第十六章分式知识点和典型例习题 【知识网络】
第一讲 分式的运算
【知识要点】1.分式的概念以及基本性质;
2.与分式运算有关的运算法则
3.分式的化简求值(通分与约分) ４.幂的运算法则
【主要公式】１.同分母加减法则:()0b c b c
a a a a
±±=≠
2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc da
a c a c ac ac ac
±±=±=≠≠;
3．分式的乘法与除法：b d bd a c ac •=,b c b d bd
a d a c ac
÷=•=
４.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法；a
m
●
a n =a m+ｎ; ａm ÷ a n =ａm －n
6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m
= ａm
b ｎ
, （a m
)
ｎ
= a
ｍn
7.负指数幂: a
-p
=
1p
a a 0
=1
8.乘法公式与因式分解：平方差与完全平方式
(ａ+b ）(a-b ）= a
2
- b ２ ;(ａ±b ）2= a ２±2a ｂ+ｂ2
（一)、分式定义及有关题型
题型一:考查分式的定义
【例1】下列代数式中：y x y
x y x y x b
a b a y x x -++-+--1
,
,,21,2
2
π，是分式的有： ．
题型二:考查分式有意义的条件
【例2】当x 有何值时，下列分式有意义
(1)
44+-x x ﻩ(2)2
32+x x
(3）
1
22-x （4）
3||6--x x
（5）x
x 11-
题型三：考查分式的值为0的条件
【例３】当x 取何值时，下列分式的值为0. （1)3
1+-x x
(2)
4
2
||2--x x ﻩ（3)653
222----x x x x
题型四:考查分式的值为正、负的条件
【例4】（1)当x 为何值时，分式
x
-84
为正； （２)当x 为何值时,分式2
)1(35-+-x x 为负；
(３）当x 为何值时,分式
3
2
+-x x 为非负数. 练习:
1．当x 取何值时,下列分式有意义：
（1)
3
||61
-x
(2）
1
)1(32++-x x ﻩﻩ（3)
x
111+
2．当x 为何值时，下列分式的值为零：
(1）4
|1|5+--x x
(2)
5
6252
2+--x x x
3．解下列不等式 (１）
01
2
||≤+-x x （2)
03
252
>+++x x x
(二）分式的基本性质及有关题型
1．分式的基本性质:
M
B M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯= 2．分式的变号法则：
b
a
b a b a b a =--=+--=-- 题型一:化分数系数、小数系数为整数系数
【例1】不改变分式的值,把分子、分母的系数化为整数．
(1)y x y
x 4
1313221+- (2)
b
a b
a +-04.003.02.0
题型二:分数的系数变号
【例２】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.
（1）y x y
x --+-ﻩ (2）b a a --- ﻩ（３)b a ---
题型三:化简求值题
【例3】已知：
511=+y x ,求
y
xy x y
xy x +++-2232的值． 提示:整体代入,①xy y x 3=+，②转化出
y
x 1
1+．
【例4】已知：21=-
x x ,求221x
x +的值. 【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ,求
y
x 241
-的值.
练习:
１.不改变分式的值,把下列分式的分子、分母的系数化为整数.
(１）y
x y x 5.008.02.003.0+-ﻩ (2）
b a b
a 10
141534.0-+ 2．已知：31=+x x ，求1
242
++x x x 的值. 3．已知：
31
1=-b
a ,求a a
b b b ab a ---+232的值．
4．若0106222=+-++b b a a ,求b
a b
a 532+-的值.
５.如果21<x x --2|2|x
x x x |
||1|1+
---．
(三)分式的运算
1.确定最简公分母的方法:
①最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数；
②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.
２．确定最大公因式的方法:①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数;
②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂. 题型一：通分
【例1】将下列各式分别通分. （１)c
b a
c a b ab c 225,
3,2--; （2)a b b b a a 22,--; (3)
2
2
,
21,
1
222--+--x x x x x
x x ; （4)a
a -+21
,
2 题型二:约分
【例2】约分: (1）
3
22016xy y x -;（3)n m m n --2
2;（3）6
222---+x x x x .
题型三:分式的混合运算
【例３】计算：
