北师大版锐角三角函数--正弦与余弦

第一章 直角三角形的边角关系1.1 锐角三角函数1、锐角三角函数的定义 在Rt △ABC 中，∠C=90°．（1）正弦：我们把锐角A 的对边a 与斜边c 的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ．即sinA=斜边边的对A ∠=ca．（2）余弦：锐角A 的邻边b 与斜边c 的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ．即cosA=斜边邻边的A ∠=c b．（3）正切：锐角A 的对边a 与邻边b 的比叫做∠A 的正切，记作tanA ．即tanA=边对边的邻A ∠的A ∠=ba．（4）三角函数：锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数．锐角三角函数的定义1．如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，cos A ＝，BE=2，则tan ∠DBE 的值（ ） A 、 B 、2 C 、D 、第1题 第2题 第3题2．如图，点A 为∠α边上的任意一点，作AC ⊥BC 于点C ，CD ⊥AB 于点D ，下列用线段比表示cos α的值，错误的是（ ）A ．BD BCB ．BC ABC ．ADAC D ．CD AC3．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则cos α的值是 ．4．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是 ．第4题 第5题 第6题 第7题 5．如图，将∠AOB 放在边长为1的小正方形组成的网格中，则tan ∠AOB=_______________. 6．如图，△ABC 的各个顶点都在正方形的格点上，则sin A 的值为 ． 7．正方形网格中，∠AOB 如图放置，则cos ∠AOB 的值为 ．8．如图，在2×2正方形网格中，以格点为顶点的△ABC 的面积等于23，则sin ∠CAB= ．9．如图，已知直线l 1∥l 2∥l 3∥l 4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则sinα= ．2.2 30°、45°、60°角的三角函数值1、同角三角函数的关系（1）平方关系：sin 2A+cos 2A=1；（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA=AAcos sin 或sinA=tanA•cosA ．2、互余两角的三角函数的关系 在直角三角形中，∠A+∠B=90°时，正余弦之间的关系为：①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA=cos （90°-∠A ）； ②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA=sin （90°-∠A ）； 也可以理解成若∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB 或sinB=cosA ． 3、特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值1．把一块直尺与一块三角板如图放置，若sin ∠1=22，则∠2的度数为 ．2．若2cos （α+15°）=1，则α= 度． 3．在△ABC 中，若，∠A ，∠B 都是锐角，则∠C的度数是 ．2.4 解直角三角形（1）解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系①锐角直角的关系：∠A+∠B=90°； ②三边之间的关系：a 2+b 2=c 2； ③边角之间的关系：sin A=c a ，cos A=c b ，tan A=ba ． 基础训练1．如图，在△ABC 中，cosB=22，sinC=53，AC=10，则△ABC 的面积为 ．第1题 第2题 第3题 2．如图，在 Rt △ABO 中，斜边 AB=1，若 OC ∥BA ，∠AOC=36°，则下面四个结论： ①点B 到AO 的距离为sin54°； ②点B 到AO 的距离为tan36°；③点A 到OC 的距离为sin36°•sin54°； ④点A 到OC 的距离为cos36°•sin54°． 其中正确的是 （填序号）．3．如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为 ．4．如图，在△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，点D 为BC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，则tan ∠BDE 的值等于 ．第4题 第5题 第6题5．如图，已知Rt △ABC 中，斜边BC 上的高AD=3，cos B=53，则AC 的长为 ．6．如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作OE ⊥AC 交AD 于E ，若AB=6，AD=8，sin ∠OEA= ．7．如图，△ABC 中，∠A=30°，tan B ＝23，AC=23，则AB 的长为 ．8．如图，已知AC=4，求AB 和BC 的长．9．如图，已知在△ABC 中，∠ABC=30°，BC=8，sin ∠A=55，BD 是AC 边上的中线．求： （1）△ABC 的面积； （2）∠ABD 的正切值．拓展提升1．如图所示，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，CE ⊥AB 于E ，且BE=2AE ，已知AD=33，tan ∠BCE=33，那么CE 等于 ．第1题 第2题 第3题2．如图，已知点A （53，0），直线y=x+b （b ＞0）与y 轴交于点B ，连接AB ，∠α=75°，则b= ． 3．在Rt △ACB 中，∠C=90°，点D 是AC 的中点，cos ∠CBD=415，则sin ∠ABD= ． 4．如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点D 为边AC 的中点，DE ⊥BC 于点E ，连接BD ，则tan ∠DBC 的值为 。

课题：锐角的正弦、余弦【学习目标】1．理解正弦函数和余弦函数的意义，能根据边长求出锐角的正弦值和余弦值，准确分清三种函数值的求法．2．经历探索知道直角三角形中某锐角确定后，它的对边、邻边和斜边的比值也随之确定，能够根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算．【学习重点】正确运用三角函数值表示直角三角形中两边之比．【学习难点】用函数观点理解正弦、余弦和正切．行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．行为提示：教会学生怎么交流，先对学，再群学，充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决．方法指导：正弦、正切、余弦的概念易混淆，需仔细区分，可以简记为：正切对比邻，正弦对比斜，余弦邻比斜．一、情景导入生成问题旧知回顾：1．什么叫锐角A的正切？答：在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tan A，即tan A＝ab.2．什么是坡度？答：正切也经常用来描述山坡的坡度，坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度．坡度即坡角正切值．二、自学互研生成能力知识模块一正弦和余弦的概念阅读教材P5～P6，完成下面的内容：什么是锐角A的正弦和余弦？如何表示？答：在Rt△ABC中，如果锐角A确定时，那么∠A的对边与斜边的比，邻边与斜边的比也随之确定．(1)在Rt△ABC中，锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sin A，即sin A＝∠A的对边斜边；(2)在Rt△ABC中，锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cos A，即cos A＝∠A的邻边斜边；(3)锐角A的正弦、余弦和正切都叫做∠A的三角函数．范例1：(温州中考)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cos A的值是(D)A．34B．43C．35D．45仿例1：在直角三角形ABC中，∠C＝90°，tan A＝512，那么sin B＝1213．仿例2：如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足为E，DE＝6cm，sin A ＝35，则菱形ABCD的面积是__60__cm2.(仿例2题图)(变例1题图)变例1：如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AM 是BC 边上的中线，sin ∠CAM ＝35 ，则tan B 的值为23．变例2：等腰三角形腰长为6cm ，底边长为10cm ，5． 知识模块二 锐角三角函数的应用 阅读教材P5～P6，完成下面的内容：范例2：(乐山中考)如图，已知△ABC 的三个顶点均在格点上，则cos A 的值为( D )A ．33 B ．55 C ．233 D ．255（范例2题图） （仿例1题图）仿例1：如图，已知l 1∥l 2∥l 3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ABC 的三个顶点分别在这三条平行直线上，则sin α的值是( D )A ．13B ．617C ．55D ．1010仿例2：(常州中考)在平面直角坐标系xOy 中，已知一次函数y ＝kx ＋b与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且过点P (1，1)，tan ∠ABO ＝3，那么点A 的坐标是(－2，0)或(4，0)．仿例3：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB＝4，sin A ＝35 ，则斜边上的高等于4825．三、交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 正弦和余弦的概念 知识模块二 锐角三角函数的应用四、检测反馈 达成目标 见《名师测控》学生用书．五、课后反思 查漏补缺 1．收获：_______________________2．存在困惑：___________________________。