第十七章导学案17.1.1勾股定理概念课

17.1勾股定理〔一〕二、答疑解惑我最棒〔约8分钟〕 甲： 乙：丙：丁：同伴互助答疑解惑 三、合作学习探索新知〔约15分钟〕 1、小组合作分析问题2、小组合作答疑解惑3、师生合作解决问题◆关于直角三角形,你知道哪些方面的知识?〔1〕直角三角形叫Rt △〔2〕两锐角互余∠A+∠B=90°〔3〕三角形的面积s=21ab=21hc〔4〕30°所对的直角边等于斜边的一半〔5〕证明两个直角三角形全等有“HL 〞◆毕达哥拉斯是古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家，相传2500•年前,一次,毕达哥拉斯去朋友家作客.在宴席上,其他的宾客都在尽情欢乐，高谈阔论,只有毕达哥拉斯学习活动 设计意图却看着朋友家的方砖地而发起呆来．原来，朋友家的地是用一块块直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间，非常美观大方．主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他．谁知毕达哥拉斯突破恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑回家去了．同学们，你想知道大哲学家发现了什么吗？〔见课件〕问题：大正方形的面积与两个小正方形的面积有什么关系？学习活动设计意图◆在约公元前1100年，我国古算书?周髀bì算经?记载，人们已经知道，如果勾是三，股是四，那么弦是五.在我国古代，人们将直角三角形中的短的直角边叫做勾长的直角边叫做股斜边叫做弦．四、归纳总结稳固新知〔约15分钟〕1、知识点的归纳总结：〔1〕经过证明被确认正确的命题叫做定理〔2〕勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么即 直角三角形两直角边 的平方和等于斜边的平方。

2、运用新知解决问题：〔重点例习题的强化训练〕◆， Rt △ABC 中，a ，b 为的两条直角边，c 为斜边，求：⑴： a ＝3， b ＝4，求c⑵： c ＝10，a ＝6，求b◆课本P24页练习◆课本P28页习题17.1第1题学习活动 设计意图五、课堂小测〔约5分钟〕 1．Rt ∆ABC 的两条直角边a=3, b=4，那么斜边c= .2．：如图在△ABC 中，∠ACB=90°，以△ABC 的各边为在△ABC 外作三个正方形分别表示这三个正方形的面积， 那么的边长为〔 〕A.6B.36C.64D.83 ．假设直角三角形两直角边分别为12，16，那么此直角三角形的周长为〔 〕A.28B.36C.32D.484 ．直角三角形的三边长分别为3，4，x ，那么x 2等于〔 〕A.5B.25C.7D.25或7六、独立作业我能行 1、预习课本P25-26页，思考预习提纲222a b c +=。

数学八（下） 勾股定理 编著：李普洪生命在教育中流淌 生命在学习中升华- 25 -第十七章 勾股定理第1学时 17.1.1勾股定理(1)【明确目标】1.了解勾股定理的发现过程,掌握勾股定理的内容,会用面积法证明勾股定理;2.培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力;3.介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就,激发爱国热情,勤奋学习. 【自主学习】阅读教科书第22页到24页的内容,思考并回答下面的问题；1.如果直角三角形的两直角边分别是a 、b ,斜边为c ,那么 ,即直角三角形中两直角边的平方和等于 .2.在R t △ABC 中,∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 所对应的边分别是a 、b 、c . (1) 若a =3cm, b=4cm, 则c = ; (2) 若a =8cm, c=17cm, 则b = ;(3) 若a : b .=3:4, c=10cm, 则a = , b = .3. 在R t △ABC 中,斜边AB=2cm,则AB 2+BC 2+CA 2= cm .4.教科书P24练习第1、2题. 【合作探究】1.如图,可以利用两个全等的直角三角形拼出一个梯形,借助这个图形,你能用面积法来验证勾股定理吗?2.如图,在直角△ABC 中,∠BAC=90°,AB=8,AC=6,DE 是AB 边的垂直平分线,垂足为D,交BC 于点E,连接AE,则△ACE 的周长是多少？数学八（下） 勾股定理 审阅：张 容 2015级数学备课组- 26 - 带你走成功捷径 助你创辉煌人生【巩固提升】 1.如果线段a 、b 、c 能组成直角三角形,则它们的比可以是 ( ) A.3:2:4 B.3:3:5 C.3:4:7 D.5:12:132.一直角三角形的两边长分别是3和4, 则第三边的长为 ( ) A. 5D.53.在直角三角形ABC 中,∠C=90°,BC=12,AC=9,则AB= .4.在直角三角形中,若两直角边满足17,60a b ab +==,则斜边的长为 .5.等腰三角形的腰是5,底是8,这个三角形的面积是 .6.如图,在四边形ABCD 中,AB=AD=8,∠A=60°,∠ADC=150°,已知四边形ABCD 的周长为 32,求四边形ABCD 的面积.7.教科书P28习题17.1第1、2、3题.1.我今天学到了什么知识？2.还有哪些疑惑？【达标检测】1.在R t △ABC 中,两直角边长分别为10和24,则斜边长等于 ( ) A.25 B.26 C.27 D.282.如图,今年的冰雪灾害中,一棵大树在离地面3米处折断,树的顶端落 在离树杆底部4米处,那么这棵树折断之前的高度是 ( ) A.12米 B.8米 C.5米 D.5米或7米3.若直角三角形的两直角边长为a 、b,|4|0b -=,则该直角三角形的斜边长为 .第2学时 17.1.2 勾股定理(2)【明确目标】1.会用勾股定理解决简单的实际问题；2.树立数形结合的思想；3.经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程,感受勾股定理的应用方法；4.培养思维意识,发展数学理念,体会勾股定理的应用价值.数学八（下） 勾股定理 编著：李普洪生命在教育中流淌 生命在学习中升华- 27 -【自主学习】阅读教科书第25页到26页的内容,思考并回答下面的问题；1.等腰三角形腰长是10cm,底边上的高为8cm,则该三角形面积是 cm2. 2.已知直角三角形中30°所对的直角边长为32cm,则该三角形面积是 cm 2.3.教科书P26练习第1、2题.注：1.勾股定理把直角三角形的”形”转化为三边“ ”的关系是数形结合的典例.2.运用勾股定理的关键是运用转化思想,把实际问题转化为 ,再运用方程或方程组来解. 【合作探究】 1.如图,铁路上A 、B 两点相距25km, C 、D 为两村庄,D A ⊥AB 于A,CB ⊥AB 于B,已知DA=15km,CB=10km.现在要在铁路AB 上建一个特产品收购站E,使得C 、D 两村到E 站的距离相等,则E 站应建在离A 站多少千米处?【巩固提升】1.如图,有两棵树,一棵高10m,另一棵高4m,两树相距8m,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,问小鸟至少飞行 ( ) A.8m B.10m C.12m D.14m2.一圆柱体的底面周长为24cm,高AB 为5cm,BC 是直径,一只蚂蚁从点A 出发沿着圆柱体的侧面爬行到点C 的最短路程大约是 ( ) A.6cm B.12cm C.13cm D.16cm3.如图,在△ABC 中,∠C=90°,∠B=30°,AB 的垂直平分线交BC 于D,垂足为E,ED=4cm,则AC= cm.4.如图,A C ⊥CE,AD=BE=13,BC=5,DE=7,则AC= .1题图 2题图 3题图 4题图5.教科书P28习题17.1第4、5题. 【总结反思】1.我今天学到了什么知识？2.还有哪些疑惑？数学八（下） 勾股定理 审阅：张 容 2015级数学备课组- 28 - 带你走成功捷径 助你创辉煌人生【达标检测】1.如图,一段楼梯高BC 是3m,斜边AC 长5m,在楼梯上铺地毯,地毯至少要 ( ) A.5m B.7m C.4m D.12m2.边长为a 的等边三角形的面积等于 ( ) A.a 43 B.a 23C.243a D.233a 3.如图是油路管道的一部分,延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形,两直角边分别为6m 和8m,按照输油中心O 到三条支路的距离相等来连接管道,则O 到三条支路的管道总长(计算时视管道为线,中心O 为点)是 ( ) A.2m B.3m C.6m D.9m1题图 3题图4.一轮船以16海里/时的速度离开A 港向东北方向航行,另一艘轮船同时以12海里/时的速度离开A 港向西北方向航行,经过2小时后它们相距多少海里?第3学时 17.1.3勾股定理(3)【明确目标】1.能利用勾股定理,根据已知直角三角形的两边长求第三条边长,并能在数轴上表示无理数;2.体会数与形的密切联系,增强应用意识,提高运用勾股定理解决问题的能力;3.培养数形结合的数学思想,并积极参与交流,并积极发表意见. 【自主学习】阅读教科书第26页到27页的内容,思考并回答下面的问题；1.利用勾股定理,可以发现,的线段是两直角边分别为正整数 、 的直角三角形的斜边.在数轴上,找到点A,使OA= ,过点A 作直线l 垂直于OA,在l 上取点B,使AB= .以原点O 为圆心,以OB 为半径作弧,弧与数轴的交点C 即为表.2.教科书P27练习第1、2题.数学八（下） 勾股定理 编著：李普洪生命在教育中流淌 生命在学习中升华- 29 -【合作探究】1.如图,△ABC 中,∠C=90°,AM 是△ABC 的中线,MN ⊥AB 于N,求证:AN 2=BN 2+AC 2.2.如图,折叠长方形一边AD,点D 落在BC 边的F 处,已知AB=8cm,BC=10cm,求EC 的长.【巩固提升】1.如图,数轴上的点A 所表示的数为x ,则x 的值为 ( ) A. 3B .－3C.D.2.如图,直线l 上有三个正方形a 、b 、c ,若a 、c 的面积分别为5和11,则b 的面积为 ( )3.如图,在边长为2 的正方形ABCD 中,M 为边AD 的中点,延长MD 至点E,使ME=MC,以DE 为边作正方一菜DEFG ,点G 在CD 上,则DG 的长为 ( )1B.3111题图 2题图 3题图 4.若等腰三角形的两边长分别为4和6,则底边上的高等于 ( ) A.7B.7或41C. 42D. 42或7数学八（下） 勾股定理 审阅：张 容 2015级数学备课组- 30 - 带你走成功捷径 助你创辉煌人生DCBA5.细心观察图形,认真分析各式,然后解答问题. (1)2+1=2S 1=21 (2)2+1=3S 2=22 (3)2+1=4 S 3=23 ……(1) 请用含有n(n 为正整数)的等式表示上述变化规律. (2) 推算出OA 10的长.(3) 求出210232221S S S S +⋅⋅⋅+++的值.6.教科书P28习题17.1第10、11、12题. 【总结反思】1.我今天学到了什么知识？2.还有哪些疑惑？【达标检测】1.已知直角三角形中30°角所对的直角边长是32cm ，则另一条直角边的长是 ( ) A.4cm B.34cm C.6cm D.36cm2.△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为 ( ) A.42 B.32 C.42 或 32 D.37 或3.如图,学校有一块长方形花铺,有极少数人为了避开拐角走“捷 径”,在花铺内走出了一条“路”.他们仅仅少走了 步路 （假设2步为1米），却踩伤了花草．4.已知:如图,四边形ABCD 中,AD ∥BC,AD ⊥DC,AB ⊥AC,∠B=60°数学八（下） 勾股定理 编著：李普洪生命在教育中流淌 生命在学习中升华- 31 -DCBA第4学时 勾股定理习题课1.直角三角形有一直角边的长为11,另两条边的长是两个连续自然数,则周长是 ( ) A.132 B. 121 C. 120 D. 1232.在△ABC 中,AB=13,AC=15,高AD=12,则BC 的长是 ( ) A.14 B.14或4 C.8 D.4或83.一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动 ( ) A.9分米 B.15分米 C.5分米 D.8分米4.直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______．5.等腰△ABC 的腰长AB ＝10cm,底边BC=16cm,则底边上的高为 ,面积为 .6.如图, R t △ABC 的面积为20cm 2,在AB 的同侧,分别以AB 、BC 、AC 为直径作三个半圆,则阴影部分的面积为 .7.如图,一只蚂蚁沿着棱长a 的正方体表面从顶点A 爬到顶点B,则它走过的最短路程为 .8.如图,将一根长24cm 的筷子,置于底面直径为5cm 高12cm 的圆柱形水杯中,筷子露在杯子外面的长为hcm,则h 取值范围是 .9.如图,将一个长、宽分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠,使C 点与A 点重合,则EB 的长是 .6题图 7题图 8题图10.如右图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m,宽2m 的 楼道上铺地毯,已知地毯平方米18元,请你帮助计算一下,铺 完这个楼道至少需要 元钱.11.一个零件的形状如图所示,已知AC=3cm ,AB=4cm ,BD=12cm . 求CD 的长.数学八（下） 勾股定理 审阅：张 容 2015级数学备课组- 32 - 带你走成功捷径 助你创辉煌人生DC BANM PA 12.如图,在四边形ABCD 中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,BC=2,CD=3,求AB 的长.13.如图A 、B 两个村子在河CD 的同侧,A 、B 两个村到河的距离分别为AC=1km,BD=3km, CD=3km, 现要在河边CD 上建一个水厂,为A 、B 两村输送自来水,铺设水管的费用为每千米2000元,请你在CD 上选择水塔位置O 点,使铺设水管的费用最省,并求出铺设水管的总费用.14.如图,公路MN 上有一拖拉机由点P 向点N 行驶,在公路一侧点A 有一所中学,已知PA=160m,且∠NPA=30°.假设接拉机在行驶时,周围100m 以内会受到噪音影响,那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时,学校是否会受到噪音影响?请说明理由;如果受影响,已知拖拉机的速度为18km/h,那么学校受影响的时间是多少秒?15.教科书P28习题17.1第14题.数学八（下） 勾股定理 编著：李普洪生命在教育中流淌 生命在学习中升华 - 33 -第5学时 17.2.1勾股定理的逆定理(1)【明确目标】1.体会勾股定理的逆定理得出过程,掌握勾股定理的逆定理;2.探究勾股定理的逆定理的证明方法;3.理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系. 【自主学习】阅读教科书第31页到32页的内容,思考并回答下面的问题；1.如果三角形的三边长a ,b ,c 满足a 2+b 2=c 2,那么这个三角形是 . 2.如果一个命题的题设和结论与另一个命题的题设和结论正好相反,这两个命题叫做 命题.3.教科书P33练习第1、2、3题.【合作探究】1.△ABC 中,AB=10,BC=12,BC 边上的中线AD=8,试说明△ABC 是等腰三角形.2.在△ABC 中22n m a -=,mn b 2=,22n m c +=,其中m,n 是正整数,且m>n ,试判断△ABC是否是直角三角形.【巩固提升】1.若1>a ,在下列四组数中,能组成直角三角形的是 ( ) A.1,1,12++-a a aB.)1(5),1(4),1(3---a a aC.1,,1+-a a aD.42,,22++a a a2.三角形的三边长a ,b ,c 满足ab c b a 2)(22=-+,则此三角形是 ( ) A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.等腰三角形3.下列各组数中,是勾股数的是 ( ) A.14,36,39 B.8,24,25 C.8,15,17 D.10,20,264.△ABC 中,AB=7,AC=24,BC=25,则∠A= .数学八（下） 勾股定理 审阅：张 容 2015级数学备课组- 34 - 带你走成功捷径 助你创辉煌人生5.“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的逆命题是 .6.把命题“如果直角三角形的两直角边分别为a ,b ,斜边长为c ,那么a 2+b 2=c 2”的逆命题改写成“如果……,那么……”的形式: . 7.如图, △ABC 中,CD 是AB 边上的中线,AC=8,BC=6,CD=5,求证:△ABC 为直角三角形.8.能够成为直角三边长的三个正整数,我们称之为一组勾股数,观察下列表格所给出的三个(1)试找出它们的共同点; (2)写出当a =17时, b ,c 的值.【总结反思】1.我今天学到了什么知识？2.还有哪些疑惑？【达标检测】1.分别以下列四组数为一个三角形的边长:①3,4,5；②5,12,13；③8,15,17；④4,5,6,其中能构成直角三角形的有 ( ) A.4组 B.3组 C.2组 D.1组2.△ABC 的三边分别为下列各组值,其中不是直角三角形三边的是 ( )A.9,40,41===c b a B.2,6.1,2.1===c b a C.41,31,21===c b a D.1,54,53===c b a数学八（下） 勾股定理 编著：李普洪生命在教育中流淌 生命在学习中升华- 35 -3.下列说法正确的是 ( ) A.真命题的逆命题是真命题 B.原命题是假命题,则它的逆命题也是假命题 C.命题一定有逆命题 D.定理一定有逆定理4.下列命题中,其逆命题成立的是 .(只填写序号)①同旁内角互补,两直线平行;②如果两个角是直角,那么它们相等; ③如果两个实数相等,那么它们的平方相等;④如果三角形的三边长a ,b ,c 满足a 2+b 2=c 2,那么这个三角形是直角三角形.5.若△ABC 的三边长a ,b ,c 满足c b a c b a 201612200222++=+++,试说明△ABC 的形状.第6学时 17.2.2勾股定理的逆定理(2)【明确目标】1.进一步掌握勾股定理的逆定理,并会应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形,能够理解勾股定理及其逆定理的区别与联系,掌握它们的应用范围；2.培养逻辑推理能力,体会“形”与“数”的结合；3.在不同条件、不同环境中反复运用定理,达到熟练使用,灵活运用的程度；4.培养数学思维以及合情推理意识,感悟勾股定理和逆定理的应用价值. 【自主学习】阅读教科书第32页到第33页的内容,思考并回答下面的问题；1.一般地,如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,它也是一个定理,称这两个定理互为 .2.三角形的三边长a ,b ,c 满足ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是 ( ) A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.等边三角形 D.直角一角形3. △ABC 的三边长分别为5,12,13,则S △ABC = ( ) A.30 B.60 C.78 D.不能确定4. 如图,正方形网格中的△ABC,若小方格边长为1,则△ABC 是 ( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上答案都不对数学八（下） 勾股定理 审阅：张 容 2015级数学备课组- 36 - 带你走成功捷径 助你创辉煌人生CBA 35°N M CB A 【合作探究】1.甲乙两船队从港口A 同时出发,甲船以30海里/时的速度向北偏东35°的方向航行,乙船以40海里/时的速度向另一方向航行,2小时后,甲船到达C 岛,乙船到达B 岛,若C,B 两岛相距100海里,问乙船航行的方向是南偏东多少度?2.如图,在等腰直角三角形ABC 的斜边上取两点M,N,使∠MCN=45°,设AM=a ,MN=x ,BN=b ,试判定以x 、a 、b 为边长的三角形的形状.【巩固提升】1.等边三角形的高是3,那么这个三角形的面积是 ( ) A.3B. 23C.1D.22.在下列各组数中:①9,12,15; ② 32, 42, 52; ③)0(5,4,3>a a a a ④)1(2,1,122>-+a a a a ⑤7,24,25;⑥)0(,2,2222>>+-m m n m mn n m 可作直角三角形三边长的有 组 ( ) A. 6 B. 5 C.4 D.33.如图,分别以三角形三边为直径向外作三个半圆,如果较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积,则这个三角形为 ( ) A.直角一角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形或钝角三角形4.如图, △ABC 中,AB=AC=5,BC=6,点M 为BC 的中点,MN ⊥AC 于点N,则MN 等于 ( ) A.56 B.59 C.512 D.516 5.小明将一幅三角板如图所示摆放在一起,发现只要知道其中一边的长就可以求出其他各边的长,若已知CD=2,则AC= .3题图 4题图 5题图数学八（下） 勾股定理 编著：李普洪生命在教育中流淌 生命在学习中升华 - 37 -6.教科书P34习题17.2第6题. 【总结反思】1.我今天学到了什么知识？2.还有哪些疑惑？ 【达标检测】1.△ABC 在下列条件下,不是直角三角形的是 ( ) A .∠C=∠A-∠BB.∠A:∠B:∠C=1:2:3C. 222c a b -=D.5,3,2===c b a2.在△ABC 中,AC=BC=2,AB=22,则△ABC 中的最小角为 ( ) A.30° B.45° C.60° D.以上都不对3.下列说法中,错误的是 ( ) A.在△ABC 中,∠C=∠A-∠B,则△ABC 是直角三角形B.在△ABC 中,,∠A:∠B:∠C=1:2:3, 则△ABC 是直角三角形C.在△ABC 中,若c b c a 54,53==,则△ABC 是直角三角形 D.在△ABC 中,a :b:c=2:3:4, 则△ABC 是直角三角形4.一个三角形三边的长度之比是5:12:13,且周长是120cm,则它的面积是多少？第7学时 勾股定理逆定理习题课1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是 ( ) A.三内角之比为1∶2∶3 B.三边长的平方之比为1∶2∶3 C.三边长之比为3∶4∶5 D.三内角之比为3∶4∶52.已知三角形两边长为2和6，要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为 ( ) A.2 B.102 C.10224或 D.以上都不对3.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正 确的是 ( )A B C D数学八（下） 勾股定理 审阅：张 容 2015级数学备课组- 38 - 带你走成功捷径 助你创辉煌人生4.若三角形三边长分别为n+1,n+2,n+3,当n= 时,此三角形为直角三角形.5.若一个三角形的周长为122cm,一边长为32cm,另两边之差为2,则这个三角形是 .6.如图18－2－9所示，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为A （3，1），B （2，4），△OAB 是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论7.已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，满足a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC 的形状.8.已知:如图，四边形ABCD ，AD ∥BC ，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.求四边形ABCD 的面积.9. (1)如图①是一个重要公式的几何解释,请你写出这个公式;(2)如图②,Rt △ABC ≌Rt △CDE,∠B=∠D=900,且B,C,D 三点共线,试证明∠ACE=900.数学八（下） 勾股定理 编著：李普洪生命在教育中流淌 生命在学习中升华 - 39 -(3)伽菲尔德(Garfield,1881年任美国第20届总统)利用(1)中的公式和图②证明了勾股定理(1976年4月1日,发表在《新英格兰教育日志》上),现请你尝试该证明过程.10.教科书P34习题17.2第1-5、7题.第8学时 《勾股定理》复习（1）【明确目标】1.理解勾股定理的内容,已知直角三角形的两边,会运用勾股定理求第三边；2.勾股定理的应用；3.会运用勾股定理的逆定理,判断直角三角形. 【自主学习】在本章中,我们探索了直角三角形的三边关系,并在此基础上得到了勾股定理,并学习了如何利用拼图验证勾股定理,介绍了勾股定理的用途；本章后半部分学习了勾股定理的逆定理以及它的应用.其知识结构如下：1.勾股定理：(1)直角三角形两直角边的______和等于_______的平方.就是说,对于任意的直角三角形,如果它的两条直角边分别为a 、b,斜边为c,那么一定有：————————————.这就是勾股定理.(2)勾股定理揭示了直角三角形___之间的数量关系,是解决有关线段计算问题的重要依据.22222222,,b a c a c b b c a +=-=-=,2222,a c b b c a -=-=.勾股定理的探索与验证,一般采用“构造法”.通过构造几何图形,并计算图形面积得出一个等式,从而得出或验证勾股定理. 2.勾股定理逆定理“若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方,则这个三角形为________.”这一命题是勾股定理的逆定理.它可以帮助我们判断三角形的形状.为根据边的关系解决角的有关问题提供了新的方法.定理的证明采用了构造法.利用已知三角形的边a,b,c(a 2+b 2=c 2),先构造一个直角边为a,b 的直角三角形,由勾股定理证明第三边为c,进而通过“SSS ”证明两个三角形全等,证明定理成立.数学八（下） 勾股定理 审阅：张 容 2015级数学备课组- 40 - 带你走成功捷径 助你创辉煌人生3.勾股定理的作用：(1）已知直角三角形的两边,求第三边；(2）在数轴上作出表示n （n 为正整数）的点.勾股定理的逆定理是用来判定一个三角形是否是直角三角形的.勾股定理的逆定理也可用来证明两直线是否垂直,勾股定理是直角三角形的性质定理,而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理,它不仅可以判定三角形是否为直角三角形,还可以判定哪一个角是直角,从而产生了证明两直线互相垂直的新方法：利用勾股定理的逆定理,通过计算来证明,体现了数形结合的思想.(3)三角形的三边分别为a 、b 、c,其中c 为最大边,若222c b a =+,则三角形是直角三角形；若222c b a >+,则三角形是锐角三角形；若2<+c b a 22,则三角形是钝角三角形.所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边. 【合作探究】1.如果一个直角三角形的两条边长分别是6cm 和8cm,那么这个三角形的周长和面积分别是多少?2.如图,在四边形ABCD 中,∠C=90°,AB=13,BC=4,CD=3,AD=12,求证:AD ⊥BD.【巩固提升】1.如果下列各组数是三角形的三边,那么不能组成直角三角形的一组数是 ( ) A.7,24,25 B.321,421,521 C.3,4,5 D.4,721,821 2.如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍,那么斜边扩大到原来的 ( ) A.1倍 B.2倍 C.3倍 D.4倍3.三个正方形的面积如右图,正方形A 的面积为 ( ) A. 6 B. 36 C. 64 D. 84.直角三角形的两直角边分别为5cm,12cm,其中斜边上的高为 ( ) A.6cm B.8.5cm C.1330cm D.1360cm 3题图数学八（下）勾股定理编著：李普洪5.如图,台风过后,一希望小学的旗杆在离地某处断裂,旗杆顶部落在离旗杆底部8m处,已知旗杆原长16m,你能求出旗杆在离底部什么位置断裂的吗？【总结反思】1.我今天学到了什么知识？2.还有哪些疑惑？【达标检测】1.两只小鼹鼠在地下打洞,一只朝前方挖,每分钟挖8cm,另一只朝左挖,每分钟挖6cm,10分钟之后两只小鼹鼠相距( )A.50cmB.100cmC.140cmD.80cm2.小明想知道学校旗杆的高,他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m,当它把绳子的下端拉开5m后,发现下端刚好接触地面,则旗杆的高为( ) A.8cm B.10cm C.12cm D.14cm3.在△ABC中,∠C＝90°,若a＝5,b＝12,则c＝.4.等腰△ABC的面积为12cm2,底上的高AD＝3cm,则它的周长为.5.等边△ABC的高为3cm,以AB为边的正方形面积为.6.一个三角形的三边的比为5∶12∶13,它的周长为60cm,则它的面积是.7.有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门,如果把竹竿竖放就比门高出1尺,斜放就恰好等于门的对角线长,已知门宽4尺.求竹竿高与门高.生命在教育中流淌生命在学习中升华- 41 -数学八（下） 勾股定理 审阅：张 容 2015级数学备课组- 42 - 带你走成功捷径 助你创辉煌人生第9学时 《勾股定理》复习（2）【明确目标】1.掌握直角三角形的边、角之间所存在的关系,熟练应用直角三角形的勾股定理和逆定理来解决实际问题；2.经历反思本单元知识结构的过程,理解和领会勾股定理和逆定理；3.熟悉勾股定理的历史,进一步了解我国古代数学的伟大成就,激发爱国主义思想,培养良好的学习态度. 【自主学习】1.在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm,2cm ,则斜边长为 .2.分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5;（2）5、12、13;（3）8、15、17; （4）4、5、6,其中能够成直角三角形的有 .3.在Rt △ABC 中, a,b,c 分别是三条边,∠B=90°, 已知a=6,b=10,则边长c= .4.一只蚂蚁从长、宽都是3,高是8的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点,那么它所爬行的最短路线的长是 . 4题图 5题图 5.如图：在一个高6米,长10米的楼梯表面铺地毯,则该地毯的长度至少 米. 6.在数轴上作出表示10的点.7.已知,如图在ΔABC 中,AB=BC=CA=2cm,AD 是边BC 上的高.求:①AD 的长；②ΔABC 的面积.8.如图,铁路上A,B 两点相距25km,C,D 为两村庄,DA ⊥AB 于A,CB ⊥AB 于B,已知DA=15km,CB=10km,现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E,使得C,D 两村到E 站的距离相等,则E 站应建在离A 站多少km 处?A D EB C数学八（下） 勾股定理 编著：李普洪生命在教育中流淌 生命在学习中升华- 43 -【合作探究】1.已知:如图,△ABC 中,AB ＞AC,AD 是BC 边上的高.求证：AB 2-AC 2=BC(BD-DC).2.如图,有一个直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿直线AD 折叠,使它落在斜边AB 上,且与AE 重合,你能求出CD 的长吗？【巩固提升】1.已知直角三角形的两边长为3、2,则另一条边长是 .2.若一个三角形的周长12c m,一边长为3c m,其他两边之差为c m,则这个三角形是 .3.直角三角形中,以直角边为边长的两个正方形的面积为72cm ,82cm ,则以斜边为边长的正方形的面积为 2cm .4.如图,某学校（A 点）与公路（直线L ）的距离为300米,又与公路车站（D 点）的距离为500米,现要在公路上建一个小商店（C 点）,使之与该校A 及车站D 的距离相等,求商店与车站之间的距离.数学八（下） 勾股定理 审阅：张 容 2015级数学备课组- 44 - 带你走成功捷径 助你创辉煌人生5.如图，点P 是等边△ABC 内一点,PA=4,PB=3,PC=5, 1PB PB =，160PBP ︒∠=，求1BPC ∠的度数.【总结反思】1.我今天学到了什么知识？2.还有哪些疑惑？【达标检测】1.已知△ABC 中,∠A= ∠B= ∠C,则它的三条边之比为 ( ) A.1：1：1 B.1：1 ：2 C.1：2 ：3 D.1：4：12.下列各组线段中,能够组成直角三角形的是 ( ) A.6,7,8 B.5,6,7 C.4,5,6 D.3,4,53.若等边△ABC 的边长为2cm,那么△ABC 的面积为 ( ) A.3 cm 2B.2 cm 2C.3 cm 2D.4cm24.直角三角形的两直角边分别为5cm,12cm,其中斜边上的高为 ( ) A.6cm B.8.5cm C.3013cm D.6013cm 5.有两棵树,一棵高6米,另一棵高3米,两树相距4米.一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,至少飞了 米.6.一座桥横跨一江,桥长12m,一般小船自桥北头出发,向正南方驶去,因水流原因到达南岸以后,发现已偏离桥南头5m,则小船实际行驶 m.7.一个三角形的三边的比为5∶12∶13,它的周长为60cm,则它的面积是 . 8.已知直角三角形一个锐角60°,斜边长为1,那么此直角三角形的周长是 . 9.已知:如图△ABC 中,AB=AC=10,BC=16,点D 在BC 上,DA ⊥CA 于A.求BD 的长.1。

CB A勾股定理第1课时【学习目标】1、能用在方格纸上计算面积的方法探索勾股定理。

2、通过用拼图的方法验证勾股定理，经历观察、猜想、归纳和验证的数学发现过程获得数学知识，发展数形结合的数学思想。

3、能对勾股定理和它的变形简单应用。

【学习重点】勾股定理的探索和证明 【学习难点】勾股定理的证明预 习 案知识链接我们学过的直角三角形有哪些性质？（每个同学自制4个大小完全一样的直角三角形） 边： 角：探 究 案探究一：直角三角形的三边关系1、如图，在正方形瓷砖拼成的地面中，观察图中用阴影画出的三个正方形，两个小正方形P 、 Q 的面积与大正方形R 的面积有什么关系？用图中的线段表示为： 即：在等腰直角三角形中，三边的长度之间存在关系： 。

2、如图，每一小方格表示1平方厘米，那么： 正方形P 的面积＝ 平方厘米；正方形Q 的面积＝ 平方厘米；正方形R 的面积＝ 平方厘米．我们发现，正方形P 、 Q 、 R 的面积之间的关系是： ．用图中的线段表示为：（每一小方格表示1平方厘米）即：在一般直角三角形中，三边的长度之间存在关系： 。

由此，对于任意的直角三角形，若它的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，则一定有：勾股定理：直角三角形 的平方和等于 的平方。

探究二：勾股定理的证明每个同学拿出自制的4个直角三角形拼图，能否拼出下列图形。

（利用面积证明勾股定理）如左图，∵ S 大正方形= ，S 小正方形= ，S 三角形= ，又∵S 大正方形-S 小正方形= ∴ ∴即： 勾股定理符号语言：∵在ABC Rt ∆中，090=∠C∴ （勾股定理）探究三：勾股定理的简单变形对于勾股定理：222c b a =+，可以有哪些变形？训 练 案1.在∆Rt ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为c b a ，，，∠C ＝90°.回答下列问题：①若43==b a ，，则c ＝ ②若817==a c ，，则b ＝ ； ③若1312==c b ，，则a ＝ .（提示：根据题意先画出草图辅助分析。

探索勾股定理-（1）（第1课时）学生姓名：学习目标：会探索勾股定理，会初步利用勾股定理解决实际问题。

重难点：会用勾股定理求直角三角形的边长学习过程：一、课前预习：1、三角形按角的大小可分为：、、。

2、三角形的三边关系：三角形的任意两边之和；任意两边之差。

3、直角三角形的两个锐角；直角三角形中最长边是。

4、在RtΔABC中，两条直角边长分别为a、b，则这个直角三角形的面积可以表示为：。

二、自主探究：探究一：探索直角三角形三边的特殊关系：（1）画一直角三角形，使其两边满足下面的条件，测量第三边的长度，完成下表；（2）猜想：直角三角形的三边关系为。

探究二：如果下图中小方格的边长是1，观察图形，完成下表，并与同学交流：你是怎样得到的？思考：每个图中正方形的面积与三角形的边长有何关系？归纳得出勾股定理。

勾股定理：直角三角形 等于 ；几何语言表述：如图1.1-1，在Rt ΔABC 中， C ＝ 90°， 则： ； 若BC=a ，AC=b ，AB=c ，则上面的定理可以表示为： 。

三、课堂练习：1、求下图中字母所代表的正方形的面积12米处。

旗4、如图，点C 是以AB 为直径的半圆上一点，∠ACB=90°， AC=3,BC=4,则图中阴影部分的面积是多少？四、课后反思第4题BC A探索勾股定理-（2）（第2课时）学生姓名：学习目标：掌握勾股定理，理解利用拼图验证勾股定理的方法。

能运用勾股定理解决一些实际问题。

重难点：勾股定理的应用。

学习过程： 一、知识回顾：1、直角三角形的勾股定理：2、求下列直角三角形的未知边的长二、自主探究：利用拼图验证勾股定理活动一：用四个全等的直角三角形拼出图1，并思考： 1．拼成的图1中有_______个正方形，___个直角三角形。

2．图中大正方形的边长为_______，小正方形的边长为_______。

3．你能请用两种不同方法表示图1中大正方形的面积，列出一个等式，验证勾股定理吗？分析：大正方形的面积＝ 边长的平方 ＝小正方形的面积＋ 个直角三角形的面积得： ( ＋ )2＝ 2＋ ×12ab . 化简可得：活动二：用四个全等的直角三角形拼出图2验证勾股定理。

第十七章勾股定理第一课时17.1勾股定理（1）学习目标：1 •了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。

2 .培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。

3.介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。

学习重点：勾股定理的内容及证明。

学习难点：勾股定理的证明。

学习过程: 、自主学习画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ ABC 用刻度尺量出AB 的长。

（勾3,股4,弦5）。

以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺 折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。

”这句话意思是说一个直 角三角形较短直角边（勾）的长是 3,长的直角边（股）的长是4,那么斜边（弦）5。

对于任意的直角三角形也有这个性质吗?勾股定理内容 文字表述: 几何表述:⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。

⑷勾股定理的证明方法，达 300余种。

这个古老而精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。

激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。

的长是那么就有再画一个两直角边为5和12的直角△ ABC 用刻度尺量 你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即 ；+ ____ 2= _____ 。

（用勾、股、弦填空）AB 的长。

^2 2 3 +42 2 25，5+12.132,、交流展示例1、 已知：在^ ABC 中,/ C=9ff ，/ A 、/ B 、/ C 的对边为、b 、C 。

求证：a 2+ b 2=c 2。

分析: ⑴准备多个三角形模型，利用面积相等进行证明。

⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S 4+S 小正=S 大正 即 4X- X2+〔= c 2,化简可证。

写出当a=19时，b , c 的值，并把b 、c 用含a 的代数式表示出来。

3、4、5 32+42=525、12、13 52+122=1327、24、25 72+242=252 9、 40、 41 92+402=412... .. 19, b 、c192+b 2=c 2四、达标测试1.一个直角三角形，两直角边长分别为 3和4,下列说法正确的是（）2. 斜边长为25 B .三角形的周长为25 C .斜边长为5 D .三角形面积为203.一直角三角形的斜边长比一条直角边长多2,另一直角边长为6,则斜边长为（）例2已知：在^ ABC 中,/ C=90，/ A 、/ B 、/ C 的对边为 求证：a 2+b 2=c 。

第十七章勾股定理17.1勾股定理第 1 课时勾股定理【学习目标】1．认识勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理；2．培育在实质生活中发现问题总结规律的意识和能力.学习要点：勾股定理的内容及证明.学习难点：勾股定理的证明.学习过程一、自学导航（课前预习）1、直角△ ABC的主要性质是：∠C=90°（用几何语言表示）（1）两锐角之间的关系：（2）若 D为斜边中点，则斜边中线（3）若∠ B=30°，则∠ B 的对边和斜边：AD2、勾股定理证明：C B 方法一；D C4 个全等的直角三角形，如图，让学生剪拼成如图图形，利用面积证明。

S 正方形＝ _______________＝ ____________________方法二；已知：在△ ABC 中，∠ C=90 °，∠ A 、∠ B 、∠ C 的对边为a、b、 c。

ab求证： a2＋ b2=c2。

b Ac B解析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形a a bc 的面积相等。

a ac a左侧 S=______________cb右侧 S=_______________ccb c b b 左侧和右侧面积相等，a即化简可得。

a ba b二、合作交流（小组互帮）思虑：（1）观察图 1－1。

A 的面积是__________个单位面积；B 的面积是 __________个单位面积；C 的面积是 __________个单位面积。

（图中每个小方格代表一个单位面积）（ 2）你能发现图1－ 1 中三个正方形A， B， C 的面积之间有什么关系吗？图1－ 2 中的呢？由此我们可以得出什么结论？可猜想：假如直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，那么 _______________________________________________________________________________________ 。

第十七章 勾股定理原创不容易，为有更多动力，请【关注、关注、关注】，谢谢！ 灵师不挂怀,冒涉道转延。

——韩愈《送灵师》 镇海中学 陈志海17.1 勾股定理第1课时 勾股定理学习目标：1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想； 2.会用勾股定理进行简单的计算.重点：用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想. 难点：会用勾股定理进行简单的计算.一、知识回顾1.网格中每个小正方形的面积为单位1,你能数出图中的正方形A 、B 的面积吗？你又能想到什么方法算出正方形C 的面积呢？AB CC BA自主学习教学备注学生在课前完成自主学习部分配套PPT 讲授1.情景引入 （见幻灯片3-5）方法1：补形法(把以斜边为边长的正方形补成各边都在网格线上的正方形）：左图：S c =__________________________; 右图：S c =__________________________.AB CC BA一、要点探究探究点1：勾股定理的认识及验证想一想 1.2500年前，毕达哥拉斯去老朋友家做客，看到他朋友家用等腰三角形砖铺成的地面，联想到了正方形A ，B 和C 面积之间的关系，你能想到是什么关系吗？2.右图中正方形A 、B 、C 所围成的等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系？3.在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A 、B 、C 是否也有类似的面积关系？(每个小正方形的面积为单位1)4.正方形A 、B 、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？思考 你发了直角三角形三条边之间的什么规律？你能结合字母表示出来吗？猜测：如果直角三角形的两条直角边长分别为ab ，斜边长为c ,那么________.活动2 接下来让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明活动1的猜想. 证法 利用我国汉代数学家赵爽的“赵爽弦图”课堂探究方法2：分割法(把以斜边为边长的正方形分割成易求出面积的三角形和四边形）：左图：S c =__________________________; 右图：S c =__________________________.教学备注 配套PPT 讲授2.探究点1新知讲授（见幻灯片6-19）3.探究点2新知讲授（见幻灯片20-24）要点归纳：勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.公式变形：222222--.a cb bc a c a b=+, ，探究点2：利用勾股定理进行计算典例精析例1如图，在Rt△ABC中，∠C=0°.（1）若a=b=5,求c;（2）若a=1,c=2,求b.变式题1 在Rt△AB中，∠C=90.（1）若a：b=1：2 ，c=5,求a;（2）若b=15，∠A=30°,求a,c.证明：∵S大正方形＝________，S小正方形＝________,S大正方形＝___·S三角形＋S小正方形，∴________=________+__________.教学备注3.探究点2新知讲授（见幻灯片20-24）方法总结:已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解.变式题2在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC长.方法总结:当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长可能是直角边，也可能斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易漏解.例2已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的长.方法总结:由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用．求列图中未知数x、y的值：二、课堂小结 内 容勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为a ,b ,斜边长为c ,那么a 2+b 2=c 2. 注 意1.在直角三角形中2.看清哪个角是直角3.已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论1.下列说法中,正确的是 （ ） A.已知a ,b ,c 是三角形的三边，则a 2+b 2=c 2 B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方 C.在Rt △ABC 中，∠C =90°,所以a 2+b 2=c 2 D.在Rt △ABC 中，∠B =90°,所以a 2+b 2=c 22. 右图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_____________.3.在△ABC 中，∠C =90°.（1）若a =15，b =8，则c =_______. （2）若c =13，b =12，则a =_______.4.若直角三角形中，有两边长是5和7，则第三边长的平方为_________.5.求斜边长17cm 、一条直角边长15cm 的直角三角形的面积.6.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，∠B =45°，∠C =30°，AD =1，求△ABC 的周长．当堂检测教学备注 配套PPT 讲授 4.课堂小结 （见幻灯片30）5.当堂检测 （见幻灯片25-29）能力提升：7.如图，以Rt△ABC的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3，求△ABE及阴影部分的面积.1、冬天是纯洁的。