《摆线》课件2-优质公开课-人教A版选修4-4精品

(φ 为参数)
．
2．摆线及其参数方程 (1)当一个圆沿着一条定直线 上的一个 叫旋轮线． (2)设圆的半径为 r，圆滚动的角为 φ，那么摆线的参数方
x＝rφ－ sin φ， 程是 y＝r1－cos φ
无滑动地
滚动时，圆周
定点运动 的轨迹叫做 平摆线 ，简称 摆线 ，又
(φ 是参数)．
应点 A，B，并求出 A，B 的距离．
3π x＝－ ， 3π 2 【解】 将 φ＝ 2 代入参数方程，得 y＝－1. π x＝ ， π 把 φ＝2代入方程，得 2 y＝1. 3 π ∴A(－2π，－1)，点 B(2，1)． 因此|AB |＝ ＝2 π2＋1， 故点 A、B 间的距离为 2 π2＋1. π 3 2 ＋ π ＋1＋12 2 2
那么， 根据两点之间的距离公式可得 A、 B 两点的距离为 |AB |＝ 3＋ 3π π 2 3 3－π － ＋ －12 6 2 6
1 ＝6 13－6 3π2－6π－36 3＋72. 即 A、B 两点之间的距离为 1 2 13 － 6 3 π －6π－36 3＋72. 6
那么， 根据两点之间的距离公式可得 A、 B 两点的距离为 |AB |＝ 3＋ 3π π 2 3 3－π － ＋ －12 6 2 6
圆的摆线的参数方程
已知一个圆的摆线过一定点 (2,0) ，请写出该圆 的半径最大时该摆线的参数方程以及对应的圆的渐开线的参 数方程． 【思路探究】
x＝rφ－ sin φ， y＝r1－cos φ
根据圆的摆线的参数方程
(φ 为参数)， 只需把点(2,0)代入参数方程求
出 r 的表达式，根据表达式求出 r 的最大值，再确定对应的 摆线和渐开线的参数方程即可．
2． 圆的摆线的参数方程中的参数 φ 的几何意义是什么？
【提示】
同样，根据圆的摆线的定义和建立参数方程
的过程，可知其中的字母 r 是指定圆的半径，参数 φ 是指圆 上定点相对于定直线与圆的切点所张开的角度．参数的几何 意义可以在解决问题中加以引用，简化运算过程．当然这个 几何意义还不是很明显，直接使用还要注意其取值的具体情 况.
－5)2＝25，即 C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.
x＝ρcos θ， 将 y＝ρsin θ
代入 x2＋y2－8x－10y＋16＝0 得
ρ2－8ρcቤተ መጻሕፍቲ ባይዱs θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以 C1 的极坐标方程为 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋ 16＝0.
(2)C2 的普通方程为 x2＋y2－2y＝0. 由
1．圆的渐开线的参数方程中的参数 φ 的几何意义是什 么？ 【提示】
根据渐开线的定义和求
解参数方程的过程，可知其中的字母 r 是指基圆的半径，而参数 φ 是指绳子外 端运动时绳子与基圆的切点 B 转过的角 度，如图，其中的∠AOB 即是角 φ.显然 点 M 由参数 φ 惟一确定．在我们解决有关问题时可以适当利 用其几何意义，把点的坐标转化为与三角函数有关的问题，使 求解过程更加简单．
《摆线》课件2
课 标 解 读
1.借助教具或计算机软件，观察圆在直 线上滚动时圆上定点的轨迹(平摆线)、 直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹 (渐开线)，了解平摆线和渐开线的生成 过程，并能推导出它们的参数方程． 2.通过阅读材料，了解其他摆线(变幅平 摆线、变幅渐开线、外摆线、内摆线、 环摆线)的生成过程；了解摆线在实际 应用中的实例.
圆的渐开线的参数方程
已知圆的直径为 2， 其渐开线的参数方程对应的 π π 曲线上两点 A、B 对应的参数分别是 和 ，求 A、B 两点的距 3 2 离．
【思路探究】 先写出圆的渐开线的参数方程，再把 A、 B 对应的参数代入参数方程可得对应的 A、B 两点的坐标，然 后使用两点之间的距离公式可得 A、B 之间的距离．
x＝0， y＝2.
2 2 x ＋y －8x－10y＋16＝0， 2 2 x ＋ y －2y＝0，
解 得
x＝1， y＝1
或
π π 所以 C1 与 C2 交点的极坐标分别为( 2，4 )，(2，2)．所 1 以 r(2kπ－ sin 2kπ)＝2，即得 r＝ (k∈Z)． kπ 1 又由实际可知 r>0，所以 r＝ (k∈N＋)．易知，当 k＝1 kπ 1 时，r 取最大值为 . π
1 ＝6 13－6 3π2－6π－36 3＋72. 即 A、B 两点之间的距离为 1 2 13 － 6 3 π －6π－36 3＋72. 6
根据渐开线的定义和求解参数方程的过程可知其中的字 母 r 是指基圆的半径，参数 φ 是指绳子外端运动时绳子上的 定点 M 相对于圆心的张角．
x＝cos φ＋φ sin φ， 3π π 当 φ＝ 2 ，2时，求出渐开线 上的对 y＝ sin φ－φcos φ
1．渐开线及其参数方程 (1)把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头 逐渐展开，保持线与圆相切， 线头 的轨迹就叫做圆的渐开 线，相应的 定圆 叫做渐开线的 基圆 ．
(2)设基圆的半径为 r，圆的渐开线的参数方程是
x＝rcos φ＋φ sin φ y＝r sin φ－φcos φ
【自主解答】 令 y＝0， 可得 r(1－cos φ)＝0， 由于 r>0， 即得 cos φ＝1，所以 φ＝2kπ(k∈Z)． 代入 x＝r(φ－ sin φ)， 得 x＝ r(2kπ－ sin 2kπ)． 又因为 x＝2，
x＝4＋5cos t， (1)将 y＝5＋5sin t
消去参数 t，化为普通方程(x－4)2＋(y
【自主解答】
根据条件可知圆的半径是 1 ，所以对应 (φ 为参数)，
x＝cos φ＋φ sin φ， 的渐开线参数方程是 y＝ sin φ－φcos φ
π π 分别把 φ＝3和 φ＝2代入， 3＋ 3π 3 3－π 可得 A、B 两点的坐标分别为 A( 6 ， 6 )， π B(2，1)．