正十七变形的尺规作图-推荐下载
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正十七边形作图
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1. 如圖, 以 O 為圓心作圓，過 O 作直徑 AC; 2. 過 O 作 AC 的垂線，交圓於 B; 3. 在 OB、OC 上 分別 截 取 I、D 使 得 OI = 1 1 OA, OD= OA; 4 16 4. 以 D 為 圓 心, DI 為 半 徑 作 圓,分 別 交 OA、OC 於 W1 , W2 ; 5. 以 W1 為 圓 心, W1 I 為 半 徑 作 弧,交 W1 A 於 E1 ; 6. 以 W2 為 圓 心, W2 I 為 半 徑 作 弧,交 W1 A 於 E3 ; P5
m
4. 在邊數不超過 100 的正多邊形中，僅用尺規 作 圖 的 有 24 個 。 它 們 分別 是: 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96 邊形。 1
4.3
+
B P4
+ +
P3 P2
+
P7
+
P1 K P8 C P9
+ + + + + + + P11 + P12 + + +
I
+
N5 F
+
O E
N3
+
A
P16
P10
P15
+
P14
P13
3
4.5
正 十 七 邊 形 作 圖 :方法(三 )
1. 如圖, 以 O 為圓心作圓，作兩條彼此正交的直徑 AB 和 CD; 2. 過 A 與 D 分別作切線交於 S; 1 3. 在 AS 上取點 E 使得 AE = AS ; 4 4. 以 E 為圓心, OE 為半徑,作弧交 AS 於 F, F’; 5. 以 F 為圓心, OF 為半徑,作弧交 AS 於 H; 6. 以 F’ 為圓心, OF’ 為半徑,作弧交 AS 於 H’; 7. 過 H 作 AH 的垂線交 OC 的延線於 T; 8. 延長 HT 至 Q, 使得 TQ = AH’; 9. 以 BQ 為直徑,作圓交 CT 於 M; 10. 作 OM 的中垂線, 交圓於 P; 11. 以 P 為圓心, PC 為半徑,在圓周上靠 B 的一邊截取 P1 點; 12. 從 P1 出發在圓周上以 P P1 為半徑截取 P2 , P3 , · · · , P15 作為正十七邊形的各頂點。 B
1. 如圖, 以 O 為圓心作圓，過 O 作直徑 AC; 2. 過 O 作 AC 的垂線，交圓於 B; 3. 在 OB、OC 上 分別 截 取 I、D 使 得 OI = 1 1 OA, OD= OA; 4 16 4. 以 D 為 圓 心, DI 為 半 徑 作 圓,分 別 交 OA、OC 於 W1 , W2 ; 5. 以 W1 為 圓 心, W1 I 為 半 徑 作 弧,交 W1 A 於 E1 ; 6. 以 W2 為 圓 心, W2 I 為 半 徑 作 弧,交 W1 A 於 E3 ; P5
m
4. 在邊數不超過 100 的正多邊形中，僅用尺規 作 圖 的 有 24 個 。 它 們 分別 是: 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96 邊形。 1
4.3
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B P4
+ +
P3 P2
+
P7
+
P1 K P8 C P9
+ + + + + + + P11 + P12 + + +
I
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N5 F
+
O E
N3
+
A
P16
P10
P15
+
P14
P13
3
4.5
正 十 七 邊 形 作 圖 :方法(三 )
1. 如圖, 以 O 為圓心作圓，作兩條彼此正交的直徑 AB 和 CD; 2. 過 A 與 D 分別作切線交於 S; 1 3. 在 AS 上取點 E 使得 AE = AS ; 4 4. 以 E 為圓心, OE 為半徑,作弧交 AS 於 F, F’; 5. 以 F 為圓心, OF 為半徑,作弧交 AS 於 H; 6. 以 F’ 為圓心, OF’ 為半徑,作弧交 AS 於 H’; 7. 過 H 作 AH 的垂線交 OC 的延線於 T; 8. 延長 HT 至 Q, 使得 TQ = AH’; 9. 以 BQ 為直徑,作圓交 CT 於 M; 10. 作 OM 的中垂線, 交圓於 P; 11. 以 P 為圓心, PC 為半徑,在圓周上靠 B 的一邊截取 P1 點; 12. 從 P1 出發在圓周上以 P P1 為半徑截取 P2 , P3 , · · · , P15 作為正十七邊形的各頂點。 B
0-首课(选讲)-素数与正十七边形尺规作图
,n为无穷大量.
接近消失的弧的正弦值等于其本身，余弦值等于1.
欧拉本人的推导方式：从 开始：
一系列不可思议的事情：
为实数.是无理数，甚至是超越数(1934,Gelfond,Schneider:若a,b为非零代数数使得lna,lnb在有理数域Q上线性无关，则lna,lnb在代数数域P上也线性无关.后来Baker在1966年将它推广到多个变量的情形，不久后他又证明了更深刻的定理.不过也留下诸多玄妙的问题，虽然圆周率和e都是超越数已经是众所周知的事情，但是目前甚至不知道 是不是有理数，圆周率和e的代数无关性问题尚未解决.Schanuel猜想.)
学生签字：
教师对本次课的总结和评定
1、学生上次作业完成情况：
2、学生本次上课表现情况:
3、老师对本次课的总结：
教师签字：
课前审阅：课后审核:时间:
所有孪生素数的倒数和收敛(布隆常数1.9021605...).
1,素数有无穷多个的三种证明方法：
欧几里得
费马数
欧拉(算术基本定理): ,这里P表示一切素数的集合,.即
2,关于素数的一些问题：
梅森素数：
完全数：
大数分解的一些有趣例子：
费马猜想：
哥德巴赫猜想(1742年哥德巴赫写给欧拉的信)：
不超过x的素数的个数，Li积分
并思考如何解方程 ，进一步思考如何解一般的一元三次方程.
教学反思
学生对本次课的总结和评定
1、○特别满意○满意○一般○差
2、本次课我学到了什么知识________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
接近消失的弧的正弦值等于其本身，余弦值等于1.
欧拉本人的推导方式：从 开始：
一系列不可思议的事情：
为实数.是无理数，甚至是超越数(1934,Gelfond,Schneider:若a,b为非零代数数使得lna,lnb在有理数域Q上线性无关，则lna,lnb在代数数域P上也线性无关.后来Baker在1966年将它推广到多个变量的情形，不久后他又证明了更深刻的定理.不过也留下诸多玄妙的问题，虽然圆周率和e都是超越数已经是众所周知的事情，但是目前甚至不知道 是不是有理数，圆周率和e的代数无关性问题尚未解决.Schanuel猜想.)
学生签字：
教师对本次课的总结和评定
1、学生上次作业完成情况：
2、学生本次上课表现情况:
3、老师对本次课的总结：
教师签字：
课前审阅：课后审核:时间:
所有孪生素数的倒数和收敛(布隆常数1.9021605...).
1,素数有无穷多个的三种证明方法：
欧几里得
费马数
欧拉(算术基本定理): ,这里P表示一切素数的集合,.即
2,关于素数的一些问题：
梅森素数：
完全数：
大数分解的一些有趣例子：
费马猜想：
哥德巴赫猜想(1742年哥德巴赫写给欧拉的信)：
不超过x的素数的个数，Li积分
并思考如何解方程 ，进一步思考如何解一般的一元三次方程.
教学反思
学生对本次课的总结和评定
1、○特别满意○满意○一般○差
2、本次课我学到了什么知识________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
尺规作图资料(完整)
1：尺规作出正三角形2尺规作出正方形3：尺规作出正六边形4：尺规作出正十边形5：尺规作出正十六边形6：尺规作出正十七边形7：尺规作出正十五边形8：尺规作出正五边形9：单尺作出正八边形10:单尺作出正方形11:单尺作出正六边形12:单尺作出正五边形13：单规找出两点间的三等分点14：单规找出两点间的中点15：单规作出等边三角形16：单规作出正八边形17：单规作出正方形18:单规作出正六边形19：单规作出正十边形20：单规作出正十二边形21：单规作出正十六边形22:单规作出正十五边形23单规作出正五边形24：只有两个刻度的直尺作出正三角形25：只有两个刻度的直尺作出正方形初中数学尺规作图专题讲解张远波尺规作图是起源于古希腊的数学课题.只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。
平面几何作图,限制只能用直尺、圆规.在历史上最先明确提出尺规限制的是伊诺皮迪斯。
他发现以下作图法：在已知直线的已知点上作一角与已知角相等。
这件事的重要性并不在于这个角的实际作出,而是在尺规的限制下从理论上去解决这个问题.在这以前，许多作图题是不限工具的.伊诺皮迪斯以后，尺规的限制逐渐成为一种公约,最后总结在《几何原本》之中.初等平面几何研究的对象,仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种。
限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条：⑴经过两已知点可以画一条直线；⑵已知圆心和半径可以作一圆；⑶两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点；以上三条，叫做作图公法。
用直尺可以画出第一条公法所说的直线;用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点。
一个作图题,不管多么复杂,如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题。
解读数学王子高斯正十七边形的作法-上
解读“数学王子”高斯正十七边形的作法（上）江苏省泰州市朱庄中学曹开清 225300一、高斯的传奇故事高斯(Carl Friedrich Gauss 1777.4.30~1855.2.23），德国数学家、物理学家、天文学家。
有一天，年幼的高斯在一旁看著作水泥工厂工头的父亲计算工人们的周薪。
父亲算了好一会儿，终于将结果算出来了。
可是万万没想到，他身边传来幼嫩的童音说：“爸爸，你算错了，总数应该是……”父亲感到很惊异，赶忙再算一遍，结果证实高斯的答案是对的。
这时的高斯只有3岁！高斯上小学了，教他们数学的老师布特勒(Buttner)是一个态度恶劣的人，他讲课时从不考虑学生的接受能力，有时还用鞭子惩罚学生。
有一天，布德勒让全班学生计算1＋2＋3＋4＋5＋……＋98＋99＋100＝？的总和，并且威胁说：“谁算不出来，就不准回家吃饭！”布德勒说完，就坐在一旁独自看起小说来，因为他认为，做这样一道题目是需要些时间的。
小朋友们开始计算：“1 ＋2 ＝3，3＋3＝6，6＋4＝10，……”数越来越大，计算越来越困难。
但是不久，高斯就拿着写着解答的小石板走到布德勒的身边。
高斯说：“老师，我做完了，你看对不对？“做完了？这么快就做完了？肯定是胡乱做的！”布德勒连头都没抬，挥挥手说：“错了，错了！回去再算！”高斯站着不走，把小石板往前伸了伸说：“我这个答案是对的。
”布德勒抬头一看，大吃一惊。
小石板上写着5050，一点也没有错！高斯的算法是1 ＋2 ＋3＋……＋98＋99＋100100＋99＋98＋……＋3＋2＋1101＋101＋101＋……＋101＋101＋101＝101×100＝1010010100÷2＝5050高斯并不知道，他用的这种方法，其实就是古代数学家经过长期努力才找出来的求等差数列和的方法，那时他才八岁！1796年的一天，德国哥廷根大学。
高斯吃完晚饭，开始做导师给他单独布置的三道数学题。
前两道题他不费吹灰之力就做了出来了。
解读“数学王子”高斯正十七边形的作法(上)精品文档7页
解读“数学王子”高斯正十七边形的作法江苏省泰州市朱庄中学曹开清225300一、高斯的传奇故事高斯(Carl Friedrich Gauss 1777.4.30~1855.2.23），德国数学家、物理学家、天文学家。
有一天，年幼的高斯在一旁看著作水泥工厂工头的父亲计算工人们的周薪。
父亲算了好一会儿，终于将结果算出来了。
可是万万没想到，他身边传来幼嫩的童音说：“爸爸，你算错了，总数应该是……”父亲感到很惊异，赶忙再算一遍，结果证实高斯的答案是对的。
这时的高斯只有3岁！高斯上小学了，教他们数学的老师布特勒(Buttner)是一个态度恶劣的人，他讲课时从不考虑学生的接受能力，有时还用鞭子惩罚学生。
有一天，布德勒让全班学生计算1+2+3+4+5+……+98+99+100＝？的总和，并且威胁说：“谁算不出来，就不准回家吃饭！”布德勒说完，就坐在一旁独自看起小说来，因为他认为，做这样一道题目是需要些时间的。
小朋友们开始计算：“1 + 2 ＝3，3+3＝6，6+4＝10，……”数越来越大，计算越来越困难。
但是不久，高斯就拿着写着解答的小石板走到布德勒的身边。
高斯说：“老师，我做完了，你看对不对？“做完了？这么快就做完了？肯定是胡乱做的！”布德勒连头都没抬，挥挥手说：“错了，错了！回去再算！”高斯站着不走，把小石板往前伸了伸说：“我这个答案是对的。
”布德勒抬头一看，大吃一惊。
小石板上写着5050，一点也没有错！高斯的算法是1 ＋2 ＋3＋……＋98＋99＋100100＋99＋98＋……＋3＋2＋1101＋101＋101＋……＋101＋101＋101＝101×100＝1010010100÷2＝5050高斯并不知道，他用的这种方法，其实就是古代数学家经过长期努力才找出来的求等差数列和的方法，那时他才八岁！1796年的一天，德国哥廷根大学。
高斯吃完晚饭，开始做导师给他单独布置的三道数学题。
前两道题他不费吹灰之力就做了出来了。
优质文档尺规作图三等分随便率性角和结构正十七边形
[优质文档]尺规作图三等分随便率性角和结构正十七边形尺规作图三等分任意和构造正十七边形饶剑明摘要:将角的等分问题转化为线段的等分问题，从而实现尺规作图的任意等分任意角。
对线段的任意等分是很容易做到的，就是根据平行线间线段对应成比例。
只要将角的等分转换成线段的段分问题就自然解决了，我们知道，角和线的关系在圆中可以实现，在一个圆中等角对应的弦长相等。
从而实现角的三等分和正十七边形的尺规作法。
关键词:三等分角平分线圆弧正十七边形一、任意角的三等分,，作角的平分线。
半径为的圆弧，所对的弦长为设角为,,a2,Ma,2sin 14,角所对的弦长 4,Ma,2sin 28,角所对的弦长为 3,Ma,2sin。
3642MMM,, 2313342,sin,,,MMM,,由于当很小时有，即有。
231332,,4,sin()sin()sin()当取不同值时，和的近似值如下: ,346381111可以看出利用会比更为精确，但在操作上会更为方便。
从数据上可以看出，锐角用4222,1就足够用了，在操作上也得到同样的结果。
但角度大于是就最好使用了。
由于尺规作42图本身在操作上就存在误差，所以这样的误差是允许的。
利用几何画板完全按尺规作图的步42MM,骤可以看到当角为锐角时有，即两个点完全重合。
2133操作步骤如下:1. 对角平分 ,1,2. 取上作图时角所对的弦长2AB3. 对线段AB三等分24.取线段AB的长线段AC 34. 以线段AB为半径，在圆弧等分 AB这样就对弧进行了三等分，标记三等分点，然后与顶点O连接就对角三等分了。
,除去多余的痕迹用这样的方法可以对任意角任意等分。
当角为锐角就一次性完成了操作。
,4,asin()当角是钝角是，就要用四分角去作图了，且从理论上要比稍微少一点，尤其,38是当接近平角时。
当角大于,时，就平分其补角然后反向延长。
,,24MM当一次实现不了的时候可以在和之间取值，每次折中而逼近，一般最多在两到1233三个循环操作能完成。
解读高斯正十七边形的作法(下)
e ＝。
从而求出cos 的其它表达式：可以验证，它们在数值上是相等的，其中以第二个表达式为最优。
在单位圆中，根据余弦定理，得正十七边形的边长为 ，将cos 的值代入，即可求出正十七边形的边长。
五、正十七边形的另一种作法步骤1：作圆O 的两条互相垂直的直径AC 、BD ；在OB 上截取OE ＝14OB ，连接EΑ；作∠FEO ＝14∠ΑEO 交OΑ于点F ；作∠GEF ＝，边EG 交CO 于点G 。
步骤2：以GΑ为直径作圆O’，交OB 于点H ；再以点F 为圆心，经过点H 作圆F ，交AC 于N4和N6两点。
步骤3：过N4作AC 的垂线交圆O 于点P4，过G6作AC 的垂线交圆O 于点P6，那么以圆O 为基准圆，Α为正十七边形的第一个顶点P1，P4为第四个顶点，P6为第六个顶点。
以12弧P4P6所对的弦为半径，即可在圆O 上截出正十七边形的所有顶点。
注一：7、9、11边形却未能作出。
让后来数学家为难的是，欧几里德之后的2000多年中，有关正多边形作图仍停留在欧几里德的水平上，未能向前迈进一步。
因此，我们可以想象得到，当1796年年仅19不过，高斯的结果多少显得有些奇怪。
他没有完成正七边形或正九边形等的作图，却偏偏隔下中间这一些直接完成了正十七边形。
为什么第一个新作出的正多边形是正十七边形而不是正七、九边形呢？在高斯的伟大发现之后，问题仍然存在：正七边形或正九边形等是否可尺规完成？或者更清楚地阐述这个问题：正多边形的边数具有什么特征时，它才能用尺规作出？在经过继续研究后，高斯最终在1801年对整个问题给出了一个完美的解答。
高斯指出，只用直尺和圆规作圆内接正n 边形，当n 满足如下特征之一时方可作出：1) n ＝2m ；〔其中m 为正整数〕2) 边数n 为质数且形如 n ＝22t +1〔其中t 为非负整数〕，即n 为质数的费马( Fermat )数。
3) 边数n具有n＝2m p1p2p3……p k的形式〔其中p1，p2，p3，……，p k为互不相同的费马质数〕。
美如画，正多边形的尺规作图法，数学原来如此美丽！
美如画，正多边形的尺规作图法，数学原来如此美丽！
导读：他10岁时巧妙算出1-100的等差数列之和；24岁时发表《算术研究》，奠定近代数论的基础，还独立给代数基本定理作出4个证明；他希望自己的墓碑上能刻一个正十七边形。
1777年的今天，数学家高斯出生。
认真看，这就是美如画的正十七边形尺规作图方法
所谓的尺规作图是指只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。
值得注意的是，以上的“直尺”和“圆规”是抽象意义的，跟现实中的并非完全相同，具体而言，有以下的限制：直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧。
只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度。
圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度。
它只可以拉开成你之前构造过的长度或一个任意的长度。
正三角形尺规作图法
正五边形。
正十七边形的画法及证明
正十七边形的画法及证明1796年的一天，德国哥廷根大学，一个很有数学天赋的19岁青年吃完晚饭，开始做导师单独布置给他的每天例行的三道数学题。
前两道题在两个小时内就顺利完成了。
第三道题写在另一张小纸条上：要求只用圆规和一把没有刻度的直尺，画出一个正17边形。
他感到非常吃力。
时间一分一秒的过去了，第三道题竟毫无进展。
这位青年绞尽脑汁，但他发现，自己学过的所有数学知识似乎对解开这道题都没有任何帮助。
困难反而激起了他的斗志：我一定要把它做出来！他拿起圆规和直尺，他一边思索一边在纸上画着，尝试着用一些超常规的思路去寻求答案。
当窗口露出曙光时，青年长舒了一口气，他终于完成了这道难题。
见到导师时，青年有些内疚和自责。
他对导师说：“您给我布置的第三道题，我竟然做了整整一个通宵，我辜负了您对我的栽培……”导师接过学生的作业一看，当即惊呆了。
他用颤抖的声音对青年说：“这是你自己做出来的吗？”青年有些疑惑地看着导师，回答道：“是我做的。
但是，我花了整整一个通宵。
”导师请他坐下，取出圆规和直尺，在书桌上铺开纸，让他当着自己的面再做出一个正17边形。
青年很快做出了一个正17边形。
导师激动地对他说：“你知不知道？你解开了一桩有两千多年历史的数学悬案！阿基米德没有解决，牛顿也没有解决，你竟然一个晚上就解出来了。
你是一个真正的天才！” 原来，导师也一直想解开这道难题。
那天，他是因为失误，才将写有这道题目的纸条交给了学生。
每当这位青年回忆起这一幕时，总是说：“如果有人告诉我，这是一道有两千多年历史的数学难题，我可能永远也没有信心将它解出来。
”这位青年就是数学王子高斯。
高斯用代数的方法解决的，他也视此为生平得意之作，还交待要把正十七边形刻在他的墓碑上，但后来他的墓碑上并没有刻上十七边形，而是十七角星，因为负责刻碑的雕刻家认为，正十七边形和圆太像了，大家一定分辨不出来。
关于正十七边形的高斯画法有一个定理在这里要用到的：若长为|a|,|b|的线段可以用几何方法做出来，那么长为|c|的线段也能用几何方法做出的，其中c是方程x^2+ax+b=0的实根。
正十七边形尺规作图与详解
解读“数学王子”高斯正十七边形的作法一、高斯的传奇故事高斯(Carl Friedrich Gauss 1777.4.30~1855.2.23），德国数学家、物理学家、天文学家。
有一天，年幼的高斯在一旁看著作水泥工厂工头的父亲计算工人们的周薪。
父亲算了好一会儿，终于将结果算出来了。
可是万万没想到，他身边传来幼嫩的童音说：“爸爸，你算错了，总数应该是……”父亲感到很惊异，赶忙再算一遍，结果证实高斯的答案是对的。
这时的高斯只有3岁！高斯上小学了，教他们数学的老师布特勒(Buttner)是一个态度恶劣的人，他讲课时从不考虑学生的接受能力，有时还用鞭子惩罚学生。
有一天，布德勒让全班学生计算1+2+3+4+5+……+98+99+100＝？的总和，并且威胁说：“谁算不出来，就不准回家吃饭！”布德勒说完，就坐在一旁独自看起小说来，因为他认为，做这样一道题目是需要些时间的。
小朋友们开始计算：“1 + 2 ＝3，3+3＝6，6+4＝10，……”数越来越大，计算越来越困难。
但是不久，高斯就拿着写着解答的小石板走到布德勒的身边。
高斯说：“老师，我做完了，你看对不对？“做完了？这么快就做完了？肯定是胡乱做的！”布德勒连头都没抬，挥挥手说：“错了，错了！回去再算！”高斯站着不走，把小石板往前伸了伸说：“我这个答案是对的。
”布德勒抬头一看，大吃一惊。
小石板上写着5050，一点也没有错！高斯的算法是1 ＋2 ＋3＋……＋98＋99＋100100＋99＋98＋……＋3＋2＋1101＋101＋101＋……＋101＋101＋101＝101×100＝1010010100÷2＝5050高斯并不知道，他用的这种方法，其实就是古代数学家经过长期努力才找出来的求等差数列和的方法，那时他才八岁！1796年的一天，德国哥廷根大学。
高斯吃完晚饭，开始做导师给他单独布置的三道数学题。
前两道题他不费吹灰之力就做了出来了。
第三道题写在另一张小纸条上：要求只用圆规和没有刻度的直尺，作出一个正十七边形。
正十七边形尺规作图与详解.docx
实用标准文档解读“数学王子”高斯正十七边形的作法一、高斯的传奇故事高斯 (Carl Friedrich Gauss1777.4.30~1855.2.23），德国数学家、物理学家、天文学家。
有一天，年幼的高斯在一旁看著作水泥工厂工的父算工人的周薪。
父算了好一会儿，于将果算出来了。
可是万万没想到，他身来幼嫩的童音：“爸爸，你算了，数是⋯⋯”父感到很惊异，赶忙再算一遍，果高斯的答案是的。
的高斯只有 3 ！高斯上小学了，教他数学的老布特勒(Buttner)是一个度劣的人，他从不考学生的接受能力，有用鞭子学生。
有一天，布德勒全班学生算1+2+3+4+5+⋯⋯+98+99+100＝？的和，并且威：“ 算不出来，就不准回家吃！”布德勒完，就坐在一旁独自看起小来，因他，做一道目是需要些的。
小朋友开始算：“ 1 + 2＝3，3+3＝6，6+4＝10，⋯⋯”数越来越大，算越来越困。
但是不久，高斯就拿着写着解答的小石板走到布德勒的身。
高斯：“老，我做完了，你看不？“做完了？么快就做完了？肯定是胡乱做的！”布德勒都没抬，手：“ 了，了！回去再算！”高斯站着不走，把小石板往前伸了伸：“我个答案是的。
”布德勒抬一看，大吃一惊。
小石板上写着5050 ，一点也没有！高斯的算法是1＋ 2 ＋ 3＋⋯⋯＋ 98 ＋99 ＋ 100100＋99 ＋98＋⋯⋯＋3＋ 2＋1101＋ 101 ＋ 101 ＋⋯⋯＋101 ＋101 ＋ 101 ＝101 ×100 ＝1010010100 ÷2＝ 5050高斯并不知道，他用的种方法，其就是古代数学家期努力才找出来的求等差数列和的方法，那他才八！1796 年的一天，德国哥廷根大学。
高斯吃完晚，开始做他独布置的三道数学。
前两道他不吹灰之力就做了出来了。
第三道写在另一小条上：要求只用和没有刻度的直尺，作出一个正十七形。
道把他住了——所学的数学知竟然解出道没有任何帮助。
一分一秒的去了，第三道竟毫无展。
正十七边形尺规作图与详细讲解
解读“数学王子”高斯正十七边形的作法一、高斯的传奇故事高斯(Carl Friedrich Gauss 1777.4.30~1855.2.23），德国数学家、物理学家、天文学家。
有一天，年幼的高斯在一旁看著作水泥工厂工头的父亲计算工人们的周薪。
父亲算了好一会儿，终于将结果算出来了。
可是万万没想到，他身边传来幼嫩的童音说：“爸爸，你算错了，总数应该是……”父亲感到很惊异，赶忙再算一遍，结果证实高斯的答案是对的。
这时的高斯只有3岁！高斯上小学了，教他们数学的老师布特勒(Buttner)是一个态度恶劣的人，他讲课时从不考虑学生的接受能力，有时还用鞭子惩罚学生。
有一天，布德勒让全班学生计算1+2+3+4+5+……+98+99+100＝？的总和，并且威胁说：“谁算不出来，就不准回家吃饭！”布德勒说完，就坐在一旁独自看起小说来，因为他认为，做这样一道题目是需要些时间的。
小朋友们开始计算：“1 + 2 ＝3，3+3＝6，6+4＝10，……”数越来越大，计算越来越困难。
但是不久，高斯就拿着写着解答的小石板走到布德勒的身边。
高斯说：“老师，我做完了，你看对不对？“做完了？这么快就做完了？肯定是胡乱做的！”布德勒连头都没抬，挥挥手说：“错了，错了！回去再算！”高斯站着不走，把小石板往前伸了伸说：“我这个答案是对的。
”布德勒抬头一看，大吃一惊。
小石板上写着5050，一点也没有错！高斯的算法是1 ＋2 ＋3＋……＋98＋99＋100100＋99＋98＋……＋3＋2＋1101＋101＋101＋……＋101＋101＋101＝101×100＝1010010100÷2＝5050高斯并不知道，他用的这种方法，其实就是古代数学家经过长期努力才找出来的求等差数列和的方法，那时他才八岁！1796年的一天，德国哥廷根大学。
高斯吃完晚饭，开始做导师给他单独布置的三道数学题。
前两道题他不费吹灰之力就做了出来了。
第三道题写在另一张小纸条上：要求只用圆规和没有刻度的直尺，作出一个正十七边形。
正十七边形的画法及证明
正十七边形的画法及证明1796年的一天，德国哥廷根大学，一个很有数学天赋的19岁青年吃完晚饭，开始做导师单独布置给他的每天例行的三道数学题。
前两道题在两个小时内就顺利完成了。
第三道题写在另一张小纸条上：要求只用圆规和一把没有刻度的直尺，画出一个正17边形。
他感到非常吃力。
时间一分一秒的过去了，第三道题竟毫无进展。
这位青年绞尽脑汁，但他发现，自己学过的所有数学知识似乎对解开这道题都没有任何帮助。
困难反而激起了他的斗志：我一定要把它做出来！他拿起圆规和直尺，他一边思索一边在纸上画着，尝试着用一些超常规的思路去寻求答案。
当窗口露出曙光时，青年长舒了一口气，他终于完成了这道难题。
见到导师时，青年有些内疚和自责。
他对导师说：“您给我布置的第三道题，我竟然做了整整一个通宵，我辜负了您对我的栽培……”导师接过学生的作业一看，当即惊呆了。
他用颤抖的声音对青年说：“这是你自己做出来的吗？”青年有些疑惑地看着导师，回答道：“是我做的。
但是，我花了整整一个通宵。
”导师请他坐下，取出圆规和直尺，在书桌上铺开纸，让他当着自己的面再做出一个正17边形。
青年很快做出了一上正17边形。
导师激动地对他说：“你知不知道？你解开了一桩有两千多年历史的数学悬案！阿基米德没有解决，牛顿也没有解决，你竟然一个晚上就解出来了。
你是一个真正的天才！”原来，导师也一直想解开这道难题。
那天，他是因为失误，才将写有这道题目的纸条交给了学生。
每当这位青年回忆起这一幕时，总是说：“如果有人告诉我，这是一道有两千多年历史的数学难题，我可能永远也没有信心将它解出来。
”这位青年就是数学王子高斯。
高斯用代数的方法解决的，他也视此为生平得意之作，还交待要把正十七边形刻在他的墓碑上，但后来他的墓碑上并没有刻上十七边形，而是十七角星，因为负责刻碑的雕刻家认为，正十七边形和圆太像了，大家一定分辨不出来。
关于正十七边形的高斯画法有一个定理在这里要用到的：若长为|a|,|b|的线段可以用几何方法做出来，那么长为|c|的线段也能用几何方法做出的，其中c是方程x^2+ax+b=0的实根。
(完整word)尺规作图--作出正多边形
1：尺规作出正三角形
2尺规作出正方形
3：尺规作出正六边形
4:尺规作出正十边形
5：尺规作出正十六边形
6:尺规作出正十七边形
7：尺规作出正十五边形
8：尺规作出正五边形
9:单尺作出正八边形
10:单尺作出正方形
11：单尺作出正六边形
12：单尺作出正五边形
13：单规找出两点间的三等分点
14:单规找出两点间的中点
15：单规作出等边三角形
16:单规作出正八边形
17:单规作出正方形
18：单规作出正六边形
19：ห้องสมุดไป่ตู้规作出正十边形
20:单规作出正十二边形
21：单规作出正十六边形
22：单规作出正十五边形
23单规作出正五边形
24：只有两个刻度的直尺作出正三角形
25:只有两个刻度的直尺作出正方形
2尺规作出正方形
3：尺规作出正六边形
4:尺规作出正十边形
5：尺规作出正十六边形
6:尺规作出正十七边形
7：尺规作出正十五边形
8：尺规作出正五边形
9:单尺作出正八边形
10:单尺作出正方形
11：单尺作出正六边形
12：单尺作出正五边形
13：单规找出两点间的三等分点
14:单规找出两点间的中点
15：单规作出等边三角形
16:单规作出正八边形
17:单规作出正方形
18：单规作出正六边形
19：ห้องสมุดไป่ตู้规作出正十边形
20:单规作出正十二边形
21：单规作出正十六边形
22：单规作出正十五边形
23单规作出正五边形
24：只有两个刻度的直尺作出正三角形
25:只有两个刻度的直尺作出正方形
高斯十七等分圆周证明(高斯的十七边形)
高斯十七等分圆周证明(高斯的十七边形)你可以理解为从圆心引出几条射线。
把圆分成几个面积相等的扇区，就是几个相等的部分。
平分线是一条射线和一个圆的交点。
这和平分一条线段是一样的。
等分圆周是指利用直尺和圆规将圆周n等分，这是一个古老的数学问题。
古代希腊数学家利用尺规作图可将圆周分成3，4，5，15等分，并进而将分点逐次倍增，将圆周无限等分。
高斯(Gauss，1777-1855)曾证明可用尺规作图将圆周17等分，因而找到了正十七边形的尺规作图法。
为此，后人把这一图形铭刻在高斯纪念碑上等分圆周(circumference in equal parts)是圆内接正多边形的作图问题。
若圆周上依次有n个点A1，A2，A3，…，An(n≥2)，把整个圆周分成n段相等的弧：则称点A1，A2，…，An把圆周n等分，简称n等分圆周。
除二等分圆周外，用圆规直尺等分圆周与内接正多边形的作图实质是相同的问题。
高斯(C.F.Gauss)对等分圆周曾做出巨大贡献。
1796年，年仅19岁的高斯根据式子发现，圆内接正十七边形可用圆规直尺作图。
1801年，高斯又研究确定用圆规直尺等分圆周，等分数所应满足的充分必要条件(参见下文“用圆规直尺等分圆周问题”)，高斯临终遗言“在墓碑上刻正十七边形”，德国格丁根大学为他建立了一座以正十七棱柱为底座的纪念像用圆规直尺等分圆周问题是几何学历史中的一个著名问题，能仅用圆规直尺把圆周n等分，当且仅当n是如下形式的整数：1.n=2m(m为大于1的正整数)。
2.n=2m·p1·p2·…·pk，其中m=0，1，2，…，k=1，2，…，pi为型的不同素数，这是1801年高斯(C.F.Gauss)证明的，因此，在100以内可以用圆规直尺等分圆周的等分数只有24个：1型的五个为4，8，16，32，64；2型的十九个为3，6，12，24，48，96，5，10，20，40，80，15，30，60，17，34，68，51，85。
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尺规作图：正十七边形
2009-09-07 17:24:09
尺规作图是指使用圆规和没有刻度的直尺在有限步骤内的作图问题。
看似几何问题，实则是一
个代数问题。
比如要作一个角等于π/3，就是在给定的线段的垂直平分线上截取长度为√3/2的
线段，而作一条直线的垂线则是给定复平面上的一个点z=1，作出z'=√（-1）这个点。
把这个
说法更一般化一点，尺规作图问题可以描述成：在复平面上给定那个点z_0,z_1,……,z_n（这
些点的共轭可以得到），求复平面上全体可有这些点出发经直尺和圆规在有限步骤内可作出的
点（数）的集合M。
如果z∈M，即z可作，则z是F[x]中一个2^t次多项式的根，
F=Q(z_0,z_1,……,z_n,\bar(z_0),\bar(z_1),……,\bar(z_n))，其中Q为有理数域，\bar(z_k)为
z_k的共轭，1≤k≤n。
现在来看一下所谓的尺规作图三大难题。
1，三等分角。
给定一个角θ，要得到α=θ/3，即作出cos(α)。
而我们有
cos(θ)=cos(3α)=4cos(α)^3-3cos(α),
令cos(α)=a,cos(3α)=b为已知，则有
(2a)^3-3(a)-2b=0,
在一般情况下，这个方程不一定是可约的（如取θ=π/3），在这时2a不可做，因为他不可能是一个2^t次多项式的根。
除此之外尚有很多可以被三等分的角，如只要n不是3的倍数，则
α=π/3必可三等分。
事实上n和3互素，因此存在证书u和v，是的3u+nv=1，1/3n=u/n+v/3,所以α/3=π/3n=uπ/n+vπ/3，π/n和π/3都可作，所以α/3也可作。
2，倍立方。
即做一个正方体的体积是原正方体体积的2倍，相当于要作出x^3-2等于0的根，同1，这是不可能的。
3，化圆为方。
即作一个正方形使其面积等于给定的原的面积。
这相当于要作出x^2-π=0的根。
但是π不是代数数，即不是任何多项式的根，所以√π也是不可作的。
尺规作图里面还有一个经典的问题，作正n边形。
比如正三角形，正四边形，正五边形，正六
边形，正八边形，这些都是很容易就能做出来的，但是很长时间内人们找不到作正七变形和正
九边形的方法。
这一领域的下一个进展是1796年，高斯给出了正十七边形的作法。
1801年，高斯证明了如果k是费马素数，那么就可以用直尺和圆规作出正十七边形。
事实上可进一步推
广为如下结论：正n边形可作当且仅当n=(2^e)p_1p_2...p_r，e为非负整数，p_k为费马素数
1≤k≤r。
可以做如下简单的思考：要作正n边形，实际上就是要作n次本原单位根ω，使得
ω^n-1=0。
又[Q(ω):Q]=φ(n)，根据前面的讨论知φ(n)必为2^t的形式。
若n=(2^e)(p_1)
^a_1(p_2)^a_2...(p_r)^a_r，则φ(n)=(2^(e-1))(p_1-1)(p_1)^(a_1-1)(p_2-1)(p_2)^(a_2-1)...(p_r-1)(p_r)^(a_r-1)，要使其为为2^t的形式必有p_k为费马素数且a_k=1，1≤k≤r。
所谓费马素数是指形为F_n=2^(2^n)+1形式的素数。
当初费马猜想所有这种形状的数都是素数，他验证了前五个3，5，17，257，65537，这些都是素数。
但是1738年欧拉证明了当n=5时，F_5=4294967297=641*6700417，因此他不是素数。
事实是此后人们再也没有发现其他的费马素数，甚至猜想费马素数只有费马当初验证的5个数。
正三角形，正四边形和正五边形的做法是容易的。
这里给出正十七边形的做法，只要做出cos(2π/17)即可。
cos(2π/17)
做直角坐标系xoy（如下图），在x轴上以OA=4为半径作圆O交y轴于C。
取OE=|OA|/4=1，连接CE。
作EF=EF'。
在x轴上取FG=FC，F'G'=F'C。
以AG为直径作圆O'，交y轴于H，连接HG和HA，作IH=IJ=(OF'+F'G')。
作OJ的中垂线分别交圆O于K和L两点，则可证∠AOK=2π/17。
正十七边形
高斯之后数学家力西罗给出了正257边形的完善作法，作图过程印出来长达80页，接着盖尔
美斯又给出了正65537边形的作法，其手稿就装满了一个手提箱，现在保存在哥廷根大学。
这样，所有已知的费马素数都已经做出了对应的正多边形。