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科 目课 件 名 称代理如何进行学员信息采集-第一讲（内部培训）.exe代理的渠道经营和管理（内部培训）.exe2015中创考研思想政治指导-米鹏.wmv重命名2015中创考研英语指导课-赵敏.wmv重命名1小时30分2015中创考研英语权威复习指导-赵敏.wmv重命名2015中创考研政治全程复习规划-汪立轩(56分钟）2015中创考研思想政治指导课-徐之明.wmv重命名1小时2015中创英语全程规划-赵亮.wmv重命名1小时48分2015中创考研英语权威复习指导-陈正康2015中创教育考研英语权威复习指导-陈正康1小时09分.wmv重命名2015中创考研数学指导课-杨超.wmv重命名1小时18分2015中创考研（徐之明、米鹏、赵敏、陈正康、杨超）的讲座导学2015中创考研政治指导课程-徐之明（1小时38分）2015考研政治指导课_徐之明1小时37分钟（蓝背景高清版）2015中创考研英语权威复习指导—赵亮（1小时38分）中创版2015中创考研英语权威复习指导-陈仲凯（中创版）2015中创考研英语权威复习指导—陈正康（54分钟）3D版本2015中创考研英语权威复习指导—陈正康（54分钟）2015中创考研数学权威复习指导-杨超（1小时30分）声音优化版2015中创考研数学指导课-张宇2015中创考研英语权威复习指导-赵敏2015中创考研政治权威复习指导-米鹏中创2015考研专业院校选择-潘志恒2015中创考研政治复习规划-郑伟2015中创考研英语权威复习指导-赵亮2015中创考研英语高分复习指导课程-陈正康2015中创考研专业院校选择-潘志恒.wmv重命名2015中创考研专业院校选择-潘志恒(58分钟）.wmv重命名2015中创考研政治导学课程-郑伟2015中创考研数学复习指导-杨超2015中创考研数学复习指导2015中创考研英语导学2015考研政治导学课程-徐之明1-2讲高清版2015中创考研数学线性代数导学课程李永乐1-2讲中 创 教代理培训讲座专业院校选择导学班创 教 育办公电话9分。
![[p4]李永乐知识结构图x.doc](https://uimg.taocdn.com/67c4437bed630b1c59eeb583.webp)
1. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ijij ij M A A M ++=-=-副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；拉普拉斯展开式：A O A C AB CB OB==、(1)m n CA OA AB B OB C==-范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；1. A 是n 阶可逆矩阵：⇔0A ≠（是非奇异矩阵）；⇔()r A n =（是满秩矩阵）⇔A 的行（列）向量组线性无关；⇔齐次方程组0Ax =有非零解；⇔nb R ∀∈，Ax b =总有唯一解；⇔A 与E 等价；⇔A 可表示成若干个初等矩阵的乘积；⇔A 的特征值全不为0；⇔T A A 是正定矩阵；⇔A 的行（列）向量组是n R 的一组基；⇔A 是n R 中某两组基的过渡矩阵；2. ②、111A O A O O B O B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（主对角分块）③、111O A O B B O A O ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（副对角分块） ④、11111A C A A CB O B OB -----⎛⎫-⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；⑤、11111A O A O C B B CAB -----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯） 3. ①、0()mi n(,)m n r A m n ⨯≤≤；②、()()T r A r A =；③、若AB ，则()()r A r B =；④、若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+；（※）⑥、()()()r A B r A r B +≤+；（※）⑦、()min((),())r AB r A r B ≤；（※）⑧、如果A 是m n ⨯矩阵，B 是n s ⨯矩阵，且0AB =，则：（※）Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解（转置运算后的结论）； Ⅱ、()()r A r B n +≤⑨、若A 、B 均为n 阶方阵，则()()()r AB r A r B n ≥+-；4. *()()1()10()1nr A n r A r A n r A n = ⎧⎪==-⎨⎪<-⎩；2. 施密特正交化：12(,,,)r a a a11b a =； 1222111[,][,]b a b a b b b =-121121112211[,][,][,][,][,][,]r r r r r r r r r b a b a b a b a b b b b b b b b b ----=----;情感语录1.爱情合适就好，不要委屈将就，只要随意，彼此之间不要太大压力2.时间会把最正确的人带到你身边，在此之前，你要做的，是好好的照顾自己3.女人的眼泪是最无用的液体，但你让女人流泪说明你很无用4.总有一天，你会遇上那个人，陪你看日出，直到你的人生落幕5.最美的感动是我以为人去楼空的时候你依然在6.我莫名其妙的地笑了，原来只因为想到了你7.会离开的都是废品，能抢走的都是垃圾8.其实你不知道，如果可以，我愿意把整颗心都刻满你的名字9.女人谁不愿意青春永驻，但我愿意用来换一个疼我的你10.我们和好吧，我想和你拌嘴吵架，想闹小脾气，想为了你哭鼻子，我想你了11.如此情深，却难以启齿。
李永乐矩阵的n次方公式李永乐矩阵是线性代数中的一种特殊矩阵，它具有非常重要的应用价值。
对于李永乐矩阵的n 次方公式，我们可以按以下列表进行讨论：一、李永乐矩阵的基本概念李永乐矩阵是一个 n 阶矩阵，定义为：$$L_{i,j}=\begin{cases}i-j,\qquad i>j\\i+j-n,\ i\le j\end{cases}$$其中 $i,j$ 为矩阵下标，$n$ 是矩阵维数。
可以看出李永乐矩阵的主对角线是 $0$，上三角元素为正整数，下三角元素为负整数。
二、李永乐矩阵的特征值和特征向量通过计算可以得到李永乐矩阵的特征值和特征向量：- 特征值：$\lambda_k=-n+2k$，其中 $k\in[1,n]$。
- 特征向量：以 $\lambda_k$ 为特征值对应的特征向量为$\boldsymbol{v_k}=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$，其中 $a_i=\sin\frac{k\pi(i-1)}{n}$。
三、李永乐矩阵的 n 次方公式对于任意正整数 $n$，李永乐矩阵的 n 次方 $L^n$ 可以用以下公式计算得到：- 当 $n$ 为奇数时，$$L^n=\frac{1}{n}(L+L^3+\cdots+L^{n-2})+ \frac{1}{n}L^{n-1}$$- 当 $n$ 为偶数时，$$L^n=\frac{1}{2}\left(\frac{n}{2}L^2+\frac{n}{2}(L^2)^2+\cdots+\frac{n} {2}(L^2)^{\frac{n}{2}-1}\right)+\frac{1}{2}I$$其中 $I$ 是 $n$ 阶单位矩阵。
四、李永乐矩阵的应用李永乐矩阵是研究拓扑费米子体系的重要工具，可以用来描述拓扑质量指标，是拓扑物理中的重要研究内容之一。
此外，李永乐矩阵还广泛应用于量子多体物理、数值分析等领域。
综上所述，李永乐矩阵的 n 次方公式是线性代数中重要的计算公式之一，在多个领域都得到了广泛应用。
线性代数知识点框架及习题解读注：本篇可看作《高等数学难点总结及习题解读》的姊妹篇呵呵再次强调下，本人所做的习题解读分别针对：同济五版《线代》也就是忆心得，传爱心。
为更多的学弟学妹提供方便的姊妹篇，高数我还没有传完，这有点忙会尽快首先是知识框架：线性代数知识点框架（一）线性代数的学习切入点：线性方程组。
换言之，可以把线性代数看作是在研究线性方程组这一对象的过程中建立起来的学科。
线性方程组的特点：方程是未知数的一次齐次式，方程组的数目s和未知数的个数n可以相同，也可以不同。
关于线性方程组的解，有三个问题值得讨论：（1）、方程组是否有解，即解的存在性问题；（2）、方程组如何求解，有多少个解；（3）、方程组有不止一个解时，这些不同的解之间有无内在联系，即解的结构问题。
高斯消元法，最基础和最直接的求解线性方程组的方法，其中涉及到三种对方程的同解变换：（1）、把某个方程的k倍加到另外一个方程上去；（2）、交换某两个方程的位置；（3）、用某个常数k乘以某个方程。
我们把这三种变换统称为线性方程组的初等变换。
任意的线性方程组都可以通过初等变换化为阶梯形方程组。
由具体例子可看出，化为阶梯形方程组后，就可以依次解出每个未知数的值，从而求得方程组的解。
对方程组的解起决定性作用的是未知数的系数及其相对位置，所以可以把方程组的所有系数及常数项按原来的位置提取出来，形成一张表，通过研究这张表，就可以判断解的情况。
我们把这样一张由若干个数按某种方式构成的表称为矩阵。
可以用矩阵的形式来表示一个线性方程组，这至少在书写和表达上都更加简洁。
系数矩阵和增广矩阵。
高斯消元法中对线性方程组的初等变换，就对应的是矩阵的初等行变换。
阶梯形方程组，对应的是阶梯形矩阵。
换言之，任意的线性方程组，都可以通过对其增广矩阵做初等行变换化为阶梯形矩阵，求得解。
阶梯形矩阵的特点：左下方的元素全为零，每一行的第一个不为零的元素称为该行的主元。
对不同的线性方程组的具体求解结果进行归纳总结（有唯一解、无解、有无穷多解），再经过严格证明，可得到关于线性方程组解的判别定理：首先是通过初等变换将方程组化为阶梯形，若得到的阶梯形方程组中出现0=d这一项，则方程组无解，若未出现0=d一项，则方程组有解；在方程组有解的情况下，若阶梯形的非零行数目r等于未知量数目n，方程组有唯一解，若r<n，则方程组有无穷多解。
最完整的线代基础知识点第1章行列式1.1 n阶行列式1.1.1 二阶、三阶行列式起源：发现规律了，继续～从上述推倒可以看出，行列式说白了就是对方程求解的简化过程。
后续的所有变换也都是基于此的。
了解到根源了，就不难理解了。
知识点：（所有的知识其实都是不成体系的，体系都是人为归纳的，其实知识就是一个一个的点而已）1.对角线法则这个法则只能用在二阶和三阶，高阶有另外的算法，后面会介绍到，耐心往下看吧。
以后看到二三阶可以直接用这个算哦。
2.行列式应用（克莱姆法则）法则啥的就是别人先发现了，就是一个规律。
不用理解，直接记住。
（因为本来就是一个现象）小技巧：再算d1d2d3的时候默念一下d1换1（列）d2换2（列）d3换3（列）。
1.1.2 排列既逆序数起源：逆序数为奇数，为奇排列，偶数为偶排列。
知识点：1.任一排列经过对换后，必改变其奇偶性。
2.所有n阶排列中，奇排列与偶排列个数相同，各有n！/2个。
1.1.3 n阶行列式知识点：1.计算方法前面说了，n阶有其他方法，这个就是其中之一不过比较笨重难算一点。
只要看懂这个式子，这节就ok啦，看不懂的可以评论问我。
2.对角行列式对角行列式等于其对角元素的连乘，再加上一个逆序数。
因为除了去取对角之外但凡取到其他位置上的0，就会让这项变成0。
上三角行列式和下三角行列式与对角行列式类似，不能取0。
好题：1.对行列式中数字的选取规则理解如果不用分块矩阵的话，直接从定义出发，三行用两个书，必有一行选不到非零数。
1.2 行列式的性质知识点：1.行列式与它的转置行列式相同，即行与列为完全等价的。
2.互换行列式的两行或两列，行列式值变号3.若行列式有两行或两列元素相同则其行列式的值为04.行列式的某一行中所有元素都乘以k，等于用k数乘行列式5.如果行列式中某一行的元素都为0，则其值为06.若行列式有两列或两行元素成比例，则其为07.若两个行列式除了一行外相同，则可以相合。
相同的行不变，不同的行相加。
1.代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij
ij ij M A A M ++=−=−副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)
n n −× −；拉普拉斯展开式：O C A A A B O C B B ==、(1)m n A A C O A B B B O C
==−i 范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；
2.
A 是n 阶可逆矩阵：⇔0A ≠（是非奇异矩阵）；⇔()r A n =（是满秩矩阵）⇔A 的行（列）向量组线性无关；⇔齐次方程组0Ax =有非零解；⇔n b R ∀∈，Ax b =总有唯一解；⇔A 与E 等价；⇔A 可表示成若干个初等矩阵的乘积；⇔A 的特征值全
不为0；⇔T A A 是正定矩阵；⇔A 的行（列）向量组是n R 的一组基；⇔A 是n R 中某两组基的过渡矩阵；
2.②、111O A A O O B O
B −−−⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠；（主对角分块）③、111O A O B B O A O −−−⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠；（副对角分块）④、11111A
C A A CB O B O B −−−−−⎛⎞−⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠；⑤、11111A O A O C B B CA B −−−−−⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠
；（拉普拉斯）3.①、0()min(,)m n r A m n ×≤≤；②、()()T r A r A =；③、若A B ∼，则()()r A r B =；④、若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+；（※）⑥、()()()r A B r A r B +≤+；（※）⑦、()min((),())r AB r A r B ≤；（※）⑧、如果A 是m n ×矩阵，B 是n s ×矩阵，且0AB =，则：（※）Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解（转置运算后的结论）；
Ⅱ、()()r A r B n +≤⑨、若A 、B 均
为n 阶方阵，则()()()r AB r A r B n ≥+−；4.*()()1
()10()1
n r A n r A r A n r A n = ⎧⎪==−⎨⎪<−⎩；
3.施密特正交化：12(,,,)
r a a a ⋯11b a =；1222111[,][,]b a b a b b b =−i 121121112211[,][,][,][,][,][,]r r r r r r r r r b a b b a a b a b b b b b b b b b −−−−=−−−−i i ⋯i ;。
