学案1__任意角和弧度制

《任意角和弧度制》导学案一、学习目标1、理解任意角的概念，包括正角、负角和零角。

2、掌握象限角的概念，能够判断给定角所在的象限。

3、理解终边相同角的概念，会用集合表示终边相同的角。

4、理解弧度制的概念，掌握弧度与角度的换算。

5、能够熟练运用弧度制进行角度的计算和表示。

二、学习重点1、任意角、象限角和终边相同角的概念。

2、弧度制与角度制的换算。

三、学习难点1、对任意角概念的理解，特别是负角和零角。

2、终边相同角的表示。

3、弧度制的理解和应用。

四、知识回顾在初中，我们已经学习了角的概念，角可以看成是由平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。

我们所学的角的范围通常是在\（0^｛＼circ}＼）到\（360^｛＼circ}＼）之间。

五、新课导入思考：在生活中，我们经常会遇到超出\（0^｛＼circ}＼）到\（360^｛＼circ}＼）范围的角，比如体操运动员转体\（720^｛＼circ}＼），钟表的指针旋转了\（－120^｛＼circ}＼）等。

那么，如何更广泛地定义角呢？六、任意角的概念1、定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。

2、正角、负角和零角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角。

按顺时针方向旋转形成的角叫做负角。

如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。

3、角的表示：角\（＼alpha\）可以记为“角\（＼alpha\）”或“＼（＼angle\alpha\）”，也可以简记为“＼（＼alpha\）”。

4、象限角：在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与\（x\）轴的非负半轴重合。

那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角。

如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限。

七、终边相同角的概念所有与角\（＼alpha\）终边相同的角（包括角\（＼alpha\）），均可表示为：＼（＼beta ＝＼alpha ＋ k\cdot 360^｛＼circ}＼），＼（k＼in Z\）。

教学计划：《任意角和弧度制》一、教学目标1.知识与技能：学生能够理解并掌握任意角的概念，熟悉角度制与弧度制的转换方法，掌握利用弧度制进行简单三角函数的计算。

2.过程与方法：通过直观演示和抽象概括，引导学生自主探究任意角与弧度制的定义及性质；通过例题解析和课堂练习，提高学生的逻辑思维能力和数学运算能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生严谨的科学态度和探究精神；通过学习任意角和弧度制，让学生体会到数学知识的连续性和统一性。

二、教学重点和难点●教学重点：任意角的概念，角度制与弧度制的转换，弧度制下三角函数的基本性质。

●教学难点：理解并接受弧度制作为角的另一种度量方式，以及利用弧度制进行三角函数的计算。

三、教学过程1. 引入新课（约5分钟）●情境导入：以生活中的实例（如钟表指针的转动、体操运动员的旋转动作）为例，引导学生思考角的度量不仅仅局限于0°到360°之间，从而引出任意角的概念。

●定义揭示：明确任意角的定义，包括正角、负角和零角，强调角的旋转方向和度量范围。

●激发兴趣：简述历史上角度制与弧度制的发展过程，引起学生对弧度制的好奇心。

2. 讲授新知（约15分钟）●弧度制介绍：详细介绍弧度制的定义，即弧长与半径的比值，强调弧度制在三角学和微积分中的重要性。

●转换方法：讲解角度制与弧度制之间的转换公式，并通过具体例子演示转换过程。

●性质探讨：引导学生探讨弧度制下三角函数的基本性质，如正弦、余弦和正切函数的周期性、奇偶性等。

3. 直观演示与操作（约10分钟）●单位圆与弧度制：利用多媒体或实物教具展示单位圆上的角度与弧度的对应关系，加深学生对弧度制的理解。

●互动操作：让学生在纸上绘制单位圆，并尝试用尺子量取特定弧长，计算对应的弧度值，以增强感性认识。

●小组讨论：组织学生讨论角度制与弧度制的优缺点，促进知识的内化和吸收。

4. 例题解析与练习（约15分钟）●例题解析：选取典型例题，如角度制与弧度制的转换、利用弧度制计算三角函数值等，进行详细解析，展示解题步骤和思路。

《任意角和弧度制》教案篇一：人教A版高中数学必修四1.1《任意角和弧度制》1.1 《任意角和弧度制》教案【教学目的】1.理解任意角的概念.2.学会建立直角坐标系讨论任意角，推断象限角，掌握终边一样角的集合的书写.3.理解弧度制，能进展弧度与角度的换算.4.认识弧长公式，能进展简单应用.对弧长公式只要求理解，会进展简单应用，不必在应用方面加深.5.理解角的集合与实数集建立了一一对应关系，培养学生学会用函数的观点分析、处理征询题. 【导入新课】复习初中学习过的知识：角的度量、圆心角的度数与弧的度数及弧长的关系提出征询题：1．初中所学角的概念.2．实际生活中出现一系列关于角的征询题. 3.初中的角是如何度量的？度量单位是什么？4.1°的角是如何定义的？弧长公式是什么？5.角的范围是什么？如何分类的？新授课阶段一、角的定义与范围的扩大1．角的定义：一条射线绕着它的端点O，从起始位置OA旋转到终止位置OB，构成一个角?，点O是角的顶点，射线OA,OB分别是角?的终边、始边. 说明：在不引起混淆的前提下，“角?”或“??”能够简记为?．2．角的分类：正角：按逆时针方向旋转构成的角叫做正角；负角：按顺时针方向旋转构成的角叫做负角；零角：假设一条射线没有做任何旋转，我们称它为零角. 说明：零角的始边和终边重合. 3．象限角：在直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负轴重合，那么（1）象限角：假设角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. 例如：30?,390?,?330?都是第一象限角；300?,?60?是第四象限角.（2）非象限角（也称象限间角、轴线角）：如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限.例如：90?,180?,270?等等.说明：角的始边“与x轴的非负半轴重合”不能说成是“与x轴的正半轴重合”.由于x轴的正半轴不包括原点，就不完全包括角的始边，角的始边是以角的顶点为其端点的射线.4．终边一样的角的集合：由特别角30看出：所有与30角终边一样的角，连同30角本身在内，都能够写成30?k?360??????k?Z?的方式；反之，所有形如30??k?360??k?Z?的角都与30?角的终边一样.从而得出一般规律：所有与角?终边一样的角，连同角?在内，可构成一个集合S|?k?360?,k?Z?，即：任一与角?终边一样的角，都能够表示成角?与整数个周角的和. 说明：终边一样的角不一定相等，相等的角终边一定一样.例1在0与360范围内，找出与以下各角终边一样的角，并推断它们是第几象限角？（1）?120；（2）640；（3）?95012?.?????解：（1）?120?240?360，因而，与?120角终边一样的角是240，它是第三象限角；（2）640?280?360，因而，与640角终边一样的角是280角，它是第四象限角；（3）?95012??12948??3?360，??????????因而，?95012?角终边一样的角是12948?角，它是第二象限角.??例2 假设??k?360??1575?,k?Z，试推断角?所在象限. 解：∵??k?360??1575?(k?5)?360??225?, (k?5)?Z ∴?与225终边一样，因而，?在第三象限.?例3 写出以下各边一样的角的集合S，并把S中适宜不等式?360720?的元素? 写出来：（1）60；（2）?21；（3）36314?．?????解：（1）S??|??60?k?360,k?Z，??S中适宜?360720?的元素是60??1?360300?,60??0?360??60?,?60??1?360??420.??（2）S??|21?k?360,k?Z，??S中适宜?360720?的元素是?21??0?36021?,?21??1?360??339?,?21??2?260??699???（3）S??|??36314??k?360,k?ZS中适宜?360720?的元素是363?14??2?360356?46?, 363?14??1?360??3?14?,?363?14??0?360??363?14.例4 写出第一象限角的集合M．分析：（1）在360内第一象限角可表示为090；（2）与0,90终边一样的角分别为0?k?360,90?k?360,(k?Z)；（3）第一象限角的集合确实是夹在这两个终边一样的角中间的角的集合，我们表示为：?????????M|k?360?90??k?360?,k?Z?．学生讨论，归纳出第二、三、四象限角的集合的表示法：P|90??k?360?180??k?360?,k?Z?；N|90??k?360?180??k?360?,k?Z?；Q|270??k?360?360??k?360?,k?Z?．说明：区间角的集合的表示不唯一.例5写出y??x(x?0)所夹区域内的角的集合.??解：当?终边落在y?x(x?0)上时，角的集合为?|??45?k?360,k?Z；????当?终边落在y??x(x?0)上时，角的集合为?|45?k?360,k?Z；??因而，按逆时针方向旋转有集合：S??|?45?k?36045?k?360,k?Z．??二、弧度制与弧长公式1.角度制与弧度制的换算：∵360?=2?（rad），∴180?=? rad. ∴1?=?180rad?0.01745rad.??180 1rad?57.30?5718.oSl2．弧长公式：l?r?. 由公式：?ln?r?l?r??.比公式l?简单. r180lR，其中l是扇形弧长，R是圆的半径. 2弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积3．扇形面积公式S?留意几点：1．今后在详细运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”能够省略，如：3表示3rad ，sin?表示?rad角的正弦；2．一些特别角的度数与弧度数的对应值应该记住：3．应确立如下的概念：角的概念推行之后，不管用角度制仍然弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系.任意角的集合实数集R例6 把以下各角从度化为弧度：(1)252?；（2）1115；(3) 30；(4)67?30. 解：(1)/71? （2）0.0625? (3) ? (4) 0.375? 56变式练习：把以下各角从度化为弧度：(1)22o30′；（2）-210o；(3)1200o. 解：(1) ?；（2）? 18720?；(3)?. 63例7 把以下各角从弧度化为度：（1）?；(2) 3.5；(3) 2；(4)35?. 4解：（1）108 o；(2)200.5o；(3)114.6o；(4)45o. 变式练习：把以下各角从弧度化为度：（1）?4?3?；（2）-；（3）.12310解：（1）15 o；（2）-240o；（3）54o.例8 知扇形的周长为8cm，圆心角?为2rad，，求该扇形的面积. 解：由于2R+2R=8,因而R=2,S=4. 课堂小结1．弧度制的定义；2．弧度制与角度制的转换与区别；3．牢记弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，并灵敏运用；篇二：(教案3)1.1任意角和弧度制1.1.1任意角教学目的：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边一样的角”的含义。

1.1任意角和弧度制教学设计教案第一篇：1.1 任意角和弧度制教学设计教案教学准备1.教学目标1、知识与技能（1）推广角的概念、引入正角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法；（5）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念.2、过程与方法通过创设情境：“转体，逆（顺）时针旋转2周”，角有正角、零角和旋转方向不同所形成的角等，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示.3、情态与价值通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后，知道角之间的关系.学会运用运动变化的观点认识事物.2.教学重点/难点重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法.难点: 终边相同的角的表示.3.教学用具多媒体4.标签任意角教学过程【创设情境】思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？[取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.【探究新知】1．初中时，我们已学习了角的概念，它是如何定义的呢？[展示投影]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1.1-1，一条射线由原来的位置，绕着它的端点按逆时针方向旋转到终止位置，就形成角.旋转开始时的射线叫做角的始边，叫终边，射线的端点叫做叫的顶点.2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体”（即转体2周），“转体”（即转体3周）等,都是遇到大于的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢? [展示课件]如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了我们研究推广角概念的必要性.为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角(positive angle),按顺时针方向旋转所形成的角叫负角(negative angle).如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角(zero angle).[展示课件]如教材图1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于；图1.1.3(2)中，正角，负角；这样，我们就把角的概念推广到了任意角（any angle）,包括正角、负角和零角.为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角”或“”可简记为.3.在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念.角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合。

1.1.3 任意角、弧度制小结【学习目标】 1．通过小结形成知识网络，更加熟练、系统地掌握和运用本小节的知识点；2．能正确表示某一范围的角；能熟练应用弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，能求有关扇形面积的最值等.【学习重点】（1）角的集合表示；（2）弧长公式、扇形面积公式的灵活运用【难点提示】构建知识网络、灵活运用解决实际问题.【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材110P -结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题及解答、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.【学习过程】 一．知识梳理请感悟上面的知识网络（建议自己在电脑自作），主动复习教材中相关知识，并将各知识内容填写在横线上或空白处.二、热身练习1.在直角坐标系中，若角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系是（ ）90;90360();A B k k Z βαβα=+=++⋅∈． ．90;90360();C D k k Z βαβα=±=±+⋅∈． ．任意角、弧度制任意角弧度制角的概念象限角 同终边上的角 轴上角 正角负角零角弧度制的概念 弧度制与角度制互化弧长、面积公式{}{},,,n Z Y k Z ⋅∈=±⋅∈２．集合Z ＝x ｜x=(2n+1)180x ｜x=(4k 1)180之间的关系是（ ）.;.;.;..A Z Y B Z Y C Z Y D Z Y ≠≠⊂⊃= 与之间的关系不确定三、典例赏析例1 写出如图(0)y x x =±≥所夹区域内的角的集合．思路启迪 以两条射线为终边上的角是多少度（或弧度）？再看周期性吧！解：解后反思 你是怎样理解题的？求解该题的关键点、易错点在哪里？变式练习 写出终边在四个象限角平分线上的角的集合.解：例2.已知α是第二象限角，试求下列角的范围与所在的象限：(1) 3α；(2) 3α．思路启迪：准确写出α，在33αα、的范围，根据求出的范围，运用数形结合，试试看.解后反思（1）若例2中的α分别是第一象限、第三象限、第四象限的角，怎样确定 33αα、所在象限？有规律吗？各自的周期是多少？（2）解答本题用到了什么数学思想方法？该题中33ααα、、的范围还有不同的写法吗？角的两种制度能用在同一个表达式中出现吗？变式练习 已知α是第三象限角，试求角4α与2α的范围和所在的象限. 解：例3（１）已知扇形OAB 的圆心角α为120，半径6r =，求弧长AB 及扇形面积． （２）已知扇形周长为20cm ，当扇形的中心角为多大时它有最大面积，最大面积是多少？解：解后反思 在第（1）问中，应怎样选择公式更好？第（2）问是一道什么题型，求解时 的入手点在哪里？易错点在哪里？变式练习 已知圆中一条弦的长等于半径r ，求：（1）这条弦所对的劣弧长；（2）这条弦和劣弧组成的弓形的面积.解：例4. 2003年10月15日9时，中国首位航天员杨利伟乘坐的“神舟”五号载人飞船， 在酒泉卫星发射中心用“长征二号F ”型运载火箭发射升空，按规定轨道3地球14圈，在太空飞行21小时18分，16日6时23分在内蒙古中部地区成功着陆，中国首次载人航天飞行任务获得圆满成功.视飞船在地面343千米的太空中绕地球做匀速圆周运动，90分钟绕地球一圈，地球的平均半径为6378千米，计算：（1）飞船绕地球14圈共转过的度数是多少？（2）在太空飞行中，杨利伟与家人进行了一次特别的通话，通话时间持续4分50秒，在这段时间内，杨利伟所乘坐的飞船转过的角度是多少？飞船走了多少千米（不考虑其他因素，计算时取 3.14π≈）？解：解后反思 该题是什么题型？求解它的思想方法是什么、步骤如何？变式练习 在以原点为圆心半径为4的圆周上，动点P 、Q 从点A （4,0）出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟旋转3π弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟旋转6π弧度，求P 、Q 第一次相遇时所用的时间，相遇点的坐标及P 、Q 各自走过的弧长.解：四、学习反思1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法，你的任务完成了吗？你讲的怎样？你提问了吗？我们的学习目标达到了吗？如：知识网络理解了吗？里面的知识内容都掌握了吗？本节课有哪些题型？运用了哪些思想方法求解的？有哪些需要我们注意的？2.通过本节课的学习与课前的预习比较有哪些收获？有哪些要改进和加强的呢？3.对本节课你还有独特的见解吗？本节课的数学知识与生活有怎样的联系？感受到本节课数学知识与方法的美在哪里？（学习链接——阅读材料）五、学习评价1将分针拨慢10分钟，则分钟转过的弧度数是（ ） A.3π B.－3π C.6π D.－6π2.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是 （ ）A.2B.1sin 2 C.1sin 2 D.2sin 3.集合A={},322|{},2|Z n n Z n n ∈±=⋃∈=ππααπαα， B={},21|{},32|Z n n Z n n ∈+=⋃∈=ππββπββ，则A 、B 之间关系为（ ） A. A B ⊂ B. B A ⊂ C. B ⊂A D. A ⊂B4.在半径为1的单位圆中，一条弦AB 的长度为3，则弦AB 所对圆心角α是( )A ．α＝3B ．α＜3C ．α＝32π D ．α＝120 5.若角α与β的终边关于x 轴对称，则α与β的关系是 ； 若角α与β的终边关于y 轴对称，则α与β的关系是 ；若角α与β的终边关于原点对称，则α与β的关系是 ；若角,αβ的终边关于直线y x =对称，则αβ与的关系式是 .6.12弧度的圆心角所对的弦长为2，求此圆心角所夹扇形的面积．解：7.扇形的面积一定，问它的中心角α取何值时，扇形的周长L 最小?解：8.半径为R 的扇形，其周长为R 4，则扇形中所含弓形的面积是多少？解：◆承前启后 现在我们学习了角的推广，角的两种度量制度？在数学中角与三角函数联系最为紧密，那对任意角又怎样定义三角函数呢？【学习链接】（阅读材料）密位制:一种军用的角度计量法.以密位为单位来量角的制度是：把圆周6000等分，每一等分的弧所对圆心角称为1密 位的角，即：1密度位就是圆的16000所对的圆心角（或这条弧）的大小. 密位的写法是在百位数字与十位数字之间画一条短线，如15密位记为“0—15”，读作“零，一五”；1370密位记为“13—70”，读作“一三，七零”。

任意角和弧度制教案教案标题：任意角和弧度制教案教案目标：1. 了解任意角的概念，能够在坐标系中表示和定位任意角。

2. 理解弧度制的概念，能够在弧度制和度数制之间进行转换。

3. 掌握任意角的三角函数值的计算方法。

教学准备：1. 教师准备：教学投影仪、白板、笔记本电脑、教学PPT等。

2. 学生准备：纸和铅笔。

教学过程：Step 1: 引入1. 教师通过展示一张钟表图，引导学生思考角度的概念。

提问：你们平时见过哪些角度的度量方式？2. 学生回答后，教师解释度数制的概念，并引出本节课学习的内容：任意角和弧度制。

Step 2: 任意角的表示和定位1. 教师通过示意图和坐标系，解释任意角的表示方法。

提醒学生注意正角、负角和零角的特点。

2. 学生跟随教师的指导，在纸上练习绘制不同角度的示意图，并用坐标系表示和定位这些角。

Step 3: 弧度制的介绍和转换1. 教师给出弧度制的定义：1弧度是半径等于1的圆的弧所对应的角。

2. 教师通过示意图和实际物体（如一根铁丝弯成的圆弧），展示弧度制的概念和计算方法。

3. 教师引导学生进行度数制和弧度制之间的转换练习，提供一些常见的转换例题。

Step 4: 任意角的三角函数值的计算1. 教师复习正弦、余弦和正切的定义，并介绍任意角的三角函数值的计算方法。

2. 教师通过示例演示三角函数值的计算步骤，引导学生进行练习。

Step 5: 拓展应用1. 教师提供一些与任意角和弧度制相关的实际问题，引导学生运用所学知识解决问题。

2. 学生个别或小组合作完成拓展应用题。

Step 6: 总结和归纳1. 教师带领学生总结本节课所学内容，并强调重点和难点。

2. 学生将所学知识进行整理和归纳，完成课堂笔记。

Step 7: 作业布置1. 教师布置相关的课后作业，包括练习题和思考题。

2. 学生完成作业，以便巩固所学知识。

教学评估：1. 教师观察学生在课堂上的参与度和理解程度。

2. 教师检查学生完成的课堂练习和作业，评估学生的掌握情况。

1、1任意角和弧度制一、教材说明：本节任意角和弧度制选自必修四第一章第一节二、三维目标（一）知识与技能（1）了解正、负角与零角的相关定义;（2）根据图形写出角及根据终边写出角的集合;（3）了解弧度制；（二）过程与方法（1）培养学生数型转化的思想；（2）训练学生思维活跃性，能够举一反三;（3）培养学生思维的抽象与具体转化的过程；（三）情感态度与价值观（1）增强学生观察生活中事物的规律能力;（2）在老师的引导下建立数学模型，把数学运用到生活中去；三、教学重难点（一）重点（1）根据图形写出任意角度数；（2）根据已知图形终边位置写出该终边所表示的角的集合；（二）难点根据终边写角的集合（三）教学设计（1）情境设计（2）教学过程（3）给出相关定义（4）举出例题，深化正负角定义（5）提出要点（6）提出关于终边相同，写出所有角所在集合（7）通过练习（教师引导，并作为主体练习），能够独立进行习题练习（8）学生自主练习、教师个别指导、师生互动（9）习题讲解（10）归纳总结（11）引出下堂课知识点：弧度制（12）布置作业四、教学过程（一）创设情境（1）墙上挂钟，在某段时间内,指针转过角度；（2）当手表不准时,我们旋转指针使之准时，这是指针转过的角度是多少？方向如何？（二）揭示课题(1）1、1任意角和弧度制（2）1、1、1任意角（三）复习旧知识顺时针、逆时针（四）给出例题（1）当指针快速顺时针由“12”调至“6”，指针转过多少度?（2）指针由“6”又调回到“12”是,转过角度如何?方向又怎样呢？（五）给出正角、负角定义（1）正角:逆时针方向旋转形成的角叫做正角；（2）负角：顺时针方向旋转形成的角叫做负角；（六）注意要点如果一条射线没有做任何旋转,则称它为零角。

（七）复习旧知识(1）0°—180°内所有角（2）周角（3）平角的整数倍所有角（八）新知识（1）任意角的表示方法;（2）判断当角的始变何种变相同时，角度是否相同.（九）给出任意角及象限角概念注意角的终边在轴上不叫做象限角。

第四课时：任意角和弧度制（第1课时）编写人：潘有金审核人：张广泉审批：苏自先学习目标：1.理解任意角的概念，学会在平面直角坐标系中讨论角；2.掌握象限角、终边相同的角、终边在坐标轴上的角的表示方法；3.了解角的概念推广的现实意义，学会用数学的观点分析、解决实际问题。

预习案一、教材助读认真阅读课本P 1 -P 5 ,完成下列问题1.在初中，我们已学习过角的有关知识。

请同学们回忆：角的定义：角的表示：角的范围：2.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的几何图形。

我们规定：按逆时针方向旋转所成的角叫做_________;按顺时针方向旋转所成的角叫做_________;如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了_________。

3.在直角坐标系内讨论角，必须使角的顶点与________________重合，角的始边与______________________重合.4. 在直角坐标系内，如果角的终边在第几象限，我们就说这个角是_________；如果角的终边在坐标轴上，我们就说这个角_________。

5. 在直角坐标系内，相等的两个角终边一定相同；反过来，终边相同的两个角不一定相等。

6. 在直角坐标系内，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S=______________________二、预习自测（牛刀小试）1.下列命题正确的是（）A.终边相同的角一定相等B.第一象限的角都是锐角C.锐角都是第一象限的角D.小于90°的角都是锐角2.已知集合A={第一象限的角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，则下面正确的是（）A.A=B=CB.A BC.A∩C=BD.以上都不对3.已知角的顶点与坐标原点重合，终边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角：（1）420°；（2）-75°；（3）-510°在下面记下预习中的困惑在课上和同学讨论或向老师请教第四课时：任意角和弧度制（第1课时）导学案一、学始于疑同学们首先认真独立思考如下问题问题1.体操中，有“转体720°”、“转体1080°”，这些动作名称的含义是什么？问题2.被动轮随主动轮旋转而旋转，OA绕O旋转形成的角与O/B/绕O/旋转形成的角有什么区别？如何准确地描述这些现象？二、质疑探究小组内讨论上述问题，准备展示，将组内不能解决的问题用小纸条交给老师探究一任意角的概念（利用几何画板展示任意角形成的过程）⎧⎪⎨⎪⎩正角按逆时针方向旋转形成的角任意角零角未作任何旋转负角按顺时针方向旋转形成的角探究二如何在直角坐标系内讨论角？今后，我们一般地都是在直角坐标系内讨论角，为了讨论问题的方便，规定：角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合探究三象限角的定义探究四终边相同的两个角之间的关系问题1.给定一个角，它的终边是不是唯一的？问题2.对于直角坐标系中的任意一条射线OB，以它为终边的角是否唯一？问题3.在直角坐标系中，如果角α与β的终边相同，那么α与β有什么关系？探究五终边相同的角的集合所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={β|β=α+k×360°,k∈Z}即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。

高中数学必修4《任意角和弧度制》教案一、教学目标1. 理解任意角的概念，掌握任意角的几何性质；2. 理解弧度制的概念，掌握弧度制的基本用法；3. 掌握任意角的三角函数及其基本性质。

二、教学内容1. 任意角的定义和性质；2. 弧度制的概念和计算公式；3. 三角函数的定义、性质及其图象。

三、教学方法1. 归纳法、演示法、讨论法；2. 短片展示、综合练习。

四、教学步骤步骤一：导入新课1. 充分利用素材，抛出有关问题，启发学生思考，激发探究兴趣，从而引出新课。

2. 展示台湾百事可乐的广告，提问：“你们觉得这是哪种角度？”3. 解释任意角的概念，举一些例子，使学生了解不同角度的概念。

步骤二：学习任意角的定义和性质1. 任意角的定义和表示方法。

2. 讲解任意角的性质。

步骤三：学习弧度制的概念和计算公式1. 弧度的概念和推导过程。

2. 弧度与角度的换算公式及例题。

步骤四：学习三角函数的定义、性质及图象1. 正弦函数、余弦函数、正切函数的定义和图象。

2. 三角函数的性质及相互关系。

步骤五：练习讲解1. 小组讨论，练习几何问题。

2. 练习弧度制的换算，解答相关问题。

3. 课后作业：巩固基础知识，拓展思维应用。

五、教学反思本节课的核心是任意角和弧度制，由于任意角和弧度制是高中数学必修课程，因此教学难度较大，需要遵循步步深入的原则，先从角度和任意角说起，再讲述弧度制及其换算公式，最后介绍三角函数及其相关性质。

在教学过程中，教师应运用多种教学方法，使学生更直观地理解这些概念和公式，同时也需要拓展学生的思维应用，使他们发现数学的应用价值，激发学生的学习兴趣。

第五章三角函数5.1.2 弧度制（1 课时）【教学内容】弧度与角度的互化；特殊角的弧度制；弧长公式、扇形面积公式.【教学目标】（说明：不要写成三维目标的形式，点列，可以从知识技能、过程方法、数学核心素养等角度写目标）1.理解弧度制的定义，体会引入弧度制的必要性.(数学抽象)2.能进行弧度与角度的互化,熟悉特殊角的弧度制.(逻辑推理、数学运算)3.掌握弧度制中扇形的弧长和面积公式，体会弧度制下公式形式的简洁性,会应用公式解决简单的问题.(数学运算、数学模型)【教学重难点】教学重点：角度制与弧度制间的互相转化，弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明.教学难点：能灵活运用弧长公式、扇形面积公式解决问题.【教学过程】（说明：本环节包括新授、小结、布置作业等）一、复习回顾，温故知新1.在平面几何里，度量角的大小用什么单位？【答案】角度制的单位有：度、分、秒。

2.1 的角是如何定义的？【答案】规定：圆周1/360 的圆心角称作1 角.这种用度做单位来度量角的制度叫做角度制.日常生活中，度量长度可用不同的单位，如：一张课桌长80 厘米，也可以说长0.8 米，显然两种结果出现了不同的数值. 在数学和其他科学研究中还经常用到另一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？二、探索新知探究：在圆内，圆心角的大小和半径大小有关系吗？角度为60的圆心角，半径r 1，2，3 时，(1)分别计算相对应的弧长l ；(2)分别计算对应弧长与半径之比.思考：通过上面的计算，你发现了什么规律？【答案】①.圆心角不变，比值不变；比值的大小与所取的圆的半径大小无关；②圆心角改变，比值改变；比值的大小只与圆心角的大小有关；1.弧度的概念把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度(radian)的角.弧度制：这种以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制，它的单位是弧度，单位符号是 rad. 约定： 正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为 0.思考 1:圆的半径为 r,弧长分别为 2r 、πr,则它们所对圆心角的弧度 数是多少?【答案】2rad, πrad.思考 2：如果半径为 r 的圆的圆心角α所对的弧长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值如何计算？l【答案】|α| =r2. 角度与弧度的换算思考 3：一个周角以度为单位度量是多少度， 以弧度为单位度量是多少弧度？由此可得角度与弧度有怎样的换算关系？【答案】360º， 2π. 360︒= 2πrad，180︒ = πrad思考 4：根据上述关系，1°等于多少弧度， 1 rad 等于多少度？ 【答案】1︒ =π180︒≈ 0.01745rad 1rad = 180）︒≈ 57.30︒（π三、典型例题例 1． 把下列各角的度数化为弧度。