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第三节 条件概率与全概率公式先由一个简单的例子引入条件概率的概念.内容分布图示★ 概念引入★ 条件概率的定义 ★ 例1 ★ 例2★ 乘法公式★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6★ 全概率公式 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9★ 贝叶斯公式 ★ 例10 ★ 例11 ★ 例12★ 例13 ★ 例14★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题1-4内容要点：一、 条件概率的概念在解决许多概率问题时,往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率. 如在事件A 发生的条件下,求事件B 发生的条件概率,记作)|(A B P .定义1 设B A ,是两个事件, 且0)(>A P , 则称)()()|(A P AB P A B P = (1) 为在事件A 发生的条件下,事件B 的条件概率.相应地，把)(B P 称为无条件概率。
一般地，)|(A B P )(B P ≠.注: 1. 用维恩图表达(1)式.若事件A 已发生,则为使B 也发生,试验结果必须是既在A 中又在B 中的样本点,即此点必属于AB .因已知A 已发生,故A 成为计算条件概率)|(A B P 新的样本空间.2. 计算条件概率有两种方法:a) 在缩减的样本空间A 中求事件B 的概率，就得到)|(A B P ；b) 在样本空间S 中，先求事件)(AB P 和)(A P ，再按定义计算)|(A B P 。
二、乘法公式由条件概率的定义立即得到:)0)(()|()()(>=A P A B P A P AB P (2)注意到BA AB =, 及B A ,的对称性可得到:)0)(()|()()(>=B P B A P B P AB P (3)(2)和(3)式都称为乘法公式, 利用它们可计算两个事件同时发生的概率.三、全概率公式全概率公式是概率论中的一个基本公式。
它使一个复杂事件的概率计算问题，可化为在不同情况或不同原因或不同途径下发生的简单事件的概率的求和问题。
条件概率与全概率公式
条件概率是指在已知某一事件发生的情况下，另一事件发生的概率。
表示为P(A|B)，读作“B发生下A的概率”。
其中，A和B都是事件。
全概率公式是指在多个互斥事件的情况下，求解某事件发生的概率。
表示为P(A)=∑P(Bi)P(A|Bi)，其中，A和B1~Bn都是事件，且
B1~Bn互斥（即只能有一个事件发生）且构成全集（即所有事件的并集是样本空间）。
意思是将A发生的情况分别在B1到Bn分别发生下计算，再加起来就是A发生的概率。
例如，某次摇色子，摇出的数为1~6之一，设事件A为“得到奇数”，事件B为“得到4点以下的数”。
则P(A|B)表示在已知得到4以下的数的情况下，得到奇数的概率。
全概率公式中需要先考虑各个条件下得到4以下的数的概率，再乘以相应条件下得到奇数的概率，最后将得到奇数的结果相加，就可以得到最终的结果。
第 3节 条件概率与全概率公式基础知识诊断 回顾教材 务实基础【知识梳理】1．条件概率 （一）定义一般地，设A ，B 为两个事件，且()0P A >，称()()()|P AB P B A P A =为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率．|()P B A 读作A 发生的条件下B 发生的概率．注意：（1）条件概率|()P B A 中“|”后面就是条件；（2）若()0P A =，表示条件A 不可能发生，此时用条件概率公式计算|()P B A 就没有意义了，所以条件概率计算必须在()0P A >的情况下进行． （二）性质（1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即|0()1P B A ≤≤． （2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0． （3）如果B 与C 互斥，则()|||()()P BC A P B A P C A =+．注意：（1）如果知道事件A 发生会影响事件B 发生的概率，那么|()()P B P B A ≠；（2）已知A 发生，在此条件下B 发生，相当于AB 发生，要求|()P B A ，相当于把A 看作新的基本事件空间计算AB 发生的概率，即()()()()()()()()()|n AB n AB n P AB P B A n A n A P A n Ω===Ω． （三）计算方法（1）利用定义计算：先分别计算概率()P AB 和()P A ，然后代入公式()()()|P AB P B A P A =即可． （2）借助古典概型计算概率的公式：先求事件A 包含的基本事件数()n A ，再在事件A 发生的条件下求事件B 包含的基本事件数()n AB ，则()()()n AB P B A n A =． 2．相互独立与条件概率的关系 （一）相互独立事件的概念及性质 （1）相互独立事件的概念对于两个事件A ，B ，如果(|)()P B A P B =，则意味着事件A 的发生不影响事件B 发生的概率．设()0P A >，根据条件概率的计算公式，()()()()|P AB P B P B A P A ==，从而()()()P AB P A P B =． 由此我们可得：设A ，B 为两个事件，若()()()P AB P A P B =，则称事件A 与事件B 相互独立． （2）概率的乘法公式由条件概率的定义，对于任意两个事件A 与B ，若()0P A >，则()()()|P AB P A P B A =．我们称上式为概率的乘法公式．（3）相互独立事件的性质如果事件A ，B 互相独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立． （4）两个事件的相互独立性的推广两个事件的相互独立性可以推广到(2)n n n >∈*N ，个事件的相互独立性，即若事件1A ，2A ，…，n A 相互独立，则这n 个事件同时发生的概率1212()()()()n n P A A A P A A P A =．（二）事件的独立性（1）事件A 与B 相互独立的充要条件是()()()P AB P A P B ⋅=． （2）当()0P B >时，A 与B 独立的充要条件是())|(P A B P A =． （3）如果()0P A >，A 与B 独立，则()()(|)()()()()P AB P A P B P B A P B P A P A ⋅===成立． 3．全概率公式（一）全概率公式（由因求果）（1）()()()()()||P B P A P B A P A P B A =+；（2）定理1 若样本空间Ω中的事件1A ，2A ，…，n A 满足： ①任意两个事件均互斥，即i j A A =∅，12i j n =，，，，，i j ≠； ②12n A A A +++=Ω；③()0i P A >，12i n =，，，. 则对Ω中的任意事件B ，都有12n B BA BA BA =+++，且11()()()()|n ni i i i i P B P BA P A P B A ====∑∑.证明：如下图所示， 因为事件12n A A A ，，，中有且只有一个与事件B 同时发生，其中12n A A A ，，，互斥，即∑==ni iBA B 1，显然12nBA BA BA ，，也互不相容. 所以由概率的加法公式和概率的乘法公式得： 1()()ni i P B P BA ==∑()12n P BA BA BA =++12()() ()n P BA P BA P BA =+++1122()(|)()(|)()(|) n n P A P B A P A P B A P A P B A =+++1()(|)ni i i P A P B A ==∑即得到全概率公式：1()()()|ni i i P B P A P B A ==∑注：（1）内涵：全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率计算，即运用了“化整为零”的思想处理问题.我们认真分析定理1中的已知条件后，将所研究事件的试验结果视为B ，而导致事件B 发生的若干不同的假设情况也可以理解为各种原因视为12n A A A ，，，，而且只有12n A A A ，，，发生了才有事件B 的发生，那么全概率公式做出了由因求果的推断.（2）关键点：什么样的问题适用于这个公式？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式.合理选择12n A A A ，，，，()(|)(12)i i P A P B A i n ，，，，易求. （二）贝叶斯公式（执果求因）(1)一般地，当0()1P A <<且()0P B >时，有()()()()()()()()(|(||))|P A P B A P A P B A P A B P B P A P B A P A P B A ==+(2)定理2 若样本空间Ω中的事件12n A A A ，，，满足：①任意两个事件均互斥，即i j A A =∅，12i j n =，，，，，i j ≠；②12n A A A +++=Ω；③()01i P A <<，12i n =，，，. 则对Ω中的任意概率非零的事件B ，都有12n B BA BA BA =+++，且1()()()()()())|||(()j j j j j niii P A P B A P A P B A P A B P B P A P B A ===∑注：（1）在理论研究和实际中还会遇到一类问题，这就是需要根据试验发生的结果寻找原因，看看导致这一试验结果的各种可能的原因中哪个起主要作用，解决这类问题的方法就是使用贝叶斯公式.贝叶斯公式的意义是导致事件B 发生的各种原因可能性的大小，称之为后验概率.（2）贝叶斯公式充分体现了|()P A B ，()P A ，()P B ，|()P B A ，|()P B A ，()P AB 之间的转关系，即()()()|P AB P A B P B =，()()()()()||P AB P A B P B P B A P A ==，()()()()()||P B P A P B A P A P B A =+之间的内在联系．考点聚焦突破 分类讲练 以例求法 考点一 条件概率【例1】一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为A ；事件“第二次抽到黑球”为B . （1）分别求事件A ，B ，A B 发生的概率；（2）求|()P B A ．【解题总结】用定义法求条件概率)(A B P 的步骤 （1）分析题意，弄清概率模型； （2）计算()P A ，()P AB ； （3）代入公式求(()|))(P A B P B A P A =.【例2】现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：（1）第1次抽到舞蹈节目的概率；（2）第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；（3）在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．【解题总结】1．例2第(3)问利用了两种求条件概率的方法，法一为定义法，法二利用基本事件个数直接作商，是一种重要的求条件概率的方法． 2．计算条件概率的方法(1)在缩小后的样本空间A Ω中计算事件B 发生的概率，即|()P B A ． (2)在原样本空间Ω中，先计算()P AB ，()P A ，再利用公式(()|))(P A B P B A P A =计算求得|()P B A ．【例3】在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率．【解题总结】为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件，求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率（如例3）．利用公式()|||()()P B C A P B A P C A=+可使条件概率的计算较为简单，但应注意这个性质的使用前提是“B与C互斥”．【训练1】根据以往数据统计,某酒店一商务房间1天有客人入住的概率为45，连续2天有客人入住的概率为35,在该房间第一天有客人入住的条件下,求第二天也有客人入住的概率．【训练2】从1、2、3、4、5、6、7、8、9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的是3的整数倍”，求在A的条件下B发生的概率.【训练3】某人一周晚上值班2次，在已知他周日一定值班的条件下，求他在周六晚上或周五晚上值班的概率．考点二相互独立与条件概率的关系【例1】判断下列各对事件是否是相互独立事件．（1）甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生．现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；（2）容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；（3）掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．【解题总结】判断事件是否相互独立的方法（1）定义法：事件A，B相互独立⇔()()()P A B P A P B⋅=．（2）由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．（3）条件概率法：当()0P A>时，可用(|)()P B A P B=判断．【例2】面对某种流感病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有A，B，C三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是15，14，13.求：（1）他们都研制出疫苗的概率；（2）他们都失败的概率；（3）他们能够研制出疫苗的概率．【解题总结】1．求相互独立事件同时发生的概率的步骤（1）首先确定各事件之间是相互独立的；（2）确定这些事件可以同时发生；（3）求出每个事件的概率，再求积．2．使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们能同时发生．【例3】在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中1个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．【解题总结】1．求复杂事件的概率一般可分三步进行（1）列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示它们；（2）理清各事件之间的关系，恰当地用事件间的“并”“交”表示所求事件； （3）根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算．2．计算事件同时发生的概率常用直接法，当遇到“至少”“至多”问题，考虑逆向思维，考查原事件的对立事件，用间接法处理．【训练1】在同一时间内，甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为45和34.在同一时间内，求： （1）甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率； （2）至少有一个气象台预报准确的概率．【训练2】一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A ＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B ＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A 与B 的独立性： （1）家庭中有两个小孩；（2）家庭中有三个小孩．考点三 全概率公式考向1 全概率公式及其应用【例1】甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品． (1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．【解题总结】全概率公式1()()()|ni i i P B P A P B A ==∑在解题中体现了“化整为零、各个击破”的转化思想，可将较为复杂的概率计算分解为一些较为容易的情况分别进行考虑．考向2 贝叶斯公式及其应用【例2】一项血液化验用来鉴别是否患有某种疾病．在患有此种疾病的人群中，通过化验有0095的人呈阳性反应，而健康的人通过化验也会有001的人呈阳性反应．某地区此种病的患者仅占人口的000.5．若某人化验结果为阳性，问此人确实患有此病的概率是多大？【解题总结】1．利用贝叶斯公式求概率的步骤第一步：利用全概率公式计算()P A ，即1()()()|ni i i P A P B P A B ==∑；第二步：计算()P AB ，可利用()()()|P AB P B P A B =求解； 第三步：代入()()()|P AB P B A P A =求解． 2．贝叶斯概率公式反映了条件概率()()()|P AB P B A P A =，全概率公式1()()()|ni i i P A P B P A B ==∑及乘法公式()()()|P AB P B P A B =之间的关系，即1|()()()()()()()()()(||)j j j j j j niii P B A P B P A B P B P A B P B A P A P A P B P A B ====∑.考向3 全概率公式与贝叶斯公式的综合应用【例3】假定具有症状}{1234S S S S S =，，，的疾病有1d ，2d ，3d 三种，现从20000份患有疾病1d ，2d ，3d 的病历卡中统计得到下列数字：试问当一个具有S诊断手段情况下，诊断该病人患有这三种疾病中哪一种较合适？【解题总结】1．若随机试验可以看成分两个阶段进行，且第一阶段的各试验结果具体结果怎样未知，那么：（1）如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式；（2）如果第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式，类似于求条件概率，熟记这个特征，在遇到相关的题目时，可以准确地选择方法进行计算，保证解题的正确高效.2．“由因求果”用全概率公式，“执果求因”用贝叶斯公式.【训练1】某小组有20名射手，其中一、二、三、四级射手分别有2、6、9、3名．又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85、0.64、0.45、0.32，今随机选一人参加比赛，求该小组在比赛中射中目标的概率．【训练2】袋中有10个黑球，5个白球．现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球．若已知取出的球全是白球，求掷出3点的概率．【训练3】设甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区感染此病的比例分别为17，15，14.现从这三个地区任抽取一个人．（1）求此人感染此病的概率；（2）若此人感染此病，求此人来自乙地区的概率．。
