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八年级数学相似多边形的性质（一）●教学目标（一）教学知识点相似三角形对应高的比，对应角平分线的比和对应中线的比与相似比的关系.（二）能力训练要求1.经历探索相似三角形中对应线段比值与相似比的关系的过程，理解相似多边形的性质.2.利用相似三角形的性质解决一些实际问题.（三）情感与价值观要求1.通过探索相似三角形中对应线段的比与相似比的关系，培养学生的探索精神和合作意识.2.通过运用相似三角形的性质，增强学生的应用意识.●教学重点1.相似三角形中对应线段比值的推导.2.运用相似三角形的性质解决实际问题.●教学难点相似三角形的性质的运用.●教学方法引导启发式●教具准备投影片两X第一X：（记作§4.8.1 A）第二X：（记作§4.8.1 B）●教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课［师］在前面我们学习了相似多边形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，相似三角形是相似多边形中的一种，因此三对对应角相等，三对对应边成比例.那么，在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对应边成比例这个性质呢？本节课我们将进行研究相似三角形的其他性质.Ⅱ.新课讲解投影片（§4.8.1 A）（4）D C CD ''等于多少？你是怎么做的？与同伴交流.图4－38［生］解：（1）B A AB ''=C B BC ''=C A AC ''=43 （2）△ABC ∽△A ′B ′C ′ ∵B A AB ''=C B BC ''=C A AC '' ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′，且相似比为3∶4.（3）△BCD ∽△B ′C ′D ′.（△ADC ∽△A ′D ′C ′）∵由△ABC ∽△A ′B ′C ′得∠B =∠B ′∵∠BCD =∠B ′C ′D ′∴△BCD ∽△B ′C ′D ′（同理△ADC ∽△A ′D ′C ′） （4）D C CD ''=43 ∵△BDC ∽△B ′D ′C ′∴D C CD ''=C B BC ''=43已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为k .（1）如果CD 和C ′D ′是它们的对应高，那么DC CD ''等于多少？ （2）如果CD 和C ′D ′是它们的对应角平分线,那么D C CD ''等于多少？如果CD 和C ′D ′是它们的对应中线呢？［师］请大家互相交流后写出过程.［生甲］从刚才的做一做中可知，若△ABC ∽△A ′B ′C ′，CD 、C ′D ′是它们的对应高，那么D C ''=CB ''=k . ［生乙］如4－39图，△ABC ∽△A ′B ′C ′，CD 、C ′D ′分别是它们的对应角平分线，那么D C CD ''=C A AC ''=k .图4－39∵△ABC ∽△A ′B ′C ′∴∠A =∠A ′,∠ACB =∠A ′C ′B ′∵CD 、C ′D ′分别是∠ACB 、∠A ′C ′B ′的角平分线.∴∠ACD =∠A ′C ′D ′∴△ACD ∽△A ′C ′D ′∴D C CD ''=CA AC ''=k . ［生丙］如图4－40中，CD 、C ′D ′分别是它们的对应中线，则D C CD ''=C A AC ''=k .图4－40∵△ABC ∽△A ′B ′C ′∴∠A =∠A ′，C A AC ''=B A AB ''=k . ∵CD 、C ′D ′分别是中线 ∴D A AD ''=B A AB ''2121=B A AB ''=k . ∴△ACD ∽△A ′C ′D ′∴D C ''=CA ''=k . 由此可知相似三角形还有以下性质.相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比.投影片（§4.8.1 B ）图4－41如图4－41所示，在等腰三角形ABC 中，底边BC =60 cm,高AD =40 cm ，四边形PQRS 是正方形.（1）△ASR 与△ABC 相似吗？为什么？（2）求正方形PQRS 的边长.解：（1）△ASR ∽△ABC ，理由是：四边形PQRS 是正方形SR ∥BC（2）由（1）可知△ASR ∽△AB C.根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得BCSR AD AE = 设正方形PQRS 的边长为x cm ，则AE =（40－x ）cm ，所以604040x x =- 解得：x =24所以，正方形PQRS 的边长为24 cm.Ⅲ.课堂练习如果两个相似三角形对应高的比为4∶5,那么这两个相似三角形的相似比是多少？对应中线的比，对应角平分线的比呢？（都是4∶5）.Ⅳ.课时小结本节课主要根据相似三角形的性质和判定推导出了相似三角形的性质：相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比. Ⅴ.课后作业 习题4.10. 1.解：∵△ABC ∽△A ′B ′C ′,BD 和B ′D ′是它们的对应中线，且C A AC ''=23. ∴D B BD ''=C A AC ''=23 ∴234=BD ∴BD =6 2.解：∵△ABC ∽△A ′B ′C ′,AD 和A ′D ′是它们的对应角平分线，且AD =8 cm, A ′D ′=3 cm. ∴D A AD ''=B A AB '', 设△ABC 与△A ′B ′C ′对应高为h 1,h 2.∴B A AB ''=21h h ∴21h h =D B A ABD '''=38. Ⅵ.活动与探索图4－42如图4－42，AD ，A ′D ′分别是△ABC 和△A ′B ′C ′的角平分线，且B A AB ''=D B BD ''=D A AD '' 你认为△ABC ∽△A ′B ′C ′吗？解：△ABC ∽△A ′B ′C ′成立.∵B A AB ''=D B BD ''=D A AD '' ∴△ABD ∽△A ′B ′D ′∴∠B =∠B ′,∠BAD =∠B ′A ′D ′ ∵∠BAC =2∠BAD ,∠B ′A ′C ′=2∠B ′A ′D ′∴∠BAC =∠B ′A ′C ′∴△ABC ∽△A ′B ′C ′●板书设计§4.8.1 相似多边形的性质（一）二、课堂练习三、课时小节四、课后作业●备课资料如图4－43，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高.图4－43（1）则图中有几对相似三角形.（2）若AD =9 cm,CD =6 cm,求BD .（3）若AB =25 cm,BC =15 cm,求BD . 解：（1）∵CD ⊥AB∴∠ADC =∠BDC =∠ACB =90°在△ADC 和 △ACB 中∠ADC =∠ACB =90°∠A =∠A∴△ADC ∽△ACB同理可知，△CDB ∽△ACB∴△ADC ∽△CDB所以图中有三对相似三角形.（2）∵△ACD ∽△CBD∴BDCD CD AD即BD669= ∴BD =4 （cm ）（3）∵△CBD ∽△ABC ∴BC BD BA BC =. ∴152515BD =∴BD =251515⨯=9 （cm ）.。
专题4.1 多边形【学习目标】1.理解多边形及有关概念，理解正多边形的概念．掌握多边形的几大特点．2.了解凸多边形与凹多边形的联系与区别．3.掌握多边形内角和与边数的关系，能正确计算多边形的内角和．4.探究多边形对角线的数量与边数的关系．【知识要点】知识点一、多边形的概念1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．2．相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角．外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．3. 多边形的分类：画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：特别说明：（1）正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；（2）过n 边形的一个顶点可以引（n -3）条对角线，n 边形对角线的条数为(3)2n n -；（3）过n 边形的一个顶点的对角线可以把n 边形分成（n -2）个三角形．知识点二、多边形内角和n 边形的内角和为（n -2）·180°（n ≥3）．特别说明：（1）内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；（2）正多边形的每个内角都相等，都等于(2)180n n - °；知识点三、多边形的外角和多边形的外角和为360°．特别说明：（1）在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n 边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；（2）正n 边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于360n ︒；（3）多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．【典型例题】类型一、多边形的概念1. 如图，在六边形ABCDEF 中，从顶点A 出发，可以画几条对角线？它们将六边形ABCDEF 分成哪几个三角形?举一反三：【变式】2. 过正十二边形的一个顶点有______条对角线，一个正十二边形共有______条对角线类型二、多边形内角和定理3. 证明：n 边形的内角和为(n -2)·180°(n ≥3)．4. 如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2520°的新多边形，求原多边形的边数．类型三、多边形的外角和5. 如图所示，小华从A 点出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A 点时，一共走的路程是_____举一反三：【变式1】6. 如图，一辆小汽车从P 市出发，先到B 市，再到C 市，再到A 市，最后返回P 市，这辆小汽车共转了多少度角？一、单选题7. 小明同学用一些完全相同的ABC 纸片，已知六个ABC 纸片按照图1所示的方法拼接可得外轮廓是正六边形图案，若用n 个ABC 纸片按图2所示的方法拼接，那么可以得到外轮廓的图案是（ ）A. 正十二边形B. 正十边形C. 正九边形D. 正八边形8. 如图，在探究过多边形的一个顶点引出的对角线把多边形分成三角形的个数时，画出的图形如下：根据图形可知，过n 边形的一个顶点引出的对角线，把n 边形分成的三角形的个数是（ ）A. ()3n -个B. ()2n -个C. ()1n -个D. ()1n +个9. 一个正多边形的每个内角都等于135︒，那么它是（ ）A. 正六边形B. 正八边形C. 正十边形D. 正十二边形10. 一个正多边形的一个外角为30︒，则这个正多边形的边数为（ ）A. 9B. 10C. 12D. 1411. 在现实生活中，铺地最常见的是用正方形地板砖，某小区广场准备用多种地板砖组合铺设，则能够选择的组合是（ ）A. 正六边形，正八边形B. 正方形，正七边形C. 正五边形，正六边形D. 正三角形，正方形12. 如图，五边形ABCDE 是正五边形，若12l l ，则12∠-∠的值为（ ）A. 180°B. 108°C. 90°D. 72°13. 一幅图案，在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成．其中的两个分别是正方形和正六边形，则第三个正多边形的边数是（ ）A. 3B. 5C. 8D. 1214. 如图，在正五边形ABCDE 中，点F 是CD 的中点，点G 在线段AF 上运动，连接EG ，DG ，当DEG △的周长最小时，则EGD ∠=（ ）A. 36°B. 60°C. 72°D. 108°15. 一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（ ）A. 10或11B. 11或12或13C. 11或12D. 10或11或1216. 小明在计算一个多边形的内角和时，漏掉了一个内角，结果得 1000°，则这个多边形是( )A. 六边形B. 七边形C. 八边形D. 十边形17. 将一个多边形切去一个角后所得的多边形内角和为2880°．则原多边形的边数为（ ）．A. 15或16B. 15或16或17C. 16或17或18D. 17或18或1918. 一张正方形的纸片，如图进行两次对折，折成一个正方形，从右下角的顶点，沿斜虚线剪去一个角剪下的实际是四个小三角形，再把余下的部分展开，展开后的这个图形的内角和是（ ）度．A. 1080︒B. 360︒C. 180︒D. 900︒二、填空题19. 边数为2017的多边形的外角和为_____．20. 如图所示，将正六边形与正五边形按此方式摆放，正六边形与正五边形的公共顶点为O ，且正六边形的边AB 与正五边形的边DE 在同一条直线上，则∠COF 的度数为______．21. 如图，在等边△ABC 中，点D 为BC 边上的点，DE ⊥BC 交AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，则∠EDF 的度数为______．22. 八边形的内角和是_________，若一个凸多边形的内角和是4320°，那么这个多边形的边数是________．23. 如图，点D 、E 、F 为△ABC 三边上的点，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=______．24. 点P ，P '分别为在正六边形ABCDEF 内，外一点，且PA =4PB P B ='=，2P A '=，P BA ∠'=PBC ∠，则BPC ∠的度数为____________．25. 如图，A 、B 、C 均为一个正十边形的顶点，则∠ACB=_____°．26. 若n 边形内角和为1260°，则这个n 边形的对角线共有__________．三、解答题27. 已知n 边形的对角线共有(3)2n n - 条（n 是不小于3的整数）；（1）五边形的对角线共有 条；（2）若n 边形的对角线共有35条，求边数n ；（3）若n 边形的边数增加1，对角线总数增加9，求边数n ．28. 按要求回答下列各小题．（1）若一个n 边形的内角和的13比一个四边形的内角和多360°，求n 的值；（2）一个正多边形的所有内角与它的所有外角之和是1620°，求该正多边形的边数及一个外角的度数．29. 探究归纳题：（1）试验分析：如图1，经过一个顶点（如点A ）可以作___________条对角线，它把四边形ABCD 分为___________个三角形；（2）拓展延伸：运用（1）的分析方法，可得：图2过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为___________个三角形；图3过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为___________个三角形；（3）探索归纳：对于n 边形()3n >，过一个顶点的所有对角线把这个n 边形分为___________个三角形．（用含n 的式子表示）（4）特例验证：过一个顶点的所有对角线可把十边形分为___________个三角形．30. 已知n 边形的内角和θ=（n-2）×180°．（1）甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n.若不对，说明理由；（2）若n 边形变为（n+x ）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x ．31. （1）若多边形的内角和为2340°，求此多边形的边数．（2）一个多边形的每个外角都相等，如果它的内角与外角的度数之比为13：2，求这个多边形的边数．32. 在△ABC 中，A α∠=（60α<︒），点E ，F 分别为AC 和AB 上的动点，BE 与CF 相交于G 点，且BE ＋EF ＋CF 的值最小．如图1，若AB ＝AC ，40α=︒，则∠ABE 的大小是______；如图2，∠BGC 的大小是______（用含α的式子表示）．33. 请按照研究问题的步骤依次完成任务．【问题背景】（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明∠A+∠B=∠C+∠D．【简单应用】（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC=20°，∠ADC=26°，求∠P的度数（可直接使用问题（1）中的结论）【问题探究】（3）如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，猜想∠P的度数为；【拓展延伸】（4）在图4中，若设∠C=x，∠B=y，∠CAP=13∠CAB，∠CDP=13∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为（用x、y表示∠P）；（5）在图5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、D的关系，直接写出结论．专题4.1 多边形【学习目标】1.理解多边形及有关概念，理解正多边形的概念．掌握多边形的几大特点．2.了解凸多边形与凹多边形的联系与区别．3.掌握多边形内角和与边数的关系，能正确计算多边形的内角和．4.探究多边形对角线的数量与边数的关系．【知识要点】知识点一、多边形的概念1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．2．相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成角叫多边形的内角，一个n 边形有n 个内角．外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．对角线：连接多边形不相邻两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．3. 多边形的分类：画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：特别说明：（1）正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；的的（2）过n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，n边形对角线的条数为(3)2n n-；（3）过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成（n-2）个三角形．知识点二、多边形内角和n边形的内角和为（n-2）·180°（n≥3）．特别说明：（1）内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；（2）正多边形的每个内角都相等，都等于(2)180nn- °；知识点三、多边形的外角和多边形的外角和为360°．特别说明：（1）在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；（2）正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于360n︒；（3）多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．【典型例题】类型一、多边形的概念【1题答案】【答案】三条，分成的三角形分别是：△ABC、△ACD、△ADE、△AEF【解析】【分析】从一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n−3，分成的三角形数是n−2．【详解】解：如图，P从顶点A出发，可以画三条对角线，它们将六边形ABCDEF 分成的三角形分别是：△ABC、△ACD、△ADE、△AEF．【点睛】此题考查多边形的对角线及分割成三角形个数的问题，解答此类题目可以直接记忆：一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n−3，分成的三角形数是n−2．举一反三：【变式】【2题答案】【答案】①. 9 ②. 54【解析】【分析】从正十二边形的一个顶点与不相邻的顶点的连线得出一个顶点的对角线，由n边形的对角线条数公式：(3)2n n-，即可得出答案．【详解】 正十二边形的一个顶点有9个不相邻的顶点，∴过正十二边形的一个顶点有9条对角线，一个正十二边形的对角线共有：12(123)542⨯-=（条）．故答案为：9，54．【点睛】本题考查正多边形的对角线，掌握对角线的概念及公式是解决本题的关键．类型二、多边形内角和定理【3题答案】【答案】见解析【解析】【分析】在n边形内任取一点O，连接O与各顶点的线段把n边形分成了n个三角形，然后利用n个三角形的面积减去以O为公共顶点的n个角的和，即可求证．【详解】已知：n边形A1A2……A n，求证：()21123112180n n n A A A A A A A A A n -∠+∠++∠=-⋅︒ ，证明：如图，在n 边形内任取一点O ，连接O 与各顶点的线段把n 边形分成了n 个三角形，∵n 个三角形内角和为n ·180°，以O 为公共顶点的n 个角的和360°(即一个周角)，∴n 边形内角和为()18036018021802180n n n ⋅︒-︒=⋅︒-⨯︒=-⋅︒ ．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，做适当辅助线，得到n 边形的内角和等于n 个三角形的面积减去以O 为公共顶点的n 个角的和是解题的关键．【4题答案】【答案】15【解析】【分析】根据多边形内角和公式，可得新多边形的边数，根据新多边形比原多边形多1条边，可得答案．【详解】设新多边形是n 边形，由多边形内角和公式得：180(2)2520n ︒⨯-=︒，解得：16n =，则原多边形的边数是：16115-=．∴原多边形的边数是15．【点睛】本题主要考查了多边形内角与外角，解决本题的关键是要熟练掌握多边形的内角和公式．类型三、多边形的外角和【5题答案】【答案】150米##150m 【解析】【分析】由题意可知小华所走的路线为一个正多边形，根据多边形的外角和即可求出答案．【详解】解：∵360°÷24°=15，∴他需要走15次才会回到原来的起点，即一共走了15×10=150（米）．故答案为150米．【点睛】本题考查了多边形的外角和定理的应用,，熟练掌握任何一个多边形的外角和都是360°是解答本题的关键．举一反三：【变式1】【6题答案】【答案】360°【解析】【分析】分别记,,B C A ∠∠∠的外角为,,αβγ，用αβγ++即可得出答案．【详解】如图，当小汽车从P 出发行驶到B 市，由B 市向C 市行驶时转的角是α，由C 市向A 市行驶时转的角是β，由A 市向P 市行驶时转的角是γ．∴小汽车从P 市出发，经B 市、C 市、A 市，又回到P 市，共转360αβγ++=︒．【点睛】本题考查外角和定理的应用，掌握多边形的外角和为360︒是解题的关键．一、单选题【7题答案】【答案】C【解析】【分析】根据第一个图外轮廓是正六边形图案可求得ABC 纸片的ACB ∠为40︒，则60CAB ∠=︒，新多边形的一个内角为140︒，因为是正多边形，利用正多边形的内角和公式即可求解．【详解】解：正六边形的每个内角为：()1621801206⨯-⨯︒=︒，80ABC ∠=︒ ，1208040ACB ∴∠=︒-︒=︒，18060CAB ABC ACB ∴∠=︒-∠-∠=︒，由题意可知，新的图案是一个正多边形，∴新多边形的一个内角为140ABC CAB ∠+∠=︒，设新多边形的边数为n ，()2180140n n -⨯︒=︒，解得9n =．故选：C ．【点睛】本题考查了三角形内角和为180︒，正多边形的内角公式，多边形内角和公式，理解题意求出正多边形的一个内角是解题的关键．【8题答案】【答案】B【解析】【分析】观察图形，找出规律，列出代数式即可．【详解】解：观察图形可得：第1个图，过四边形的一个顶点引出1条对角线，把四边形分成了2个三角形；第2个图，过五边形的一个顶点引出2条对角线，把四边形分成了3个三角形；第3个图，过六边形的一个顶点引出3条对角线，把四边形分成了4个三角形；……第()3n -个图，过n 边形的一个顶点引出()3n -条对角线，把n 边形分成()2n -个三角形；故选：B ．【点睛】本题考查了找规律-图形变化类，仔细观察图形，找到变化规律是解题的关键．【9题答案】【答案】B【解析】【分析】由条件可求得多边形的外角，由外角和为360°可求得其边数．【详解】解：∵一个正多边形的每个内角都等于135°，∴多边形的每个外角都等于45°，∴多边形的边数=36045︒︒=8，故选：B．【点睛】本题主要考查多边形的内角和外角，由条件求得外角的度数是解题的关键，注意多边形的外角和为360°．【10题答案】【答案】C【解析】【分析】根据多边形的外角和为360°，即可求解．【详解】解：∵多边形的外角和为360°，∴该多边形的边数为3603012÷=，故选：C．【点睛】本题考查多边形的外角和，掌握多边形的外角和为360°是解题的关键．【11题答案】【答案】D【解析】【分析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案．【详解】解：∵正三角形的每个内角60°，正方形的每个内角是90°，正五边形的每个内角是108°，正六边形的每个内角是120°，正七边形的每个内角是180590077︒⨯⎛⎫=︒⎪⎝⎭正八边形每个内角是180°-360°÷8=135°，∴能够组合是正三角形，正方形，故选：D ．【点睛】本题考查平面镶嵌，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．【12题答案】【答案】D【解析】【分析】如图（见解析），先根据平行线的性质可得2ABF ∠=∠，1180CBF ∠+∠=︒，再根据角的和差可得12180ABC ∠-∠=︒∠-，然后根据正五边形的性质求出ABC ∠的度数即可得．【详解】如图，过点B 作1//BF l 2ABF ∴∠=∠12//l l 2//BF l ∴1180CBF ∴∠+∠=︒，即1180CBF∠=︒-∠12180180()180CBF A ABC BF CBF ABF ∴∠-∠=︒-∠-∠=︒-∠︒-∠+∠= 五边形ABCDE 是正五边形180(52)1085ABC ︒⨯-=∴∠=︒1218010872180ABC ∴∠-∠=∠=︒︒-=︒-︒故选：D ．【点睛】本题考查了平行线的性质、正五边形的内角和等知识点，通过作辅助线，利用到平行线的性质是解题关键．【13题答案】【答案】D【解析】【分析】找到一个顶点处三种图形的内角度数加起来是360°的正多边形即可．【详解】解：正方形的一个内角度数为360°÷4=90°，正六边形的一个内角度数为180°−360°÷6=120°，∴一个顶点处取一个角度数为90°+120°=210°，∴需要的多边形的一个内角度数为360°−210°=150°，∴需要的多边形的一个外角度数为180°−150°=30°，∴第三个正多边形的边数为360°÷30°=12．故选D ．【点睛】此题考查了平面镶嵌，多边形内角和与外角和的计算，熟练掌握多边形内角和计算公式及外角和定义是解题的关键．【14题答案】【答案】C【解析】【分析】如图，连接EC ，GC ，设EC 交AF 于点G ′，连接DG ′．证明当点G 与G ′重合时， EG +DG 的值最小，DEG △的周长最小，即求出EGD 可得结论．【详解】解：如图，连接EC ，GC ，设EC 交AF 于点G ′，连接DG ′．∵正五边形ABCDE 中，点F 是DC 的中点，AF ⊥D C ，∴D ，C 关于AF 对称，∴GD =GC ，∵EG +GD =EG +GC ≥EC ，∴当点G 与G ′重合时，EG +DG 的值最小，△DEG 的周长最小，∵ABCDE是正五边形，∴ED=DC，∠EDC=108°，∴∠DEC=∠DCE=36°，∵G′D=G′C，∴∠G′DC=∠DCG′=36°，∴∠D G′C=108°，∴∠EG′D=180°-∠DG′C=180°-108°=72°．故选：C．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，轴对称-最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．【15题答案】【答案】D【解析】【分析】首先求出截角后的多边形边数，然后再根据切去的位置求原来的多边形边数．【详解】解：设截角后的多边形边数为n，则有：（n-2）×180°=1620°，解得：n=11，如图1，从角两边的线段中间部分切去一个角后，在原边数基础上增加一条边，为12边形；如图2，从角的一边中间部分，另一边与另一顶点连结点处截取一个角，边数不增也不减，是11边形；；如图3，从另外两个顶点处切去一个角，边数减少1为10边形∴可得原来多边形的边数为10或11或12：故选D．【点睛】本题考查多边形的综合运用，熟练掌握多边形的内角和定理及多边形的剪拼是解题关键．【16题答案】【答案】C【解析】【分析】根据n边形的内角和是（n-2）•180°，少计算了一个内角，结果得1000度．则内角和是（n-2）•180°与1000°的差一定小于180度，并且大于0度．因而可以解方程（n-2）•180°>1000°，多边形的边数n一定是最小的整数值即可，【详解】解：设多边形的边数是n．依题意有（n-2）•180°>1000°，解得：n>759，则多边形的边数n=8；故选C.【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理，正确确定多边形的边数是解题的关键．【17题答案】【答案】D【解析】【分析】因为一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，根据多边形的内角和即可解决问题．【详解】解：多边形的内角和可以表示成（n-2）•180°（n≥3且n是整数），一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，根据题意得（n-2）•180°=2880°，解得：n=18，则多边形的边数是17，18，19．故选：D．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理，本题容易出现的错误是：认为截取一个角后角的个数减少1．【答案】A【解析】【分析】根据题意可得展开图的这个图形是八边形，进而求出内角和．【详解】解：展开图的这个图形是八边形，故内角和为：()821801080-⨯= ．故选：A ．【点睛】此题主要考查了剪纸问题以及多边形的内角和的知识，正确判断出展开图是八边形是解题关键．二、填空题【19题答案】【答案】360°【解析】【分析】根据多边形的外角和为360°即可得出答案.【详解】多边形的外角和为360°，所以边数为2017的多边形的外角和为360°.故答案为360°.【点睛】本题考查的知识点是多边形内角和与外角和，解题的关键是熟练的掌握多边形内角和与外角和.【20题答案】【答案】84°【解析】【分析】利用正多边形的性质求出∠EOF ，∠BOC ，∠BOE 即可解决问题．【详解】解：由题意得：∠EOF ＝108°，∠BOC ＝120°，∠OEB ＝72°，∠OBE ＝60°，∴∠BOE ＝180°﹣72°﹣60°＝48°，∴∠COF ＝360°﹣108°﹣48°﹣120°＝84°，故答案为：84°．【点睛】本题考查正多边形，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．【答案】60°##60度【解析】【分析】先根据等边三角形的性质得出∠A＝∠B＝60°，再由DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC于F得出∠BDE＝∠AFD＝90°，根据三角形外角的性质求出∠AED 的度数，由四边形内角和定理即可得出结论．【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°．∵DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC于F，∴∠BDE＝∠AFD＝90°．∵∠AED是△BDE的外角，∴∠AED＝∠B+∠BDE＝60°+90°＝150°，∴∠EDF＝360°﹣∠A﹣∠AED﹣∠AFD＝360°﹣60°﹣150°﹣90°＝60°．故答案为：60°．【点睛】本题考查的是等边三角形，三角形内角和定理及直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．【22题答案】【答案】①. 1080°；②. 26；【解析】【分析】根据多边形的内角和公式（n-2）•180°进行计算即可得解；根据多边形的内角和公式易求解．【详解】（8-2）•180°=6×180°=1080°．根据多边形的内角和公式（n-2）•180°=4320°，解得n=26．故答案为：1080°；26；【点睛】此题考查多边形内角和公式，多边形的内角和，解题关键在于掌握运算公式.【23题答案】【答案】360°【解析】【分析】利用三角形的内角和外角的关系，将∠2、∠3和∠1、∠6转化到四边形AGHE内，再利用四边形的内角定理解答．【详解】∵∠7=∠2+∠3，∠8=∠1+∠6，又∵∠4+∠5+∠7+∠8=360°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°．故答案为：360︒【点睛】解答此题的关键是通过三角形内角和外角的关系将各角转化到四边形内解决．【24题答案】【答案】120︒【解析】【分析】首先连接'P P ，过点B 作'BH P P ⊥于点H ，由正六边形的性质，可知每个内角为120︒，每条边相等，进而得出结论．【详解】如图，连接'P P ，过点B 作'BH P P ⊥于点H ，∵六边形ABCDEF 为正六边行，∴()18062120ABC ∠=︒⨯-÷=︒，BA BC =，∵'P BA PBC ∠=∠，∴''120P BP P BA ABP PBC ABP ABC =∠+∠=∠+∠=∠=︒，∵'PB P B =，∴'P BP 为顶角为120︒的等腰三角形，∴()1''180'302BP P BPP P BP ∠=∠=⨯︒-∠=︒，∵'BH P P ⊥，∴'HP HP =，在Rt BHP 中，90,'30BHP BPP ∠=︒∠=︒，则122BH PB ==，PH ===∴'HP HP ==，∴''P P HP HP =+=，在'AP P中，有(2222''252P A P P +=+=，(2252PA ==，222''P A P P PA +=，则'AP P 为直角三角形，且'90AP P ∠=︒，∴'''120AP B AP P BP P ∠=∠+∠=︒，在BPC 与'BP A 中，''PB P B PBC P BA BC BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴'BPC BP A ≅ （SAS ），∴'120BPC BP A ∠=∠=︒，故答案为：120︒．【点睛】本题主要考查了正六边形的性质，勾股定理，正确掌握做题的方法是解题的关键．【25题答案】【答案】18【解析】【分析】根据正多边形外角和和内角和的性质，得DAE ∠、144BAE E F ∠=∠=∠=︒；根据四边形内角和的性质，计算得EAC ∠；根据五边形内角和的性质，计算得ABC ∠，再根据三角形外角的性质计算，即可得到答案．【详解】如图，延长BA∵正十边形∴3603610DAE ︒∠==︒，正十边形内角()102180=14410-⨯︒=︒，即144BAE E F ∠=∠=∠=︒根据题意，得四边形ACFE 内角和为：360︒，且EAC FCA ∠=∠∴360362E F EAC FCA ︒-∠-∠∠=∠==︒∴72DAC DAE EAC ∠=∠+∠=︒根据题意，得五边形ABCFE 内角和为：()52180540=-⨯︒=︒，且ABC FCB∠=∠∴540542BAE E F ABC FCB ︒-∠-∠-∠∠=∠==︒∴725418ACB DAC ABC ∠=∠-∠=︒-︒=︒故答案为：18．【点睛】本题考查了正多边形、三角形外角的知识；解题的关键是熟练掌握正多边形外角和、正多边形内角和的性质，从而完成求解．【26题答案】【答案】27条【解析】【分析】首先根据多边形内角和公式可得多边形的边数，再计算出对角线的条数．【详解】由题意得：（n-2）×180=1260，解得：n=9，从这个多边形的对角线条数：962⨯=27，故答案为27条．【点睛】此题主要考查了多边形的内角和计算公式求多边形的边数，关键是掌握多边形的内角和公式180（n-2）．三、解答题【27题答案】【答案】（1）5；（2）10； （3）10.【解析】【详解】试题分析：（1）把n =5代入32n n -（）即可求得五边形的对角线的条数；（2）根据题意得32n n -（）=35求得n 值即可；（3）1132n n ++-（）（）﹣32n n -（）=9，求得n 的值即可．试题解析：解：（1）当n =5时，32n n -（）=522⨯=5．故答案为5．（2）32n n -（）=35，整理得：n 2﹣3n ﹣70=0，解得：n =10或n =﹣7（舍去），所以边数n =10．（3）根据题意得：1132n n ++-（）（）﹣32n n -（）=9，解得：n =10．所以边数n =10．【28题答案】【答案】（1）14（2）该正多边形的边数为9，一个外角的度数是40︒【解析】【分析】（1）n 边形的内角和为()2180n -⋅︒，结合已知条件，列出关于n 的一元一次方程，即可求解；（2）正n 边形的内角和为()2180n -⋅︒，外角和为360︒，则()21803601620n -⋅︒+︒=︒，解方程即可．【小问1详解】解：n 边形内角和为()2180n -⋅︒，四边形的内角和为360°，由题意得，()121803603603n -⋅︒-︒=︒，解得14n =，即n 的值为14；【小问2详解】解：正n 边形的内角和为()2180n -⋅︒，所有外角都相等且外角和为360︒，由题意得，()21803601620n -⋅︒+︒=︒，解得9n =，360940︒÷=︒，即该正多边形的边数为9，一个外角的度数是40︒．【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和，解题的关键是掌握n 边形内角和为()2180n -⋅︒，外角和为360︒．【29题答案】【答案】（1）1，2；（2）3，4；（3）2n -（4）8【解析】【分析】（1）根据对角线的定义，可得答案；（2）n 边形中过一个顶点的所有对角线有(3)n -条，把这个多边形分成(2)n -个三角形，根据这一点即可解答；（3）n 边形中过一个顶点的所有对角线有(3)n -条，把这个多边形分成(2)n -个三角形，根据这一点即可解答；（4）n 边形中过一个顶点的所有对角线有(3)n -条，把这个多边形分成(2)n -个三角形，根据这一点即可解答．【小问1详解】解：如下图：经过A 点可以做1条对角线，它把四边形ABCD 分为2个三角形，。
第2讲多边形及其内角和知识定位讲解用时：5分钟A、适用范围：人教版初二，基础一般；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习多边形及其内角和，首先要学会判断凸多边形和凹多边形，然后要学会计算多边形的内角和和外角和，能够处理多边形的一些基础题目。
知识梳理讲解用时：20分钟凸多边形、凹多边形1、多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
2、凸多边形：如果把一个多边形的所有边中，有一条边向两方无限延长成为一直线时，其他各边不都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凹多边形，其内角中至少有一个钝角。
3、凹多边形：如果把一个多边形的所有边中，任意一条边向两方无限延长成为一直线时，其他各边都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凸多边形，其内角应该全不是钝角，任意两个顶点间的线段位于多边形的内部或边上。
目前我们研究的都是凸多边形1、多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。
2、多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
3、多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
4、正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
从同一个顶点引出对角线的条数：0 1 2 3 n-3 （n≥3）分割出三角形的个数：0 2 3 4 n-2 （n≥3）多边形内角和：180° 360° 540° 720° (n-2)·180°课堂精讲精练【例题1】设四边形内角和等于，五边形外角和等于，则与之间的关系是（ ） A.B.C.D.【答案】B【解析】四边形的内角和是360°，多边形的内角和也是360°.解：多边形边数为，则内角和为，四边形内角和，多边形外角和为， 五边形外角和， 因此． 故正确答案为：．讲解用时：2分钟解题思路：此题比较简单，熟记多边形的内角和和外角和公式做题即可. 教学建议：掌握多边形的内角和和外角和公式，灵活做题.难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无 年份：2018【练习1.1】下列图形中，多边形有（ ）总结：1、多边形对角线的条数：（1）从n 边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分词（n-2）个三角形。
数学八年级下 第二十二章 四边形22.1 多边形（1）一、选择题1．四边形ABCD 中，如果∠A+∠C+∠D=280°，则∠B 的度数是 （ ）A ．80°B ．90°C ．170°D ．20°2．一个多边形的内角和等于1080°，这个多边形的边数是 （ ）A ．9B ．8C ．7D ．63．内角和等于外角和2倍的多边形是 （ ）A ．五边形B ．六边形C ．七边形D ．八边形4．凸n 边形的内角中，锐角的个数最多有 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．一个多边形的每一个顶点处取一个外角，这些外角中最多有钝角 （• ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6、各内角相等的n 边形的一个外角等于 （ ）A 、n n )2(1800-B 、n 0180C 、nn )2(3600- D 、n 0360 7、n 边形所有的对角线条数是 （ ）A 、2)1(-n nB 、2)2(-n nC 、22nD 、2)3(-n n 8、如果正n 边形的一个内角等于一个外角的2倍，那么n 的值是 （ ）A 、4B 、5C 、6D 、7二、填空题9. 五边形的内角和等于_______度．10．六边形的内角和等于_______度．11．正十边形的每一个内角的度数等于______，每一个外角的度数等于_______．12．如图，你能数出 个不同的四边形。
第12题13、如图所示，∠1=∠C+________，∠2=∠B+___________。
∠A+∠B +∠C +∠D+∠E= ________+∠1+∠2=________度。
14、一个多边形的每一个外角等于300，则这个多边形为___________ 边形。
15、当多边形边数增加一条边时，其内角和增加___________度 。
16、若正多边形的一个外角等于其一个内角的52，则这个多边形的内角和是___________ 。
