九章算术中的立体几何

专题18 立体几何空间距离与截面100题任务一:空间中的距离问题1-60题一、单选题1．《九章算术·商功》：“斜解立方，得两塹堵，斜解塹堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以基，其形露矣．”文中“阳马”是底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥．在阳马P ABCD -中，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且1PA =，2AB AD ==，则点A 到平面PBD 的距离为（ ）A ．3 B C D2．已知直线l 过定点()2,3,1A ，且方向向量为0,1,1s，则点4,3,2P 到l 的距离为（ ）A B C D3．在ABC 中，5AB AC ==，8BC =，若PA ⊥平面ABC ，4PA =，则点P 到BC 的距离是（ ）A B ．5 C ．D ．4．在四面体P ABC -中，P A ，PB ，PC 两两垂直，设PA PB PC a ===，则点P 到平面ABC 的距离为（ ）A B C ．3a D5．已知直线l 的方向向量为()=1,0,1a ，点()1,2,1A -在l 上，则点()3,1,1P 到l 的距离为（ ）A ．B ．1C ．3D ．26．已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，E ，F 分别为1A B 和11B D 的中点，则点B 到EF 的距离为（ ）A B C ．2 D7．若平面α的一个法向量为()1,2,2n →=，点()3,0,2A ，()5,1,3B ，A α，B α∈，A 到平面α的距离为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．已知(2,1,0),(1,0,1),(3,2,3)A B C ，则点A 到直线BC 的距离为（ ）A B C D9．如图，在棱长为2的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上，点P 到直线CC 1的距离的最小值为（ ）A BC D 10．如图所示的三棱锥P ABC -，PA ⊥平面ABC ，π2ABC ∠=，若PA a =，AB c =，10PB =，BC =ac 取最大值时，点A 到平面PBC 的距离为（ ）A B C ．D ．511．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 为A 1B 1的中点，下列说法中正确的是（）A ．ED 1与B 1C 所成的角大于60°B ．点E 到平面ABC 1D 1的距离为1C ．三棱锥E ﹣ABC 1D ．直线CE 与平面ADB 1所成的角为4π12．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M 为棱11D C 的中点，N 为棱1CC 上的点，且(02)CN a a =<<，现有下列结论： ①当23a =时，//AM 平面BDN ；②存在(0,2)a ∈，使得MN ⊥平面BDN ；③当1a =时，点C 到平面BDN ；④对任意(0,2)a ∈，直线AM 与BN 都是异面直线．其中所有正确结论的编号为（ ）A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④13．重心是几何体的一个重要性质，我国的国宝级文物东汉铜奔马（又名：马踏飞燕）就是巧妙利用了重心位于支点正上方这一性质而闻名于世.已知正三棱锥的重心是其每个顶点与其所对的面的三角形重心连线的交点.若正三棱锥H ABC -的底面边长为2，侧棱长为G 到底面的距离为（ ）A B C D14．三棱锥S ABC -中，SA ⊥底面ABC ，4SA =，3AB =，D 为AB 的中点，90ABC ∠=︒，则点D 到面SBC 的距离等于（ ） A ．125 B ．95 C ．65 D ．3515．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是AD ，1AA ，11A B 的中点，则点B 到平面EFG 的距离为（ ）．A ．12a B C ．a D16．已知正方形ABCD 的边长为4，CG ⊥平面ABCD ，CG =2，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，则点B 到平面GEF 的距离为（ ）A B C D17．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，2BC =，12CC =，E 是CD 的中点，求D 到面1D EB 的距离为（ ）A BC D18．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AA E ，F 分别是平面1111D C B A 与平面11BCC B 的对角线交点，则点E 到直线AF 距离为（ ）A B C D 19．已知AB ⊥平面α，垂足为点B ，且AO 与α相交于点O ，60AOB ∠=︒，射线OC 在α内，且30BOC ∠=︒，6OA =，则点A 到直线OC 的距离是（ ）A ．6BC D ．20．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，直线AC 与1BC 之间的距离是（ ）A ．2 B C ．12 D ．1321．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 、P 、Q 分别是所在棱的中点，则下列结论不正确的是（ ）A ．点1C 、1D 到平面PMN 的距离相等B ．PN 与QM 为异面直线C ．90PNM ∠=D ．平面PMN 截该正方体的截面为正六边形22．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，G 为1AA 的中点，则直线BD 与平面11GB D 的距离为( )A B C D23．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11A D 的中点，Q 为11A B 上任意一点，E ，F 为CD 上两个动点，且EF 的长为定值，则点Q 到平面PEF 的距离（ ）A B ．和EF 的长度有关C D ．和点Q 的位置有关24．如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为11C D ，1C C 的中点，其中正确的结论是（ ）A ．直线MN 与AC 所成的角为45°B ．直线AM 与BN 是平行直线C ．二面角N BD C --D ．点C 与平面MAB25．在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，AB BC ==PA =O 是AC 的中点，OP ⊥底面ABC ，则点O 到平面PAB 的距离为（ ）A B C D26．如图，已知在长方体1111ABCD A B C D -中，14,8AB BC AA ===，点H 在棱1AA 上，且12HA =，在侧面11BCC B 内作边长为2的正方形1,EFGC P 是侧面11BCC B 内一动点，且点P 到平面11CDD C 的距离等于线段PF 的长，则当点P 在侧面11BCC B 上运动时，2HP 的最小值是（ ）A ．12B ．24C ．48D ．6427．如图所示，ABCD —EFGH 为边长等于1的正方体，若P 点在正方体的内部且满足321432AP AB AD AE =++，则P 点到直线BC 的距离为（ ）A ．34BC ．45 D28．若正四棱柱1111ABCD A B C D -的底边长为2，13B AB π∠=，E 是1D D 的中点，则11A C 到平面EAC 的距离为（ ）A B ．C D 29．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 为线段1AC 上一点，1PA =，则点P 到平面ABCD 的距离为（ ）A ．BC ．3D ．430．已知△ABC 在平面β内，不重合的两点P ，Q 在平面β同侧，在点M 从P 运动到Q 的过程中，记四面体M -ABC 的体积为V ，点A 到平面MBC 的距离为d ，则可能的情况是（ ）A ．V 保持不变，d 先变大后变小B ．V 保持不变，d 先变小后变大C ．V 先变大后变小，d 不断变大D ．V 先变小后变大，d 不断变小二、多选题31．已知四面体ABCD 的每个顶点都在球O （O 为球心）的球面上，ABC 为等边三角形，M 为AC 的中点，2AB BD ==，AD AC BD ⊥，则（ ）A ．BM ⊥平面ACDB ．O ∉平面ABCC ．O 到ACD ．二面角A CD O --32．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，4AB =，12BC CD D C ===，1D C ⊥底面ABCD ，则（ ）A ．BC ⊥平面1ACDB ．直线1DD 与底面ABCD 所成的角为4πC ．平面11ABCD 与平面ABCD 夹角的余弦值为7D ．点C 到平面11ABC D 33．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 在线段AC 上移动，点M 为棱1BB 的中点，则下列结论中正确的有（ ）A ．1//D O 平面11A BCB ．1D OM ∠的大小可以为90°C ．异面直线1D O 与11A C D ．存在实数[]0,1λ∈，使得()111312D M C B D C AB λλ---=成立34．在直三棱柱中，13AA AB BC ===，2AC =，D 是AC 的中点，下列判断正确的是（）A ．1BC ∥平面1A BD B ．面1A BD ⊥面11AAC CC ．直线1B C 到平面1A BDD ．点1A 到直线BC35．关于棱长为()0a a >的正方体1111ABCD A B C D -，下列结论正确的是（ ）A ．11AB AD ⊥ B ．点C 到平面1A BDC ．异面直线1BD 与1C D 所成的角是60︒D ．二面角11A BD C --的余弦值为1336．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，1A O ⊥平面ABCD ，1AB AA = ）A ．1B 坐标是()1,1,1B ．平面1OBB 的法向量()1,1,1n =-C ．1A C ⊥平面1OBBD ．点A 到平面1OBB 37．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G 分别为11,,BC CC BB 的中点，则（ ）A ．直线1D D 与直线AF 垂直B ．直线1A G 与平面AEF 平行C ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为92D ．点C 到平面AEF 的距离为2338．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，侧面P AD 是边长为面ABCD 为矩形，且CD =Q 是PD 的中点，则下列结论描述正确的是（ ）A ．CQ ⊥平面P ADB ．B ，Q 两点间的距离等于C ．DC 与平面AQC 所成的角为60°D ．三棱锥B AQC -的体积为1239．如图，在菱形ABCD 中，AB =60BAD ∠=︒，沿对角线BD 将ABD △折起，使点A ，C 之间的距离为P ，Q 分别为直线BD ，CA 上的动点，则下列说法正确的是（ ）A ．当AQ QC =，4PD DB =时，点D 到直线PQB ．线段PQC ．平面ABD ⊥平面BCDD ．当P ，Q 分别为线段BD ，CA 的中点时，PQ 与AD40．已知四面体ABCD 的所有棱长均为2，则下列结论正确的是（ ）A ．异面直线AC 与BD 所成角为60︒B ．点A 到平面BCDC ．AB CD ⊥D ．四面体ABCD第II 卷（非选择题）三、填空题41．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，异面直线1BB 与AC 的距离为____________.42．已知直线l 过点(0,0,0)A ，点(1,1,0)B ，则点(0,1,1)C 到直线l 的距离是_________．43．如图，正三角形ABC 的边长为2，P 是三角形ABC 所在平面外一点，PA ⊥平面ABC ，且1PA =，则P 到BC 的距离为___________.44．平面α的法向量是()2,2,1n =--，点()1,3,0A -在平面α内，则点()2,1,4P -到平面α的距离为______．45．在直三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC ==，AB =，12AA =，则点C 到平面1ABC 的距离为____________.46．如图，已知,,60,1AP BP AP PC ABP ACP BAC PA ⊥⊥∠=∠=∠=︒=，D 是BC 中点，则点B 到平面APD 的距离是___________.47．在正方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，则异面直线AB 和1A C 的距离为___________.48．如图所示，正方形ABCD 和正方形ABEF 的边长都是1，且它们所在平面互相垂直，若点M 在线段BF 上运动，记BM a =，则当=a ___________时，点M 到直线AC 的距离有最小值.49．如图，已知111ABC A B C -是各条棱长均等于a 的正三棱柱，D 是侧棱1CC 的中点，点1C 到平面1AB D 的距离为_____________．50．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E 为11A D 中点，点P ､M 在四边形ABCD 内（包括边界），点P 到平面11ABB A 的距离等于它到点D 的距离，直线1//MB 平面1EC D ，则PM 的最小值为___________.四、解答题51．如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ，90ABC ∠=，30BAC ∠=，1A AC 是边长为2的等边三角形.（1）求二面角1A BC A --的大小的正切值；（2）求直线11B C 到平面1A BC 的距离.52．如图，在四棱锥E ABCD -中，底面为菱形，已知60DAB BAE ∠=∠=︒，2AD AE ==，DE =（1）求证：平面ABE ⊥平面ABCD ；（2）求点B 到平面AED 的距离.53．在长方体1111ABCD A B C D -中，12,1AB BB BC ===，E 是面对角线1CD 上一点，且145CE CD =.（1）求证：1AE CD ⊥；（2）设异面直线1AB 与1BD 所成角的大小为α，求cos α的值. （3）求点A 到平面1BCD 的距离.54．如图，在三棱锥D ABC -中，AB BD ⊥，BC CD ⊥，M 、N 分别是线段AD 、BD 的中点，1MC =，AB BD ==（1）证明：平面MNC ⊥平面BCD ；（2）若60CBD ∠=︒，求点B 到平面MNC 的距离.55．如图，三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都是2，1AA ⊥平面ABC ，M 为AB 的中点，点N 为1CC 的中点.（1）求证：直线//MN 平面11A BC ；（2）求直线MN 到平面11A BC 的距离.56．如图，四边形ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，//AF DE ，3DE AF =，BE 与平面ABCD 所成角为60︒.（1）求证：//BF 平面CDE ；（2）求点D 到平面BEF 的距离.57．如图所示的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90BAD ∠=︒，2PA AB BC AD ===，点E 为PB 的中点.（1）求证：//AE 平面PCD ；（2）若四棱锥P ABCD -的体积为2，求点A 到平面PCD 的距离.58．如图所示，边长为2的正方形ABFC 和高为2的直角梯形ADEF 所在的平面互相垂直且DE =//ED AF 且90DAF ∠=︒．（1）求BD 和面BEF 所成的角的正弦； （2）求点C 到直线BD 的距离；（3）线段EF 上是否存在点P 使过P 、A 、C 三点的平面和直线DB 垂直，若存在，求EP 与PF 的比值：若不存在，说明理由．59．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，2AP AD ==，60ABC ∠=︒.点E ，F 分别在棱P A ，PB ，且//EF AB .（1）求证：//EF CD ；（2）若直线PD 与平面CEF （i ）求点P 与到平面CEF 的距离；（ii ）试确定点E 的位置.60．如图，已知在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，点Q 在棱PA 上，且44PA PQ ==，底面为直角梯形，90CDA BAD ∠=∠=︒，2AB =，1CD =，AD =M ，N 分别是PD ，PB 的中点．（1）求证：//MQ 平面PCB ；（2）求点A 到平面MCN 的距离．任务二:几何体截面问题1-40题一、单选题1．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 是空间中任意一点，有下列结论：△若P 为棱1CC 中点，则异面直线AP 与CD ；△若P 在线段1A B 上运动，则1AP PD + △若P 在以CD 为直径的球面上运动，当三棱锥P ABC -体积最大时，三棱锥P ABC -外接球的表面积为2π；△若过点P 的平面α与正方体每条棱所成角相等，则α 其中正确结论的个数为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．12．已知正方体1111ABCD A B C D -，平面π和线段1AA ，1BB ，1CC ，1DD 分别交于点E ，F ，G ，H ，则截面EFGH 的形状不可能是（ ） A ．梯形 B ．正方形 C ．长方形 D ．菱形3．如图正方体1111ABCD A B C D -，棱长为1，P 为BC 中点，Q 为线段1CC 上的动点，过A ､P ､Q 的平面截该正方体所得的截面记为Ω.若1CQ CC λ→→=，则下列结论错误的是（ ）A ．当102λ∈⎛⎫⎪⎝⎭,时，Ω为四边形B ．当12λ=时，Ω为等腰梯形C ．当3,14λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，Ω为六边形D ．当1λ=时，Ω4．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 、P 分别是棱11C D 、1AA 、BC 的中点，则经过M 、N 、P 的平面与正方体1111ABCD A B C D -相交形成的截面是一个（ ）A ．三角形B ．平面四边形C ．平面五边形D ．平面六边形5．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 的中点，则过三点A 、D 1、E 的截面过（ ）A ．AB 中点 B ．BC 中点 C ．CD 中点 D ．BB 1中点6．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 是棱1DD 的中点，则平面1AC E 截该正方体所得的截面面积为（ ）A ．5B ．C ．D ．7．正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，所有棱长均为2，点E ，F 分别为棱BB 1，A 1C 1的中点，若过点A ，E ，F 作一截面，则截面的周长为（ ）A ．B ．C ．D ．8．在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面．平面α以任意角度截正方体，所截得的截面图形不可能为（ ） A ．等腰梯形 B ．非矩形的平行四边形 C ．正五边形 D ．正六边形9．如图，正方体111ABCD A B C D -的棱长为1△P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ． ①当102CQ时，S 为四边形； ②当34CQ 时，S 与11C D 的交点R 满足113C R ； ③当314CQ时，S 为六边形；④当1CQ =时，S 则下列选项正确的是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④10．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S .则下列命题中正确命题的个数为（ ）①当102CQ时，S 为四边形； ②当12CQ 时，S 为等腰梯形； ③当34CQ 时，S 与11C D 的交点1R 满足1113C R =；④当314CQ时，S 为六边形；A ．1B ．2C ．3D ．411．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 、F ，G 分别为BC ，1CC ，1BB 的中点，有下述四个结论，其中正确的结论是（ ）①直线1GA 与平面AEF 平行；②平面AEF 截正方体所得的截面面积为98；③直线1A G 与直线EF 所成的角的余弦值为； ④点C 与点B 到平面AEF 的距离相等. A ．①④ B ．①②C ．①②④D ．①②③④12．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，分别是AB ，BC 的中点，过点1D ，E ，F 的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为()1212,V V V V <，则12:V V =（ ）A ．13B ．35C ．2547 D ．7913．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为线段11A C 上的动点（点P 与1A ，1C 不重合），则下列说法不正确的是（ ）A ．BD CP ⊥B ．三棱锥C BPD -的体积为定值C ．过P ，C ，1D 三点作正方体的截面，截面图形为三角形或梯形 D ．DP 与平面1111D C B A 所成角的正弦值最大为1314．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，12B P PC =，113D Q QC =，用经过B ，P ，Q 三点的平面截该正方体，则所截得的截面面积为（ ）A．B ．C D ．15．如图，ABCD A B C D ''''-为正方体，任作平面α与对角线AC '垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S ，周长为l ，则（ ）A ．S 为定值，l 不为定值B ．S 不为定值，l 为定值C ．S 与l 均为定值D ．S 与l 均不为定值16．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，AB =2，E 为棱BC 的中点，F 为棱11A D 上的一动点，过点A ，E ，F 作该正方体的截面，则该截面不可能是（ ）A ．平行四边形B ．等腰梯形C ．五边形D ．六边形17．如图，在棱长为2的正方休1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为11A D ，11A B ，1BB ，的中点，过E ，F ，G 三点的平而截正方休1111ABCD A B C D -所得的截面面积为（ ）A ．4B ．CD ．18．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，,,E F G 分别为11,,BC CC BB 的中点.则下列说法错误的是（ ）A ．直线A 1G 与平面AEF 平行B ．直线DD 1与直线AF 垂直C ．异面直线A 1G 与EFD ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为9219．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，M ､N 分别为棱11A D ､11A B 的中点，令过点B 且平行于平面AMN 的平面α被正方体的截面图形为Ω，若在Ω内随机选择一点P ，则点P 在正方体1111ABCD A B C D -内切球内的概率为（ ）A ．427π B ．1681πC ．827π D ．3281π20．已知正方体1111ABCD A B C D -内切球的表面积为π，P 是空间中任意一点： △若点P 在线段1AD 上运动，则始终有11C P CB ⊥； △若M 是棱11C D 中点，则直线AM 与1CC 是相交直线； △若点P 在线段1AD 上运动，三棱锥1D BPC -体积为定值；△E 为AD 中点，过点1B ，且与平面1A BE 以上命题为真命题的个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5二、多选题21．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，下列结论正确的有（ ） A ．异面直线1CA 与11B D 所成角的大小为π3B ．若E 是直线AC 上的动点，则1DE ∥平面11A BCCD ．若此正方体的每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α22．如图，棱长为1的正方体111ABCD A BC D -中P 为线段1A B 上的动点（不含端点）则下列结论正确的是（ ）A ．直线1D P 与AC 所成的角可能是6π B ．平面11D A P ⊥平面1A AP C ．三棱雉1D CDP -的体积为定值D ．平面1APD 截正方体所得的截面可能是直角三角形23．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别为11A B ，BC 的中点，设过点E ，F ，1D 的平面为α，则下列说法正确的是（ ）A ．1EFD △为等边三角形；B ．平面α交正方体1111ABCD A BCD -的截面为五边形；C ．在正方体1111ABCD A B C D -中，存在棱与平面α平行； D ．在正方体1111ABCD A B C D -中，不存在棱与平面α垂直；24．（多选）已知正方体1111ABCD A B C D -，若1AC ⊥平面α，则关于平面α截此正方体所得截面的判断正确的是（ ）A ．截面形状可能为正三角形B ．截面形状可能为正方形C ．截面形状可能为正六边形D ．截面形状可能为五边形25．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P ，M ，N 分别为棱1CC ，CB ，CD 上的动点（点P 不与点C ，1C 重合），若CP CM CN ==，则下列说法正确的是( )A ．存在点P ，使得点1A 到平面PMN 的距离为43B ．用过P ，M ，1D 三点的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形C ．1//BD 平面PMND ．用平行于平面PMN 的平面α去截正方体，得到的截面为六边形时，该六边形周长一定为26．如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为棱11C D ，1C C 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．直线AM 与BN 是平行直线B ．直线MN 与AC 所成的角为60°C ．直线MN 与平面ABCD 所成的角为45°D ．平面BMN 截正方体所得的截面面积为3227．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为线段11A C 上的动点（点P 与1A ，1C 不重合），则下列说法正确的是（ ）A ．BD CP ⊥B ．三棱锥C BPD -的体积为定值C ．过P ，C ，1D 三点作正方体的截面，截面图形为三角形或梯形D ．DP 与平面1111D C B A 所成角的正弦值最大为1328．如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为棱11A D ，1DD 的中点，则以下四个结论正确的是（ ）A ．1//BC MNB ．若P 为直线1CC 上的动点，则111B P BC ⋅为定值C ．点A 到平面1C MN 的距离为13D ．过MN 作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为38π29．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F 分别为AD ，1AA 的中点，则以下说法正确的是（ ）A ．平面EFC 截正方体所得截面周长为B ．1BB 上存在点P ，使得1C P ⊥平面EFCC ．三棱锥B EFC -和1D FB C -体积相等D ．1BB 上存在点P ，使得//AP 平面EFC30．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F ，G 分别为BC ，1CC ，1BB 的中点，则（ ）A ．直线1A D 与直线AF 垂直B ．直线1A G 与平面AEF 平行C ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为98D ．点B 到平面AEF 的距离为13第II 卷（非选择题）三、填空题31．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1124BE BB ==，143AB AA =，则该四棱柱被过点1A ，C ，E 的平面截得的截面面积为______.32．正三棱锥P ABC -AB ==E 在棱PA 上，且3PE EA =，已知点P A B C 、、、都在球O 的表面上，过点E 作球O 的截面α，则α截球O 所得截面面积的最小值为___________.33．已知在棱长为6的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱C 1D 1，B 1C 1的中点，过A ，E ，F 三点作该正方体的截面，则截面的周长为________．34．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,,E F G 分别为11,,BC CC BB 的中点，下列四个选项①直线1D D 与直线AF 垂直②直线1A G 与平面AEF 平行③平面AEF 截正方体所得的截面面积为98④点C 和点G 到平面AEF 的距离相等;其中正确的是____________35．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A ，P ，Q的平面截该正方体所得的截面记为S ，则下列命题正确的是______ （写出所有正确命题的编号）．①当102CQ 时，S 为四边形； ②当12CQ时，S 为等腰梯形； ③当34CQ时，S 与11C D 的交点R 满足113C R ； ④当314CQ 时，S 为六边形 四、解答题36．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E F ，分别为11A D 和1CC 的中点.（1）画出由A ，E ，F 确定的平面β截正方体所得的截面，（保留作图痕迹，使用铅笔作图）；（2）求异面直线EF 和AC 所成角的大小.37．已知正三棱柱的所有棱长都是1（1）画经过ABC 三点的截面（2）过棱BC 作和底面成60二面角的截面，求此截面面积.38．如图，在正方体1111ABCD A B C D 中，S 是11B D 的中点，E ，F ，G 分别是BC ，DC ，SC 的中点．求证：（1）直线//EG 平面11BDD B ；（2）平面//EFG 平面11BDD B ；（3）若正方体棱长为1，过A ，E ，1C 三点作正方体的截面，画出截面与正方体的交线，并求出截面的面积．39．（1）如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 是棱11A B ，11A D 的中点，在图中画出过底面ABCD 中的心O 且与平面AMN 平行的平面在正方体中的截面，并求出截面多边形的周长为：______；（2）作出平面PQR 与四棱锥ABCDE 的截面，截面多边形的边数为______．40．如图①，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 为线段BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A 、P 、Q 的平面截该正方体所得的截面记为S .（1）若12CQ <<，请在图①中作出截面S （保留尺规作图痕迹）；（2）若1CQ =（如图②），试求截面S 将正方体分割所成的上半部分的体积1V 与下半部分的体积2V 之比.。

九章算术几何知识嘿，朋友！您知道《九章算术》吗？这可是咱中国古代数学的瑰宝啊！里面的几何知识，那叫一个精彩！咱先来说说这《九章算术》，它就像一座古老而神秘的知识宝库，蕴含着无数的智慧结晶。

而其中的几何知识，就像是宝库中闪闪发光的宝石。

您想想，咱们平常生活中，哪儿能离得开几何呢？比如盖房子，那房子的形状、面积、体积，不都得靠几何知识来计算嘛！要是没有这些知识，那房子能盖得稳当、好看吗？《九章算术》里的几何知识，就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开很多难题的大门。

比如说求三角形的面积，它告诉我们怎么去找到那个关键的数值，怎么去运用公式。

这难道不比摸着石头过河要强得多？再比如说圆的知识，圆的周长、面积，这在生活中的用处可大了去了！做个车轮，您得知道圆的直径和周长的关系吧？不然这车轮能转得顺溜吗？还有那长方体、正方体，计算它们的体积和表面积，对于做木匠活儿的师傅来说，那可是吃饭的本事。

要是算错了，做出的柜子、桌子不合尺寸，那不是闹笑话了嘛！《九章算术》中的几何知识，可不是那种死板的教条，而是充满了灵活性和实用性。

它就像一位经验丰富的老师傅，手把手地教我们怎么去解决实际问题。

您看，几何知识在农业生产中也大有用处。

要划分一块地，怎么才能分得公平合理？这就得靠几何知识来帮忙啦！而且，几何知识对于我们理解世界也很有帮助。

大自然中到处都有几何的影子，花朵的形状、树叶的脉络，不都有着几何的美吗？所以说啊，《九章算术》里的几何知识，那可真是咱们的好帮手，是咱们探索世界、解决问题的有力武器。

咱们可得好好学，好好用，让这些古老的智慧在现代社会继续发光发热！总之，《九章算术》的几何知识是咱们宝贵的财富，咱们不能让它被遗忘，得把它传承下去，您说是不是这个理儿？。

立体几何中的数学文化——“鳖臑”与“阳马”一个是底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，它的名字叫“阳马”，另一个四个面都为直角三角形的四面体叫“鳖臑”。

这两个名称还曾经出现在高考卷上，下面这道例题就是2015年湖北高考题改编的。

原题是这样的：《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马中，侧棱底面，且，过棱的中点，作交于点，连接(I)证明：PB ⊥平面DEF ．试判断四面体DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；(II)若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为，求的值． 大家可以看出，我们例题的（1）（2）两个小题就改编自这题，只是没有用它的名称，实际上，“阳马”和“鳖臑”怎么来的，《九章算术》里是这样描述的：《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵。

斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑。

阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。

”阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为堑堵.再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个.以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马.余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑.我们可以看出来，“阳马”和“鳖臑”是截长方体所得，那么如果有需要也可以补形回去。

而且“阳马”和“鳖臑”的最长的棱就是对应长方体的体对角线。

ABCD P -PD ⊥ABCD PD CD =PC E EF PB ⊥PB F ,,,.DE DF BD BE π3DCBC D F P EC BA关于“鳖臑”这个几何体，浙江省也考过一个相关的题目，不过没有提出这个名称：（2008•浙江14）如图，已知球O的面上四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=3，则球O的体积为.要是了解鳖臑的由来，这道题就迎刃而解了，此球就是补回的长方体的外接球，半径就是体对角线的一半，体积也就可以求解了。

九章算术内容章节一：引言古代中国的九章算术是一部数学著作，被认为是中国古代数学五部经典之一，历史悠久、内容丰富。

九章算术的成书年代约在西汉前后，距今已有两千多年的历史。

该数学著作包含了算术、代数、几何等多方面的内容，影响深远，被誉为中国数学史上的瑰宝。

章节二：九章算术的结构九章算术一共分为九篇，每篇分别讨论了不同方面的数学问题。

这些篇章包括了数字、数列、代数方程、几何等各种数学内容。

每篇章内容上一直贯穿着实际问题与计算方法的结合，既有理论的阐释，也有实际的应用，体现了古代数学家对数学的深刻理解和实践经验。

章节三：数论内容在九章算术中，数论是其中一个重要的内容。

数论主要讨论自然数的性质、因数分解、最大公约数、同余方程等问题。

通过对数论内容的研究，九章算术揭示了自然数的一些规律和性质，为古代数学的发展提供了重要参考。

章节四：代数内容代数是九章算术的另一个重要内容。

在代数部分，九章算术主要研究了一次方程、二次方程的求解方法，包括了直接法、逆关系法等多种解题技巧。

通过对代数内容的学习，读者可以了解不同类型方程的求解步骤和技巧，提高解题效率。

章节五：几何内容在几何方面，九章算术也有着重要的内容。

几何部分主要讨论了平面几何与立体几何的相关问题，包括了平行线、比例、面积、体积等几何问题。

通过研究几何内容，读者可以了解古代中国关于几何的基本原理和方法，以及解决实际问题的技巧。

结语九章算术作为中国古代数学的重要著作，内容丰富、语言精炼，不仅展示了古代数学家的智慧和学识，也对后世数学的发展产生了深远的影响。

通过学习九章算术，我们可以更深入地了解古代数学的发展历程，领悟数学的魅力与无穷的可能性。

愿我们能够继承并发扬古代数学的精神，探索数学世界的更多奥秘。

刘徽对《九章算术》中立体的辨名示例文章篇一：《刘徽对〈九章算术〉中立体的辨名》嗨，大家好！今天我想和大家聊聊一个特别有趣的事儿，那就是刘徽对《九章算术》中立体的辨名。

你们可能会想，这听起来好深奥啊，其实呀，只要我一讲，你们就会觉得可有意思啦。

《九章算术》可是咱中国古代特别厉害的一本数学书呢。

里面讲了好多好多关于数学的知识，就像一个巨大的数学宝藏。

那刘徽呢，他就像是一个超级聪明的探险家，在这个宝藏里发现了好多关于立体的秘密。

我先给你们举个例子吧。

在《九章算术》里有提到像长方体这样的立体。

长方体呀，咱们在生活里可常见啦，像咱们的书本，有的就很接近长方体。

刘徽对长方体的辨名就特别细致。

他不是只简单地说这是个长方体就完事儿了。

他会去研究长方体的各个面、各个棱的关系。

他就像是一个特别细心的工匠，在打量自己手里精美的作品一样。

我就想啊，他当时肯定是拿着个小本子，一边看着长方体的东西，一边写写画画的。

“这个长方体啊，它的长、宽、高可都有着特殊的关系呢。

”他可能会这么自言自语。

还有那个圆柱体。

咱们想想，像咱们家里的柱子，有的就像圆柱体。

刘徽看到圆柱体的时候，他眼睛肯定都亮了。

他想啊，这个东西可不像长方体那么规规矩矩的边边角角。

他要怎么去准确地给它辨名呢？他就得去想圆柱体的底面是个圆，那这个圆和圆柱体的高又有啥联系呢？他肯定会找来好多不同大小的圆柱体来研究。

他也许会拉着身边的小伙伴说：“你看这个圆柱体，它的圆底面就像是一个盘子，这个盘子沿着一条直线往上堆起来，就成了这个圆柱体啦，这其中的道理可不简单呢。

”他的小伙伴可能会挠挠头说：“啊，我怎么就没想到呢？”这就说明刘徽的想法多独特呀。

再说说圆锥体。

圆锥体就像咱们吃的冰淇淋的蛋筒部分。

刘徽对圆锥体的辨名也很有一套。

他看着圆锥体，心里就琢磨着，这个尖尖的东西，它的底面也是个圆，可是它和圆柱体又不一样。

他会想，要是把圆锥体展开会是什么样子呢？他可能会在地上画来画去，尝试着把圆锥体的形状通过各种线条表示出来。

数学史话《九章算术》是一部现有传本中最古老的中国数学经典著作.书中收集了二百四十六个应用问题和各个问题的解法，分别隶属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章.现在拟就问题的性质分成算术、几何、代数三类，介绍全书的主要内容.下面主要讨论《九章算术》中的几何部分.一、面积和体积计算面积和体积的方法起源于春秋时期，从有按亩收税的制度后，田地面积的量法、算法就成为古代算术的重要组成部分.所以《九章算术》以方田章为第一章.有些古代建筑的基地是圆形的，储藏粮食的囤大多也是圆形的，随着这些实际需要，有关圆面积的计算方法应运而生，因而方田章内有圆田、环田、弧田等问题的解法.建筑城墙、开掘沟渠等一切重大工程都需要用到计算体积的方法，所以商功章也是《九章算术》中重要的一章.方田、商功两章中，除了有关圆面积的部分只能算出比较粗糙的近似结果外，一切与直线有关的图形的面积或体积的量法都是正确的.古代数学家习惯借用长度的单位名称来表示面积或体积的单位.例如王莽铜斛的铭文“幂一百六十二寸，深一尺，积一千六百二十寸，容十斗”.实际上，铜斛的剖面积是162方寸，体积是1620立方寸，铭文中用“寸”字代替了“方寸”和“立方寸”两个单位名称.方田章中的“方田术”说：“广从步数相乘得积步.”这里的“方田”是指长方形的田，或是长方形的面积.“广”是长方形的底，“从”读作“纵”，是指长方形的高.术文的意思是，长方形的面积等于底乘高.“步”是长度的单位，也借用了面积的单位（方步）.三角形的田叫做圭田.“圭田术”说：“半广以乘正从.”这里的“正从”，明确指出了高是与底边垂直的.梯形的田叫做“箕田”.设梯形的上、下底为a 1、a 2，高为h ，则面积等于12(a 1+a 2)h .“圆田术”说：“半周、半径相乘得积步.”该理论是正确的.但用“径一周三”作为周径的比率，由此得出的圆的面积是不够精密的.“环田术”说：“并中、外周而半之，以径乘之为积步.”这里的“径”是中周与外周之间的最短距离，是中、外周半径的差.设r 中周和外周的半径，则圆环形的面积为πr 12-πr 22=12⋅（2πr 2+2πr 1）（r 2-r 1）.弓形的田叫做“弧田”.“弧田术”说：“以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一.”设弓形的弦长为c ，矢高为V ，则其面积为A =12（cV +V 2）.这是一个根据经验得来的公式，由此算出来的面积的近似值不很精密.商功章的第1题是：“今有穿地积一万尺，问为坚、壤各几何.”在后面的许多问题中还提到了按照季节每个工作日规定的土方数，来计算某项工程的人工数量.计算筑城墙、开沟渠等土方的方法是：如果剖面都是相等的梯形、它的上、下底广是a 1、a 2，高或深是h ，工程的总长是l .那么这一段的土方是V =12（a 1+a 2）hl .正方形柱体叫方堢壔.设a 为方边，h 为高，则其体积等于a 2h .正圆柱体叫圆堢壔.若圆周是p ，则体积等于112p 2h.这里用3作圆周率进行计算.正方锥体叫“方锥”，它的体积是13a 2h .正圆锥体叫“圆锥”，它的体积是136p 2h .“方亭”是平截头的正方锥体.设a 1、a 2为上、下方边的长，h 为截高，则体积为13(a 21+a 22+a 1a 2)h .圆亭是平截头的正圆锥体，它的体积是136(p 21+p 22+p 1p 2)h 、其中p 1、P 2为上、下圆的周长，h 为截高.“堑堵”是两个底面为直角三角形的正柱体.设底面直角旁的两边为a 和b ，柱体的高为h ，则体积等于12abh .“阳马”是底面为长方形，有一棱与底面垂直的锥体，它的体积是13abh.“鳖臑”是底面为直角三角形，有一棱与底面垂直的锥体，它的体积是16abh .楔形体的三个侧面不是长方形而是梯形的叫做“羡除”.设一个梯形侧面的上、下广是a 1、a 2，高是h ，其他两个梯形侧面的公共边长为a 3，这一边到第一个梯形侧面的垂直距离是l ，则其体积为V =16(a 1+a 2+a 3)hl .“刍童”是上、下底面都是长方形的棱台体.设上、下底面58数学史话的面积分别为a 1×b 1，a 2×b 2，高为h ，则体积为V =16[(2a 1+a 2)b 1+(2a 2+a 1)b 2]h .二、勾股勾股章为《九章算术》的第九章，包含二十四个问题的解法.现在就问题的不同性质分成三组，介绍如下：1.从第1题到第14题都是利用勾股定理来求解的应用问题.设勾股形直角旁的两边为勾a 和股b ，对边为弦c ，则勾股定理是a 2+b 2=c 2.西汉时期的《周髀算经》中记载了利用勾股定理解决太阳在正东西方向上的距离问题.此后数学家又由勾股定理出发，导出了几个关于勾、股、弦的关系式，用来解决日常生活中的几何问题.《九章算术》中重点介绍这些问题的解法.例如，第6题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深葭长各几何.”如图1，在直角三角形ABC 内，已知a =5尺，c -b =1尺，用关系式b =a 2-(c -b )22(c -b )得出b =12尺，c =13尺.图1图2第9题：“今有圆材埋在壁中不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何.”其解法为：如图2，在直角三角形ABC 中，已知a =5寸，c -b =1寸，由恒等式c +b =a 2c -b可得出c +b =25寸，故圆材径2c =25+1=26寸.第11题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广各几何”即已知b -a =68寸，c =l00寸.其解法是：由关系式12(b +a )=可得12(b +a )=62，则b =96寸，a =28寸.第12题：“今有户不知高、广，竿不知长短.横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出.问户高、广、邪各几何.”已知c -a =4尺，c -b =2尺.因为a +b -c =2(c -a )(c -b )=4尺，所以a =6尺，b =8尺、c =10尺.2.第15题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何”，这是一个直角三角形内容正方形问题，文中指出了内容正方形边长等于aba +b.第16题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆，径几何”，是一个直角三角形内切圆问题，文中指出了内切圆径等于2aba +b +c.这两个公式都是用图形的面积来证明的.3.从第17题到第24题共8题，都是测量问题.求解这几个问题都要利用相似直角三角形对应边成比例的原理，这可能是东汉初年“九数”中的“旁要”术.清代的孔继涵说：“旁要云者，不必实有是形，可自旁假设要（读平声）取之”.勾股章中最后的8个问题确是从旁要取进行求解的.例如，第17题：“今有邑方二百步，各中开门.出东门十五步有木，问出南门几何步而见木.”如图3，已知AC =AD =100步，CB =15步，求DE .由题意可知，DE =AC ×AD CB =100215=66623.第22题：“有木去人不知远近.立四表相去各一丈，令左两表与所望参相直.从后右表望之，入前右表三寸.问木去人儿何.”如图4，已知BC =CD =100寸，ED =3寸，由题意知BP =CD ×BC ED ，则BP =10023=333313寸=33丈3尺313寸.图3图4第23题：“有山居木西，不知其高.山去木五十三里，木高九丈五尺.人立木东三里，望木末适与山峰斜平.人目高七尺，问山高几何.”如图5，已知RB =53里，CA =3里，CB =95-7=88尺，EB =95尺，计算可得QP =CB ×RB CA +EB =88×533+95=1649尺.图5——摘自《中国数学史》59。

古今立体几何趣论几则许苏华根据《九章算术》和《古今数学思想》等经典名著，可以粗略认为小学数学主要为夏商周时期的文化遗产，中学数学主要为秦汉至宋元时期的文明产物，那么高等数学主要为明清时期以来同期的欧美发现.大中小学数学教材中所选择的内容是数学教育家或教育数学家认为数学历史长河中非常重要的部分，而许多未能出现在教材中的概念知识与思想方法，只能一直静静地躺在原著中、原地上.阅读原著、探索原地，可以发现许多不为人知的数学历史故事，以及鲜为人知却名垂青史的原理、公式、定理等结论.让我们一起欣赏其中几则吧！一、《九章算术》中的空间几何体立体几何作为高中数学的重要内容之一，它在两千多年前就已大量出现在西汉丞相张苍的《九章算术》一书中，近年全国各地借此书中空间几何体编制新题的情形屡见不鲜，不妨看下面几题：例1 （2018上海）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．设1AA 是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以1AA 为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）A ．4B ．8C ．12D ．16 解析：如图以1AA 为底面矩形一边的四边形有11AAC C 、11AA B B 、11AA D D 、11AA E E 4个，每一个面都对应着4个顶点，所以阳马的个数为16个，故选D ．例2 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，已知鳖臑P ABC 的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A 1A E 1EA A 1D C D 1C 1B 1BA ．41πB ．16πC ．25πD ．64π解析：由三视图还原后得到几何体的直观图如下图所示，该几何体为三棱锥，底面是直角三角形，PA ⊥底面ABC .则BC PC ⊥.扩展为长方体，它的对角线的PB =24(412ππ⋅=.故选A .例3 在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.已知“堑堵”111ABC A B C -的所有顶点都在球O 的球面上，且1AB AC ==，若这个三棱柱的体积为12，则该球O 的表面积为（ ） A ．π B ．2π C ．3π D ．4π 解析：“堑堵”111ABC A B C -的外接球的球心O 如图所示，设Rt ABC ∆外接圆圆心为1O ，1AB AC ==，所以12AO ==.由三棱柱的体积为12，所以111(11)222OO =⨯⨯⨯，所以112OO =.在1Rt AOO ∆中，设该球O 的半径为R ，则有22221134R OA OO AO ==+=，所以2R =，则243S R ππ==球，故选C .上面出现的堑堵、鳖b i ē臑n ào、阳马三个几何体均在《九章算术》一书中出现，分别是非常特殊的三棱柱、三棱锥和四棱锥，在古代实际生活中比较常见的空间图形.除此之外，还有很多空间几何体，比如方堡壔d ǎo和圆堡壔，分别指的是正四棱柱和圆柱；比如方亭和圆亭，分别指的是正四面棱台体和圆台；比如方锥和圆锥，分别指的是正四棱锥和圆锥.可见只有圆锥的名字一直沿用至今. 堡壔指的是土筑小城，亭指的是建筑物，由此可见《九章算术》是一部应用数学著作.除了解决人类居住的建筑物，还解决其它问题，比如羡除和冥谷，分别指的是墓道和墓坑，如图所示：羡除 冥谷羡除的体积计算公式为“并三广，以深乘之，又以袤乘之，六而一”，即； 冥谷的体积计算公式为(++)6V ⨯⨯=羡除上广下广末广深袤.再比如盘池与曲池，分别指的是长方形土池和扇形水池，如图所示：盘池曲池盘池的体积公式与冥谷的体积公式相同，这里的盘池和冥谷都不一定是我们现在所研究的棱台.曲池的体积计算公式为++(+)+(+)26V⎡⎤⨯⨯⨯⨯⨯⎢⎥⎣⎦=曲池上中周上外周下中周下外周上广2下广下广2上广深2.看到这些公式，不禁惊叹近两千年前古人的智慧与能力，而且通过图形分割等方法可以证明这些公式是正确的！如果不好好学习，即使你穿梭时空到两千年前的大汉王朝，也只能算是后进生.二、多面体的欧拉公式除了高中数学教材中出现的棱柱、棱锥、棱台是多面体外，还有很多表面由一些平面多边形构成的立体也是多面体.无“孔（洞）”的多面体称为简单多面体，也有人称之为第零类多面体，假如多面体的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么简单多面体可以会变成一个球面.否则就不是简单多面体，如下图所示.非第零类多面体对于简单多面体，它的顶点数为v，面数为f，棱数为e，那么多面体的三元素个数之间满足关系式2v f e+-=，这个我们称之为欧拉定理，因为数学历(+)+(+)6V⨯⨯⨯⨯⨯⎡⎤⎣⎦=冥谷上广2下广上袤下广2上广下袤深史记载最先由瑞士数学家欧拉发现的.欧拉公式的证明不是特别难，给出两种常见证明方法：证法一：对于任意一个顶点数为v、面数为f、棱数为e的简单多面体，它是用橡胶薄膜做成的，在它里面放一个可变大的球，当这个球适当变大时，简单多面体就贴合在球面上，此时多面体的顶点、棱、面变成了结点、弧、小球面片，数目都是一致的.任取其中一个结点，连接该结点有k条弧，那么与之相邻的小球面片也是k个，如果删掉该结点，与之相邻的k条弧也一同消失，那么k个小球面片变成一个球面片，结点数+小球面片数-弧数=(1)(1)()-+-+--=+-，可以发v f k e k v f e现，删除一个结点后，v f e+-不变.重复这样的操作，球面最终留下一个孤立的结点，弧全部消失，此时球面片变成整个球面，那么1102+-=+-=.v f e证法二：对于任意一个顶点数为v、面数为f、棱数为e的简单多面体，它依然用橡胶薄膜做成的，去掉一个面积最大的面，然后把它剩下的棱和面拉到一个平面内，此时在平面内有v个点、e条线段以及1f-个多边形.此时只需要证明(1)1+--=即可.比如下面两图分别是四面体和正方体去掉一个面变成平v f e面图形的情形：被拉成平面的四面体被拉成平面的正方体删除一条线段，对应就少了一个多边形，(11)(1)(1)+----=+--不v f e v f e变；或者删除一条线段，再删除孤立的顶点，(1)(1)(1)(1)-+---=+--v f e v f e不变；重复这样的操作，可以发现最后平面内只剩下一个孤立的点，即+--=.(1)1v f e这里的v f e+-称之为欧拉示性数，前面的证明过程告诉我们简单多面体的欧拉示性数为2.对于前面所给的一个非第零类多面体，它的欧拉示性数为0.下面是一道以欧拉公式为背景的数学试题：例4 在数学历史中有很多公式都是数学家欧拉（Leonhard Euler ）发现的，它们都叫做欧拉公式，分散在各个数学分支之中.任意一个凸多面体的顶点数V 、棱数E 、面数F 之间，都满足关系式2V E F -+=，这个等式就是立体几何中的“欧拉公式”.若一个凸二十面体的每个面均为三角形，则由欧拉公式可得该多面体的顶点数为（ ）A ．10B ．12C ．15D ．20解析：因为一个凸二十面体的每个面均为三角形，所以面数20F =，顶点数V 、棱数E 的关系为32F E =，由任意一个凸多面体的顶点数V 、棱数E 、面数F 之间，都满足关系式2V E F -+=，所以322V F F -+=，得V=12,故选B . 三、简单几何体的辛普森公式棱柱和圆柱统称为柱体，柱体的体积公式是V Sh =柱体，此公式可以看成定义或原理.棱锥和圆锥统称为锥体，锥体的体积公式是13V Sh =锥体，利用三棱柱可以分割成三个体积相等的三棱锥以及祖暅原理得出此公式的.棱台和圆台统称为台体，台体的体积公式是1(')3V S S h =+台体，利用两个位似锥体的体积相减化简可得.台体的体积公式也用于柱体和锥体，当'0S =时，此公式就变成锥体的体积公式；当'S S =，此公式就变成柱体的体积公式. 利用圆柱和圆锥的体积公式以及祖暅原理，可以推出球体体积公式343V R π=球. 上述中的棱柱、棱锥和棱台就是简单多面体，圆柱、圆锥、圆台和球是旋转体，这七个空间图形统称为简单几何体，它们有更一统的体积公式，即辛普森定理： 夹在两平行平面之间的几何体，如果被平行于这两个平面的任何平面所截，截得的截面面积是截面高的（不超过三次的）多项式函数，那么这个几何体的体积，就等于其上底面积'S 、下底面积S 与四倍中截面面积04S 的和乘以高h 的六分之一，即()046h V S S S '=++. 很容易验证此公式不仅适合柱体、锥体，还有球体，下面证明台体也可以用此公式，相当于证明1(')=('4)36hV S S h S S S=++台体，即只需证明0'4S S S+=，设上底、中截面、下底对应线段比为'::r r r，那么对应的面积比22200'::'::S S S r r r=；而且2'r r r=+，那么22224(')'2'r r r r r r r=+=++，那么4'S S S=+，即证.说明这个公式不仅是对的，而且很有用，因此有必要证明它，然后以后你就可以光明正大地在适当的场合使用它，助你一臂之力.类似于人教社普通高中课程标准试验教科书（老教材）中球体体积公式的证法，证明过程如下：证明：将几何体的高h等分成n等分，通过这些分点且平行于上、下底面的平面，将几何体分为n个薄片，每一个薄片可以近似看成柱体，这n个柱体的体积之和近似等于这个几何体的体积，n越大，那么这n个柱体的体积之和就越逼近于这个几何体的体积.对于自下而上第i个薄片的底面积为323210()()()ii i iS a h a h a h an n n=+++，那么第i个薄片的体积为iiS hVn=，整个几何体的体积近似为11'n niiS hV Vn==∑∑，整理得：32321011'[()()()]n nih h i i iV S a h a h a h an n n n n==+++∑∑33223210111[()()()]n n nh h h ha i a i a i nan n n n=+++∑∑∑.又由数列求和公式1(1)2n n ni+=∑、21(1)(21)6n n n ni++=∑和2231(1)4n n ni+=∑可得：22323210(1)(1)(21)(1)'[()()()]462h h n n h n n n h n nV a a a nan n n n++++=+++2323210223(1)(1)(21)(1)[36]62h n n n na h a h a h an n n++++=+++.因此3232103lim'(236)62nhV V a h a h a h a→+∞==+++（此处利用了极限思想和洛必达法则）.下底面积为0S a =，上底面积为323210'S a h a h a h a =+++，中截面面积为3203210()()()222h h h S a a a a =+++，裂项得： 3232032103210(4()4()4()4)6222h h h h V a a h a h a h a a a a a =++++++++ 0('4)6h S S S =++. 证毕.下面是以辛普森公式为背景编制的题目：例5 “辛卜生公式”给出了求几何体体积的一种计算方法：夹在两个平行平面之间的几何体，如果被平行于这两个平面的任何平面所截，截得的截面面积是截面高（不超过三次）的多项式函数，那么这个几何体的体积，就等于其上底面积、下底面积与四倍中截面面积的和乘以高的六分之一，即()046h V S S S '=++，式中h ，S ，S '，0S 依次为几何体的高，下底面积，上底面积，中截面面积.如图，现将曲线()20y x x =≥与直线2y =及y 轴围成的封闭图形绕y 轴旋转一周得到一个几何体.利用辛卜生公式可求得该几何体的体积V =( )A ．2πB ．πC ．2πD ．4π 解析：根据题意可知该几何体是由曲线()20y x x =≥与直线2y =及y 轴围成的封闭图形绕y 轴旋转一周得到.∴ 0S '=，22S ππ==，201S ππ=⋅=，∴ 根据辛卜生公式()220426V πππ=⨯++=，故选C . 四、四面体的定理三角形是边数最少的多边形，因此在初中研究了与三角形有关的内容，比如等腰三角形、等边三角形、直角三角形、全等三角形、相似三角形及其它们的性质、判定等有关结论.四面体是面数最少的多面体，就是三棱锥，是最简单的多面体，正因为它的特殊性，因此它也具有很多结论.1.四面体的定理：给定一个四面体，都可以确定它的外接平行六面体.定理1-1：通过四面体的每一条棱及其对棱重点的平面共有六个，它们通过同一点.定理1-2：连接四面体的每一顶点与其对面重心的线段共有四条，也都通过这一点，而且从各该顶点算起都被这点分为3:1.定理1-3：三双对棱中点的三个连线段也通过这一点，而且都被它平分. 这点称为四面体的重心.四面体的每一个面都可以看成三棱锥的底面，三棱锥的顶点到底面的垂线段称之为四面体的高线，因此它的高线有四条.定理2：四面体中从两顶点发出的高线相交的充要条件是连接这两顶点的棱垂直于其对棱.定理3：设四面体有两双对棱互相垂直，则第三双对棱也互相垂直，此时四面体的四高线通过同一点.2.等腰四面体的定理：如果一个四面体，它的每一对对棱的长相等，就说该四面体为等腰四面体.定理1：等腰四面体的四个面都是全等的三角形. 定理2：一个四面体是等腰的，当且仅当每个顶点处面角之和是180°.定理3：等腰四面体的每个面都是锐角三角形.定理4：如果一个四面体的各个面具有相同的周长，那么它是等腰的.定理5：任意四面体的内切球在各个面上的切点与该面的顶点的连线在切点所形成的三个角，对每个面来说都是相同的.定理6：各面面积相等的四面体是等腰的.定理7：一个四面体是等腰的，当且仅当它的内切球与外接球同心.等腰四面体是一特殊的四面体，那么四面体的所有定理适用于等腰四面体，反之则不一定.这些定理虽然未出现在教材中，但是每一个定理的得出及其证明都是数学历史发展的最简缩影.高考、竞赛经常以此为载体编制试题.例6（2017浙江）如图，已知正四面体D ABC -（所有棱长均相等的三棱锥），P ，Q ，R 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP PB =，2BQ CR QC RA ==，分别记二面角D PR Q --，D PQ R --，D QR P --的平面角为α，β，γ，则（ ）A ．γ<α<βB ．α<γ<βC ．α<β<γD ．β<γ<α 解析：设O 为三角形ABC 中心，底面如图2，过O 作OE RP ⊥，OF PQ ⊥，OG RQ ⊥，由题意可知tan DO OE α=，tan OD OF β=，tan OD OGγ=，图1 图2由图2所示，以P 为原点建立直角坐标系，不妨设2AB =，则(1,0)A -，(1,0)B，C，O ，∵AP PB =，2BQ CR QC RA==，∴1(3Q，2(3R -，则直线RP的方程为y =，直线PQ的方程为y =，直线RQ的方程为y x =+根据点到直线的距离公式，知OE =OF =13OG =，RQ P AB C DG FE O DC B AP QR∴OF OG OE <<，tan tan tan αγβ<<，又因为α，β，γ为锐角，所以αγβ<<，故选B ．例7（2017全国Ⅲ卷）如图，四面体ABCD 中，ABC ∆是正三角形，ACD ∆是直角三角形，ABD CBD ∠=∠，AB BD =．(1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角D AE C --的余弦值．解析：（1）由题设可得，ABD CBD ∆≅∆，从而AD DC =．又ACD ∆是直角三角形，所以=90ACD ∠．取AC 的中点O ，连接DO ，BO ，则DO AC ⊥，DO AO =． 又由于ABC ∆是正三角形，故BO AC ⊥．所以DOB ∠为二面角D AC B --的平面角．在Rt AOB ∆中，222BO AO AB +=．又AB BD =，所以222222BO DO BO AO AB BD +=+==，故90DOB ∠=．所以平面ACD ⊥平面ABC ． （2）由题设及（1）知，OA,OB,OD 两两垂直，以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴正方向，OA 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则ABCDE(1,0,0)A，B ，(1,0,0)C -，(0,0,1)D ．由题设知，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12，即E 为DB的中点，得1(0,,)22E ．故(1,0,1)AD =-，(2,0,0)AC =-，1()2AE =-．设()=x,y,z n 是平面DAE 的法向量，则AD AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩0，0，n n即x z x y z -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩01022，可取=n ． 设m 是平面AEC 的法向量，则0，0，AC AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩m m同理可得(0,=-m ．则cos ,==77n m n m n m ，所以二面角D AE C --例8 如图，在等腰四面体ABCD 中设BC=AD=a .AC=BD=b ，AB=CD=c ，外接球的半径为R ，则R =______.（用a 、b 、c 表示）解析：设长方体的长宽高分别为x ，y ，z ，根据题意得222x y a +=，222y z b +=，222x z c +=，相加得2222222a b c x y z ++++=，R ===． 例9 定义异面棱长相等的四面体为等腰四面体.设等腰四面体DBMN 的外接球半径为R ，BMN ∆的外接圆半径为r .已知DB MN a ==，DM BN b ==，DN BM c ==.则rR 的取值范围是______.解析：由定义，知对棱相等的四面体可补成一个长方体ABCD MKNL -，如图所示.则四面体DBMN 即为对棱相等的四面体，其外接球直径就是长方体的对角线DK .令长方体的高、长、宽分别为AM x =，AB y =，AD z =.则222222222,,x y c y z a z x b ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩R ⇒=.而等腰四面体的四个侧面均相同，由海伦公式得BMN S ∆=r ⇒=r R⇒=.由恒等式()()222222222x y z y z z x x y ++++()()()222222222=y z z x x y x y z ++++，及均值不等式得()()()()()22222222222222281193y z z x x y rR x y z y z z xx y+++≤<⇒≤<++++. 五、正多面体与旋转体图形赏析正多面体只有5种，分别是正四面体、正六面体（正方体）、正八面体、正十二面和正二十面体，可以借助欧拉公式证明有且仅有这五种正多面体.下面借助网络画板画出的3D效果，共大家赏析.正四面体正八面体正十二面体正二十面体腰鼓小蛮腰六、三个有奖问题单墫教授在解题研究丛书序中说“学习数学，就要学习发现问题，解决问题.”我发现了三个问题，大家来解决这三个问题，每个题目后面是红包金额，钱不多，重在解决问题后所获得的快乐与幸福！第一个问题：如何证明有且仅有五个正多面体？（8.8元）第二个问题：如何借助网络画板画一个3D足球？（18.8元）第三个问题：如何用一个平面平分任意六面体的体积？（28.8元）做出者把过程或网络画板链接，还有你的微信号，通过电子邮件shxu@发给我，第一位做对者，通过微信送红包一个.。

《九章算术》中的立体几何《九章算术》文字古奥，历代注释者甚多，其中以刘徽的注本最为有名.刘徽是我国魏晋时期著名数学家，他在曹魏末年撰成《九章算术注》九卷。

在继承的基础上，又提出了许多自己的创见与发明，刘徽的观点，对现今的数学有很多借鉴的地方。

《九章算术》是一部问题集，全书分为九章，共收有246个问题，每题都有问、答、术三部分组成。

内容涉及算术、代数、几何等诸多领域，并与实际生活紧密相连，充分体现了中国人的数学观与生活观。

其中卷第五“商功”，主要讲各种几何体体积的计算，包括现阶段高中数学教材中的棱柱、棱锥、棱台，圆柱、圆锥、圆台，或可化为上述几何体的几何体体积的计算。

《九章算术》是东方数学的思想之源，也是我国多年来各级各类考试的重要题库。

卷第五“商功”第25题作为2015年全国卷（Ⅰ）（文理）第6题,通过古题新解考查阅读理解能力，通过圆锥体积的计算考查空间想象能力与求解运算能力。

题目是：《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。

问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（解法见例25）A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛2015年湖北理科19题、文科20题选用《九章算术》“商功”第16题“阳马”与第17题“鳖臑”的组合考查立体几何中线、面间的位置关系与度量关系.《九章算术》卷第五“商功”共收录28个题目，现将这28个问题整理如下，供参考。

【例1】今有穿地积一万尺.问为坚、壤各几何？【注释】穿地：挖地取土. 坚：坚实的土. 壤：松软的土.【译文】现挖地体积为1000立方尺，问换算成坚土、松土各多少？【解析】本题是各种土方量的换算，有专门的换算比例，这里不赘述.【说明】从例2到例7都是直四棱柱求体积问题，以例2为例，介绍它们的算法.【例2】今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺。

九章算术圆锥体积计算方法原理九章算术是中国古代数学中一种用于解决实际问题的算法。

其根据在实际应用中遇到的问题，通过观察现象、分析规律，提出了一系列算法来解决这些问题。

其中涉及到了很多几何计算方法，包括圆锥体积的计算。

圆锥体是一种由一个圆和一个顶点不在圆所在平面上的点共同确定的几何体。

圆锥体积的计算是指求解圆锥体的体积，也就是圆锥体内部可以容纳的物质的多少。

九章算术给出了圆锥体积计算的方法原理，主要包括以下几个步骤：1.了解圆锥的三要素：底面半径、高和斜高。

底面半径即圆锥底面上圆的半径，高是从底面中心垂直于底面的直线段长度，斜高则是从圆锥顶点到底面圆上的点的直线段长度。

2.推导推减法公式：通过观察圆锥体，可以得到推减法公式，即在一个立体几何体中，去光、去方、去割、去全四种操作得到的四个子几何体的体积之和等于原几何体的体积。

3.应用推减法公式求解圆锥体体积：将圆锥体分为两个部分，一个是底面圆与圆锥顶点之间形成的圆锥形部分，另一个是底面圆下方形成的锥台形部分。

通过应用推减法公式，对这两个部分的体积进行计算。

4.求解圆锥体的体积：通过计算圆锥形部分和锥台形部分的体积，最后将两部分的体积相加，即可得到整个圆锥体的体积。

九章算术的圆锥体积计算方法原理是基于几何形状特征和数学推导，通过将立体几何体分割为各个部分，然后计算这些部分的体积，最后将它们相加得到整体的体积。

这个方法可以用于求解各种形状的圆锥体的体积，具有较高的求解精度和适用性。

需要注意的是，九章算术是中国古代的传统数学算法，其方法原理对于初学者可能较为复杂，直接应用可能需要较多的计算和推导过程。

然而，九章算术所包含的数学思维方式和计算方法仍然对于现代的数学研究和应用有着重要的启示和参考价值。

九章算术圆锥体积计算方法原理九章算术是古代中国数学中重要的一部分，其中包含了许多数论和代数的计算方法。

九章算术中还包含有关几何题目的解决方法，其中就包括了圆锥体积的计算方法。

在这篇文章中，我将介绍九章算术中圆锥体积计算方法的原理。

首先，我们需要明确圆锥体的定义。

圆锥体是由一个平面底部和一个顶部点组成的几何体。

圆锥体的底面是一个圆形，顶部点则是与底面上的圆心相连的垂直中心轴。

底面上的圆心到顶部点的距离称为圆锥体的高。

圆锥体的体积是指它所包围的空间大小。

根据九章算术的原理，我们可以用一种方法来计算圆锥体的体积。

这种方法利用了圆的面积和一个三角形的面积之间的关系。

具体而言，我们可以通过计算一个圆锥截面的面积，并乘以其高度来得到圆锥体的体积。

假设我们有一个底面半径为r，高度为h的圆锥体。

我们可以在它的底面上选择一个半径为r的圆，这个圆将底面划分成了许多与底面相切的三角形。

这些三角形的面积之和就等于该圆的面积。

根据三角形的面积公式，三角形的面积等于底边长乘以高度再除以2、在这里，底边长是圆的周长，也就是2πr，高度是h。

所以一个三角形的面积就是πr*h。

因此，我们可以得到圆锥截面的面积公式为πr*h。

由于圆锥截面的半径随着高度的变化而变化，所以我们可以将圆锥截面的面积表示为一个关于高度的函数：A(h)=πr*h。

接下来，我们只需要将圆锥截面的面积与高度相乘，再除以3，就可以得到圆锥体的体积。

即V=(1/3)*A(h)*h。

将圆锥截面的面积公式代入其中，我们可以得到V=(1/3)*πr*h^2综上所述，九章算术中圆锥体积计算方法的原理可以总结为以下几个步骤：1.选择一个底面半径为r的圆，在底面上划分出许多与底面相切的三角形。

2.计算一个三角形的面积，即πr*h。

3.将三角形的面积与高度相乘，再乘以1/3，即可得到圆锥体的体积。

九章算术中的圆锥体积计算方法原理简单而高效。

通过利用圆的面积和三角形的面积之间的关系，我们可以快速计算圆锥体的体积。

九章算术圆锥体积计算方法原理九章算术是中国古代数学的重要分支之一，它主要研究与应用与实际生活中的计算问题，其中包括圆锥体积的计算方法。

九章算术中的计算方法注重直观性和实用性，通过几何图形的分解和组合，简化了复杂计算的步骤，使人们能够更容易地进行计算。

在九章算术中，圆锥体的体积计算采用了分解-组合的方法。

其基本思路是将圆锥体划分为一系列几何体，然后计算这些几何体的体积并将其相加。

具体方法如下：1.首先，将圆锥体划分为两个部分：圆锥底面与圆锥的“茎”。

2.接下来，将圆锥底面划分为若干个区域，可以是扇形区域或三角形区域等。

每个区域可以看作是一个锥台或一个三角锥。

3.然后，计算每个区域的体积。

对于锥台，其体积可以通过其上底面和下底面的面积以及高度来计算。

对于三角锥，其体积可以通过三角形的面积以及高度来计算。

4.将所有区域的体积相加，即可得到圆锥底面的体积。

5.最后，将圆锥底面的体积与圆锥的“茎”的体积相加，即可得到整个圆锥体的体积。

这种分解-组合的方法在求解圆锥体的体积时具有明确的几何意义，可以将复杂的计算问题转化为简单的几何形状的体积计算问题。

同时，这种方法也适用于其他几何体的体积计算，如圆柱体、棱锥等。

在实际应用中，九章算术的计算方法可以帮助人们更容易地进行复杂计算，特别是在建筑和工程等领域中。

通过将复杂的几何体划分为简单的几何形状，人们可以更方便地计算出体积，从而更好地应用于设计和规划工作中。

总结起来，九章算术的圆锥体积计算方法通过分解-组合的步骤，将复杂的计算问题简化为简单的几何形状的体积计算问题。

这种方法在实际应用中具有重要的意义，可以帮助人们更好地进行复杂计算并应用于实际工作中。

九章算术圆柱体积计算方法
九章算术是中国古代数学的重要成果之一，其中包括了很多计算方法和技巧。

其中，九章算术中的圆柱体积计算方法是一种非常实用的计算方法，可以用来计算圆柱体的体积。

圆柱体是一种常见的几何体，它由两个平行的圆面和它们之间的侧面组成。

圆柱体的体积是指圆柱体所占据的空间大小，通常用立方米或立方厘米等单位来表示。

九章算术中的圆柱体积计算方法是基于圆的面积和圆柱体的高度来计算的。

具体方法如下：
1. 首先，计算圆的面积。

圆的面积公式为：S=πr²，其中S表示圆的面积，π表示圆周率，r表示圆的半径。

2. 然后，计算圆柱体的体积。

圆柱体的体积公式为：V=S×h，其中V表示圆柱体的体积，S表示圆的面积，h表示圆柱体的高度。

例如，如果一个圆柱体的半径为5厘米，高度为10厘米，那么它的体积可以按照以下步骤计算：
1. 圆的面积为S=πr²=3.14×5²=78.5平方厘米。

2. 圆柱体的体积为V=S×h=78.5×10=785立方厘米。

因此，这个圆柱体的体积为785立方厘米。

九章算术中的圆柱体积计算方法简单易懂，适用于各种不同的圆柱体计算。

它不仅可以用于日常生活中的计算，还可以应用于工程和科学领域中的计算。

因此，学习和掌握这种计算方法对于我们的生活和工作都非常有帮助。

九章算术圆锥体积计算方法原理九章算术中的计算方法是一种古老而又实用的数学技巧，可以用来计算圆锥体的体积。

圆锥体是一个底面为圆形的立体，它的形状使得我们无法直接应用常规的体积公式进行计算。

因此，九章算术的计算方法为我们提供了一种解决这个问题的途径。

让我们回顾一下九章算术的基本原理。

九章算术是中国古代的一种重要数学著作，它系统地总结了古代数学的各种计算方法和技巧。

其中之一就是计算圆锥体积的方法。

九章算术中计算圆锥体积的方法基于一个简单的原理：将圆锥体切割成一系列具有相似形状的小锥体，然后计算每个小锥体的体积，并将它们相加得到整个圆锥体的体积。

具体来说，我们可以将圆锥体分割成无限多个具有相似形状的小锥体。

每个小锥体都有一个顶点和一个底面，底面是一个小圆，顶点位于圆锥体的顶点上。

我们可以通过改变小锥体的高度来改变它的形状，但是其底面始终保持圆形。

为了计算每个小锥体的体积，我们需要知道它的底面半径和高度。

圆锥体的底面半径可以通过测量圆锥体底面上的直径并除以2来获得。

而小锥体的高度可以通过测量圆锥体的高度并乘以一个系数来获得，该系数与小锥体的位置有关。

一旦我们获得了每个小锥体的底面半径和高度，就可以使用常规的圆锥体体积公式V = 1/3 * π * r^2 * h来计算每个小锥体的体积。

然后，将所有小锥体的体积相加，就可以得到整个圆锥体的体积。

通过这种方法，我们可以使用九章算术来计算任意形状的圆锥体的体积。

这种方法的优点是简单易行，不需要复杂的数学推导和计算。

只需要将圆锥体分割成小锥体，并计算每个小锥体的体积，然后将它们相加即可。

然而，需要注意的是，九章算术的计算方法只适用于圆锥体。

对于其他形状的立体，我们需要使用不同的方法来计算体积。

此外，九章算术的计算方法也只是一种近似计算，无法得到完全精确的结果。

因此，在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的计算方法。

九章算术的计算方法为我们提供了一种简单而实用的计算圆锥体体积的技巧。