20092010学年度第一学期高三数学试题

2009-2010学年度山东省潍坊市高三年级测试数学试题（理）本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

共150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

不能答在试卷上。

3．考试结束后，考生将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U 为实数集，2{|20}A x x x =-<，{|1}B x x =≥，则U A C B 等于（ ）A ．{|01}x x <<B ．{|02}x x <<C ．{|1}x x <D ．∅2．幂函数()af x x =的图象过点（2，4），那么函数()f x 的单调递增区间是 （ ）A ．（-2，+∞）B ．[1,)-+∞C ．[0,)+∞D ．（-∞，-2）3．函数(1)ln(2)()3x x f x x --=-的零点有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．已知四棱锥P —ABCD 的三视图如图，则四棱锥P —ABCD 的全面积为 （ ）A ．2+B ．3C ．5D ．45．点P 满足向量2OP OA OB =-，则点P 与AB 的位置关系是 （ ）A ．点P 在线段AB 上 B ．点P 在直线AB 外C ．点P 在线段AB 延长线上D ．点P 在线段AB 反向延长线上6．已知等差数列{}n a 中，5970a a a +-=，记12...n n S a a a =+++，则13S 的值为（ ）A ．130B ．260C ．156D ．1687．若曲线4()f x x x =-在点P 处的切线平行于直线30x y -=，则点P 的坐标为（ ）A ．（-1，2）B ．（1，-3）C ．（1，0）D ．（1，5）8．某数学兴趣小组共有张鹏等10名实力相当的组员，现用简单随机抽样的方法从中抽取3人参加比赛，则张鹏被选中的概率为（ ）A ．10%B ．30%C ．33.3%D ．37.5%9．设函数是定义在R 上周期为3的奇函数，若(1)1f <，21(2)1a f a -=+，则有 （ ） A ．12a <且a ≠1- B ．1a <-或0a >C ．10a -<<D ．12a -<<10．某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈()sin()f x A x B ωφ=++(0,A >0,||)2πωφ><的模型波动（x 为月份），已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低位5千元，根据以上条件可确定()f x 的解析式为 （ ）A ．*()2sin()7(112,)44f x x x x N ππ=++≤≤∈B ．*()9sin()7(112,)44f x x x x N ππ=-+≤≤∈C．*()7(112,)4f x x x x N π=+≤≤∈D ．*()2sin()7(112,)44f x x x x N ππ=-+≤≤∈ 11．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率是2，则21b a +的最小值为（ ）A．BC ．2D ．112．已知点A ，O 为坐标原点，点P （,x y ）的坐标,x y满足0200y x y -≤-+≥⎨⎪≥⎪⎩，则向量OA 在向量OP 方向上的投影的取值范围是（ ）A．[B ．[3,3]-C．[D．[-第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项： 1．第Ⅱ卷共2页，用0.5毫米的中性笔答在答题卡的相应位置内。

2009-2010学年度第一学期高三数学期末模拟一一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．复数1ii+在复平面内对应的点位于第 象限． 2．集合2{0,2,},{1,}A a B a ==，若{0,1,2,4,16}A B =，则a 的值为_____．3．抛物线214x y =的准线方程为_______． 4．经过点（－2，3），且与直线250x y +-=垂直的直线方程为 ． 5．若数列1,,,,4a b c 成等比数列，则b 的值为_______. 6．已知函数3,100()(5),100x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，则(89)f = ．7.已知两个点(2,1)A -和(1,3)B -分布在直线320x y a -++=的两侧，则a 的取值范围为_________. 8．已知函数()f x 是二次函数，不等式()0f x >的解集是(0,4)，且()f x 在区间[1,5]-上的最大值是12，则()f x 的解析式为 ．9．已知命题p ：函数y ＝lg x 2的定义域是R ，命题q ：函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x的值域是正实数集，给出命题：①p 或q ；②p 且q ；③非p ；④非q ．其中真命题个数为_______．10．连续2次抛掷一枚骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），记“两次向上的数字之和等于m ”为事件A ，则)(A P 最大时，m = ．11．已知椭圆的方程为2221(0)16x y m m+=>,如果直线2y x =与椭圆的一个交点M 在x 轴的射影恰为椭圆的右焦点F ,则椭圆的离心率为__________.12．给出下列关于互不相同的直线l n m ,,和平面βα,的四个命题： （1）,,,m A A l m ∉=⊂点αα 则l 与m 不共面；（2）l 、m 是异面直线，ααα⊥⊥⊥n m n l n m l 则且,,,//,//； （3）若ββαα//,//,,,m l A m l m l 点=⊂⊂ ，则βα//；（4）若m l m l //,//,//,//则βαβα 其中真命题是 （填序号）13．对于数列{n a }，定义数列{n n a a -+1}为数列{n a }的“差数列”，若21=a ，{n a }的“差数列”的通项公式为n2，则数列{n a }的前n 项和n S = ．14.如图已知在三棱柱ABC——A1B1C1中，AA1⊥面ABC，AC=BC，M、N、P、Q分别是AA1、BB1、AB、B1C1的中点．（1）求证：面PCC1⊥面MNQ；（2）求证：PC1∥面MNQ．15．某工厂三个车间共有工人1000名，各车间男、女工人数如下表：已知在全厂工人中随机抽取1名，抽到第二车间男工的概率是0.15.(1)求x的值；(2)现用分层抽样的方法在全厂抽取50名工人，问应在第三车间抽取多少名？(3)已知185,185y z≥≥,求第三车间中女工比男工少的概率. A1ABCPMNQ1C116．已知不等式1)(1)ax x -+（＜0 (a ∈R ).(1) 若x =a 时不等式成立,求a 的取值范围; (2) 当0a ≠时，解这个关于x 的不等式.17. 已知椭圆2214x y +=的左、右两个顶点分别为A ，B ，直线(22)x t t =-<<与椭圆相交于M ，N 两点，经过三点A ，M ，N 的圆与经过三点B ，M ，N 的圆分别记为圆C 1与圆C 2． (1)求证：无论t 如何变化，为圆C 1与圆C 2的圆心距是定值； (2)当t 变化时，求为圆C 1与圆C 2的面积的和S 的最小值．2009-2010学年度第一学期高三数学期末模拟一解答一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．复数1ii+在复平面内对应的点位于第 一 象限． 2．集合2{0,2,},{1,}A a B a ==，若{0,1,2,4,16}A B =，则a 的值为__4___．3．抛物线214x y =的准线方程为___1x =-____． 4．经过点（－2，3），且与直线250x y +-=垂直的直线方程为280x y -+=． 5．若数列1,,,,4a b c 成等比数列，则b 的值为___2____. 6．已知函数3,100()(5),100x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，则(89)f = 101 ．7.已知两个点(2,1)A -和(1,3)B -分布在直线320x y a -++=的两侧，则a 的取值范围为____.（(9,8)-） 8．已知函数()f x 是二次函数，不等式()0f x >的解集是(0,4)，且()f x 在区间[1,5]-上的最大值是12，则()f x 的解析式为2()3(2)12f x x =--+．9．已知命题p ：函数y ＝lg x 2的定义域是R ，命题q ：函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x的值域是正实数集，给出命题：①p 或q ；②p 且q ；③非p ；④非q ．其中真命题个数为_______．（2）10．连续2次抛掷一枚骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），记“两次向上的数字之和等于m ”为事件A ，则)(A P 最大时，m = 7 ．11．已知椭圆的方程为2221(0)16x y m m+=>,如果直线y 与椭圆的一个交点M 在x 轴的射影恰为椭圆的右焦点F ,则椭圆的离心率为__________. 12．给出下列关于互不相同的直线l n m ,,和平面βα,的四个命题： （1）,,,m A A l m ∉=⊂点αα 则l 与m 不共面；（2）l 、m 是异面直线，ααα⊥⊥⊥n m n l n m l 则且,,,//,//； （3）若ββαα//,//,,,m l A m l m l 点=⊂⊂ ，则βα//； （4）若m l m l //,//,//,//则βαβα 其中真命题是（1）、（2）、（3）（填序号）13．对于数列{n a }，定义数列{n n a a -+1}为数列{n a }的“差数列”，若21=a ，{n a }的“差数列”的通项公式为n2，则数列{n a }的前n 项和n S =221-+n ．二、解答题：本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．14．（本题满分14分）如图已知在三棱柱ABC ——A 1B 1C 1中，AA 1⊥面ABC ，AC =BC ，M 、N 、P 、Q 分别是AA 1、BB 1、AB 、B 1C 1的中点．（1）求证：面PCC 1⊥面MNQ ； （2）求证：PC 1∥面MNQ ． 证明：（1）∵AC=BC ， P 是AB 的中点 ∴AB ⊥PC∵AA 1⊥面ABC ，CC 1∥AA 1，∴CC 1⊥面ABC 而AB 在平面ABC 内 ∴CC 1⊥AB ， ∵CC 1∩PC =C ∴AB ⊥面PCC 1；又∵M 、N 分别是AA 1、BB 1的中点，四边形AA 1B 1B 是平行四边形，MN ∥AB ， ∴MN ⊥面PCC 1 ∵MN 在平面MNQ 内，∴面PCC 1⊥面MNQ ； 7分 （2）连PB 1与MN 相交于K ，连KQ ，∵MN ∥PB ，N 为BB 1的中点，∴K 为PB 1的中点． 又∵Q 是C 1B 1的中点∴PC 1∥KQ而KQ ⊂平面MNQ ，PC 1⊄平面MNQ ∴PC 1∥面MNQ ． 14分 15．（本题满分14分）某工厂三个车间共有工人1000名，各车间男、女工人数如下表：已知在全厂工人中随机抽取1名，抽到第二车间男工的概率是0.15.(1)求x 的值；(2)现用分层抽样的方法在全厂抽取50名工人，问应在第三车间抽取多少名？ (3)已知185,185y z ≥≥,求第三车间中女工比男工少的概率. 解：（1）由题意可知0.15,1501000xx ==； 4分 （2）由题意可知第三车间共有工人数为1000(173177)(100150)400-+-+=名，则设应在第三车间级抽取m 名工人，则50,201000400mm ==． 8分 （3）由题意可知400y z +=，且185,185y z ≥≥，满足条件的(,)y z有(185,215),(186,214)，……(215,185)，共有31组．设事件A ：第三车间中女工比男工少，即y z <，满足条件的(,)y z 有(185,215),(186,214)，……(199,201)，共有15组．故15()31P A =． 13分 答：（1）150x =，（2）应在第三车间抽取20名工人，（3）第三车间中女工比男工少的概率为1531. A 1AB CP MNQ 1C 116．（本题满分15分）已知不等式1)(1)ax x -+（＜0 (a ∈R ).(1) 若x =a 时不等式成立,求a 的取值范围; (2) 当0a ≠时，解这个关于x 的不等式. 解：（1）由x =a 时不等式成立，即2(1)(1)0a a -+<，所以2(1)(1)0a a +-<， 所以1a <且1a ≠-．所以a 的取值范围为(,1)(1,1)-∞--． 6分 （2）当0a >时，11a>-，所以不等式的解：11x a -<<；当10a -<<时，11a <-，所以不等式的解：1x a<或1x >-； 当1a <-时，11a >-，所以不等式的解：1x <-或1x a>． 综上：当0a >时，所以不等式的解：11x a-<<； 当10a -<<时，所以不等式的解：1x a<或1x >-； 当1a <-时，所以不等式的解：1x <-或1x a>． 15分 17. （本题满分15分）已知椭圆2214x y +=的左、右两个顶点分别为A ，B ，直线(22)x t t =-<<与椭圆相交于M ，N 两点，经过三点A ，M ，N 的圆与经过三点B ，M ，N 的圆分别记为圆C 1与圆C 2． (1)求证：无论t 如何变化，为圆C 1与圆C 2的圆心距是定值；(2)当t 变化时，求为圆C 1与圆C 2的面积的和S 的最小值． 解：（1）易得A 的坐标)0,2(-,B 的坐标)0,2(M 的坐标)24,(2t t -，N 的坐标24,(2t t --， 线段AM 的中点P 44,22(2t t --，直线AM 的斜率t t k =+-=22421又AM PC ⊥1, ∴直线1PC 的斜率ttk -+-=2222 ∴直线1PC 的方程44)22(2222t t x t t y -+---+-=∴1C 的坐标为)0,863(-t 5分同理2C 的坐标为)0,863(+t∴4321=C C ,即无论t 如何变化，为圆C 1与圆C 2的圆心距是定值 8分 （2）圆1C 的半径为1AC 8103+=t 圆2C 的半径为83102tBC -=)1009(3222221+=+=t BC AC S πππ （2-＜t ＜2）显然t 0=时，S 最小，825minπ=S 15分。

2009-2010学年第一学期高三期中试卷数学文科试卷一、填空题：（每题5分，共70分）1．集合{02}M x x =≤≤，则)}1lg({x y x M -=⋂=▲_. 2.若复数z 满足i z i 6)33(=-（i 是虚数单位），则|z|=▲． 3.命题“∃x ∈R ，x 2－2x+l ≤0”的否定为▲_.4．在等比数列{}n a 中，若379,1,a a =-=-则5a 的值为_▲.5.已知函数⎩⎨⎧≤>=)0(3)0(log )(2x x x x f x ，则1[()]4f f 的值为▲．6．设方程2ln 72x x =-的解为0x ,则关于x 的不等式02x x -<的最大整数解为____▲____. 7.根据如图所示的算法流程图，输出的结果T 为▲．8a 210.椭圆221x my +=的焦点在y 11. 如图，半径为10 cm 小圆．现将半径为1 cm 落在纸板内，则硬币落下后与小圆无公共点的概率为.12. 设x 、y 满足条件310x y y x y +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≤≥，则22(1)z x y =++13．已知函数3()6f x x x =+-，若不等式2()23f x m m ≤-+对于所有[2,2]x ∈-恒成立，则实数m 的取值范围是▲． 14.．下列几个命题：①方程2(3)0x a x a +-+=的有一个正实根，一个负实根，则0a <； ②若)(x f 的定义域为[0，1]，则)2(+x f 的定义域为[－2，－1]；③函数2)1(log 2++-=x y 的图象可由2)1(log 2---=x y 的图象向上平移4个单位,向左平移2个单位得到；A B C D (b) 第8题④若关于x 方程m x x =--322有两解,则40>=m m 或。

⑤若函数(21)f x +是偶函数, 则(2)f x 的图象关于直线21=x 对称. 其中正确的有▲．2009-2010学年第一学期高三期中试卷数学文科试卷答卷二、解答题：（15--17每题14分，18--20每题16分，共90分）15．已知集合A ＝{x|x 2－2x －8≤0，x ∈R}，B ＝{x|x 2－(2m －3)x ＋m 2－3m ≤0，x ∈R ，m ∈R }． （1）若A ∩B ＝[2，4]，求实数m 的值；（2）设全集为R ，若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围． 16.在ABC △中，已知2AC =，3BC =，4cos 5A =-． （Ⅰ）求sinB 的值；（Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值 m =(cosx+3sinx,1),n =(2cosx,a)（x ,a ∈R,a 为常数）,记()f x =n m ⋅.(1)求()f x 的单调增区间； (2) 求()f x 图像的对称轴； (3)若x ∈[0,2π]时，()f x 最大值为4，求a 的值. 18.下表给出的是由*,3(N n n n n ∈≥⨯）个正数排成的n 行n 列数表，a ij 表示第i 行第j 列的一个数，表中第一列的数从上到下依次成等差数列，其公差为d ，表中各行，每一行的数从左到右依次都成等比数列，且所有公比相等，公比为q ，已知1,83,41322313===a a a ． （1）求11a ，d ，q 的值；（2）设表中对角线上的数11a ，22a ，33a ，…，nn a 组成的数列为}{n a ，记nn n a a a a T ++++= 332211，求使不等式4342--<n T n n n 成立的最小正整数n ．31a 32a33a …na 3……… … …1n a2n a3n a…nna19.已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产千件需另投入2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R （x ）万元，且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤<-=)10(31000108)100(3018.10)(22x x xx x x R ．（1）写出年利润W （万元）关于年产品x （千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？x a x x f ln )(2-=在]2,1(是增函数,x a x x g -=)(在(0,1)为减函数(1)求)(x f 、)(x g 的表达式(2)求证:当0>x 时,方程2)()(+=x g x f 有唯一解;(3)当1->b 时,若212)(x bx x f -≥在x ∈]1,0(内恒成立,求b 的取值范围.答案1.{01}x x ≤<2.33.012,2>+-∈∀x x R x 4.-3 5.196. 47.258.2321 10. 1411.817712. 4 13.1212m m ≥+≤或①②_④⑤ 15．解：由已知得A ＝[－2，4]，B ＝[m －3，m ]．（1）∵A ∩B ＝[2，4]，∴⎩⎨⎧m －3＝2，m ≥4．∴m ＝5．（2）∵B ＝[m －3，m ]，∴∁R B ＝(－∞，m －3)∪(m ，＋∞)．∵A ⊂∁R B ，∴m －3＞4或m ＜－2．∴m ＞7或m ＜－2．∴m ∈(－∞，－2)∪(7，＋∞)．16.（Ⅰ）解：在ABC △中，2243sin 1cos 155A A ⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭，由正弦定理，sin sin BC AC A B =． 所以232sin sin 355AC B A BC ==⨯=．（Ⅱ）解：因为4cos 5A =-，所以角A 为钝角，从而角B 为锐角，于是 22221cos 1sin 155B B ⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭，cos2B=2517,sin2B=25214 17.(1)∵y =()f x =m n ⋅＝2cos 2x +23cos x sin x +a =2sin(2x +6π)+a +1; 当2k π－2π≤2x +6π≤2k π+2π,即x ∈[k π－3π,k π+6π](k Z ∈)时函数y=f(x)单调递增； （2）)(,26Z k k x ∈+=ππ（3）∵0≤x ≤2π，∴6π≤2x +6π≤67π，－21≤sin(2x +6π)≤1,∴max y ＝3+a =4,即a ＝1.18.（1）根据题意可列出如下方程组：（2）11-•=n n nn qa a 111])1([-•-+=n q d n a 1)21(]21)1(1[-•⨯-+=n nn n )21)(1(+=，nn n a a a a T ++++=∴ 332211n n )21()1()21(4)21(3)21(2321•+++⨯+⨯+⨯= ，132)21()1()21(3)21(221+•+++⨯+⨯=n n n T ， 两式相减得132)21)(1()21()21()21(121++-++++=n n n n T 1)21)(1(211])21(1[2121++---⨯+=n n n ， n n n T 233+-=∴，于是原不等式化为040234>-⨯-n n ，即0)82)(52(>-+nn，82>∴n ，3>∴n 故使不等式成立的最小正整数为4．19.（1）当0<x≤10时，10301.8)7.210()(3--=+-=x x x x xR W 当x >10时，x xx x xR W 7.23100098)7.210()(--=+-= （2）①当0<x≤10时，由;0,)9,0(.90101.82>'∈==-='W x x x W 时且当得 当(9,10),0;x W '∈<时∴当x=9时，W 取最大值，且6.3810930191.83max =-⨯-⨯=W ②当x>10时，W=98387.2310002987.231000=⨯-≤⎪⎭⎫⎝⎛+-x x x x当且仅当max 10001002.7,,38.39x x W x ===即时 综合①、②知x=9时，W 取最大值．所以当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装生产中获利最大．20. (1),2)(xax x f -='依题意]2,1(,0)(∈≥'x x f ,即22x a ≤,]2,1(∈x ∵上式恒成立,∴2≤a ①又xax g 21)(-=',依题意)1,0(,0)(∈≤'x x g ,即x a 2≥,)1,0(∈x∵上式恒成立,∴.2≥a ②由①②得2=a ∴.2)(,ln 2)(2x x x g x x x f -=-=(2)由(1)可知,方程2)()(+=x g x f ,.022ln 22=-+--x x x x 即 设22ln 2)(2-+--=x x x x x h ,,1122)(xx x x h +--='则 令0)(>'x h ,并由,0>x 得,0)222)(1(>+++-x x x x x 解知.1>x令,0)(<'x h 由.10,0<<>x x 解得x (0,1) 1 (1,+∞) )(x h ' -+ )(x h递减 0递增当10≠>x x 且时,)(x h ＞0,∴0)(=x h 在(0,+∞)上只有一个解.即当x ＞0时,方程2)()(+=x g x f 有唯一解(3)设2'23122()2ln 2()220x x x bx x x b x x x ϕϕ=--+=---<则 ()x ϕ∴在(0,1]为减函数min()(1)1210x b ϕϕ∴==-+≥ 又1b >-所以：11≤<-b 为所求范围。

2009-2010学年度第一学期高三数学期末模拟二一、填空题：（每小题5分，共计70分）1、在复平面上，复数(1i z i i=-是虚数单位）对应的点位于第 象限.2、已知向量a 和向量b 的夹角为030，||2,||3a b ==，则向量a 和向量b 的数量积a b ⋅= .3、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知263,11a a ==，则7S = .4、设,x y 满足24122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最小值为 .5、四边形ABCD 为长方形，2,1,AB BC O ==为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到点O 的距离大于1的概率为 .6、某校甲、乙两班级各有编号为1,2,3,4,5的篮球运动员进行投篮练习，每人各投10次，投中的次数如下表：则以上两组数据的方差较小的一个为2S = .7、如果函数cos(2)y x θ=+的图象关于点4(,0)3π中心对称，那么||θ的最小值为 .8、定义在R 上的函数()f x 满足4log (4),0()(1)(2),0x x f x f x f x x -≤⎧=⎨--->⎩，若2(3)l o g f m =，则m = .9、设斜率为2的直线l 过抛物线2y ax =（0a >）的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若O AF ∆（O 为坐标原点）的面积为4，则抛物线的方程为 .10、有下面算法：则运行后输出的结果是 .11、对于四面体ABCD ，下列命题正确的是 （写出所有正确命题）.①相对棱AB 与CD 所在直线是异面直线；②由顶点A 作四面体的高，其垂足是BCD ∆的垂心（即三角形三条高的交点）；③若,AB CD BC AD ⊥⊥，则AC BD ⊥；④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积；⑤分别作三组对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点.12、用{}m i n ,,a b c 表示,,a b c 三个数中的最小值。

北京市丰台区2009-2010学年上学期高三年级期末练习数学试卷（文科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（每小题5分，共40分）1. 设全集U=R ，集合}5x 2x |x {B },3x 3|x {A >-<=≤≤-=或，那么，集合)B C (A U 等于A. }5x 3|x {<≤-B. }5x 3x |x {≥≤或C. }2x 3|x {-<≤-D. }3x 2|x {≤≤-2. 如果圆的方程为03y 4x 2y x 22=++-+，则该圆的圆心坐标和半径分别是A. （1，－2）、2B. （1，－2）、2C. （－1，2）、2D. （－1，2）、23. 已知数列}a {n 中，)N n ,2n ()1(a a a ,1a n 1n 1n n 1∈≥-+==--，则53a a 的值是A. 43B. －4C. －5D. 24. 命题“1x cos ,R x ≤∈∀”的否定是 A. 1x cos ,R x ≥∈∃ B. 1x cos ,R x >∈∃ C. 1x cos ,R x ≥∈∀D. 1x cos ,R x >∈∀ 5. 若四边形ABCD 满足0AC )AD AB (,0CD AB =⋅-=+，则该四边形一定是A. 正方形B. 矩形C. 菱形D. 直角梯形6. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么，互斥而不对立的两个事件是 A. 至少有一个黑球与都是黑球 B. 至少有一个黑球与至少有一个红球 C. 恰有一个黑球与恰有2个黑球D. 至少有一个黑球与都是红球7. 执行下边的程序框图，输出的S 和n 的值分别是A. 9，3B. 9，4C. 11，3D. 11，48. 若a>0，b>0，且0)b a ln(=+，则b 1a 1+的最小值是A. 41B. 1C. 4D. 8第Ⅱ卷 （共110分）二、填空题（每小题5分，共30分）9. 已知函数]),0[x (x cos x sin y π∈=，当x 取值为 时，y 取最大值为 。

海淀区高三年级第一学期期末练习数 学 （理科） 2010.1一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1． 函数1(0)y x x x=+>的值域为A ．[)2,+∞B ．(2,)+∞C ．(0,)+∞D ．(][),22,-∞-+∞2．如图，PAB 、PC 分别是圆O 的割线和切线（C 为切点），若3PA AB ==，则PC 的长为A． B ．6 C．D ．33．已知双曲线2213y x -=，那么它的焦点到渐近线的距离为A ．1BC ．3D ．44．已知,m n 为两条不同直线，,αβ为两个不同平面，那么使//m α成立的一个充分条件是A ．//,//m βαβB ．,m βαβ⊥⊥C ．,,m n n m αα⊥⊥⊄D ．m 上有不同的两个点到α的距离相等5．先后两次抛掷一枚骰子，在得到点数之和不大于6的条件下，先后出现的点数中有3的概率为A ．16 B ．15C ．13D ．256．如图，向量-a b 等于 A ．1224--e e B ．1242--e e C ．123-e eD ．123-+e e7．某校在高二年级开设选修课，其中数学选修课开三个班.选课结束后，有四名同学要求改修数学，但每班至多可再接收2名同学，那么不同的分配方案有 A ．72种 B ．54种 C ．36种 D ．18种8．点P 在曲线C ：2214x y +=上，若存在过P 的直线交曲线C 于A 点，交直线l ：4x =于B 点，满足PA PB =或PA AB =，则称点P 为“H 点”，那么下列结论正确的是 A ．曲线.C .上的所有点都是“H 点” B ．曲线C 上仅有有限个点是“H 点” C ．曲线C 上的所有点都不是“H 点”D ．曲线C 上有无穷多个点（但不是所有的点）是“H 点”第II 卷（共110分）二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9．若直线l 的参数方程为1 23x t t y t =+⎧⎨=-⎩，（为参数），，则直线l 的斜率为_______________.10．阅读右图所示的程序框图，若运行该程序后输出的y 值为1， 则输入的实数x 值为________________.11．一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为__________________.12．设关于x 的不等式2*2()x x nx n -<∈N 的解集中整数的个数为n a ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则100S 的值为_______________________.13．在区间[0,2]上任取两个数,a b ，那么函数22()f x x ax b =++无零点的概率为_________.正视图侧视图俯视图14．考虑以下数列{}n a ，*n N ∈：① 21n a n n =++；② 21n a n =+；③ ln 1n na n =+. 其中满足性质“对任意正整数n ，212n nn a a a +++≤都成立”的数列有 （写出满足条件的所有序号）；若数列{}n a 满足上述性质，且11a =，2058a =，则10a 的最小值为 .三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15．（本小题满分13分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,3a b c C π=，5b =，ABC ∆的面积为（Ⅰ）求a ，c 的值； （Ⅱ）求sin()6A π+的值.16．（本小题满分13分）某地区教研部门要对高三期中数学练习进行调研，考察试卷中某道填空题的得分情况.已知该题有两空，第一空答对得3分，答错或不答得0分；第二空答对得2分，答错或不答得0分.第一空答对与否与第二空答对与否是相互独立的.从所有试卷中随机抽取1000份试卷，其中该题的得分组成容量为1000的样本，统计结果如下表：（Ⅰ）求样本试卷中该题的平均分，并据此估计这个地区高三学生该题的平均分；（Ⅱ）这个地区的一名高三学生因故未参加考试，如果这名学生参加考试，以样本中各种得分情况的频率（精确到0.1）作为该同学相应的各种得分情况的概率.试求该同学这道题第一空得分不低于第二空得分的概率.17． （本小题满分13分）已知四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，PD ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为棱第一空得分情况第二空得分情况BC ，AD 的中点. （Ⅰ）求证：DE ∥平面PFB ； （Ⅱ）已知二面角P -BF -CP -ABCD 的体积.18.（本小题满分13分）已知函数2()1x af x x +=+（其中a R ∈）.（Ⅰ）若函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线为12y x b =+，求实数,a b 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.19．（本小题满分14分）已知抛物线:W 2y ax =经过点A (2,1)，过A 作倾斜角互补的两条不同直线12,l l . （Ⅰ）求抛物线W 的方程及准线方程； （Ⅱ）当直线1l 与抛物线W 相切时，求直线2l 与抛物线W 所围成封闭区域的面积；（Ⅲ）设直线12,l l 分别交抛物线W 于B ，C 两点（均不与A 重合），若以线段BC 为直径的圆与抛物线的准线相切，求直线BC 的方程.20．（本小题满分14分）给定项数为m *(,3)m N m ∈≥的数列{}n a ，其中{0,1}i a ∈(1,2,,)i m = .若存在一个正整数(21)k k m ≤≤-，若数列{}n a 中存在连续的k 项和该数列中另一个连续的k 项恰好按次序对应相等，则称数列{}n a 是“k 阶可重复数列”，例如数列{}n a0,1,1,0,1,1,0.ABECPD F因为1234,,,a a a a 与4567,,,a a a a 按次序对应相等，所以数列{}n a 是“4阶可重复数列”. （Ⅰ）分别判断下列数列①{}:0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0.n b ②{}:1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1.n c 是否是“5阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这5项；（Ⅱ）若数为m 的数列{}n a 一定是 “3阶可重复数列”，则m 的最小值是多少？说明理由； （III ）假设数列{}n a 不是“5阶可重复数列”，若在其最后一项m a 后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，且41a ，求数列{}n a 的最后一项m a 的值.海淀区高三年级第一学期期末练习数 学 （理）参考答案及评分标准 2010．1说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分） 9．3- 10．34 11．2412π+ 12．10100 13．3414．②③;28 三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由已知，3C π=，5b =，因为 1s i n 2ABC S ab C ∆= ，即 115s i n23a π⋅ ， ………………..1分 解得 8a = .………………..3分由余弦定理可得:2642580cos493c π=+-=, ………………..5分所以 7c =. ………………..7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）有4925641cos 707A +-==,………………..9分由于A 是三角形的内角，易知 sin A = ………………..10分所以 s i n ()s i nc o sc o s s i n666A A A πππ+=+ ………………..11分1172=+⨯1314= . ………………..13分 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设样本试卷中该题的平均分为x ，则由表中数据可得: 01983802069823023.011000x ⨯+⨯+⨯+⨯== ，……………….4分 据此可估计这个地区高三学生该题的平均分为3.01分.……………….5分（Ⅱ）依题意，第一空答对的概率为0.8，第二空答对的概率为0.3，……………….7分记“第一空答对”为事件A ，“第二空答对”为事件B ，则“第一空答错”为事件A ， “第二空答错”为事件B .若要第一空得分不低于第二空得分，则A 发生或A 与B 同时发生，……………….9分 故有： ()()0.80.20.70.94P A P A B +⋅=+⨯= .……………….12分 答：该同学这道题第一空得分不低于第二空得分的概率为0.94. ……………….13分17． （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为E ，F 分别为正方形ABCD 的两边BC ，AD 的中点，所以BE FD ∥,所以，BEDF 为平行四边形,……………….2分 得//ED FB ，……………….3分 又因为FB ⊂平面PFB ，且ED ⊄平面PFB ,……………….4分 所以DE ∥平面PFB .……………….5分（Ⅱ）如图，以D 为原点，射线DA ,DC ,DP 分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系.设PD =a , 可得如下点的坐标：P (0,0,a ),F (1,0,0),B (2,2,0) 则有：(1,0,),(1,2,0),PF a FB =-=因为PD ⊥底面ABCD ，所以平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)=m ， 设平面PFB 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则可得=0PF FB ⎧⋅=⎪⎨⋅⎪⎩n n即+2=0 x a zx y-=⎧⎨⎩令x=1,得11,2z ya==-，所以11(1,,)2a=-n. ……………….9分由已知，二面角P-BF-C:1cos<,>||||⋅===m nm nm n, ……………….10分解得a =2. ……………….11分因为PD是四棱锥P-ABCD的高，所以，其体积为182433P ABCDV-=⨯⨯=. ……………….13分18.（本小题满分13分）解：由2()1x af xx+=+，可得222()(1)x x af xx+-'=+. ……………….2分（Ⅰ）因为函数()f x在点(1,(1))f处的切线为12y x b=+，得:1(1)21(1)2ff b⎧'=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩……………….4分解得112ab=⎧⎪⎨=⎪⎩……………….5分（Ⅱ）令()0f x'>，得220x x a+->…①……………….6分当440a∆=+≤，即1a≤-时，不等式①在定义域内恒成立，所以此时函数()f x的单调递增区间为(,1)-∞-和(1,)-+∞. ……………….8分当440a∆=+>，即1a>-时，不等式①的解为1x>-+1x<-……………….10分又因为1x≠-，所以此时函数()f x的单调递增区间为(,1-∞-和(1)-+∞，单调递减区间为(11)--和(1,1--..……………….12分所以，当1a ≤-时，函数()f x 的单调递增区间为(,1)-∞-和(1,)-+∞；当1a >-时，函数()f x的单调递增区间为(,1-∞-和(1)-+∞，单调递减区间为(11)--和(1,1--..……………….13分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由于A (2,1)在抛物线2y ax =上， 所以 14a =，即14a =. ……………….2分 故所求抛物线的方程为214y x =，其准线方程为1y =-. ……………….3分（Ⅱ）当直线1l 与抛物线相切时，由21x y ='=，可知直线1l 的斜率为1，其倾斜角为45︒，所以直线2l 的倾斜角为135︒，故直线2l 的斜率为1-，所以2l 的方程为3y x =-+ …….4分 将其代入抛物线的方程214y x =，得 24120x x +-=, 解得 122,6x x ==-, …….5分 所以直线2l 与抛物线所围成封闭区域的面积为:2222266611(3)d d (3)d 44x x x x x x x ----+-=-+-⎰⎰⎰ ……………….6分 223611(3)212x x x -=-+-643=……………….8分（Ⅲ）不妨设直线AB 的方程为1(2) (0)y k x k -=->，……………….9分由21(2)14y k x y x -=-⎧⎪⎨=⎪⎩ 得24840x kx k -+-=, ……………….10分易知该方程有一个根为2，所以另一个根为42k -， 所以点B 的坐标为2(42,441)k k k --+, 同理可得C 点坐标为2(42,441)k k k --++,……………….11分所以||BC=, ……………….12分线段BC 的中点为2(2,41)k -+，因为以BC 为直径的圆与准线1y =-相切，所以 241(1)2k +--=,由于0k >， 解得 k =. …………….13分此时，点B 的坐标为2,3-，点C 的坐标为(2,3-+，直线BC 1=-，所以，BC 的方程为(3[2)]y x --=--，即10x y +-=. …….14分 20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）记数列①为{}n b ，因为23456,,,,b b b b b 与678910,,,,b b b b b 按次序对应相等，所以数列①是“5阶可重复数列”，重复的这五项为0,0,1,1,0;记数列②为{}n c ，因为12345,,,,c c c c c 、23456,,,,c c c c c 、34567,,,,c c c c c 、45678,,,,c c c c c 、 56789,,,,c c c c c 、678910,,,,c c c c c 没有完全相同的，所以{}n c 不是“5阶可重复数列”.……………….3分（Ⅱ）因为数列{}n a 的每一项只可以是0或1，所以连续3项共有328=种不同的情形.若m ＝11，则数列{}n a 中有9组连续3项，则这其中至少有两组按次序对应相等，即项数为11的数列{}n a 一定是“3阶可重复数列”；若m ＝10，数列0,0,1,0,1,1,1,0,0,0不是“3阶可重复数列”；则310m ≤<时，均存在不是“3阶可重复数列”的数列{}n a .所以，要使数列{}n a 一定是“3阶可重复数列”，则m 的最小值是11. ……………….8分 （III ）由于数列{}n a 在其最后一项m a 后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，即在数列{}n a 的末项m a 后再添加一项01或，则存在i j ≠，使得1234,,,,i i i i i a a a a a ++++与321,,,,0m m m m a a a a ---按次序对应相等，或1234,,,,j j j j j a a a a a ++++与321,,,,1m m m m a a a a ---按次序对应相等，11 如果1234,,,a a a a 与321,,,m m m m a a a a ---不能按次序对应相等，那么必有2,4i j m ≤≤-，i j ≠，使得123,,,i i i i a a a a +++、123,,,j j j j a a a a +++与321,,,m m m m a a a a ---按次序对应相等.此时考虑11,i j a a --和4m a -，其中必有两个相同，这就导致数列{}n a 中有两个连续的五项恰按次序对应相等，从而数列{}n a 是“5阶可重复数列”，这和题设中数列{}n a 不是“5阶可重复数列”矛盾！所以1234,,,a a a a 与321,,,m m m m a a a a ---按次序对应相等，从而4 1.m a a == ……………….14分说明：其它正确解法按相应步骤给分.。

石景山区2009—2010学年第一学期期末考试试卷高三数学（文科）参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ） 22()cos sin 2sin cos f x x x x x =-+cos2sin 2x x =+ ………………………………4分 )4x π=+ ………………………………6分所以函数()f x 的最小正周期22T ππ==. …………………………8分（Ⅱ）44x ππ-≤≤， ∴32444x πππ-≤+≤， ………………………………9分∴1)4x π-≤+≤ ………………………………11分∴当242x ππ+=，即8x π=时，()f x . ………………………13分16．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）115a S ==，212237221322a a S +==⨯+⨯=，解得28a =．…………………………3分 （Ⅱ）当2n ≥时，22137[(1)][(1)]22n n n a S S n n n n -=-=--+--37(21)3222n n =-+=+． ………………………………5分 又15a =满足32n a n =+， ………………………………6分 32()n a n n N *∴=+∈．………………………………7分 ∵132[3(1)2]3n n a a n n --=+--+= (2,)n n N *≥∈，∴数列{}n a 是以5为首项，3为公差的等差数列． ………………8分（Ⅲ）由已知得2n an b = ()n N *∈， ………………………………9分∵+1+13+12==2=2=82n n n n a a -a n a n b b ()n N *∈， 又11232ab ==，∴数列{}n b 是以32为首项，8为公比的等比数列. ………………11分∴32(18)32(81)187n nn T -==--. ………………………………13分17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ） ∵PA ⊥平面ABCD ，∴13P ABCD ABCD V S PA -=⋅正方形 ……………………………2分 2121233=⨯⨯= 即四棱锥P ABCD -的体积为23. ……………………………4分（Ⅱ）连结AC交BD于O，连结OE．∵四边形ABCD是正方形，∴O是AC的中点．又∵E是PA的中点，∥．………………………6分∴PC OEPC⊄平面,BDE OE⊂平面BDE……………………………8分∴PC∥平面BDE．……………………………9分⊥. ……………………10分（Ⅲ）不论点E在何位置，都有BD CE⊥．证明如下：∵四边形ABCD是正方形，∴BD AC⊥．……12分∵PA⊥底面ABCD，且BD⊂平面ABCD，∴BD PA=，∴BD⊥平面PAC．……………13分又∵AC PA A∵不论点E在何位置，都有CE⊂平面PAC.⊥. ……………………………14分∴不论点E在何位置，都有BD CE18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）从这6名代表中随机选出2名，共有15种不同的选法，分别为（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C）,（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）．…………………2分其中代表A被选中的选法有（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F）共5种，……………………………4分则代表A 被选中的概率为51153=． ……………………………6分 （Ⅱ）解法一：随机选出的2名代表“恰有1名来自北美洲或2名都来自非洲”的结果有9种，分别是（A ，C ），（A ，D ），（B ，C ）,（B ，D ），（C ，E ），（C ，F ）， （D ，E ），（D ，F ），（E ，F ）． ……………………………9分 “恰有1名来自北美洲或2名都来自非洲”这一事件的概率为93155=． ……………………………13分解法二：随机选出的2名代表“恰有1名来自北美洲”的结果有8种，概率为815； ……………………………8分随机选出的2名代表“都来自非洲”的结果有1种，概率为115． ……………………………10分“恰有1名来自北美洲或2名都来自非洲”这一事件的概率为81315155+=． ……………………………13分19．（本小题满分13分）解： 设断面高为h ，则222h d x =-．横梁的强度函数2()f x k xh =⋅，所以22()()f x kx d x =⋅- ，0x d <<． ……………………………5分 当()0,x d ∈时，令22()(3)0f x k d x '=-=． ……………………………7分解得3x d =±（舍负）． ……………………………8分当0 3x d <<时，()0f x '>； ……………………………9分当 3d x d <<时，()0f x '<． ……………………………10分因此，函数()f x 在定义域(0,)d 内只有一个极大值点3x d =．所以()f x 在3x d =处取最大值，就是横梁强度的最大值． ……………12分即当断面的宽为3d 时，横梁的强度最大． ……………………13分 20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）2234)(a ax x x f -+-='，且01a <<， …………………………………1分当0)(>'x f 时，得a x a 3<<； 当0)(<'x f 时，得a x a x 3><或； ∴)(x f 的单调递增区间为(,3)a a ；)(x f 的单调递减区间为),(a -∞和),3(+∞a ． ………………………………5分故当3x a =时，)(x f 有极大值，其极大值为()31f a =． ………………6分（Ⅱ）()()2222432f x x ax a x a a '=-+-=--+，ⅰ）当21a a ≤-时，即103a <≤时， ()f x '在区间[]1,1a a -+内单调递减．∴[]()[]()2max min 861,21f x f a a a f x f a a ''''==-+-==-（）1-（）1+．∵()a f x a '-≤≤，∴2861,21,a a a a a ⎧-+-≤⎨-≥-⎩,113,3a R a a ∈⎧⎪∴∴≥⎨≥⎪⎩． 此时，13a =． ………………………………………………………………9分 ⅱ）当21a a >-，且21a a <+时，即113a <<，[]()2max 2f x f a a ''==（）．∵()a f x a '-≤≤，∴(1),(1),(2),f a a f a a f a a '+≥-⎧⎪'-≥-⎨⎪'≤⎩即2221,861,,a a a a a a a -≥-⎧⎪-+-≥-⎨⎪≤⎩∴1,37716160 1.a a a ⎧≥⎪⎪-+⎪≤≤⎨⎪≤≤⎪⎪⎩∴17316a +≤≤．此时，17316a +<≤． ………………………………………………12分 ⅲ）当21a a ≥+时，得1a ≥与已知01a <<矛盾． ………………13分 综上所述，实数a的取值范围为13⎡⎢⎣⎦． ………………………14分注：若有其它解法，请酌情给分．。

哈三中2009-2010学年度上学期高三学年期末考试数学试题（文史类）考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的班级、姓名、考号和序号填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂在机读卡上,请在各题目的答题区域内作答;（3）只交答题卡.第I 卷 （选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1． 设集合{}{}22,3x y y B x x y x A ==-==,则B A 为（A ）[]3,0 （B ）(]3,2 （C ）[)+∞,3 （D ）[]3,1 2． 函数()()x x x f ln 2-=的零点有（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个 3． 已知两条直线2y ax =-和()0123=++-y a x 互相平行，则a 等于(A) 1或3- (B) 1-或3 (C) 1或3 (D) 1-或34． 命题甲:22,2,211x x x-⎪⎭⎫⎝⎛ 成等比数列;命题乙:()()3lg ,1lg ,lg ++x x x 成等差数列,则甲是乙的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件5．已知x y tan =,⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πx .当2='y 时,x 等于 （A ）3π （B ）π32 （C ）4π （D ）6π 6．直线1x y +=与圆)0(0222>=-+a ay y x 相交，则a 的取值范围是(A) 1) （B）1) （C）(1) （D ）()+∞-,127. 已知四棱锥ABCD P -的三视图如图,则四棱锥ABCD P -的体积为 (A)32 (B) 31(C) 34 (D) 28．已知数列{}n a 满足41=a ，()2441≥-=-n a a n n ，则=6a (A)49 (B) 920 (C) 716 (D) 379．设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥222x y x xy ,则y x z 3-=的最小值为（A ）2- （B ）4- （C ）6- （D ）8-10．在ABC ∆中，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⋅833,83，其面积163=S ，则AB 与夹角的取值 范围是 （A ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,6ππ （B ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,6ππ （C ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,4ππ （D ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡43,6ππ 11. 下图是一组函数图象，它们分别与其后所列的一个现实情境相匹配：①主视图1侧视图1俯视图② ③ ④情境A ：一份30分钟前从冰箱里取出来，然后被放到微波炉里加热，最后放到餐桌上的食物的温度（将0时刻确定为食物从冰箱里被取出来的那一刻）；情境B ：一个1970年生产的留声机从它刚开始的售价到现在的价值（它被一个爱好者收藏，并且被保存得很好）；情境C ：从你刚开始放水洗澡，到你洗完后把它排掉这段时间浴缸里水的高度； 情境D ：根据乘客人数，每辆公交车一趟营运的利润； 其中情境A 、B 、C 、D 分别对应的图象是（A ）①③④② （B ）①④②③ （C ）④③①② （D ）④③②①12. 已知三棱柱111C B A ABC -,底面是正三角形,侧棱和底面垂直,直线C B 1和平面11A ACC 成角为︒30,则异面直线1BC 和1AB 所成的角为(A)6π (B) 4π(C) 3π (D) 32π第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）二、 填空题(本题共4个小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡的相应位置) 13. 已知()21tan -=-α，31tan =β，则()=+βαtan _______． 14．现有三种股票和两种基金，欲购买其中任意两种，有且只有一种基金的概率为_______. 15.设()()x g x f ,分别为定义在R 上的奇函数和偶函数，且()0≠x g ，当0<x 时,()()()()0>'-'x g x f x g x f ,且()02=-f ,则不等式()()0<x g x f 的解集为_____________16. 已知γβα,,是三个不同的平面,n m ,是两条不同的直线,有下列三个条件 ①βγ⊂n m ,//;②βγ//,//n m ;③βγ//,n m ⊂要使命题“若γβα⊂=n m , ,且_________,则n m //”为真命题,则可以在横线处填入的条件是_________(把你认为正确条件的序号填上)三、解答题(本题共6小题，总分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.（本小题满分10分）ABCC1B 1A 1已知函数()()03≠+=a cx ax x f ,其图象在点()()1,1f 处的切线与直线0216=+-y x 垂直,导函数()x f '的最小值为12-. （I ）求函数()x f 的解析式；（II ）求()x f y =在[]2,2-∈x 的值域.18. （本小题满分12分）已知向量⎪⎭⎫ ⎝⎛=4cos ,4cos3x x m ，⎪⎭⎫ ⎝⎛=4cos ,4sin x x n . （I ）若213+=⋅,求⎪⎭⎫ ⎝⎛+3cos πx 的值； （II ）记()21-⋅=x f ，在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是a ，b ，c ，且满足()C b B c a cos cos 2=-，求函数()A f 的取值范围.19. （本小题满分12分）如图,矩形ABCD 中,32.6==BC AB ,沿对角线BD 将ABD ∆向上折起,使点A 移至点P ,且点P 在平面BCD 内的射影O 在CD 上. （I ）求证:BC PD ⊥；（II ）求二面角C DB P --的正弦值.20. （本小题满分12分）ACDPO已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且323-⋅=n n S . （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令()n n a n b 1-=，求数列{}n b 的前n 项和为n T .21. （本小题满分12分）已知圆C ：()()164322=-+-y x .（Ⅰ）求过点()3,3--P 的圆的切线方程；（Ⅱ）作直线l ：0=--k y kx ，若直线l 与圆C 交于Q 、R 两点，且直线l 与直线1l ：042=++y x 的交点为M ，线段QR 的中点为N ，若()0,1A ，求证：AN AM ⋅为定值.22. （本小题满分12分）已知函数()()a ax x x x f +-+-=ln 1212. (Ⅰ) 若2=x 为函数极值点,求a 的值；(Ⅱ) 若()3,1∈x 时,()0>x f 恒成立,求a 的取值范围.高三学年期末考试数学答案(文)一、选择题：1-5 ACABC 6-10 DADDA 11-12 AC 二、填空题： 13.1 ； 14.53； 15.()()2,02, -∞-； 16.③ 三、解答题： 17．解：（Ⅰ）()c ax x f +='23，则()⎩⎨⎧-=-='1261c f ，则⎩⎨⎧-==122c a ，所以()x x x f 1223-=；（Ⅱ）()1262-='x x f ，令()0='x f 得，2±=x 。

2009-2010学年北京市某校高三（上）入学摸底数学试卷（理科）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 设全集U =R ，A ={x|x <−3或x ≥2}，B ={x|−1<x <5}，则集合{x|−1<x <2|是（ ）A (∁U A)∪(∁U B)B ∁U (A ∪B)C (∁U A)∩BD A ∩B 2. 命题“存在x 0∈R ，2x 0≤0”的否定是( )A 不存在x 0∈R ，2x 0>0B 存在x 0∈R ，2x 0≥0C 对任意的x ∈R ，2x ≤0D 对任意的x ∈R ，2x >03. 已知a ，b 都是实数，那么“a 2>b 2”是“a >b”的（ ）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件4. 函数f(x)={2−x −1，x ≤0x 12，x >0，满足f(x)>1的x 的取值范围（ ） A (−1, 1) B (−1, +∞) C {x|x >0或x <−2} D {x|x >1或x <−1}5. 函数y =cos(2x +π6)−2的图象F 按向量a →平移到F′，F′的函数解析式为y =f(x)，当y =f(x)为奇函数时，向量a →可以等于( )A (−π6, −2) B (−π6, 2) C (π6, −2) D (π6, 2)6. 不等式|x +3|−|x −1|≤a 2−3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A (−∞, −1]∪[4, +∞)B (−∞, −2]∪[5, +∞)C [1, 2]D (−∞, 1]∪[2, +∞)7. 已知函数f(x)的图象如图所示，f′(x)是函数f(x)的导函数，且y =f(x +1)是奇函数，那么下列结论中错误的是（ ）A f(1−x)+f(x +1)=0B f′(x)(x −1)≥0C f(x)(x −1)≥0 Dlimx →0f(x)=f(0) 8. 对于数列，若存在常数M ，使得对任意n ∈N ∗，a n 与a n+1中至少有一个不小于M ，则记作{a n }>M ，那么下列命题正确的是( )A 若{a n }>M ，则数列{a n }各项均大于或等于MB 若{a n }>M ，{b n }>M ，则{a n +b n }>2M C 若{a n }>M ，则{a n 2}>M 2 D 若{a n }>M ，则{2a n +1}>2M +1二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 设非零向量a →、b →、c →满足|a →|=|b →|=|c →|，a →+b →=c →，则<a →，b →>=________．10. 等比数列{a n}中，a2=9，a5=243，则{a n}的前4项和为________．11. 有四个关于三角函数的命题：（1）∃x∈R，sin2x2+cos2x2=12；（2）∃x、y∈R，sin(x−y)=sinx−siny；（3）∀x∈[0, π]，√1−cos2x2=sinx；（4）sinx=cosy⇒x+y=π2．其中假命题的序号是________．12. 已知函数f(x)=|log2|x||的定义域为[a, b]，值域为[0, 2]，则a+b的取值范围是________．13. 右表给出一个等差数阵：其中每行每列都是等差数列，a ij表示第i行第j列的数(i, j∈N∗)则a45=________，a ij=________．为“同族函数”．那么函数的解析式为y=x2，值域为{1, 2}的同族函数有________个；若n∈N∗，集合A n={1, 2, ..., n}是解析式为y=x2的函数的值域，设a n表示该函数的同族函数的个数，则a1+a2+...+a n=________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15. 已知二次函数f(x)和一次函数g(x)的图象都经过原点，且f(x+1)=f(x)+2x，g(x)−g(x−1)=14．（1）求f(x)和g(x)的解析式；（2）解关于x的不等式：f(x)<1g(x)．16. 设S n是公差不为0的等差数列a n的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列．（1）求a2a1的值；（2）若a5=9，求a n及S n，的表达式．17. 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0, 0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M(3π4，0)对称，且在区间[0,π2]上是单调函数，求φ和ω的值．18. 已知函数f(x)=x−2x+a(2−lnx)，(a>0)，讨论f(x)的单调性．19. 已知抛物线y=x2，直线y=kx+2，直线与抛物线所围成封闭图形的面积记为S(k)．（1）当k=1时，求出此时S(k)对应的值；（2）写出S(k)的表达式，并求出对应的最大和最小值．20. 已知数列{a n }满足a 1＝a ，a n+1＝1+1a n我们知道当a 取不同的值时，得到不同的数列，如当a ＝1时，得到无穷数列：1，2，32，53⋯；当a =−12时，得到有穷数列：−12，−1，0．(Ⅰ)求当a 为何值时a 4＝0；(Ⅱ)设数列{b n }满足b 1＝−1，b n+1=1b n −1(n ∈N +)，求证a 取数列{b n }中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{a n }；(Ⅲ)若32<a n <2(n ≥4)，求a 的取值范围．2009-2010学年北京市某校高三（上）入学摸底数学试卷（理科）答案1. C2. D3. D4. D5. B6. A7. B8. D9. 23π10. 120 11. （1）、（4）．12. {−5, −54, 5} 13. 49,i(2j +1)+j 14. 9,3(3n −1)215. 解：（1）∵ 二次函数f(x)和一次函数g(x)的图象都经过原点， ∴ 设二次函数f(x)=ax 2+bx(a ≠0) 又∵ f(x +1)=f(x)+2x ，即a(x +1)2+b(x +1)=ax 2+bx +2x 即2ax +a +b =2x 解得a =1，b =−1 故f(x)=x 2−x设一次函数g(x)=kx(k ≠0)∵ g(x)−g(x−1)=14．∴ kx−k(x−1)=14即k=14故g(x)=14x（2）不等式：f(x)<1g(x)．可化为x2−x<4x即x(x 2−x)−4x<0即x 3−x2−4x<0即x(x3−x2−4)<0即x(x−2)(x2+x+2)<0解得0<x<2故关于x的不等式：f(x)<1g(x)解集为(0, 2)16. 解：（1）设数列{a n}的公差为d，由题意，得S22=S1⋅S4所以(2a1+d)2=a1(4a1+6d)因为d≠0所以d=2a1，故a2a1=3；（2）因为a5=9，d=2a1，a5=a1+8a1=9a1，所以a1=1，d=2因此a n=a1+(n−1)d=2n−1，S n=n217. 解：由f(x)是偶函数，得f(−x)=f(x)，即sin(−ωx+φ)=sin(ωx+φ)，所以−cosφsinωx=cosφsinωx，对任意x都成立，且w>0，所以得cosφ=0．依题设0≤φ≤π，所以解得φ=π2，由f(x)的图象关于点M对称，得f(3π4−x)=−f(3π4+x)，取x=0，得f(3π4)=sin(3ωπ4+π2)=cos3ωπ4，∴ f(3π4)=sin(3ωπ4+π2)=cos3ωπ4，∴ cos3ωπ4=0，又w >0，得3ωπ4=π2+kπ，k =0，1，2，3，…∴ ω=23(2k +1)，k =0，1，2，…当k =0时，ω=23，f(x)=sin(23x +π2)在[0, π2]上是减函数，满足题意；当k =1时，ω=2，f(x)=sin(2x +π2)=cos2x ，在[0, π2]上是减函数，满足题意；当k =2时，ω=103，f(x)=sin(103x +π2)在[0, π2]上不是单调函数； 所以，综合得ω=23或2．18. 解：f(x)的定义域是(0, +∞)，f′(x)=1+2x 2−ax =x 2−ax+2x 2．设g(x)=x 2−ax +2，二次方程g(x)=0的判别式△=a 2−8．①当△=a 2−8<0，即0<a <2√2时，对一切x >0都有f′(x)>0，此时f(x)在(0, +∞)上是增函数．②当△=a 2−8=0，即a =2√2时，仅对x =√2有f′(x)=0，对其余的x >0都有f′(x)>0，此时f(x)在(0, +∞)上也是增函数． ③当△=a 2−8>0，即a >2√2时， 方程g(x)=0有两个不同的实根x 1=a−√a 2−82，x 2=a+√a 2−82，0<x 1<x 2．此时f(x)在(0,a−√a 2−82)上单调递增，在(a−√a 2−82，a+√a 2−82)是上单调递减，在(a+√a 2−82，+∞)上单调递增． 19. 解：（1）将y =x +2代入y =x 2，得x =−1或x =2∴ S(1)=∫(2−1x +2−x 2)dx =(x 22+2x −13x 3)|−12=(2+4−83)−(12−2+13)=92 ∴ S(1)=92（2）将y =kx +2代入y =x 2，得x 1=k−√k 2+82或x 2=k+√k 2+82，∴ x 1−x 2=−√k 2+8，x 1+x 2=k ，x 1x 2=−2 ∴ S(k)=∫(x2x 1kx +2−x 2)dx =(kx 22+2x −13x 3)|x 2x1=(kx 122+2x 1−13x 13)−(kx 222+2x 2−13x 23)=(x 1−x 2)[k2(x 1+x 2)+2−(x 1+x 2)2−x 1x 23]=−√k 2+8(k 22+2−k 2+23)=−√(k 2+8)36设t =√k 2+8，则t ≥2√2，则y =t 36≥(2√2)36=8√23∴ S(k)=−√(k 2+8)36，此函数的最小值为8√23，无最大值20. （I ）解法1：∵ a n+1＝1+1a n，∴ a n =1a n+1−1，∵ a 4＝0，∴ a 3＝−1，a 2=−12，a ＝a 1=−23；解法2：∵ a 1＝a ，a n+1＝1+1a n，∴ a 2=a+1a．a 3=2a+1a+1，a 4=3a+2a+1，∵ a 4＝0，∴ a =−23．(II)∵ b n+1=1b n −1，∴ b n =1b n+1+1，若a 取数列{b n }的一个数b n ，即a 1＝a ＝b n ，则a 2＝1+1a 1=1+1b n=b n−1，a 3＝1+1a 2=1+1bn−1=b n−2，∴ a n ＝b 1＝−1，∴ a n+1＝0所以数列{a n }只能有n 项为有穷数列．(III)解法一：因为32<a n <2(n ≥4)⇒{32<1+1a n−1<232<a n−1<2 (n ≥5)⇒{1<a n−1<232<a n−1<2 ⇒32<a n−1<2(n ≥5)所以32<a n <2(n ≥4)⇒32<a 4<2⇒32<3a+22a+1<2⇒a >0 这就是所求的取值范围．。