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一、 数的进制（1） 十进制：我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。
在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。
比如二进制，八进制，十六进制等。
（2） 二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。
因此，二进制中只用两个数字0和1。
二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。
二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。
注意：对于任意自然数n ,我们有n 0=1。
（3） k 进制：一般地，对于k 进位制，每个数是由0，1，2， ，1k -（）共k 个数码组成，且“逢k 进一”．1k k >（）进位制计数单位是0k ，1k ，2k ， ．如二进位制的计数单位是02，12，22， ，八进位制的计数单位是08，18，28， ．（4） k 进位制数可以写成不同计数单位的数之和的形式1110110n n n n k n n a a a a a k a ka k a ---=⨯+⨯++⨯+ （） 十进制表示形式：1010101010n n n n N a a a --=+++ ； 二进制表示形式：1010222n n n n N a a a --=+++ ；为了区别各进位制中的数，在给出数的右下方写上k ，表示是k 进位制的数如：8352（），21010（），123145（）,分别表示八进位制，二进位制，十二进位制中的数．（5） k 进制的四则混合运算和十进制一样先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。
二、 进制间的转换：知识结构进制的性质与应用一般地，十进制整数化为k 进制数的方法是：除以k 取余数，一直除到被除数小于k 为止，余数由下到上按从左到右顺序排列即为k 进制数．反过来，k 进制数化为十进制数的一般方法是：首先将k 进制数按k 的次幂形式展开，然后按十进制数相加即可得结果． 如右图所示:1． 几进制就是逢几进一，借一当几。
“位值原理与数的进制”学生姓名授课日期教师姓名授课时长本讲是数论知识体系中的两大基本问题，也是学好数论知识所必须要掌握的知识要点。
通过本讲的学习，要求学生理解并熟练应用位值原理的表示形式，掌握进制的表示方法、各进制间的互化以及二进制与实际问题的综合应用。
并学会在其它进制中位值原理的应用。
从而使一些与数论相关的问题简单化。
一、位值原理位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。
也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。
例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。
二、数的进制我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。
在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。
比如二进制，八进制，十六进制等。
二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。
因此，二进制中只用两个数字0和1。
二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，=1二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。
二进制的运算法则是“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。
注意：对于任意自然数n,我们有n0=1。
n进制：n进制的运算法则是“逢n进一，借一当n”，n进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。
【试题来源】【题目】某三位数abc和它的反序数cba的差被99除，商等于与的差；ab与ba 的差被9除，商等于与的差；ab与ba的和被11除，商等于与的和。
【试题来源】【题目】如果ab×7= ，那么ab等于多少？【试题来源】【题目】从1～9九个数字中取出三个，用这三个数可组成六个不同的三位数。
学科培优 数学 “数的进制” 学生姓名授课日期 教师姓名授课时长 知识定位 所谓二进制,就是只用0与1两个数字,在计数与计算时必须是“满二进一”。
即每两个相同的单位组成一个和它相邻的较高的单位（所以任意一个二进制只需要“0”与“1”表示就够了）。
例如：2在二进制中是10；3写成二进制数是11；4写成二进制数便是100,那么5呢？应该是101随着科学计数的发展,数字电子计算机的使用日益普遍,计算器内部进行的运算就使用的是二进制数。
我们经常和计算器打交道,应该懂一些二进制方面的知识。
知识梳理一、二进制按照“逢二进一”的法则,很容易得到一下两种进制的数字的对照表： 十进制 二进制 十进制 二进制 1 2 3 4 5 6 7 8 1 10 11 100 101 110 111 1000 9 10 11 12 13 14 15 16 100110101011110011011110111110000二进制的最大优点是：每个数的各个数位上只有两种状态——0或1。
这样,我们便可以通过简单的方法,例如白与黑、虚与实、负与正、点与划、小与大、暗与亮等等手段加以表示。
当然,二进制也有不足,同一个数在二进制中要比在十进制中位数多得多。
二、十进制与二进制的互相转化当我们写上一个数目1997时,实际上意味着我们使用了“十进制”数,即也就是说：1997中含有一个1000,九个100,九个10与七个1.199111000910091071=⨯+⨯+⨯+⨯在上表中可以看到,二进制数10表示十进制2；二进制数100表示十进制数4；二进制数1000表示十进制数8；二进制数10000表示十进制数16；……可以看出规律：二进制数100000应该表示十进制数32,……。
那么我们写下一个二进制数10110,则应表示它含有一个16,一个4与一个2,也就是明白了上面所说的两点,则二进制与十进制之间的转化的道理就容易懂了。
为了叙述的方便,我们约定：用表示括号内写的是二进制数,如；用表示括号中写的数是十进制数,如。
专题二二进制问题知识要点用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字表示所有整数的方法被叫做十进制，十进制是最常见的进制，世界上绝大数国家和地区都用这种方法来计数，它的特点是满十进一，退一当十。
除了十进制外，有其它一些进位制，如时间是60进制的，即60秒是一分，60分时1小时。
还有三进制、五进制、八进制、十六进制等。
它们和十进制计数法的道理实质是一样的。
现代计算机上大多用二进制，即满二进一，退一当二，这种进位制只用两个数字0和1，如“1”在二进制中记作1，“2”就要满二进一，记作10，“3”记作11，“4”又一次满二进一，记作100，……。
为了区别十进制和二进制，只要在这个数的右下角标上2或10即可。
任何一个十进制正整数N都可以写成各数位上的数字与10的次方数的=9×103+7×102+5×101+8×100（注：100=1）。
乘积的和的形式，如9758（10）任何一个二进制数也像十进制数一样，也可以写成各个数位上的数字与=1×25+1×24+0×23+1×22+0×21+1 2的次方数的乘积的和的形式，如110101（2）×20典例评析化成二进制例1 将139（10）【分析】要将十进制数化为二进制数，只要连续除以2.因为139=69×2+1，即有69个“2”及1个“1”，故应向第二位上进“69”，个位则有1个1；而69=34×2+1，即第二位69又要向第三位进“34”，而本位数字为“1”。
但34=17×2，即第三位上的34还应向第四位进“17”，且本位数字为“0”；接下去17=8×2+1，即第四位为1；8=4×2，即第五位为0；4=2×2，即第六位为0；2=2×1，即第七位为0，第八位为1；所以139（10）=10001011（2）。
专题二二进制问题知要点用0，1， 2，3，4， 5， 6，7，8，9 10 个数字表示所有整数的方法被叫做十制，十制是最常的制，世界上大数国家和地区都用种方法来数，它的特点是十一，退一当十。
除了十制外，有其它一些位制，如是60 制的，即 60 秒是一分，60 分 1 小。
有三制、五制、八制、十六制等。
它和十制数法的道理是一的。
代算机上大多用二制，即二一，退一当二，种位制只用两个数字0 和 1，如“ 1”在二制中作1，“2”就要二一，作 10，“3” 作 11，“ 4”又一次二一，作 100，⋯⋯。
了区十制和二制，只要在个数的右下角上 2 或 10 即可。
任何一个十制正整数N 都可以写成各数位上的数字与10 的次方数的乘的和的形式，如9758（10）=9×103+7×102 +5×101+8× 100（注： 100=1）。
任何一个二制数也像十制数一，也可以写成各个数位上的数字与2 的次方数的乘的和的形式，如 110101（2）=1×25+1× 24+0×23+1×22+0×21+1 ×20典例析例1 将 139（10）化成二制【分析】要将十制数化二制数，只要除以2. 因 139=69×2+1，即有 69 个“ 2”及 1 个“ 1”，故向第二位上“ 69”，个位有 1 个1；而 69=34× 2+1，即第二位 69 又要向第三位“ 34”，而本位数字“ 1”。
但34=17×2，即第三位上的 34 向第四位“ 17”，且本位数字“ 0”；接下去17=8×2+1，即第四位 1；8=4×2，即第五位 0；4=2×2，即第六位 0；2=2× 1，即第七位 0，第八位 1；所以 139（10）=10001011（ 2）。
个程也可以算以“短除法”求得。
专题二二进制问题知识要点用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字表示所有整数的方法被叫做十进制，十进制是最常见的进制，世界上绝大数国家和地区都用这种方法来计数，它的特点是满十进一，退一当十。
除了十进制外，有其它一些进位制，如时间是60进制的，即60秒是一分，60分时1小时。
还有三进制、五进制、八进制、十六进制等。
它们和十进制计数法的道理实质是一样的。
现代计算机上大多用二进制，即满二进一，退一当二，这种进位制只用两个数字0和1，如“1”在二进制中记作1，“2”就要满二进一，记作10，“3”记作11，“4”又一次满二进一，记作100，……。
为了区别十进制和二进制，只要在这个数的右下角标上2或10即可。
任何一个十进制正整数N都可以写成各数位上的数字与10的次方数的=9×103+7×102+5×101+8×100（注：100=1）。
乘积的和的形式，如9758（10）任何一个二进制数也像十进制数一样，也可以写成各个数位上的数字与=1×25+1×24+0×23+1×22+0×21+1 2的次方数的乘积的和的形式，如110101（2）×20典例评析化成二进制例1 将139（10）【分析】要将十进制数化为二进制数，只要连续除以2.因为139=69×2+1，即有69个“2”及1个“1”，故应向第二位上进“69”，个位则有1个1；而69=34×2+1，即第二位69又要向第三位进“34”，而本位数字为“1”。
但34=17×2，即第三位上的34还应向第四位进“17”，且本位数字为“0”；接下去17=8×2+1，即第四位为1；8=4×2，即第五位为0；4=2×2，即第六位为0；2=2×1，即第七位为0，第八位为1；所以139（10）=10001011（2）。
这个过程也可以简算以“短除法”求得。
解因为的下标10，是为了与其它进位制区别开来，同理说明十进制数139（10）10001011（2）的下标2是表示的二进制，有时十进制的下标可以省略，但其余的进制，则下标不可省。
特别提出的是，在用“短除法”求得数时，要将每次除以2所得的余数写在被除数的后面，一直得到商是1为止。
例2 将101101（2）改成十进制数。
【分析】我们可以思考一下二进制数101101（2）上各个数位上的1是怎么进上来的，从右往左数第6位是1，是从第5位上满2才进上去是，这个数可以看做21101，第5位上是2，是因为第4位上满2个2才进过来的，可以看作5101，同理第4位上5，是因为第3位上满5个2才进过来的，应是（11,01），同理得出（22,1），（22,1）得45。
对于一个十进制数，如果是7385，可以写成7385=7×103+3×102+8×101+5×100。
同理二进制也可以写成这种形式，只不过要将上述形式中的数字换成2的次方数与0或1的乘积，就没必要像上述改写那样麻烦了。
解 101101（2）=1×25+0×24+1×23+1×22+0×21+1=25+23+22+1=32+8+4+1=45说明对于任意一个二进制数am am-1am-2…a2a1(2)改写成十进制数，都有如下的方法：am am-1am-2…a2a1(2)=am×2m-1+a m-1×2m-2+…a2×21+a1×20。
例3 计算：10110（2）+1010（2）。
【分析】二进制数的加减可以用竖式来计算解 10110（2）+ 1010（2）100000（2）10110（2）+1010（2）=100000（2）说明在将相同数位上的数相加时，与十进制加法有所不同，十进制加法中满十进一，而二进制加法中是满二进一，本题中从右往左第2位开始，便连续出现了4次“满二进一”。
例4 计算1101101（2）-1011110（2），并要求验算。
【分析】二进制的减法也可以用竖式来计算，并且可以用加法来检验结果是否正确。
解 1101101（2） 1011110（2）-1011110（2）验算 + 1111（2）1111（2） 1101101（2）说明在计算二进制数的减法时，与十进制的减法也是有所区别的，十进制减法计算中，本位不够减时，是向前一位借一当十，而在二进制数减法当中，出现不够减时时借一当二。
如在本题中，从右往左第2位不够减时向前一位借一当二，得2-1=1，其余数位上则依次类推。
为了计算的正确，用减法的逆运算作适当检验。
例5 计算：11101（2）×11（2）【分析】二进制数的乘法计算，同整数乘法一样，也可以列竖式计算，在计算过程当中要注意两点：（1）1乘任何数仍得原数；（2）0乘任何数都得零。
解 11101（2）×11（2）=1010111（2）11101（2）× 11（2）11101（2）11101（2）1010111（2）说明通过两次乘法得出乘积后，用加法求出结果时，要按照二进制数加法的方法计算出结果。
例6 计算：1001011（2）÷1111（2）。
【分析】二进制数的除法同十进制数的除法一样，也可以用竖式计算，但在除的过程当中，要综合运用二进制数的加、减、乘法的计算方法辅助除法计算。
解 1001011（2）÷1111（2）=101（2）巩固练习1.将下列二进制数化成十进制的数（1）1101101（2）解：原式＝1×26+1×25+1×23+1×22+1＝64+32+8+4+1＝109（2）111101101（2）解：原式＝1×28+1×27+1×26+1×25+1×23+1×22+1＝256+128+64+32+8+4+1＝4932.将下列十进制数化成二进制数。
（1）28解：短除法可得：11100（2）（2）63解：短除法可得：111111（2）3．计算（1）1100110（2）+10011（2）1100110（2） + 10011（2） 1111001（2）（2）1010011（2）-11011（2）（要求验算）解： 1010011（2） - 11011（2）111000（2）（3） 101101（2）×1101（2） 解： 101101（2） × 1101（2） 101101 101101 1011011001001001（2）（4） 11011101(2)÷1011(2) 解： 10100（2） 1011（2））11011101（2） 1011 1011 1011 14. 150粒糖果需至少装在几个盒子，就能保证150以内所有糖果都可以几只盒子凑齐，而不必打开盒子？此时每只盒子里面多少粒糖果？分析与解：先用1+21+22+23+…+2n ≤150，找出n 最大是多少，然后计算出1+21+22+23+…+2n 的结果。
把每一个加数作为一个盒子的糖果数，最后一盒用150减去前面所有盒子中糖果数的和。
1+21+22+23+…+26=127<150（粒）150-127=23（粒）150=1+21+22+23+…+26+23答：这8个盒子，每个盒子中分别是1,2,4,8,16,32,64,23粒即可。
5. 一位老大爷带上了1000元钱上街买东西。
东西的价格都是整元数，为了保证至少1000元的东西都能立即付钱，他把钱包分成若干包。
付钱时只要拿出几包而无需折散也无需找零便行。
他应如何包这些钱？解：应分别包成1元、2元、4元、8元、16元、32元、64元、128元、256元及489元功10包。
支付不超过511元时，把钱化为二进制数，易知取前九包中的若干包可按要求支付；超过511元，可支付489元，再把余钱转化为二进制数再选取若干包支付。
6.有1、2、4、8克的砝码各1个，每次从中取3个称重，如果天平的两边都可以放砝码，能称出多少种重量？解：由于每次取3个砝码和天平两边可以同时放，可知：用1、2、4三种砝码，可称出4±2±1克，即1、3、5、7克； 用1、2、8三种砝码，可称出8±2±1克，即5、7、9、11克； 用1、4、8三种砝码，可称出8±4±1克，即3、5、11、13克； 用2、4、8三种砝码，可称出8±4±2克，即2、6、10、14克； 答：可称出1、2、3、5、6、7、9、10、11、13、14共11种重量。
7. 欢欢、迎迎各有4张卡片，每张卡片上各写有一个正整数，两人各出一张卡片，计算两张卡片上所写数的和，结果发现一共能得到16个不同的和，那么，两人卡片上所写数中最大最小是多少？（全国第二届两岸四地“华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛总决赛试题）分析与解：因为涉及的4和16是2的次方数，所以想到二进制。
两张卡片的和至少是2,16个不同的和中的最大的至少是17。
这样考虑不方便，所以假设两张卡片上是非负整数，可以包含0，和是0到15，也就是二进制的0000到1111。
那么，显然了，每个人控制其中两位的开关，两个人就能控制全部四位的开关了。
为了使得最大的数最小，控制最高位的那个人再控制最低位就行了。
一个人控制最高位和最低位：0000,0001，1000,1001；另一个人控制中间两位：0000,0010,0100,0110。
最大数最小是1001也就是9，容易发现8不行。
原题要求正整数，所以每个数再加1，答案是10 8．市中心的建设大厦高26.5米，先将一张足够大的厚度均匀且为0.01厘米的纸，进行“对折→裁开→叠放整齐”算作一次操作，至少要进行多少次这样的操作后，所有纸片叠放的总高度比建设大厦还高？解；26.5米=2650厘米2650÷0.01=265000（层）210×28＝26214426144<265000218<26500018+1=19（次）答：所有纸片叠放的总高度要比建设大厦高，必需超过18次，即至少19次。
9. 有一批规格相同的圆棒，每根划分为长度相同的五节，每节用红黄蓝三种颜色来涂，问可以得到多少种着色不同的圆棒。
分析与解：用2表示“红”、1表示“黄”、0表示“蓝”，于是一种涂色对应着一个五位数，如“红红黄蓝黄”对应“22101”。
由于这种五位数只用=2×34+2三个数码，即为三进制数。
这种五位数中最大是22222，而22222（3）×33+2×32+2×3+2＝242，再加上“00000”共计243种。
