下载文档原格式
§3.1.1倾斜角与斜率
【学习要求】
1．理解直线的斜率和倾斜角的概念；
2．理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性；
3．了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．
【学法指导】
通过直线的斜率及斜率与倾斜角关系的学习，培养观察、探索和抽象概括能力；通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，进一步理解数形结合思想.
【知识要点】
1．倾斜角的概念：当直线l与x 轴相交时，我们取作为基准，正向与直线l之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定α＝0°.
2．斜率的概念：我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示,即.
3．倾斜角与斜率的对应关系
图示
倾斜角
(范围)
α＝0°0°<α<90°α＝90°<α<180°斜率
(范围)
0大于0斜率不存在小于0
【问题探究】
[问题情境]
在平面直角坐标系中，点用坐标表示，直线如何表示呢？为了用代数方法研究直线的有关问题，本节首先探索确定直线位置的几何要素——倾斜角与斜率．
探究点一直线的倾斜角及斜率的概念
问题1我们知道，经过两点有且只有(确定)一条直线，过一点P可以作无数条直线，它们都经过点P，这些直线区别在哪里呢？
问题2怎样描述直线的倾斜程度呢？
问题3依据倾斜角的定义，你能得出倾斜角α的取值范围吗？
问题4任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？只有倾斜角能确定直线的位置吗？你认为确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是什么？
问题5日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？
问题6如果我们使用“倾斜角”这个概念表示“坡度(比)”，那么“坡度(比)”等于什么呢？
小结我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α.由此可知，一条直线l的倾斜角α一定存在，但是斜率k不一定存在，倾斜角是90°的直线没有斜率．探究点二直线的斜率公式
导引有了斜率的概念，这还不能体现是直线上的点所满足的等量关系，任给直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，(其中x1≠x2)，那么这条直线唯一确定，进而它的倾斜角与斜率也就确定了，这说明直线的斜率与这两点的坐标有内在联系．那么这种联系是什么呢？
问题1如下图1、图2，任给直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)，过点P1作x轴的平行线，过点P2作y轴的平行线，两线相交于Q，那么Q点的坐标是什么？
图1图2
问题2设直线P1P2的倾斜角为α(α≠90°)，那么Rt△P1P2Q中，哪一个角等于α？
问题3根据斜率的定义，通过构造直角三角形推算出斜率公式是什么？
问题4当P2P1的方向向上时，tan α＝
y2－y1
x2－x1
成立吗？为什么？
问题5当直线P1P2与x轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？
小结经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式k＝
y2－y1
x2－x1
.
例1如图，已知A(3,2)，B(－4,1)，C(0，－1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．
小结应用斜率公式时应先判定两定点的横坐标是否相等，若相等，直线垂直于x轴，斜率不
存在；若不相等，再代入斜率公式求解．
跟踪训练1求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角．
（1）(1,1)，(2,4)；（2）(－3,5)，(0,2)；
（3）(2,3)，(2,5)；（4）(3，－2)，(6，－2)．
例2在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，－1，2及－3的直线l1，l2，l3及l4.
小结已知直线过定点且斜率为定值，那么直线的位置就确定了，要画出直线，需通过斜率求出另一定点．跟踪训练2已知点P(－3，1)，点Q在y轴上，直线PQ的倾斜角为120°，则点Q的坐标为_______
【当堂检测】
1．对于下列命题：
①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°；②若k是直线的斜率，则k∈R；
③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；
④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．
其中正确命题的个数是()
A．1 B．2 C．3 D．4
2．若经过P(－2，m)和Q(m,4)的直线的斜率为1，则m等于()
A．1 B．4 C．1或3 D．1或4
3．若A(3，－2)，B(－9,4)，C(x,0)三点共线，则x等于()
A．1 B．－1 C．0 D．7
【课堂小结】
1．利用直线上两点确定直线的斜率，应从斜率存在、不存在两方面入手分类讨论，斜率不存在的情况在解题中容易忽视，应引起注意．
2．三点共线问题：(1)已知三点A，B，C，若直线AB，AC的斜率相同，则三点共线；(2)三点共线问题也可利用线段相等来求，若|AB|＋|BC|＝|AC|，也可断定A，B，C三点共线.
【课后作业】
§3.1.2两条直线平行与垂直的判定
【学习要求】
1．理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件；
2．能根据已知条件判断两直线的平行与垂直；
3．能应用两条直线平行或垂直进行实际应用．
【学法指导】
通过把研究两条直线的平行或垂直问题，转化为研究两条直线的斜率的关系问题，培养运用已有知识解决新问题的能力，以及数形结合的能力.
【知识要点】
1．两条直线平行与斜率的关系
（1）对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有l1∥l2⇔.
（2）如果直线l1、l2的斜率都不存在，并且l1与l2不重合，那么它们都与垂直，故l1l2.
2．两条直线垂直与斜率的关系
（1）如果直线l1、l2的斜率都存在，并且分别为k1、k2，那么l1⊥l2⇔.
（2）如果两条直线l1、l2中的一条斜率不存在，另一个斜率是零，那么l1与l2的位置关系是．
【问题探究】
[问题情境]
为了表示直线的倾斜程度，我们引入了直线的倾斜角与斜率的概念，并推导出了斜率的坐标计算公式，即把几何问题转化为代数问题．那么，我们能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直呢？本节我们就来研究这个问题．
探究点一两条直线平行的判定
问题1如图，设对于两条不重合的直线l1与l2，其倾斜角分别为α1与α2，斜
率分别为k1、k2，若l1∥l2，α1与α2之间有什么关系？k1与k2之间有什么关系？
问题2对于两条不重合的直线l1与l2，若k1＝k2，是否一定有l1∥l2？为什么？
小结对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有l1∥l2⇔k1＝k2.
若直线l1和l2可能重合时，我们得到k1＝k2⇔l1∥l2或l1与l2重合．
例1已知A(2,3)，B(－4,0)，P(－3,1)，Q(－1,2)，试判断直线BA与PQ的位置
关系，并证明你的结论．小结判定两条直线的位置关系时，一定要考虑特殊情况，如两直线重合、斜率不存在等．一般情况都成立，只有一种特殊情况不成立，则该命题就是假命题．
跟踪训练1试确定m的值，使过点A(m＋1,0)，B(－5，m)的直线与过点C(－4,3)，D(0,5)的直线平行．
例2已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0)，B(2，－1)，C(4,2)，D(2,3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明．
小结熟记斜率公式：k＝
y2－y1
x2－x1
，该公式与两点的顺序无关，已知两点坐标(x1≠x2)时，根据该公式可求出经过两点的直线的斜率．当x1＝x2，y1≠y2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.
跟踪训练2求证：顺次连接A(2，－3)，B(5，－
7
2)，C(2,3)，D(－4,4)四点所得的四边形是梯形．
探究点二两条直线垂直的判定
问题1如图，设直线l1与l2的倾斜角分别为α1与α2，斜率分别为k1、k2，且α1<α2，
若l1⊥l2，α1与α2之间有什么关系？为什么？
问题2已知tan(90°＋α)＝－
1
tan α，据此，如何推出问题1 中两直线的斜率k1、
k2之间的关系？
问题3如果两直线的斜率存在且满足k1·k2＝－1，是否一定有l1⊥l2？为什么？
问题4对任意两条直线，如果l1⊥l2，一定有k1·k2＝－1吗？为什么？
小结如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；
反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即k1k2＝－1⇒l1⊥l2.
例3已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1)，B(1,0)，C(3,2)，求第四个顶点D的坐标．
小结在应用斜率解决与两条直线的平行或垂直有关的问题时，应考虑到斜率存在与不存在的情况，避免出现漏解．两条直线垂直与斜率之间的关系：l1⊥l2⇔k1·k2＝－1或一条直线斜率为零，另一条斜率不存在．
跟踪训练3已知A(－6,0)，B(3,6)，P(0,3)，Q(6，－6)，试判断直线AB与PQ的位置关系．
【当堂检测】
1．已知点A(1,2)，B(m,1)，直线AB与直线y＝0垂直，则m的值为()
A．2 B．1 C．0 D．－1
2．已知直线l1的斜率为k1＝2，直线l2的斜率为k2＝－
1
2，则l1与l2 ()
A．平行B．相交但不垂直C．垂直D．重合
3．直线l1：x＝1与直线l2：x＝0的位置关系是_______
4．已知A(5，－1)，B(1,1)，C(2,3)三点，试判断△ABC的形状．
【课堂小结】
1．代数方法判定两直线平行或垂直的结论：若直线l1、l2存在斜率k1、k2，则l1∥l2⇔k1＝k2(其中l1，l2不重合)；若l1、l2可能重合，则k1＝k2⇔l1∥l2或l1与l2重合．l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
2．判定两条直线是平行还是垂直要“三看”：一看斜率是否存在，若两直线的斜率都不存在，则两直线平行，若一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，则两直线垂直；斜率都存在时，二看斜率是否相等或斜率乘积是否为－1；三看两直线是否重合，若不重合，则两直线平行.
