分式的知识点及重点题型讲解(老师)
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2024中考数学复习核心知识点精讲及训练—分式(含解析)1.了解分式、分式方程的概念,进一步发展符号感;2.熟练掌握分式的基本性质,会进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算,发展学生的合情推理能力与代数恒等变形能力;3.能解决一些与分式有关的实际问题,具有一定的分析问题、解决问题的能力和应用意识;4.通过学习能获得学习代数知识的常用方法,能感受学习代数的价值。
考点1:分式的概念1.定义:一般地,如果A、B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子AB叫做分式.其中A叫做分子,B叫做分母.2.最简分式:分子与分母没有公因式的分式;3.分式有意义的条件:B≠0;4.分式值为0的条件:分子=0且分母≠0考点2:分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变,这个性质叫做分式的基本性质,用式子表示是:A A M A A MB B M B B M⨯÷==⨯÷,(其中M是不等于零的整式).考点3:分式的运算考点4:分式化简求值(1)有括号时先算括号内的;(2)分子/分母能因式分解的先进行因式分解;(3)进行乘除法运算(4)约分;(5)进行加减运算,如果是异分母分式,需线通分,变为同分母分式后,分母不变,分子合并同类项,最终化为最简分式;(6)带入相应的数或式子求代数式的值【题型1:分式的相关概念】【典例1】(2022•怀化)代数式x,,,x2﹣,,中,属于分式的有()A.2个B.3个C.4个D.5个【答案】B【解答】解:分式有:,,,整式有:x,,x2﹣,分式有3个,故选:B.【典例2】(2023•广西)若分式有意义,则x的取值范围是()A.x≠﹣1B.x≠0C.x≠1D.x≠2【答案】A【解答】解:∵分式有意义,∴x+1≠0,解得x≠﹣1.故选:A.1.(2022•凉山州)分式有意义的条件是()A.x=﹣3B.x≠﹣3C.x≠3D.x≠0【答案】B【解答】解:由题意得:3+x≠0,∴x≠﹣3,故选:B.2.(2023•凉山州)分式的值为0,则x的值是()A.0B.﹣1C.1D.0或1【答案】A【解答】解:∵分式的值为0,∴x2﹣x=0且x﹣1≠0,解得:x=0,故选:A.【题型2:分式的性质】【典例3】(2023•兰州)计算:=()A.a﹣5B.a+5C.5D.a 【答案】D【解答】解:==a,故选:D.1.(2020•河北)若a≠b,则下列分式化简正确的是()A.=B.=C.=D.=【答案】D【解答】解:∵a≠b,∴,故选项A错误;,故选项B错误;,故选项C错误;,故选项D正确;故选:D.2.(2023•自贡)化简:=x﹣1.【答案】x﹣1.【解答】解:原式==x﹣1.故答案为:x﹣1.【题型3:分式化简】【典例4】(2023•广东)计算的结果为()A.B.C.D.【答案】C【解答】解:==.故本题选:C.1.(2023•河南)化简的结果是()A.0B.1C.a D.a﹣2【答案】B【解答】解:原式==1.故选:B.2.(2023•赤峰)化简+x﹣2的结果是()A.1B.C.D.【答案】D【解答】解:原式=+==,故选:D.【题型4:分式的化简在求值】【典例5】(2023•深圳)先化简,再求值:(+1)÷,其中x=3.【答案】,.【解答】解:原式=•=•=,当x=3时,原式==.1.(2023•辽宁)先化简,再求值:(﹣1)÷,其中x=3.【答案】见试题解答内容【解答】解:原式=(﹣)•=•=x+2,当x=3时,原式=3+2=5.2.(2023•大庆)先化简,再求值:,其中x=1.【答案】见试题解答内容【解答】解:原式=﹣+====,当x=1时,原式==.3.(2023•西宁)先化简,再求值:,其中a,b是方程x2+x﹣6=0的两个根.【答案】,6.【解答】解:原式=[﹣]×a(a﹣b)=×a(a﹣b)﹣=﹣=;∵a,b是方程x2+x﹣6=0的两个根,∴a+b=﹣1ab=﹣6,∴原式=.1.(2023春•汝州市期末)下列分式中,是最简分式的是()A.B.C.D.【答案】C【解答】解:A、=,不是最简分式,不符合题意;B、==,不是最简分式,不符合题意;C、是最简分式,符合题意;D、==﹣1,不是最简分式,不符合题意;故选:C.2.(2023秋•岳阳楼区校级期中)如果把分式中的x和y都扩大2倍,那么分式的值()A.不变B.扩大2倍C.扩大4倍D.缩小2倍【答案】B【解答】解:∵==×2,∴如果把分式中的x和y都扩大2倍,那么分式的值扩大2倍,故选:B.3.(2023•河北)化简的结果是()A.xy6B.xy5C.x2y5D.x2y6【答案】A【解答】解:x3()2=x3•=xy6,故选:A.4.(2023秋•来宾期中)若分式的值为0,则x的值是()A.﹣2B.0C.2D.【答案】C【解答】解:由题意得:x﹣2=0且3x﹣1≠0,解得:x=2,故选:C.5.(2023秋•青龙县期中)分式的最简公分母是()A.3xy B.6x3y2C.6x6y6D.x3y3【答案】B【解答】解:分母分别是x2y、2x3、3xy2,故最简公分母是6x3y2;故选:B.6.(2023春•沙坪坝区期中)下列分式中是最简分式的是()A.B.C.D.【答案】A【解答】解;A、是最简二次根式,符合题意;B、=,不是最简二次根式,不符合题意;C、==,不是最简二次根式,不符合题意;D、=﹣1,不是最简二次根式,不符合题意;故选:A.7.(2023春•原阳县期中)化简(1+)÷的结果为()A.1+x B.C.D.1﹣x【答案】A【解答】解:原式=×=×=1+x.故选:A.8.(2023•门头沟区二模)如果代数式有意义,那么实数x的取值范围是()A.x≠2B.x>2C.x≥2D.x≤2【答案】A【解答】解:由题意得:x﹣2≠0,解得:x≠2,故选:A.9.(2023春•武清区校级期末)计算﹣的结果是()A.B.C.x﹣y D.1【答案】B【解答】解:﹣==.故答案为:B.10.(2023春•东海县期末)根据分式的基本性质,分式可变形为()A.B.C.D.【答案】C【解答】解:=﹣,故选:C.11.(2023秋•莱州市期中)计算的结果是﹣x.【答案】﹣x.【解答】解:÷=•(﹣)=﹣x,故答案为:﹣x.12.(2023秋•汉寿县期中)学校倡导全校师生开展“语文阅读”活动,小亮每天坚持读书.原计划用a天读完b页的书,如果要提前m天读完,那么平均每天比原计划要多读的页数为(用含a、b、m的最简分式表示).【答案】.【解答】解:由题意得:平均每天比原计划要多读的页数为:﹣=﹣=,故答案为:.13.(2023春•宿豫区期中)计算=1.【答案】1.【解答】解:===1,故答案为:1.14.(2023•广州)已知a>3,代数式:A=2a2﹣8,B=3a2+6a,C=a3﹣4a2+4a.(1)因式分解A;(2)在A,B,C中任选两个代数式,分别作为分子、分母,组成一个分式,并化简该分式.【答案】(1)2a2﹣8=2(a+2)(a﹣2);(2)..【解答】解:(1)2a2﹣8=2(a2﹣4)=2(a+2)(a﹣2);(2)选A,B两个代数式,分别作为分子、分母,组成一个分式(答案不唯一),==.15.(2023秋•思明区校级期中)先化简,再求值:(),其中.【答案】,.【解答】解:原式=÷(﹣)=÷=•=,当x=﹣1时,原式==.16.(2023秋•长沙期中)先化简,再求值:,其中x=5.【答案】,.【解答】解:原式=(﹣)•=•=,当x=5时,原式==.17.(2023•盐城一模)先化简,再求值:,其中x=4.【答案】见试题解答内容【解答】解:原式=(+)•=•=•=x﹣1,当x=4时,原式=4﹣1=3.18.(2022秋•廉江市期末)先化简(﹣x)÷,再从﹣1,0,1中选择合适的x值代入求值.【答案】﹣,0.【解答】解:原式=(﹣)•=﹣•=﹣,∵(x+1)(x﹣1)≠0,∴x≠±1,当x=0时,原式=﹣=0.1.(2023秋•西城区校级期中)假设每个人做某项工作的工作效率相同,m个人共同做该项工作,d天可以完成若增加r个人,则完成该项工作需要()天.A.d+y B.d﹣r C.D.【答案】C【解答】解:工作总量=md,增加r个人后完成该项工作需要的天数=,故选:C.2.(2023秋•长安区期中)若a=2b,在如图的数轴上标注了四段,则表示的点落在()A.段①B.段②C.段③D.段④【答案】C【解答】解:∵a=2b,∴=====,∴表示的点落在段③,故选:C.3.(2023秋•东城区校级期中)若x2﹣x﹣1=0,则的值是()A.3B.2C.1D.4【答案】A【解答】解:∵x2﹣x﹣1=0,∴x2﹣1=x,∴x﹣=1,∴(x﹣)2=1,∴x2﹣2+=1,∴x2+=3,故选:A.4.(2023秋•鼓楼区校级期中)对于正数x,规定,例如,,则=()A.198B.199C.200D.【答案】B【解答】解:∵f(1)==1,f(1)+f(1)=2,f(2)==,f()==,f(2)+f()=2,f(3)==,f()==,f(3)+f()=2,…f(100)==,f()==,f(100)+f()=2,∴=2×100﹣1=199.故选:B.5.(2023秋•延庆区期中)当x分别取﹣2023,﹣2022,﹣2021,…,﹣2,﹣1,0,1,,,…,,,时,计算分式的值,再将所得结果相加,其和等于()A.﹣1B.1C.0D.2023【答案】A【解答】解:当x=﹣a和时,==0,当x=0时,,则所求的和为0+0+0+⋯+0+(﹣1)=﹣1,故选:A.6.(2022秋•永川区期末)若分式,则分式的值等于()A.﹣B.C.﹣D.【答案】B【解答】解:整理已知条件得y﹣x=2xy;∴x﹣y=﹣2xy将x﹣y=﹣2xy整体代入分式得====.故选:B.7.(2023春•铁西区月考)某块稻田a公顷,甲收割完这块稻田需b小时,乙比甲多用0.3小时就能收割完这块稻田,两人一起收割完这块稻田需要的时间是()A.B.C.D.【答案】B【解答】解:乙收割完这块麦田需要的时间是(b+0.3)小时,甲的工作效率是公顷/时,乙的工作效率是公顷/时.故两人一起收割完这块麦田需要的工作时间为=(小时).故选:B.8.(2023春•临汾月考)相机成像的原理公式为,其中f表示照相机镜头的焦距,u表示物体到镜头的距离,v表示胶片(像)到镜头的距离.下列用f,u表示v正确的是()A.B.C.D.【答案】D【解答】解:∵,去分母得:uv=fv+fu,∴uv﹣fv=fu,∴(u﹣f)v=fu,∵u≠f,∴u﹣f≠0,∴.故选:D.9.(2023•内江)对于正数x,规定,例如:f(2)=,f()=,f(3)=,f()=,计算:f()+f()+f()+…+f()+f()+f(1)+f(2)+f(3)+…+f(99)+f(100)+f(101)=()A.199B.200C.201D.202【答案】C【解答】解:∵f(1)==1,f(2)=,f()=,f(3)=,f()=,f(4)==,f()==,…,f(101)==,f()==,∴f(2)+f()=+=2,f(3)+f()=+=2,f(4)+f()=+=2,…,f(101)+f()=+=2,f()+f()+f()+…+f()+f()+f(1)+f(2)+f(3)+…+f(99)+f(100)+f(101)=2×100+1=201.故选:C.10.(2023春•灵丘县期中)观察下列等式:=1﹣,=﹣,=﹣,…=﹣将以上等式相加得到+++…+=1﹣.用上述方法计算:+++…+其结果为()A.B.C.D.【答案】A【解答】解:由上式可知+++…+=(1﹣)=.故选A.11.(2023秋•顺德区校级月考)先阅读并填空,再解答问题.我们知道,(1)仿写:=,=,=.(2)直接写出结果:=.利用上述式子中的规律计算:(3);(4).【答案】(1),;;(2);(3);(4).【解答】解:(1),=;=,故答案为:,;;(2)原式=1﹣+++...++=1﹣=;故答案为:;(3)==1﹣+﹣+﹣+⋯⋯+=1﹣=;(2)原式=×()+×()+×()+...+×()=()==.12.(2023秋•株洲期中)阅读下列材料:通过小学的学习我们知道,分数可分为“真分数”和“假分数”,而假分数都可化为带分数.如:.我们定义:在分式中,对于只含有一个字母的分式,当分子的次数大于或等于分母的次数时,我们称之为“假分式”;当分子的次数小于分母的次数时,我们称之为“真分式”.如,这样的分式就是假分式;,这样的分式就是真分式.类似地,假分式也可以化为带分式(即:整式与真分式的和的形式).如:,;解决下列问题:(1)分式是真分式(填“真”或“假”);(2)将假分式化为带分式;(3)如果x为整数,分式的值为整数,求所有符合条件的x的值.【答案】(1)真;(2)x﹣2+;(3)﹣1或﹣3或11或﹣15.【解答】解:(1)分式是真分式;故答案为:真;(2);(3)原式=,∵分式的值为整数,∴x+2=±1或±13,∴x=﹣1或﹣3或11或﹣15.13.(2023秋•涟源市月考)已知,求的值.解:由已知可得x≠0,则,即x+.∵=(x+)2﹣2=32﹣2=7,∴.上面材料中的解法叫做“倒数法”.请你利用“倒数法”解下面的题目:(1)求,求的值;(2)已知,求的值;(3)已知,,,求的值.【答案】(1);(2)24;(3).【解答】解:(1)由,知x≠0,∴.∴,x•=1.∵=x2+=(x﹣)2+2=42+2=18.∴=.(2)由=,知x≠0,则=2.∴x﹣3+=2.∴x+=5,x•=1.∵=x2+1+=(x+)2﹣2+1=52﹣1=24.∴=.(3)由,,,知x≠0,y≠0,z≠0.则=,=,y+zyz=1,∴+=,+=,+=1.∴2(++)=++1=.∴++=.∵=++=,∴=.14.(2022秋•兴隆县期末)设.(1)化简M;(2)当a=3时,记M的值为f(3),当a=4时,记M的值为f(4).①求证:;②利用①的结论,求f(3)+f(4)+…+f(11)的值;③解分式方程.【答案】(1);(2)①见解析,②,③x=15.【解答】解:(1)=====;(2)①证明:;②f(3)+f(4)+⋅⋅⋅+f(11)====;③由②可知该方程为,方程两边同时乘(x+1)(x﹣1),得:,整理,得:,解得:x=15,经检验x=15是原方程的解,∴原分式方程的解为x=15.15.(2023春•蜀山区校级月考)【阅读理解】对一个较为复杂的分式,若分子次数比分母大,则该分式可以拆分成整式与分式和的形式,例如将拆分成整式与分式:方法一:原式===x+1+2﹣=x+3﹣;方法二:设x+1=t,则x=t﹣1,则原式==.根据上述方法,解决下列问题:(1)将分式拆分成一个整式与一个分式和的形式,得=;(2)任选上述一种方法,将拆分成整式与分式和的形式;(3)已知分式与x的值都是整数,求x的值.【答案】(1);(2);(3)﹣35或43或﹣9或17或1或7或3或5.【解答】解:(1)由题知,,故答案为:.(2)选择方法一:原式==.选择方法二:设x﹣1=t,则x=t+1,则原式=====.(3)由题知,原式====.又此分式与x的值都是整数,即x﹣4是39的因数,当x﹣4=±1,即x=3或5时,原分式的值为整数;当x﹣4=±3,即x=1或7时,原分式的值为整数;当x﹣4=±13,即x=﹣9或17时,原分式的值为整数;当x﹣4=±39,即x=﹣35或43时,原分式的值为整数;综上所述:x的值为:﹣35或43或﹣9或17或1或7或3或5时,原分式的值为整数.16.(2023春•兰州期末)阅读下列材料:通过小学的学习我们知道,分数可分为“真分数”和“假分数”,而假分数都可以化为带分数,如:.我们定义:在分式中,对于只含有一个字母的分式,当分子的次数大于或等于分母的次数时,我们称之为“假分式”;当分子的次数小于分母的次数时,我们称之为“真分式”.如,这样的分式就是假分式;再如:这样的分式就是真分式.类似的,假分式也可以化为带分式(即:整式与真分式的和的形式),如:.解决下列问题:(1)分式是真分式(填“真分式”或“假分式”);(2)将假分式化为整式与真分式的和的形式:=2+.若假分式的值为正整数,则整数a的值为1,0,2,﹣1;(3)将假分式化为带分式(写出完整过程).【答案】(1)真分式;(2)2+;1,2,﹣1;(3)x﹣1﹣.【解答】解:(1)由题意得:分式是真分式,故答案为:真分式;(2)==2+,当2+的值为正整数时,2a﹣1=1或±3,∴a=1,2,﹣1;故答案为:2+;1,2,﹣1;(3)原式===x﹣1﹣.1.(2023•湖州)若分式的值为0,则x的值是()A.1B.0C.﹣1D.﹣3【答案】A【解答】解:∵分式的值为0,∴x﹣1=0,且3x+1≠0,解得:x=1,故选:A.2.(2023•天津)计算的结果等于()A.﹣1B.x﹣1C.D.【答案】C【解答】解:====,故选:C.3.(2023•镇江)使分式有意义的x的取值范围是x≠5.【答案】x≠5.【解答】解:当x﹣5≠0时,分式有意义,解得x≠5,故答案为:x≠5.4.(2023•上海)化简:﹣的结果为2.【答案】2.【解答】解:原式===2,故答案为:2.5.(2023•安徽)先化简,再求值:,其中x=.【答案】x+1,.【解答】解:原式==x+1,当x=﹣1时,原式=﹣1+1=.6.(2023•广安)先化简(﹣a+1)÷,再从不等式﹣2<a<3中选择一个适当的整数,代入求值.【答案】;﹣1.【解答】解:(﹣a+1)÷=•=.∵﹣2<a<3且a≠±1,∴a=0符合题意.当a=0时,原式==﹣1.7.(2023•淮安)先化简,再求值:÷(1+),其中a=+1.【答案】,.【解答】解:原式=÷(+)=÷=•=,当a=+1时,原式==.8.(2023•朝阳)先化简,再求值:(+)÷,其中x=3.【答案】,1.【解答】解:原式=[+]•=•=,当x=3时,原式==1.。
八年级数学上册第十五章分式基础知识点归纳总结单选题1、若数a使关于x的分式方程2x−1+a1−x=4的解为正数,则a的取值正确的是()A.a<6且a≠2B.a>6且a≠1C.a<6D.a>6答案:A分析:表示出分式方程的解,由解为正数确定出a的范围即可.解:分式方程整理得:2x−1−ax−1=4,去分母得:2−a=4x−4,解得:x=6−a4,由分式方程的解为正数,得到6−a4>0,且6−a4≠1,解得:a<6且a≠2.故选:A.小提示:此题考查了分式方程的解,始终注意分母不为0这个条件.2、若关于x的分式方程m+4x−3=3xx−3+2有增根,则m的值为()A.2B.3C.4D.5答案:D分析:根据分式方程有增根可求出x=3,方程去分母后将x=3代入求解即可.解:∵分式方程m+4x−3=3xx−3+2有增根,∴x=3,去分母,得m+4=3x+2(x−3),将x=3代入,得m+4=9,解得m=5.故选:D.小提示:本题考查了分式方程的无解问题,掌握分式方程中增根的定义及增根产生的原因是解题的关键.3、若把分式2x x+y 中的x 和y 同时扩大为原来的3倍,则分式的值( )A .扩大到原来的3倍B .扩大到原来的6倍C .缩小为原来的13D .不变 答案:D分析:根据分式的基本性质即可求出答案.解:∵2×3x 3x+3y =2×3x 3(x+y )=2xy x+y ,∴把分式2x x+y 中的x 和y 同时扩大为原来的3倍,则分式的值不变,故选:D .小提示:本题考查分式的基本性质,解题的关键是熟练运用分式的基本性质,本题属于基础题型.4、计算x x+1+1x+1的结果是( )A .x x+1B .1x+1C .1D .−1答案:C分析:根据同分母分式的加法法则,即可求解.解:原式=x+1x+1=1, 故选C .小提示:本题主要考查同分母分式的加法法则,掌握”同分母分式相加,分母不变,分子相加“是解题的关键.5、若a +b =5,则代数式(b 2a ﹣a )÷(a−b a )的值为( )A .5B .﹣5C .﹣15D .15 答案:B分析:原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,约分得到最简结果,把已知等式代入计算即可求出值.∵a +b =5,∴原式=b 2−a 2a ⋅a a−b =−(a+b )(a−b )a ⋅a a−b =−(a +b )=−5, 故选:B .小提示:考查分式的化简求值,掌握减法法则以及除法法师是解题的关键,注意整体代入法在解题中的应用.6、某工厂新引进一批电子产品,甲工人比乙工人每小时多搬运30件电子产品,已知甲工人搬运300件电子产品所用的时间与乙工人搬运200件电子产品所用的时间相同.若设乙工人每小时搬运x件电子产品,可列方程为()A.300x =200x+30B.300x−30=200xC.300x+30=200xD.300x=200x−30答案:C分析:乙工人每小时搬运x件电子产品,则甲工人每小时搬运(x+30)件电子产品,根据300÷甲的工效= 200÷乙的工效,列出方程即可.乙工人每小时搬运x件电子产品,则甲工人每小时搬运(x+30)件电子产品,依题意得:300x+30=200x,故选C.小提示:本题考查了分式方程的应用,弄清题意,根据关键描述语句找到合适的等量关系是解决问题的关键..7、若关于x的分式方程2x−a −3x=0的解为x=3,则常数a的值为()A.a=2B.a=−2C.a=−1D.a=1答案:D分析:根据题意将原分式方程的解x=3代入原方程求出a的值即可.解:∵关于x的分式方程2x−a −3x=0解为x=3,∴23−a−1=0,∴2=3−a,∴a=1,经检验,a=1是方程23−a−1=0的解,故选:D.小提示:本题主要考查了利用分式方程的解求参数,熟练掌握相关方法是解题关键.8、解方程2x−13=x+a2−1时,小刚在去分母的过程中,右边的“-1”漏乘了公分母6,因而求得方程的解为x=2,则方程正确的解是( )A .x =−3B .x =−2C .x =13D .x =−13答案:A分析:先按此方法去分母,再将x=-2代入方程,求得a 的值,然后把a 的值代入原方程并解方程.解:把x =2代入方程2(2x -1)=3(x +a )-1中得:6=6+3a -1,解得:a =13,正确去分母结果为2(2x -1)=3(x +13)-6, 去括号得:4x -2=3x +1-6,解得:x =-3.故选:A小提示:本题考查了一元一次方程的解的定义以及解一元一次方程.使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解.把方程的解代入原方程,等式左右两边相等.9、下列运算正确的是( )A .2a +3b =5abB .(−ab)2=a 2bC .a 2⋅a 4=a 8D .2a 6a 3=2a 3答案:D分析:根据合并同类项法则,同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方以及单项式除以单项式法则解答. 解:A 、2a 与3b 不是同类项,不能合并,故本选项错误;B 、原式=a 2b 2,故本选项错误;C 、原式=a 6,故本选项错误;D 、原式=2a 3,故本选项正确.故选D .小提示:本题考查了同底数幂的乘法的性质与同类项合并同类项法则,熟练掌握性质和法则是解题的关键.10、下列分式中是最简分式的是( )A .2x 2B .42xC .x−1x 2−1D .x−1(x−1)2答案:A分析:一个分式的分子分母无公因式或公因数叫最简分式,四个选项逐个分析排除,只有选项A是最简分式,选项B、C、D中分子分母分别有公因数2、公因式x−1、公因式x−1,都不是最简分式.选项A不能约分,是最简分式;选项B中分子分母有公因数2,可约分,不是最简分式;选项C中x−1x2−1=x−1(x+1)(x−1),分子分母有公因式x−1,可约分,不是最简分式;选项D中分子分母有公因式x−1,可约分,不是最简分式;故选:A.小提示:本题主要考查了最简分式的概念,最简分式指的是分子分母无无公因式或公因数的分式,有时需要将分子分母进行因式分解再判断.填空题11、计算2m−2−mm−2的结果是 ____.答案:−1分析:根据分式的减法法则即可得.解:原式=2−mm−2=−(m−2) m−2=−1,所以答案是:−1.小提示:本题考查了分式的减法,熟练掌握运算法则是解题关键.12、若实数m使得关于x的不等式组{2x>23x<m+1无解,则关于y的分式方程yy−1=4−m2y−2的最小整数解是_________.答案:2分析:先求出每个不等式的解集,然后根据不等式组无解求出m的取值范围,再解分式方程从而确定y的取值范围即可得到答案.解:解不等式2x>2得:x>1,解不等式3x <m +1得:x <m+13, ∵不等式组无解,∴m+13≤1,∴m ≤2;y y −1=4−m 2y −2去分母得2y =4−m ,解得y =4−m 2,∵m ≤2,∴4−m ≥2∴y =4−m 2≥1,又∵y −1≠0,∴y >1,∴y 的最小整数解为2,所以答案是:2小提示:本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数,解分式方程,熟知相关计算法则是解题的关键.13、方程22x−1+x 1−2x =1的解是________.答案:x =1分析:原方程去分母得到整式方程,求解整式方程,最后检验即可.解:22x−1+x 1−2x =1, 22x−1﹣x 2x−1=1, 方程两边都乘2x ﹣1,得2﹣x =2x ﹣1,解得:x =1,检验:当x =1时,2x ﹣1≠0,所以x =1是原方程的解,即原方程的解是x=1,所以答案是:x=1.小提示:本题考查了解分式方程,把分式方程转化为整式方程是解答本题的关键,注意解分式方程不一定要检验.14、若|a|=2,且(a−2)0=1,则2a的值为_______.##0.25答案:14分析:根据绝对值的意义得出a=±2,根据(a−2)0=1,得出a−2≠0,求出a的值,即可得出答案.解:∵|a|=2,∴a=±2,∵(a−2)0=1,∴a−2≠0,即a≠2,∴a=−2,∴2a=2−2=1.4所以答案是:1.4小提示:本题主要考查了绝对值的意义,零指数幂有意义的条件,根据题意求出a=−2,是解题的关键.15、用科学记数法将﹣0.03896保留两位有效数字为____.答案:﹣3.9×10﹣2分析:先根据科学记数法表示该数,再保留两个有效数字即可.解:﹣0.03896=﹣3.896×10﹣2≈﹣3.9×10﹣2,所以答案是:﹣3.9×10﹣2.小提示:此题考查了科学记数法的表示方法,有效数字的概念,正确理解各知识点是解题的关键.解答题16、为推动家乡学校篮球运动的发展,某公司计划出资12000元购买一批篮球赠送给家乡的学校.实际购买时,每个篮球的价格比原价降低了20元,结果该公司出资10000元就购买了和原计划一样多的篮球,每个篮球的原价是多少元?答案:每个篮球的原价是120元.分析:设每个篮球的原价是x 元,则每个篮球的实际价格是(x ﹣20)元,根据“该公司出资10000元就购买了和原计划一样多的篮球”列出方程并解答.解:设每个篮球的原价是x 元,则每个篮球的实际价格是(x ﹣20)元,根据题意,得12000x =10000x−20.解得x =120.经检验x =120是原方程的解.答:每个篮球的原价是120元.小提示:本题考查了分式方程的应用,根据题意列出方程是解题的关键.17、若a ,b 为实数,且(a−2)2+|b 2−16|b+4=0,求3a ﹣b 的值. 答案:2分析:根据题意可得{a −2=0b 2−16=0b +4≠0,解方程组可得a,b,再代入求值.解:∵(a−2)2+|b 2−16|b+4=0,∴{a −2=0b 2−16=0b +4≠0,解得{a =2b =4, ∴3a ﹣b=6﹣4=2.故3a ﹣b 的值是2.小提示:本题考核知识点:分式性质,非负数性质.解题关键点:理解分式性质和非负数性质.18、阅读材料:对于非零实数a ,b ,若关于x 的分式(x−a)(x−b)x 的值为零,则解得x 1=a ,x 2=b .又因为(x−a)(x−b)x =x 2−(a+b)x+ab x=x +ab x ﹣(a +b ),所以关于x 的方程x +ab x =a +b 的解为x 1=a ,x 2=b . (1)理解应用:方程x 2+2x =3+23的解为:x 1= ,x 2= ;(2)知识迁移:若关于x 的方程x +3x =5的解为x 1=a ,x 2=b ,求a 2+b 2的值;(3)拓展提升:若关于x 的方程4x−1=k ﹣x 的解为x 1=t +1,x 2=t 2+2,求k 2﹣4k +2t 3的值. 答案:(1)3,23;(2)19;(3)12. 分析:(1)根据题意可得x =3或x =23;(2)由题意可得a +b =5,ab =3,再由完全平方公式可得a 2+b 2=(a +b )2-2ab =19;(3)方程变形为x -1+4x−1=k -1,则方程的解为x -1=t 或x -1=t 2+1,则有t (t 2+1)=4,t +t 2+1=k -1,整理得k =t +t 2+2,t 3+t =4,再将所求代数式化为k 2-4k +2t 3=t (t 3+t )+4t 3-4=4(t 3+t )-4=12.(1)解:∵x +ab x =a +b 的解为x 1=a ,x 2=b ,∴x 2+2x =x +2x =3+23的解为x =3或x =23,所以答案是:3,23;(2)解:∵x +3x =5,∴a +b =5,ab =3,∴a 2+b 2=(a +b )2-2ab =25-6=19; (3)解:4x−1=k -x 可化为x -1+4x−1=k -1,∵方程4x−1=k -x 的解为x 1=t +1,x 2=t 2+2,则有x -1=t 或x -1=t 2+1,∴t (t 2+1)=4,t +t 2+1=k -1, ∴k =t +t 2+2,t 3+t =4, k 2-4k +2t 3=k (k -4)+2t 3=(t+t2+2)(t+t2-2)+2t3=t4+4t3+t2-4=t(t3+t)+4t3-4=4t+4t3-4=4(t3+t)-4=4×4-4=12.小提示:本题考查了分式方程的解,理解题意,灵活求分式方程的解,并结合完全平方公式对代数式求值是解题的关键.。
初二数学分式知识点一、引言分式是初中数学中的重要概念,它在代数运算、方程求解以及后续的高中数学学习中都扮演着关键角色。
本文旨在总结初二数学中分式的基本概念、性质、运算规则以及应用实例,帮助学生掌握分式相关知识点。
二、分式的定义1. 分式:形如 \(\frac{a}{b}\) 的代数式,其中 \(a\) 称为分子,\(b\) 称为分母,\(b \neq 0\)。
2. 条件:分母不能为零,因为除以零没有定义。
三、分式的基本性质1. 等值变换:分式的分子和分母同时乘以或除以同一个非零数,分式的值不变。
2. 符号规则:分式的符号由分子和分母的符号决定,分子分母同号结果为正,异号结果为负。
3. 约分:通过找出分子和分母的最大公约数并约去,简化分式。
4. 通分:将多个分式转化为具有相同分母的分式,便于进行加减运算。
四、分式的运算规则1. 加减法:- 同分母分式相加减:分子相加减,分母不变。
- 异分母分式相加减:先通分,再按照同分母分式进行加减。
2. 乘法:- 分式的乘法:分子乘分子,分母乘分母。
3. 除法:- 分式的除法:将除数的分式取倒数,然后进行乘法运算。
4. 乘方:- 分式的乘方:分子和分母分别取方。
五、分式的解方程1. 一元一次方程:通过移项和化简分式,求解未知数。
2. 一元二次方程:在解一元二次方程时,要注意分式的化简和检验根。
六、分式的应用题1. 比例问题:利用分式表示比例关系,解决实际问题。
2. 工作问题:通过分式方程解决工作效率和工作时间的问题。
3. 浓度问题:使用分式计算溶液的稀释和浓缩。
七、常见题型与解题技巧1. 化简求值:熟练掌握分式的化简方法,准确求出分式的值。
2. 分式方程:注意检验解的有效性,避免出现除以零的情况。
3. 应用题:理解题意,找出等量关系,建立分式方程求解。
八、总结分式是初中数学的重要内容,掌握分式的性质和运算规则对于提高数学成绩至关重要。
通过不断的练习和应用,可以加深对分式概念的理解,提高解题能力。
分式知识点总结及复习一、分式的定义如果 A、B 表示两个整式,并且 B 中含有字母,那么式子 A/B 就叫做分式。
其中 A 叫做分子,B 叫做分母。
需要注意的是,分母 B 的值不能为 0,如果 B=0,那么分式 A/B 就没有意义。
例如:1/x,(x + 1)/(x 1) 都是分式。
二、分式有意义、无意义及值为 0 的条件1、分式有意义的条件:分母不为 0,即B ≠ 0。
例如,对于分式 1/(x 2),要使其有意义,则x 2 ≠ 0,即x ≠ 2。
2、分式无意义的条件:分母为 0,即 B = 0。
比如,分式 2/(x + 3),当 x + 3 = 0 时,即 x =-3,该分式无意义。
3、分式的值为 0 的条件:分子为 0 且分母不为 0,即 A = 0 且 B ≠ 0。
像分式(x 1)/(x + 2),当 x 1 = 0 且 x +2 ≠ 0 时,分式的值为 0,解得 x = 1。
三、分式的基本性质分式的分子和分母同时乘以(或除以)同一个不为 0 的整式,分式的值不变。
用式子表示为:A/B =(A×C)/(B×C) ,A/B =(A÷C)/(B÷C) (其中 C 是不等于 0 的整式)。
例如:化简分式 2a/(4ab),分子分母同时除以 2a,得到 1/(2b)。
四、分式的约分把一个分式的分子和分母的公因式约去,叫做分式的约分。
约分的关键是确定分子和分母的公因式。
确定公因式的方法:1、系数:取分子和分母系数的最大公因数。
2、字母:取相同字母的最低次幂。
例如:对分式(6x²y)/(9xy²) 进行约分,系数的最大公因数是3,相同字母 x 的最低次幂是 x,y 的最低次幂是 y,约分后得到 2x/(3y) 。
五、分式的通分把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式,叫做分式的通分。
通分的关键是确定几个分式的最简公分母。
确定最简公分母的方法:1、取各分母系数的最小公倍数。
第十五章分式知识点归纳与整理§15.1分式1.分式的概念形如BA(A 、B 是整式,且B 中含有字母,B ≠0)的式子,叫做分式.其中 A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母 整式和分式统称有理式。
特别注意:1π不是分式。
2.分式的基本性质分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变。
MB MA MB M A B A ÷÷=••=(其中0,0≠≠B M ,且M B A ,,均表示的是整式) 【分式的约分】首先要找出分子与分母的公因式,再把分子与分母的公因式约去。
【分式的通分】通分的关键是确定几个分式的公分母,通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母(叫做最简公分母)。
§15.2 分式的运算1.分式的乘除【乘法法则】分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母。
注意:如果得到的不是最简分式,应该通过约分进行化简。
【除法法则】分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘。
2.分式的加减法同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减;异分母的分式想加减,先通分,变为同分母的分式,再把分子相加减。
3.分式的乘方【乘方法则】n n nb a b a =⎪⎭⎫⎝⎛【零指数幂】任何不等于零的数的零次幂都等于1。
【负整指数幂】任何不等于零的数的-N (N 为正整数)次幂,等于这个数的N 次幂的倒数。
【正整数指数幂运算性质】注意:这些性质在整数指数幂中同样适用。
4.科学记数法:把一个数表示成的形式10n a ⨯(其中101<≤a ,n 是整数)的记数方法叫做科学记数法。
(1)用科学记数法表示绝对值大于1的数时,应当表示为10n a ⨯的形式, 其中1≤︱a ︱<10,n 为原整数部分的位数减1;(2)用科学记数法表示绝对值小于1的数时,则可表示为10n a -⨯的形式,其中n 为原数第1个不为0的数字前面所有0的个数(包括小数点前面的那个0),1≤︱a ︱<10。
考点卡片1.分式的定义(1)分式的概念:一般地,如果A,B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子叫做分式.(2)因为0不能做除数,所以分式的分母不能为0.(3)分式是两个整式相除的商,分子就是被除式,分母就是除式,而分数线可以理解为除号,还兼有括号的作用.(4)分式的分母必须含有字母,而分子可以含字母,也可以不含字母,亦即从形式上看是AB的形式,从本质上看分母必须含有字母,同时,分母不等于零,且只看初始状态,不要化简.(5)分式是一种表达形式,如x+1x+2是分式,如果形式都不是AB的形式,那就不能算是分式了,如:(x+1)÷(x+2),它只表示一种除法运算,而不能称之为分式,但如果用负指数次幂表示的某些代数式如(a+b)﹣2,y﹣1,则为分式,因为y﹣1=1y仅是一种数学上的规定,而非一种运算形式.2.分式有意义的条件(1)分式有意义的条件是分母不等于零.(2)分式无意义的条件是分母等于零.(3)分式的值为正数的条件是分子、分母同号.(4)分式的值为负数的条件是分子、分母异号.3.分式的值为零的条件分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零.注意:“分母不为零”这个条件不能少.4.分式的值分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型,而条件分式求值是较难的一种题型,在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发,通过适当的变形、转化,才能发现解题的捷径.5.约分(1)约分的定义:约去分式的分子与分母的公因式,不改变分式的值,这样的分式变形叫做分式的约分.(2)确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定.①分式约分的结果可能是最简分式,也可能是整式.②当分子与分母含有负号时,一般把负号提到分式本身的前面.③约分时,分子与分母都必须是乘积式,如果是多项式的,必须先分解因式.(3)规律方法总结:由约分的概念可知,要首先将分子、分母转化为乘积的形式,再找出分子、分母的最大公因式并约去,注意不要忽视数字系数的约分.6.分式的乘除法(1)分式的乘法法则:分式乘分式,用分子的积作积的分子,分母的积作积的分母.(2)分式的除法法则:分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘.(3)分式的乘方法则:把分子、分母分别乘方.(4)分式的乘、除、乘方混合运算.运算顺序应先把各个分式进行乘方运算,再进行分式的乘除运算,即“先乘方,再乘除”.(5)规律方法总结:①分式乘除法的运算,归根到底是乘法的运算,当分子和分母是多项式时,一般应先进行因式分解,再约分.②整式和分式进行运算时,可以把整式看成分母为1的分式.③做分式乘除混合运算时,要注意运算顺序,乘除法是同级运算,要严格按照由左到右的顺序进行运算,切不可打乱这个运算顺序.7.分式的加减法(1)同分母分式加减法法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.(2)异分母分式加减法法则:把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式,叫做通分,经过通分,异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减.:说明:①分式的通分必须注意整个分子和整个分母,分母是多项式时,必须先分解因式,分子是多项式时,要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘,而不能只同其中某一项相乘.②通分是和约分是相反的一种变换.约分是把分子和分母的所有公因式约去,将分式化为较简单的形式;通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式,使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式.约分是对一个分式而言的;通分则是对两个或两个以上的分式来说的.8.分式的化简求值先把分式化简后,再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值.在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简.化简的最后结果分子、分母要进行约分,注意运算的结果要化成最简分式或整式.【规律方法】分式化简求值时需注意的问题1.化简求值,一般是先化简为最简分式或整式,再代入求值.化简时不能跨度太大,而缺少必要的步骤,代入求值的模式一般为“当…时,原式=…”.2.代入求值时,有直接代入法,整体代入法等常用方法.解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法.当未知数的值没有明确给出时,所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义,且除数不能为0.9.零指数幂零指数幂:a0=1(a≠0)由a m÷a m=1,a m÷a m=a m﹣m=a0可推出a0=1(a≠0)注意:00≠1.10.解一元一次方程(1)解一元一次方程的一般步骤:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1,这仅是解一元一次方程的一般步骤,针对方程的特点,灵活应用,各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化.(2)解一元一次方程时先观察方程的形式和特点,若有分母一般先去分母;若既有分母又有括号,且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母,就先去括号.(3)在解类似于“ax+bx=c”的方程时,将方程左边,按合并同类项的方法并为一项即(a+b)x=c.使方程逐渐转化为ax=b的最简形式体现化归思想.将ax=b系数化为1时,要准确计算,一弄清求x时,方程两边除以的是a还是b,尤其a 为分数时;二要准确判断符号,a、b同号x为正,a、b异号x为负.11.分式方程的解求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值,这个值叫方程的解.注意:在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根,增根是令分母等于0的值,不是原分式方程的解.12.解分式方程(1)解分式方程的步骤:①去分母;②求出整式方程的解;③检验;④得出结论.(2)解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0,所以应如下检验:①将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解.②将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值为0,则整式方程的解不是原分式方程的解.所以解分式方程时,一定要检验.13.分式方程的增根(1)增根的定义:在分式方程变形时,有可能产生不适合原方程的根,即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根,叫做原方程的增根.(2)增根的产生的原因:对于分式方程,当分式中,分母的值为零时,无意义,所以分式方程,不允许未知数取哪些使分母的值为零的值,即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整式方程以后,这种限制取消了,换言之,方程中未知数的值范围扩大了,如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值,那么就会出现增根.(3)检验增根的方法:把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母,看最简公分母是否为0,如果为0,则是增根;如果不是0,则是原分式方程的根.14.分式方程的应用1、列分式方程解应用题的一般步骤:设、列、解、验、答.必须严格按照这5步进行做题,规范解题步骤,另外还要注意完整性:如设和答叙述要完整,要写出单位等.2、要掌握常见问题中的基本关系,如行程问题:速度=路程时间;工作量问题:工作效率=工作量工作时间等等.列分式方程解应用题一定要审清题意,找相等关系是着眼点,要学会分析题意,提高理解能力.15.一元一次不等式的应用(1)由实际问题中的不等关系列出不等式,建立解决问题的数学模型,通过解不等式可以得到实际问题的答案.(2)列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系.因此,建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵.(3)列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤:①弄清题中数量关系,用字母表示未知数.②根据题中的不等关系列出不等式.③解不等式,求出解集.④写出符合题意的解.。
人教版八年级数学上册第十五章分式知识点总结和题型归纳分式知识点总结和题型归纳第一部分分式的运算一)分式的定义及有关题型考查分式的定义:一般地,如果A,B表示两个整数,并且B中含有字母,那么式子A/B为分式。
例1:下列代数式中是分式的有:(x- y)/(2x+ y),π/(2x- y),(x+ y)/(a+ b)。
考查分式有意义的条件:分式有意义:分母不为0 (B≠0)分式无意义:分母为0 (B=0)例1:当x有何值时,下列分式有意义:1) (x-4)/(13x2-6x)2) 2/x3) 2/(x-4)4) (x+4|x|-3x+2)/(x-1)5) x/(x2-2x-3)考查分式的值为的条件:分式值为:分子为A且分母不为0 (A/B) 例1:当x取何值时,下列分式的值为0.1) (x-1)/(x+3)2) |x|-23) (x2-2x-3)/(x-5)(x+6)例2:当x为何值时,下列分式的值为零:1) 5-|x-1|/(x+4)2) (25-x2)/(x-6)(x+5)考查分式的值为正、负的条件:分式值为正或大于0:分子分母同号 (A/B>0) 分式值为负或小于0:分子分母异号 (A/B<0) 例1:(1) 当x为何值时,分式4/(8-x)为正;2) 当x为何值时,分式5-x/(5+x)为负;3) 当x为何值时,分式(x-2)/(x+3)为非负数.例2:解不等式|x|-2≤(x+1)/(x+5)考查分式的值为1,-1的条件:分式值为1:分子分母值相等 (A/B=1)分式值为-1:分子分母值互为相反数 (A+B=0)例1:若分式|x-2|/(x+2)的值为1,-1,则x的取值分别为3和-1.思维拓展练题:1、若a>b>0,a2+b2-6ab=0,则(a+b)/(a-b)=9/5.2、一组按规律排列的分式:-b/2.5/b。
-8/b。
11/b。
则第n 个分式为(3n-1)/b。
分式涉及的必考点
分式是数学中常见的一种运算形式,也是高中数学中的一个必考点。
在分式的操作中,有几个重要的知识点需要掌握:
1. 分式的化简:将分式的分子和分母进行约分、提公因数、通
分等操作,使分式变得更简洁。
2. 分式的乘除:将两个分式进行乘法或除法运算,需要将它们
化为通分形式,再进行相应的运算。
3. 分式的加减:将两个分式进行加法或减法运算,需要将它们
化为通分形式,再进行相应的运算。
4. 分式的解方程:在一些数学问题中,需要将方程中的未知数
表示成分式的形式,然后进行进一步的求解。
5. 分式的应用:分式在实际问题中的应用非常广泛,比如速度、密度、浓度等的计算,以及金融领域中的利率、折扣等的计算。
以上是分式涉及的一些必考点,希望同学们在学习分式的过程中,能够夯实基础,掌握这些知识点,从而在高中数学中取得优异的成绩。
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