李永乐线性代数知识结构图

科 目课 件 名 称代理如何进行学员信息采集-第一讲（内部培训）.exe代理的渠道经营和管理（内部培训）.exe2015中创考研思想政治指导-米鹏.wmv重命名2015中创考研英语指导课-赵敏.wmv重命名1小时30分2015中创考研英语权威复习指导-赵敏.wmv重命名2015中创考研政治全程复习规划-汪立轩(56分钟）2015中创考研思想政治指导课-徐之明.wmv重命名1小时2015中创英语全程规划-赵亮.wmv重命名1小时48分2015中创考研英语权威复习指导-陈正康2015中创教育考研英语权威复习指导-陈正康1小时09分.wmv重命名2015中创考研数学指导课-杨超.wmv重命名1小时18分2015中创考研（徐之明、米鹏、赵敏、陈正康、杨超）的讲座导学2015中创考研政治指导课程-徐之明（1小时38分）2015考研政治指导课_徐之明1小时37分钟（蓝背景高清版）2015中创考研英语权威复习指导—赵亮（1小时38分）中创版2015中创考研英语权威复习指导-陈仲凯（中创版）2015中创考研英语权威复习指导—陈正康（54分钟）3D版本2015中创考研英语权威复习指导—陈正康（54分钟）2015中创考研数学权威复习指导-杨超（1小时30分）声音优化版2015中创考研数学指导课-张宇2015中创考研英语权威复习指导-赵敏2015中创考研政治权威复习指导-米鹏中创2015考研专业院校选择-潘志恒2015中创考研政治复习规划-郑伟2015中创考研英语权威复习指导-赵亮2015中创考研英语高分复习指导课程-陈正康2015中创考研专业院校选择-潘志恒.wmv重命名2015中创考研专业院校选择-潘志恒(58分钟）.wmv重命名2015中创考研政治导学课程-郑伟2015中创考研数学复习指导-杨超2015中创考研数学复习指导2015中创考研英语导学2015考研政治导学课程-徐之明1-2讲高清版2015中创考研数学线性代数导学课程李永乐1-2讲中 创 教代理培训讲座专业院校选择导学班创 教 育办公电话9分。

1. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ijij ij M A A M ++=-=-副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；拉普拉斯展开式：A O A C AB CB OB==、(1)m n CA OA AB B OB C==-范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；1. A 是n 阶可逆矩阵：⇔0A ≠（是非奇异矩阵）；⇔()r A n =（是满秩矩阵）⇔A 的行（列）向量组线性无关；⇔齐次方程组0Ax =有非零解；⇔nb R ∀∈，Ax b =总有唯一解；⇔A 与E 等价；⇔A 可表示成若干个初等矩阵的乘积；⇔A 的特征值全不为0；⇔T A A 是正定矩阵；⇔A 的行（列）向量组是n R 的一组基；⇔A 是n R 中某两组基的过渡矩阵；2. ②、111A O A O O B O B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（主对角分块）③、111O A O B B O A O ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（副对角分块） ④、11111A C A A CB O B OB -----⎛⎫-⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；⑤、11111A O A O C B B CAB -----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯） 3. ①、0()mi n(,)m n r A m n ⨯≤≤；②、()()T r A r A =；③、若AB ，则()()r A r B =；④、若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+；（※）⑥、()()()r A B r A r B +≤+；（※）⑦、()min((),())r AB r A r B ≤；（※）⑧、如果A 是m n ⨯矩阵，B 是n s ⨯矩阵，且0AB =，则：（※）Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解（转置运算后的结论）； Ⅱ、()()r A r B n +≤⑨、若A 、B 均为n 阶方阵，则()()()r AB r A r B n ≥+-；4. *()()1()10()1nr A n r A r A n r A n = ⎧⎪==-⎨⎪<-⎩；2. 施密特正交化：12(,,,)r a a a11b a =； 1222111[,][,]b a b a b b b =-121121112211[,][,][,][,][,][,]r r r r r r r r r b a b a b a b a b b b b b b b b b ----=----;情感语录1.爱情合适就好，不要委屈将就，只要随意，彼此之间不要太大压力2.时间会把最正确的人带到你身边，在此之前，你要做的，是好好的照顾自己3.女人的眼泪是最无用的液体，但你让女人流泪说明你很无用4.总有一天，你会遇上那个人，陪你看日出，直到你的人生落幕5.最美的感动是我以为人去楼空的时候你依然在6.我莫名其妙的地笑了，原来只因为想到了你7.会离开的都是废品，能抢走的都是垃圾8.其实你不知道，如果可以，我愿意把整颗心都刻满你的名字9.女人谁不愿意青春永驻，但我愿意用来换一个疼我的你10.我们和好吧，我想和你拌嘴吵架，想闹小脾气，想为了你哭鼻子，我想你了11.如此情深，却难以启齿。

李永乐矩阵的n次方公式李永乐矩阵是线性代数中的一种特殊矩阵，它具有非常重要的应用价值。

对于李永乐矩阵的n 次方公式，我们可以按以下列表进行讨论：一、李永乐矩阵的基本概念李永乐矩阵是一个 n 阶矩阵，定义为：$$L_{i,j}=\begin{cases}i-j,\qquad i>j\\i+j-n,\ i\le j\end{cases}$$其中 $i,j$ 为矩阵下标，$n$ 是矩阵维数。

可以看出李永乐矩阵的主对角线是 $0$，上三角元素为正整数，下三角元素为负整数。

二、李永乐矩阵的特征值和特征向量通过计算可以得到李永乐矩阵的特征值和特征向量：- 特征值：$\lambda_k=-n+2k$，其中 $k\in[1,n]$。

- 特征向量：以 $\lambda_k$ 为特征值对应的特征向量为$\boldsymbol{v_k}=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$，其中 $a_i=\sin\frac{k\pi(i-1)}{n}$。

三、李永乐矩阵的 n 次方公式对于任意正整数 $n$，李永乐矩阵的 n 次方 $L^n$ 可以用以下公式计算得到：- 当 $n$ 为奇数时，$$L^n=\frac{1}{n}(L+L^3+\cdots+L^{n-2})+ \frac{1}{n}L^{n-1}$$- 当 $n$ 为偶数时，$$L^n=\frac{1}{2}\left(\frac{n}{2}L^2+\frac{n}{2}(L^2)^2+\cdots+\frac{n} {2}(L^2)^{\frac{n}{2}-1}\right)+\frac{1}{2}I$$其中 $I$ 是 $n$ 阶单位矩阵。

四、李永乐矩阵的应用李永乐矩阵是研究拓扑费米子体系的重要工具，可以用来描述拓扑质量指标，是拓扑物理中的重要研究内容之一。

此外，李永乐矩阵还广泛应用于量子多体物理、数值分析等领域。

综上所述，李永乐矩阵的 n 次方公式是线性代数中重要的计算公式之一，在多个领域都得到了广泛应用。