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看完这些正多边形的尺规作图⽅法，你还不认为数学也是⼀种艺术吗？荟思正多边形的尺规作图，虽然是⼀个很纯粹的数学问题，但同时也极具艺术欣赏价值！尺规作图问题是⾮常古⽼的数学问题，早在两千多年前的古希腊时期就开始研究了。
⼈们好奇什么样的图形可以⽤尺规作图的⽅法得到，什么样的图形不可以。
对于可以尺规作图的图形，很好办，想尽办法得到作图⽅法就解决问题了。
对于那些还没想到作图⽅法的图形就⽐较为难，因为不知道是因为不存在这样的作图⽅法，还是因为作法太复杂，所以还没⼈能发现这样的⽅法。
例如三等分⾓问题，就是很长时间⾥都找不到作图⽅法，最终证明是不可能办到的。
再次特别强调⼀下，在尺规作图问题中，直尺是不带刻度的，我们只能⽤它来画直线。
在各种图形中，正多边形是⼤家⽐较感兴趣的⼀类。
由于圆规可以画圆，⽽所有正多边形都可以内接于圆，因此它的所有顶点都在圆周上。
这样看来，正多边形应该很有希望⽤尺规作图。
⽽且，前⼏个正多边形的作图⽅法很快就构造出来了，步骤也不算复杂。
然⽽还是有很多正多边形没有找到尺规作图的⽅法，因此⾃然要问，是否存在不可能尺规作图的正多边形。
相对于同时期的其他⽂明，古希腊数学更富思辨精神。
尽管当时的数学问题都是源于⽣活，但古希腊⼈并不⽴⾜于解决⽣活问题，⽽是考虑⼀般的理想情形。
边数较多的多边形在实际问题中⼏乎不会出现，但他们仍然对这些多边形的尺规作图很感兴趣，并且还执着地规定直尺不能带刻度。
这个问题在经过漫长的两千年后，才最终被天才的⾼斯在24岁时完全解决。
根据⾼斯的结论，⼀个正多边形可以尺规作图，当且仅当边数是费马素数或者两个不同的费马素数的乘积，或者是这些数的2的乘幂倍（即2倍，4倍，8倍，16倍，等等）。
请注意，⾼斯的结论给出的是⼀个充分必要条件。
换句话说，费马素数的数量决定了能尺规作图的奇数边正多边形的个数。
根据⾼斯的结论，边数不超过20的18个正多边形中，可以尺规作图的⼀共有11个，边数分别是3,4,5,6,8,10,12,15,16,17,20。
尺规作图：正十七边形2009-09-07 17:24:09尺规作图是指使用圆规和没有刻度的直尺在有限步骤内的作图问题。
看似几何问题，实则是一个代数问题。
比如要作一个角等于π/3，就是在给定的线段的垂直平分线上截取长度为√3/2的线段，而作一条直线的垂线则是给定复平面上的一个点z=1，作出z'=√（-1）这个点。
把这个说法更一般化一点，尺规作图问题可以描述成：在复平面上给定那个点z_0,z_1,……,z_n（这些点的共轭可以得到），求复平面上全体可有这些点出发经直尺和圆规在有限步骤内可作出的点（数）的集合M。
如果z∈M，即z可作，则z是F[x]中一个2^t次多项式的根，F=Q(z_0,z_1,……,z_n,\bar(z_0),\bar(z_1),……,\bar(z_n))，其中Q为有理数域，\bar(z_k)为z_k的共轭，1≤k≤n。
现在来看一下所谓的尺规作图三大难题。
1，三等分角。
给定一个角θ，要得到α=θ/3，即作出cos(α)。
而我们有cos(θ)=cos(3α)=4cos(α)^3-3cos(α),令cos(α)=a,cos(3α)=b为已知，则有(2a)^3-3(a)-2b=0,在一般情况下，这个方程不一定是可约的（如取θ=π/3），在这时2a不可做，因为他不可能是一个2^t次多项式的根。
除此之外尚有很多可以被三等分的角，如只要n不是3的倍数，则α=π/3必可三等分。
事实上n和3互素，因此存在证书u和v，是的3u+nv=1，1/3n=u/n+v/3,所以α/3=π/3n=uπ/n+vπ/3，π/n和π/3都可作，所以α/3也可作。
2，倍立方。
即做一个正方体的体积是原正方体体积的2倍，相当于要作出x^3-2等于0的根，同1，这是不可能的。
3，化圆为方。
即作一个正方形使其面积等于给定的原的面积。
这相当于要作出x^2-π=0的根。
但是π不是代数数，即不是任何多项式的根，所以√π也是不可作的。
解读“数学王子”高斯正十七边形的作法（上）江苏省泰州市朱庄中学曹开清 225300一、高斯的传奇故事高斯(Carl Friedrich Gauss 1777.4.30~1855.2.23），德国数学家、物理学家、天文学家。
有一天，年幼的高斯在一旁看著作水泥工厂工头的父亲计算工人们的周薪。
父亲算了好一会儿，终于将结果算出来了。
可是万万没想到，他身边传来幼嫩的童音说：“爸爸，你算错了，总数应该是……”父亲感到很惊异，赶忙再算一遍，结果证实高斯的答案是对的。
这时的高斯只有3岁！高斯上小学了，教他们数学的老师布特勒(Buttner)是一个态度恶劣的人，他讲课时从不考虑学生的接受能力，有时还用鞭子惩罚学生。
有一天，布德勒让全班学生计算1＋2＋3＋4＋5＋……＋98＋99＋100＝？的总和，并且威胁说：“谁算不出来，就不准回家吃饭！”布德勒说完，就坐在一旁独自看起小说来，因为他认为，做这样一道题目是需要些时间的。
小朋友们开始计算：“1 ＋2 ＝3，3＋3＝6，6＋4＝10，……”数越来越大，计算越来越困难。
但是不久，高斯就拿着写着解答的小石板走到布德勒的身边。
高斯说：“老师，我做完了，你看对不对？“做完了？这么快就做完了？肯定是胡乱做的！”布德勒连头都没抬，挥挥手说：“错了，错了！回去再算！”高斯站着不走，把小石板往前伸了伸说：“我这个答案是对的。
”布德勒抬头一看，大吃一惊。
小石板上写着5050，一点也没有错！高斯的算法是1 ＋2 ＋3＋……＋98＋99＋100100＋99＋98＋……＋3＋2＋1101＋101＋101＋……＋101＋101＋101＝101×100＝1010010100÷2＝5050高斯并不知道，他用的这种方法，其实就是古代数学家经过长期努力才找出来的求等差数列和的方法，那时他才八岁！1796年的一天，德国哥廷根大学。
高斯吃完晚饭，开始做导师给他单独布置的三道数学题。
前两道题他不费吹灰之力就做了出来了。
高斯正17边形的尺规作图方法_做法步骤如下：（1）给一圆O，作两垂直的直径AB、CD：
（2）在OA上作E点使OE=1/4AO，连结CE,：
（3）作∠CEB的平分线EF：
（4）作∠FEB的平分线EG，交CO于P：
（5）作∠GEH=45°，交CD于Q：
（6）以CQ为直径作圆，交OB于K：
（7）以P为圆心,PK为半径作圆.交CD于L、M：
（8）分别过M、L作CD的垂线，交圆O于N、R：
（9）作弧NR的中点S，以SN为半径将圆O分成17等份：
最后几何作图如下：
简易作法
因为360°/17≈21°10′，利用sinA 21°6′=0.3600可得近似角。
用该方法作正十七边形总误差为17*4′=68′，在不要求十分精确的情况下还是可行的。
作法如下：
1.先画一条直线，用圆规在上面截取5条相等线段，(尽量越短越好),再截
取之前四条线段的和，接续之前画的线段。
这样，如果每条小线段算作
0.1的话，那么整条线段就是1.8。
2.用圆规截取之前5条小线段的长，画5次，这样这条线段就是5。
1.8/5=0.36。
准备工作完毕！
3.另作一条直线，作垂线，1.8的线段作为对边，5的线段作为斜边，那个
最小的锐角即是近似的360°/17的角。
以其顶点为圆心，重复作角直至闭合。
画一大圆，连接其与17条射线的交点，即可。
正十七边形尺规作图及证明正十七边形样本图正十七边形作法:第一步：在给定直线l上作一个圆O交直线于点A，B，分别以A，B为圆心，AB，BA为半径作弧，两弧交于点C，D，连接CD；第二步：以C为半径，CO为半径作弧交圆于点E，F，连接EF交CD于点K，再分别以K，O为圆心，KO，OK为半径作弧，两弧交于点G，H，连接GH交直线CD于点P，连接PB；第三步：再以P为圆心，小于PB的长度为半径作弧U，分别交AB，CD于点M，N，再分别以M，N为圆心，MN，NM为半径作弧，两弧圆外的交点为Q，连接QP交圆于点T，再分别以T，M为圆心，TM，MT为半径作弧，两弧圆外的交点为R，连接PR交弧U于上面的点S，下面的点W；第四步:连接S，W，再分别以S，W为圆心，SW，WS为半径作弧交于圆外的点Y，连接PY交弧U于点X，再分别以X，S为圆心SX，XS为半径作弧，两弧圆外的交点为Z，连接PZ；第五步：PZ交AB于点A₁，再分别以A₁，B为圆心，A₁B，B A₁作弧交于点A ₂，B₁，连接A₂，B₁交AB于点B₂，交圆于点C₁，连接B₂，C₁；第六步：再最后的C₁B依次戴取分点，直到最后作出十七个分点后连接，便是正十七边形。
正十七边形证明我们知道，一个正多边形的中心角的余弦值如果不是超越数，就可以用尺规作出该正多边形，求出的中心角的三角函数值代数式也就是包含了过程。
计算360cos 17⎛⎫︒ ⎪⎝⎭设正十七边形的中心角为α，则17360α=︒即16360αα=︒-亦即()sin16sin 360sin ααα=︒-=-由诱导公式()cos 2cos παα-=，我们发现：()()()()()()()()()()()()cos cos 360cos 17cos16cos 2cos 3602cos 172cos15cos3cos 3603cos 173cos14cos 4cos 3604cos 174cos13cos5cos 3604cos 175cos12cos 6cos 3606cos 176cos11cos 7ααααααααααααααααααααααααααααααα=︒-=-==︒-=-==︒-=-==︒-=-==︒-=-==︒-=-=()()()()cos 3607cos 177cos10cos8cos 3608cos 178cos9ααααααααα=︒-=-==︒-=-=因此我们有结论1：cos cos16cos 2cos15cos3cos14cos 4cos13cos5cos12cos 6cos11cos 7cos10cos8cos9αααααααααααααααα======== 该结论我们以后使用。
正十七边形作法
正十七边形是几何图形的一个特殊类型，它是由十七条相等的线段组成的，具有十七个角和十七个边，所以它被称为正十七边形。
由于其外形美丽，受到了艺术家和几何学家的青睐，它出现在许多艺术品，如十九世纪英国著名画家弗兰克拉特勒的《正十七边形》中。
正十七边形的历史可以追溯到古代希腊几何学家，他们发现了一些基础几何知识，其中之一就是正十七边形，而创造出这种图形的人则首先是希腊几何学家厄塞尔罗斯（Eureleos），他展示了这种图形
最早的形式，也就是正十七边形。
正十七边形的制作可以分为三个步骤。
首先，画一个圆，圆心到圆周上任意点A的距离为R，其次，画一个外接圆，圆心到A的距离为2R，同时画一个8R的小圆，圆心到A的距离为21R，然后，以小
圆为半径画一个正多边形，十七边的话就会得到一个正十七边形。
正十七边形的图形具有着不可复制的特点，这是由于它具有特殊的构造，也就是说它的角度和边长是以一定的数量和比例来构成的，不可以随意更改。
正十七边形的比例规律不仅仅出现在角度和边长上，在数学上，它也有许多有趣的特性，例如它有一个主对称轴，即从图形的中心点出发，通过其所有的顶点，可以看出来它是一个非常对称的正十七边形。
正十七边形是一种美丽的几何图形，它常常被用来装饰艺术品或用作图案。
目前，正十七边形已经广泛应用于许多不同的领域，如构图、分配、交互设计等，它在空间结构和构图中也发挥着重要作用。
正十七边形作法是一种古老的设计，它不仅在几何学中具有重要意义，而且在许多其他的领域，例如装饰、建筑等也有重要的地位，它的存在也给人们带来了视觉上的美感，使人们在欣赏这种艺术性的几何结构的同时，也感受到了几何的精确性和完美的美学体验。
[优质文档]尺规作图三等分随便率性角和结构正十七边形尺规作图三等分任意和构造正十七边形饶剑明摘要:将角的等分问题转化为线段的等分问题，从而实现尺规作图的任意等分任意角。
对线段的任意等分是很容易做到的，就是根据平行线间线段对应成比例。
只要将角的等分转换成线段的段分问题就自然解决了，我们知道，角和线的关系在圆中可以实现，在一个圆中等角对应的弦长相等。
从而实现角的三等分和正十七边形的尺规作法。
关键词:三等分角平分线圆弧正十七边形一、任意角的三等分,，作角的平分线。
半径为的圆弧，所对的弦长为设角为,,a2,Ma,2sin 14,角所对的弦长 4,Ma,2sin 28,角所对的弦长为 3,Ma,2sin。
3642MMM,, 2313342,sin,,,MMM,,由于当很小时有，即有。
231332,,4,sin()sin()sin()当取不同值时，和的近似值如下: ,346381111可以看出利用会比更为精确，但在操作上会更为方便。
从数据上可以看出，锐角用4222,1就足够用了，在操作上也得到同样的结果。
但角度大于是就最好使用了。
由于尺规作42图本身在操作上就存在误差，所以这样的误差是允许的。
利用几何画板完全按尺规作图的步42MM,骤可以看到当角为锐角时有，即两个点完全重合。
2133操作步骤如下:1. 对角平分 ,1,2. 取上作图时角所对的弦长2AB3. 对线段AB三等分24.取线段AB的长线段AC 34. 以线段AB为半径，在圆弧等分 AB这样就对弧进行了三等分，标记三等分点，然后与顶点O连接就对角三等分了。
,除去多余的痕迹用这样的方法可以对任意角任意等分。
当角为锐角就一次性完成了操作。
,4,asin()当角是钝角是，就要用四分角去作图了，且从理论上要比稍微少一点，尤其,38是当接近平角时。
当角大于,时，就平分其补角然后反向延长。
,,24MM当一次实现不了的时候可以在和之间取值，每次折中而逼近，一般最多在两到1233三个循环操作能完成。
正十七边形高斯画法
正十七边形高斯画法是一种用直尺和圆规画正多边形的方法，也称为高斯多边形构造法。
以下是画正十七边形的步骤：
1. 画一个圆，作为正十七边形的外接圆。
2. 用圆规量取圆的半径，然后在圆心处画一个半径为r的圆。
3. 以外接圆的圆心为中心，画一个半径为2r的圆。
4. 在内圆上任取一点，记为A。
5. 以A为圆心，以2r为半径，画一个圆，与外接圆交于B、C两点。
6. 以B、C为圆心，以r为半径，分别画两个圆，交于D、E两点。
7. 连接AD、AE，得到正十七边形的两个顶点。
8. 以D、E为圆心，以r为半径，分别画两个圆，交于F、G两点。
9. 连接AF、AG，得到正十七边形的两个顶点。
10. 以F、G为圆心，以r为半径，分别画两个圆，交于H、I两点。
11. 连接AH、AI，得到正十七边形的两个顶点。
12. 以H、I为圆心，以r为半径，分别画两个圆，交于J、K两点。
13. 连接AJ、AK，得到正十七边形的两个顶点。
14. 以J、K为圆心，以r为半径，分别画两个圆，交于L、M两点。
15. 连接AL、AM，得到正十七边形的两个顶点。
16. 以L、M为圆心，以r为半径，分别画两个圆，交于N、O两点。
17. 连接AN、AO，得到正十七边形的两个顶点。
18. 此时，正十七边形的所有顶点已经画出来了，可以用直尺连接相邻的顶点，得到正十七边形的边。
以上就是画正十七边形高斯画法的步骤。
解读“数学王子”高斯正十七边形的作法一、高斯的传奇故事高斯(Carl Friedrich Gauss 1777.4.30~1855.2.23），德国数学家、物理学家、天文学家。
有一天，年幼的高斯在一旁看著作水泥工厂工头的父亲计算工人们的周薪。
父亲算了好一会儿，终于将结果算出来了。
可是万万没想到，他身边传来幼嫩的童音说：“爸爸，你算错了，总数应该是……”父亲感到很惊异，赶忙再算一遍，结果证实高斯的答案是对的。
这时的高斯只有3岁！高斯上小学了，教他们数学的老师布特勒(Buttner)是一个态度恶劣的人，他讲课时从不考虑学生的接受能力，有时还用鞭子惩罚学生。
有一天，布德勒让全班学生计算1+2+3+4+5+……+98+99+100＝？的总和，并且威胁说：“谁算不出来，就不准回家吃饭！”布德勒说完，就坐在一旁独自看起小说来，因为他认为，做这样一道题目是需要些时间的。
小朋友们开始计算：“1 + 2 ＝3，3+3＝6，6+4＝10，……”数越来越大，计算越来越困难。
但是不久，高斯就拿着写着解答的小石板走到布德勒的身边。
高斯说：“老师，我做完了，你看对不对？“做完了？这么快就做完了？肯定是胡乱做的！”布德勒连头都没抬，挥挥手说：“错了，错了！回去再算！”高斯站着不走，把小石板往前伸了伸说：“我这个答案是对的。
”布德勒抬头一看，大吃一惊。
小石板上写着5050，一点也没有错！高斯的算法是1 ＋2 ＋3＋……＋98＋99＋100100＋99＋98＋……＋3＋2＋1101＋101＋101＋……＋101＋101＋101＝101×100＝1010010100÷2＝5050高斯并不知道，他用的这种方法，其实就是古代数学家经过长期努力才找出来的求等差数列和的方法，那时他才八岁！1796年的一天，德国哥廷根大学。
高斯吃完晚饭，开始做导师给他单独布置的三道数学题。
前两道题他不费吹灰之力就做了出来了。
第三道题写在另一张小纸条上：要求只用圆规和没有刻度的直尺，作出一个正十七边形。
解读“数学王子”高斯正十七边形的作法一、高斯的传奇故事高斯(Carl Friedrich Gauss 1777.4.30~1855.2.23），德国数学家、物理学家、天文学家。
有一天，年幼的高斯在一旁看著作水泥工厂工头的父亲计算工人们的周薪。
父亲算了好一会儿，终于将结果算出来了。
可是万万没想到，他身边传来幼嫩的童音说：“爸爸，你算错了，总数应该是……”父亲感到很惊异，赶忙再算一遍，结果证实高斯的答案是对的。
这时的高斯只有3岁！高斯上小学了，教他们数学的老师布特勒(Buttner)是一个态度恶劣的人，他讲课时从不考虑学生的接受能力，有时还用鞭子惩罚学生。
有一天，布德勒让全班学生计算 1+2+3+4+5+……+98+99+100＝？的总和，并且威胁说：“谁算不出来，就不准回家吃饭！”布德勒说完，就坐在一旁独自看起小说来，因为他认为，做这样一道题目是需要些时间的。
小朋友们开始计算：“1 + 2 ＝3，3+3＝6，6+4＝10，……”数越来越大，计算越来越困难。
但是不久，高斯就拿着写着解答的小石板走到布德勒的身边。
高斯说：“老师，我做完了，你看对不对？“做完了？这么快就做完了？肯定是乱做的！”布德勒连头都没抬，挥挥手说：“错了，错了！回去再算！”高斯站着不走，把小石板往前伸了伸说：“我这个答案是对的。
”布德勒抬头一看，大吃一惊。
小石板上写着 5050，一点也没有错！高斯的算法是1 ＋2 ＋3＋……＋98＋99＋100100＋99＋98＋……＋3＋ 2＋1101＋101＋101＋……＋101＋101＋101＝101×100＝1010010100÷2＝5050高斯并不知道，他用的这种方法，其实就是古代数学家经过长期努力才找出来的求等差数列和的方法，那时他才八岁！1796年的一天，德国哥廷根大学。
高斯吃完晚饭，开始做导师给他单独布置的三道数学题。
前两道题他不费吹灰之力就做了出来了。
第三道题写在另一小纸条上：要求只用圆规和没有刻度的直尺，作出一个正十七边形。
这道题把他难住了——所学过的数学知识竟然对解出这道题没有任何帮助。
时间一分一秒的过去了，第三道题竟毫无进展。
他绞尽脑汁，尝试着用一些超常规的思路去寻求答案。
当窗口露出曙光时，他终于解决了这道难题。
当他把作业交给导师时，感到很惭愧。
他对导师说：“您给我布置的第三道题，我竟然做了整整一个通宵，……”导师看完作业后，激动地对他说：“你知不知道？你解开了一桩有两千多年历史的数学悬案！阿基米得没有解决，牛顿也没有解决，你竟然一个晚上就解出来了。
你是一个真正的天才！”原来，导师也一直想解开这道难题。
那天，他是因为拿错了，才将写有这道题目的纸条交给了学生。
在这件事情发生后，高斯曾回忆说：“如果有人告诉我，那是一道千古难题，我可能永远也没有信心将它解出来。
”1796年3月30日，当高斯差一个月满十九岁时，在期刊上发表《关于正十七边形作图的问题》。
他显然以此为自豪，还要求以后将正十七边形刻在他的墓碑上。
然而高斯的纪念碑上并没有刻上十七边形，而刻着一颗十七角星，原来是负责刻纪念碑的雕刻家认为：“正十七边形和圆太像了，刻出来之后，每个人都会误以为是一个圆。
”1877年布雷默尔奉汉诺威王之命为高斯做一个纪念奖章。
上面刻着：“汉诺威王乔治V. 献给数学王子高斯(Georgius V. rex Hannoverage Mathematicorum principi)”，自那之后，高斯就以“数学王子”着称于世。
二、高斯正十七边形尺规作图的思路（这里是纯三角法）作正十七边形的关键是作出cos172π，为此要建立求解cos 172π的方程。
设正17边形中心角为α，则17α＝2π，即16α＝2π－α 故sin16α＝－sinα ，而sin16α＝2sin8α cos8α＝4sin4α cos4α cos8α＝8 sin2α cos2α cos4α cos8α＝16 sinα cosα cos2α cos4α cos8α因sinα ≠0，两边除以sinα，有16cosα cos2α cos4α cos8α＝－1由积化和差公式，得4(cosα＋cos3α)(cos4α＋cos12α)＝－1展开，得4(cosα cos4α＋cosα cos12α＋cos3α cos4α＋cos3α cos12α)＝－1再由积化和差公式，得2[(cos3α＋cos5α)＋(cos11＋cos13α)＋(cosα＋cos7α)＋(cos9α＋cos15α)]＝－1注意到cos11α＝cos6α，cos13α＝cos4α，cos9α＝cos8α，cos15α＝cos2α，有2(cosα＋cos2α＋cos3α＋cos4α＋cos5α＋cos6α＋cos7α＋cos8α)＝－1设 a＝2(cosα+ cos2α+cos4α+ cos8α)，b＝2(cos3α+ cos5α+cos6α+ cos7α)，则 a＋b＝－1又ab＝2(cosα＋cos2α＋cos4α＋cos8α)·2(cos3α＋cos5α＋cos6α＋cos7α)＝4cosα(cos3α＋cos5α＋cos6α＋cos7α)＋4cos2α(cos3α＋cos5α＋c os6α＋cos7α)＋4cos4α(cos3α＋cos5α＋cos6α＋cos7α)＋4cos8α(cos3α＋cos5α＋cos6α＋cos7α)再展开之后共16项，对这16项的每一项应用积化和差公式，可得：ab ＝2 [(cos2α＋cos4α)＋(cos4α＋cos6α)＋(cos5α＋cos7α)＋(cos6α＋cos8α)＋(cosα＋cos5α)＋(cos3α＋cos7α)＋(cos4α＋cos8α)＋(cos5α＋cos9α)＋(cosα＋cos7α)＋(cosα＋cos9α)＋(cos2α＋cos10α)＋(cos3α＋cos11α)＋(cos5α＋cos11α)＋(cos3α＋cos13α)＋(cos2α＋cos14α)＋(cosα＋cos15α)]注意到cos9α＝cos8α，cos10α＝cos7α， cos11α＝cos6α，cos13α＝cos4α，cos14α＝cos3α，cos15α＝cos2α，有ab ＝2×4(cosα＋cos2α＋cos3α＋cos4α＋cos5α＋cos6α＋cos7α＋cos8α)＝－4因为cosα＋cos2α＋cos8α＝(cos172π＋cos 174π)＋cos 1716π＝2cos 17πcos 173π－cos 17π＝2cos 17π(cos 173π－21)又 0 < 173π < 3π < 2π所以cos 173π> 21即cosα＋cos2α＋cos8α > 0 又因为 cos4α＝cos178π> 0 所以 a ＝cosα＋cos2α＋cos4α＋cos8α > 0 又 ab ＝-4< 0 所以有a > 0， b< 0可解得a＝2171+-，b＝2171--再设c＝2(cosα＋cos4α)，d＝2(cos2α＋cos8α)，则c+d＝acd＝2(cosα+ cos4α)·2(cos2α+ cos8α)＝4 (cosαcos2α＋cosαcos8α＋cos4αcos2α＋cos4αcos8α)＝2 [(cosα＋cos3α)＋(cos7α＋cos9α)＋(cos2α＋cos6α)＋(cos4α＋cos12α)]注意到cos9α＝cos8α，cos12α＝cos5α，有cd＝2[(cosα＋cos3α)＋(cos7α＋cos8α)＋(cos2α＋cos6α)＋(cos4α＋cos5α)]＝2( cosα＋cos2α＋cos3α＋cos4α＋cos5α＋cos6α＋cos7α＋cos8α)＝-1因为0 < α < 2α < 4α < 8α < π所以cosα > cos2α，cos4α > cos8α两式相加得cosα＋cos4α> cos2α＋cos8α或2(cosα＋cos4α)> 2(cos2α＋cos8α)即 c > d，又 cd＝-1 < 0所以有c > 0， d < 0可解得c＝24 2++aa，【 d＝24 2+-aa】类似地，设e＝2(cos3α＋cos5α)，f＝2(cos6α＋cos7α)则e+f＝bef＝2(cos3α＋cos5α)·2(cos6α＋cos7α)＝4(cos3αcos6α＋cos3αcos7α＋cos5αcos6α＋cos5αcos7α)＝2 [(cos3α＋cos9α)＋(cos4α＋cos10α)＋(cosα＋cos11α)＋(cos2α＋cos12α)]注意到cos9α＝cos8α，cos10α＝cos7α，cos11α＝cos6α，cos12α＝cos5α，有ef＝2[(cos3α＋cos8α)＋(cos4α＋cos7α)＋(cosα＋cos6α)＋(cos2α＋cos5α)]＝2( cosα＋cos2α＋cos3α＋cos4α＋cos5α＋cos6α＋cos7α＋cos8α)＝-1因为0 < 3α < 5α < 6α < 7α < π所以有cos3α > cos6α，cos5α > cos7α两式相加得cos3α＋cos5α> cos6α＋cos7α2(cos3α＋cos5α)> 2(cos6α＋cos7α)即 e > f，又 ef＝-1 < 0所以有 e > 0， f < 0可解得e ＝242++b b ， 【f ＝242+-b b 】由c ＝2(cosα＋cos4α)，得cosα＋cos4α＝2c，即cos172π＋cos 178π＝2ce ＝2(cos3α＋cos5α)，应用积化和差公式，得cosαcos4α＝4e ，即 cos 172πcos178π＝4e因为0<172π<178π<2π，所以cos 172π>cos 178π>0所以cos 172π＝442e c c -+，【cos 178π＝442e c c --】于是，我们得到一系列的等式：a ＝2171+-，b ＝2171--，c ＝242++a a ，e ＝242++b b ，cos 172π＝442e c c -+有了这些等式，只要依次作出a 、b 、c 、e ，便可作出cos 172π。
步骤一：给一圆O，作两垂直的半径OA、OB，作C点使OC＝1/4OB，作D点使∠OCD＝1/4∠OCA，作AO延长线上E点使得∠DCE＝45度。
