【精品】2017年河北省保定市定州中学高二上学期期中数学试卷带解析答案
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河北省定州中学2020-2021学年高二上学期开学考试数学试题学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、单选题1.若关于x 方程()22120x m x m +-+-=的一个实根小于-1,另一个实根大于1,则实数m 的取值范围是( )A .(B .()2,0-C .()2,1-D .()0,1 2.直角梯形ABCD ,满足,,222AB AD CD AD AB AD CD ⊥⊥===,现将其沿AC 折叠成三棱锥D ABC -,当三棱锥D ABC -体积取最大值时其表面积为A .(122B .(142C .(152+D .(132+ 3.已知定义域为R 的函数 f x () 的导函数为'f x () ,且满足'24f x f x ()﹣()> ,若01f =()﹣ ,则不等式22x f x e +()> 的解集为( ) A .∞(0,+) B .1+∞(﹣,) C .0∞(﹣,) D .1(﹣,﹣)∞ 4.设函数()f x 在R 上存在导数()f x ', x R ∀∈,有()()2f x f x x -+=,在()0,∞+上()f x x '<,若()()22220f m f m m m -+--+-≥,则实数m 的取值范围为( )A .[]1,1-B .[)1,+∞C .[)2,+∞D .][(),22,-∞-⋃+∞ 5.已知三棱锥A BCD -的四个顶点,,,A B C D 都在球O 的表面上,,BC CD AC ⊥⊥平面BCD ,且2AC BC CD ===,则球O 的表面积为 ( )A .4πB .8πC .16πD . 6.已知,A B 是球O 的球面上两点, 60AOB ∠=︒, C 为该球面上的动点,若三棱锥O ABC -体积的最大值为O 的体积为( )A .81πB .128πC .144πD .288π 7.已知函数()2f x x bx c =++的两个零点12,x x 满足123x x -<,集合()}{0A m f m =<,则( )A .∀m ∈A ,都有f (m +3)>0B .∀m ∈A ,都有f (m +3)<0C .∃m 0∈A ,使得f (m 0+3)=0D .∃m 0∈A ,使得f (m 0+3)<08.已知,a b 是实数,关于x 的方程21x ax b x +=-有4个不同的实数根,则a b +的取值范围为( )A .()2,+∞B .()2,2-C .()2,6D .(),2-∞ 9.已知()2,02,{814,2,x f x x x x <≤=-+>若存在互不相同的四个实数0<a <b <c <d 满足f(a )=f (b )=f (c )=f (d ),则ab +c +2d 的取值范围是()A .(13,13+B .(13,15) C .[13+15] D .(13+15)10.如图,在OMN ∆中,A 、B 分别是OM 、ON 的中点,若OP xOA yOB =+(x ,y R ∈),且点P 落在四边形ABNM 内(含边界),则12y x y +++的取值范围是( )A .12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B .13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦11.已知x ,y R +∈,且满足22x y xy +=,那么4x y +的最小值为( )A.3 B.3+C.3 D.12.锐角三角形ABC 的三边长,,a b c 成等差数列,且22221a b c ++=,则实数b 的取值范围是( )A .B .(C .5⎛ ⎝D .(6,7]二、填空题13.若函数()()y f x x R =∈满足()()2f x f x +=且[]()21,11x f x x ∈-=-时,;函数()lg g x x =,则()()()[],5,5F x f x g x x =-∈-的零点有_____个14.已知抛物线2:4C y x =焦点为F ,直线MN 过焦点F 且与抛物线C 交于M N 、两点,P 为抛物线C 准线l 上一点且PF MN ⊥,连接PM 交y 轴于Q 点,过Q 作QD MF ⊥于点D ,若2MD FN =,则MF =__________.15.已知等腰Rt ABC ∆中, 2AB AC ==, ,D E 分别为,AB AC 的中点,沿DE 将ABC ∆折成直二面角(如图),则四棱锥A DECB -的外接球的表面积为__________.16.关于x 的不等式a 34≤x 2﹣3x +4≤b 的解集为[a ,b ],则b -a =________.三、解答题 17.已知函数()()2ln ,f x x g x x x m ==--. (1)当0m =时,若0a >,求函数()()()F x f x g x =-在(]0,a 的最大值;(2)若()()()22xf xg x x x e +<--在()0,3x ∈恒成立(其中 2.718...,e e =为自然对数的底数),求实数m 的取值范围.18.()()256ln f x a x x =-+,其中a R ∈,曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与y 轴相交于点()0,6.(1)确定a 的值;(2)求函数()f x 的单调区间与极值.参考答案1.D【解析】试题分析:令,由题设,即,解之得,故应选D. 考点:二次函数的图象和性质的运用.2.D【解析】如图所示:过点D 作DO AC ⊥,翻折过程中,当DO ABC ⊥面时,三棱锥D ABC -体积最大,此时,DO BC ⊥又BC AC ⊥,所以ADC BC ⊥面,所以BC CD ⊥.,BC AD ⊥,所以BCD AD 面⊥.所以AD BD ⊥. 此时,111221,11,222ABC ADC S S =⨯⨯==⨯⨯=12121,132222ACD ADB S S =⨯⨯==⨯⨯=.表面积为(11132222+++=+. 故选D. 点睛:解本题的关键是明确何时体积最大,从空间角度,我们可以想象抬的“越高”体积越大,借助于辅助线DO 即可说明.3.A【解析】设()()22x f x F x e +=,则()()()224x f x f x F x e '--'=,∵f (x )−2f ′(x )−4>0,∴F ′(x )>0,即函数F (x )在定义域上单调递增,∵f (0)=−1,∴F (0)=1,∴不等式f (x )+2>e 2x 等价为不等式()221e x f x +>等价为F (x )>F (0), 解得x >0,故不等式的解集为(0,+∞),本题选择A 选项.4.B【解析】 令21()()2g x f x x =- ,则()()0,()()0g x f x x g x g x =-<+-'=',所以()g x 为R 上单调递减奇函数,()()22220f m f m m m -+--+-≥(2)()0(2)()(2)()21g m g m g m g m g m g m m m m ⇒-+-≥⇒-≥--⇒-≥⇒-≤⇒≥选B.点睛:利用导数解抽象函数不等式,实质是利用导数研究对应函数单调性,而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行:如()()f x f x '<构造()()xf xg x e =,()()0f x f x '+<构造()()x g x e f x =,()()xf x f x '<构造()()f x g x x=,()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等5.C【解析】 由题意可知CA ,CB ,CD 两两垂直,所以补形为长方形,三棱锥与长方体共球,()(222222216R =++=,求的外接球的表面积2416S R ππ==,选C【点睛】 求共点三条侧棱两两垂直的三棱锥外接球相关问题,我们常用的方法为补形成长方体,转化为求长方体的外接球问题。
高二理科数学试题第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.1.设a ,b 是正实数,则“1a b >>”是“22log log 0a b >>”的( ) A .充要条件 B .充分不必要条件 C .必要不充分条件 D .既不充分也不必要条件2.下列说法中正确的是( )A .“1a =”是直线“1l :210ax y +-=与直线2l :(1)40x a y +++=平行”的充要条件B .命题“x R ∃∈,20x x ->”的否定“x R ∀∈,20x x ->”C .命题“若0m >,则方程20x x m +-=有实数根”的逆否命题为“若方程20x x m +-=无实数根,则0m ≤”D .若p q ∧为假命题,则p ,q 均为假命题3.若n 是2和8的等比中项,则圆锥曲线221y x n+=的离心率是( )A B C D4.在平面区域02,02x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩内随机取一点,在所取的点恰好满足x y +≤ )A .116B .18C .14D .125.从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ,…,n x ,1y ,2y ,…,n y 构成n 个数对11(,)x y ,22(,)x y ,…,(,)n n x y ,其中两数的平方和小于1的数对共有m 个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A .4n mB .2n mC .4mnD .2mn6.某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y (单位:千元)的数据如下表:若y 关于t 的线性回归方程为 0.5y t a =+,则据此该地区2017年农村居民家庭人均纯收入约为( ) A .6.3千元B .7.5千元C .6.7千元D .7.8千元7.某学校有学生2500人,教师350人,后勤职工150人,为了调查队食堂服务的满意度,用分层抽样从中抽取300人,则学生甲被抽到的概率为( ) A .110B .1300C .12500D .130008.设圆22(1)25x y ++=的圆心为C ,(1,0)A 是圆内一定点,Q 为圆周上任一点,线段AQ 的垂直平分线于CQ 的连线交于点M ,则M 的轨迹方程为( )A .224412125x y -=B .224412125x y +=C .224412521x y -=D .2244+12521x y =9.若曲线3y x =的切线方程为2y kx =+,则k =( )A .1-B .1C .3-D .310.某校3名教师和3名学生共6人去北京参加学习方法研讨会,须乘坐两辆车,每车坐人,则恰有两名教师在同一车上的概率( ) A .19B .23C .920D .2511.过双曲线22115y x -=的右支上一点P ,分别向圆1C :22(+4)+4x y =和圆2C :22(4)1x y -+=作切线,切点分别为M ,N ,则22||||PM PN -的最小值为( )A .10B .13C . 16D .1912.已知A ,B 分别为椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点,不同两点P ,Q 在椭圆C 上,且关于x 轴对称,设直线AP ,BQ 的斜率分别为m ,n ,则当13a b mn-取最大值时,椭圆C 的离心率为( ) ABC .12D第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.某班级有50名学生,现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生,将这50名学生随机编号1-50号,并分组,第一组1-5号,第二组6-10号,…,第十组46-50号,若在第三组中抽得号码为12的学生,则在第八组中抽得号码为 的学生. 14.若动圆M 与圆1C :22(4)2x y ++=外切,且与圆2C :22(4)2x y -+=内切,则动圆圆心M 的轨迹方程 .15.如图所示,在长方体1111OABC O A B C -中,||2OA =,||3AB =,1||3AA =,M 是1CB 与1BO 的交点,则M 点的坐标是 .16.设动点P 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上,记11D PD Bλ=,当APC ∠为钝角时,λ的取值范围是 .三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.为贯彻落实教育部等6部门《关于加快发展青少年校园足球的实施意见》,全面提高我市中学生的体质健康水平,普及足球知识和技能,市教体局决定矩形春季校园足球联赛,为迎接此次联赛,甲同学选拔了20名学生组成集训队,现统计了这20名学生的身高,记录如下表:(1)请计算着20名学生的身高中位数、众数,并补充完成下面的茎叶图:(2)身高为185cm 和188cm 的四名学生分别为A ,B ,C ,D ,先从这四名学生中选2名担任正副门将,请利用列举法列出所有可能情况,并求学生A 入选正门将的概率. 18.设命题p :函数2()lg()16af x ax x =-+的定义域为R ;命题q :不等式39x x a -<对一切x R ∈均成立.(1)如果p 是真命题,求实数a 的取值范围;(2)如果命题“p q ∨”为真命题,“p q ∧”为假命题,求实数a 的取值范围. 19.在如图所示的圆台中,AC 是下底面圆O 的直径,EF 是上底面圆'O 的直径,FB 是圆台的一条母线.(1)已知G ,H 分别为EC ,FB 的中点,求证://GH 平面ABC ;(2)已知12EF FB AC ===AB BC =,求二面角F BC A --的余弦值.20.已知点(0,2)A -,椭圆E :22221(0)x y a b a b +=>>,F 是椭圆E 的右焦点,直线AF O 为坐标原点. (1)求E 的方程;(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ,Q 两点,当OPQ ∆的面积最大时,求l 的直线方程.21.如图,菱形ABCD 与正三角形BCE 的边长均为2,它们所在平面互相垂直,FD ⊥平面ABCD ,且FD =.(1)若60BCD ∠=︒,求证:BC ⊥EF ;(2)若60CBA ∠=︒,求直线AF 与平面FBE 所成角的正弦值.22.已知抛物线C :24y x =,过焦点F 斜率大于零的直线l 交抛物线于A 、B 两点,且与其准线交于点D .(1)若线段AB 的长为5,求直线l 的方程;(2)在C 上是否存在点M ,使得对任意直线l ,直线MA ,MD ,MB 的斜率始终成等差数列,若存在求点M 的坐标;若不存在,请说明理由.定州市2016-2017学年度第一学期期中考试高二理科数学试题答案一、选择题二、填空题13.37 14.221(214x y x -=≥ 15.33(1,,)22 16.1(,1)3三、解答题17.解:(1)中位数为177cm ,众数为178cm ,茎叶图如下:(2)正副门将的所有可能情况为:(,)A B ,(,)B A ,(,)A C ,(,)C A ,(),A D ,(),D A ,(),B C ,(),C B ,(),B D ,(),D B ,(,)C D ,(),D C 共12种,其中学生A 入选正门将有(,)A B ,(,)A C ,(),A D 共3种,故学生A 入选正门将的概率为31124=. 18.解:(1)命题p 是真命题,则有0a >,0∆<,a 的取值范围为2a >.①p 真q 假,2a >,且14a ≤,则得a 不存在; ②若p 假q 真,则得124a <≤. 综上,实数a 的取值范围124a <≤.19.(1)证明:设FC 的中点为I ,连接GI ,HI , 在△CEF ,因为G 是CE 的中点,所以//GI EF , 又//EF OB ,所以//GI OB .在△CFB 中,因为H 是FB 的中点,所以//HI BC , 又HI GI I = ,所以平面//GHI 平面ABC , 因为GH ⊂平面GHI ,所以//GH 平面ABC . (2)连接'OO ,则'OO ⊥平面ABC ,又AB BC =,且AC 是圆O 的直径,所以BO AC ⊥, 以O 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -,由题意得(0,B,(C -,过点F 作FM 垂直OB 于点M ,所以3FM ==,可得F .故(BC =--,(0,BF =. 设(,,)m x y z =是平面BCF 的一个法向量,由0,0,m BC m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得0,30,z ⎧--=⎪⎨+=⎪⎩可得平面BCF的一个法向量(m =- , 因为平面ABC 的一个法向量(0,0,1)n =,所以cos ,||||m n m n m n ⋅<>==⋅所以二面角F BC A --.20.解:(1)设右焦点(,0)F c ,由条件知,2c =c =又c a =2a =,2221b a c =-=,故椭圆E 的方程为2214x y +=.(2)当l ⊥x 轴时不合题意,故设直线l :2y kx =-,11(,)P x y ,22(,)Q x y .将2y kx =-代入2214x y +=,得22(14)16120k x kx +-+=,当216(43)0k ∆=->,即234k >时,1,2x =从而12|||PQ x x =-=, 又点O 到直线PQ 的距离d =,所以OPQ ∆的面积1||2OPQS d PQ ∆=⋅=t =,则0t >, 24444OPQ t S t t t∆==++,因为44t t+≥,当且仅当2t =时,k =0∆>.所以当△OPQ 的面积最大时,l 的方程为2y x =-或2y x =-.21.(1)证明:如图,过点E 作EH ⊥BC 于H ,连接HD,∴EH =. ∵平面ABCD ⊥平面BCE ,EH ⊂平面BCE ,平面ABCD 平面BCE BC =, ∴EH ⊥平面ABCD . 又∵FD ⊥平面ABCD,FD =,∴//FD EH ,且FD EH =.∴四边形EHDF 为平行四边形, ∴//EF HD ,在等边三角形BCD 中,BC ⊥DH ,则BC EF ⊥.(2)连接HA ,由(1),得H 为BC 中点,又60CBA ∠=︒,△ABC 为等边三角形, ∴HA ⊥BC ,分别以HB ,HA ,HE 为x ,y ,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系H xyz -.则(1,0,0)B,(F -,E,A ,(BF =-,(BA =-,(BE =-,设平面EBF 的法向量为1111(,,)n x y z =,由110,0,n BF n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得1111130,0,x x ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩令11z =,得12,1)n =,1||||cos AF n AF n θ⋅=⋅,cos θ=直线AF 与平面EBF.22.解:(1)焦点(1,0)F ,∵直线l 的斜率不为0,所以设l :1x my =+,11(,)A x y ,22(,)B x y ,由21,4,x my y x =+⎧⎨=⎩得2440y my --=, ∴124y y m +=,124y y =-,21212()242x x m y y m +=++=+,2221212(4)14416y y x x -=⋅==, ∴212||2445AB x x m =++=+=,∴214m =, ∴直线l 的斜率24k =, ∵0k >,∴2k =,∴直线l 的方程为220x y --=.(2)设2(,2)M a a ,1122211122424MA y a y a k y x a y a a =--===-+-, 同理242MB k y a=+,2221MDa m k a +=+, ∵直线MA ,MD ,MB 的斜率始终成等差数列, ∴2MD MA MB k k k =+恒成立,即2124444122a m a y a y a +=++++恒成立. 212111122a m a y a y a +=++++,即122212121412()4a y y a m a y y a y y a +++=++++,把124y y m +=,124y y =-代入上式,得21(1)()0a m m-+=恒成立,∴1a =±. ∴存在点(1,2)M 或(1,2)M -,使得对任意直线l ,直线MA ,MD ,MB 的斜率始终成等差数列.。
定州中学2016一2017学年第一学期高二承智班开学考试数学试题一、选择题:共12题 每题5分 共60分1.若一个四棱锥底面为正方形, 顶点在底面的射影为正方形的中心, 且该四棱锥的体积为9,当其外接球的体积最小时, 它的高为( )A .3B .22C .23D .33 2.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A .16B .26C .32D .252034+3.已知三个平面,,αβγ,若βγ⊥,α与γ相交但不垂直,,a b 分别为,αβ内的直线,则下列结论正确的是( )A .,a ααγ∃⊂⊥B .,//a ααγ∃⊂C .,b b βγ∀⊂⊥D .,//a b βγ∀⊂4.一个几何体的三视图如图所示,其中府视图与侧视图均为半径是1的圆,则这个几何体的体积是( )A .3πB .23π C .π D .43π 5.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为扇形,则该几何体的体积为( )A .32π B .3π C .92π D .916π6.类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质,可得出空间内的下列结论: ①垂直于同一个平面的两条直线互相平行; ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行; ③垂直于同一个平面的两个平面互相平行; ④垂直于同一条直线的两个平面互相平行. 其中正确的结论是( )A .①②B .②③C .①④D .③④7.已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上,△ABC 是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为( )A 2B 3C 228.某几何体的三视图如图所示(单位:cm ),则该几何体的体积是( )A .34cmB .36cmC .3163cm D .3203cm 9.如图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )俯视图侧视图正视图12222A .π220+B .π320+C .π224+D .π324+ 10.用半径为6的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面,则此圆锥的体积为( ) A. 93π B.18π C. 6π D. 33π11.如图,三棱锥P ABC -的棱长都相等,D 是棱AB 的中点,则直线PD 与直线BC 所成角的余弦值为( )A.1233612.若长方体的一个顶点上三条棱长分别是1、2、2,且它的八个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是( )A .6πB .9πC .3πD .12π二、填空题:共4题 每题5分 共20分13.已知点()2,1A --,()1,5B -,点P 是圆C :()()22214x y -+-=上的动点,则∆PAB 面积的最大值与最小值之差为 .14..已知在直角梯形ABCD 中,222,,===⊥⊥CD AD AB AD CD AD AB ,将直角梯形ABCD 沿AC 折叠成三棱锥ABC D -,当三棱锥ABC D -的体积取最大值时,其外接球的体积为______. 15.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球表面积是 .16.在三棱柱111C B A ABC -中侧棱垂直于底面,90=∠ACB ,30=∠BAC ,1=BC ,且三棱柱111C B A ABC -的体积为3,则三棱柱111C B A ABC -的外接球的表面积为 .三、解答题:共8题 共70分17.如图,在四棱锥P ABCD -中,PC ⊥底面ABCD ,底面ABCD 是直角梯形,AB AD ⊥,//AB CD ,222AB AD CD ===,E 是PB 上的点.(Ⅰ)求证:平面EAC ⊥平面PBC ;(Ⅱ)若E 是PB 的中点,且二面角P AC E --的余弦值为63,求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值.18.如图,已知AB ⊥平面ACD ,DE ∥AB ,△ACD 是正三角形,AD =DE =2AB ,且F 是CD 的中点.(1)求证:AF ∥平面BCE ; (2)求证:平面BCE ⊥平面CDE ;(3)求平面BCE 与平面ACD 所成锐二面角的大小.19.如图,三棱锥P ABC -中,PA ⊥平面,1,3,2ABC PA AB BC AC ====.(1)求证:BC ⊥平面PAB ;(2)若AE PB ⊥于点,E AF PC ⊥于点F ,求四棱锥A BCFE -的体积. 20.选修4-1:几何证明选讲如图,四边形ABCD 中,,AB AC AD AH CD ==⊥ 于H ,BD 交AH 于P ,且PC BC ⊥.(1)求证:A 、B 、C 、P 四点共圆; (2)若,13CAD AB π∠==,求四边形ABCP 的面积.21.已知Rt ABC ∆中,03,4,90,2,2AB BC ABC AE EB AF FC ==∠===,将AEF ∆沿EF 折起,使A 变到A ',使平面A EF '⊥平面EFCB .(1)试在线段A C '上确定一点H ,使//FH 平面A BE ';(2)试求三棱锥A EBC '-的外接球的半径与三棱锥A EBC '-的表面积. 22.如图,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为矩形,PA ⊥平面ABCD,E 是PD 的中点.(Ⅰ)证明:PB //平面AEC ;(Ⅱ)设1,3AP AD ==,三棱锥P ABD -的体积34V =,求A 到平面PBC 的距离.23.如图,在四棱柱ABCD -A1B1C1D1中,侧棱AA1⊥底面ABCD ,AB ∥DC ,.(Ⅰ)求证:CD ⊥平面ADD 1A 1;(Ⅱ)若直线AA 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为,求k 的值.24.已知直线1:260l ax y ++=和22:(1)10l x a y a +-+-=. (1)若12l l ⊥,求实数a 的值; (2)若12//l l ,求实数a 的值.1.A 【解析】试题分析:设四棱锥底面正方形边长为a ,四棱锥高为h ,外接球半径为R ,则222219,(h R)32a ha R ==-+,所以2227272,224h hR h R h h =+=+,因为3127=0322R h h '=-⇒=,所以3h =时R 取唯一一个极小值,也是最小值,即外接球的体积最小,因此选A. 考点:导数实际应用【方法点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤:第一步:利用f′(x )>0或f′(x )<0求单调区间;第二步:解f′(x )=0得两个根x 1、x 2;第三步:比较两根同区间端点的大小;第四步:求极值;第五步:比较极值同端点值的大小. 2.C 【解析】试题分析:几何体为一个三棱锥,一条长为4侧棱垂直底面,底面为直角三角形,直角边分别为3和4;三个侧面皆为直角三角形,因此表面积为111143454345322222⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=,选C.考点:三视图 【名师点睛】1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图.2.三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”,因此,可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据. 3.B 【解析】试题分析:很容易运用反例验证答案A, C, D 都是不正确的,故应选答案B. 考点:空间直线与平面的位置关系. 4.C试题分析:由三视图可知该几何体为一个球体的43,缺口部分为挖去的41.∵球的半径1=R ,∴ππ=⨯⨯⨯=13443V ,故选:C . 考点:由三视图求面积,体积. 5.D 【解析】试题分析:由三视图知几何体是圆锥的一部分,由正视图可得:底面扇形的圆心角为 120,又由侧视图知几何体的高为4,底面圆的半径为2,∴几何体的体积ππ91642313601202=⨯⨯⨯⨯=V .故答案为:D.考点:由三视图求面积,体积. 6.C 【解析】试题分析:①垂直于同一个平面的两条直线互相平行,故正确.②垂直于同一条直线的两条直线互相平行,不一定平行,也可能相交直线,异面直线,故不正确.③垂直于同一个平面的两个平面互相平行;不一定平行,也可能相交平面,如墙角,故不正确.④垂直于同一条直线的两个平面互相平行.故正确.故选:C . 考点:类比推理. 7.A 【解析】试题分析:连接OC OB OA ,,,则由已知得1======AC BC AB OC OB OA ,可知三棱锥ABC O -是棱长为1的正四面体,其高为36,则三棱锥ABC S -的高为362,所以三棱锥ABC S -的体积为623624331=⨯⨯. 考点:三棱锥外接球. 8.C试题分析:由三视图可知,该几何体为三棱锥与三棱柱的组合体,且三棱锥体积为3422221311=⨯⨯⨯⨯=V ,三棱柱体积为4222212=⨯⨯⨯=V ,故所求体积为3316434cm =+.考点:三视图. 9.B 【解析】试题分析:由三视图可知,该几何体为半圆柱与正方体的组合体,则其表面积πππ3202252121212212+=⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=S . 考点:三视图. 10.A 【解析】 试题分析:设圆锥的母线和底面半径长分别为21,6,26,3,33l r l r r V πππ∴==⨯∴=∴=⨯π39=,故选A.考点:圆锥的侧面积和体积公式. 11.C 【解析】试题分析:取AC 中点E ,连接,,//DE PE DE BC ∴,则直线PD 与直线BC 所成角为PDE ∠,设四棱锥棱长为1,,,cos 2a PD PE DE a PDE ∴===∴∠6321232)23()21()23(222=⨯⨯-+=aa a a a ,故选C.E DCBAP考点:异面直线所成的角.【易错点睛】本题主要考查了异面直线所成角.异面直线所成角的求解技巧求异面直线所成的角采用“平移线段法”,平移的方法一般有三种类型:利用图中已有的平行线平移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平移.计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行.异面直线所成角一般以选择填空题出现. 12.B 【解析】试题分析:由题意得,此问题是球内接长方体,所以可得长方体的对角线长等于球的直径,即23R ==,所以32R =,所以求得表面积为22344()92S R πππ==⨯=. 故选B.考点:几何体的外接球. 13.10 【解析】试题分析:由于底边AB 为定值,所以当点P 到直线AB 距离最大值与最小值时,∆PAB 面积取最大值与最小值,因此∆PAB 面积的最大值与最小值之差为1[(d r)(d r)]AB 2510.2r AB +--⋅=⋅=⨯=考点:直线与圆位置关系 14.34π【解析】试题分析:当三棱锥ABC D -的体积最大时,即点D 到底面ABC 的距离最大时,此时平面ACD ⊥平面ABC ,取AB 中点O ,AC 中点M ,连接OD DM OM ,,,22==OM DM ,OM DM ⊥,所以1=OD ,而1===OC OB OA ,所以点O 是其外接球的球心,所以ππ341343=⨯=V ,故填:π34.考点:球与几何体【方法点睛】本题考查了球与几何体的位置关系的题型,属于中档题型,这类型的习题,关键是球心的位置,球心到各个顶点的距离相等,首先找三角形ABC 外接球的球心,其有可能是外接球的球心,那就要证明到第四个点的距离是否相等,如果不相等,那就在过ABC ∆外接球的球心与底面垂直的直线上,这样就比较好找到球心,只要有球心,半径就比较容易了. 15.32π 【解析】试题分析:从三视图可以看出该几何体是一个直三棱柱,底面是一个等腰三角形,容易计算该三角形是等腰直角三角形.该三角形外接圆的半径为2,正三棱柱的外接球的球心到底面的距离是2,故球的半径2244=+=R ,该外接球的表面积ππ32)22(42=⨯=S .考点:三视图的识读和几何体的外接球的面积的计算.【易错点晴】几何体的三视图是从正面、侧面、上面三个方向对一个几何体的全方位透视,因此解答这类问题的关键是根据三视图所提供的图形信息弄清楚该几何体的形状和有关数据,然后再选择运用相应的体积或面积公式进行求解.通过三视图提供的信息可以推断该几何体是底面是等腰直角三角形的三棱柱.然后再利用题设条件求出其外接球的半径为2244=+=R .最后球的面积公式求出其面积为ππ32)22(42=⨯=S . 16.π16 【解析】试题分析:∵三棱柱111C B A ABC -中侧棱垂直于底面,设侧棱长为H ,又三棱柱的底面为直角三角形,1=BC ,30=∠BAC ,∴2,3==AB AC ,∴三棱柱的体积33112=⨯⨯⨯=H V ,∴32=H ,ABC ∆的外接圆半径为AB 21,三棱柱的外接球的球心为上、下底面直角三角形斜边中点连线的中点O ,∴外接球的半径()23122=+=R ,∴外接球的表面积ππ16242=⨯=S .故答案为:π16.考点:球的表面积与体积.【方法点晴】本题考查了求三棱柱的外接球的表面积,利用三棱柱的结构特征求得外接球的半径是关键.根据棱柱的体积公式求得棱柱的侧棱长,再利用三棱柱的底面是直角三角形可得外接球的球心为上、下底面直角三角形斜边中点连线的中点O ,构造出直角三角形,利用勾股定理,从而求得外接球的半径R ,代入球的表面积公式计算.17.(Ⅰ)证明见解析;. 【解析】试题分析:(Ⅰ)要证面面垂直,就要证线面垂直,首选寻找直线垂直,在底面直角梯形ABCD 中,22AB DC AD ==,可证得AC BC ⊥,又可得AC PC ⊥,从而有AC ⊥平面PBC ,从而可得面面垂直;(Ⅱ)结合(Ⅰ)的证明,为了求直线与平面所成的角,以C 为原点,CD 为y 轴,垂直于AB 的直线为x 轴,CP 为z 轴,建立空间直角坐标系,这样易写出各点坐标,同时设(0,0,)(0)P a a >后分别可得11(,,)222aE -,求出平面PAC 和平面EAC 的法向量,m n ,由二面角与法向量夹角的关系求得a ,由向量PA 和n 的夹角(或补角)与直线PA 和平面EAC 所成的角互余可得结论.试题解析:(Ⅰ)证明:⊥PC 平面ABCD ,⊂AC 平面ABCD ,PC AC ⊥∴,2=AB ,1==CD AD ,2==∴BC AC222AB BC AC =+∴,BC AC ⊥∴.又C PC BC = ,PC ⊂面PBC ,BC ⊂面PBC .⊥∴AC 平面PBC ,∵⊂AC 平面EAC ,∴平面⊥EAC 平面PBC (Ⅱ)以C 为原点,建立空间直角坐标系如图所示,则C (0,0,0),A (1,1,0),B (1,-1,0)设P (0,0,a )(0a >),则E (21,21-,2a), )0,1,1(=CA ,),0,0(a CP =,)2,21,21(aCE -=,取m =(1,-1,0)则0=⋅=⋅CA m CP m ,∴m 为面PAC 的法向量设),,(z y x n =为面EAC 的法向量,则0=⋅=⋅CE n CA n ,即⎩⎨⎧=+-=+0,0az y x y x ,取a x =,a y -=,2-=z ,则)2,,(--=a a n ,依题意,362,cos2=+=⋅=><aanmnmnm,则2=a于是)2,2,2(--=n.设直线PA与平面EAC所成角为θ,则32,cossin=⋅=><=nPAnPAnPAθ,即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为32考点:面面垂直的判断,直线与平面所成的角.18.(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)45°.【解析】试题分析:(1)要证明线面平行,就要证线线平行,要在平面内找一条平行线,考虑到是中点,因此取中点,由已知可证得,从而证得平行四边形,即得平行线,得线面平行;(2)由已知,利用平面,又可证得,从而有平面,因此可得平面,这样证明面面垂直的需要的线面垂直就有了;(3)要求二面角,可以AF,FD,FP所在的直线分别为x,y,z轴(如图)建立空间直角坐标系,写出各点坐标,并求得平面和平面的法向量,由法向量的平角求得二面角.试题解析:(1)取CE的中点P,连结FP、BP.∵F为CD的中点,∴FP∥DE,且FP=DE.又AB∥DE,且AB=DE,∴AB∥FP,且AB=FP,∴四边形ABPF为平行四边形,∴AF∥BP.又∵AF平面BCE,BP平面BCE,∴AF∥平面BCE.(2)∵△ACD为正三角形,∴AF⊥CD.∵AB⊥平面ACD,DE∥AB,∴DE⊥平面ACD,又AF平面ACD,∴DE⊥AF.又AF⊥CD,CD∩DE=D,∴AF⊥平面CDE.又BP∥AF,∴BP⊥平面CDE.又∵BP平面BCE,∴平面BCE⊥平面CDE.(3)法一:由(2),以F为坐标原点,AF,FD,FP所在的直线分别为x,y,z轴(如图)建立空间直角坐标系F-xyz.设AC=2,则C(0,-1,0),B(-,0,1),E(0,1,2).设n=(x,y,z)为平面BCE的法向量,∴n·=0,n·=0,∴,令z=1,则n=(0,-1,1)显然,m=(0,0,1)为平面ACD的法向量.设面BCE与面ACD所成锐二面角为α,则cos α===.∴α=45°.即平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小为45°.法二:延长EB、DA,设EB、DA交于一点O,连结CO.则面EBC∩面DAC=CO.由AB是△EDO的中位线,则DO=2AD.在△OCD中,∵OD=2AD=2AC,∠ODC=60°.∴OC⊥CD,又OC⊥DE.∴OC⊥面ECD,而CE面ECD,∴OC⊥CE,∴∠ECD为所求二面角的平面角,在Rt△EDC中,∵ED=CD,∴∠ECD=45°,即平面BCE 与平面ACD 所成锐二面角为45°. 考点:线面平行的判断,面面垂直的判断,二面角. 19.(1)证明见解析;(2)3320. 【解析】试题分析:(1)利用勾股定理证明AB BC ⊥,依题意有PA BC ⊥,所以BC ⊥平面PAB ;(2)由(1)得AE BC ⊥,而AE PB ⊥,所以AE ⊥平面PAB ,以AE 为高.利用相似三角形,面积比等于相似比的平方,计算9961020BCFE PBC S S ∆==,从而求得体积11296333322020BCFE V AE S ===. 试题解析: (1)PA ⊥平面,ABC BC ⊂平面,,ABC PA BC ABC ∴⊥∆中,2221,3,2,,,AB BC AC AB BC AC AB BC ===∴+=⊥ PA 、AB 是平面PAB 上的两条相交直线,BC ∴⊥ 平面PAB .(2)由BC ⊥平面PAB ,BC ⊂平面,PBC ∴平面PBC ⊥平面PAB ,交线为PB ,AE PB ⊥于点,E AE ∴⊥平面PAB ,从而,AE EF AE PC ⊥⊥.又AF PC ⊥于点,F PC ∴⊥平面,AEF EF ⊂平面,AEFPC EF ∴⊥,直角PBC ∆中,52,PB PF ==又PFE ∆相似于21,10PFE PBC S PF PBC S PB ∆∆⎛⎫∆∴== ⎪⎝⎭,从而910BCFE PBC S S ∆==, 所以,四棱锥A BCFE -的体积1133BCFE V AE S =⋅⋅=⋅=. 考点:1.立体几何证明平行与垂直;2.立体几何求体积. 20.(1)证明见解析;(2. 【解析】试题分析:(1)要证明四点共圆,实际上就是要证明同弦所对的圆周角相等.本题即是证明ABD ACP ∠=∠即可.有已知条件易证APC APD ∆≅∆,所以PCA PDA ∠=∠,而AB AD =,所以有ABD ACP ∠=∠得证;(2)由(1)知2BAP π∠=,且BP AC ⊥,由于BP =,所以12ABCP S BP AC =⋅=四边形. 试题解析:(1)证明:在ACD ∆中,,AC AD AH CD CAP DAP =⊥∴∠=∠ ,又,AC AD AP AP ==,,APC APD PCA PDA ∴∆≅∆∴∠=∠.又,,AB AD ABD ADB ABD ACP A =∴∠=∠∴∠=∠∴、B 、C 、P 四点共圆.(2)由A 、B 、C 、P 四点共圆,2BAP π∴∠=,而正三角形ACD 中易知,63CAH BAC ABC ππ∠=∴∠=∴∆为正三角形且BP AC ⊥,且BP =∴四边形ABCP 的面积12ABCP S BP AC =⋅=四边形 考点:几何证明选讲.21.(1)H 点为A C '的靠近C 点的三等分点(2)31725++ 【解析】试题分析:(1)要//FH 平面A BE ',则由线面平行性质定理知过FH 的平面与平面A BE '的交线必平行FH ,由于//BC EF ,23EF BC =,所以只需取A C '的三等分点H (靠近点C ),使得1=AF EK ,再在A B '上取点K ,使2A K KB '=,//KH EF ,且KH EF =,所以四边形EFHK 为平行四边形,//EK,FH (2)三棱锥A EBC '-可看做一个长方体的截面,所以其外接球半径满足()22222R A E BE BC '=++,其四个表面皆为直角三角形,易求表面积试题解析:(1)∵3,4,90,AE 2EB,AF 2FC AB BC ABC ==∠===, ∴2833EF BC ==,在A C '上取点H ,使2A H HC '=,连接HF ,再在A B '上取点K ,使2A K KB '=,连接,HK EK ,可知,//KH BC ,且23KH BC =,可知//KH EF ,且KH EF =,所以四边形EFHK 为平行四边形,//EK,EK FH ⊂平面A EB ',∴//FH 平面A EB ',故H 点为A C '的靠近C 点的三等分点.(2)由(1)可知,22224,1,2,213BC EB A E A B A E BE '''====-=-= 设三棱锥A EBC '-的外接球半径为R ,可知()22222R A E BE BC '=++,()22241421R =++=,∴21R =.三棱锥A EBC '-的表面积为11111451241217317252222A BC A BE BEC A EC S S S S S '''∆∆∆∆=+++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++.考点:线面平行性质定理及判定定理,三棱锥外接球【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直.22.(1)见解析;(2)【解析】试题分析:(1)由题为证明线与面平行,可运用线面平行的判定定理或运用面面平行的性质来证明。
2016-2017学年河北省保定市定州中学高二(上)期中数学试卷一、选择题1.用秦九昭算法计算多项式f(x)=2x6+5x5+6x4+23x3﹣8x2+10x﹣3,x=﹣4时,V3的值为()A.﹣742 B.﹣49 C.18 D.1882.为了了解我校今年报考飞行员的学生的体重情况,将所得的数据整理后,画出了频率分布直方图(如图),已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3,第2小组的频数为12,则报考飞行员的学生人数是()A.50 B.47 C.48 D.523.在区间内随机取两个数分别记为a,b,则使得函数f(x)=x2+2ax﹣b2+π有零点的概率为()A.B.C.D.4.以下四个命题中:①为了了解800名学生对学校某项教改试验的意见,打算从中抽取一个容量为40的样本,考虑用系统抽样,则分段的间隔k为40.②线性回归直线方程=x+恒过样本中心(,),且至少过一个样本点;③在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(2,σ2)(σ>0).若ξ在(﹣∞,1)内取值的概率为0.1,则ξ在(2,3)内取值的概率为0.4;其中真命题的个数为()A.0 B.1 C.2 D.35.袋中装有红、黄、蓝三种颜色的球各2个,无放回的从中任取3个球,则恰有两个球同色的概率为()A.B.C.D.6.在区间(0,4)上任取一数x,则2<2x﹣1<4的概率是()A.B.C.D.7.为了解某地参加2015年夏令营的400名学生的身体健康情况,将学生编号为001,002,…,400,采用系统抽样的方法抽取一个容量为40的样本,且抽取到的最小号码为005,已知这400名学生分住在三个营区,从001至155在第一营区,从156到255在第二营区,从256到400在第三营区,则第一,第二,第三营区被抽中的人数分别为()A.15,10,15 B.16,10,14 C.15,11,14 D.16,9,158.已知数列{a n}的各项均为正数,如图给出程序框图,当k=5时,输出的,则数列{a n}的通项公式为()A.a n=2n B.a n=2n﹣1 C.a n=2n+1 D.a n=2n﹣39.执行如图所示的程序框图,若输出的结果为2,则可输入的实数x值的个数为()A.0 B.1 C.2 D.310.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽出了一个容量为n且支出在50,60)元的学生有30人,则n的值为()A.100 B.1000 C.90 D.90011.执行如图的程序框图,如果输出结果为2,则输入的x=()A.0 B.2 C.4 D.0或412.从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机,对其销售额进行统计,统计数据用茎叶图表示(如图所示,设甲乙两组数据的平均数分别为x甲,x乙,中位数分别为m甲,m乙,则()A.x甲<x乙,m甲>m乙 B.x甲<x乙,m甲<m乙C.x甲>x乙,m甲>m乙 D.x甲>x乙,m甲<m乙二、填空题13.某校对全校900名男女学生进行健康调查,选用分层抽样法抽取一个容量为100的样本.已知女生抽了25人,则该校的男生数应是人.14.从某班抽取5名学生测量身高(单位:cm),得到的数据为160,162,159,160,159,则该组数据的方差s2=.15.阅读下面程序.若a=4,则输出的结果是.16.如表是某单位1﹣4月份水量(单位:百吨)的一组数据:由散点图可知,用水量y 与月份x之间有较强的线性相关关系,其线性回归直线方程是=﹣0.7x+a,由此可预测该单位第5个月的用水量是百吨.月份x1234用水量y 4.543 2.5三、解答题(共4小题,满分48分)17.(12分)某学校团委组织了“文明出行,爱我中华”的知识竞赛,从参加考试的学生中抽出60名学生,将其成绩(单位:分)整理后,得到如下频率分布直方图(其中分组区间为50,60),…,),(1)求成绩在40,50)和的学生中任选两人,求他们的成绩在同一分组区间的概率.18.(12分)某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生,将其数学成绩(均为整数)分成六组100,110),…,后得到如下部分频率分布直方图,观察图形的信息,回答下列问题:(1)求分数在100,110)的中点值为=105)作为这组数据的平均分,据此,估计本次考试的平均分;(3)用分层抽样的方法在分数段为120,130)内的概率.19.(12分)某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动.为了了解本次竞赛学生成绩情况,从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数,满分为100分)作为样本(样本容量为n)进行统计.按照60,70),80,90),的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在90,100160,180),200,220),240,260),280,300)分组的频率分布直方图如图.(1)求直方图中x的值;(2)求月平均用电量的众数和中位数;(3)在月平均用电量为,240,260),280,300)的四组用户中,用分层抽样的方法抽取11户居民,则月平均用电量在﹣π,π20,60)元的样本,其频率分布直方图如图所示,其中支出在50,60)元的频率,计算可得样本容量.【解答】解:由题意可知:前三个小组的频率之和=(0.01+0.024+0.036)×10=0.7,∴支出在40,50),90,10070,80)的频率,并补全此频率分布直方图;(2)求这次考试平均分的估计值;(3)若从成绩在90,10040,50)与的人数分别是3和3,所以从成绩是90,10040,5090,10040,50)与的人数分别是3和3,所以从成绩是90,10040,5090,10090,100),140,150120,130)内的频率;(2)若在同一组数据中,将该组区间的中点值(如:组区间110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本,将该样本看成一个总体,从中任取2人,求至多有1人在分数段120,130)内的频率;(2)由频率分布直方图计算出平均分;(3)计算出120,130)分数段的人数,用分层抽样的方法在各分数段内抽取的人数组成样本,求出“从样本中任取2人,至多有1人在分数段120,130)内的频率为1﹣(0.1+0.15+0.15+0.25+0.05)=1﹣0.7=0.3;(2)估计平均分为=95×0.1+105×0.15+115×0.15+125×0.3+135×0.25+145×0.05=121;(3)依题意,120,130)分数段的人数为60×0.3=18(人);∵用分层抽样的方法在分数段为110,120)分数段内抽取2人,并分别记为m,n;在120,130)内”为事件A,则基本事件有(m,n),(m,a),…,(m,d),(n,a),…,(n,d),(a,b),…,(c,d)共15种;则事件A包含的基本事件有(m,n),(m,a),(m,b),(m,c),(m,d),(n,a),(n,b),(n,c),(n,d)共9种;∴P(A)==.【点评】本题考查了频率分布直方图的应用以及分层抽样和古典概型的计算问题,解题时应用列举法求出基本事件的个数,从而求出概率问题,是综合题.19.(12分)(2014•德州一模)某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动.为了了解本次竞赛学生成绩情况,从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数,满分为100分)作为样本(样本容量为n)进行统计.按照60,70),80,90),的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在90,10080,90)有5人,分别记为a,b,c,d,e,分数在80,90)有5人,分别记为a,b,c,d,e,分数在160,180),200,220),240,260),280,300)分组的频率分布直方图如图.(1)求直方图中x的值;(2)求月平均用电量的众数和中位数;(3)在月平均用电量为,240,260),280,300)的四组用户中,用分层抽样的方法抽取11户居民,则月平均用电量在220,240)内,设中位数为a,解方程(0.002+0.0095++0.011)×20+0.0125×(a﹣220)=0.5可得;(3)可得各段的用户分别为25,15,10,5,可得抽取比例,可得要抽取的户数.【解答】解:(1)由直方图的性质可得(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)×20=1,解方程可得x=0.0075,∴直方图中x的值为0.0075;(2)月平均用电量的众数是=230,∵(0.002+0.0095+0.011)×20=0.45<0.5,∴月平均用电量的中位数在220,240)的用户有0.0125×20×100=25,月平均用电量为260,280)的用户有0.005×20×100=10,月平均用电量为220,240)的用户中应抽取25×=5户.【点评】本题考查频率分布直方图,涉及众数和中位数以及分层抽样,属基础题.。
河北省保定市定州市定州中学2024-2025学年高二上学期11月期中数学试题一、单选题1.直线10x y ++=的倾斜角是()A .4π-B .4πC .2πD .34π2.已知方程2212x y m m+=-表示焦点在y 轴上的椭圆,则m 的取值范围是()A .()0,2B .()0,1C .()1,2D .()2,+∞3.在四面体OABC 中,记OA a = ,OB b =,OC c = ,若点M 、N 分别为棱OA 、BC 的中点,则MN =()A .111222a b c++ B .111222a b c-++C .111222a b c-+ D .111222a b c+- 4.若直线10ax y -+=与以()2,1A --,()1,3B -为端点的线段有公共点(含端点),则a 的取值范围为()A .[]1,4-B .[]4,1-C .(][),41,-∞-⋃+∞D .(][),14,-∞-⋃+∞5.已知直线l 的一个方向向量是()1,2,1a =-,平面α的一个法向量是()1,1,1n =-,则l 与α的位置关系是()A .l α⊥B .//l αC .l 与α相交但不垂直D .//l α或l α⊂6.若直线l 与圆221:430C x y y +-+=相切,且点()3,2-到直线l 的距离为3,则这样的直线的条数为()A .4B .3C .2D .17.已知圆C 过点()3,2A ,()0,1B -,设圆心(),C a b ,则22a b +的最小值为()AB .2C .D .48.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别1F ,2F ,M 是椭圆上一点,直线2MF 与y 轴负半轴交于点N ,若110MF NF ⋅=,且22:2:3MF NF =,则椭圆的离心率为()A .3B .12C .5D .6二、多选题9.已知1F ,2F 分别是椭圆22:195x y C +=的左、右焦点,P 为椭圆C 上异于长轴端点的动点,则下列结论正确的是()A .椭圆C 的焦距为6B .12PF F 的周长为10C .椭圆C 的离心率为49D .12PF F 面积的最大值为10.在三棱锥P ABC -中,△PAC 为边长为2的正三角形,2AB =,90BAC ∠=︒,设二面角P AC B --的大小为α,PAB β∠=,G 为PBC △的重心,则下列说法正确的是()A .若30α=︒,则PB =B .若PB =,则150α=︒C .若90α=︒,则PB 与AC 所成的角为60︒D .若90β=︒,则43AG =11.已知曲线()22*:20N m C x y x m +-=∈,则下列说法正确的是()A .02x ≤≤B .曲线C 关于直线1x =对称C .曲线C 围成的封闭图形的面积不大于πD .曲线C 围成的封闭图形的面积随m 的增大而增大三、填空题12.若圆22:(2)(3)4C x y -++=上存在两点关于直线10ax y +-=对称,则a 的值为.13.已知点()0,1,1A ,()0,0,1B ,1,1,0,则点A 到直线BC 的距离是.14.过椭圆2217x y +=上一点P 作圆22:(3)1C x y +-=的两条切线,切点为A ,B ,当AB PC⋅最大时,点P 的纵坐标为.四、解答题15.已知直线:220l x y -+=,圆22:(3)5C x y -+=.(1)求与直线l 平行且与圆C 相切的直线方程;(2)设直线1l l ⊥,且1l 与圆C 相交于A ,B 两点,若5AB =,求直线1l 的方程.16.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>,1F ,2F 分别是椭圆C 的左、右焦点,A 是C 上一点,且1AF 与x 轴垂直,直线2AF 与C 的另一个交点为B .(1)若直线AB 的倾斜角为3π4,求椭圆C 的离心率;(2)若直线AB 在y 轴上的截距为1,且23AB F B =,求a ,b .17.如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,E ,F 分别为AB ,BC 的中点,点G 在棱1AA 上,且112AG GA =.(1)证明:1D ,G ,E ,F 四点共面.(2)设平面1D GEF 与棱1CC 的交点为H ,求1D H 与平面11D ABC 所成角的正弦值.18.球面距离在地理学、导航系统、信息技术等多个领域有着广泛应用.球面距离的定义:球面上两点之间的最短连线的长度,即经过这两点的大圆(经过球心的平面截球面所得的圆)在这两点间的一段劣弧的长度.这个弧长就被称作两点的球面距离.(1)在正四棱柱1111ABCD A B C D -(底面为正方形的直棱柱)中,1AB =,1AA =,求顶点A ,B 在该正四棱柱外接球上的球面距离.(2)如图1,在直角梯形ABCD 中,BC AD ∥,90BCD ∠=,112BC AD ==,DC =将ABD △沿边BD 折起到P ,如图2,使得点P 在底面BCD 的射影H 在CD 上.①求点P 到底面BCD 的距离;②设棱锥P BCD -的外接球为球O ,求P ,C 两点在球O 上的球面距离.参考数据:27π2cos1003=,47π1cos 10011=.19.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,()2,0A ,(B ,(C ,(0,D ,点P 在线段OA 上,点Q 在线段AC 上,且OP CQt OA CA==,设直线BQ 与DP 交于点M .(1)证明:当t 变化时,点M 始终在某个椭圆W 上运动,并求出椭圆W 的方程.(2)过点()4,0E 作直线与椭圆W 交于S ,T 不同的两点,再过点1,0作直线ST 的平行线与椭圆W 交于G ,H 不同的两点.①证明:ES ETFG FH⋅⋅为定值.②求EGH面积的取值范围.。
河北定州中学高二期末数学试题一、选择题(每小题5分,共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的序号填涂在答题卡上)1. 若复数,为虚数单位,则=()A. B. C. D.【答案】B【解析】∵∴故选:B点睛:复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略:(1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位的看作一类同类项,不含的看作另一类同类项,分别合并即可.(2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题中要注意把的幂写成最简形式.2. 下列四个命题中真命题的个数是()①“”是“”的充分不必要条件②命题“,”的否定是“,”③命题,,命题,,则为真命题A. B. C. D.【答案】D【解析】对于①:当x=1成立时有12﹣3×1+2=0即x2﹣3x+2=0成立,当x2﹣3x+2=0成立时有x=1或x=2不一定有x=1成立.“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件.故①正确.对于②:命题“∀x∈R,sinx≤1”的否定是“∃x∈R,sinx>1”故②正确.对于③命题p:∀x∈[1,+∞),lgx≥0,正确,命题q:∃x∈R,x2+x+1<0错误,因为x2+x+1=(x+)2+>0恒成立,p∨q为真,故③正确.故选:D.3. 某家具厂的原材料费支出与销售量(单位:万元)之间有如下数据,根据表中提供的全部数据,用最小二乘法得出与的线性回归方程为,则为()A. 5B. 15C. 10D. 20【答案】C【解析】试题分析:回归直线方程过样本中心点,,代入,解得. 考点:回归直线方程.4. 若原命题为:“若为共轭复数,则”,则该命题的逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次为()A. 真真真B. 真真假C. 假假真D. 假假假【答案】C【解析】设,则,则,所以原命题为真命题,故其逆否命题为真命题原命题的否命题为“若不互为共轭复数,则”,因为和不互为共轭复数,但,所以否命题为假命题,故原命题的逆命题为假命题故选5. 用,,…,表示某培训班10名学员的成绩,其成绩依次为85,68,95,75,88,92,90,80,78,87.执行如图所示的程序框图,若分别输入的10个值,则输出的的值为()A. B. C. D.【答案】C【解析】根据程序框图可知程序框图中的n记录输入的数据中大于等于80分的学生的人数,在给出的10个数据中,大于等于80的数据的个数为7个,故输出的值为。
2017-2018学年河北省保定市定州中学承智班高二(上)期中数学试卷一、选择题1.(3分)执行如图的程序框图,已知输出的s∈[0,4].若输入的t∈[0,m],则实数m的最大值为()A.1 B.2 C.3 D.42.(3分)若集合A={1,2},B={1,3},则集合A∪B=()A.∅B.{1}C.{1,2,3}D.{x|1≤x≤3}3.(3分)已知向量=(1,0),=(1,2),向量在方向上的投影为2.若∥,则||的大小为()A..2 B.C.4 D.4.(3分)设曲线y=x2+1在点(x,f(x))处的切线的斜率为g(x),则函数y=g (x)cosx的部分图象可以为()A.B.C.D.5.(3分)设定义域为R的函数若关于x的方程f2(x)﹣(2m+1)f(x)+m2=0有5个不同的实数解,则m=()A.6 B.4或6 C.6或2 D.26.(3分)函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象中相邻对称中心的距离为,若角φ的终边经过点(3,),则f(x)图象的一条对称轴为()A.x=B.x=C.x=D.x=﹣7.(3分)若椭圆过抛物线y2=8x的焦点,且与双曲线x2﹣y2=1有相同的焦点,则该椭圆的方程为()A.B.C.D.8.(3分)函数f(x)=cosπx与g(x)=|log2|x﹣1||的图象所有交点的横坐标之和为()A.0 B.2 C.4 D.69.(3分)执行如图的程序框图,则输出的S值为()A.33 B.215 C.343 D.102510.(3分)若变量x,y满足约束条件,则z=3x+y的最大值为()A.4 B.9 C.12 D.1411.(3分)九章算术中一文:蒲第一天长3尺,以后逐日减半;莞第一天长1尺,以后逐日增加一倍,则()天后,蒲、莞长度相等?参考数据:lg2=0.3010,lg3=0.4771,结果精确到0.1.(注:蒲每天长高前一天的一半,莞每天长高前一天的2倍.)A.2.2 B.2.4 C.2.6 D.2.812.(3分)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x),对任意x∈R满足f(x)+f′(x)<0,则下列结论正确的是()A.2f(ln2)>3f(ln3)B.2f(ln2)<3f(ln3)C.2f(ln2)≥3f(ln3)D.2f(ln2)≤3f(ln3)二、填空题13.(3分)双曲线的顶点到其渐近线的距离等于.14.(3分)已知{a n}是等比数列,a5==2,则a7=.15.(3分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sinA=2sinB,且a+b=c,则角C的大小为.16.(3分)若从正八边形的8个顶点中随机选取3个顶点,则以它们作为顶点的三角形是直角三角形的概率是.三、解答题17.在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,若.(1)求角B;(2)如果b=2,求△ABC面积的最大值.18.已知等差数列{a n}满足a3=7,a3+a7=26.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)令(n∈N*),求数列{b n}的最大项和最小项.19.已知数列{a n}的前n项和S n满足:S n=t(S n﹣a n+1)(t为常数,且t≠0,t ≠1).(1)证明:{a n}成等比数列;(2)设,若数列{b n}为等比数列,求t的值;(3)在满足条件(2)的情形下,设c n=4a n+1,数列{c n}的前n项和为T n,若不等式≥2n﹣7对任意的n∈N*恒成立,求实数k的取值范围.2017-2018学年河北省保定市定州中学承智班高二(上)期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1.(3分)执行如图的程序框图,已知输出的s∈[0,4].若输入的t∈[0,m],则实数m的最大值为()A.1 B.2 C.3 D.4【解答】解:由s=4t﹣t2=﹣(t﹣2)2+4,对称轴是t=2,t∈[0,m],s∈[0,4],故s=4t﹣t2在[0,2)递增,在(2,m]递减,故s(t)max=s(2)=4,s(t)min=s(0)=s(4)=0,故m的最大值是4,故选:D.2.(3分)若集合A={1,2},B={1,3},则集合A∪B=()A.∅B.{1}C.{1,2,3}D.{x|1≤x≤3}【解答】解:∵A={1,2},B={1,3},∴A∪B={1,2,3},故选:C.3.(3分)已知向量=(1,0),=(1,2),向量在方向上的投影为2.若∥,则||的大小为()A..2 B.C.4 D.【解答】解:cos<>===,∴cos<>=cos<>=,∴在方向上的投影为||cos<>==2,∴||=2.故选:D.4.(3分)设曲线y=x2+1在点(x,f(x))处的切线的斜率为g(x),则函数y=g (x)cosx的部分图象可以为()A.B.C.D.【解答】解:g(x)=2x,g(x)•cosx=2x•cosx,g(﹣x)=﹣g(x),cos(﹣x)=cosx,∴y=g(x)cosx为奇函数,排除B、D.令x=0.1>0.故选:A.5.(3分)设定义域为R的函数若关于x的方程f2(x)﹣(2m+1)f(x)+m2=0有5个不同的实数解,则m=()A.6 B.4或6 C.6或2 D.2【解答】解:∵题中原方程f2(x)﹣(2m+1)f(x)+m2=0有5个不同的实数根,结合函数f(x)的图象可得,令t=f(x),则关于t的方程t2﹣(2m+1)t+m2=0有一根为t=4,另一个根大于4或等于0.把t=4代入方程t2﹣(2m+1)t+m2=0求得m=2或m=6.当m=2时,关于t的方程t2﹣(2m+1)t+m2=0有一根为t=4,另一个根等于1,不满足条件.当m=6时,关于t的方程t2﹣(2m+1)t+m2=0有一根为t=4,另一个根等于9,满足条件.故选:A.6.(3分)函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象中相邻对称中心的距离为,若角φ的终边经过点(3,),则f(x)图象的一条对称轴为()A.x=B.x=C.x=D.x=﹣【解答】解:由题意可得函数的最小正周期为=2×,∴ω=2.∵角φ的终边经过点(3,),∴tanφ=,∵0<φ<π,∴φ=∴f(x)=sin(2x+),∴f(x)图象的对称轴为2x+=+kπ,k∈Z,即x=+,当k=0时,f(x)图象的一条对称轴为x=,故选:A.7.(3分)若椭圆过抛物线y2=8x的焦点,且与双曲线x2﹣y2=1有相同的焦点,则该椭圆的方程为()A.B.C.D.【解答】解:抛物线y2=8x的焦点为(2,0),双曲线x2﹣y2=1的焦点坐标为(,0),(﹣,0),所以椭圆过(2,0),且椭圆的焦距2c=2 ,即c=,则a2﹣b2=c2=2,即a2=b2+2,所以设椭圆的方程为:+=1,把(2,0)代入得:=1即b2=2,则该椭圆的方程是:.故选:A.8.(3分)函数f(x)=cosπx与g(x)=|log2|x﹣1||的图象所有交点的横坐标之和为()A.0 B.2 C.4 D.6【解答】解:由图象变化的法则可知:y=log2x的图象作关于y轴的对称后和原来的一起构成y=log2|x|的图象,再向右平移1个单位得到y=log2|x﹣1|的图象,再把x轴上方的不动,下方的对折上去,可得g(x)=|log2|x﹣1||的图象;又f(x)=cosπx的周期为=2,如图所示:两图象都关于直线x=1对称,且共有ABCD,4个交点,由中点坐标公式可得:x A+x D=2,x B+x C=2,故所有交点的横坐标之和为4,故选:C.9.(3分)执行如图的程序框图,则输出的S值为()A.33 B.215 C.343 D.1025【解答】解:模拟程序的运行,可得S=2,k=0满足条件k<9,执行循环体,S=3,k=2满足条件k<9,执行循环体,S=7,k=4满足条件k<9,执行循环体,S=23,k=6满足条件k<9,执行循环体,S=87,k=8满足条件k<9,执行循环体,S=343,k=10不满足条件k<9,退出循环,输出S的值为343.故选:C.10.(3分)若变量x,y满足约束条件,则z=3x+y的最大值为()A.4 B.9 C.12 D.14【解答】解:由约束条件作出可行域如图,联立,得A(3,3),化目标函数z=3x+y为y=﹣3x+z,由图可知,当直线y=﹣3x+z过点A时,直线在y轴上的截距最大,z有最大值为9+3=12.故选:C.11.(3分)九章算术中一文:蒲第一天长3尺,以后逐日减半;莞第一天长1尺,以后逐日增加一倍,则()天后,蒲、莞长度相等?参考数据:lg2=0.3010,lg3=0.4771,结果精确到0.1.(注:蒲每天长高前一天的一半,莞每天长高前一天的2倍.)A.2.2 B.2.4 C.2.6 D.2.8【解答】解:设蒲的长度组成等比数列{a n},其a1=3,公比为,其前n项和为A n.莞的长度组成等比数列{b n},其b1=1,公比为2,其前n项和为B n.则A n=,B n=,由题意可得:=,化为:2n+=7,解得2n=6,2n=1(舍去).∴n==1+≈2.6.∴估计2.6日蒲、莞长度相等,故选:C.12.(3分)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x),对任意x∈R满足f(x)+f′(x)<0,则下列结论正确的是()A.2f(ln2)>3f(ln3)B.2f(ln2)<3f(ln3)C.2f(ln2)≥3f(ln3)D.2f(ln2)≤3f(ln3)【解答】解:由题意设g(x)=e x f(x),则g′(x)=e x f(x)+e x f′(x)=e x[f(x)+f′(x)],∵对任意x∈R满足f(x)+f′(x)<0,e x>0,∴对任意x∈R满足g′(x)<0,则函数g(x)在R上是减函数,∵ln2<ln3,∴g(ln2)>g(ln3),即2f(ln2)>3f(ln3),故选:A.二、填空题13.(3分)双曲线的顶点到其渐近线的距离等于.【解答】解:双曲线的一个顶点(,0)到其一条渐近线的距离为:=.故答案为:.14.(3分)已知{a n}是等比数列,a5==2,则a7=1.【解答】解:∵{a n}是等比数列,,∴,解得,a7==1.故答案为:1.15.(3分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sinA=2sinB,且a+b=c,则角C的大小为60°.【解答】解:∴sinA=2sinB,由正弦定理:可得a=2b.即a2=4b2.∵a+b=c,即3b=c,由余弦定理:2abcosC=a2+b2﹣c2.可得:cosC=.∵0<C<π.∴C=60°.故答案为:60°.16.(3分)若从正八边形的8个顶点中随机选取3个顶点,则以它们作为顶点的三角形是直角三角形的概率是.【解答】解:∵任何三点不共线,∴共有=56个三角形.8个等分点可得4条直径,可构成直角三角形有4×6=24个,所以构成直角三角形的概率为=,故答案为.三、解答题17.在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,若.(1)求角B;(2)如果b=2,求△ABC面积的最大值.【解答】解:(1)△ABC中,tanA+tanC=(tanAtanC﹣1),∴=﹣,即tan(A+C)=﹣;又A+B+C=π,∴tanB=﹣tan(A+C)=;由B∈(0,π),∴B=;(2)△ABC中,由余弦定理得:b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2accos=a2+c2﹣ac=4,∴a2+c2=ac+4;又a2+c2≥2ac,∴ac≤4,当且仅当a=c=2时取“=”,∴△ABC的面积为S=acsinB≤×4×=,即△ABC面积的最大值为.18.已知等差数列{a n}满足a3=7,a3+a7=26.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)令(n∈N*),求数列{b n}的最大项和最小项.【解答】解:(1)由题意,所以a n=2n+1(2)由(1)知:又因为当n=1,2,3时,数列{b n}递减且;当n≥4时,数列{b n}递减且;所以,数列{b n}的最大项为b4=8,最小项为b3=﹣619.已知数列{a n}的前n项和S n满足:S n=t(S n﹣a n+1)(t为常数,且t≠0,t ≠1).(1)证明:{a n}成等比数列;(2)设,若数列{b n}为等比数列,求t的值;(3)在满足条件(2)的情形下,设c n=4a n+1,数列{c n}的前n项和为T n,若不等式≥2n﹣7对任意的n∈N*恒成立,求实数k的取值范围.【解答】(1)证明:由S n=t(S n﹣a n+1),当n=1时,S1=t(S1﹣a1+1),得a1=t,当n≥2时,S n=t(S n﹣a n+1),即(1﹣t)S n=﹣ta n+t,(1﹣t)S n﹣1=﹣ta n﹣1+t,∴a n=ta n﹣1,故{a n}成等比数列;(2)由(1)知{a n}成等比数列且公比是t,∴,故,即,若数列{b n}是等比数列,则有,而故[t3(2t+1)]2=(2t2)•t4(2t2+t+1),解得,再将代入b n得:.由知{b n}为等比数列,∴;(3)由,知,,∴,由不等式≥2n﹣7对任意的n∈N*恒成立,得,令,由,当n≤4时,d n+1>d n,当n≥4时,d n+1<d n,而,∴d4<d5,则,得.。
河北省定州中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、单选题1.若三次函数()3f x mx x =-在()-∞+∞,上是减函数,则m 的取值范围是( ) A .()0-∞, B .()1-∞,C .(]0-∞,D .(]1-∞,2.若函数21()ln 2f x x a x =-+在区间(1,)+∞上是减函数,则实数a 的取值范围为( )A .[1,)+∞B .(1,)+∞C .(,1)-∞D .(,1]-∞ 3.把一颗骰子投掷两次,第一次出现的点数记为,第二次出现的点数记为,方程组3232mx ny x y +=⎧⎨+=⎩,只有一组解的概率是( ) A .23 B .1718 C .15 D .344.设函数212ln (0)f x x x x x ⎛⎫=-+>⎪⎝⎭,则()1f '=( ) A .2 B .-2 C .5 D .5-5.设直线,m n 是两条不同的直线, ,αβ是两个不同的平面,下列事件中是必然事件的是 ( )A .若//,//,m n m n αβ⊥,则αβ⊥B .若//,,//m n m n αβ⊥,则//,αβC .若,//,m n m n αβ⊥⊥,则//,αβD .若,,//m n m n αβ⊥⊥,则//,αβ6.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线为2y x =-,则它的离心率为( )A .32B .23C D 7. 将函数f(x)=ln(x +1)(x≥0)的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角θ(θ∈(0,α]),得到曲线C ,若对于每一个旋转角θ,曲线C 都仍然是一个函数的图像,则α的最大值为( )A .πB .π2C .π3D .π4 8.91x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为( ) A .-36 B .36 C .-84 D .849.在ABC ∆中,()2,4AB =,()1,3AC =,则BC =( )A .()3,7B .()3,5C .()1,1D .()1,1--10.在 ABC ∆中,若222b c a bc +-=,则角A 的值为( )A .30°B .60°C .120°D .150°11.“2x <”是“2320x x -+<”成立的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件12.已知向量()()2,1,,2a b x ==-,若//a b ,则a b +=( )A .()2,1--B .()2,1C .()3,1-D .()3,1-二、填空题 13.已知ππ1(0,),sin()263αα∈-=-,则cos α的值为____. 14.若直线1(0,0)x y a b a b +=>>过点()1,1,则3b a b a ++的最小值等于__________. 15.已知数列{}n a 的前n 项和构成数列{}n b ,若()2134n n b n =-+,则数列{}n a 的通项公式n a = ________.16.已知集合A ={x |x 2+2x +a =0},若1∈A ,则A =________.三、解答题17.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是直角梯形, //AB CD , 90ABC ∠=︒,2AB CD =, BC =, ABP ∆是等边三角形,且侧面APB ⊥底面ABCD , ,E F 分别是PC , AB 的中点.(Ⅰ)求证: //PA 平面DEF ;(Ⅱ)求平面DEF 与平面PCD 所成的二面角(锐角)的余弦值.18.已知全集U =R ,函数()lg(10)f x x =-的定义域为集合A ,集合{}|57B x x =≤<(1)求集合A ;(2)求()U C B A ⋂.参考答案1.A【解析】【分析】先求函数f(x)的导数,因为当函数为减函数时,导数小于0,所以若f(x)在(﹣∞,+∞)上是减函数,则f′(x)≤0在R上恒成立,再利用一元二次不等式的解的情况判断,来求m的范围.【详解】解:对函数f(x)=mx3﹣x求导,得f′(x)=3mx2﹣1∵函数f(x)在(﹣∞,+∞)上是减函数,∴f′(x)≤0在R上恒成立即3mx2﹣1≤0恒成立,∴30120mm⎧⎨=≥⎩<,解得m≤0,又∵当m=0时,f(x)=﹣x不是三次函数,不满足题意,∴m<0故选A.2.D【分析】求出f(x)的导函数,令导函数小于等于0在区间(1,+∞)上恒成立,分离出a,求出函数的最大值,求出a的范围.【详解】∵()af'x xx=-+∵f(x)在区间(1,+∞)上是减函数,∴()af'x x0x=-+≤在区间(1,+∞)上恒成立∴a≤x2在区间(1,+∞)上恒成立∵x2>1∴a≤1,经检验,等号成立故选D.【点睛】本题考查导数与函数的单调性,解决已知函数的单调性求参数范围问题常转化为导函数大于等于(或小于等于)0恒成立;解决不等式恒成立求参数范围问题常分离参数转化为求函数的最值,是基础题3.D【解析】试题分析:方程组只有一组解ó320m n -≠,即除了2m =且3n =或4m =且6n =这两种情况之外都可以,故所求概率662176618p ⨯-==⨯. 考点:1.概率;2.解方程组.4.D【解析】 ∵212()ln (0)f x x x x x=-+> ∴21()()2ln f x x x x =-- ∴321()2f x x x'=--- ∴321(1)2511f '=---=- 故选D5.D【解析】对于选项D ,两条平行线,m n 分别垂直两个平面,则其中一条必和另一个平面垂直,所以,αβ必同时垂直一条直线,所以,αβ平行,故选D .6.A【解析】由双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线为2y x =-,得2b a =,故32c e aa ===,故选A. 7.D【解析】【分析】因为0x ≥时,()11f x x '=+在[)0∞,+是减函数且()0'1f x <≤,当且仅当0x =时等号成立, 故函数()()()10f x ln x x =+≥的图像的切线中,在0x =处切线的倾斜角最大,其值为4π,由此可以求得答案【详解】函数()()()10f x ln x x =+≥的图像绕坐标原点逆时针方向连续旋转时,当且仅当其任意切线都不经过y 轴时,其图像都仍然是一个函数的图像.因为()11f x x '=+在[)0∞,+是减函数且()0'1f x <≤,当且仅当0x =时等号成立, 故函数()()()10f x ln x x =+≥的图像的切线中,在0x =处切线的倾斜角最大,其值为π4. 由此可知π2max α=-ππ44=. 故选D .【点睛】本题主要考查了函数的概念和导数的几何意义,只需按照题意来求解,较为基础。
2016-2017学年河北省保定市定州中学高二(上)12月月考数学试卷(承智班)一、选择题1.设全集U={x∈N|x≥2},集合A={x∈N|x2≥5},则∁U A=()A.∅B.{2}C.{5}D.{2,5}2.若实数x、y满足,则Z=的取值范围为()A.(﹣∞,﹣4]∪[,+∞)B.(﹣∞,﹣2]∪[,+∞)C.[﹣2,]D.[﹣4,]3.若实数x,y满足条件,则z=2x+y的最大值是()A.10 B.8 C.6 D.44.《莱因德纸草书》(Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一,书中有这样一道题:把120个面包分成5份,使每份的面包数成等差数列,且较多的三份之和恰好是较少的两份之和的7倍,则最少的那份有()个面包.A.4 B.3 C.2 D.15.已知O,N,P在△ABC所在平面内,且|=,且,则点O,N,P依次是△ABC的()A.重心外心垂心 B.重心外心内心C.外心重心垂心 D.外心重心内心6.已知平面向量、满足•(+)=5,且||=2,||=1,则向量与夹角的余弦值为()A.B.﹣C.D.﹣7.若方程x3﹣3x+m=0在[0,2]上只有一个解,则实数m的取值范围是()A.[﹣2,2]B.(0,2]C.[﹣2,0)∪{2} D.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)8.设S n是等比数列{a n}的前n项和,S4=5S2,则此数列的公比q=()A.﹣2或﹣1 B.1或2 C.±1或2 D.±2或﹣19.若函数f(x)=2|x﹣a|(a∈R)满足f(1+x)=f(3﹣x),且f(x)在[m,+∞)单调递增,则实数m的最小值为()A.﹣2 B.﹣1 C.2 D.110.已知函数是定义域上的单调增函数,则a的取值范围是()A.[3﹣,2)B.C.D.11.函数f(x)=x3﹣3x+1在闭区间[﹣3,0]上的最大值、最小值分别是()A.1,﹣1 B.1,﹣17 C.3,﹣17 D.9,﹣1912.公差不为0的等差数列{a n}的部分项a k1,a k2,a k3…,…构成等比数列{a kn},且k1=1,k2=2,k3=6,则k4为()A.20 B.22 C.24 D.28二、填空题13.关于下列命题①函数y=tanx在第一象限是增函数;②函数y=cos2(﹣x)是偶函数;③函数y=4sin(2x﹣)的一个对称中心是(,0);④函数y=sin(x+)在闭区间[﹣,]上是增函数;写出所有正确的命题的题号:.14.已知方程+=﹣1表示椭圆,求k的取值范围..15.已知函数f(x)=,则f(f(8))=.16.计算:(﹣lg4)÷的值为.三、解答题17.已知点H(﹣6,0),点P(0,b)在y轴上,点Q(a,0)在x轴的正半轴上,且满足⊥,点M在直线PQ上,且满足﹣2=,(Ⅰ)当点P在y轴上移动时,求点M的轨迹C的方程;(Ⅱ)过点T(﹣1,0)作直线l与轨迹C交于A、B两点,线段AB的垂直平分线与x轴的交点为E(x0,0),设线段AB的中点为D,且2|DE|=|AB|,求x0的值.18.(1)焦点在y轴上的椭圆的一个顶点为A(2,0),其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的标准方程.(2)已知双曲线的一条渐近线方程是x+2y=0,并经过点(2,2),求此双曲线的标准方程.19.滨湖区拟建一主题游戏园,该游戏园为四边形区域ABCD,其中三角形区城ABC为主题活动区,其中∠ACB=60°,∠ABC=45°,AB=12m;AD、CD为游客通道(不考虑宽度),且∠ADC=120°,通道AD、CD围成三角形区域ADC为游客休闲中心,供游客休憩.(1)求AC的长度;(2)记游客通道AD与CD的长度和为L,求L的最大值.20.已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图象过点P(0,2),且在点M(﹣1,f(﹣1))处的切线方程6x﹣y+7=0.(1)求函数y=f(x)的解析式;(2)求函数g(x)=x2﹣9x+a+2与y=f(x)的图象有三个交点,求a的取值范围.2016-2017学年河北省保定市定州中学高二(上)12月月考数学试卷(承智班)参考答案与试题解析一、选择题1.设全集U={x∈N|x≥2},集合A={x∈N|x2≥5},则∁U A=()A.∅B.{2}C.{5}D.{2,5}【考点】补集及其运算.【分析】先化简集合A,结合全集,求得∁U A.【解答】解:∵全集U={x∈N|x≥2},集合A={x∈N|x2≥5}={x∈N|x≥3},则∁U A={2},故选:B.2.若实数x、y满足,则Z=的取值范围为()A.(﹣∞,﹣4]∪[,+∞)B.(﹣∞,﹣2]∪[,+∞)C.[﹣2,] D.[﹣4,]【考点】简单线性规划.【分析】由约束条件作出可行域,然后利用Z=的几何意义求解z的范围.【解答】解:作出不等式组对应的平面区域OBC.因为,所以z的几何意义是区域内任意一点(x,y)与点P(1,﹣2)两点直线的斜率.所以由图象可知当直线经过点P,C时,斜率为正值中的最小值,经过点P,O时,直线斜率为负值中的最大值.由题意知C(4,0),所以k OP=﹣2,,所以的取值范围为或z≤﹣2,即(﹣∞,﹣2]∪[,+∞).故选B.3.若实数x,y满足条件,则z=2x+y的最大值是()A.10 B.8 C.6 D.4【考点】简单线性规划.【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,求出最优解即可求最大值.【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分).由z=2x+y得y=﹣2x+z,平移直线y=﹣2x+z,由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时,直线y=﹣2x+z的截距最大,此时z最大.由,解得,即A(2,2),代入目标函数z=2x+y得z=2×2+2=6.即目标函数z=2x+y的最大值为6,故选:C.4.《莱因德纸草书》(Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一,书中有这样一道题:把120个面包分成5份,使每份的面包数成等差数列,且较多的三份之和恰好是较少的两份之和的7倍,则最少的那份有()个面包.A.4 B.3 C.2 D.1【考点】等差数列的通项公式.【分析】设五个人所分得的面包为a﹣2d,a﹣d,a,a+d,a+2d,(其中d>0),则由条件求得a 和d的值,可得最少的一份为a﹣2d的值.【解答】解:设五个人所分得的面包为a﹣2d,a﹣d,a,a+d,a+2d,(其中d >0),则有(a﹣2d)+(a﹣d)+a+(a+d)+(a+2d)=5a=120,∴a=24.由a+a+d+a+2d=7(a﹣2d+a﹣d),得3a+3d=7(2a﹣3d);∴24d=11a,∴d=11.∴最少的一份为a﹣2d=24﹣22=2,故选:C.5.已知O,N,P在△ABC所在平面内,且|=,且,则点O,N,P依次是△ABC的()A.重心外心垂心 B.重心外心内心C.外心重心垂心 D.外心重心内心【考点】向量在几何中的应用.【分析】据O到三角形三个顶点的距离相等,得到O是三角形的外心,根据所给的四个选项,第一个判断为外心的只有③④两个选项,只要判断第三个条件可以得到三角形的什么心就可以,移项相减,得到垂直,即得到P是三角形的垂心.【解答】解:∵||=||=||,∴O到三角形三个顶点的距离相等,∴O是三角形的外心,根据所给的四个选项,第一个判断为外心的只有C,D两个选项,∴只要判断第三个条件可以得到三角形的内心或垂心就可以,∵,∴()=0,=0,∴,同理得到另外两个向量都与边垂直,得到P是三角形的垂心,故选C.6.已知平面向量、满足•(+)=5,且||=2,||=1,则向量与夹角的余弦值为()A.B.﹣C.D.﹣【考点】平面向量数量积的运算.【分析】根据条件进行向量数量积的运算便可得出,从而得出向量夹角的余弦值.【解答】解:根据条件,=;∴.故选:C.7.若方程x3﹣3x+m=0在[0,2]上只有一个解,则实数m的取值范围是()A.[﹣2,2]B.(0,2]C.[﹣2,0)∪{2} D.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)【考点】二分法求方程的近似解.【分析】令f(x)=x3﹣3x+m,则由题意可得函数f(x)在[0,2]只有一个零点,故有f(0)•f(2)≤0,并验证其结论,问题得以解决.【解答】解:设f(x)=x3﹣3x+m,f′(x)=3x2﹣3=0,可得x=1或x=﹣1是函数的极值点,故函数的减区间为[0,1],增区间为(1,2],根据f(x)在区间[0,2]上只有一个解,f(0)=m,f(1)=m﹣2,f(2)=2﹣m,当f(1)=m﹣2=0时满足条件,即m=2,满足条件,当f(0)f(2)≤0时,解得﹣2≤m≤0时,当m=0时,方程x3﹣3x=0.解得x=0,x=1,不满足条件,故要求的m的取值范围为[﹣2,0)∪{2}.故选:C.8.设S n是等比数列{a n}的前n项和,S4=5S2,则此数列的公比q=()A.﹣2或﹣1 B.1或2 C.±1或2 D.±2或﹣1【考点】等比数列的前n项和.【分析】对q分类讨论,利用等比数列的求和公式即可得出.【解答】解:q=1时不满足条件,舍去.q≠1时,∵S4=5S2,则=,∴1﹣q4=5(1﹣q2),∴(q2﹣1)(q2﹣4)=0,q≠1,解得q=﹣1,或±2.故选:D.9.若函数f(x)=2|x﹣a|(a∈R)满足f(1+x)=f(3﹣x),且f(x)在[m,+∞)单调递增,则实数m的最小值为()A.﹣2 B.﹣1 C.2 D.1【考点】函数单调性的判断与证明.【分析】由f(x)的解析式便知f(x)关于x=a对称,而由f(1+x)=f(3﹣x)知f(x)关于x=2对称,从而得出a=2,这样便可得出f(x)的单调递增区间为[2,+∞),而f(x)在[m,+∞)上单调递增,从而便得出m的最小值为2.【解答】解:∵f(x)=2|x﹣a|;∴f(x)关于x=a对称;又f(1+x)=f(3﹣x);∴f(x)关于x=2对称;∴a=2;∴;∴f(x)的单调递增区间为[2,+∞);又f(x)在[m,+∞)上单调递增;∴实数m的最小值为2.故选:C.10.已知函数是定义域上的单调增函数,则a的取值范围是()A.[3﹣,2)B.C.D.【考点】分段函数的应用.【分析】利用分段函数以及指数函数与对数函数的性质,列出不等式组求解即可.【解答】解:函数是定义域上的单调增函数,可得,解得:a∈[3﹣,2).故选:A.11.函数f(x)=x3﹣3x+1在闭区间[﹣3,0]上的最大值、最小值分别是()A.1,﹣1 B.1,﹣17 C.3,﹣17 D.9,﹣19【考点】函数的最值及其几何意义.【分析】求导,用导研究函数f(x)=x3﹣3x+1在闭区间[﹣3,0]上的单调性,利用单调性求函数的最值.【解答】解:f′(x)=3x2﹣3=0,x=±1,故函数f(x)=x3﹣3x+1[﹣3,﹣1]上是增函数,在[﹣1,0]上是减函数又f(﹣3)=﹣17,f(0)=1,f(1)=﹣1,f(﹣1)=3.故最大值、最小值分别为3,﹣17;故选C.12.公差不为0的等差数列{a n}的部分项a k1,a k2,a k3…,…构成等比数列{a kn},且k1=1,k2=2,k3=6,则k4为()A.20 B.22 C.24 D.28【考点】等差数列的通项公式.【分析】设等差数列{a n}的公差为d,由a1,a2,a6成等比数列可求得等比数列a k1,a k2,a k3…的公比q=4,从而可求得a k4,继而可求得k4.【解答】解:设等差数列{a n}的公差为d,∵a1,a2,a6成等比数列,∴a22=a1•a6,即(a1+d)2=a1•(a1+5d),∴d=3a1.∴a2=4a1,∴等比数列a k1,a k2,a k3…的公比q=4,∴a k4=a1•q3=a1•43=64a1.又a k4=a1+(k4﹣1)•d=a1+(k4﹣1)•(3a1),∴a1+(k4﹣1)•(3a1)=64a1,a1≠0,∴3k4﹣2=64,∴k4=22.故选:B.二、填空题13.关于下列命题①函数y=tanx在第一象限是增函数;②函数y=cos2(﹣x)是偶函数;③函数y=4sin(2x﹣)的一个对称中心是(,0);④函数y=sin(x+)在闭区间[﹣,]上是增函数;写出所有正确的命题的题号:①③.【考点】正弦函数的图象.【分析】①由正切函数的图象可知命题正确;②化简可得f(x)=sin2x,由f(﹣x)=sin(﹣2x)=﹣sin2x=﹣f(x),可知命题不正确;③代入有0=4sin(2×﹣),可得命题正确;④由2k≤x+≤2k可解得函数y=sin(x+)的单调递增区间为[2k,2k]k∈Z,比较即可得命题不正确.【解答】解:①由正切函数的图象可知函数y=tanx在第一象限是增函数,命题正确;②f(x)=cos2(﹣x)=cos(﹣2x)=sin2x,f(﹣x)=sin(﹣2x)=﹣sin2x=﹣f(x),故命题不正确;③∵0=4sin(2×﹣),∴命题正确;④由2k≤x+≤2k可解得函数y=sin(x+)的单调递增区间为[2k,2k]k∈Z,故命题不正确.综上,所有正确的命题的题号:①③,故答案为:①③14.已知方程+=﹣1表示椭圆,求k的取值范围.(﹣∞,﹣3).【考点】椭圆的标准方程.【分析】化曲线方程为椭圆的标准方程,由分母大于0且不相等求得k的取值范围.【解答】解:由+=﹣1,得,∵方程+=﹣1表示椭圆,∴,解得k<﹣3.∴k的取值范围是(﹣∞,﹣3).故答案为:(﹣∞,﹣3).15.已知函数f(x)=,则f(f(8))=﹣4.【考点】函数的值.【分析】先求f(8),再代入求f(f(8)).【解答】解:f(8)=﹣log28=﹣3,f(f(8))=f(﹣3)=4﹣23=﹣4,故答案为:﹣4.16.计算:(﹣lg4)÷的值为﹣20.【考点】对数的运算性质.【分析】利用对数、指数的性质、运算法则直接求解.【解答】解::(﹣lg4)÷=lg()÷=lg=﹣2×10=﹣20.故答案为:﹣20.三、解答题17.已知点H(﹣6,0),点P(0,b)在y轴上,点Q(a,0)在x轴的正半轴上,且满足⊥,点M在直线PQ上,且满足﹣2=,(Ⅰ)当点P在y轴上移动时,求点M的轨迹C的方程;(Ⅱ)过点T(﹣1,0)作直线l与轨迹C交于A、B两点,线段AB的垂直平分线与x轴的交点为E(x0,0),设线段AB的中点为D,且2|DE|=|AB|,求x0的值.【考点】抛物线的简单性质.【分析】(Ⅰ)设点M的坐标为(x,y),求得、、、的坐标,运用向量垂直的条件:数量积为0,向量共线的坐标表示,运用代入法,即可得到所求轨迹方程;(Ⅱ)由题意知直线l:y=k(x+1),设A(x1,y1),B(x2,y2),联立抛物线的方程,运用韦达定理和中点坐标公式,以及弦长公式,化简整理,解方程即可得到所求值.【解答】解:(Ⅰ)设点M的坐标为(x,y),则,,,,由⊥,得6a﹣b2=0.由﹣2=0,得,则由6a﹣b2=0得y2=x,故点M的轨迹C的方程为y2=x(x>0);(Ⅱ)由题意知直线l:y=k(x+1),设A(x1,y1),B(x2,y2),联立得k2x2+(2k2﹣1)x+k2=0(k≠0),由△=(2k2﹣1)2﹣4k4=1﹣4k2>0,解得﹣<k<,∴,∴,∴,,令y=0,解得,∴,∴,∴,∵,故有,则,化简得,此时.18.(1)焦点在y轴上的椭圆的一个顶点为A(2,0),其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的标准方程.(2)已知双曲线的一条渐近线方程是x+2y=0,并经过点(2,2),求此双曲线的标准方程.【考点】双曲线的简单性质;椭圆的标准方程.【分析】(1)直接根据条件得到b=2,a=4,即可求出结论;(2)直接根据渐近线方程设出双曲线方程,再结合经过点(2,)即可求出结论.【解答】解:(1)由题可知b=2,a=4,椭圆的标准方程为:(2)设双曲线方程为:x2﹣4y2=λ,∵双曲线经过点(2,2),∴λ=22﹣4×22=﹣12,故双曲线方程为:.19.滨湖区拟建一主题游戏园,该游戏园为四边形区域ABCD,其中三角形区城ABC为主题活动区,其中∠ACB=60°,∠ABC=45°,AB=12m;AD、CD为游客通道(不考虑宽度),且∠ADC=120°,通道AD、CD围成三角形区域ADC为游客休闲中心,供游客休憩.(1)求AC的长度;(2)记游客通道AD与CD的长度和为L,求L的最大值.【考点】解三角形的实际应用.【分析】(1)利用正弦定理,求AC的长度.(2)求出AD,CD,可得出L关于θ的关系式,化简后求L的最大值.【解答】解:(1)由已知由正弦定理,得,又∠ACB=60°,∠ABC=45°,AB=12cm,所以AC==24m.(2)因为∠ADC=120°∠CAD=θ,∠ACD=60°﹣θ,在△ADC中,由正弦定理得到,所以L=CD+AD=16 [sin(60°﹣θ)+sinθ]=16 [sin60°cosθ﹣cos60°sinθ+sinθ]=16sin(60°+θ),因0°<θ<60°,当θ=30°时,L取到最大值16m.20.已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图象过点P(0,2),且在点M(﹣1,f(﹣1))处的切线方程6x﹣y+7=0.(1)求函数y=f(x)的解析式;(2)求函数g(x)=x2﹣9x+a+2与y=f(x)的图象有三个交点,求a的取值范围.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;根的存在性及根的个数判断.【分析】(1)由图象过点P(0,2)求出d的值,再代入求出导数,再由切线方程求出f(﹣1)、f′(﹣1),分别代入求出b和c的值;(2)将条件转化为=a有三个根,再转化为的图象与y=a图象有三个交点,再求出h(x)的导数、临界点、单调区间和极值,再求出a的范围即可.【解答】解:(1)由f(x)的图象经过点P(0,2),得d=2.∴f′(x)=3x2+2bx+c,由在M(﹣1,f(﹣1))处的切线方程是6x﹣y+7=0,∴﹣6﹣f(﹣1)+7=0,得f(﹣1)=1,且f′(﹣1)=6.∴,即,解得b=c=﹣3.故所求的解析式是f(x)=x3﹣3x2﹣3x+2.(2)∵函数g(x)与f(x)的图象有三个交点,∴方程x3﹣3x2﹣3x+2=x2﹣9x+a+2有三个根,即=a有三个根,令,则h(x)的图象与y=a图象有三个交点.接下来求h(x)的极大值与极小值,∴h′(x)=3x2﹣9x+6,令h′(x)=0,解得x=1或2,当x<1或x>2时,h′(x)>0;当1<x<2时,h′(x)<0,∴h(x)的增区间是(﹣∞,1),(2,+∞);减区间是(1,2),∴h(x)的极大值为h(1)=,h(x)的极小值为h(2)=2因此2<a<.2017年1月20日。
2016-2017学年河北省保定市定州中学高二(上)期末数学试卷一、选择题1.(3分)如果函数f(x)的定义域为[﹣1,3],那么函数f(2x+3)的定义域为()A.[﹣2,0]B.[1,9]C.[﹣1,3]D.[﹣2,9] 2.(3分)一个圆柱挖去一部分后,剩余部分的三视图如图所示,则剩余部分的表面积等于()A.39πB.48πC.57πD.63π3.(3分)下列说法错误的是()A.若直线a∥平面α,直线b∥平面α,则直线a不一定平行于直线bB.若平面α不垂直于平面β,则α内一定不存在直线垂直于平面βC.若平面α⊥平面β,则α内一定不存在直线平行于平面βD.若平面α⊥平面v,平面β⊥平面v,α∩β=l,则l一定垂直于平面v4.(3分)若命题P:所有的对数函数都是单调函数,则¬P为()A.所有对数函数都不是单调函数B.所有的单调函数都不是对数函数C.存在一个对数函数不是单调函数D.存在一个单调函数都不是对数函数5.(3分)已知a>0,b>0,且ab=1,则函数f(x)=a x与函数g(x)=﹣log b x 的图象可能是()A.B.C.D.6.(3分)函数y=的定义域为()A.(﹣4,﹣1)B.(﹣4,1)C.(1,1)D.(﹣1,1)7.(3分)若f(x)=,f(f(1))=1,则a的值是()A.﹣1B.﹣2C.2D.18.(3分)直线x﹣y+1=0的倾斜角的大小为()A.30°B.60°C.120°D.150°9.(3分)若函数f(x)=log2(x2﹣ax﹣3a)在区间(﹣∞,﹣2]上是减函数,则实数a的取值范围是()A.(﹣∞,4)B.(﹣4,4]C.(﹣∞,4)∪[2,+∞)D.[﹣4,4)10.(3分)若函数f(x)=,则f(f(e))(其中e为自然对数的底数)=()A.0B.1C.2D.eln211.(3分)设奇函数f(x)在区间[﹣1,1]上是增函数,且f(﹣1)=﹣1.当x ∈[﹣1,1]时,函数f(x)≤t2﹣2at+1,对一切a∈[﹣1,1]恒成立,则实数t 的取值范围为()A.﹣2≤t≤2B.t≤﹣2或t≥2C.t≤0或t≥2D.t≤﹣2或t≥2或t=012.(3分)已知函数f(x)=(a>0,且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解,则a的取值范围是()A.(0,]B.[,]C.[,]∪{}D.[,)∪{}二、填空题13.(3分)点P(1,3)关于直线x+2y﹣2=0的对称点为Q,则点Q的坐标为.14.(3分)如图所示,程序框图的输出结果是.15.(3分)已知集合P{a,b},Q={﹣1,0,1},则从集合P到集合Q的映射共有种.16.(3分)设函数f(x)=,a∈R,若存在实数b,使函数g(x)=f(x)﹣b有两个零点,则实数a的取值范围为.三、解答题17.已知y=f(x)(x∈R)是偶函数,当x≥0时,f(x)=x2﹣2x.(1)求f(x)的解析式;(2)若不等式f(x)≥mx在1≤x≤2时都成立,求m的取值范围.18.某同学参加学校自主招生3门课程的考试,假设该同学第一门课程取得优秀成绩概率为,第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p,q(p<q),且不同课程是否取得优秀成绩相互独立,记ξ为该生取得优秀成绩的课程数,其分布列为(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率及求p,q的值;(Ⅱ)求该生取得优秀成绩课程门数的数学期望Eξ.19.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AC=AA1=4,AB=3,AB⊥AC.(Ⅰ)求证:A1C⊥平面ABC1;(Ⅱ)求二面角A﹣BC1﹣A1的平面角的余弦值.2016-2017学年河北省保定市定州中学高二(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1.(3分)如果函数f(x)的定义域为[﹣1,3],那么函数f(2x+3)的定义域为()A.[﹣2,0]B.[1,9]C.[﹣1,3]D.[﹣2,9]【解答】解:∵﹣1≤x≤3,∴﹣1≤2x+3≤3,∴﹣2≤x≤0,故选:A.2.(3分)一个圆柱挖去一部分后,剩余部分的三视图如图所示,则剩余部分的表面积等于()A.39πB.48πC.57πD.63π【解答】解:根据三视图可知该几何体是:一个圆柱在上底面挖去了一个同底等高的圆锥,且圆柱底面圆的半径为3,母线长是4,则圆锥的母线长是=5,∴剩余部分的表面积S=π×32+2π×3×4+π×3×5=48π,故选:B.3.(3分)下列说法错误的是()A.若直线a∥平面α,直线b∥平面α,则直线a不一定平行于直线bB.若平面α不垂直于平面β,则α内一定不存在直线垂直于平面βC.若平面α⊥平面β,则α内一定不存在直线平行于平面βD.若平面α⊥平面v,平面β⊥平面v,α∩β=l,则l一定垂直于平面v【解答】解:A.若直线a∥平面α,直线b∥平面α,则a,b平行或相交或是异面直线,则直线a不一定平行于直线b正确,故A正确,B.若α内存在直线垂直于平面β,则根据面面垂直的判定定理得α⊥β,与平面α不垂直于平面β矛盾,故若平面α不垂直于平面β,则α内一定不存在直线垂直于平面β正确,故B错误,C.若平面α⊥平面β,则α内当直线与平面的交线平行时,直线即与平面β平行,故C错误,D.若平面α⊥平面v,平面β⊥平面v,α∩β=l,则根据面面垂直的性质得l一定垂直于平面v,故D正确,故选:C.4.(3分)若命题P:所有的对数函数都是单调函数,则¬P为()A.所有对数函数都不是单调函数B.所有的单调函数都不是对数函数C.存在一个对数函数不是单调函数D.存在一个单调函数都不是对数函数【解答】解:因为全称命题的否定是特称命题,所以,命题P:所有的对数函数都是单调函数,则¬P为:存在一个对数函数不是单调函数.故选:C.5.(3分)已知a>0,b>0,且ab=1,则函数f(x)=a x与函数g(x)=﹣log b x 的图象可能是()A.B.C.D.【解答】解:∵ab=1g(x)=﹣log b x=log a x则函数f(x)=a x(a>0且a≠1)与g(x)=﹣log b x(b>0且b≠1)互为反函数故函数f(x)=a x(a>0且a≠1)与g(x)=﹣log b x(b>0且b≠1)的图象关于直线y=x对称故选:B.6.(3分)函数y=的定义域为()A.(﹣4,﹣1)B.(﹣4,1)C.(1,1)D.(﹣1,1)【解答】解:要使函数有意义,则,即,即,解得﹣1<x<1,故选:D.7.(3分)若f(x)=,f(f(1))=1,则a的值是()A.﹣1B.﹣2C.2D.1【解答】解:∵f(x)=,f(f(1))=1,∴f(1)=lg1=0,f(f(1))=f(0)=0+==a3=1,解得a=1.故选:D.8.(3分)直线x﹣y+1=0的倾斜角的大小为()A.30°B.60°C.120°D.150°【解答】解:设直线x﹣y+1=0的倾斜角为θ,则tanθ=,θ∈[0°,180°).∴θ=60°,故选:B.9.(3分)若函数f(x)=log2(x2﹣ax﹣3a)在区间(﹣∞,﹣2]上是减函数,则实数a的取值范围是()A.(﹣∞,4)B.(﹣4,4]C.(﹣∞,4)∪[2,+∞)D.[﹣4,4)【解答】解:令t=x2﹣ax﹣3a=﹣﹣3a,则由题意可得函数f(x)=log2t,函数t在区间(﹣∞,﹣2]上是减函数且t>0恒成立.∴,求得﹣4≤a<4,故选:D.10.(3分)若函数f(x)=,则f(f(e))(其中e为自然对数的底数)=()A.0B.1C.2D.eln2【解答】解:∵函数f(x)=,∴f(e)=lne=1,∴f(f(e))=f(1)=21=2.故选:C.11.(3分)设奇函数f(x)在区间[﹣1,1]上是增函数,且f(﹣1)=﹣1.当x ∈[﹣1,1]时,函数f(x)≤t2﹣2at+1,对一切a∈[﹣1,1]恒成立,则实数t 的取值范围为()A.﹣2≤t≤2B.t≤﹣2或t≥2C.t≤0或t≥2D.t≤﹣2或t≥2或t=0【解答】解:奇函数f(x)在[﹣1,1]上是增函数,且f(﹣1)=﹣1,在[﹣1,1]最大值是1,∴1≤t2﹣2at+1,当t=0时显然成立当t≠0时,则t2﹣2at≥0成立,又a∈[﹣1,1]令g(a)=2at﹣t2,a∈[﹣1,1]当t>0时,g(a)是减函数,故令g(1)≥0,解得t≥2当t<0时,g(a)是增函数,故令g(﹣1)≥0,解得t≤﹣2综上知,t≥2或t≤﹣2或t=0故选:D.12.(3分)已知函数f(x)=(a>0,且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解,则a的取值范围是()A.(0,]B.[,]C.[,]∪{}D.[,)∪{}【解答】解:y=loga(x+1)+1在[0,+∞)递减,则0<a<1,函数f(x)在R上单调递减,则:;解得,;由图象可知,在[0,+∞)上,|f(x)|=2﹣x有且仅有一个解,故在(﹣∞,0)上,|f(x)|=2﹣x同样有且仅有一个解,当3a>2即a>时,联立|x2+(4a﹣3)x+3a|=2﹣x,则△=(4a﹣2)2﹣4(3a﹣2)=0,解得a=或1(舍去),当1≤3a≤2时,由图象可知,符合条件,综上:a的取值范围为[,]∪{},故选:C.二、填空题13.(3分)点P(1,3)关于直线x+2y﹣2=0的对称点为Q,则点Q的坐标为(﹣1,﹣1).【解答】解:设点P(1,3)关于直线x+2y﹣2=0的对称点坐标为(a,b),则由,解得a=﹣1,b=﹣1,故答案为(﹣1,﹣1).14.(3分)如图所示,程序框图的输出结果是3.【解答】解:x=1,y=1,x≤4,得:x=2,y=2,x+y=4≤4,得:x=4,y=3,x+y=7>4,输出y=3,故答案为:3.15.(3分)已知集合P{a,b},Q={﹣1,0,1},则从集合P到集合Q的映射共有9种.【解答】解:集合P中的元素a在集合BQ中有3种不同的对应方式(﹣1,0,1三选一),集合P中的元素b在集合Q中也有3种不同的对应方式(﹣1,0,1三选一),根据“分步计数原理(乘法原理)”,集合P到集合Q的映射共有N=3×3=9,故答案为9.16.(3分)设函数f(x)=,a∈R,若存在实数b,使函数g(x)=f(x)﹣b有两个零点,则实数a的取值范围为(﹣∞,﹣1).【解答】解:∵g(x)=f(x)﹣b有两个零点∴f(x)=b有两个零点,即y=f(x)与y=b的图象有两个交点,由于y=﹣x2在(﹣∞,a)递增,y=x3在[a,+∞)递增,要使y=f(x)与y=b的图象有两个交点,可得,可得a<﹣1.实数a的取值范围为:(﹣∞,﹣1).故答案为:(﹣∞,﹣1).三、解答题17.已知y=f(x)(x∈R)是偶函数,当x≥0时,f(x)=x2﹣2x.(1)求f(x)的解析式;(2)若不等式f(x)≥mx在1≤x≤2时都成立,求m的取值范围.【解答】解:(1)当x<0时,有﹣x>0,∵f(x)为偶函数,∴f(x)=f(﹣x)=(﹣x)2﹣2(﹣x)=x2+2x,∴f(x)=.(2)由题意得x2﹣2x≥mx在1≤x≤2时都成立,即x﹣2≥m在1≤x≤2时都成立,即m≤x﹣2在1≤x≤2时都成立.而在1≤x≤2时,(x﹣2)min=﹣1,∴m≤﹣1.18.某同学参加学校自主招生3门课程的考试,假设该同学第一门课程取得优秀成绩概率为,第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p,q(p<q),且不同课程是否取得优秀成绩相互独立,记ξ为该生取得优秀成绩的课程数,其分布列为ξ0123p x y(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率及求p,q的值;(Ⅱ)求该生取得优秀成绩课程门数的数学期望Eξ.【解答】解:(Ⅰ)由已知得该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率:P=1﹣P(ξ=0)=1﹣=.∵P(ξ=0)=,P(ξ=3)=,p<q,∴,解得p=,q=.(Ⅱ)由已知得ξ的可能取值为0,1,2,3,P(ξ=0)=,P(ξ=3)=,P(ξ=1)=++=,P(ξ=2)=+=,∴Eξ==.19.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AC=AA1=4,AB=3,AB⊥AC.(Ⅰ)求证:A1C⊥平面ABC1;(Ⅱ)求二面角A﹣BC1﹣A1的平面角的余弦值.【解答】证明:(Ⅰ)证法一:由已知AA1⊥AB,又AB⊥AC,∴AB⊥平面ACC1A1,…(2分)∴A1C⊥AB,又AC=AA1=4,∴A1C⊥AC1,…(4分)∵AC1∩AB=A,∴A1C⊥平面ABC1;…(5分)证法二:由已知条件可得AA1、AB、AC两两互相垂直,因此以A为原点,以AC、AB、AA1所在的直线分别为x、y、z轴,建立空间直角坐标系A﹣xyz,…(1分)则A(0,0,0),B(0,3,0),C(4,0,0),A1(0,0,4),C1(4,0,4),∴,,,…(3分)∵,且,…(4分)∴,且,∴A1C⊥平面ABC1;…(6分)解:(Ⅱ)∵,,设平面A 1BC 1,则,取y=4,得; …(8分)由(Ⅰ)知,为平面ABC 1的法向量,…(9分)设二面角A ﹣BC 1﹣A 1的大小为θ,由题意可知θ为锐角, ∴. …(11分)即二面角A ﹣BC 1﹣A 1的余弦值为. …(12分)赠送—高中数学知识点二次函数(1)一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容,这部分知识在初中代数中虽有所涉及,但尚不够系统和完整,且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定理)的运用,下面结合二次函数图象的性质,系统地来分析一元二次方程实根的分布.设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ,且12x x ≤.令2()f x ax bx c =++,从以下四个方面来分析此类问题:①开口方向:a ②对称轴位置:2bx a=-③判别式:∆ ④端点函数值符号. ①k <x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2<k ⇔③x 1<k <x 2 ⇔ af (k )<0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1<x 1≤x 2<k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1(或x 2)满足k 1<x 1(或x 2)<k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0,并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1<x 1<k 2≤p 1<x 2<p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出.(5)二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ,最小值为m ,令01()2x p q =+. (Ⅰ)当0a >时(开口向上) ①若2b p a -<,则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤,则()2b m f a =- ③若2b q a->,则()m f q =①若02b x a -≤,则()M f q = ②02b x a->,则()M f p = (Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<,则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤,则()2b M f a =- ③若2b q a->,则()M f q =x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2bf a-xx x(q)0x①若02b x a -≤,则()m f q = ②02b x a->,则()m f p =.x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。
2016-2017学年河北省保定市定州中学高二(上)期中数学试卷一、选择题1.(5分)用秦九昭算法计算多项式f (x )=2x 6+5x 5+6x 4+23x 3﹣8x 2+10x ﹣3,x=﹣4时,V 3的值为( )A .﹣742B .﹣49C .18D .1882.(5分)为了了解我校今年报考飞行员的学生的体重情况,将所得的数据整理后,画出了频率分布直方图(如图),已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3,第2小组的频数为12,则报考飞行员的学生人数是( )A .50B .47C .48D .523.(5分)在区间[﹣π,π]内随机取两个数分别记为a ,b ,则使得函数f (x )=x 2+2ax ﹣b 2+π有零点的概率为( )A .B .C .D .4.(5分)以下四个命题中:①为了了解800名学生对学校某项教改试验的意见,打算从中抽取一个容量为40的样本,考虑用系统抽样,则分段的间隔k 为40. ②线性回归直线方程=x +恒过样本中心(,),且至少过一个样本点;③在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N (2,σ2)(σ>0).若ξ在(﹣∞,1)内取值的概率为0.1,则ξ在(2,3)内取值的概率为0.4;其中真命题的个数为( )A .0B .1C .2D .35.(5分)袋中装有红、黄、蓝三种颜色的球各2个,无放回的从中任取3个球,则恰有两个球同色的概率为( )A.B.C.D.6.(5分)在区间(0,4)上任取一数x,则2<2x﹣1<4的概率是()A.B.C.D.7.(5分)为了解某地参加2015年夏令营的400名学生的身体健康情况,将学生编号为001,002,…,400,采用系统抽样的方法抽取一个容量为40的样本,且抽取到的最小号码为005,已知这400名学生分住在三个营区,从001至155在第一营区,从156到255在第二营区,从256到400在第三营区,则第一,第二,第三营区被抽中的人数分别为()A.15,10,15 B.16,10,14 C.15,11,14 D.16,9,158.(5分)已知数列{a n}的各项均为正数,如图给出程序框图,当k=5时,输出的,则数列{a n}的通项公式为()A.a n=2n B.a n=2n﹣1 C.a n=2n+1 D.a n=2n﹣39.(5分)执行如图所示的程序框图,若输出的结果为2,则可输入的实数x值的个数为()A.0 B.1 C.2 D.310.(5分)学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽出了一个容量为n 且支出在[20,60)元的样本,其频率分布直方图如图所示,其中支出在[50,60)元的学生有30人,则n的值为()A.100 B.1000 C.90 D.90011.(5分)执行如图的程序框图,如果输出结果为2,则输入的x=()A.0 B.2 C.4 D.0或412.(5分)从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机,对其销售额进行统计,统计数据用茎叶图表示(如图所示,设甲乙两组数据的平均数分别为x,x甲乙,中位数分别为m甲,m乙,则()A.x 甲<x乙,m甲>m乙B.x甲<x乙,m甲<m乙C.x甲>x乙,m甲>m乙D.x甲>x乙,m甲<m乙二、填空题13.(5分)某校对全校900名男女学生进行健康调查,选用分层抽样法抽取一个容量为100的样本.已知女生抽了25人,则该校的男生数应是人.14.(5分)从某班抽取5名学生测量身高(单位:cm),得到的数据为160,162,159,160,159,则该组数据的方差s2=.15.(5分)阅读下面程序.若a=4,则输出的结果是.16.(5分)如表是某单位1﹣4月份水量(单位:百吨)的一组数据:由散点图可知,用水量y与月份x之间有较强的线性相关关系,其线性回归直线方程是=﹣0.7x+a,由此可预测该单位第5个月的用水量是百吨.三、解答题(共4小题,满分48分)17.(12分)某学校团委组织了“文明出行,爱我中华”的知识竞赛,从参加考试的学生中抽出60名学生,将其成绩(单位:分)整理后,得到如下频率分布直方图(其中分组区间为[40,50),[50,60),…,[90,100]),(1)求成绩在[70,80)的频率,并补全此频率分布直方图;(2)求这次考试平均分的估计值;(3)若从成绩在[40,50)和[90,100]的学生中任选两人,求他们的成绩在同一分组区间的概率.18.(12分)某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生,将其数学成绩(均为整数)分成六组[90,100),[100,110),…,[140,150]后得到如下部分频率分布直方图,观察图形的信息,回答下列问题:(1)求分数在[120,130)内的频率;(2)若在同一组数据中,将该组区间的中点值(如:组区间[100,110)的中点值为=105)作为这组数据的平均分,据此,估计本次考试的平均分;(3)用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本,将该样本看成一个总体,从中任取2人,求至多有1人在分数段[120,130)内的概率.19.(12分)某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动.为了了解本次竞赛学生成绩情况,从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数,满分为100分)作为样本(样本容量为n)进行统计.按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在[50,60),[90,100]的数据).(Ⅰ)求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值;(Ⅱ)在选取的样本中,从竞赛成绩是80分以上(含80分)的同学中随机抽取2名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动,求所抽取的2名同学来自不同组的概率.20.(12分)某城市100户居民的月平均用电量(单位:度),以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300)分组的频率分布直方图如图.(1)求直方图中x的值;(2)求月平均用电量的众数和中位数;(3)在月平均用电量为,[220,240),[240,260),[260,280),[280,300)的四组用户中,用分层抽样的方法抽取11户居民,则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户?2016-2017学年河北省保定市定州中学高二(上)期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1.(5分)用秦九昭算法计算多项式f(x)=2x6+5x5+6x4+23x3﹣8x2+10x﹣3,x=﹣4时,V3的值为()A.﹣742 B.﹣49 C.18 D.188【解答】解:∵f(x)=2x6+5x5+6x4+23x3﹣8x2+10x﹣3=((2x+5)x+6)x+23)x﹣8)x+10)x﹣3,∴v0=2,v1=v0x+5=2×(﹣4)+5=﹣3,v2=v1x+6=﹣3×(﹣4)+6=18,v3=v2x+23=18×(﹣4)+23=﹣49,∴V3的值为﹣49;故选:B.2.(5分)为了了解我校今年报考飞行员的学生的体重情况,将所得的数据整理后,画出了频率分布直方图(如图),已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3,第2小组的频数为12,则报考飞行员的学生人数是()A.50 B.47 C.48 D.52【解答】解:设报考飞行员的人数为n,根据前3个小组的频率之比为1:2:3,可设前三小组的频率分别为x,2x,3x;由题意可知所求频率和为1,即x+2x+3x+(0.0375+0.0125)×5=1解得2x=0.25则0.25=,解得n=48.∴抽取的学生数为48.故选:C.3.(5分)在区间[﹣π,π]内随机取两个数分别记为a,b,则使得函数f(x)=x2+2ax﹣b2+π有零点的概率为()A.B.C.D.【解答】解:由题意知本题是一个几何概型,∵a,b使得函数f(x)=x2+2ax﹣b2+π有零点,∴△≥0∴a2+b2≥π试验发生时包含的所有事件是Ω={(a,b)|﹣π≤a≤π,﹣π≤b≤π}∴S=(2π)2=4π2,而满足条件的事件是{(a,b)|a2+b2≥π},∴s=4π2﹣π2=3π2,由几何概型公式得到P=,故选:B.4.(5分)以下四个命题中:①为了了解800名学生对学校某项教改试验的意见,打算从中抽取一个容量为40的样本,考虑用系统抽样,则分段的间隔k为40.②线性回归直线方程=x+恒过样本中心(,),且至少过一个样本点;③在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(2,σ2)(σ>0).若ξ在(﹣∞,1)内取值的概率为0.1,则ξ在(2,3)内取值的概率为0.4;其中真命题的个数为()A.0 B.1 C.2 D.3【解答】解:①由题意知本题是一个系统抽样,总体中个体数是800,样本容量是40,根据系统抽样的步骤,得到分段的间隔K==20,故①是假命题;②线性回归直线方程=x+恒过样本中心(,),但不一定过样本点,故②是假命题;③由于ξ服从正态分布N(2,σ2)(σ>0),则正态分布图象的对称轴为x=2,故ξ在(﹣∞,2)内取值的概率为0.5,又由ξ在(﹣∞,1)内取值的概率为0.1,则ξ在(1,2)内取值的概率为0.4故ξ在(2,3)内取值的概率为0.4,故③是真命题;故选:B.5.(5分)袋中装有红、黄、蓝三种颜色的球各2个,无放回的从中任取3个球,则恰有两个球同色的概率为()A.B.C.D.【解答】解:从红、黄、蓝三种颜色的球各2个,无放回的从中任取3个球,共有C63=20种,其中恰有两个球同色C31C41=12种,故恰有两个球同色的概率为P==,故选:B.6.(5分)在区间(0,4)上任取一数x,则2<2x﹣1<4的概率是()A.B.C.D.【解答】解:由2<2x﹣1<4得2<x<3,则在区间(0,4)上任取一数x,则2<2x﹣1<4的概率P==,故选:C.7.(5分)为了解某地参加2015年夏令营的400名学生的身体健康情况,将学生编号为001,002,…,400,采用系统抽样的方法抽取一个容量为40的样本,且抽取到的最小号码为005,已知这400名学生分住在三个营区,从001至155在第一营区,从156到255在第二营区,从256到400在第三营区,则第一,第二,第三营区被抽中的人数分别为()A.15,10,15 B.16,10,14 C.15,11,14 D.16,9,15【解答】解:依题意可知,在随机抽样中,首次抽到005号,以后每隔10个号抽到一个人,∴抽取的号码构成以5为首项,d=10为公差的等差数列.∴a n=10n﹣5.由10n﹣5≤155解得n≤16,即第一营区抽中的人数为16人.由156<10n﹣5≤255,即n=17,18,…26,共有26﹣17+1=10人,即第二营区抽中的人数为10人.则第三营区的人数为40﹣16﹣10=14人.故选:B.8.(5分)已知数列{a n}的各项均为正数,如图给出程序框图,当k=5时,输出的,则数列{a n}的通项公式为()A.a n=2n B.a n=2n﹣1 C.a n=2n+1 D.a n=2n﹣3=a i+2可知数列{a n}是公差为2的等差数列【解答】解:根据a i+1当k=5时,S=++…+=(﹣+…+﹣)=(﹣)=∴a n=2n﹣1故选:B.9.(5分)执行如图所示的程序框图,若输出的结果为2,则可输入的实数x值的个数为()A.0 B.1 C.2 D.3【解答】解:根据题意,该框图的含义是:当x≤2时,得到函数y=x2﹣1;当x>2时,得到函数y=log2x.即y=因此,若输出结果为2时,①若x≤2,得x2﹣1=2,解之得x=±,②当x>2时,得y=log2x=2,得x=4因此,可输入的实数x值可能是,﹣或4,共3个数.故选:D.10.(5分)学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽出了一个容量为n 且支出在[20,60)元的样本,其频率分布直方图如图所示,其中支出在[50,60)元的学生有30人,则n的值为()A.100 B.1000 C.90 D.900【解答】解:由题意可知:前三个小组的频率之和=(0.01+0.024+0.036)×10=0.7,∴支出在[50,60)元的频率为1﹣0.7=0.3,∴n的值==100;故选:A.11.(5分)执行如图的程序框图,如果输出结果为2,则输入的x=()A.0 B.2 C.4 D.0或4【解答】解:由已知中的程序框图可知:该程序的功能是计算并输出x=的值,∵输出结果为2,∴或,∴解得x=4.故选:C.12.(5分)从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机,对其销售额进行统计,统计数据用茎叶图表示(如图所示,设甲乙两组数据的平均数分别为x甲,x乙,中位数分别为m甲,m乙,则()A.x甲<x乙,m甲>m乙B.x甲<x乙,m甲<m乙C.x 甲>x乙,m甲>m乙D.x甲>x乙,m甲<m乙【解答】解:甲的平均数甲=(5+6+8+10+10+14+18+18+22+25+27+30+30+38+41+43)=,乙的平均数乙=(10+12+18+20+22+23+23+27+31+32+34+34+38+42+43+48)=,所以甲<乙.甲的中位数为20,乙的中位数为29,所以m甲<m乙,故选:B.二、填空题13.(5分)某校对全校900名男女学生进行健康调查,选用分层抽样法抽取一个容量为100的样本.已知女生抽了25人,则该校的男生数应是675人.【解答】解:∵某校对全校900名男女学生进行健康调查,选用分层抽样法抽取一个容量为100的样本.已知女生抽了25人,∴男生抽了75人,∴该校的男生数应是900×=675人.故答案为:675.14.(5分)从某班抽取5名学生测量身高(单位:cm),得到的数据为160,162,159,160,159,则该组数据的方差s2=.【解答】解:数据160,162,159,160,159的平均数是:160,则该组数据的方差s2=(02+22+12+02+12)=,故答案为:.15.(5分)阅读下面程序.若a=4,则输出的结果是16.【解答】解:模拟执行程序代码,可得程序的功能是计算并输出a=的值,a=4不满足条件a>4,a=4×4=16.故答案为:16.16.(5分)如表是某单位1﹣4月份水量(单位:百吨)的一组数据:由散点图可知,用水量y与月份x之间有较强的线性相关关系,其线性回归直线方程是=﹣0.7x+a,由此可预测该单位第5个月的用水量是 1.75百吨.【解答】解:==2.5,==3.5.∴3.5=﹣0.7×2.5+a,解得a=5.25.∴线性回归方程是y=﹣0.7x+5.25.当x=5时,y=﹣0.7×5+5.25=1.75.故答案为:1.75.三、解答题(共4小题,满分48分)17.(12分)某学校团委组织了“文明出行,爱我中华”的知识竞赛,从参加考试的学生中抽出60名学生,将其成绩(单位:分)整理后,得到如下频率分布直方图(其中分组区间为[40,50),[50,60),…,[90,100]),(1)求成绩在[70,80)的频率,并补全此频率分布直方图;(2)求这次考试平均分的估计值;(3)若从成绩在[40,50)和[90,100]的学生中任选两人,求他们的成绩在同一分组区间的概率.【解答】解:(1)第四小组的频率=1﹣(0.005+0.015+0.020+0.030+0.005)×10=0.25.(2)依题意可得:平均数=(45×0.005+55×0.015+65×0.020+75×0.025+85×0.030+95×0.005)×10=72.5,(3)[40,50)与[90,100]的人数分别是3和3,所以从成绩是[40,50)与[90,100]的学生中选两人,将[40,50]分数段的6人编号为A1,A2,A3,将[90,100]分数段的3人编号为B1,B2,B3,从中任取两人,则基本事件构成集合Ω={(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3)}共有15个,其中,在同一分数段内的事件所含基本事件为(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3)共6个,故概率P==.18.(12分)某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生,将其数学成绩(均为整数)分成六组[90,100),[100,110),…,[140,150]后得到如下部分频率分布直方图,观察图形的信息,回答下列问题:(1)求分数在[120,130)内的频率;(2)若在同一组数据中,将该组区间的中点值(如:组区间[100,110)的中点值为=105)作为这组数据的平均分,据此,估计本次考试的平均分;(3)用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本,将该样本看成一个总体,从中任取2人,求至多有1人在分数段[120,130)内的概率.【解答】解:(1)分数在[120,130)内的频率为1﹣(0.1+0.15+0.15+0.25+0.05)=1﹣0.7=0.3;(2)估计平均分为=95×0.1+105×0.15+115×0.15+125×0.3+135×0.25+145×0.05=121;(3)依题意,[110,120)分数段的人数为60×0.15=9(人),[120,130)分数段的人数为60×0.3=18(人);∵用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本,∴需在[110,120)分数段内抽取2人,并分别记为m,n;在[120,130)分数段内抽取4人,并分别记为a,b,c,d;设“从样本中任取2人,至多有1人在分数段[120,130)内”为事件A,则基本事件有(m,n),(m,a),…,(m,d),(n,a),…,(n,d),(a,b),…,(c,d)共15种;则事件A包含的基本事件有(m,n),(m,a),(m,b),(m,c),(m,d),(n,a),(n,b),(n,c),(n,d)共9种;∴P(A)==.19.(12分)某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动.为了了解本次竞赛学生成绩情况,从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数,满分为100分)作为样本(样本容量为n)进行统计.按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在[50,60),[90,100]的数据).(Ⅰ)求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值;(Ⅱ)在选取的样本中,从竞赛成绩是80分以上(含80分)的同学中随机抽取2名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动,求所抽取的2名同学来自不同组的概率.【解答】解析:(Ⅰ)由题意可知,样本容量,,x=0.1﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.04=0.030.(Ⅱ)由题意可知,分数在[80,90)有5人,分别记为a,b,c,d,e,分数在[90,100)有2人,分别记为F,G.从竞赛成绩是8(0分)以上(含80分)的同学中随机抽取2名同学有如下种情形:(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,F),(a,G),(b,c),(b,d),(b,e),(b,F),(b,G),(c,d),(c,e),(c,F),(c,G),(d,e),(d,F),(d,G),(e,F),(e,G),(F,G),共有21个基本事件;其中符合“抽取的2名同学来自不同组”的基本事件有(a,F),(a,G),(b,F),(b,G),(c,F),(c,G),(d,F),(d,G),(e,F),(e,G),共10个,所以抽取的2名同学来自不同组的概率.(12分)20.(12分)某城市100户居民的月平均用电量(单位:度),以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300)分组的频率分布直方图如图.(1)求直方图中x的值;(2)求月平均用电量的众数和中位数;(3)在月平均用电量为,[220,240),[240,260),[260,280),[280,300)的四组用户中,用分层抽样的方法抽取11户居民,则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户?【解答】解:(1)由直方图的性质可得(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)×20=1,解方程可得x=0.0075,∴直方图中x的值为0.0075;(2)月平均用电量的众数是=230,∵(0.002+0.0095+0.011)×20=0.45<0.5,∴月平均用电量的中位数在[220,240)内,设中位数为a,由(0.002+0.0095+0.011)×20+0.0125×(a﹣220)=0.5可得a=224,∴月平均用电量的中位数为224;(3)月平均用电量为[220,240)的用户有0.0125×20×100=25, 月平均用电量为[240,260)的用户有0.0075×20×100=15, 月平均用电量为[260,280)的用户有0.005×20×100=10, 月平均用电量为[280,300)的用户有0.0025×20×100=5, ∴抽取比例为=,∴月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×=5户.赠送:初中数学几何模型举例【模型四】 几何最值模型: 图形特征:P ABl运用举例:1. △ABC 中,AB =6,AC =8,BC =10,P 为边BC 上一动点,PE ⊥AB 于E ,PF ⊥AC 于F ,M 为AP 的中点,则MF 的最小值为B2.如图,在边长为6的菱形ABCD 中,∠BAD =60°,E 为AB 的中点,F 为AC 上一动点,则EF +BF 的最小值为_________。