咱们得先搞清楚谜底在哪儿。

想象一下，两个朋友，咱们叫他们小明和小红，他们各自有一些神秘的数字。

小明的数字和小红的数字之间总有一些关系。

嘿，听起来有点复杂，但其实这就像是玩拼图，找到正确的块儿，整个画面就能清晰起来。

方程其实就是那些拼图块儿，每个方程都像是给你提示，告诉你该往哪个方向找。

我们得弄明白这两个未知数到底是什么。

设它们分别为x和y，像是两个小伙伴，咱们要通过一系列线索把他们的真实身份揭示出来。

比如，假设小明的数字加上小红的数字等于10，这就是一个方程。

然后，咱们再来一条线索，假设小明的数字减去小红的数字等于2，这又是另一个方程。

嘿，这两条线索其实就构成了一个方程组，咱们就得好好琢磨琢磨了。

解决这个问题的第一步，就是把这些方程转化成能用的方法。

咱们可以用代入法，也可以用消元法。

代入法就像是给小红送信，先把小红的数字通过第一个方程找出来，再把这个数字放回去，求小明的数字。

这样一来，谜底就呼之欲出了。

想象一下，小红说：“我数字是5。

”那么小明的数字就得是10减去5，也就是5。

这就是代入法的魅力，简单明了，让人一看就懂。

消元法呢，更像是打击犯罪，咱们把两条线索结合起来。

比如，把第二个方程乘以一个合适的数字，让小明的数字在两个方程中都能消掉。

这种方法有点像是搭建一座桥，让两边的线索都能连接起来。

最后得到的结果往往是清晰的，咱们不仅知道小明和小红的数字，还可以顺便了解到背后更多的故事。

用这个方法，难题就能迎刃而解，真是神奇。

咱们来聊聊实际应用。

生活中，这种二个未知数方程可不止是在数学书上见到，很多地方都能用上。

比如，买水果的时候，咱们可能会遇到价格的问题。

假设苹果和香蕉的总价是20元，而苹果的价格比香蕉贵5元。

咱们就可以通过建立方程来找出每种水果的单价。

生活中的方程组就是如此贴近咱们的日常，真是让人啧啧称奇。

这种方法不仅适用于简单的数目，复杂的问题同样也能解决。