2019高中数学第一章导数及其应用1.3.3导数的实际应用课后训练新人教B版

1.3。

3 导数的实际应用1．了解导数在解决利润最大、效率最高、用料最省等实际问题中的作用．(重点)2．能利用导数求出某些实际问题的最大值（最小值）．（难点、易混点)［基础·初探]教材整理导数在实际生活中的应用阅读教材P30～P33“练习”以上部分，完成下列问题．1．最优化问题生活中经常遇到求__________、__________、________等问题，这些问题通常称为最优化问题．2．用导数解决最优化问题的基本思路【答案】 1.利润最大用料最省效率最高 2.函数导数1．做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为( )A．6 m B．8 mC．4 m D．2 m【解析】设底面边长为x m，高为h m，则有x2h＝256，所以h＝错误!。

所用材料的面积设为S m2，则有S＝4x·h＋x2＝4x·错误!＋x2＝错误!＋x2.S′＝2x－错误!,令S′＝0，得x＝8，因此h＝错误!＝4(m)．【答案】C2．某一件商品的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出（200－x)件，当每件商品的定价为______元时，利润最大．【解析】利润为S（x）＝（x－30)（200－x）＝－x2＋230x－6 000，S′(x)＝－2x＋230,由S′（x)＝0，得x＝115，这时利润达到最大．【答案】115［质疑·手记]预习完成后,请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑:疑问3：解惑:[小组合作型]面积、体积的最值问题的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A,B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上,是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x(cm）．图1。

3。

9(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值?（2）某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．【精彩点拨】弄清题意，根据“侧面积＝4×底面边长×高”和“体积＝底面边长的平方×高”这两个等量关系，用x将等量关系中的相关量表示出来，建立函数关系式,然后求最值．【自主解答】设包装盒的高为h cm，底面边长为a cm。

1.3.3 导数的实际应用1．学会解决实际问题的基本方法，注意首先通过分析、思考、总结、联想，建立问题涉及的变量之间的函数关系式，然后根据实际意义确定定义域．2．学会利用导数求解实际问题，感受导数在解决实际问题中的作用．求实际问题中的最值的主要步骤(1)列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f (x )； (2)求函数的导数f′(x )，解方程________；(3)比较函数在区间______和使f′(x )＝0的点的取值大小，最大(小)者为最大(小)值．(1)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考虑，不符合实际意义的理论值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f′(x )＝0的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值；(3)在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示，还应确定函数关系式中自变量的定义区间．【做一做1－1】内接于半径为R 的半圆的周长最大的矩形的边长为( )． A ．R 2和32R B ．55R 和455R C ．45R 和75R D ．以上都不对 【做一做1－2】面积为S 的所有矩形中，其周长最小的是________．如何求解实际应用题？剖析：解应用题首先要在阅读材料、理解题意的基础上把实际问题抽象成数学问题．就是从实际问题出发，抽象概括，利用数学知识建立相应的数学模型；再利用数学知识对数学模型进行分析、研究，得到数学结论；然后再把数学结论返回到实际问题中进行检验，其思路如下：(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，找出问题的主要关系； (2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型； (3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；(4)对结果进行验证评估，定性、定量分析，作出正确的判断，确定其答案．值得注意的是：在实际问题中，有时会遇到函数在定义区间内只有一个点使f′(x )＝0的情形，如果函数在这个点有极大(小)值，那么不与端点值比较也可以知道这就是最大(小)值．这里所说的也适用于开区间或无穷区间．题型一 利用导数求实际问题的最小值【例题1】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值． 分析：根据题设条件构造函数关系，再应用导数求最值．反思：解答一道应用题重点要过三关：事理关(需要读懂题意，知道讲的是什么事件)；文理关(需要把实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学关系)；数理关(要求学生有对数学知识的检索能力，认定或构建相应的数学模型，完成由实际问题向数学问题的转化，进而借助数学知识进行解答)．对于这类问题，往往因忽视了数学语言和普通语言的转换，从而造成了解决应用问题的最大思维障碍．题型二 利用导数求实际问题的最大值【例题2】如图所示，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r ，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记CD ＝2x ，梯形面积为S .(1)求面积S 以x 为自变量的函数关系式，并写出其定义域； (2)求面积S 的最大值．分析：建立坐标系，求出椭圆方程，表示出梯形的面积，应用导数求最值．反思：本题的关键是建立直角坐标系，得到椭圆方程x 2r 2＋y 24r2＝1(y ≥0)，进而得到梯形面积S ＝2(x ＋r )·r 2－x 2.利用导数法解决实际问题，当遇到在定义区间内只有一个点使f′(x )＝0的情形时，若函数在这一点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值．题型三 易错辨析 易错点：在运用导数解决实际问题的过程中，常常因为忽略实际问题中函数的定义域而造成结果求解错误．解决问题的主要措施为：在准确理解题意的基础上，正确建模，在实际问题的定义域范围内求出问题的最优解．【例题3】某厂生产一种机器，其固定成本(即固定投入)为0.5万元．但每生产100台，需要增加可变成本(即另增加投入)0.25万元．市场对此产品的年需求量为500台，销售收入(单位：万元)函数为R (x )＝5x －12x 2(0≤x ≤5)，其中x 是产品售出的数量(单位：百台)．(1)把利润表示为年产量的函数；(2)年产量是多少时，工厂所得利润最大？错解：(1)y ＝R (x )－C (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫5x －12x 2－(0.5＋0.25x )＝－12x 2＋194x －12(0≤x ≤5)． (2)y′＝－x ＋194，令y′＝0，得x ＝194＝4.75，∴4.75必为最大值点．∴年产量为475台时，工厂利润最大．1将8分为两数之和，使其立方之和为最小，则分法为( )． A ．2和6 B ．4和4C ．3和5D ．以上都不对 2用边长为48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，当所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为( )．A ．6 cmB ．8 cmC ．10 cmD ．12 cm3某车间要靠墙壁盖一间长方形小屋，现有砖只够砌20 m 长的墙壁，则应围成长为________ m ，宽为________ m 的长方形才能使小屋面积最大．4做一个容积为256的方底无盖水箱，当它的高为________时，最省材料． 答案：基础知识·梳理(2)f′(x )＝0 (3)端点【做一做1－1】B 设矩形的一边长为x ，则另一边长为2R 2－x 2，周长l ＝2x ＋4R 2－x 2(0＜x ＜R )，∴l ′＝2－4xR 2－x2，令l ′＝0，得x 1＝55R ，x 2＝－55R (舍去)，当0＜x ＜55R 时，l ′＞0；当55R ＜x ＜R 时，l ′＜0，所以当x ＝55R 时，l 取最大值，即矩形周长最大时边长为55R 和455R . 【做一做1－2】以S 为边长的正方形 设矩形的一边长为x ，则另一边长为Sx，周长f (x )＝2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋S x ，f′(x )＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－S x2，令f′(x )＝0，得x ＝S ，易知当x ＝S 时，f (x )有极小值，也就是最小值．典型例题·领悟【例题1】解：(1)设隔热层厚度为x cm ，由题设，每年能源消耗费用为C (x )＝k 3x ＋5，又C (0)＝8，∴k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5，而建造费用C 1(x )＝6x ，从而隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x ＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10) (2)f′(x )＝6－2 400x ＋2，令f′(x )＝0，即2 400x ＋2＝6，得x 1＝5，x 2＝－253(舍去)，当0＜x ＜5时，f′(x )＜0，当5＜x ＜10时，f′(x )＞0，故5是f (x )的最小值点，对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70，即当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值70万元．【例题2】解：(1)依题意，以AB 所在的直线为x 轴，AB 的中点O 为原点建立直角坐标系(如图所示)，则点C 的横坐标为x ，点C 的纵坐标y 满足方程x 2r 2＋y 24r2＝1(y ≥0)，即y ＝2r 2－x 2(0＜x ＜r )．S ＝12(2x ＋2r )·2r 2－x 2＝2(x ＋r )·r 2－x 2，其定义域为{x |0＜x ＜r }．(2)记f (x )＝4(x ＋r )2(r 2－x 2)，0＜x ＜r ，则f′(x )＝8(x ＋r )2(r －2x )． 令f′(x )＝0，得x ＝12r .因为当0＜x ＜r2时，f′(x )＞0；当r2＜x ＜r 时，f′(x )＜0， 所以f (12r )是f (x )的最大值．因此，当x ＝12r 时，S 也取得最大值，最大值为f12r ＝332r 2.故梯形面积S 的最大值为332r 2.【例题3】错因分析：实际问题中，该厂生产的产品数量不一定在500台之内(含500台)，应有x ＞5的情况，错解忽视了此种情况，就出现了错误．正解：(1)利润y ＝R (x )－C (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎪⎫5x －x 22－＋0.25x x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫5×5－522－＋0.25xx ＞，＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋4.75x －x，12－0.25x x ＞(2)0≤x ≤5时，y ＝－12x 2＋4.75x －0.5，∴当x ＝4.75时，y max ≈10.78(万元)；当x ＞5时，y ＝12－0.25x ＜12－0.25×5＝10.75(万元)． ∴年产量是475台时，工厂所得利润最大． 随堂练习·巩固1．B 设其中一个数为x ，则另一个数为8－x ，y ＝x 3＋(8－x )3，0≤x ≤8，y′＝3x2－3(8－x )2，令y′＝0即3x 2－3(8－x )2＝0，得x ＝4.当0≤x ＜4时，y′＜0；当4＜x ≤8时，y′＞0.所以当x ＝4时，y 最小．2．B 设截去的小正方形的边长为x cm ，铁盒的容积为V cm 3，由题意，得V ＝x (48－2x )2(0＜x ＜24)，V ′＝12(24－x )(8－x )．令V ′＝0，则在区间(0,24)内有解x ＝8，故当x ＝8时，V 有最大值．3．10 5 设长为x m ，宽为y m ，则x ＋2y ＝20，y ＝10－x2.S ＝x ·y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫10－x 2＝10x－x 22，S ′＝10－x ，令S ′＝0，得x ＝10，∴x ＝10，y ＝5.4．4 设方底无盖水箱的底面边长为a ，高为h ，则V ＝a 2h ＝256，即h ＝256a2.用料最省，即表面积最小．S 表＝S 底＋S 侧＝a 2＋4ah ＝a 2＋4a 256a 2＝a 2＋1 024a .S ′＝2a －1 024a2.令S ′＝0，得2a －1 024a 2＝0，解得a ＝8，此时h ＝25664＝4.。

高中数学（ B 版）必修一第一章集合1．1集合与集合的表示方法1．2集合之间的关系与运算第二章函数2．1函数2．2一次函数和二次函数2．3函数的应用（Ⅰ）2．4函数与方程第三章基本初等函数（Ⅰ）3．1指数与指数函数3．2对数与对数函数3．3幂函数3．4函数的应用（Ⅱ）高中数学（ B 版）必修二第一章立体几何初步1．1空间几何体1．2 点、线、面之间的位置关系第二章平面解析几何初步2．1平面真角坐标系中的基本公式2．2 直线方程2．3圆的方程2．4 空间直角坐标系高中数学（ B 版）必修三第一章算法初步1．1算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3中国古代数学中的算法案例第二章统计2．1随机抽样 2．2用样本估计总体 2．3 变量的相关性第三章概率3．1随机现象3．2古典概型3．3随机数的含义与应用3． 4概率的应用高中数学（ B 版）必修四第一章基本初等函 (Ⅱ)1．1任意角的概念与弧度制1．2 任意角的三角函数1．3三角函数的图象与性质第二章平面向量2．1向量的线性运算2．2向量的分解与向量的坐标运算2．3平面向量的数量积2．4向量的应用第三章三角恒等变换3．1和角公式3．2倍角公式和半角公式3．3三角函数的积化和差与和差化积高中数学（ B 版）必修五第一章解直角三角形1．1正弦定理和余弦定理1．2应用举例第二章数列2．1数列2．2等差数列2．3等比数列第三章不等式3．1不等关系与不等式3．2均值不等式3．3一元二次不等式及其解法3．4不等式的实际应用3．5二元一次不等式（组）与简单线性规划问题高中数学（ B 版）选修 1－ 1第一章常用逻辑用语1．1命题与量词1．2基本逻辑联结词1．3充分条件、必要条件与命题的四种形式第二章圆锥曲线与方程2．1椭圆2．2双曲线第三章导数及其应用3．1导数3．2导数的运算高中数学（ B 版）选修3．31－ 2导数的应用第一章第三章统计案例数系的扩充与复数的引入第二章第四章推理与证明框图高中数学（ B 版）选修 2-1第一章常用逻辑用语1.1命题与量词 1.2基本逻辑联结词1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程 2.2椭圆 2.3双曲线2.4抛物线 2.5直线与圆锥曲线第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算 3.2空间向量在立体几何中的应用高中数学（ B 版）选修 2-2第一章导数及其应用1.1导数 1.2导数的运算1.3导数的应用 1.4定积分与微积分基本定理第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理 2.2 直接证明与间接证明2.3数学归纳法第三章数系的扩充与复数3.1数系的扩充与复数的概念 3.2 复数的运算高中数学（ B 版）选修 2-3第一章计数原理1.1 基本计数原理 1.2 排列与组合1.3 二项式定理第二章概率2.1 离散型随机变量及其分布列2.3 随机变量的数字特征2.2 条件概率与事件的独立性2.4 正态分布第三章统计案例3.1 独立性检验 3.2 回归分析高中数学（ B 版）选修 4－4第一章坐标系1.1直角坐标系平面上的压缩变换 2 极坐标系1.3曲线的极坐标方程 1.4圆的极坐标方程1.5柱坐标系和球坐标系第二章参数方程2.1 曲线的参数方程 2.2 直线和圆的参数方程2.3 圆锥曲线的参数方程高中数学（ B 版）选修 4－ 5第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1．1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法式1．3绝对值不等式的解法1．41．2 基本不等绝对值的三角不等式1．5不等式证明的基本方法第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2．1 柯西不等式2．2排序不等式2．3平均值不等式(选学)2．4最大值与最小值问题，优化的数学模型第三章数学归纳法与贝努利不等式3.1 数学归纳法原理 3.2 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式。

课后导练基础达标.用边长为的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边形折起，就能焊成铁盒.所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为()解析：设截去的小正方形的边长为，铁盒的容积为，由题意，得()(<<)′()().令′，则在()内有，故当时，有最大值.答案：.在半径为的半圆内作一内接梯形，使其底为直径，其他三边为圆的弦，当梯形面积最大时，梯形的上底长为( )解析：设梯形的上底长为，高为，面积为，因为令′，得.当∈(,)时，′>；当<<时，′<.∴当时，取极大值.当梯形的上底长为时，它的面积最大.答案：.设底为正三角形的直棱柱的体积为，那么其表面积最小时，底面边长为( ).解析：设底面边长为，侧棱长为，则·°·，∴.∴表底侧·°··.∴′.∴，即.又当∈(,)时′<，∈()时，′>，∴当时，表面积最小.答案：.以长为的线段为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为( )解析：如图，设∠θ，则矩形面积θ××θθ·θθ，故.答案：.函数()(<)( ).有最大值，但无最小值.有最大值，也有最小值.无最大值，也无最小值.无最大值，但有最小值答案：.某工厂需要围建一个面积为平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁.当新壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为.解析：要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，如右图所示，设场地宽为米，则长为米.因此新墙总长度(>),则′.令′，得±.∵>,∴.当时，极小值，∴堆料场的长为米.答案：米和米..函数在［］上的最大值、最小值分别是.答案：，.函数∈［,］的最大值是，最小值是.答案：.将一段长为的铁丝截成两段，一段弯成圆，一段弯成正方形.问如何截能使正方形与圆面积之和最小，并求出最小面积.解析：设弯成圆的一段长为，另一段长为，设正方形与圆的面积之和为，则π()(。

导数的应用第1题、 2007海南、宁夏文)设函数错误！超链接引用无效. （Ⅰ）讨论错误！超链接引用无效。

的单调性;(Ⅱ）求错误！超链接引用无效。

在区间错误！超链接引用无效.的最大值和最小值.答案:解:错误!超链接引用无效。

的定义域为错误!超链接引用无效。

.(Ⅰ)错误！超链接引用无效。

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；当错误!超链接引用无效.时，错误！超链接引用无效.. 从而，错误！超链接引用无效.分别在区间错误！超链接引用无效。

，错误！超链接引用无效.单调增加,在区间错误！超链接引用无效.单调减少.(Ⅱ)由（Ⅰ)知错误!超链接引用无效。

在区间错误！超链接引用无效.的最小值为错误！超链接引用无效。

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在区间错误！超链接引用无效.的最大值为错误！超链接引用无效.. 第2题、 (2002海南、宁夏理)曲线错误！超链接引用无效。

在点错误！超链接引用无效.处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） Ａ。

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Ｂ。

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Ｃ。

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答案：Ｄ第3题、 （2007海南、宁夏理）设函数错误！超链接引用无效。

.(I ）若当错误！超链接引用无效.时，错误!超链接引用无效。

取得极值，求错误！超链接引用无效。

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存在极值，求错误！超链接引用无效。

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答案：解:（Ⅰ)错误！超链接引用无效。

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1.3.3 导数的实际应用课后训练1．以长为10的线段AB为直径画半圆，则它的内接矩形面积的最大值为( )．A．10 B．15 C．25 D．502．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系是21400,0400,280000,400,x x xRx⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩则总利润最大时，每年的产量是( )．A．100 B．150 C．200 D．3003．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为( )．AcmCcm Dcm4．设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为( )．A．5．要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72 cm3，其底面两邻边长之比为1∶2，则它的长为________，宽为________，高为________时，可使表面积最小．6．在半径为r的圆内，作内接等腰三角形，当底边上的高为________时它的面积最大．7．某工厂拟建一座平面图(如图所示)为矩形且面积为200 m2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)，求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求最低总造价．8．如图，在直线y＝0和y＝a(a＞0)之间表示的是一条河流，河流的一侧河岸(x轴)是一条公路，且公路随时随处都有公交车来往，家住A(0，a)的某学生在位于公路上B(d,0)(d ＞0)处的学校就读，每天早晨该学生都要从家出发，可以先乘船渡河到达公路上某一点，再乘公交车去学校，或者直接乘船渡河到达公路上B(d,0)处的学校，已知船速为v0(v0＞0)，车速为2v0(水流速度忽略不计)．(1)若d ＝2a ，求该学生早晨上学时，从家出发到达学校所用的最短时间； (2)若2ad，求该学生早晨上学时，从家出发到达学校所用的最短时间．参考答案1. 答案：C2. 答案：D 由题意，总成本为C ＝20 000＋100x . 所以总利润为P ＝R －C＝2140010020000,0400,28000010020000,400,x x x x x x ⎧---≤≤⎪⎨⎪-->⎩ 则300,0400,100,400,x x P'x -≤≤⎧=⎨->⎩令P ′＝0，得x ＝300，易知当x ＝300时，总利润最大．3. 答案：D 设圆锥的高为x其体积为V ＝13πx (202－x 2)(0＜x ＜20)， V ′＝13π(400－3x 2)，令V ′＝0，解得1x =2x =舍去)． 当0＜x＜3时，V ′＞0；当3＜x ＜20时，V ′＜0，所以当x＝3时，V 取最大值．4. 答案：C 设底面边长为x ，则表面积S2V (x ＞0)，Sx 3－4V )， 令S ′＝0，得唯一极值点x .5. 答案：6 cm 3 cm 4 cm 设底面两邻边的长分别为x cm ，2x cm ，高为y cm ，则72＝2x 2·y ，所以2272362y x x ==，所以表面积S ＝2(2x 2＋xy ＋2xy )＝4x 2＋6xy ＝4x 2＋216x.则S ′＝8x －2216x ，令S ′＝0，得x ＝3.所以长为6 cm ，宽为3 cm ，高为4 cm 时表面积最小．6. 答案：32r 如图，设∠OBC ＝θ，则0＜θ＜π2，OD ＝r sin θ，BD ＝r cos θ.∴S △ABC ＝r cos θ(r ＋r sin θ)＝r 2cos θ＋r 2sin θcos θ.令S △ABC ′＝－r 2sin θ＋r 2(cos 2θ－sin 2θ)＝0. 得cos 2θ＝sin θ.又0＜θ＜π2， ∴θ＝π6，∴当θ＝π6时，△ABC 的面积最大，即高为OA ＋OD ＝3+22r r r =时面积最大． 7. 答案：分析：设矩形一边长为x m ，从而得到总造价关于边长x 的函数关系式，由实际问题求定义域，在定义域的限制条件下求最值．解：设矩形污水处理池的长为x m ，宽为200x m ，据题意16,200,x x x ≤⎧⎪⎨≤⎪⎩解得x ≤16，y ＝20022x x ⎛⎫+⨯⎪⎝⎭×400＋400x×248＋200×80 ＝800x ＋259 200x ＋16000(x ≤16)，令y′＝800－259 200x＝0，得x ＝18，当x (0,18)时，函数为减函数；当x (18，＋∞)时，函数为增函数．因此在定义域内函数为减函数，当且仅当长为16 m ，宽为12.5 m 时，总造价y 最低，为45 000元．8. 答案：分析：首先要选取适当的变量，表示出从家到达学校所用的时间，通过求该函数的导数，进而求出函数的最小值．解：(1)设该学生从家出发，先乘船渡河到达公路上的某一点P (x,0)(0≤x ≤d )，再乘公交车到学校，所用的时间为t ，则t ＝f (x )＝002d xv v -+(0≤x ≤d )， ∴f′(x )＝00111222x v v ⋅-12v -. 令f′(x )＝0，得x =. 当0≤x＜3a 时，f′(x )＜0；＜x ≤d 时，f′(x )＞0.∴当3x =时，所用的时间最短，最短时间为0032d t v =+. 当d ＝2a时，该学生从家出发到达学校所用的最短时间为01a v ⎛+⋅ ⎝⎭. (2)由(1)的讨论可知，当2a d ＝时，t ＝f (x )在0,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，所以当2a x =时，该学生直接乘船渡河到达学校上学，所用的时间最短，最短时间为t00a v =.。

1.3.3 导数的实际应用(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，若使砌壁所用的材料最省，堆料场的长和宽应分别为(单位：米)( )A ．32,16B ．30,15C ．40,20D ．36,18【解析】 要使材料最省，则要求新砌的墙壁的总长最短，设场地宽为x 米，则长为512x米，因此新墙总长L ＝2x ＋512x (x >0)，则L ′＝2－512x2.令L ′＝0，得x ＝16或x ＝－16(舍去)．此时长为51216＝32(米)，可使L 最短．【答案】 A2．将8分为两个非负数之和，使两个非负数的立方和最小，则应分为( ) A ．2和6 B ．4和4 C ．3和5D ．以上都不对【解析】 设一个数为x ，则另一个数为8－x ，则其立方和y ＝x 3＋(8－x )3＝83－192x ＋24x 2(0≤x ≤8)，y ′＝48x －192.令y ′＝0，即48x －192＝0，解得x ＝4.当0≤x <4时，y ′<0；当4<x ≤8时，y ′>0.所以当x ＝4时，y 最小．【答案】 B3．内接于半径为R 的半圆的周长最大的矩形的宽和长分别为( )【导学号：05410026】A.R 2和32R B.55R 和455R C.45R 和75R D ．以上都不对【解析】 设矩形的宽为x ，则长为2R 2－x 2，则l ＝2x ＋4R 2－x 2(0<x <R )，l ′＝2－4xR 2－x 2，令l ′＝0，解得x 1＝55R ，x 2＝－55R (舍去)．当0<x <55R 时，l ′>0；当55R <x <R 时，l ′<0， 所以当x ＝55R 时，l 取最大值，即周长最大的矩形的宽和长分别为55R ，455R . 【答案】 B4．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R 与年产量x 的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80 000， x >400，则总利润最大时，每年生产的产品是( )A ．100B ．150C ．200D ．300【解析】 由题意，得总成本函数为C (x )＝20 000＋100x ，总利润P (x )＝R (x )－C (x )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧300x －x 22－20 000，0≤x ≤400，60 000－100x ，x >400.所以P ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧300－x ，0≤x ≤400，－100，x >400.令P ′(x )＝0，得x ＝300，易知x ＝300时， 总利润P (x )最大． 【答案】 D5．用长为90 cm ，宽为48 cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个大小相同的小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图1­3­12)，当容器的体积最大时，该容器的高为( )图1­3­12A ．8 cmB ．9 cmC ．10 cmD ．12 cm【解析】 设容器的高为x cm ， 容器的体积为V (x )cm 3， 则V (x )＝(90－2x )(48－2x )x ＝4x 3－276x 2＋4 320x (0<x <24)，因为V ′(x )＝12x 2－552x ＋4 320，由12x 2－552x ＋4 320＝0，得x ＝10或x ＝36(舍)， 因为当0<x <10时，V ′(x )>0，当10<x <24时，V ′(x )<0，所以当x ＝10时，V (x )在区间(0,24)内有唯一极大值， 所以容器高x ＝10 cm 时，容器体积V (x )最大． 【答案】 C 二、填空题6．已知某矩形广场面积为4万平方米，则其周长至少为__________米．【解析】 设广场的长为x 米，则宽为40 000x米，于是其周长为y ＝2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋40 000x(x >0)，所以y ′＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－40 000x2，令y ′＝0，解得x ＝200(x ＝－200舍去)，这时y ＝800.当0<x <200时，y ′<0；当x >200时，y ′>0.所以当x ＝200时，y 取得最小值，故其周长至少为800米．【答案】 8007．已知矩形的两个顶点A 、D 位于x 轴上，另两个顶点B 、C 位于抛物线y ＝4－x 2在x 轴上方的曲线上，则这个矩形的面积最大时的边长为________．【解析】 由题意，设矩形边长AD ＝2x ，则AB ＝4－x 2， ∴矩形面积为S ＝2x (4－x 2)＝8x －2x 3(0<x <2)． ∴S ′＝8－6x 2.令S ′＝0，解得x 1＝23 3，x 2＝－23 3(舍去)．当0<x <233时，S ′>0；当233<x <2时，S ′<0. ∴当x ＝23 3时，S 取得最大值为3239.即矩形的边长分别是433，83时，矩形的面积最大．【答案】433，838．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为10 km/h 时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，当行驶每千米的费用总和最小时，此轮船的航行速度为________km/h.【解析】 设轮船的速度为x km/h 时，燃料费用为Q 元，则Q ＝kx 3(k ≠0)．因为6＝k ×103，所以k ＝3500，所以Q ＝3500x 3.所以行驶每千米的费用总和为y ＝⎝⎛⎭⎪⎫3500x 3＋96·1x ＝3500x 2＋96x (x >0)．所以y ′＝3250x －96x2.令y ′＝0，解得x ＝20. 因为当x ∈(0,20)时，y ′<0，此时函数单调递减； 当x ∈(20，＋∞)时，y ′>0，此时函数单调递增， 所以当x ＝20时，y 取得最小值，即此轮船以20 km/h 的速度行驶时，每千米的费用总和最小． 【答案】 20 三、解答题9．如图1­3­13，一矩形铁皮的长为8 cm ，宽为5 cm ，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？图1­3­13【解】 设小正方形的边长为x cm ⎝⎛⎭⎪⎫0<x <52，则盒子底面长为(8－2x ) cm ，宽为(5－2x ) cm ， V ＝(8－2x )(5－2x )x ＝4x 3－26x 2＋40x ， V ′＝12x 2－52x ＋40，令V ′＝0，得x ＝1或x ＝103(舍去)，V 极大＝V (1)＝18，在定义域内仅有一个极大值，所以V 最大值＝18，即当小正方形的边长为1 cm 时，盒子容积最大．10．一书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要库存费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分几次进货、每次进多少册，可使所付的手续费与库存费之和最少？【解】 设每次进书x 千册(0<x <150)，手续费与库存费之和为y 元，由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量之半，即x 2，故有y ＝150x ×30＋x 2×40，y ′＝－4 500x2＋20＝20x ＋15x －15x2，令y ′＝0，得x ＝15，列表如下：x (0,15) 15 (15,150) y ′ － 0 ＋ y单调递减极小值单调递增所以当x ＝15取得最小值，此时进货次数为15015＝10(次)．即该书店分10次进货，每次进15千册书，所付手续费与库存费之和最少．[能力提升]1．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p 元，销售量为Q 件，则销售量Q 与零售价p 有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2.则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )A ．30元B ．60元C ．28 000元D ．23 000元【解析】 设毛利润为L (p )，由题意知L (p )＝pQ －20Q ＝Q (p －20)＝(8 300－170p －p 2)(p －20) ＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000， 所以L ′(p )＝－3p 2－300p ＋11 700.令L ′(p )＝0，解得p ＝30或p ＝－130(舍去)． 此时，L (30)＝23 000.因为在p ＝30附近的左侧L ′(p )>0，右侧L ′(p )<0，所以L (30)是极大值，根据实际问题的意义知，L (30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元．【答案】 D2．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm ，要使体积最大，则其高应为 ( ) 【导学号：A.533cm B.1033 m C ．5 3 m D.20 33m 【解析】 如图，设圆锥底面半径为r ，高为h ，则h 2＋r 2＝202. 所以r ＝400－h 2，所以圆锥体积V ＝13πr 2h ＝13π(400－h 2)h ＝13π(400h －h 3)，所以V ′＝13π(400－3h 2)，令V ′＝0，得h ＝2033或h ＝－2033(舍去)．当0<h <2033时，V ′>0；当h >2033时，V ′<0.所以当h ＝2033时，V 最大．故选D.【答案】 D3．如图1­3­14，内接于抛物线y ＝1－x 2的矩形ABCD ，其中A ，B 在抛物线上运动，C ，D 在x 轴上运动，则此矩形的面积的最大值是__________．图1­3­14【解析】 设CD ＝x ，则点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x2，0， 点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，∴矩形ABCD 的面积S ＝f (x )＝x ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22 ＝－x 34＋x ，x ∈(0,2)．由f ′(x )＝－34x 2＋1＝0，得x 1＝－233(舍)，x 2＝233，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫233，2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，故当x ＝233时，f (x )取最大值439.【答案】4394．如图1­3­15所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A处，乙厂与甲厂在海的同侧，乙厂位于离海岸40 km的B处，乙厂到海岸的垂足D与A相距50 km.两厂要在此岸边A，D之间合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，则供水站C建在何处才能使水管费用最省？图1­3­15【解】设C点距D点x km，则AC＝50－x(km)，所以BC＝BD2＋CD2＝x2＋402(km)．又设总的水管费用为y元，依题意，得y＝3a(50－x)＋5a x2＋402(0<x<50)．y′＝－3a＋5axx2＋402.令y′＝0，解得x＝30.在(0,50)上，y只有一个极小值点，根据问题的实际意义，函数在x＝30 km处取得最小值，此时AC＝50－x＝20(km)．故供水站建在A，D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省．。

1.2 导数的运算课后训练1．下列运算中正确的是( )．A ．(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋b (x )′B ．(cos x －2x 2)′＝(cos x )′－2′(x 2)′C ．(sin 2x )′＝12(sin x )′·cos x ＋12(cos x )′·cos x D ．(2x －21x)′＝(2x )′＋(x －2)′ 2．下列四组函数中导数相等的是( )．A ．f (x )＝2与g (x )＝2xB ．f (x )＝－sin x 与g (x )＝cos xC ．f (x )＝2－cos x 与g (x )＝－sin xD ．f (x )＝1－2x 2与g (x )＝－2x 2＋43．曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为( )．A ．y ＝x －1B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝2x －2D ．y ＝－2x ＋24．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于( )．A ．－1B ．－2C ．2D ．05．设f (x )＝e x ＋x e ＋e a (a 为常数)，则f′(x )＝________.6．若曲线C ：y ＝x 3－2ax 2＋2ax 上任意一点处的切线的倾斜角都是锐角，则实数a 的取值范围是________．7．设坐标平面上的抛物线C ：y ＝x 2，过第一象限的点(a ，a 2)作曲线C 的切线l ，则l与y 轴的交点Q 的坐标为__________，l 与x 轴夹角为30°时，a ＝________.8．已知曲线y(1)这条曲线与直线y ＝2x －4平行的切线方程；(2)过点P (0,5)且与曲线相切的切线方程．9．已知曲线C 1：y ＝x 2与C 2：y ＝－(x －2)2，直线l 与曲线C 1，C 2都相切，求直线l 的方程．参考答案1. 答案：A2. 答案：D 选项D 中，f′(x )＝(1－2x 2)′＝－4x ，g′(x )＝(－2x 2＋4)′＝－4x .3. 答案：A y′＝3x 2－2，∴在点(1,0)处的切线的斜率1|=1x k y'==，∴切线方程为1·(x －1)＝y －0，即y ＝x －1.4. 答案：B ∵f′(x )＝4ax 3＋2bx 为奇函数，f′(1)＝2，∴f′(－1)＝－2.5. 答案：e x ＋e x e －1 f′(x )＝(e x )′＋(x e )′＋(e a )′＝e x ＋e x e －1.6. 答案：(0，32) 由于曲线在任意一点处的切线的倾斜角都是锐角，故y′＝3x 2－4ax ＋2a ＞0恒成立，∴Δ＝16a 2－24a ＜0，∴0＜a ＜32. 7. 答案：(0，－a 2)6 因为y′＝2x ，所以l ：y －a 2＝2a (x －a )．令x ＝0得y ＝－a 2，故Q (0，－a 2)．又因为tan 30°＝2a，所以a 8. 答案：分析：对于(1)，由y =对x求导，就可以得到曲线y =的切线的斜率，而曲线的切线与y ＝2x －4平行，即可确定所求切线与曲线y =得切线方程．解：(1)设切点为(x 0，y 0)，由y =，得y'=.∵切线与直线y ＝2x －4平行，2=. ∴02516x =，∴0254y =. 则所求的切线方程为2525=2416y x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 即16x －8y ＋25＝0.(2)∵点P(0,5)不在曲线y=因此设切点坐标为M(t，u)，.又∵切线斜率为5ut-，5ut-==.∴2t t-，解得t＝4.∴切点为M(4,10)，斜率为54.∴切线方程为510=(4)4y x--，即5x－4y＋20＝0.9.答案：分析：直线l与C1、C2都相切，即l是C1的切线同时也是C2的切线，从而求出切点坐标．解：设直线l与曲线C1切于点(x1，y1)，与曲线C2切于点(x2，y2)，则211y x=，y2＝－(x2－2)2.由y＝x2，得11|=2x xy'x=，∴直线l的方程可以表示为21y x-＝2x1(x－x1)，即2112y x x x=-.①又由y＝－(x－2)2＝－x2＋4x－4，得2|x xy'=＝－2x2＋4.∴直线l的方程可以表示为y＋(x2－2)2＝(－2x2＋4)(x－x2)，即y＝(4－2x2)x＋22x－4.②由题意可得①和②表示同一条直线．从而有212221422,4x xx x-=⎧⎨-=-⎩1222122,4.x xx x+=⎧⎨+=⎩∴x1＝0，x2＝2或x1＝2，x2＝0.若x1＝0，则由①可得切线方程为y＝0；若x2＝0，则由②可得切线方程为y＝4x－4.∴适合题意的直线l的方程为y＝0或y＝4x－4.。

1.1 导数课后训练1．当自变量从x 0变到x 1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( )．A ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率B ．在x 0处的变化率C ．在x 1处的导数D ．在区间[x 0，x 1]上的导数2．一作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝2t －t 2，则物体的初速度是( )．A ．0B ．3C ．2D ．3－2t3．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为2x ＋y －1＝0，则( )．A ．f′(x 0)＞0B ．f′(x 0)＜0C ．f′(x 0)＝0D ．f′(x 0)不存在4．曲线212y x ＝在点11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线的倾斜角为( )．A ．π4-B ．1C ．π4D ．5π45．若对任意x ∈R ，f′(x )＝4x 3，f (1)＝－1，则f (x )为( )．A ．f (x )＝x 4B ．f (x )＝x 4－2C ．f (x )＝4x 3－5D ．f (x )＝x 4＋26．对于函数y ＝x 2，该点的导数等于其函数值的点是________________．7．若直线y ＝3x ＋1是曲线y ＝f (x )＝ax 3的切线，则a ＝________.8．给出以下命题：①已知函数y ＝f (x )的图象上的点列P 1，P 2，P 3，…，P n ，…，当n →∞时，P n →P 0，则过P 0与P n 两点的直线的斜率就是函数在点P 0处的导数；②若物体的运动规律是s ＝f (t )，则物体在时刻t 0的瞬时速度v 等于f′(t 0)；③函数y ＝x 3的导函数值恒为非负数．其中正确的命题是__________．9．抛物线y ＝x 2在哪一点处的切线平行于直线y ＝4x －5?10．求抛物线y ＝2x 2过点(2,1)的切线方程．参考答案1. 答案：1．A2. 答案：C v ＝2222lim t t t t t t t t∆→∞(+∆)-(+∆)-(-)∆＝lim t ∆→∞(2－2t －Δt )＝2－2t ，∴v t ＝0＝2－2t x ＝2.3. 答案：B ∵切线2x ＋y －1＝0的斜率为－2，∴f′(x 0)＝－24. 答案：C 令y ＝f (x )＝12x 2，由定义求得f′(x )＝x ，所以f′(1)＝1.所以k ＝1＝tan α.又α[0，π)，所以α＝π4.5. 答案：B 由f (1)＝－1可排除选项A ，D ；再由f′(x )＝4x 3，结合导数的定义验证知f (x )＝x 4－2正确．6. 答案：(0,0)和(2,4)7. 答案：4　设直线y ＝3x ＋1与曲线y ＝ax 3相切于点P (x 0，y 0)，则有00300031,,3.y x y ax f'x =+⎧⎪=⎨⎪()=⎩①②③由①②得3003+1=x ax ，由③得20=1ax ，将它代入上式可得3x 0＋1＝x 0，解得012x ＝-，∴2014a x ＝＝.8. 答案：②③　对于命题①，由函数在点P 0处的导数的几何意义知，函数y ＝f (x )在点P 0处的导数是过点P 0的曲线(即函数y ＝f (x )的图象)的切线的斜率，而不是割线P 0P n 的斜率，故命题①是一个假命题．对于命题②，由于它完全符合瞬时速度的定义，故命题②是一个真命题．对于命题③，易知y′＝3x 2≥0，故为真命题．9. 答案：分析：由于切线的斜率为4，因此可以令函数在点P (x 0，y 0)处的导数为4，求出x 0即可．解：由题意可设，函数在点P (x 0，y 0)处的导数为4，则0lim x y x∆→∆∆＝22000lim x x x x x∆→(+∆)-∆＝2x 0.令2x 0＝4，得x 0＝2.∴y 0＝4.即函数在点(2,4)处的切线平行于直线y ＝4x －5.10. 答案：分析：易判断点(2,1)不在抛物线y ＝2x 2上，因此需设出切点坐标，依据条件列方程组求解．解：设切点为(x 0，y 0)，切线的斜率为k .则200=2y x ，①且k ＝0lim x ∆→220022x x x x(+∆)-∆＝4x 0.又k ＝0012y x --＝4x 0，②由①②解得00215x y ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩或00215x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴k ＝4x 0＝或k ＝4x 0＝8-∴切线方程为y －1＝()(x －2)或y －1＝(8-x －2)．即(8+214)x －y －15－14＝0或(8214-x －y －15＋14＝0.。