解分式方程的特殊方法与技巧

分式方程与实际问题的技巧分式方程在实际问题中的应用非常广泛，例如在物理学、化学、工程学等领域中都有广泛的应用。

解决分式方程的问题需要一定的技巧和方法，本文将从以下几个方面介绍分式方程与实际问题的技巧。

一、理解分式方程的基本概念分式方程是指含有分式的方程，即等号两边至少有一个项是分式。

分式方程的一般形式为：A/B = C/D，其中A、B、C、D 均为整式，且B≠0。

二、分式方程的解法1. 消去分母法消去分母法是将分式方程转化为整式方程求解的方法。

具体步骤如下：（1）将分式方程转化为整式方程；（2）解整式方程；（3）检验所得解是否为原分式方程的解。

2. 换元法换元法是将原分式方程中的未知数用另一个变量表示，从而将原分式方程转化为一个新的整式方程求解的方法。

具体步骤如下：（1）设一个新的变量u，使得原分式方程可以表示为关于u的整式方程；（2）解关于u的整式方程；（3）将所得解代入原分式方程，求出原未知数的值。

3. 分离变量法分离变量法是将原分式方程中的未知数与常数分离，从而将原分式方程转化为一个关于未知数的一元一次方程求解的方法。

具体步骤如下：（1）将原分式方程中的未知数与常数分离；（2）对分离后的一元一次方程进行求解；（3）将所得解代入原分式方程，求出原未知数的值。

三、实际问题中的分式方程技巧1. 确定未知数和已知条件在解决实际问题时，首先要明确题目中的未知数和已知条件。

未知数通常是需要求解的量，而已知条件则是题目给出的关于未知数的信息。

例如，某物体的速度v与其时间t的关系可以表示为v = at^2 + bt + c，其中a、b、c为已知常数，v、t为未知数。

2. 建立分式方程模型根据题目中的已知条件，建立相应的分式方程模型。

例如，某物体的速度v与其时间t的关系可以表示为v = at^2 + bt + c/t，其中a、b、c为已知常数，v、t为未知数。

3. 选择合适的解法求解分式方程根据所建立的分式方程模型，选择合适的解法求解分式方程。

分式方程的解法与技巧【典型例题】1. 局部通分法：例1.分析：该方程的特点是等号两边各是两个分式，相邻两个分式的分子与分子，分母与分母及每个分式的分子与分母都顺序相差1，象这类通常采取局部通分法。

解：方程两边分别通分并化简，得：解之得：x＝6经检验：x＝6是原分式方程的根。

点拨：此题如果用常规法，将出现四次项且比较繁，而采用局部通分法，就有明显的优越性。

但有的时候采用这种方法前需要考虑适当移项，组合后再进行局部通分。

2. 换元法：例2.分析：此方程中各分式的分母都是含未知数x的二次三项式，且前两项完全相同，解：解此方程此方程无解。

点拨：换元法解分式方程，是针对方程实际，正确而巧妙地设元，达到降次，化简的目的，它是解分式方程的又一重要的方法，本题还有其它的设法，同学们可自己去完成。

3. 拆项裂项法：例3.分析：这道题虽然可用通分去分母的常规解法，但若将第二项拆项、裂项，则更简捷。

解：原方程拆项，变形为：裂项为：经检验：x＝1是原分式方程的解。

4. 凑合法：例4.分析：观察此方程的两个分式的分母是互为相反数，考虑移项后易于运算合并，能使运算过程简化。

解：部分移项得：∴x＝2经检验：x＝2是原分式方程的根。

5. 构造法：例5.分析：来求解，而不用常规解法。

解：原方程可化为：6. 比例法：例6.分析：由于方程两边分子、分母未知数的对应项系数相等，因此可以利用这样的恒等运算。

解：应用上述性质，可将方程变形为：【模拟试题】（答题时间：20分钟）解下列分式方程：1.2.3.4.5.【试题答案】1. 解：原方程变形为：即方程两边分别通分为：去分母得：化简得：解法2：原方程变变形得：两边分别通分得：去分母得：化简得：2. 由比例的性质可得：或解之得：经检验：是原分式方程的解。

3. 解：原方程可化为：化简得：∴原分式方程无解4. 原方程可变形为：设，则有∴原方程可化为：即解之得：当时，即，解得当时，即，解得经检验：，均是原方程的解。

分式方程的解法和技巧
1. 嘿，分式方程其实没那么难啦！就好比你要解开一个神秘的锁，找到那把对的钥匙就行啦！比如说方程$\frac{2}{x}+3=5$，这就像是一个小谜题等你去破解呀！首先我们要找到最简公分母，把方程两边同时乘以它，不就好解了嘛！
2. 哎呀呀，分式方程的解法有妙招呢！比如遇到像$\frac{3}{x-
1}=\frac{1}{2}$这样的方程，你就把它当成一场和分式的小战斗呀！要勇敢出击，利用等式的性质去打败它。

这多有意思呀！
3. 哇塞，分式方程的技巧可得掌握好呀！就像你走在迷宫里，要有正确的方向指引呢！像$\frac{x}{x+2}=\frac{2}{3}$这种，通过交叉相乘，不就能找到答案了嘛，是不是很神奇？
4. 嘿，分式方程可不是拦路虎哦！举个例子，$\frac{4}{x-3}+1=0$，这就像是一个小挑战等你去攻克呀。

运用合适的方法，一点一点瓦解它，多有成就感呀！
5. 哎呀，分式方程其实超有趣的呀！比如$\frac{1}{x}+ \frac{2}{x}=3$，这就像拼拼图一样，一块一块把答案凑起来，是不是很特别呢？
6. 哇哦，分式方程的解法和技巧真的超重要呢！就像你有了秘密武器去作战一样！比如说$\frac{5}{x+1}-\frac{2}{x}=0$，开动脑筋，运用方法，肯定能把它拿下呀，是不是呀！
我的观点结论：分式方程并不难，只要掌握好解法和技巧，多练习，就一定能轻松应对，大家可别害怕它哟！。

分式方程的解法分式方程是含有一个或多个分式的方程，求解分式方程需要借助一些特定的方法和规则。

本文将介绍分式方程的常见解法，帮助你更好地理解和解决这类问题。

一、消去分母法对于分式方程而言，最常用的解法就是消去分母。

具体步骤如下：1. 将分式方程两边的分母去掉，得到一个关于未知数的多项式方程。

2. 整理方程，将同类项合并，得到一个简化的多项式方程。

3. 使用常规的代数方法解决这个多项式方程。

4. 检查得到的解是否满足原始的分式方程，若满足，则是原方程的解；若不满足，则是无效解。

二、通分法在某些情况下，分式方程可以通过通分的方法进行求解。

具体步骤如下：1. 对于含有多个分式的方程，将所有分式的分母找到其最小公倍数，并将方程两边的分子进行相应的操作。

2. 使用通分后的方程，将分母相同的项合并，并将方程化简为一个关于未知数的多项式方程。

3. 使用常规的代数方法解决得到的多项式方程。

4. 检查得到的解是否满足原始的分式方程，若满足，则是原方程的解；若不满足，则是无效解。

三、代入法有时候，分式方程的解可以通过代入法求得。

具体步骤如下：1. 从分式方程中选取一个变量，用一个合适的值代入该变量。

2. 计算代入后得到的方程，并求解这个新的方程。

3. 检查得到的解是否满足原始的分式方程，若满足，则是原方程的解；若不满足，则是无效解。

四、等价方程法等价方程法是另一种常用的求解分式方程的方法。

具体步骤如下：1. 对于给定的分式方程，将方程两边同时乘以分母的乘法逆元，以消去分母。

2. 处理等式两边得到的新方程，将其化简为一个关于未知数的多项式方程。

3. 使用常规的代数方法解决得到的多项式方程。

4. 检查得到的解是否满足原始的分式方程，若满足，则是原方程的解；若不满足，则是无效解。

综上所述，分式方程的解法主要包括消去分母法、通分法、代入法和等价方程法。

根据具体情况选择合适的方法，可以更高效地求解分式方程。

在解题过程中，要注意化简方程，查验解的有效性，以确保得到正确的结果。

解分式方程的特殊方法与技巧分式方程意义及解法一、内容综述:1(解分式方程的基本思想在学习简单的分式方程的解法时，是将分式方程化为一元一次方程，复杂的(可化为一元二次方程)分式方程的基本思想也一样，就是设法将分式方程“转化”为整式方程(即分式方程整式方程2(解分式方程的基本方法(1)去分母法去分母法是解分式方程的一般方法，在方程两边同时乘以各分式的最简公分母，使分式方程转化为整式方程(但要注意，可能会产生增根。

所以，必须验根。

产生增根的原因:当最简公分母等于0时，这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数，所得方程与原方程同解)，这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解(检验根的方法:(1)将整式方程得到的解代入原方程进行检验，看方程左右两边是否相等。

(2)为了简便，可把解得的根直接代入最简公分母中，如果不使公分母等于0，就是原方程的根;如果使公分母等于0，就是原方程的增根。

必须舍去( 注意:增根是所得整式方程的根，但不是原方程的根，增根使原方程的公分母为0(用去分母法解分式方程的一般步骤:(i)去分母，将分式方程转化为整式方程;(ii)解所得的整式方程;(iii)验根做答(2)换元法为了解决某些难度较大的代数问题，可通过添设辅助元素(或者叫辅助未知数)来解决(辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量，从而把问题化繁为简，化难为易，使未知量向已知量转化，这种思维方法就是换元法(换元法是解分式方程的一种常用技巧，利用它可以简化求解过程(用换元法解分式方程的一般步骤:(i)设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式;(ii)解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值;(iii)把辅助未知数的值代回原设中，求出原未知数的值;(iv)检验做答(注意:(1)换元法不是解分式方程的一般方法，它是解一些特殊的分式方程的特殊方法。

它的基本思想是用换元法把原方程化简，把解一个比较复杂的方程转化为解两个比较简单的方程。

分式方程的解法与应用分式方程是指含有分数形式的方程，其中包含了分数的加减乘除运算。

解决分式方程需要运用一些特定的解法和技巧，以及理解分式方程在实际生活中的应用。

本文将介绍分式方程的解法和应用，并讨论其在数学和日常生活中的重要性。

一、分式方程的解法分式方程的解法有多种方法，以下是其中常见的几种：1. 清除分母法：当分式方程中存在分母时，可以通过乘以适当的整数或者多项式的方法，将方程的分母消除，从而转化为含有整数或多项式的方程。

通过进行这样的清除分母操作，可以简化方程的求解过程。

2. 相同分母法：当分式方程中存在多个分式且分母相同的情况时，可以通过将这些分式相加或相减，生成一个分子相加或相减的新分式，从而将分式方程转化为一个更简单的方程。

然后，可以继续使用其他解方程的方法求解。

3. 倒数法：当分式方程的分子或分母中含有复杂的表达式时，可以通过倒数的方式，将方程进行转化。

将方程的分母转化为分子，分子转化为分母，然后利用等式的性质进行化简，最后得到一个更为简单的方程。

二、分式方程的应用分式方程在实际生活中有着广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 比例问题：比例问题是分式方程的常见应用之一。

在计算比例时，常常需要解决分式方程。

例如，在商业领域中，计算销售增长率、成本与利润的关系等问题，都需要运用分式方程进行计算。

2. 涉及面积和体积的问题：分式方程在计算面积和体积相关问题时也很有用。

例如，计算不规则形状的面积、计算容器中液体的体积等都可能涉及到分式方程的应用。

3. 财务问题：在处理财务问题时，分式方程同样发挥着重要的作用。

例如，在计算股票交易、利息计算以及贷款还款等问题时，常常需要解决分式方程来进行计算。

总结：分式方程是一种特殊的方程类型，运用特定的解法和技巧可以解决。

掌握分式方程的解法不仅在数学学科中重要，也在实际生活中具有广泛的应用。

通过应用不同的解法，我们能够更好地理解和解决涉及分数运算的各类问题，提高解决实际问题的能力。

分式方程的解法在代数学中，分式方程是由含有分式的等式组成的方程。

求解分式方程的过程需要运用一些特定的解法和技巧，以便得出方程的解。

本文将介绍几种常见的分式方程解法，帮助读者更好地理解和应用。

一、通分法对于含有分式的方程，通分是一个常见的解法。

通过将方程两边的分式通分，就可以将方程转化为一个等价的方程，从而更容易求解。

例如，考虑以下分式方程：(3/x) + (2/y) = 5为了通分，我们可以将两个分式的分母相乘，得到：(3y + 2x) / (xy) = 5然后，我们可以将方程转化为一个简单的线性方程：3y + 2x = 5xy通过这种方法，我们可以将原始的分式方程转化为一个更易于求解的线性方程，从而求出方程的解。

二、消元法消元法是解决分式方程的另一种常用方法。

该方法通过消除方程中的分式，将其转化为一个只含有整数的方程，从而使求解变得更加简便。

考虑以下分式方程：(1/x) + (1/y) = 2为了消去分式，我们可以将等式两边乘以xy，得到：y + x = 2xy然后，我们可以进一步转化为一个二次方程：2xy - y - x = 0通过求解这个二次方程，我们可以得到方程的解。

三、代入法代入法是解决分式方程的一种简单直接的方法。

该方法通过将已知的解代入到方程中，验证是否满足等式的要求。

例如，考虑以下分式方程：(4/x) - (2/y) = 1假设 x = 2 是方程的一个解，我们可以将其代入方程中：(4/2) - (2/y) = 1简化后得到：2 - (2/y) = 1再进一步简化得到：(2/y) = 1通过验证我们可以发现，x = 2 确实是方程的一个解。

因此，我们可以得出该方程的解为 x = 2。

通过代入法，我们可以将已知的解代入方程中，逐步验证是否满足等式的要求，从而得到方程的解。

综上所述，分式方程的解法主要包括通分法、消元法和代入法。

通过灵活运用这些解法，我们可以求解各种类型的分式方程。

对于复杂的分式方程，可能需要结合多种解法同时使用。

分式方程的特殊解法举例解分式方程的基本思想，是通过去分母，化分式方程为整式方程。

其常规解法有“去分母法”和“换元法”两种。

但对一些结构较特殊的分式方程，若仍用这两种常规方法求解，往往会使未知数的次数增高，或使运算变繁，增大解题难度，甚至无法解出。

因此，我们应针对题目的结构特征，研究一些非常规解法。

1. 分组通分例1 解方程65327621--+--=--+--x x x x x x x x 分析：通过移项，将方程两边变形为两分式的差，通分后的分子中含未知数的项可相互抵消，从而降低了解题难度。

解：移项，得21653276-----=-----x x x x x x x x 两边分别通分，得)2)(6(4)3)(7(4--=--x x x x 所以)2)(6()3)(7(--=--x x x x 解得29=x 经检验，知29=x 是原方程的根。

2. 用“带余除法”将分子降次例2 解方程x x x x x x x 211112323=+--++++ 分析：方程左边是两个假分式的和的形式，所以可将它们分别化成整式与真分式之和的形式，从而降低未知数的次数，简化运算。

解：原方程可化为x x x x x x x 212112122=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-所以121222+-=++x x x x 即1122+-=++x x x x所以002==x x ，经检验，知x=0是原方程的根。

3. 拆项相消例3 解方程 1011009900199165123112222=+++++++++++x x x x x x x x 分析：表面不易发现题目特点，但将各分母因式分解后，便发现各分式同时都具有AB A B -的形式。

因此，可用BA AB A B 11-=-将每个分式都拆成两个分式差的形式，这样除首末两项外，中间的项从左往右依次抵消。

解：将原方程变形，得101100)100)(99(1)3)(2(1)2)(1(1)1(1=+++++++++++x x x x x x x x 拆项得⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-100199131212111111x x x x x x x x 101100= 化简得10110010011=+-x x 即01011002=-+x x 解得101121-==x x ， 经检验，知11=x 和1012-=x 都是原方程的解。

《分式方程》解题技巧《《分式方程》解题技巧》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！1、分式方程的概念：分母里含有未知数的方程叫做分式方程.说明：理解分式方程的定义，并不是看方程是否有分母，而是看分母中是否含有未知数.例：都是分式方程.而关于x的方程，不是分式方程.2、解分式方程的基本思想我们已经学过可化为一元一次方程的分式方程的解法，解可化为一元二次方程的分式方程的基本思想与前者相同，就是设法将分式方程“转化”为整式方程，即二、重难点知识归纳及讲解1、解分式方程的方法(1)去分母法去分母法是解分式方程的一般方法.在方程两边同时乘以各分式的最简公分母，约去分母，把分式方程化为整式方程.因此解分式方程必须验根.为了检验方便，可把整式方程的根分别代入最简公分母，如果使最简公分母为0，则这个根叫分式方程的增根，必须舍去.如果使最简公分母不为0，则这个根是原分式方程的根.注意：增根是所得整式方程的根，但不是原分式方程的根.用去分母法解分式方程的一般步骤：(Ⅰ)把原方程的分母因式分解，找出最简公分母;(Ⅱ)去分母，把分式方程转化为整式方程.(Ⅲ)解所得的整式方程.(Ⅳ)验根.(2)换元法在解代数问题时，对于某些难度较大的问题，可通过添设辅助元素解决，辅助元素的添设是把原来的未知量替换成新的未知量，从而把问题化繁为简，化难为易，使未知量向已知量转化，这种思维方法就是换元法.用换元法解分式方程的一般步骤：(Ⅰ)设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式表示原方程中的代数式.(Ⅱ)解关于辅助未知数的方程.(Ⅲ)把辅助未知数的值代入“设”中，求出原未知数的值.(Ⅳ)验根并做答.说明：(1)换元法不是解分式方程的一般方法，它是解一些特殊的分式方程的特殊方法.它的基本思想是通过换元把原方程化简，把解一个比较复杂的方程转化为一个比较简单的方程.(2)分式方程解法的选择顺序是先特殊后一般，即先考虑能否用换元法解，不能用换元法解的，再用去分母法.(3)无论用什么方法解分式方程，验根都是必不可少的重要步骤.2、解分式方程产生增根的原因及验根的方法在解分式方程时，我们在方程的两边同乘了含有未知数的代数式，从而把分式方程变换为整式方程.因此，原来分式方程中分母不为零的限制被无形地取消了，这样就使未知数的取值范围扩大了——就产生了增根的可能.所以解分式方程必须验根.验根的方法是：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否为零(即是否符合“分母不为零”的限制)，如果分母不为零，则被验的根就是分式方程的根;如果使分母为零，则这个根就是增根，必须舍去.3、列分式方程解应用题的一般步骤(1)设未知数;(2)找出等量关系，列出分式方程;(3)解分式方程;(4)验根作答(不但要检验是否为方程的增根，还要检验是否符合题意，即“双重验根”.)三、解题方法技巧点拨1、用去分母法解方程例1、解下列方程(1)(黄冈市中考题);(2)(北京市海淀区中考题).分析：所考知识点是用去分母的方法解分式方程.两个方程可用去分母方法来解.解答：(1)先找它们的最简公分母，∵2-x=-(x-2)，(x2-4)=(x+2)(x-2)，所以最简公分母为(x+2)(x-2);原方程即为-，两边同乘以(x+2)(x-2)，约去分母整理得x2-3x+2=0.解这个方程，得x1=1，x2=2.经检验，把x=1代入(x+2)(x-2)，它不等于0，所以x=1是原方程的根;把x=2代入(x+2)(x-2)中，它等于0，所以x=2是增根.∴x=1是原方程的根.(2)原方程化为，用3x(x-1)乘以方程的两边，去分母，得3(x+1)-(x-1)=x(x+5)，整理得x2+3x-4=0，解得x1=-4，x2=1.检验：把x1=-4代入3x(x-1)≠0，所以x=-4是原方程的根;把x=1代入3x(x-1)=0，所以x=1是原方程的增根.∴原方程的根是x=-4.点拨：解题规律是通过去分母，把分式方程转化为整式方程求解，由于在解分式方程时可能产生增根，所以必须要检验，对于增根要舍去.2、用换元法解分式方程例2、解方程组解答：设点评：注意观察本题的特点，将，再进行换元.例3、解下列分式方程(1)(四川省内江市中考题).(2)(河南省中考题).分析：若用去分母的方法解分式方程，便得到一个四次方程，增加了解题的难度.仔细观察这两个分式方程的特点，可采用换元法较简便.解答：(1)原方程可化为，设∴原方程可化为：，∴y2-5y+6=0，解得y1=2，y2=3.当y1=2时，则，解得x1=1，;当y2=3时，则，解得.经检验，x1,x2,x3,x4都是原方程的根.∴原方程的根为x1=1，，.(2)原方程可化为设，则原方程变形为y2-3y-4=0，解得y1=4，y2=-1.当y=4时，即，所以x2-4x+1=0，解之得;当y=-1时，即，去分母，整理得x2+x+1=0，此方程无实数根.经检验，x1,x2都是原方程的根.∴原方程的根是.点评：用换元法解分式方程应结合方程本身的特征进行换元.注意观察方程中的各代数式是否具有相同、成比例、互为倒数等特征，巧设未知数，如第(2)小题应熟悉这一代数变形.3、含字母系数的分式方程的解法例4、解关于x的方程.分析：此方程是含字母系数的分式方程，其中x是未知数，a是字母系数，此方程不具备换元条件，所以选用去分母法，它的最简公分母为2a(-x+a)即2a(a-x).解答：方程两边都乘以2a(a-x)，得2ax+2(a+x)(a-x)=5a(a-x)，整理，得2x2-7ax+3a2=0，解得x1=3a，.检验：由原方程可知-x+a≠0，a≠0，否则原分式方程就没有意义了.∵当x=3a时，2a(a-x)=-4a2≠0，当时，2a(a-x)=a2≠0.∴原方程的根为x1=3a，.点悟：解含有字母系数的分式方程的方法与解数字系数的分式方程的方法是相同的，但是要特别注意从题目的隐含条件中识别字母系数的取值范围并根据具体情况进行讨论.例5、解关于x的方程：.分析：方程中只有x是未知数，而a、b都是表示已知数的字母，解方程时，可把它看作已知数对待，本题可选用换元法解，因为互为倒数.解答：设，则原方程转化为，去分母、整理，得y2-5y+4=0.∴y1=1，y2=4.当y1=1时，，解得.当y2=4时，，解得.检验：把代入最简公分母(b+x)(a-x)，.∵a+b≠0，∴(b-x)(a-x)≠0.把代入最简公分母(b+x)(a-x)，.∵a+b≠0，∴(b+x)(a-x)≠0.∴原方程的根是.点评：(1)不是任何一个方程都能用换元法解.能用换元法解的方程必须具有换元特点，即换元以后，原方程化为只含有辅助未知数的方程，这就是说，换元以后的方程中不能含有原来的未知数.(2)分式方程解法的选择是先观察方程是否具有换元的特点(一般情况下，方程中具有平方关系或倒数关系)，如有换元特点，选择换元法解;如没有换元特点，一般选去分母法解.(3)无论用什么方法解分式方程，都必须验根.(4)解字母系数的分式方程和数字系数的分式方程方法相同.4、有关增根问题的解法例6、若分式方程有增根x=2，求a的值.分析：将方程的两边同乘以最简公分母(x+2)(x-2)，得a(x+2)+1+2(x+2)(x-2)=0，若分式方程有增根x=2，则x=2一定是整式方程a(x+2)+1+2(x+2)(x-2)=0的根，代入之即可求出a.解：原分式方程去分母，得a(x+2)+1+2(x+2)(x-2)=0.把x=2代入所得方程，得4a+1+0=0，.∴时，x=2是原分式方程的增根.点拨：分式方程的增根有两个要点，第一它必须是由分式方程转化成的整式方程的根;第二它能使原分式方程的最简公分母等于0.正确理解增根的概念，对解决有关增根的问题非常重要.5、列分式方程解应用题问题(1)工程问题例7、一个水池有甲乙两个进水管，甲、乙两水管同时开放，6小时将水池注满;单独开放甲水管，比单独开放乙水管少用5小时就注满水池，求单独开放甲管和单独开放乙管各需多少小时才能注满水池?分析：由题意可知，这是注水问题，也属于工程问题，此题可将总工程看作整体“1”，即注满水池的总工作量为1，设单独开放乙管注满水池，需要x小时，则单独开放甲管注满水池需要(x-5)小时，根据基本等量关系：可知，乙管和甲管的工作效率分别为，又根据题中的相等关系：甲、乙同时开放6小时，可列出方程.解：设单独开放乙管x小时注满水池，则单独开放甲管注满水池需(x-5)小时，根据题意，得，解得x1=15，x2=2.经检验x1=15，x2=2都是所列方程的根，但x2=2不符合题意，舍去.∴x=15，x-5=10.答：单独开放甲管需10小时注满水池，单独开放乙管需15小时注满水池.点悟：列方程解应用题的一般步骤都是“设”、“列”、“解”、“检验”、“答”，但如果所列的方程是分式方程，那么检验时必须进行“双检”，既要检验是否有增根，又要检验求得的解是否符合题意.(2)行程问题例8、甲、乙两地间的路，有一部分是上坡路，其余是下坡路，邮递员骑自行车从甲地到乙地需2小时40分，从乙地回到甲地少用20分钟，已知他骑自行车走下坡路比走上坡路多走6千米，又甲、乙两地之间路程为36千米，求他骑自行车上下坡的速度以及甲地到乙地上、下坡的长度.分析：本题是一般行程问题，其等量关系是：路程=速度×时间，关键应注意，邮递员从甲地到乙地是先上坡后下坡，而从乙地回到甲地也是先上后下，如图所示.本题设两个未知数比较方便.解：设上坡速度为x千米/时，则下坡速度为(x+6)千米/时;又设甲地到乙地上坡为y千米，则下坡为(36-y)千米，依题意，得①+②得，整理，得5x2-42x-6×36=0，∴(x-12)(5x+18)=0，∴x1=12，.∵速度不能为负值，∴x2不符合题意，舍去.∴只取x=12.把x=12代入①得.∴y=2436-y=12答：(略)点评：在求解的过程中，发现不符合题意，就及时将其舍去，省去了将代入方程①求y的值的过程.例9、A、B两地间的路程为15km，早晨6时整，甲从A地出发步行前往B地，20min后，乙从B地出发骑车前往A地，乙到达A地后停留40min.然后骑车按原路原速返回，结果甲、乙两人同时到达B 地，如果乙骑车比甲步行每小时多走10km，问几点钟甲、乙两人同时到达B地?分析：本题可以从两个角度考虑：(1)用时间做相等关系：甲步行15km 所用的时间比乙骑车走30km所用的时间多(20min+40min)=1h.(2)用速度做相等关系，乙的速度-甲的速度=10km.解法一：设甲步行每小时走xkm，则乙骑车每小时走(x+10)km.由题意得整理得x2+25x-150=0解得x1=5，x2=-30经检验：x1=5，x2=-30都是原方程的根，但x=-30不符合题意，舍去.∴x=5.∴甲走15km用的时间为15÷5=3h.∵甲早6时出发，∴9时到B地.答：上午9时整，甲、乙两人同时到达B地.解法二：设甲从A地到B地步行所用时间为x h，则乙往返B、A两地骑车用的时间为(x-1)h.由题意得整理得2x2-5x-3=0，解得x1=3，.经检验：x1=3，都是原方程的根，但不合题意，舍去.∴x=3.∵甲早6时出发，∴9时到B地.答：略.《分式方程》解题技巧这篇文章共13106字。