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北师大版九年级数学下册：2.1《二次函数》教学设计3一. 教材分析北师大版九年级数学下册第2.1节《二次函数》是学生在学习了初中阶段函数知识的基础上，进一步研究函数图象和性质的重要内容。
这一节通过具体例子引入二次函数的概念，讨论二次函数的图象和性质，让学生体会函数与实际问题的联系，培养学生的数学素养。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了函数的基本概念和一次函数的性质，具备了一定的函数知识基础。
但二次函数相对于一次函数，其图象和性质更为复杂，需要学生在已有的知识基础上，通过观察、分析、归纳等方法，自主探究二次函数的特点。
三. 教学目标1.理解二次函数的概念，掌握二次函数的解析式。
2.能够绘制二次函数的图象，理解二次函数的顶点、开口方向等性质。
3.能够运用二次函数解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
四. 教学重难点1.重点：二次函数的概念，二次函数的解析式，二次函数的图象和性质。
2.难点：二次函数图象的绘制，二次函数在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用“问题驱动”的教学方法，引导学生通过观察、分析、归纳等方法，自主探究二次函数的特点。
在教学过程中，注重启发式教学，鼓励学生提出问题，引导学生思考，培养学生的逻辑思维能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作二次函数的教学课件，包括二次函数的图象、性质等内容。
2.教学素材：准备一些实际问题，用于引导学生运用二次函数解决实际问题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考二次函数的应用。
例如：某商品打8折后的售价为120元，原价是多少？让学生感受二次函数在实际生活中的应用。
2.呈现（10分钟）利用课件展示二次函数的图象和性质，引导学生观察、分析，总结二次函数的特点。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选择一个实际的例子，尝试用二次函数来解决问题。
教师巡回指导，解答学生的问题。
4.巩固（10分钟）让学生在课堂上完成一些相关的练习题，巩固所学知识。
章末复习【知识与技能】掌握二次函数的图象及其性质，能灵活运用抛物线的知识解一些实际问题.【过程与方法】通过观察、猜想、验证、推理、交流等数学活动进一步发展学生的演绎推理能力和发散思维能力.【情感态度】经历探索二次函数相关题目的过程，体会数形结合思想、化归思想在数学中的广泛应用，同时感受数学知识来源于实际生活，反之，又服务于实际生活【教学重点】二次函数图象及其性质，应用二次函数分析和解决简单的实际问题.【教学难点】二次函数性质的灵活运用，能把相关应用问题转化为数学问题.一、知识结构【教学说明】根据教材的结构特点，紧紧抓住新旧知识的内在联系，运用类比、联想、转化的思想，突破难点.二、释疑解惑，加深理解1. 二次函数解析式的三种表达方法：（1） 顶点式：；（2） 一般式：.2. 填表：3.二次函数y=ax 2+bx+c ，当a ＞0时，在对称轴右侧，y 随x 的增大而，在对称轴左侧，y 随x 的增大而；当a ＜0时，在对称轴右侧，y 随x 的增大而，在对称轴左侧，y 随x 的增大而；4.抛物线y=ax 2+bx+c ，当a ＞0时图象有最点，此时函数有最值；当a ＜0时图象有最点，此时函数有最 值；【教学说明】让学生回忆二次函数有关基础知识.同学们之间可以相互补充，体现团结协作精神.同时发展了学生的探究意识，培养了学生思维的广阔性.三、运用新知，深化理解1.（1）222221005325y x y x y x y x x x =-=-=-=-+，，，，其中是二次函数的有个.（2）当m=时，函数2m+121m m y xx -=-+（）（）是二次函数？解：3 22.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的最大值是2，图象顶点在直线y=x + 1上，并且图象经过点（3，-6).求 a 、b 、c.解;∵二次函数的最大值是2，∴抛物线的顶点纵坐标为2.又∵拋物线的顶点在直线y=x+1上，∴当 y=2 时，x=1，∴顶点坐标为（1，2)，∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2又∵图象经过点（3，-6），∴-6=a(3-1)2+2∴a=-2.∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2,即：y=-2x 2+4x3.（1）抛物线y=2(x-1)2+3是由抛物线y=2x 2怎样平移得到的？（2）若抛物线y=-x 2向左平移2个单位，再向下平移4个单位，求所得抛物线的解析式. 分析：由抛物线平移时，形状和开口方向不变.（1）抛物线y=2x 2的顶点是（0，0)，抛物线y= 2(x-1)2+3 的顶点是（1，3)，∴抛物线y=2(x-1)2+3是由y=2x 2向右平移一个单位，再向上平移3个单位得到的.（2）抛物线y=-x 2的顶点是（0，0)，把它向左平移2个单位，再向下平移4个单位后，顶点是（-2，-4)，∴平移后的抛物线解析式为y=-(x+2)2-4.4.求拋物线21322y x x =--+的顶点坐标，写出对称轴与坐标轴交点坐标，当x 取何值时y 随x 的增大而增大，当x 取何值时，y 随x 的增大而减小？【教学说明】通过精心的选题让学生演练，在教师引导下完成，达到巩固知识的作用.四、复习训练，巩固提高1.某商场以每台2500元进口一批彩电，如每台售价定为2700元，可卖出400台，以每100元为一个价格单位，若将每台提高一个单位价格，则少卖出50台，那么每台定价为多少元即可获得最大利润？最大利润是多少元？解：设提高x个单位价格时，总获利为y 元，则y=(2700+100x-2500)(400-50x)(0≤x≤8)整理，得y=-5000(x-3)2+125000当x=3时，即定价为3000元时，可获最大利润125000元.2.下列各图是在同一直角坐标系内，二次函数y=ax2+(a+c)x+c 与一次函数y=ax+c 的大致图象，有且只有一个是正确的，正确是( )分析：由y=ax2+(a+c)x+c与y=ax+c 常数项均为c，所以两个图象与y轴交点应是一个点（0，c)，∴A、B不对.3.某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元，物价部门规定其销售单位不得高于每千克70元，也不得低于30元，市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克，在销售过程中，每天还要支出其它费用500元（天数不足一天时，按整天计算），设销售单价为x元，日均获利为y元.（1）求y与x的二次函数关系式，并注明x的取值X围；（2）将（1）中所求出的二次函数配方成22424b ac by a xa a-=++（）的形式，写出顶点坐标；在如图所示的坐标系中画出草图；观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多，是多少？（3）若将这种化工原料全部售出，比较日均获利最多和销售单价最高这两种销售方式，哪一种获总利较多，多多少？分析：首先明确获利的含义，即每千克获利=销售单价-购进单价，其次注意自变量的取值X围由此在画图象时只能是原函数图象的一部分.在（3）中必须分别计算这两种销售方式的总获利，通过比较大小作答.解：（1）若销售单价为x元，则每千克降低了（70-x)元，日均多售出2(70-x)千克，日均销售量为[60+2(70-x)千克，每千克获利（x-30)元.依题意得:y=(x-30)[60+2(70-x)]-500=-2x2+260x-6500（30≤x≤70）（2）由（1）有y=-2x2+260x-6500=-2(x-65)2+1950∴顶点坐标为（65，1950），其图象如图所示.经观察可知，当单价为65元时，日均获利最多是1950元.（3）当日均获利最多时：单价为65元，日均销售量为60+2(70-65)=70kg那么获总利为1950×700070=195000元，当销售60kg，将这批化工原料全部售完需700060≈117天，那么获总利为（70-30)×7000 -117×500=221500元，而221500＞195000 时且221500 -195000=26500 元.∴销售单价最高时获总利最多，且多获利26500 元.【教学说明】根据不同层次的学生，同时配有两个由低到高、层次不同的巩固性习题，体现渐进性原则，希望学生能将知识转化为技能. 让每一个学生获得成功，感受成功的喜悦.五、师生互动，课堂小结师生共同总结，对于本章的知识，你掌握了多少? 还存在哪些疑惑？同学之间可以相互交流.1.布置作业：教材“复习题”中第2、3、4、8、13 题2.完成练习册中本课时的练习.让学生在复习中温故而知新，在应用中获得发展，从而使知识转化为能力.引导学生对学习内容进行梳理，将知识系统化、条理化、网络化，使学生更好地理解数学知识；贯穿整个课堂教学的活动设计，让学生在活动、合作、开放、探究、交流中，愉悦地参与数学活动的数学教学.。
第二章 《二次函数》复习课教学设计授课教师：杨丽润复习目标知识目标1．了解二次函数解析式的三种表示方法；2．抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴以及抛物线与对称轴的交点坐标等;3．一元二次方程与抛物线的结合与应用。
4．利用二次函数解决实际问题。
技能目标：培养学生运用函数知识与几何知识解决数学综合题和实际问题的能力。
情感目标1.通过问题情境和探索活动的创设，激发学生的学习兴趣；2.让学生感受到数学与人类生活的密切联系，体会到学习数学的乐趣。
复习重、难点：函数综合题型复习方法：自主探究、合作交流复习过程一、知识梳理（师生合作学生共同完成）（一）定义：y=ax²＋bx ＋c （ a 、 b 、 c 是常数， a ≠ 0 ）定义要点：①a ≠ 0 ②最高次数为2③代数式一定是整式练习：1.y=-x ²，y=2x ²-2/x ，y=100-5x ²，y=3x ²-2x ³+5,其中是二次函数的有____个。
2.当m_______时,函数y=(m+1)χ - 2χ+1是二次函数？（二）二次函数解析式的三种表示方法：（1）顶点式： （2）交点式： （3）一般式：（三）图象与性质1.完成下表 m m 22.二次函数y=ax2+bx+c，当a＞0时，在对称轴右侧，y随x的增大而，在对称轴左侧，y随x的增大而；当a＜0时，在对称轴右侧，y随x 的增大而 , 在对称轴左侧，y随x的增大而3.抛物线y=ax2+bx+c，当a＞0时图象有最点，此时函数有最值；当a＜0时图象有最点，此时函数有最值（四）a，b，c符号的确定a决定开口方向：a＞０时开口向上，a＜０时开口向下a、b同时决定对称轴位置：a、b同号时对称轴在y轴左侧a、b异号时对称轴在y轴右侧b＝０时对称轴是y轴c决定抛物线与y轴的交点：c＞０时抛物线交于y轴的正半轴c＝０时抛物线过原点c＜０时抛物线交于y轴的负半轴△决定抛物线与x轴的交点：△＞０时抛物线与x轴有两个交点△＝０时抛物线与x轴有一个交点△＜０时抛物线与x轴没有交点（五）二次函数的平移平移法则：左加右减，上加下减二、练习（先独立思考，再分小组讨论，最后反馈信息）1.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，试判断下面各式的符号：(1)abc (2)b2-4ac (3)2a+b (4)a+b+c2. 如图,抛物线y=a x2+b+c,请判断下列各式的符号：①a 0;②c 0;③b2 - 4ac 0;④ b 0;三、典型例题1.二次函数y=2x²的图象向平移个单位可得到y= 2x² -3的图象；二次函数y= 2x²的图象向平移个单位可得到y=2(x-3)²的图象。
北师大版九年级数学下册：第二章 2.1《二次函数》精品教学设计一. 教材分析北师大版九年级数学下册第二章《二次函数》是整个初中数学的重要内容，也是九年级数学的教学难点。
本节内容主要介绍二次函数的定义、性质以及图象。
通过学习，使学生能够理解二次函数的概念，掌握二次函数的图象特征，能够运用二次函数解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对一次函数和二次函数有一定的了解。
但在二次函数的图象和性质方面，学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要结合学生的实际情况，逐步引导学生理解和掌握二次函数的知识。
三. 教学目标1.理解二次函数的概念，掌握二次函数的图象特征。
2.能够运用二次函数解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次函数的定义和性质。
2.二次函数图象的特征。
3.运用二次函数解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实际问题，引发学生对二次函数的兴趣，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
2.数形结合法：通过二次函数图象的展示，使学生直观地理解二次函数的性质。
3.小组合作学习法：引导学生分组讨论，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作二次函数的定义、性质和图象的课件，以便进行直观展示。
2.练习题：准备一些有关二次函数的练习题，以便进行课堂练习和巩固。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，如抛物线跳跃游戏，引发学生对二次函数的兴趣。
引导学生思考：抛物线的形状是由什么因素决定的？2.呈现（15分钟）利用课件展示二次函数的定义和性质，让学生直观地了解二次函数的基本概念和图象特征。
同时，通过举例说明二次函数在实际生活中的应用。
3.操练（15分钟）让学生分组讨论，每组选择一个二次函数，分析其图象特征，并总结出二次函数的性质。
然后，进行小组间的分享和交流。
4.巩固（10分钟）针对刚才的学习内容，进行一些相关的练习题，检查学生对二次函数知识的掌握程度。
二次函数的图象与性质【教学内容】二次函数的图象与性质知识与技能：经历探索二次函数y=x2的图象的作法和归纳性质的过程，获得利用图象研究二次函数性质的经验．过程与方法：经历作图与比较，初步建立二次函数表达式与图象之间的联系．情感、态度与价值观；通过学习，由二次函数表达式与其图象生成的过程领会数学的奥秘。
激发钻研数学的兴趣。
【教学重难点】重点：掌握利用描点法作出y=x2和y=－x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质．难点：由图象概括出二次函数y=x2性质，结合图象记忆性质【导学过程】【知识回顾】什么是二次函数？它的一般形式上什么？【情景导入】在二次函数中，y随x的变化而变化的规律是什么？你想直观地了解它的性质吗？【新知探究】探究一、画二次函数y=x2的图象。
二、与同学讨论后回答：1. 二次函数y=x2的图象的形状是什么样的？2.图象与x轴有交点吗？如果有，交点的坐标是什么？3.当x<0时，y随着x的增大，y的值如何变化？当x>0时呢？4.图象有最高点还是最低点？当x取什么值时，y的值最小？5.图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点，并与同伴交流。
三、从顶点、对称轴、开口方向三方面说说y=x2的图象的性质：探究二、画二次函数y= 一x2的图象。
它与y=x2的图象有何关系？归纳它的图象性质。
2.抛物线y＝x2与y＝－x2关于________对称,开口大小______，方探究三、例题：【例1】求出函数y=x＋2与函数y=x2的图象的交点坐标．【例2】已知a＜－1，点（a－1，y1）、（a，y2）、（a＋1，y3）都在函数y=x2的图象上，则（）A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3【知识梳理】本节课我们学习二次函数y＝x2与y＝－x2的图象性质【随堂练习】1．函数y=x2的顶点坐标为．若点（a，4）在其图象上，则a的值是．2．若点A（3，m）是抛物线y=－x2上一点，则m= ．3．函数y=x2与y=－x2的图象关于对称，也可以认为y=－x2，是函数y=x2的图象绕旋转得到．4．若二次函数y=ax2（a≠0），图象过点P（2，－8），则函数表达式为．5．函数y=x 2的图象的对称轴为 ，与对称轴的交点为 ，是函数的顶点． 6．点A （21，b ）是抛物线y=x 2上的一点，则b= ；点A 关于y 轴的对称点B 是 ，它在函数 上；点A 关于原点的对称点C 是 ，它在函数 上．7．求直线y=x 与抛物线y=x 2的交点坐标．8．若a ＞1，点（－a －1，y 1）、（a ，y 2）、（a ＋1，y 3）都在函数y=x 2的图象上，判断y 1、y 2、y 3的大小关系？9．A 、B 分别为y=x 2上两点，且线段AB ⊥y 轴，若AB=6，则直线AB 的表达式为（ ）A ．y=3B ．y=6C ．y=9D ．10、填表11.若二次函数y ＝ax 的图象过点(1,－2),则a 的值是___________.12.二次函数y ＝(m －1)x 2的图象开口向下,则m____________.13.如图,①y ＝a x 2②y ＝bx 2③y ＝cx 2④y ＝dx 2比较a.b.c.d 的大小,用“＞”连接.__________14.函数y ＝37x 2的图象开口向_______,顶点是_____,对称轴是____,当x ＝____时,有最___值是_____.15.二次函数y ＝mx 22 m 有最低点,则m ＝_____.3.二次函数y ＝(k ＋1)x 2的图象如图所示,则k 的取值范围为_____.最值。
第二章 二次函数一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生在前面几节课已经学习过并能够独立作出一个二次函数的图像，掌握了二次函数y =ax 2和y=ax 2+c 的一般性质。
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了二次函数y=ax 2和y=ax 2+c 的性质的探索过程，在探究过程中体会到了由特殊到一般的辩证规律，积累了解决数学问题的经验和方法。
学生愿意动手操作，乐于和同伴交流意见，形成不同的意见，积极参加探索解决问题的活动，在活动中感受数学的严密性、严谨性。
同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、教学任务分析第2.4节将讨论一般形式的二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象和性质。
它和学生前面几节课学习的2ax y =、c ax y +=2的图象之间有什么区别和联系？如何在已经学习过的类型上通过变化学习新的类型？如何探索一般二次函数的性质等等都是这一节需要关注的。
具体的，本节课的教学目标是：知识与技能1．能够作出y=a (x-h )2和y=a (x-h )2+k 的图象，并能够理解它与y=ax 2的图象的关系，理解a,h 和k 对二次函数图像的影响。
2．能正确说出y=a (x-h )2+k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
过程与方法1．经历探索二次函数y=a (x-h )2+k 的图象的作法和性质的过程。
情感态度与价值观1．在小组活动中体会合作与交流的重要性。
2．进一步丰富数学学习的成功体验，认识到数学是解决实际问题的重要工具，初步形成积极参与数学活动的意识。
教学难点：理解y=a (x-h )2和y=a (x-h )2+k 的图象与y=ax 2的图象的关系，理解a 、h 和k 对二次函数图像的影响。
教学重点：y=a (x-h )2和y=a (x-h )2+k 与y=ax 2的图象的关系，y=a (x-h )2+k 的图象性质三、教学过程分析本课设计了5个教学环节：复习引入、合作探究、练习提高、课堂小结、布置作业。
1 二次函数教学目标一、基本目标1．理解并掌握二次函数的概念，能判断一个给定的函数是否为二次函数．2．会根据二次函数的关系式计算一些函数值．3．能够表示简单变量之间的二次函数关系．二、重难点目标【教学重点】二次函数的概念．【教学难点】能根据已知条件写出二次函数的表达式．教学过程环节1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材P29～P30的内容，完成下面练习．【3 min 反馈】1．正比例函数的表达式为y ＝kx (k 为常数，且k ≠0)；一次函数的表达式为y ＝kx ＋b (k 、b 为常数，且k ≠0)．2．一般地，若两个变量x 、y 之间的对应关系可以表示为y ＝ax 2＋bx ＋c (a 、b 、c 是常数，且a ≠0)的形式，那么称y 是x 的二次函数．其中二次项系数、一次项系数和常数项分别为a 、b 、c .3．下列函数中，是二次函数的有①②③.(填序号)①y ＝(x －3)2－1；②y ＝1－2x 2；③y ＝13(x ＋2)(x －2)；④y ＝(x －1)2－x 2. 4．半径为R 的圆，半径增加x ，圆的面积增加y ，则y 与x 之间的函数关系式为y ＝πx 2＋2πRx (x ≥0)．环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】已知关于x 的函数y ＝(m ＋1)xm 2－m 是二次函数， 求m 的值．【互动探索】(引发学生思考)已知含参函数的表达式为二次函数，那么二次函数的自变量及各项系数应该满足哪些条件？【解答】由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m ＝2，m ＋1≠0，解得m ＝2. 即m 的值为2.【互动总结】(学生总结，老师点评)y ＝ax 2＋bx ＋c 为二次函数的前提条件是a ≠0，且自变量x 的最高次数为2，注意不要忽略二次项系数不为0这一隐含条件．【例2】一个正方形的边长是12 cm ，若从中挖去一个长为2x cm ，宽为(x ＋1) cm 的小长方形，剩余部分的面积为y cm 2.(1)写出y 与x 之间的关系式，并指出y 是x 的什么函数？(2)当小长方形中x 的值分别为2和4时，相应的剩余部分的面积是多少？【互动探索】(引发学生思考)画出几何示意图，用含x 的代数式表示出相关线段，根据题中的数量关系列出表达式．【解答】(1)根据题意，得y ＝122－2x (x ＋1)，即y ＝－2x 2－2x ＋144.∴y 是x 的二次函数．(2)当x ＝2时，y ＝－2×22－2×2＋144＝132；当x ＝4时，y ＝－2×42－2×4＋144＝104. ∴相应的剩余部分的面积分别是132 cm 2和104 cm 2.【互动总结】(学生总结，老师点评)根据实际问题写出二次函数的表达式的一般步骤：(1)阅读并理解题意；(2)找出问题中的变量与常量，并分析它们之间的关系，若有图形，则要注意结合图形进行分析；(3)设适当的未知数，用二次函数表示出变量之间的关系，从而写出二次函数表达式．活动2 巩固练习(学生独学)1．如果函数y ＝(k ＋2)xk 2－2是y 关于x 的二次函数，则k 的值为多少？解：根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧k 2－2＝2，k ＋2≠0，解得k ＝2. 即k 的值为2.【教师点拨】不要忽视k ＋2≠0.2．如图，用长为10米的篱笆，一面靠墙(墙的长度超过10米)，围成一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一边长为x 米，花圃面积为S 平方米，则S 关于x 的函数表达式是S ＝－2x 2＋10x .(不写自变量的取值范围)3．已知函数y ＝(m ＋1)xm 2－3m －2＋(m －1)x (m 是常数)．(1)m 为何值时，它是二次函数？(2)m 为何值时，它是一次函数？解：(1)m ＝4.(2)m ＝－1或m ＝3＋212或m ＝3－212. 【教师点拨】注意问题(2)要分情况讨论．活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】已知关于x 的二次函数，当x ＝－1时，函数值为10；当x ＝1时，函数值为4；当x ＝2时，函数值为7，求这个二次函数的表达式．【互动探索】我们学过了一次函数以及一次函数表达式的求法——待定系数法，这种方法对求二次函数的表达式同样适用吗？【解答】设所求二次函数的表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c .根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋c ＝10，a ＋b ＋c ＝4，4a ＋2b ＋c ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－3，c ＝5.故所求二次函数的表达式为y ＝2x 2－3x ＋5.【互动总结】(学生总结，老师点评)求二次函数的表达式与求一次函数的表达式的方法相同，都是待定系数法，二次函数有三个未知数，所以求二次函数的表达式需要三个方程．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)二次函数⎩⎪⎨⎪⎧ 二次函数的概念⎩⎪⎨⎪⎧ 形如y ＝ax 2＋bx ＋c (a 、b 、c 是常数，且a ≠0)前提条件：a ≠0，自变量的最高次数是2列二次函数的关系式练习设计请完成本课时对应练习！。
九年级数学下册第2章二次函数1复习教案新版北师大版_一、复习目标1、理解二次函数的概念；2、会用描点法画出二次函数的图象；3、会用配方法和公式确定抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标；4、会用待定系数法求二次函数的解析式；二、课时安排1课时三、复习重难点用配方法和公式确定抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标；用待定系数法求二次函数的解析式；四、教学过程（一）知识梳理1．二次函数的概念一般地，形如(a，b，c是常数，)的函数，叫做二次函数．[注意] (1)等号右边必须是整式；(2)自变量的最高次数是2；(3)当b＝0，c ＝0时，y＝ax2是特殊的二次函数．2．二次函数的图象二次函数的图象是一条，它是轴对称图形，其对称轴平行于轴．[注意] 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的形状、大小、开口方向只与a有关．3．二次函数的性质4.二次函数图象的平移一般地，平移二次函数y＝ax2的图象可得到二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象．[注意] 抓住顶点坐标的变化，熟记平移规律，左加右减，上加下减．（二）题型、方法归纳类型一二次函数的定义应用例1 已知抛物线y＝(m＋1)xm2＋m的开口向下，求m的值．[解析] 本题容易考虑不全面，只考虑m＋1＜0，而忽略抛物线是二次函数的图象，自变量x的次数为2.由抛物线开口向下得m＋1＜0且m2＋m＝2，即m＝－2.解：根据题意，得解得m＝－2.解答这类问题要明确两点：(1)函数图象是抛物线，所以是二次函数；(2)抛物线的开口只与二次项系数有关．类型二二次函数图象的平移例2 如果将抛物线y＝x2＋bx＋c沿直角平面坐标向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线y＝x2－2x＋1，则b＝________，c＝________.[解析] ∵y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，y＝x2＋bx＋c＝2＋，又抛物线y＝(x－1)2是y＝2＋向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到的，故y＝2＋可看作是y＝(x－1)2向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到的．∴y＝2＋＝(x－1－2)2－3，即y＝x2＋bx＋c＝x2－6x＋9－3＝x2－6x＋6，∴b＝－6，c＝6.在平移的过程中，抛物线的形状始终保持不变，而抛物线的形状只与二次项系数有关，所以要求平移后(或前)抛物线的表达式，只需求出平移后的抛物线的顶点坐标即可．解这一类题目，需将一般表达式化为顶点式，抓住顶点位置的改变，根据平移规律进行解答．类型三 二次函数与一次函数的综合应用例3 已知矩形ABCD中，AB ＝2，AD ＝4，以AB 的垂直平分线为x 轴，AB 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图X2－1)．(1)写出A ，B ，C ，D 及AD 的中点E 的坐标；(2)求以E 为顶点、对称轴平行于y 轴，并且经过点B ，C 的抛物线的表达式；(3)求对角线BD 与上述抛物线除点B 以外的另一交点P 的坐标；(4)△PEB 的面积与△PBC 的面积具有怎样的关系？证明你的结论．[解析] 利用矩形的性质可以得到A ，B ，C ，D 及AD 的中点E 的坐标，然后利用顶点式求出抛物线的表达式．解：(1)A(0,1)，B(0，－1)，C(4，－1)，D(4,1)，E(2,1)．(2)设抛物线的表达式为：y ＝a(x －2)2＋1，∵抛物线经过点B(0，－1)，∴a(0－2)2＋1＝－1，解得a ＝－.∴抛物线的表达式为：y ＝－ (x －2)2＋1.经验证，抛物线y ＝－(x －2)2＋1经过点C(4，－1)．(3)直线BD 的表达式为：y ＝x －1，解方程组 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝12. ∴点P 的坐标为.(4)S △PEB ＝S △PBC .S △PBC ＝×4×＝3.过P ，E 分别作PP ′⊥BC ，EE ′⊥BC ，垂足分别为P ′，E ′，S △PEB ＝×2×2＋××1－×3×＝，∴S △PEB ＝S △PBC.类型四 二次函数的图象和性质的应用例4 已知抛物线y ＝ax2＋bx ＋c(a ＜0)过A(－2,0)，O(0,0)，B(－3，y1)，C(3，y2)四点，则y1与y2的大小关系是( )A ．y1＞y2B ．y1＝y2C ．y1＜y2D ．不能确定[解析] A 结合图形，找到A 、O 、B 、C 四个点的大致位置，容易看出y1与y2的大小关系．解决此类问题的关键是求出抛物线的对称轴，由a 的正负性就可以知道抛物线的增减性，可以结合图形进行判别．如果所给的点没有在对称轴的同一侧，可以利用抛物线的对称性，找到这个点的对称点，然后根据增减性再作判断．类型五 求二次函数的表达式例5 已知二次函数y ＝－x2＋bx ＋c 的图象如图X2－2所示，它与x 轴的一个交点坐标为(－1,0)，与y 轴的交点坐标为(0,3)．(1)求出b ，c 的值，并写出此二次函数的表达式；(2)根据图象，写出函数值y 为正数时，自变量x 的取值范围．[解析] 由于二次函数经过具体的两个点，可以把这两个点的坐标代入即可求出表达式，然后根据图象求出自变量x 的取值范围．解：(1)把(－1,0)，(0,3)分别代入y ＝－x2＋bx ＋c ，得解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝2，c ＝3.所以y ＝－x2＋2x ＋3.(2)令y ＝0，得－x2＋2x ＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，所以，由图象可知，函数值y 为正数时，自变量x 的取值范围是－1＜x ＜3.求二次函数的表达式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的表达式：(1)若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式y ＝ax2＋bx ＋c ；(2)若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式y ＝a(x －h)2＋k ；(3)若给出抛物线与x 轴的交点，或对称轴和对称轴与x 轴的交点距离，通常可设交点式y ＝a(x－x1)(x －x2)．（三）典例精讲例6 如图，已知二次函数y ＝ax2－4x ＋c 的图象与坐标轴交于点A(－1,0)和点B(0，－5)．(1)求该二次函数的表达式；(2)已知该函数图象的对称轴上存在一点P ，使得△ABP 的周长最小．请求出点P 的坐标．[解析] 把点A(－1,0)和点B(0，－5)代入表达式即可求出a 和c 的值，△ABP 的周长中的边长AB 是确定的，只要求出PA 与PB 的和最小即可，因此要把PA 和PB 转化到一条线上，在此还要利用抛物线的对称性．解：(1)根据题意，得错误!解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，c ＝－5.∴二次函数的表达式为y ＝x2－4x －5.(2)令y ＝0，得二次函数y ＝x2－4x －5的图象与x 轴的另一个交点坐标C(5,0)．由于P 是对称轴x ＝2上一点，连接AB(如图X2－4)，由于AB ＝＝，要使△ABP 的周长最小，只要PA ＋PB 最小．由于点A 与点C 关于对称轴x ＝2对称，连接BC 交对称轴于点P ，则PA ＋PB ＝BP ＋PC ＝BC ，根据两点之间，线段最短，可得PA ＋PB 的最小值为BC.因而BC 与对称轴x ＝2的交点P 就是所求的点．设直线BC 的表达式为y ＝kx ＋b ，根据题意，可得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－5，0＝5k ＋b. 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝－5.所以直线BC 的表达式为y ＝x －5.因此直线BC 与对称轴x ＝2的交点坐标是方程组的解，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－3.所求点P 的坐标为(2，－3)．（四）归纳小结说一说：通过二次函数的学习，你应该学什么？你学会了什么？1、理解二次函数的概念；2、会用描点法画出二次函数的图象；3、会用配方法和公式确定抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标；4、会用待定系数法求二次函数的解析式；（五）随堂检测1.二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的图象如图所示，则一次函数y ＝bx ＋a 的图象不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 中，函数y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所示：点A(x1，y1)、B(x2，y2)在函数的图象上，则当1<x1<2,3<x2<4时，y1与y2的大小关系正确的是( )A ．y1>y2B ．y1<y2C ．y1≥y2D ．y1≤y23．已知二次函数y ＝－x2＋x －，当自变量x 取m 时，对应的函数值大于0，当自变量x 分别取m －1，m ＋1时对应的函数值为y1、y2，则y1，y2满足( )A ．y1>0，y2>0B ．y1<0，y2<0C．y1<0，y2>0D．y1>0，y2<04．抛物线y＝x2＋bx＋c的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的表达式为y＝x2－2x－3，则b、c的值为( )A．b＝2，c＝2 B．b＝2，c＝0C．b＝－2，c＝－1 D．b＝－3，c＝25．坐标平面上，若移动二次函数y＝2(x－175)·(x－176)＋6的图形，使其与x轴交于两点，且此两点的距离为1单位，则移动方式可为( ) A．向上移动3单位 B．向下移动3单位C．向上移动6单位 D．向下移动6单位6．将抛物线y＝x2－2x向上平移3个单位，再向右平移4个单位等到的抛物线是___________________________________．7.如图为抛物线y＝ax2＋bx＋c的图像，A、B、C为抛物线与坐标轴的交点，且OA＝OC＝1，则下列关系中正确的是( )A．a＋b＝－1 B．a－b＝－1 C．b<2a D．ac<08.如图所示，若正方形的棱长不变，CM＝DM，NH＝EH，MN与CH的延长线交于P点，则tan∠NPH的值为________．9.将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B(－3,0)．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当△APE的面积最大时，求点P的坐标．【答案】1.D2.B3.B4.B5.D6.y ＝(x －5)2＋2或y ＝x2－10x ＋277.B 8.9. 解：(1)由题意知：A(0,6)，C(6,0)，设经过点A 、B 、C 的抛物线解析式为y ＝ax2＋bx ＋c ，则解得：⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－13，b ＝1，c ＝6，∴该抛物线的解析式为y ＝－x2＋x ＋6.(2)如图，设点P(x,0)，∵PE ∥AB ，∴△CPE ∽△CBA.∴＝2.又∵S △ABC ＝BC×O A ＝27，∴＝2.∴S △CPE ＝＝x2－4x ＋12.S △ABP ＝BP×O A ＝3x ＋9.设△APE 的面积为S ，则S ＝S △ABC －S △ABP －S △CPE ＝－x2＋x ＋6＝－2＋.当x ＝时，S 最大值为.点P 的坐标为.五、板书设计二次函数（1）1、理解二次函数的概念；2、会用描点法画出二次函数的图象；3、会用配方法和公式确定抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标；4、会用待定系数法求二次函数的解析式；类型讲解：典例精析：六、作业布置单元检测试题（一）七、教学反思。
