证明隐式Euler方法稳定性

隐式改进欧拉法在暂态稳定分析中的应用蒋德珑;尹淑萍;王克文;代旭光【摘要】Tlie reliable transient stability analysis is one of the keys in safe operation of power system. Therefore, after obtaining the system initial operation state with load flow calculation of Newton method, the generator model in system transient stability calculation is processed by adopting implicit improved Euler method; this avoids the transfer errors in transient calculation, and the accuracy is improved. According to the distribution characteristics of the power angle swing curve of the generator, the transient stability of the system is judged. The simulation result shows that the method can effectively judge the transient stability of the system, and features better expandability and flexibility in program design.%电力系统安全运行的关键之一是可靠的暂态稳定分析.在利用牛顿法潮流计算得出系统的初始运行状态后,采用隐式改进欧拉法对系统暂态稳定计算中的发电机模型进行处理,以避免暂态计算中的交接误差,提高计算精度.同时,通过计算得到发电机功角摇摆曲线的分布特性,判断出系统的暂态稳定性.仿真结果表明,该方法能有效地判断出系统的暂态稳定性,在程序设计上也具有较好的可扩展性和灵活性.【期刊名称】《自动化仪表》【年(卷),期】2011(032)010【总页数】5页(P13-16,20)【关键词】暂态稳定;牛顿法;改进欧拉法;隐式算式;程序设计;仿真分析【作者】蒋德珑;尹淑萍;王克文;代旭光【作者单位】郑州大学电气工程学院,河南郑州 450001;郑州大学电气工程学院,河南郑州 450001;郑州大学电气工程学院,河南郑州 450001;郑州大学电气工程学院,河南郑州 450001【正文语种】中文【中图分类】TM7120 引言经济和技术的进步使电力系统得到了迅速发展，但也对电力系统稳定性提出了更高的要求［1］。

习 题 一3.已知函数y =4, 6.25,9x x x ===处的函数值，试通过一个二次插值函解：0120124, 6.25,9;2, 2.5,3y x x x y y y =======由题意 （1） 采用Lagrange插值多项式220()()j j j y L x l x y ==≈=∑27020112012010*********()|()()()()()()()()()()()()(7 6.25)(79)(74)(79)(74)(7 6.25)2 2.532.255 2.25 2.75 2.7552.6484848x y L x x x x x x x x x x x x x y y y x x x x x x x x x x x x ==≈------=++------------=⨯+⨯+⨯⨯-⨯⨯= 其误差为(3)25(3)25(3)2[4,9]2()(7)(74)(7 6.25)(79)3!3()83max |()|40.0117281|(7)|(4.5)(0.01172)0.008796f R f x x f x R ξ--=---==<∴<=又则（2）采用Newton插值多项式2()y N x =≈ 根据题意作差商表：224(7)2(74)()(74)(7 6.25) 2.64848489495N =+⨯-+-⨯-⨯-≈4. 设()()0,1,...,k f x x k n ==，试列出()f x 关于互异节点()0,1,...,i x i n =的Lagrange 插值多项式。

注意到：若1n +个节点()0,1,...,i x i n =互异，则对任意次数n ≤的多项式()f x ，它关于节点()0,1,...,i x i n =满足条件(),0,1,...,i i P x y i n ==的插值多项式()P x 就是它本身。

可见，当k n ≤时幂函数()(0,1,...,)kf x x k n ==关于1n +个节点()0,1,...,i x i n =的插值多项式就是它本身，故依Lagrange 公式有()00(),0,1,...,nn n k kk i j j j j j i j ii jx x x l x x x k n x x ===≠-=≡=-∑∑∏特别地，当0k =时，有()0001nn n ij j j i j ii jx x l x x x ===≠-=≡-∑∑∏而当1k =时有()000nnn ij j j j j i j ii jx x x l x x x x x ===≠⎛⎫- ⎪=≡ ⎪- ⎪⎝⎭∑∑∏ 5.依据下列函数表分别建立次数不超过3的Lagrange 插值多项式和Newton 插值多项式，并验证插值多项式的唯一性。

标量随机延迟微分方程Euler-Maruyama方法的均方稳定性分析王琦【摘要】Abstract: Mean-square stability of Euler-Maruyama method is studied for scalar stochastic delay differential equations with multiplicative noise under the condition of analytical mean-square stability. It is proven that the numerical.solution is mean-square stable when the stepsize satisfies certain restrictions. Numerical examples verify the theoretical results.%在解析解均方稳定的条件下研究带有乘性噪声的标量随机延迟微分方程Euler-Maruyama方法的均方稳定性.证明了当步长满足一定限制时,数值解是均方稳定的.数值算例验证了理论结果的正确性.【期刊名称】《广东工业大学学报》【年(卷),期】2011(028)001【总页数】4页(P50-53)【关键词】随机延迟微分方程;Euler-Maruyama方法;均方稳定性【作者】王琦【作者单位】广东工业大学,应用数学学院,广东,广州,510006【正文语种】中文【中图分类】O241.8近年来，随机延迟微分方程理论引起了人们的普遍关注，作为一种重要的数学模型，这类方程不仅考虑了随机因素的影响，同时也反映了时滞因素的影响.所以，随机延迟微分方程能够更加真实地模拟实际问题，在金融学、计算生物学以及基因工程等研究领域均有广泛的应用.本文主要考虑下述随机延迟微分方程其中τ＞0为时间延迟，系数 a1，a2，a3，a4为实常数，W(t)是Brown运动或者说是Wiener过程，ξ(t)是初始函数.关于随机延迟微分方程的全面介绍和基本结论，Mao X R［1］已经做了详尽阐释.随机延迟微分方程本身以及解析解的最新研究成果，参见文献［2-3］.由于随机延迟微分方程的解析解很难求出或者根本求不出，所以人们对这类方程的数值解产生了浓厚的兴趣.文献［4］给出了方程解析解均方稳定的条件，在此基础上研究了Euler-Maruyama方法的均方稳定性.文献［5］证明了带跳跃的随机延迟微分方程Euler方法在比线性增长条件和全局Lipschitz条件还弱的条件下数值解是收敛于解析解的理论结果.文献［6］研究了方程(1)的半隐式Euler方法的收敛性和稳定性，给出了数值方法均方稳定和广义均方稳定的条件.文献［7］讨论了随机比例延迟微分方程解的存在唯一性以及半隐式Euler方法的收敛性.关于随机延迟微分方程数值解更多的结论参见文献［8-10］.本文拟将Euler-Maruyama方法用于求解方程(1)，在解析解均方稳定的条件下，研究数值解的均方稳定性.1 解析解的均方稳定性设(Ω，F，P)是完备的概率空间，在方程(1)中，初始函数ξ(t)是F0可测的，并且满足E|ξ|2＜∞.因为方程(1)自然满足Lipschitz条件和线性增长条件，所以方程(1)的解存在且唯一［11-12］.下面的引理1将对本文主要定理的证明起到关键作用. 引理1［6］如果方程(1)的系数 a1，a2，a3，a4 满足那么方程(1)的零解是均方稳定的，即2 数值解的均方稳定性分析Maruyama［13］是最早讨论数值求解随机常微分方程收敛性问题的学者之一.他将Euler方法用于求解Ito随机常微分方程，证明了数值方法在均方意义下的收敛阶为1/2.从此，将应用于随机微分方程的 Euler方法称为 Euler-Maruyama方法［14］.将Euler-Maruyama方法应用到方程(1)，得到差分格式其中Xn是对解析解x(tn)的数值近似，并假设它是Ftn可测的，步长 h满足τ=mh，m∈Z+，tn=nh，Wiener过程的增量ΔWn=W(tn+1)－W(tn)是一系列服从高斯分布的彼此独立的随机变量.定义1 设条件(2)成立，如果存在步长h*＞0，使得对任意的h∈(0，h*)，一种数值方法应用于方程(1)所得到的数值解Xn都满足那么称这种数值方法应用于方程(1)时是均方稳定的.下面给出本文的主要结果.定理1 假设条件(2)成立，那么应用于方程(1)的Euler-Maruyama方法是均方稳定的.证明由差分方程(3)得从而，定理得证.当a3=0时，方程(1)就变成了文献［4］所讨论的方程，所以文献［4］中的主要结果可以看作是本文定理1中a3=0时的特例.3 数值算例本节将从系数和步长两方面对数值解稳定性的影响进行试验(见图1～图4).在方程(1)中，令τ =1，ξ(t)=t+1，(t∈［－1，0］).在图1 和图2 中，试验方程(1)的系数分别选为a1=－3，a2=1.5，a3=0.1，a4= －0.5 和a1=0.2，a2=2，a3=1，a4=－1，取h=1/2048.比较两图不难看出，两组系数下的数值解的稳定性有很大的差异，事实上，在图1中，试验方程的系数满足条件(2)，而在图2中，试验方程的系数却不满足这一条件.图1 数值解的稳定性Ⅰ图2 数值解的稳定性Ⅱ另一方面，在图3和图4中，试验方程(1)的系数选为a1= －8，a2=2，a3= －1，a4= －0.5，步长分别取为h=1/64和h=1/4.由(11)式计算得h^=1/8，虽然试验方程的系数满足条件(2)，但由于有1/64∈(0，1/8)和1/4∉(0，1/8)，所以根据定理1，数值解分别为稳定和不确定的(h∈(0，h^)只是充分条件，本例图4中数值解为不稳定情形)，从而验证了理论结果与数值算例的一致性.4 结论本文利用Euler-Maruyama方法求解了一类随机延迟微分方程，研究了数值方法对解析解均方稳定性的保持性质，给出了数值解均方稳定的充分条件，推广了现有结论，今后将考虑多维问题和T-稳定性问题.图3 数值解的稳定性Ⅲ图4 数值解的稳定性Ⅳ参考文献:［1］Mao X R.Stochastic differential equations and applications［M］.Second Edition.Chichester:Harwood，2007.147-234.［2］Zhou S B，Wang Z Y，Feng D.Stochastic functional differential equations with infinite delay［J］.J Math Anal Appl，2009(357):416-426. ［3］Li C X，Sun J T，Sun R Y.Stability analysis of a class of stochastic differential delay equations with nonlinear impulsive effects［J］.Journal of the Franklin Institute，2010(347):1186-1198.［4］Cao W R，Liu M Z，Fan Z C.MS-stability of the Euler-Maruyama method for stochastic differential delay equations［J］.Appl Math Comput，2004(159):127-135.［5］Li R H，Meng H B，Dai Y H.Convergence of numerical solutions to stochastic delay differential equations with jumps［J］.Appl Math Comput，2006(172):584-602.［6］Liu M Z，Cao W R，Fan Z C.Convergence and stability of the semi-implicit Euler method for a linear stochastic differential delay equation ［J］.J Comput Appl Math，2004(170):255-268.［7］Fan Z C，Liu M Z，Cao W R.Existence and uniqueness of the solutions and convergence of semi-implicit Euler methods for stochastic pantograph equations［J］.J Math Anal Appl，2007(325):1142-1159.［8］Zhang H M，Gan S Q，Hu L.The split-step backward Euler methodfor linear stochastic delay differential equations［J］.J Comput Appl Math，2009(225):558-568.［9］谭英贤，甘四清.中立型随机比例延迟微分方程平衡半隐式Euler方法的均方收敛性［J］.数学理论与应用，2009，29(4):47-51.［10］Zhao G H，Song M H，Liu M Z.Exponential stability of Euler-Maruyama solutions for impulsive stochastic differential equations with delay［J］.Appl Math Comput，2010(215):3425-3432.［11］Mohammed S E A.Stochastic functional differential equations ［M］.Boston:Pitman Advanced Publishing Program，1984.［12］Mao X R.Exponential stability of stochastic differential equations ［M］.New York:Marcel Dekker，1994.147-290.［13］Maruyama G.Continuous Markov processes and stochastic equations［J］.Rend Circolo Math Palermo，1955(4):48-90.［14］曹婉容.随机延迟微分方程几种数值方法的收敛性和稳定性［D］.哈尔滨:哈尔滨工业大学博士学位论文，2004.。

微分方程数值解法的稳定性和收敛性分析微分方程是描述自然界中许多现象和过程的重要数学工具。

在实际问题中，我们常常需要通过数值方法来求解微分方程，以得到近似的解析解。

然而，数值解法的稳定性和收敛性是决定求解效果好坏的关键因素。

一、稳定性分析稳定性是指在微分方程数值解法中，当初始条件有微小变化时，解的计算结果是否也有微小变化。

稳定性的分析是判断数值解法是否能够稳定地求解微分方程的重要方法。

1. 显式数值方法显式数值方法是指数值解法中，每个时间步骤的计算是通过已知的前一时间步骤得到的解来进行的。

例如，常见的显式欧拉法、显式Euler法和显式龙格-库塔法等。

显式数值方法通常具有简单和易于实现的优点，但其稳定性较差。

对于一些具有特殊特征的微分方程，如刚性方程，显式数值方法往往很难保持稳定，甚至会导致数值解的发散。

2. 隐式数值方法隐式数值方法是指数值解法中，每个时间步骤的计算是通过未知的当前时间步骤得到的解来进行的。

隐式方法常常需要求解一个非线性方程，因此计算量较大。

然而，隐式方法通常具有良好的稳定性。

例如，隐式欧拉法、隐式梯形法和隐式龙格-库塔法等都属于隐式数值方法。

这些方法对于刚性方程的求解具有一定的优势，能够更稳定地求得数值解。

3. 李普希茨稳定性除了显式和隐式数值方法外，还有一种稳定性分析方法是通过李普希茨稳定性进行判断。

李普希茨稳定性是指对于微分方程的解和微分方程中的函数，存在一个常数K，使得在给定区间内，解的变化不超过K倍的函数的变化。

具有李普希茨稳定性的数值方法可以保证数值解的稳定性，并且能够更好地控制误差的增长。

二、收敛性分析收敛性是指数值解法中的数值解是否在步长逐渐缩小的情况下趋向于解析解。

收敛性的分析是判断数值解法是否能够得到精确解的重要方法。

1. 局部截断误差局部截断误差是指数值解法中每个时间步长的计算结果与精确解之间的差值。

通过分析局部截断误差的大小，可以判断数值解法的收敛性。

对于显式数值方法，局部截断误差通常跟时间步长成正比。