人教版九年级数学下册 锐角三角形(1)
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《锐角三角函数》评课记录1.情境引入好,立意高。
从比萨斜塔的倾斜度这个实际问题抽象出有关于直角三角形的数学问题,进一步说明直角三角形我们已经研究了角和角的关系、边和边的关系,还可以研究边和角的关系;如果研究了边和角的关系,那么这个实际问题就可以得到解决,说明了研究直角三角形的边角关系既是我们数学本身的需要,也是实际生活的需要。
自然而然的引入新课教学。
2.注重知识的形成过程。
在引导学生得出正弦定义的过程中,教师从含有30°、45°、60°的直角三角形入手,到一般的直角三角形,得出“在直角三角形中,当锐角值一定时,它的对边与斜边的比值也随之固定”这样一个结论,体现了从特殊到一般的思想方法。
在课堂上,无论是在探究定义的过程中,还是后面运用定义求锐角的正弦值,死死扣住锐角的对边与斜边的比值,在学生的脑海中反复建立这样一个模型。
3.对教材进行了相关的处理,是在用教材,而不是教教材。
一是把例题的第二个图形放到了练习当中,教师讲解了一个图形后学生应该已经掌握,让学生自己独立完成效果更好。
二是增加了练习二,培养了学生的逆向思维,并训练了学生的几何直观能力。
课堂证明,这两个处理是成功的。
4.最后的反思小结部分,设计了两个问题,第一个问题主要是回顾本节课的知识点。
第二个问题是“研究锐角正弦的思路是如何构建的?”这个问题主要是引导学生回顾得到正弦定义的过程,体会数学思想方法。
从生活实际来看,我们有已知直角三角形的某些边求角的问题;从数学本身来看,对直角三角形而言,我们研究了角与角的关系,边与边的关系,还可以研究边与角的关系。
为此,我们从30°、45°和60°角的特殊直角三角形入手,到一般的直角三角形,证明了当锐角一定时,它的对边与斜边的比也是固定值,得到正弦的定义,蕴含了从特殊到一般的思想方法。
把整节课的思路重新为学生理了一遍,加深了学生的印象。
5.总的来说,本堂课从发现和提出需要研究的问题开始,引导学生从已有的知识出发,从具体事例中抽象、归纳出一般结论,获得数学概念、原理。
锐角三角函数我们知道,在Rt△ABC 中,∠C =90°,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ,则有:sin cos a A B c ==,cos sin b A B c ==,tan aA b=,这就是锐角三角函数的定义.根据锐角三角函数的定义,再结合直角三角形的性质,我们可以探索出锐角三角函数之间的三个特殊关系. 一、余角关系由上面的定义我们已得到sin A =cos B ,cos A =sin B ,而在直角三角形中,∠A +∠B =90°,即∠B =90°-∠A .因此有:sin A =cos (90°-A ),cos A =sin (90°-A ).应用这些关系式,可以很轻松地进行三角函数之间的转换.例1 如图,在Rt△ABC 中,∠C =90°,CD ⊥AB 于D ,已知1sin 2A =,BD =2,求BC 的长.解:由于∠A +∠B =90°,所以1cos sin(90)sin 2B B A =-==.在Rt△BCD 中,cos BD B BC =,所以212BC =.所以BC =4. 二、平方关系 由定义知sin a A c =,cos b A c=, 所以222222222sin cos a b a b A A c c c++=+=(sin 2A 、cos 2A 分别表示sin A 、cos A 的平方).又由勾股定理,知a 2+b 2=c 2,所以sin 2A +cos 2A =22c c=1.应用此关系式我们可以进行有关锐角三角函数平方的计算. 例2 计算:sin256°+sin245°+sin234°.解:由余角关系知sin56°=cos(90°-56°)=cos34°. 所以原式=sin245°+(sin234°+cos234°)223122⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭. 三、相除关系 由定义中sin a A c =,cos bA c=, 得sin tan cos aA a c ac A b A c b bc==⨯==.利用这个关系式可以使一些化简求值运算过程变得简单. 例3 已知α为锐角,tan α=2,求3sin cos 4cos 5sin αααα+-的值.解:因为sin tan 2cos ααα==,所以sin α=2cos α, 所以原式6cos cos 6174cos 10cos 4106αααα++===---.求三角函数值的方法较多,且方法灵活.是中考中常见的题型.我们可以根据已知条件结合图形选用灵活的求解方法.四、设参数法例4 如图1, 在△ABC 中,∠C =90°,如果t a n A =125,那么sin B 等于( ) (A)135 (B) 1312 (C) 125 (D)512 分析:本题主要考查锐角三角函数的定义及直角三角形的有关性质.因为tan A =125=b a ,所以可设a =5k ,b =12k (k >0),根据勾股定理得c =13k , 所以sin B =1312=c b .应选(B).五、等线段代换法例5 如图2,小明将一张矩形的纸片ABC D 沿C E 折叠,B 点恰好落在A D 边上,设此点为F ,若BA :BC =4:5,则c os∠DCF 的值是______.分析:根据折叠的性质可知△E BC ≌△EF C ,所以C F=CB , 又C D=AB ,AB :BC =4:5, 所以C D :C F=4:5,图1 图2在Rt△D C F 中,c os∠D C F=54=CF DC . 六、等角代换法例6 如图3,C D 是平面镜,光线从A 点出发经C D 上点E 反射后照射到B 点,若入射角为α (入射角等于反射角),AC ⊥C D ,B D⊥C D ,垂足分别为C 、D ,且AC =3,B D =6,C D =11,则tan α的值为( ) (A )311 (B )113 (C )119 (D )911分析:根据已知条件可得∠α=∠CA E ,所以只需求出tan∠CA E .根据条件可知△AC E∽△B DE,所以ED CE BD AC =,即CECE-=1163, 所以C E=311,在Rt△A E C 中,tan∠CA E=9113311==AC CE .所以tan α=911.七、等比代换法例7 如图4, 在Rt△ABC 中,ACB =90,C D⊥AB 于点D ,BC =3,AC =4,设BC D=α,tan α的值为( )(A)43 (B)34 (C)53 (D)54分析:由三角形函数的定义知tan α=DCDB, 由Rt△C D B ∽Rt△ACB , 所以43==AC BC DC DB ,所以tan α=43,选(A). ABCDEα 图3图4锐角三角函数测试1.比较大小:sin41°________sin42°.2.比较大小:cot30°_________cot22°.3.比较大小:sin25°___________cos25°.4.比较大小:tan52°___________cot52°.5.比较大小:tan48°____________cot41°.6.比较大小:sin36°____________cos55°.7、下列命题①sinα表示角α与符号sin的乘积;②在△ABC中,若∠C=90°,则c=αsinA成立;③任何锐角的正弦和余弦值都是介于0和1之间实数.其正确的为()A、②③ B.①②③ C.② D. ③8、若Rt△ABC的各边都扩大4倍得到Rt△A′B′C′,那么锐角A和锐角A′正切值的关系为( )A.tanA′=4tanA B.4tanA′=tanA C.tanA′=tanA D.不确定.9(新疆中考题)(1)如图(1)、(2),锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定,变化而变化.试探索随着锐角度数的增大.它的正弦值和余弦值变化的规律.(2)根据你探索到的规律,试比较18°,34°,50°,62°,88°,这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小。
第二十八章 锐角三角函数单元总结【知识要点】 知识点一 锐角三角形锐角三角函数:如下图,在Rt △ABC 中,∠C 为直角,则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)【正弦和余弦注意事项】1.sinA 、cosA 是在直角三角形中定义的,∠A 是锐角(注意数形结合,构造直角三角形)。
2.sinA 、cosA 是一个比值(数值,无单位)。
3.sinA 、cosA 的大小只与∠A 的大小有关,而与直角三角形的边长无关。
0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)正弦、余弦的增减性:当0°≤α≤90°时,sin α随α的增大而增大,cos α随α的增大而减小。
正切的增减性:当0°<α<90°时,tan α随α的增大而增大,对边邻边C知识点二 解直角三角形一般地,直角三角形中,除直角外,共有五个元素,即三条边和两个锐角.由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形. 直角三角形五元素之间的关系: 1. 勾股定理()2. ∠A+∠B=90°3. sin A==4. cos A= =5.tan A= =【考查题型】考查题型一 正弦典例1.(2020·陕西西安市·西北工业大学附属中学九年级期中)如图,在54⨯的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,ABC ∆的顶点都在这些小正方形的顶点上,则sin BAC ∠的值为( )A .43B .34C .35D .45【答案】D 【分析】过C 作CD AB ⊥于D ,首先根据勾股定理求出AC ,然后在Rt ACD ∆中即可求出sin BAC ∠的值.【详解】如图,过C 作CD AB ⊥于D ,则=90ADC ∠︒,∴AC =222234=+=+AC AD CD =5. ∴4sin 5CD BAC AC ∠==. 故选D . 【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数,正确作出辅助线是解题的关键.变式1-1.(2018·西城区·北京四中九年级期中)如图,在Rt ABC ∆中,90C =∠,10AB =,8AC =,则sin A 等于( )A .35B .45C .34D .43【答案】A 【解析】分析:先根据勾股定理求得BC=6,再由正弦函数的定义求解可得. 详解:在Rt △ABC 中,∵AB=10、AC=8, ∴2222=108=6AB AC --,∴sinA=63105BC AB ==. 故选:A .点睛:本题主要考查锐角三角函数的定义,解题的关键是掌握勾股定理及正弦函数的定义.变式1-2.(2019·山东淄博市·九年级期中)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=45,AC=6cm,则BC的长度为()A.6cm B.7cm C.8cm D.9cm 【答案】C【详解】已知sinA=45BCAB=,设BC=4x,AB=5x,又因AC2+BC2=AB2,即62+(4x)2=(5x)2,解得:x=2或x=﹣2(舍),所以BC=4x=8cm,故答案选C.考查题型二余弦典例2.(2020·福建省泉州市培元中学九年级期中)如图,△ABC的顶点都是正方形网格中的格点,则cos∠ABC等于()A 5B25C5D.23【答案】B【详解】由格点可得∠ABC所在的直角三角形的两条直角边为2,4,222425+=∴cos∠25525=.故选B .变式2-1.(2016·辽宁铁岭市·九年级期末)在ABC 中,C 90∠=,AB 6=,1cosA 3=,则AC 等于( ) A .18 B .2C .12D .118【答案】B 【分析】根据三角函数的定义,在直角三角形ABC 中,cosA =ACAB,即可求得AC 的长. 【详解】解:∵在△ABC 中,∠C =90°,∴cosA =ACAB , ∵cosA =13,AB =6,∴AC =123AB =,故答案选:B . 【点睛】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用,解题的关键是要熟练掌握直角三角形中边角之间的关系.变式2-2.(2019·山东滨州市·九年级期末)如图,在平面直角坐标系中,点M 的坐标为M (5,2),那么cosα的值是( )A 5B .23C 25D 5【答案】D 【分析】如图,作MH⊥x轴于H.利用勾股定理求出OM,即可解决问题.【详解】解:如图,作MH⊥x轴于H.∵M(5,2),∴OH=5,MH=2,∴OM=22(5)2+=3,∴cosα=5 OHOM=,故选:D.【点睛】本题考查解直角三角形的应用,勾股定理等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.考查题型三正切典例3.(2020·广东深圳市·深圳中学八年级期中)如图,A、B、C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长为1,则tan∠BAC的值为()A.12B.1 C3D3【答案】B【分析】连接BC,由网格求出AB,BC,AC的长,利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形,即可求出所求. 【详解】 如图,连接BC ,由网格可得AB=BC=5,AC=10,即AB 2+BC 2=AC 2, ∴△ABC 为等腰直角三角形, ∴∠BAC=45°, 则tan ∠BAC=1, 故选B .【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义,解直角三角形,以及勾股定理,熟练掌握勾股定理是解本题的关键.变式3-1.(2018·江苏苏州市·九年级期末)如图,在等腰Rt ABC ∆中,90C ∠=︒,6AC =,D 是AC 上一点,若1tan 5DBA ∠=,则AD 的长为( ).A .2B .3C .2D .1【答案】A 【解析】分析:本题考查等腰直角三角形的性质及解直角三角形.解题的关键是作辅助线,构造直角三角形,运用三角函数的定义建立关系式然后求解. 解析:如图,作DE ⊥AB 于E .∵tan ∠DBA==,∴BE=5DE .∵△ABC 为等腰直角三角形,∴∠A=45°,∴AE=DE .∴BE=5AE ,又∵AC=6,∴AB=6,∴AE+BE=AE+5AE=6,∴AE=,∴在等腰直角△ADE中,由勾股定理,得AD=,AE=2.故选A.变式3-2.(2020·河北唐山市·九年级期末)如图,有一斜坡AB,坡顶B离地面的高度BC为30m,斜坡的倾斜角是∠BAC,若2tan5BAC∠=,则此斜坡的水平距离AC为()A.75m B.50m C.30m D.12m 【答案】A【分析】根据BC的长度和tan BAC∠的值计算出AC的长度即可解答.【详解】解:因为2tan5BCBACAC=∠=,又BC=30,所以,3025AC=,解得:AC=75m,所以,故选A.【点睛】本题考查了正切三角函数,熟练掌握是解题的关键.考查题型四特殊角的三角函数值典例4.(2018·南昌市期末)点M(-sin60°,cos60°)关于x轴对称的点的坐标是( )A.(32,12) B.(-32,-12)C.(312) D.(-123【答案】B 【详解】∵点(-sin60°,cos60°)即为点(312),∴点(-sin60°,cos60°)关于y 3,12).变式4-1.(2019·山东淄博市·九年级期中)下列式子错误的是()A.cos40°=sin50°B.tan15°•tan75°=1C.sin225°+cos225°=1 D.sin60°=2sin30°【答案】D【详解】试题分析:选项A,sin40°=sin(90°﹣50°)=cos50°,式子正确;选项Btan15°•tan75°=tan15°•cot15°=1,式子正确;选项C,sin225°+cos225°=1正确;选项D,sin60°=3,sin30°=12,则sin60°=2sin30°错误.故答案选D.变式4-2.(2018·河北唐山市·九年级期末)如果△ABC中,sin A=cos B=22,则下列最确切的结论是()A.△ABC是直角三角形B.△ABC是等腰三角形C.△ABC是等腰直角三角形D.△ABC是锐角三角形【答案】C【解析】因为sin A=cos B 2,所以∠A=∠B=45°,所以△ABC是等腰直角三角形. 故选C.考查题型五同角的三角函数典例5.(2018·山东潍坊市·九年级期末)在Rt△ABC中,∠C =90°,sinA=45,则cosB的值等于( )A.35B.45C.34D5【答案】B 【解析】在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A+∠B=90°,则cos B=sin A=45.故选B.点睛:本题考查了互余两角三角函数的关系.在直角三角形中,互为余角的两角的互余函数变式5-1.(2018·浙江台州市·九年级期末)在Rt △ABC 中,cosA= 12,那么sinA 的值是( )A .2B .2C .3D .12【答案】B 【分析】利用同角三角函数间的基本关系求出sinA 的值即可. 【详解】:∵Rt △ABC 中,cosA=12 ,∴ =2, 故选B . 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握同角三角函数的关系是解题的关键.变式5-2.(2018·湖南岳阳市·九年级期末)在Rt ABC 中,C 90∠=,如果4cosA 5=,那么tanA 的值是( ) A .35B .53C .34D .43【答案】C 【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解. 【详解】解:∵在Rt △ABC 中,∠C=90°,∴cosA=b c ,tanA=ab ,a 2+b 2=c 2. ∵cosA=45,设b=4x ,则c=5x ,a=3x .∴tanA=a b =3344x x =. 故选C.【点睛】利用锐角三角函数的定义,通过设参数的方法求三角函数值.考查题型六 解直角三角形典例6.(2020·东北师大附中明珠学校九年级期中)如图,两根竹竿AB 和AD 斜靠在墙CE 上,量得∠ABC=α,∠ADC=β,则竹竿AB 与AD 的长度之比为( )A .tan tan αβB .sin sin βαC .sin sin αβD .cos cos βα【答案】B【分析】在两个直角三角形中,分别求出AB 、AD 即可解决问题;【详解】在Rt △ABC 中,AB=AC sin α, 在Rt △ACD 中,AD=AC sin β, ∴AB :AD=AC sin α:AC sin β=sin sin βα, 故选B .【点睛】 本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识,解题的关键是学会利用参数解决问题. 变式6-1.(2020·山东枣庄市·九年级期末)如图,在ABC ∆中,144CA CB cosC ==,=,则sinB 的值为( )A .10B .15C .6D .10 【答案】D【分析】过点A 作AD BC ⊥,垂足为D ,在Rt ACD ∆中可求出AD ,CD 的长,在Rt ABD ∆中,利用勾股定理可求出AB 的长,再利用正弦的定义可求出sinB 的值.【详解】解:过点A 作AD BC ⊥,垂足为D ,如图所示.在Rt ACD ∆中,1CD CA cosC ⋅==,2215AD AD CD ∴=-=;在Rt ABD ∆中,315BD CB CD AD =﹣=,=,22BD AD 26AB ∴=+=,AD 10sin AB B ∴==. 故选:D .【点睛】考查了解直角三角形以及勾股定理,通过解直角三角形及勾股定理,求出AD ,AB 的长是解题的关键.变式6-2.(2019·辽宁沈阳市·九年级期末)如图,甲乙两楼相距30米,乙楼高度为36米,自甲楼顶A 处看乙楼楼顶B 处仰角为30°,则甲楼高度为( )A.11米B.(36﹣153)米C.153米D.(36﹣103)米【答案】D【分析】分析题意可得:过点A作AE⊥BD,交BD于点E;可构造Rt△ABE,利用已知条件可求BE;而乙楼高AC=ED=BD﹣BE.【详解】解:过点A作AE⊥BD,交BD于点E,在Rt△ABE中,AE=30米,∠BAE=30°,∴BE=30×tan30°=103(米),∴AC=ED=BD﹣BE=(36﹣103)(米).∴甲楼高为(36﹣103)米.故选D.【点睛】此题主要考查三角函数的应用,解题的关键是熟知特殊角的三角函数值.考查题型七利用解直角三角形相关知识解决实际问题典例7.(2019·河南许昌市·九年级期末)如图,某消防队在一居民楼前进行演习,消防员利用云梯成功救出点B 处的求救者后,又发现点B 正上方点C 处还有一名求救者.在消防车上点A 处测得点B 和点C 的仰角分别是45°和65°,点A 距地面2.5米,点B 距地面10.5米.为救出点C 处的求救者,云梯需要继续上升的高度BC 约为多少米?(结果保留整数.参考数据:tan65°≈2.1,sin65°≈0.9,cos65°≈0.4,2≈1.4)【答案】云梯需要继续上升的高度BC 约为9米.【分析】过点A 作AM EF ⊥于点M ,AD BC ⊥于点D ,在Rt ABD ∆中,求得AD 的长;在Rt ACD ∆中,求得CD 的长,根据BC=CD-BD 即可求得BC 的长.【详解】过点A 作AM EF ⊥于点M ,AD BC ⊥于点D ,∵CN EF ⊥ ,∴90AMN MND ADN ∠=∠=∠=︒,∴四边形AMND 为矩形.∴ 2.5DN AM ==米.∴10.5 2.58BD BN DN =-=-=(米),由题意可知,45BAD ∠=︒,65CAD ∠=︒,∵AD BC ⊥,∴90ADB ∠=︒,在Rt ABD ∆中,tan BD BAD AD ∠=, ∴88tan tan45BD AD BAD ===∠︒(米). 在Rt ACD ∆中,tan CD CAD AD∠=, ∴tan 8tan658 2.116.8CD AD CAD =⋅∠=︒≈⨯=(米).∴16.888.89BC CD BD =-≈-=≈(米).答:云梯需要继续上升的高度BC 约为9米.【点睛】本题考查解直角三角形﹣仰角俯角问题,添加辅助线,构造直角三角形,建立直角三角形模型是解决问题的关键.变式7-1.(2018·江苏无锡市·九年级期末)如图,为了测量出楼房AC 的高度,从距离楼底C 处603米的点D (点D 与楼底C 在同一水平面上)出发,沿斜面坡度为i=1:3的斜坡DB 前进30米到达点B ,在点B 处测得楼顶A 的仰角为53°,求楼房AC 的高度(参考数据:sin53°≈0.8,cos53°≈0.6,tan53°≈43,计算结果用根号表示,不取近似值).【答案】153+【分析】如图作BN ⊥CD 于N ,BM ⊥AC 于M ,先在RT △BDN 中求出线段BN ,在RT △ABM 中求出AM ,再证明四边形CMBN 是矩形,得CM=BN 即可解决问题.【详解】如图作BN ⊥CD 于N ,BM ⊥AC 于M .在RT △BDN 中,BD=30,BN :ND=13,∴BN=15,DN=153,∵∠C=∠CMB=∠CNB=90°,∴四边形CMBN是矩形,∴CM=BM=15,BM=CN=603153453-=,在RT△ABM中,tan∠ABM=43 AMBM=,∴AM=603,∴AC=AM+CM=15603+.【点睛】构造适当的直角三角形,并应用锐角的三角函数,正确理解坡比的概念.变式7-2.(2018·山西晋中市期末)“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目,其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成,运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离.某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题,请你解答.如图所示,底座上A,B两点间的距离为90cm.低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm,高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm,已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°,高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°.求高、低杠间的水平距离CH的长.(结果精确到1cm,参考数据sin82.4°≈0.991,cos82.4°≈0.132,tan82.4°≈7.500,sin80.3°≈0.983,cos80.3°≈0.168,tan80.3°≈5.850)【答案】高、低杠间的水平距离CH 的长为151cm .【解析】分析:利用锐角三角函数,在Rt △ACE 和Rt △DBF 中,分别求出AE 、BF 的长.计算出EF .通过矩形CEFH 得到CH 的长.详解:在Rt △ACE 中,∵tan ∠CAE=CE AE, ∴AE=()15515521tan tan82.47.5CE cm CAE =≈≈∠︒ 在Rt △DBF 中,∵tan ∠DBF=DF BF, ∴BF=()23423440tan tan80.3 5.85DF cm DBF =≈=∠︒. ∵EF=EA+AB+BF≈21+90+40=151(cm )∵CE ⊥EF ,CH ⊥DF ,DF ⊥EF∴四边形CEFH 是矩形,∴CH=EF=151(cm ).答:高、低杠间的水平距离CH 的长为151cm .点睛:本题考查了锐角三角函数解直角三角形.题目难度不大,注意精确度.。
新人教版九年级数学锐角三角函数教案新人教版九年级数学锐角三角函数教案1一、复习巩固:1、在△ABC中,∠C=90°,∠A=45°,则BC:AC:AB = 。
2、在△ABC中,∠C=90°。
(1)已知∠A=30°,BC=8cm, (2)已知∠A=60°,AC= cm,求:AB与AC的长; 求:AB与BC的长。
二、例题学习:问题1:“五一”节,小明和同学一起到游乐场游玩,游乐场的大型摩天轮的半径为20m,旋转1周需要12min。
小明乘坐最底部的车厢(离地面约0.5m)开始1周的观光,2min后小明离地面的高度是多少(精确到0.1m)?拓展延伸:1、摩天轮启动多长时间后,小明离地面的高度将首次到达10m?2、小明将有多长时间连续保持在离地面20m以上的空中?思考与探索1:如图,东西两炮台A、B相距2000米,同时发现敌舰C,炮台A测得敌舰C在它的南偏东60°的方向,炮台B测得敌舰C在它的正南方,试求敌舰与两炮台的距离。
概念:仰角、俯角的定义如右图,从下往上看,视线与水平线的夹角叫仰角,从上往下看,视线与水平线的夹角叫做俯角。
右图中的∠1就是仰角,∠2就是俯角。
问题2:为了测量停留在空中的气球的高度,小明先站在地面上某点观测气球,测得仰角为30°,然后他向气球方向前进了50m,此时观测气球,测得仰角为45°。
若小明的眼睛离地面1.6m ,小明如何计算气球的高度呢?思考与探索(2):大海中某小岛的周围10km范围内有暗礁。
一艘海轮在该岛的南偏西55°方向的某处,由西向东行驶了20km后到达该岛的南偏西25°方向的另一处。
如果该海轮继续向东行驶,会有触礁的危险吗?三、板演练习1、如图,单摆的摆长AB为90cm,当它摆动到∠BAB'的位置时,∠BAB'=30°。
问这时摆球B'较最低点B升高了多少?2、飞机在一定高度上飞行,先测得正前方某小岛的俯角为30°,飞行10km后,测得该小岛的俯角为60°,求飞机的高度。
人教版九年级数学下册《28.1锐角三角形函数》同步练习题(附答案)学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一、单选题 1.已知A ∠是锐角3sin 5A =,则cos A 的值为( ) A .34B .45C .25D .132.在ABC 中10AB AC ==,2cos 5B =那么BC 的长是( ) A .4 B .8 C .221 D .4213.在ABC 中390,25,sin 5C AB B ∠=︒==,则AC 的长为( ) A .9 B .15 C .18D .12 4.已知在ABC 中90C ∠=︒,BC=3,AB=5,那么下列结论正确的是( )A .3sin 5A =B .3cos 5A =C .3tan 5A =D .3cos 5A = 5.已知锐角α的取值范围是6090α︒<<︒,下列选项可能是cos α近似值的是() A .0.35B .0.67C .0.85D .1.41 6.在ABC 中,a ,b ,c 分别是A B C ∠∠∠,,的对边,90C ∠=︒,下列各式不一定成立的是( )A .tan a b A =B .cos a c B =C .sin a c A =D .tan b a A = 7.如图,将ABC 放在每个小正方形的边长为1的网格中,点A 、B 、C 均在格点上,则tan A 的值是( )A .104B .1C .2D .4108.在ABC 中,AB=10,3tan 4B =如果ABC 的形状和大小都被确定,那么线段AC 的长度不可能为( )A .5B .8C .10D .12.在ABC 中,若角A .45︒ B .60︒ C .75︒ D .105︒二、填空题 .比较大小:tan50° .在ABC 中∠.若三个锐角α48,cos 48,tan 48αβγ===,则,α三、解答题.如图,在ABC 中,(1)求sin B 的值;(2)点E 在AB 上,且2BE AE =,过E 作EF BC ⊥,垂足为点F ,求DE 的长. 参考答案: 1.B 2.B 3.B 4.A 5.A 6.D 7.B 8.A 9.C 10.D 11.< 12.30 13.30° 14.102 15.βαγ<< 16.0 17.(1)0.23, 1.08a c == (2)1.35 18.(1)21313 (2)5。
第5课解直角三角形的应用(1)一、新课学习1.仰角与俯角(1)抬头看时,视线与水平线的夹角叫仰角,图中人眼看点A的仰角=_________;(2)低头看时,视线与水平线的夹角叫俯角,图中人眼看点B的俯角=_________.2.如图,从地面的点C看树顶的仰角为37°,BC=20米,求树高.(参考数据:sin370.60︒≈,︒≈)cos370.753.(例1)如图,小方在五月一日假期中到郊外放风筝,风筝飞到C处时的线长为20米,此时小方正好站在A处,并测得∠CBD=60°,牵引底端B离地面1.5米,求此时风筝离地面的高度.4.如图,小明为了测量学校旗杆CD的高度,在地面A处放置高度为1.5米的测角仪AB,测得旗杆顶端D的仰角为32°,AC为18米,求旗杆CD的高度.(结果精确到1米,参考数据:sin320.5︒≈)︒≈,tan320.65.(例2)热气球探测器显示,从热气球底部A处看一栋高楼顶部的仰角为30°,看这栋楼底部的俯角为60°,热气球A处与高楼的水平距离为120m,这栋高楼有多高?6.小明在楼顶点A处测得对面大楼顶点C处的仰角为60°,楼底点D处的俯角为13°,若两座楼AB与CD相距60米,那么楼CD的高度约为多少米?(结果精确到1米,参考数据:≈)tan130.23︒≈,3 1.73二、过关检测第1关7.如图,某同学在楼房的A处测得荷塘的一端B处的俯角为30°,荷塘另一端D处与C,B 在同一直线上,已知AC=36米,CD=18米,求荷塘宽BD为多少米?8.如图,为测量某物体AB的高度,在D点测得A点的仰角为30°,朝物体AB方向前进20米,到达点C,再次测得点A的仰角为60°,求物体AB的高度.第2关9.如图,从热气球C上测得两建筑物A,B底部的俯角分别为35°和55°,如果这时气球的高度CD为70米,且点A,D,B在同一直线上,求建筑物A,B间的距离.(参考:︒≈)tan350.7010.如图,陈滴用仪器测量一棵大树AB的高度,在C处测得∠ADG=30°,在E处测得∠AFG=60°,CE=8米,仪器高度CD=1.5米,求这棵树AB的高度(结果精确到0.1,3 1.732≈).第3关11.如图,某山顶上建有信号塔AB,在地面D处测得塔尖的仰角∠.ADC=60°,塔底的仰角∠BDC=45°,点D距塔AB的距离DC为100米,求塔AB的高度(结果保留根号).12.如图,浦西对岸的高楼AB,在C处测得楼顶A的仰角为30°,向高楼前进100米到达D处,在D处测得A的仰角为45°,求高楼AB的高.第5课 解直角三角形的应用(1)1.30° (2)70°2.解:tan370.7520AB ABBC ==≈ ∴AB ≈15.故树高15米. 3.解:3sin 60202CD CD BC ︒===∴103CD =又∵103 1.5CE CD DE CD BA =+=+=+ 故此时风筝离地面的高度为(103 1.5+)米 4.解:过点B 作BE ⊥CD 于E ,∵tan320.618DE DE BE ==≈∴DE =10.8米 又∵DC =DE +EC =DE +AB=10.8+1.5=12.3(米) 故旗杆的高度为12.3米. 5.解:根据题意可知AD =120 m ,在Rt △ADC 中,tan 603120CD CDAD ==∴1203CD =在Rt △ABD 中,3tan301203BD BD AD ===∴403BD =m 又∵BC =BD +DC40312031603=+=(m ).故这栋高楼有1603米. 6.解:过点A 作AE ⊥CD 于E ,∵tan 60360CE CEAE ===603CE = 又∵tan130.2360ED EDAE ==≈, ∴ED ≈13.8米∵60313.8118CD CE ED =+=≈(米) 故楼CD 的高度约为118米. 7.解:根据题意可知∠CAB =60° ∴tan 60336BC BCAC ︒==∴3BC = 又∵CD =18米,36318BD BC CD =-=(米)故荷塘宽BD 为(36318)米. 8.解:根据题意可知 ∠DAC =∠ACB ∠D =30° ∴∠DAC =∠D ∴AC =DC =20米又∵sin 6020AB AB AC ===∴AB =故物体AB 的高度为米. 9.解:∵EF //AB ,CD ⊥AB , ∴∠CAD =∠ECA =35° 在Rt △ADC 中,70tan350.70CD AD AD︒==≈ ∴AD ≈100米 又∵∠FCB =55° ∴∠BCD =90°55°=35° 在Rt △BCD 中,tan350.7070BD BDCD ︒==≈ ∴BD ≈49米∴AB =AD +DB =100 +49=149(米) 故建筑物A ,B 间的距离为149米. 10.解:∵∠ADG =30°,∠AFG =60° ∴∠DAF =∠AFG ∠ADG =30° ∴∠ADG =∠DAF ∴DF =AF =CE =8米 又∵在Rt △AGF 中,sin 608AG AG AF ︒===∴AG =米 又∵GB =CD =1.5米∴ 1.58.4AB AG GB =+=≈(米) 故这棵树AB 的高度为8.4米.11.解:∵∠BDC =45°,∴∠CBD =∠BDC =45° ∴BC =CD =100米又∵∠ADC =60°,tan 60100AC ACCD ===∴AC=米又∵AB=ACBC,∴100AB=故塔AB的高度为(100)米.12. 解:∵∠ADB=∠BAD=45°设AB=BD=x米∴BC=CD+BD=(100+x)米在Rt△ABC中,∠ACB=30°∴tanAB ACBBC ∠=∴。
C B ACBCBA新课标人教版初中数学九年级下册第28章《锐角三角函数》新疆巴州库尔勒市和什力克乡中学 司马义.苏来曼第一课时 课题:第28章 锐角三角函数28.1锐角三角函数(1) ——正弦【学习目标】⑴: 经历当直角三角形的锐角固定时,它的对边与斜边的比值都固定(即正弦值不变)这一事实。
⑵: 能根据正弦概念正确进行计算 【学习重点】理解正弦(sinA )概念,知道当直角三角形的锐角固定时,它的对边与斜边的比值是固定值这一事实. 【学习难点】当直角三角形的锐角固定时,,它的对边与斜边的比值是固定值的事实。
【导学过程】 一、自学提纲:1、如图在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,BC=10m ,•求AB2、如图在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,AB=20m ,•求BC二、合作交流:问题: 为了绿化荒山,某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管,•在山坡上修建一座扬水站,对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°,为使出水口的高度为35m ,那么需要准备多长的水管?思考1:如果使出水口的高度为50m ,那么需要准备多长的水管? ; 如果使出水口的高度为a m ,那么需要准备多长的水管? ;结论:直角三角形中,30°角的对边与斜边的比值思考2:在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A=45°,∠A 对边与斜边的比值是一个定值吗?•斜边c对边abC B (2)1353CB A(1)34CB A如果是,是多少?结论:直角三角形中,45°角的对边与斜边的比值三、教师点拨:从上面这两个问题的结论中可知,•在一个Rt △ABC 中,∠C=90°,当∠A=30°时,∠A 的对边与斜边的比都等于12,是一个固定值;•当∠A=45°时,∠A 的对边与斜边的比也是一个固定值.这就引发我们产生这样一个疑问:当∠A 取其他一定度数的锐角时,•它的对边与斜边的比是否也是一个固定值?探究:任意画Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′,使得∠C=∠C ′=90°, ∠A=∠A ′=a ,那么''''BC B C AB A B 与有什么关系.你能解释一下吗?结论:这就是说,在直角三角形中,当锐角A 的度数一定时,不管三角形的大小如何,•∠A 的对边与斜边的比 正弦函数概念:规定:在Rt △BC 中,∠C=90,∠A 的对边记作a ,∠B 的对边记作b ,∠C 的对边记作c .在Rt △BC 中,∠C=90°,我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦, 记作sinA ,即sinA= =a c . sinA =A aA c∠=∠的对边的斜边 例如,当∠A=30°时,我们有sinA=sin30°=;当∠A=45°时,我们有sinA=sin45°= . 四、学生展示:例1 如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,求sinA 和sinB 的值.随堂练习 (1): 做课本第79页练习.随堂练习 (2):1.三角形在正方形网格纸中的位置如图所示,则sin α的值是﹙ ﹚A .43 B .34 C .53 D .542.如图,在直角△ABC 中,∠C =90o,若AB =5,AC =4,则sinA =( )A .35B .45C .34D .433. 在△ABC 中,∠C=90°,BC=2,sinA=23,则边AC 的长是( )A .13B .3C .43D . 54.如图,已知点P 的坐标是(a ,b ),则sin α等于( )A .a bB .ba CD五、课堂小结:在直角三角形中,当锐角A 的度数一定时,不管三角形的大小如何,∠A •的对边与斜边的比都是 .在Rt △ABC 中,∠C=90°,我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A •的 ,•记作 ,六、作业设置:课本 第85页 习题28.1复习巩固第1题、第2题.(只做与正弦函数有关的部分)七、自我反思:本节课我的收获: 。
第二十八章 锐角三角函数28.1 锐角三角函数第1课时 正弦01基础题知识点1 已知直角三角形的边长求锐角的正弦值如图,在Rt△ABC 中,∠C =90°,我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记作sin A ,即sin A =∠A 的对边斜边=ac.1.(某某中考)在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC =12,BC =5,则sin A 的值为(D )A.512B.125 C.1213D.5132.已知△ABC 中,AC =4,BC =3,AB =5,则sin A =(A )A.35B.45C.53D.343.如图,在平面直角坐标系中,点A 的坐标为(4,3),那么sin α的值是(A )A.35B.45C.34D.43第3题图 第4题图4. 如图,网格中的每一个正方形的边长都是1,△ABC 的每一个顶点都在网格的交点处,则sin A =35.5.如图,在Rt △ABC 中,CD 是斜边AB 上的中线,已知CD =2,AC =3,则sin B 的值是34.6.根据图中数据,求sin C 和sin B 的值.解:在Rt△ABC 中,BC =AB 2+AC 2=34, ∴sinC =AB BC =53434,sinB =AC BC =33434.7.如图所示,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,a∶c=2∶3,求sin A 和sin B 的值.解:在Rt△ABC 中,∠ACB =90°,a∶c =2∶3,设a =2k ,c =3k.(k>0)∴b =c 2-a 2=5k. ∴sinA =a c =2k 3k =23,sinB =b c =5k 3k =53.知识点2 已知锐角的正弦值,求直角三角形的边长8.(来宾中考)在△ABC 中,∠C=90°,BC =6,sin A =23,则AB 边的长是9.9.(某某中考)在△ABC 中,AB =AC =5,sin ∠ABC=0.8,则BC =6.易错点 对正弦的概念理解不清10.把△ABC 三边的长度都扩大为原来的3倍,则锐角A 的正弦值(A )A .不变B .缩小为原来的13C .扩大为原来的3倍D .不能确定02中档题11.已知Rt △ABC∽Rt △A′B′C′,∠C=∠C′=90°,且AB =2A′B′,则sin A 与sin A′的关系为(B )A .sin A =2sin A ′ B.sin A =sin A ′ C .2sin A =sin A ′ D.不确定12.如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB =2BC ,则sin B 的值为(C )A.12B.22C.32D .1 13.在△ABC 中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C 的对边分别为a ,b ,c ,c =3a ,则sin A 的值是(A )A.13B.233 C .3 D .以上都不对14.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为点 D.若AC =5,BC =2,则sin ∠ACD 的值为(A )A.53 B.255 C.52 D.23第14题图 第16题图15.已知锐角A 的正弦sin A 是一元二次方程2x 2-7x +3=0的根,则sin A =12.16.(某某中考)如图,⊙O 的直径CD =10 cm ,且AB⊥CD,垂足为P ,AB =8 cm ,则sin ∠OAP=35.17.如图,直径为10的⊙A 经过点C(0,5)和点O(0,0),B 是y 轴右侧⊙A 优弧OC 上一点,求∠OBC 的正弦值.解:连接OA 并延长交⊙A 于点D ,连接CD.∴∠OBC =∠ODC, ∠OCD =90°.∴sin∠OBC =sin∠ODC =OC OD =510=12.03综合题18.(某某中考)如图,根据图中数据完成填空,再按要求答题:sin 2A 1+sin 2B 1=1;sin 2A 2+sin 2B 2=1;sin 2A 3+sin 2B 3=1.(1)观察上述等式,猜想:在Rt△ABC 中,∠C =90°,都有sin 2A +sin 2B =1;(2)如图4,在Rt△ABC 中,∠C =90°,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别是a ,b ,c ,利用三角函数的定义和勾股定理,证明你的猜想;(3)已知:∠A +∠B =90°,且sin A =513,求sin B .解:(2)∵在Rt△ABC 中,∠C =90°,sinA =a c ,sinB =b c ,∴sin 2A +sin 2B =a 2+b 2c2.∵∠C =90°, ∴a 2+b 2=c 2. ∴sin 2A +sin 2B =1.(3)∵sinA =513,sin 2A +sin 2B =1,且sinB >0,∴sinB =1-(513)2=1213.第2课时 锐角三角函数01基础题 知识点1 余弦如图,在Rt△ABC 中,∠C =90°,我们把锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记作cos A ,即cos A =∠A 的邻边斜边=bc.1.(某某中考)如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB =5,BC =3,则cos B 的值是(A )A.35B.45C.34D.432.在Rt △ABC 中,∠C=90°,cos A =35,AC =6 cm ,那么BC 等于(A )A .8 cm B.245 cmC.185 cm D.65cm 3.在△ABC 中,∠C=90°,AC =2,BC =1,求cos A 和cos B 的值.解:∵∠C =90°,AC =2,BC =1,∴AB =AC 2+BC 2=22+12= 5.cosA =AC AB =25=255,cosB =BC AB =15=55.知识点2 正切如图,在Rt△ABC 中,∠C =90°,我们把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切,记作tan A ,即tan A =∠A 的对边∠A 的邻边=a b.4.(某某中考)在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB =5,BC =3,则tan A 的值是(A )A.34B.43C.35D.455.在4×4的正方形的网格中画出了如图所示的格点△ABC,则tan ∠ABC 的值为(D )A.31313 B.21313 C.32 D.23第5题图 第6题图6.(某某中考)如图,在△ABC 中,∠C=90°,AC =2,BC =1,则tan A 的值是12.7.已知等腰三角形的腰长为6 cm ,底边长为10 cm ,则底角的正切值为115.知识点3 锐角三角函数∠A 的正弦、余弦、正切都是∠A 的锐角三角函数.8.(某某中考)如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,BC =15,tan A =158,则AB =17.第8题图 第9题图9.(崇左中考)如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB =13,BC =12,则下列三角函数表示正确的是(A )A .sin A =1213B .cos A =1213C .tan A =512D .tan B =12510.在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC =7,BC =24.(1)求AB 的长;(2)求sin A ,cos A ,tan A 的值. 解:(1)由勾股定理,得AB =AC 2+BC 2=72+242=25.(2)sinA =BC AB =2425,cosA =AC AB =725,tanA =BC AC =247.02中档题11.在△ABC 中,若三边BC ,CA ,AB 满足BC∶CA∶AB=5∶12∶13,则cos B =(C )A.512 B.125C.513 D.121312.(某某中考)在Rt △ABC 中,∠C=90°,若sin A =35,则cos B 的值是(B )A.45B.35C.34D.4313.将△AOB 按如图所示放置,然后绕点O 逆时针旋转90°至△A′OB′的位置,点A 的坐标为(2,1),则tan ∠A′OB′的值为(A )A.12B .2 C.55 D.255第13题图 第14题图14.(某某中考)如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,AC =8,BC =6,CD⊥AB ,垂足为D ,则tan ∠BCD 的值是34.15.(某某中考)如图,在半径为3的⊙O 中,直径AB 与弦CD 交于点E ,连接AC ,B D.若AC =2,则cos D =13.16.(某某中考)如图,在△ABC 中,CD⊥AB,垂足为D.若AB =12,CD =6,tan A =32,求sin B +cos B 的值.解:在Rt△ACD 中,CD =6,tanA =32,∴CD AD =6AD =32,即AD =4. 又AB =12,∴BD =AB -AD =8.在Rt△BCD 中,BC =CD 2+BD 2=10.∴sinB =CD BC =610=35,cosB =BD BC =810=45.∴sinB +cosB =35+45=75.17.如图,将矩形ABCD 沿CE 折叠,点B 恰好落在边AD 的F 处,如果AB BC =23,求tan ∠DCF 的值.解:∵四边形ABCD 是矩形,∴AB =CD ,∠D =90°. ∵AB BC =23,且由折叠知CF =BC , ∴CD CF =23.设CD =2x ,CF =3x (x>0),∴DF =CF 2-CD 2=5x. ∴tan∠DCF =DF CD =5x 2x =52.03综合题18.如图,定义:在直角三角形ABC 中,锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切,记作c tan α,即c tan α=角α的邻边角α的对边=ACBC,根据上述角的余切定义,解下列问题:(1)c tan 30°=3;(2)如图,已知tan A =34,其中∠A 为锐角,试求c tan A 的值.解:∵tanA =34,且tanA =BC AC,∴设BC =3x ,AC =4x. ∴ctanA =AC BC =4x 3x =43.第3课时 特殊角的三角函数值01基础题知识点1 特殊角的三角函数值填写下表:30° 45° 60° sin α 12 22 32 cosα 32 22 12 tanα33131.已知∠A=30°,下列判断正确的是(A )A .sin A =12B .cos A =12C .tan A =12D .cot A =122.计算:cos 230°=(D )A.12B.14C.32D.34 3.(某某中考)计算:cos 245°+sin 245°=(B )A.12B .1 C.14 D.224.计算:tan 45°+2cos 45°=2. 5.计算:(1)sin 30°+cos 45°; 解:原式=12+22=1+22.(2)cos30°·tan30°-tan 245°; 解:原式=32×33-12=12-1=-12. (3)22sin45°+sin60°·cos45°. 解:原式=22×22+32×22=2+64.知识点2 由三角函数值求特殊角6.(某某中考)在△ABC 中,若|sin A -12|+(cos B -12)2=0,则∠C 的度数是(D )A .30° B.45° C.60° D.90° 7.如果在△ABC 中,sin A =cosB =22,那么下列最确切的结论是(C ) A .△ABC 是直角三角形 B .△ABC 是等腰三角形 C .△ABC 是等腰直角三角形 D .△ABC 是锐角三角形8.已知α为锐角,且cos (90°-α)=12,则α=30°.9.在△ABC 中,∠C=90°,AC =2,BC =23,则∠A=60°.知识点3 用计算器计算三角函数值10.用计算器计算cos 44°的结果(精确到0.01)是(B )A .0.90B .0.72C .0.6911.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,∠ABC=26°,BC =5.若用科学计算器求边AC 的长,则下列按键顺序正确的是(D )A .5÷tan26°=B .5÷sin26°=C .5×cos26°=D .5×tan26°=12.利用计算器求∠A =18°36′的三个锐角三角函数值.解:sinA =sin18°36′≈0.319 0,cosA =cos18°36′≈0.947 8, tanA =tan18°36′≈0.336 5.13.已知下列正(余)弦值,用计算器求对应的锐角(精确到0.1°).(1)sin α=0.822 1; 解:α≈55.3°.(2)cos β=0.843 4. 解:β≈32.5°.02中档题14.点M(-sin 60°,cos 60°)关于x 轴对称的点的坐标是(B )A.(32,12) B.(-32,-12)C.(-32,12) D.(-12,-32)15.李红同学遇到了这样一道题:3tan(α+20°)=1,你猜想锐角α的度数应是(D)A.40° B.30° C.20° D.10°16.如图,以O为圆心,任意长为半径画弧,与射线OA交于点B,再以B为圆心,BO长为半径画弧,两弧交于点C,画射线OC,则sin∠AOC的值为(D)A.12B.33C.22D.3217.菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,∠AOC=45°,OC=2,则点B的坐标为(C) A.(2,1) B.(1,2)C.(2+1,1) D.(1,2+1)第17题图第18题图18.(某某中考)如图,C为⊙O外一点,CA与⊙O相切,切点为A,AB为⊙O的直径,连接C B.若⊙O的半径为2,∠ABC=60°,则BC=8.19.计算:(1)(某某中考改编)2 0180+(-1)2-2tan45°+4;解:原式=1+1-2×1+2=2.(2)(-1)-2+|2-3|+(π-3.14)0-tan60°+8.解:原式=1+(3-2)+1-3+2 2=2+ 2.20.若tan A 的值是方程x 2-(1+3)x +3=0的一个根,求锐角A 的度数.解:解方程x 2-(1+3)x +3=0, 得x 1=1,x 2= 3.由题意知tanA =1或tanA = 3.∴∠A =45°或60°.21.(原创题)如图,在等腰△ABC 中,AB =AC =1.(1)若BC =2,求△ABC 三个内角的度数; (2)若BC =3,求△ABC 三个内角的度数.解:(1)∵AB =AC =1,BC =2,∴AB 2+AC 2=BC 2.∴∠BAC =90°,∠B =∠C =45°.(2)过点A 作AD⊥BC,垂足为D.∵AB =AC =1,AD⊥BC, ∴BD =12BC =32.∴cosB =BD AB =321=32.∴∠B =30°.∴∠C =30°,∠BAC =120°.03综合题22.(某某中考)一般地,当α,β为任意角时,sin (α+β)与sin (α-β)的值可以用下面的公式求得:sin (α+β)=sin α·cos β+cos α·sin β;sin (α-β)=sin α·cos β-cos α·sin β.例如:sin 90°=sin (60°+30°)=sin 60°·cos 30°+cos 60°·sin 30°=32×32+12×12=1.类似地,可以求得sin 15°的值是6-24. 解直角三角形及其应用 28. 解直角三角形01基础题知识点1 已知两边解直角三角形如图,已知两边:(1)已知a ,b ,则c =a 2+b 2,sin A =cos B =a c,sin B =cos A =bc ,tan A =a b ,tan B =b a;(2)已知a ,c ,则b =c 2-a 2,sin A =cos B =a c ,sin B =cos A =b c ,tan A =a b ,tan B =b a. 1.在△ABC 中,∠C=90°,AC =3,AB =4,欲求∠A 的值,最适宜的做法是(C )A .计算tan A 的值求出B .计算sin A 的值求出C .计算cos A 的值求出D .先根据sin B 求出∠B ,再利用90°-∠B 求出2.在Rt △ABC 中,∠C=90°,a =4,b =3,则cos A 的值是(A )A.35B.45C.43D.543.在Rt △ABC 中,∠C=90°,a =20,c =202,则∠A=45°,∠B =45°,b =20. 4.如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,已知BC =26,AC =62,解此直角三角形.解:∵tanA =BC AC =2662=33,∴∠A =30°.∴∠B =90°-∠A =90°-30°=60°,AB =2BC =4 6.知识点2 已知一边一锐角解直角三角形如图,已知一边一角:(1)已知a ,∠A ,则∠B =90°-∠A ,c =a sinA ,b =a tanA; (2)已知c ,∠A ,则∠B =90°-∠A ,a =c·sinA .5.(某某中考)如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠B=30°,AB =8,则BC 的长是(D )A.433B .4C .8 3D .4 36.在Rt △ABC 中,∠C=90°,tan A =43,BC =8,则△ABC 的面积为(C )A .12B .18C .24D .487.(某某中考)如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠B=37°,BC =32,则AC =24.(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)8.(教材9下P 73例2变式)如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠B=55°,AC =4,解此直角三角形.(结果保留小数点后一位)解:根据题意,∠A =90°-∠B =90°-55°=35°. 根据正弦定义,sinB =AC AB,则AB =AC sinB =4sin55°≈4.9.根据正切的定义,tanB =AC BC,则BC =AC tanB =4sin55°≈2.8.所以△ABC 的另一个锐角度数为35°,另一条直角边长为2.8,斜边长为4.9. 易错点 忽视钝角三角形而致错9.在△ABC 中,AB =23,AC =2,∠B=30°,则BC 的长为2或4.02中档题10. 如图,在△AB C 中,∠C=90°,AC =8 cm ,AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ,连接BD ,若cos ∠BDC=35,则BC的长是(A )A .4 cmB .6 cmC .8 cmD .10 cm11.(某某中考)在△ABC 中,AB =122,AC =13,cos B =22,则BC 边长为(D )A .7B .8C .8或17D .7或1712.(某某中考)如图,在△ABC 中,AC =6,BC =5,sin A =23,则tan B =43.第12题图 第13题图13.(某某中考)如图,在菱形ABCD 中,DE⊥AB 于点E ,cos A =35,BE =4,则tan ∠DBE 的值是2.14.(某某中考)如图,在△ABC 中,BD⊥AC,AB =6,AC =53,∠A=30°.(1)求BD 和AD 的长; (2)求tan C 的值.解:(1)∵BD⊥AC,∴∠ADB =∠BDC =90°.在Rt△ADB 中,AB =6,∠A =30°,∴BD =12AB =3.∴AD =3BD =3 3.(2)CD =AC -AD =53-33=23, 在Rt△BDC 中,tanC =BD CD =323=32.15.(某某中考)如图,在四边形ABCD 中,∠ABC=90°,∠ADC=90°,AB =6,CD =4,BC 的延长线与AD 的延长线交于点E.(1)若∠A=60°,求BC 的长; (2)若sin A =45,求AD 的长.解:(1)∵在Rt△ABE 中,∠ABE =90°,∠A =60°,AB =6,tanA =BE AB,∴BE =6·tan60°=6 3.∵在Rt△CDE 中,∠CDE =90°,∠E =90°-60°=30°, CD =4, ∴CE =2CD =8.∴BC =BE -CE =63-8.(2) ∵在Rt△ABE 中,∠ABE =90°,sinA =45,∴BE AE =45. 设BE =4x ,则AE =5x (x >0).∵AE 2-BE 2=AB 2,∴(5x )2-(4x )2=62.∴x =2. ∴BE =8,AE =10.∵在Rt△CDE 中,∠CDE =90°,CD =4,tanE =CD ED ,而在Rt△ABE 中,tanE =AB BE =68=34,∴CD ED =34. ∴ED =43CD =163.∴AD =AE -ED =143.03综合题16. 如图,在△ABC 中,CD 是边AB 上的中线,∠B 是锐角,且sin B =22,tan A =12,AC =3 5. (1)求∠B 的度数与AB 的长; (2)求tan ∠CDB 的值.解:(1)作CE⊥AB 于E ,设CE =x , 在Rt△ACE 中,∵tanA =CE AE =12,∴AE =2x.∴AC =x 2+(2x )2=5x. ∴5x =35,解得x =3. ∴CE =3,AE =6.在Rt△BCE 中,∵sinB =22, ∴∠B =45°.∴△BCE 为等腰直角三角形. ∴BE =CE =3. ∴AB =AE +BE =9.(2)∵CD 是边AB 上的中线,∴BD =12AB =4.5.∴DE =BD -BE =-3=1.5. ∴tan∠CDE =CEDE=错误!=2,即tan∠CDB 的值为2.28.2.2 应用举例第1课时 与视角有关的解直角三角形应用题01基础题知识点1 利用解直角三角形解决简单问题1. 如图,厂房屋顶人字形(等腰三角形)钢架的跨度BC =10米,∠B=36°,则中柱AD(D 为底边中点)的长是(C )A .5sin36°米B .5cos36°米C .5tan36°米D .10tan36°米第1题图 第2题图2.(教材9下P 74例3变式)如图,某航天飞船在地球表面P 点的正上方A 处,从A 处观测到地球上的最远点Q.若∠QAP=α,地球半径为R ,则航天飞船距离地球表面最近距离AP =Rsinα-R. 3.(某某中考)为解决江北学校学生上学过河难的问题,乡政府决定修建一座桥,建桥过程中需测量河的宽度(即两平行河岸AB 与MN 之间的距离).如图,在测量时,选定河对岸MN 上的点C 处为桥的一端,在河岸点A 处,测得∠CAB =30°,沿河岸AB 前行30米后到达B 处,在B 处测得∠CBA=60°.请你根据以上测量数据求出河的宽度.(参考数据:2≈1.41,3≈1.73;结果保留整数)解:过点C 作CD⊥AB,垂足为D.∵∠CAB =30°, ∴AD =3CD. ∵∠CBA =60°,∴DB =33CD. ∵AB =AD +DB =30,∴3CD +33CD =30. ∴CD =1523=152×1.73≈13(米).答:河的宽度约为13米.知识点2 解与视角有关的实际问题4.(教材9下P 75例4变式)(某某中考)如图,热气球的探测器显示,从热气球A 处看一栋楼顶部B 处的仰角为30°,看这栋楼底部C 处的俯角为60°,热气球A 处与楼的水平距离为120 m ,则这栋楼的高度为(A )A .160 3 mB .120 3 mC .300 mD .160 2 m5.(某某中考)如图,两幢建筑物AB 和CD ,AB⊥BD,CD⊥BD,AB =15 m ,CD =20 m ,AB 和CD 之间有一景观池,小南在A 点测得池中喷泉处E 点的俯角为42°,在C 点测得E 点的俯角为45°(点B ,E ,D 在同一直线上),求两幢建筑物之间的距离BD(结果精确到0.1 m ,参考数据:sin 42°≈0.67,cos 42°≈0.74,tan 42°≈0.90)解:由题意,得∠AEB =42°,∠DEC =45°.∵AB⊥BD,CD⊥BD,∴在Rt△ABE 中,∠ABE =90°. ∵AB =15,∠AEB =42°, tan∠AEB =ABBE ,∴BE =15tan42°=503.在Rt△DEC 中,∠CDE =90°,∠DEC =45°,CD =20.∴ED =CD =20.∴BD =BE +ED =503+(m ).答:两幢建筑物之间的距离BD 约为36.7 m.易错点 混淆三点函数的数量关系而导致错误6.(某某中考)如图,为测量一棵与地面垂直的树OA 的高度,在距离树的底端30米的B 处,测得树顶A 的仰角∠ABO 为α,则树OA 的高度为(C )A.30tanα米 B .30sinα米 C .30tanα米 D .30cosα米 02中档题7. (某某中考)某某市某消防支队在一幢居民楼前进行消防演习,如图所示,消防官兵利用云梯成功救出在C处的求救者后,发现在C处正上方17米的B处又有一名求救者,消防官兵立刻升高云梯将其救出,已知点A与居民楼的水平距离是15米,且在A点测得第一次施救时云梯与水平线的夹角∠CAD=60°,求第二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD的度数(结果精确到1°).解:延长AD交BC所在直线于点E.由题意,得BC=17米,AE=15米,∠CAE=60°,∠AEB=90°,在Rt△ACE中,tan∠CAE=CE AE ,∴CE=AE·tan60°=153米.在Rt△ABE中,tan∠BAE=BEAE=17+15315,∴∠BAE≈71°.答:第二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD约为71°.8.(某某中考)乌江快铁大桥是快铁渝黔线的一项重要工程,由主桥AB和引桥BC两部分组成(如图所示),建造前工程师用以下方式做了测量:无人机在A处正上方97 m处的P点,测得B处的俯角为30°(当时C处被小山体阻挡无法观测),无人机飞行到B处正上方的D处时能看到C处,此时测得C处俯角为80°36′.(1)求主桥AB的长度;(2)若两观察点P、D的连线与水平方向的夹角为30°,求引桥BC的长.(长度均精确到1 m,参考数据:3≈1.73,sin80°36′≈0.987,cos80°36′≈0.163,tan80°36′≈6.06)解:(1)由题意知∠ABP=30°,AP=97,∴AB=APtan∠ABP =97tan30°=9733=973≈168.答:主桥AB的长度约为168 m.(2)∵∠ABP=30°,AP=97,∴PB=2PA=194.又∵∠DBC=∠DBA=90°,∠PB A=30°,∴∠DBP=∠DPB=60°.∴△PBD是等边三角形.∴DB=PB=194.在Rt△BCD中,∵∠C=80°36′,∴BC=DBtanC =194tan80°36′≈32.答:引桥BC的长约为32 m.03综合题9.(六盘水中考)为践行党的群众路线,六盘水市教育局开展了大量的教育教学实践活动.如图是其中一次“测量旗杆高度”的活动场景抽象出的平面几何图形.活动中测得数据如下:①小明的身高DC=1.5米;②小明的影长CE=1.7米;③小明的脚到旗杆底部的距离BC=9米;④旗杆的影长BF=7.6米;⑤从D点看A点的仰角为30°.请你选择需要的数据,求出旗杆的高度.(计算结果精确到0.1米,参考数据:2≈1.414,3≈1.732)情况一:选用①,②,④.∵AB⊥FC,CD⊥FC,∴∠ABF=∠DCE=90°.又∵AF∥DE,∴∠AFB=∠DEC.则△ABF∽△DCE.∴ABDC=FBEC.又∵DC =1.5 m ,FB =7.6 m ,EC =1.7 m ,∴AB≈6.7 m.即旗杆高度约为6.7 m. 情况二: 选用①,③,⑤. 过D 点作DG⊥AB 于G 点, ∵AB⊥FC,DC⊥FC,∴四边形BCDG 为矩形. ∴CD =BG =1.5 m ,DG =BC =9 m.在Rt△AGD 中,∠ADG =30°,tan30°=AG DG,∴AG =3 3 m.又AB =AG +GB ,∴AB =33+(m).∴旗杆高度约为6.7 m.第2课时 与方位角、棱角有关的解直角三角形应用问题01基础题知识点1 解与方位角有关的实际问题1.如图,小雅家(图中点O 处)门前有一条东西走向的公路,经测得有一水塔(图中点A 处)在距她家北偏东60°方向的500米处,那么水塔所在的位置到公路的距离AB 是(A )A .250米B .2503米 C.50033米 D .5002米第1题图 第2题图2.如图,我国的一艘海监船在钓鱼岛A 附近沿正东方向航行,船在B 点时测得钓鱼岛A 在船的北偏东60°方向,船以50海里/时的速度继续航行2小时后到达C点,此时钓鱼岛A在船的北偏东30°方向.则船继续航行50海里与钓鱼岛A的距离最近.3.(某某中考)小亮一家在一湖泊中游玩,湖泊中有一孤岛,妈妈在孤岛P处观看小亮与爸爸在湖中划船(如图所示).小船从P处出发,沿北偏东60°方向划行200米到A处,接着向正南方向划行一段时间到B处.在B处小亮观测到妈妈所在的P处在北偏西37°的方向上,这时小亮与妈妈相距多少米?(精确到1米,参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,2≈1.41,3≈1.73)解:过P作PC⊥AB于C,在Rt△APC中,AP = 200 m,∠ACP =90°,∠PAC =60°.∴PC= 200×sin60°=200 ×32=1003(m).∵在Rt△PBC中,sin37°=PCPB ,∴PB=PCsin37°=错误!≈288(m).答:小亮与妈妈相距约288米.知识点2解与坡角有关的实际问题4.(聊城中考)河堤横断面如图所示,堤高BC=6米,迎水坡AB的坡比为1∶3,则AB的长为(A) A.12米 B.43米C.53米 D.63米第4题图第5题图5.如图,在坡度为1∶2的山坡上种树,要求株距(相邻两树间的水平距离)是6米,斜坡上相邻两树间的坡面距离是35米.6.(教材9下P77练习T2变式)如图,一水库大坝的横断面为梯形ABCD,坝顶BC宽6米,坝高20米,斜坡AB的坡度i=1∶2.5,斜坡CD的坡角为30°,求坝底AD的长度.(精确到0.1米,参考数据:2≈1.414,3≈1.732.提示:坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比)解:作BE⊥AD,CF⊥AD,垂足分别为点E,F,则四边形BCFE是矩形.由题意得,BC=EF=6米,BE=CF=20米,斜坡AB的坡度i为1∶2.5,在Rt△ABE中,BEAE=错误!,∴AE=50米.在Rt△CFD中,∠D=30°,∴DF=3CF=203米.∴AD=AE+EF+FD=50+6+203(米).答:坝底AD的长度约为米.02中档题7.(某某中考)如图,一艘轮船航行到B处时,测得小岛A在船的北偏东60°的方向,轮船从B处继续向正东方向航行200海里到达C处时,测得小岛A在船的北偏东30°的方向.已知在小岛周围170海里内有暗礁,若轮船不改变航向继续向前行驶,试问轮船有无触礁的危险?(3≈1.732)解:该轮船不改变航向继续前行,没有触礁危险.理由如下:由题意,得∠ABD=30°,∠ACD=60°.∴∠CAB=∠ABD.∴BC =AC =200海里.在Rt△ACD 中,设CD =x ,则AC =2x ,AD =AC 2-CD 2=(2x )2-x 2=3x. 在Rt△ABD 中,AB =2AD =23x ,BD =AB 2-AD 2=(23x )2-(3x )2=3x.又∵BD =BC +CD ,∴3x =200+x ,解得x =100.∴AD =3x =1003≈173.2.海里>170海里,且D 处距离A 处最近,∴轮船不改变航向继续向前行驶,轮船无触礁的危险.8.(某某中考)“蘑菇石”是我省著名自然保护区梵净山的标志,小明从山脚B 点先乘坐缆车到达观景平台DE 观景,然后再沿着坡角为29°的斜坡由E 点步行到达“蘑菇石”A 点,“蘑菇石”A 点到水平面BC 的垂直距离为1 790 m .如图,DE∥BC,BD =1 700 m ,∠DBC=80°,求斜坡AE 的长度.(结果精确到0.1 m )解:过点D 作DF⊥BC 于点F ,延长DE 交AC 于点M. 由题意,得EM ⊥AC,DF =CM ,∠AEM =29°, 在Rt△DFB 中,sin80°=DFBD,∴DF =BDsin80°.AM =AC -CM =1 790-1 700sin80°.在Rt△AME 中,sin29°=AM AE,∴AE =AM sin29°=1 790-1 700sin80°sin29°(m ),答:斜坡的长度约为238.9 m. 03综合题9.(黔东南中考)黔东南州某校吴老师组织九(1)班同学开展数学活动,带领同学测量学校附近一电线杆的高,如图,已知电线杆直立于地面上,某天在太阳光的照射下,电线杆的影子(折线BCD)恰好落在水平地面和斜坡上,在D 处测得电线杆顶端A 的仰角为30°,在C 处测得电线杆顶端A 的仰角为45°,斜坡与地面成60°角,CD =4 m ,请你根据这些数据求电线杆的高(AB).(结果精确到1 m ,参考数据:2≈1.4,3≈1.7)解:延长AD交BC的延长线于点G,过点D作DH⊥BG,垂足为点H,则∠G=30°.∵在Rt△DHC中,∠DCH=60°,CD=4,∴C H=CD·cos∠DCH=4×cos60°=2.DH=CD·sin∠DCH=4×sin60°=2 3.又∵DH⊥BG,∠G=30°,∴HG=DHtanG =23tan30°=6.∴CG=CH+HG=2+6=8.设AB=x m.又∵AB⊥BG,∠G=30°,∠BCA=45°,∴BC=x.∴BG=ABtanG =xtan30°=3x.∵BG-BC=CG,∴3x-x=8.解得x≈11 m.答:电线杆的高(AB)约为11 m.小专题17解直角三角形的实际应用1.(某某月考)如图,在一次测量活动中,小华站在离旗杆底部(B)处6 m的D处,仰望旗杆顶端A,测得仰角为60°,眼睛离地面的距离ED为1.5 m.试帮助小华求出旗杆AB的高度.(结果精确到0.1 m,3≈1.732)解:过点E作EC⊥AB于C.∵CE=BD=6 m,∠AEC=60°,∴AC=CE·tan60°=6×3=63(m).∴AB=AC+DE=+=(m).答:旗杆AB的高度约为11.9 m.2.钓鱼岛自古以来就是中国的神圣领土,为宣誓主权,我国海监船编队奉命在钓鱼岛附近海域进行维权活动,如图,一艘海监船以30海里/小时的速度向正北方向航行,海监船在A处时,测得钓鱼岛C在该船的北偏东30°方向上,航行半小时后,该船到达点B处,发现此时钓鱼岛C与该船距离最短.(1)请在图中作出该船在点B处的位置;(2)求钓鱼岛C到B处距离(结果保留根号).解:(1)如图.(2)AB=30×=15(海里).在Rt△ABC中,tan∠BAC=BC AB ,∴BC=AB·tan∠BAC=AB·tan30° =15×33=53(海里).答:钓鱼岛C 到B 处距离为53海里.3.(某某中考)为促进我市经济快速发展,加快道路建设,某高速公路建设工程中,需修建隧道A B.如图,在山外一点C 测得BC 距离为200 m ,∠CAB =54°,∠CBA =30°,求隧道AB 的长.(参考数据: sin54°≈0.81,cos54°≈0.59,tan54°≈1.38,3≈1.73,结果精确到个位)解:过点C 作CD⊥AB 于D ,在Rt△BCD 中,∵∠B =30°,BC =200,∴CD =12BC =100,BD =1003≈173.在Rt△ACD 中,∵tan∠CAB =CD AD ,∴AD =100tan54°≈72.∴AB =AD +BD≈245.答:隧道AB 的长约为245米.4.(黔东南中考)如图,某校教学楼AB 后方有一斜坡,已知斜坡CD 的长为12米,坡角α为60°,根据有关部门的规定,∠α≤39°时,才能避免滑坡危险,学校为了消除安全隐患,决定对斜坡CD 进行改造,在保持坡脚C 不动的情况下,学校至少要把坡顶D 向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全?(结果取整数)(参考数据:sin 39°≈0.63,cos 39°≈0.78,tan 39°≈0.81,2,3≈1.73,4≈2.24)解:假设点D 移到D′的位置时,恰好∠α=39°,过点D 作DE⊥AC 于点E ,作D′E′⊥AC 于点E′,∵CD =12米,∠DCE =60°, ∴DE =CD·sin60°=12×32=63(米), CE =CD·cos60°=12×12=6(米).易知:四边形DEE′D′是矩形.∴DE =D′E′=63米. ∵∠D′CE′=39°,∴CE′=D′E′tan39°≈错误!≈12.8,∴EE′=CE′-CE =-6=(米). ∴DD′=EE′=米.答:学校至少要把坡顶D 向后水平移动米才能保证教学楼的安全.5.(某某中考)如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图.已知BC =4米,AB =6米,中间平台宽度DE =1米,EN ,DM ,CB 为三根垂直于AB 的支柱,垂足分别为N ,M ,B ,∠EAB=31°,DF⊥BC 于F ,∠CDF=45°.求DM 和BC 的水平距离BM 的长度.(结果精确到0.1米,参考数据:sin 31°≈0.52,cos 31°≈0.86,tan 31°≈0.60)解:设BM =x 米.∵∠CDF =45°,∠CFD =90°, ∴CF =DF =x 米.∴BF =BC -CF =(4-x )米. ∴EN =DM =BF =(4-x )米.∵AB =6米,DE =MN =1米,BM =x 米, ∴AN =AB -MN -BM =(5-x )米.在△AEN 中,∠ANE =90°,∠EAN =31°,∴EN =AN·tan31°,即4-x =(5-x ). ∴x =2.5.答:DM 和BC 的水平距离BM 的长度约为米.6.(某某中考)某新农村乐园设置了一个秋千场所,如图所示,秋千拉绳OB 的长为3 m ,静止时,踏板到地面距离BD 的长为0.6 m (踏板厚度忽略不计).为安全起见,乐园管理处规定:儿童的“安全高度”为h m ,成人的“安全高度”为2 m .(计算结果精确到0.1 m ,参考数据:2≈1.41,sin 55°≈0.82,cos 55°≈0.57,tan 55°≈1.43)(1)当摆绳OA 与OB 成45°夹角时,恰为儿童的安全高度,则h =m ; (2)某成人在玩秋千时,摆绳OC 与OB 的最大夹角为55°,问此人是否安全?解:过C 点作CM⊥DF,CE⊥OD,垂足分别为M ,E ,∵在Rt△CEO 中,∠CEO =90°, ∠COE =55°, ∴cos∠COE =OEOC.∴OE =OC·cos∠COE =3·cos55°≈1.7 m. ∴ED =3+-=(m ).∴CM =ED =1.9 m <2 m.∴此人是安全的.章末复习(八) 锐角三角函数01分点突破知识点1 求锐角三角函数值1.如图,在Rt △ABC 中,∠BAC=90°,AD⊥BC 于点D ,则下列结论不正确的是(C )A .sinB =AD AB B .sin B =AC BC C .sin B =AD ACD .sin B =CD AC第1题图第3题图2.在Rt △ABC 中,∠C=90°,若斜边AB 是直角边BC 的3倍,则tan B 的值是(D )A.13B .3 C.24D .2 2 3.如图,在△ABC 中,DE 是BC 的垂直平分线,DE 交AC 于点E ,连接BE ,若BE =9,BC =12,则cos C =23.知识点2 特殊角的三角函数值(某某2016T19、2015T19、2014T19) 4.在△ABC 中,若(3tan A -3)2+|2cos B -3|=0,则△ABC 为(A )A .直角三角形B .含60°角的任意三角形C .等边三角形D .顶角为钝角的等腰三角形5.(某某中考改编)计算:(π-2 016)0+|1-2|+2-1-2sin 45°=12.知识点3 解直角三角形及其应用(某某2017T22、2016T21、2015T21、2014T21、2013T21) 6.在△ABC 中,∠C =90°,AB =2,BC =3,则tan A 2=33.7.如图,在电线杆CD 上的C 处引拉线CE 、CF 固定电线杆,拉线CE 和地面所成的角∠CED=60°,在离电线杆6米的B 处安置高为1.5米的测角仪AB ,在A 处测得电线杆上C 处的仰角为30°,求拉线CE 的长.(结果保留小数点后一位,参考数据:2≈1.41,3≈1.73)解:过点A 作AH⊥CD,垂足为H. 则AB =DH =米,BD =AH =6米.在Rt△ACH 中,∵∠CAH =30°,tan∠CAH =CH AH,∴CH =AH·tan∠CAH =6·tan30°=23(米). ∴CD =CH +HD =(23+)米.在Rt△CDE 中,∵∠CED =60°,sin∠CED =CD CE,∴CE =CDsin60°=4+3(米).答:拉线CE 的长约为米.02中考题型演练8.(某某中考)如图,一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米,已知cos α=1213,则小车上升的高度是(A )A .5米B .6米C .6.5米D .12米第8题图 第9题图9.(某某中考) △ABC 在网格中的位置如图所示(每个小正方形边长为1),AD⊥BC 于D ,下列四个选项中,错误的是(C )A .sin α=cos αB .tanC =2 C .sin β=cos βD .tan α=110.(某某中考)如图,⊙O 是边长为2的等边△ABC 的内切圆,则⊙O 的半径为33.第10题图 第12题图11.(某某中考) △ABC 中,AB =12,AC =39,∠B=30°,则△ABC 的面积是213或153.12.(某某中考)如图,某城市的电视塔AB 坐落在湖边,数学老师带领学生隔湖测量电视塔AB 的高度,在点M 处测得塔尖点A 的仰角∠AMB 为22.5°,沿射线MB 方向前进200米到达湖边点N 处,测得塔尖点A 在湖中的倒影A′的俯角∠A′NB 为45°,则电视塔AB 的高度为1002米.(结果保留根号)13.(某某中考)如图,一楼房AB 后有一座假山,其坡度为i =1∶3,山坡坡面上E 点处有一休息亭,测得假山坡脚C 与楼房水平距离BC =25米,与亭子距离CE =20米,小丽从楼房顶测得E 点的俯角为45°,求楼房AB 的高.(注:坡度i 是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)解:过点E 作EF⊥BC 的延长线于点F ,EH⊥AB 于点H , 在Rt△CEF 中,∵i =EFCF=13=tan∠ECF, ∴∠ECF =30°.∴EF =12CE =10米,CF =103米.∴BH =EF =10米,HE =BF =BC +CF =(25+103)米.在Rt△AHE 中,∵∠HAE =45°,∴AH =HE =(25+103)米. ∴AB =AH +HB =(35+103)米.答:楼房AB 的高为(35+103)米.14.(某某中考)今年,我国海关总署严厉打击“洋垃圾”某某行动,坚决把“洋垃圾”拒于国门之外.如图,某天我国一艘海监船巡航到A港口正西方的B处时,发现在B的北偏东60°方向,相距150海里处的C点有一可疑船只正沿CA方向行驶,C点在A港口的北偏东30°方向上,海监船向A港口发出指令,执法船立即从A港口沿AC方向驶出,在D处成功拦截可疑船只,此时D点与B点的距离为752海里.(1)求B点到直线CA的距离;(2)执法船从A到D航行了多少海里?(结果保留根号)解:(1)过点B作BH⊥CA,交CA的延长线于点H.∵∠MBC=60°.∴∠CBA=30°.∵∠NAD=30°,∴∠BAC=120°.∴∠C=180°-∠BAC-∠CBA=30°.∴BH=BC·sin∠BCA=150×12=75海里.答:B点到直线CA的距离是75海里.(2)∵在Rt△BDH中,BD=752海里,BH=75海里,∴DH=BD2-BH2=75海里,∵∠BAH=180°-∠BAC=60°,在Rt△ABH中,tan∠BAH=BHAH=3,∴AH=253海里.∴AD=DH-AH=(75-253)海里.答:执法船从A到D航行了(75-253)海里.。
年级 九年级 课题 28.1 锐角三角函数(1)
课型 新授
教学媒体 多媒体
教 学 目 标
知识 技能 1.初步了解锐角三角函数的意义,理解在直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比值就是这个锐角的正弦,当锐角固定时,它的正弦值是定值; 2.能根据已知直角三角形的边长求一个锐角的正弦值.
过程 方法 经历探究锐角三角函数的定义的过程,逐步发现一个锐角的对边与斜边的比值不变的规律,从中思考这种规律所揭示的数学内涵.
情感 态度
使学生体验数学活动中的探索与发现,培养学生由特殊到一般的演绎推理能力,学会用数学的思维方式思考,发现,总结,验证.
教学重点 正确理解正弦(sinA )概念,会根据直角三角形的边长求一个锐角的正弦值 教学难点
理解在直角三角形中,对于任意一个锐角,它的对边与斜边的比值是固定值.
教 学 过 程 设 计
教学程序及教学内容
师生行为
设计意图 一、复习引入 1.回忆直角三角形有哪些特殊性质? 2.在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,若BC=10m ,•求AB ; 3.在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,若BC=20m ,•求 AB. 二、自主探究 问题: 为了绿化荒山,某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管,•在山坡上修建一座扬水站,对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°,为使出水口的高度为35m ,那么需要准备多长的水管? 思考:1.如果使出水口的高度为50m ,那么需要准备多长的水管? 2.如果使出水口的高度为a m ,那么需要准备多长的水管? 结论:直角三角形中,30°角的对边与斜边的比值等于
12
思考:在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A=45°,∠A 对边与斜边的比值是
一个定值吗?•如果是,是多少?
结论:直角三角形中,45°角的对边与斜边的比值是
22.
探究:从上面两个问题的结论中可知,•在Rt △ABC 中,∠C=90°,
当∠A=30°时,∠A 的对边与斜边的比都等于
12
,是一个固定值;•
当∠A=45°时,∠A 的对边与斜边的比都等于22,也是一个固定值. 这就引发我们产生这样一个疑问:当∠A 取其他一定度数的锐角时,•它的对边与斜边的比是否也是一个固定值? 任意画Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′,使得∠C=∠C ′=90°,
∠A=∠A ′=a ,那么''''
BC B C AB A B 与有什么关系.你能解释一下吗?
得到:在直角三角形中,当锐角A 的度数一定时,不管三角形的大小如何,教师引导学生回顾直角三角形性质,学生完成两个铺垫练习. 教师提出问题,引导学生思考,逐步从特
殊到一般的理解锐
角的正弦概念.
在特殊角的基础上
提出一般性问题,教师再次引导学生利
用相似三角形知识,得到:在直角三角形中,当锐角A 的度数
一定时,不管三角形的大小如何,•∠A 的对边与斜边的比都是一个固定值.
复习直角三角形的性质,在此基础上探究新问题.
让学生初步体验一个锐角确定以后,它的对边与斜边的比值也随之不变的事实,为锐角的正弦的引出提供背景.
培养学生从特殊到一般的演绎推理能力.
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斜边c 对边a b
C B A •∠A 的对边与斜边的比都是一个固定值. 正弦函数概念:
在Rt △BC 中,∠C=90,∠A 的对边记作a ,∠B 的对边记作b ,∠C 的对边记作c .
在Rt △BC 中,∠C=90°,我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A
的正弦,记作sinA , 即sinA =A a A c
∠=∠的对边的斜边
例如,当∠A=30°时,我们有sinA=sin30°=
;
当∠A=45°时,我们有sinA=sin45°= .
例1 如图,在Rt △ABC 中,
∠C=90°,求sinA 和sinB 的值.
三、课堂训练
课本第64页练习.
补充:
1.如图,在直角△ABC 中,∠C =90o
,若AB =5,AC =4,则sinA =( )
A .35
B .45
C .34
D .4
3
2. 在△ABC 中,∠C=90°,BC=2,sinA=2
3
,则边AC 的长是( )
A .13
B .3
C .4
3
D . 5
3.如图,已知点P 的坐标是(a ,b ),则sin α等于( ) A .a b B .b a C .2222.a b D a b a b ++
四、课堂小结 1.锐角的正弦概念;
2.会求一个锐角的正弦值。
3.直角三角形的性质的补充
五、作业设计
教材28.1第1题(只求正弦)
补充:在RT △ABC 中,∠ACB=90°,CD 是AB 上的高,AC=5,BC=2,求sinB
教师给出锐角的正弦概念,学生理解认识. 学生理解认识30°和45°的正弦值,尝试独立完成例1,两名学生板书,并解释做题依据与过程,师生评议,达成一致. 教师组织学生进行练习,学生独立完成,之后,由学生口答,说明依据. 学生谈本节课收获,教师 完善补充强调. 以“在直角三角形中,当锐角A 的度数一定时,不管三角形的大小如何,•
∠A 的对边与斜边的比都是一个固定
值。
”为基础给出锐
角正弦概念,结合
图形,便于学生理解认识和应用.
巩固加深对锐角正
弦的理解和应用,
培养学生应用意识以及综合运用知识
的能力,并为此获得成功的体验.
加强教学反思,将
知识进行系统整
理,总结方法,形
成技能,提高学生的学习效果.
28.1 锐角三角函数
正弦概念 例题分析 练习
教 学 反 思。