江苏省无锡市天一实验学校2020-2021 学年度第一学期九年级数学期中考试

江苏省无锡天一中学（实验学校）2024—2025学年上学期九年级期中考试数学试题一、单选题1．方程23x x =的解是（）A ．3x =B ．=0C ．13x =，20x =D ．13x =-，20x =2．已知⊙O 的半径为5，点P 在⊙O 外，则OP 的长可能是（）A ．3B ．4C ．5D ．63．如图，下列条件不能判定△ADB ∽△ABC 的是（）A ．∠ABD =∠ACBB ．∠ADB =∠ABC C ．AB 2=AD•ACD ．AD AB AB BC=4．下列说法：有下列说法：（1）长度相等的弧是等弧，（2）直径是圆中最长的弦，（3）圆的内接平行四边形是矩形，（4）三角形的外心到三角形三条边的距离相等，（5）相等的圆心角所对的弧相等，其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．已知一元二次方程2310x x ++=的两根为1x 、2x ，则1212x x x x ++的值是（）A ．4-B ．2-C ．2D ．46．一农户要建一个长方形羊舍，羊舍的一边利用长18m 的住房墙，另外三边用34m 长的栅栏围成，为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽2m 的木门，当羊舍的面积是2160m 时，设所围的羊舍与墙平行的边长为m x ，则根据题意可得方程为（）A ．()34160x x -=B ．3421602x x +-⋅=C ．341602x x ⋅-=D ．()18160x x -=7．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块多边形碎片如图所示，四块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（）A ．①B ．②C ．③D ．④8．如图，点O 是三边均不等的ABC V 三条角平分线的交点，D E 、两点分别在AB AC 、上，若D O 、、E 三点共线且AD AE =，设BD a =，2DE b =，CE c =，关于x 的方程20ax bx c ++=根的情况（）A ．一定有两个相等实数根B ．一定有两个不相等实数根C ．有两个实数根，但无法确定是否相等D ．没有实数根9．如图，已知正方形ABCD ，E 为AB 的中点，F 是AD 边上的一个动点，连接EF ，将AEF △沿EF 折叠得到HEF ，延长FH 交BC 于点M ，连接EM ．下列结论：①EFM △是直角三角形；②BEM HEM △△≌；③当点M 与点C 重合时，3DF AF =；④MF 平分正方形ABCD 的面积；⑤24FH MH AB ⋅=．其中结论正确的个数有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个10．如图，点C 是半圆O 的中点，AB 是直径，CF ⊥弦AD 于点E ，交AB 于点F ，若1CE =，103EF =，则BF 的长为（）A ．133B ．1C ．13D ．3二、填空题11．在一张比例尺1:800000的地图上，量得上海浦东磁悬浮的线路长度为4厘米，那么它的实际长度是千米．12．一圆锥的底面半径为3，母线长为6，则这个圆锥的侧面积为．13．若a 是方程210x x --=的一个根，则代数式2332024a a -++的值为．14．已知线段MN 的长是10cm ，点P 是线段MN 的黄金分割点，则较长线段MP 的长．15．如图，O 与正八边形ABCDEFGH 相切于点A ，E ，则»AE 的度数为．16．在半径为3的O 中，弦AB 的长是AB 所对的圆周角的度数是．17．定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．如图，已知12l l ∥，1l 与2l 之间的距离为2.“等高底”ABC V的“等底”BC 在直线1l 上，点A 在直线2l 上，ABC V 有一边的长是BC ABC V 绕点C 按顺时针方向旋转45︒得到A B C ''△，A C '所在直线交2l 于点D ，则CD =．18．如图，将两块三角板OAB （∠OAB =45°）和三角板OCD （∠OCD =30°）放置在矩形BCEF 中，直角顶点O 重合，点A 、D 在EF 边上，AB =6．（1）若点O 到BC O 到EF 的距离为；（2）若BC =3AD ，则△OCD 外接圆的半径为．三、解答题19．用适当的方法解下列方程：(1)2(31)40x +-=(2)2670x x +-=；20．计算：(1)()23202421124233⎛⎫-+÷--⨯ ⎪⎝⎭；(2)22122+⎝⎭．21．如图，已知ABC V 和AED △，边AB DE ，交于点F ，AD 平分BAC ∠，AF 平分EAD ∠，AE AD AB AC =．(1)求证：AED ABC △∽△；(2)若32BD BF ==，，求AB 的长．22．如果关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程2680x x -+=的两个根是12x =，24x =，则方程2680x x -+=是“倍根方程”．(1)通过计算，判断2320x x -+=是否是“倍根方程”；(2)已知关于x 的一元二次方程：()21320x m x --+=（m 是常数）是“倍根方程”，请求出m的值．23．如图是由小正方形组成的86⨯网格，每个小正方形的顶点叫做格点，四边形ABCD 的四个顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（保留作图痕迹）．(1)图①中，在边AD 上画点E ，使AE DE =；(2)图②中，画BCD ∠的角平分线CF ，交AD 于F ；(3)图③中，点O 在格点上，O 与AB 相切，切点为A ，O 交AD 于G ，BC 与O 相切，切点为M ，CD 与O 相切，切点为N ，画出点M 、N ．24．如图，AB 是O 直径，点C 在O 上，连接CD ，使BCD A ∠=∠．(1)求证：直线CD 是O 的切线；(2)若120ACD ∠=︒，4AB =，求图中阴影部分的面积．25．某公园要铺设广场地面，其图案设计如图所示．矩形地面的长为50米，宽为32米，中心建设一个直径为10米的圆形喷泉，四周各角留一个相同的矩形花坛，图中阴影处铺设地砖．已知矩形花坛的长比宽多15米，铺设地砖的面积是1125平方米．（π取3）(1)求矩形花坛的宽是多少米；(2)四个角的矩形花坛由甲、乙两个工程队负责绿化种植，甲工程队每平方米施工费为100元，乙工程队每平方米施工费为120元．若完成此工程的工程款不超过42000元，至少要安排甲队施工多少平方米？26．矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知()8,6B ，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，动点D 从点O 出发沿O →A 以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A 停止．在运动过程中，COD △的外接圆交OB 于点P ．连接CD 交OB 于点E ，连接PD ，得到PED V ．(1)求CP DP；(2)如图2，移动过程中，当点P 恰好落在OB 的中点时，求此时点D 的坐标；(3)①设点D 运动的时间为t 秒，直接写出点P 的坐标______（用含t 的代数式表示）；②设PED V 的面积为S ，求S 关于时间t 的关系式．27．【特例感知】（1）如图1，ABC ∠是O 的圆周角，BC 为直径，BD 平分ABC ∠交O 于点D ，DE AB ⊥，若54BC BD ==，，则AD =，DE =．【类比迁移】（2）如图2，ABC ∠是O 的圆周角，BC 为O 的弦，BD 平分ABC ∠交O 于点D ，过点D 作DF BC ⊥，垂足为F ，探索线段AB BF BC 、、之间的数量关系，并说明理由．【问题解决】（3）如图3，ABC ∠是O 的圆周角，BC 为O 的弦，BD 平分ABC ∠交O 于点D ，若90ABC ∠=︒，BD =3AB =，则ABC V 的内心与外心之间的距离为______．28．在ABC V 中，()045B C αα∠=∠=<<︒，AM BC ⊥于点M ，D 是线段BC 上的动点（不与点B ，C ，M 重合），将线段DM 绕点D 顺时针旋转2α得到线段DE ．(1)如图1，若点E 在线段AC 上且3AM =，2DM =时，求ME 的长；(2)如图2，若D 在线段BM 上，在射线MB 上存在点F 满足DF DC =，连接AE AF EF ，，，请证明：AE FE ⊥；(3)如图3，若30α=︒，过M 作直线MN AB ⊥交边AB 于点N ，再作点N 关于AM 的对称点N '，点P 是直线MN 上一动点，将APN ' 沿AP 所在直线翻折至ABC V 所在平面内得到APG ，连接BG ，点H 为BG 的中点，连接MH ，当MH 取得最大值时，连接AH ，将AHM △沿AM 所在直线翻折至ABC V 所在平面内得到AMQ △，请直接写出此时GQ BM的值．。

【九年级】2021 2021无锡市九年级数学第一学期期中试卷（苏科版含答案）【九年级】2021-2021无锡市九年级数学第一学期期中试卷（苏科版含答案）2021-2021无锡市九年级数学第一学期期中试卷（苏科版含答案）（考试时间：120分钟满分：130分后）一．选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分.）1．以下方程中，一元二次方程的就是…………………………………………………（）a.3x－2x＝0b.x(x－1)＝1c.x2＝(x－1)2d.ax2＋bx＋c＝02．若△abc∽△def，相近比为1:2．若bc＝1，则ef的短就是…………………（）a.12b.1c.2d.43．原价168元的商品已连续两次降价a%后售价为128元，以下方程恰当的就是…（）a.128(1＋a%)2＝168b.168(1－a2%)＝128c.168(1－2a%)＝128d.168(1－a%)2＝1284．如图，⊙o的直径cd垂直弦ab于点e，且ce＝2，de＝8，则ab的长为（）a.2b.4c.6d.85．如图，在⊙o中，ab是直径，bc是弦，点p是⌒bc上任意一点．若ab＝5，bc＝3，则ap的长不可能为………………………………………………………………（）a.3b.4c.4.5d.56．已知扇形的圆心角为45，半径长为12，则该扇形的弧长为…………………（）a.34πb.2πc.3πd.12π7．如图，ab是⊙o的直径，ac是⊙o的切线，连接oc交⊙o于点d，连接bd，∠c＝40，则∠abd的度数就是……………………………………………………（）a.25b.20c.30d.158．例如图，边长为a的也已六边形内有两个三角形（数据例如图），则s阴影s空白的值……（）a.3b.4c.5d.69．例如图，未知△abc和△ade均为等边三角形，d在bc上，de与ac平行于点f，ab＝9，bd＝3，则cf等同于…………………………………………………………（）a.1b.2c.3d.410．例如图，rt△abc中，ac⊥bc，ad平分∠bac交bc于点d，de⊥ad交ab于点e，m为ae的中点，bf⊥bc交cm的延长线于点f，bd＝4，cd＝3．以下结论：①∠aed＝∠adc；②deda＝12；③acbe＝12；④3bf＝4ac．其中恰当结论的个数存有（）a．1个b．2个c．3个d．4个二．填空题（本大题共10小题，每题2分后，共20分后.）11．方程x2＝0的解是.12．一元二次方程(a＋1)x2－ax＋a2＝1的一个根为0，则a＝.13．若一元二次方程mx2＝n（mn＞0）的两个根分别是k＋1与2k－4，则nm＝.14．例如图，未知ab就是△abc外接圆的直径，∠a＝35，则∠b的度数就是.15．如图，在△abc中，点d、e分别在ab、ac上，de∥bc．若ad＝4，db＝2，则debc的值.16．如图，ab、ac、bd是⊙o的切线，p、c、d为切点，如果ab＝5，ac＝3，则bd的长为.17．例如图，△abc中，ae交bc于点d，∠c＝∠e，ad:de＝3:5，ae＝8，bd＝4，则dc的长等同于.18．如图，在rt△abc中，∠acb＝90°，ac＝bc＝2，以bc为直径的半圆交ab于点d，p是⌒cd上的一个动点，连接ap，则ap的最小值是.19．例如图，a、b、c、d依次为一直线上4个点，bc＝2，△bce为等边三角形，⊙o过a、d、e3点，且∠aod＝120．设ab＝x，cd＝y，则y与x的函数关系式为.20．如图，在矩形abcd中，ad＝8，e是边ab上一点，且ae＝14ab．⊙o经过点e，与边cd所在直线切线于点g（∠geb为锐角），与边ab所在直线处设另一点f，且eg:ef＝5:2．当边ad或bc所在的直线与⊙o相切时，ab的长是.三．答疑题（本大题共8小题，共80分后.答疑须要写下必要的文字说明或编程语言步骤）21．（16分）解方程：（1）x2－5x－6＝0（2）2x2－4x－1＝0（3）(x－7)2＋2(x－7)＝0（4）(3x＋2)2＝4(x－3)222．（8分）已知关于x的一元二次方程x2＋2(m＋1)x＋m2－1＝0.（1）若方程存有实数根，谋实数m的值域范围；（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足(x1－x2)2＝16－x1x2，求实数m的值.23．（8分后）例如图，ab为⊙o的直径，pd乌⊙o于点c，交ab的延长线于点d，且∠d＝2∠a．（1）求∠d的度数；（2）若cd＝2，求bd的长．24．（10分后）例如图，在□abcd中，过点b作be⊥cd于e，f为ae上一点，且∠bfe＝∠c.（1）求证：△abf∽△ead；（2）若ab＝4，∠bae＝30，谋ae的长；（3）在（1）（2）的条件下，若ad＝3，求bf的长.25．（8分后）某商店准备工作入一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可以卖出180个，定价每减少1元，销售量天量增加10个；定价每增加1元，销售量天量减少10个．因受到库存的影响，每批次发货个数严禁少于180个，商店若将准备工作买进2000元，则应当发货多少个？定价为多少元？26．（10分）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过格点a、b、c．（1）图画出高圆弧所在圆的圆心d的边线（不必文学创作法，留存作图痕迹），并相连接ad、cd．（2）请在（1）的基础上，完成下列问题：①以点o为原点、水平方向所在直线为x轴、直角方向所在直线为y轴，创建平面直角坐标系则，写下点的座标：c（6，2）、d；（2，0）②⊙d的半径为25（结果留存根号）；③若用扇形adc围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径是5π4；④若e（7，0），试判断直线ec与⊙d的位置关系并说明你的理由．27．（10分后）例如图，在锐角△abc中，ac就是最短边，以ac中点o为圆心，12ac短为半径并作⊙o，交bc于e，过o作od∥bc交⊙o于d，联结ae、ad、dc．（1）求证：d是⌒ae的中点；（2）澄清：∠dao＝∠b＋∠bad；（3）若s△cefs△ocd＝12，且ac＝4，求cf的长.28.（10分后）在□aboc中，ao⊥bo，且ao＝bo．以ao、bo所在直线为坐标轴创建如图所示的平面直角坐标系则，未知b(－6，0)，直线y＝3x＋b过点c且与x轴处设点d．（1）求点d的坐标；（2）点e为y轴正半轴上一点，当∠bed＝45°时，谋直线ec的解析式；（3）在（2）的条件下，设直线ec与x轴交于点f，ed与ac交于点g．点p从点o出发沿折线of－fe运动，在of上的速度是每秒2个单位，在fe上的速度是每秒2个单位．在运动过程中直线pa交be于h，设运动时间为t．当以e、h、a为顶点的三角形与△egc相似时，求t的值．初三数学期中考试参考答案与评分标准2021.11一、选择题（每题3分）bcddacacbc二、填空题（每空2分后）11.x1＝x2＝012.113.414.5515.2316.217.15418.5－119.y＝4x20.4或12三、解答题21.①x1＝6，x2＝－1②x1,2＝2±62③x1＝7，x2＝5④x1＝－8，x2＝45………………………………………………………………（每小题4分，分步酌情给分）22.（1）∵原方程存有实数根，∴△＝4(m＋1)2－4(m2－1)≥0…………………………（3分后）解得m≥－1，故m的取值范围是m≥－1…………………………………（4分）（2）若方程两实数根分别为x1、x2，则x1＋x2＝－2(m＋1)，x1x2＝m2－1……（5分后）由(x1－x2)2＝16－x1x2得(x1＋x2)2＝16＋3x1x2，即4(m＋1)2＝16＋3(m2－1)（6分）化简整理得，m2＋8m－9＝0，Champsaurm＝－9或m＝1………………………（7分后）考虑到m≥－1，故实数m的值为1…………………………………………（8分）23.（1）联结oc…………………………………………………………………………（1分后）∵pd切⊙o于点c，∴oc⊥pd………………………………………………（2分）∵⊙o中，oa＝oc，∴∠cod＝2∠a，而∠d＝2∠a，∴∠cod＝∠d（3分后）∴在rt△cod中，d＝45…………………………………………………（4分）（2）∵在rt△cod中，co＝cd＝2，∴od＝22………………………………（6分后）∴bd＝22－2…………………………………………………………………（8分）24.（1）先证∠abf＝∠ead，…………………………………………………………（2分后）再证∠baf＝∠aed，…………………………………………………………（3分）∴△abf∽△ead………………………………………………………………（4分后）（2）ae＝833…………………………………………………………………………（7分）（3）由△abf∽△ead，得bfad＝abae，………………………………………………（8分后）故bf＝abadae＝3×4833＝332．………………………………………………（10分）25.因每批次发货个数严禁少于180个，故原销售定价应当减少……………………（1分后）设在原销售定价基础上增加x元，则销售量减少10x个………………………（2分）根据题意，(52＋x－40)(180－10x)＝2000，……………………………………（4分后）化简整理，得x2－6x－16＝0，解得x＝8或－2…………………………………（6分）而x≥0，∴x＝8……………………………………………………………………（7分后）答：应定销售价每个60元，进货100个…………………………………………（8分）26.（1）画图，略………………………………………………………………………（2分后）（2）c(6，2)、d(2，0)、25、52（1＋1＋1＋2分）…………………………（7分）ec与⊙d切线（推论1分后，用笔2分后）……………………………………（10分后）27.（1）∵ac是⊙o的直径，∴∠aec＝90°，即bc⊥ae…………………………（1分）∵od∥bc，∴od⊥ae…………………………………………………………（2分后）∴⊙o中，d是⌒ae的中点………………………………………………………（3分）（2）缩短ad交bc于g，在⊙o中，oa＝od，又存有od∥bc，∴∠dao＝∠ado＝∠agc＝∠b＋∠bad…………………………………（6分）（3）∵s△ocd＝12s△ac d，s△cefs△ocd＝12，∴s△cefs△acd＝14………………………………（7分后）可证△cef∽△cda…………………………………………………………（8分）∴cfca＝12，cf＝12×4＝2…………………………………………………（10分后）28.（1）c(6，6)……………………………………………………………………………（1分）b＝－12，d(4，0)……………………………………………………………（2分后）（2）e(0，12)…………………………………………………………………………（4分）直线ec的解析式就是y＝－x＋12………………………………………………（5分后）（3）t＝3………………………………………………………………………………（7分）或t＝212…………………………………………………………………………（10分后）。

2020-2021学年九年级（上）期中数学复习试卷五一．选择题（共10小题，共30分）1．cos45°的值等于（）A．B．C．D．2．用配方法解一元二次方程x2+2x﹣3＝0时，原方程可变形为（）A．（x+1）2＝2B．（x+1）2＝4C．（x+1）2＝5D．（x+1）2＝7 3．下列说法正确的是（）A．弦是直径B．平分弦的直径垂直弦C．优弧一定大于劣弧D．等弧所对的圆心角相等4．对于线段a，b，如果a：b＝2：3，那么下列四个选项一定正确的是（）A．2a＝3b B．b﹣a＝1C．D．5．若2﹣是方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则c的值是（）A．1B．C．D．6．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，连接AO，若∠B＝40°，则∠OAC的度数为（）A．20°B．40°C．50°D．80°7．已知⊙O的直径为8，点P在直线l上，且OP＝4，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．相切或相交8．如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则sin A的值为（）A．B．C．D．9．在如图的正方形网格图中，A、B、C、D都是格点，AB、CD相交于点E，则CE：ED的比值为（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图，∠MON ＝45°，一直角三角尺△ABC 的两个顶点C 、A 分别在OM ，ON 上移动，若AC ＝6，则点O 到AC 距离的最大值为（ ）A ．62B ．323+C ．422+D ．63二．填空题（共8小题，共24分）11．已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣2x +1＝0有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是 ．12．在比例尺是1：30000的交通游览图上，某隧道长约7cm ，则它的实际长度约为 km ．13．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF ＝CD ＝4cm ，则球的半径为 cm ．14．若x 2﹣x ﹣1＝0，那么代数式x 3+2x 2﹣7的值是 ．15．在平面直角坐标系中，以点（3，﹣4）为圆心，r 为半径的圆与坐标轴有且只有3个公共点，则r 的值是 ．16．如图所示，将一副三角板摆放在一起，组成四边形ABCD ，∠ABC ＝∠ACD ＝90°，∠ADC ＝60°，∠ACB ＝45°，连接BD ，则tan ∠CBD 的值为 ．17．如图，在锐角△ABC 中，以BC 为直径的半圆O 分别交AB ，AC 于D ，E 两点，且cos A＝，则S △ADE ：S 四边形DBCE 的值为 ．18．如图，已知直线y ＝x ﹣3与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，P 在以C （0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结P A 、PB ，则△P AB 面积的最大值是 ．三．解答题（共10小题，76分）19．（本题6分）计算和解方程（1）2031()27(2020)3tan 302π----+︒ （2）23(2)42x x -=-20．（本题6分）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝15，sin ∠A ＝，求BC 的长和tan ∠B 的值．21．（本题6分）解方程x2﹣|x|﹣2＝0，解：1．当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1[不合题意，舍去]．2．当x＜o时，原方程化为：x2+x﹣2＝0，解得：x1＝1，（不合题意，舍去）x2＝﹣2．所以原方程的根为：x1＝2，x2＝﹣2请参照例题解方程：x2﹣|x﹣1|﹣1＝0．22．（本题6分）如图，已知⊙O，利用直尺和圆规完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．（1）如图①，点P在⊙O上，过点P作⊙O的切线；（2）如图②，点P在⊙O外，过点P作⊙O的切线．23．（本题8分）某水晶饰品商店购进300个饰品，进价为每个6元，第一天以每个10元的价格售出100个，第二天若按每个10元的价格销售仍可售出100个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出25个，但售价不得低于进价）（1）若商家想第2天就将这批水晶销售完，则销售价格应定为多少？（2）单价降低销售一天后，商店对剩余饰品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批饰品共获得625元，问第二天每个饰品的销售价格为多少元？24．（本题8分）解题时，最容易想到的方法未必是最简单的，你可以再想一想，尽量优化解法．例题呈现关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝1，x2＝﹣2（a、m、b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b＝0的解是．解法探讨（1）小明的思路如图所示，请你按照他的思路解决这个问题小明的思路第1步把1，﹣2代入到第1个方程中求出m的值；第2步把m的值代入到第1个方程中求出的值；第3步解第2个方程．（2）小红仔细观察两个方程，她把第二个方程中的“x+2”看做第一个方程中的“x”，则“x+2”的值为，从而更简单地解决了问题．策略应用（3）小明和小红认真思考后认为，利用方程结构的特点，无需计算“根的判别式”就能轻松解決以下问题，请用他们说的方法完成解答．已知方程（a2﹣2b2）x2+（2b2﹣2c2）x+2c2﹣a2＝0有两个相等的实数根，其中常数a、b、c是△ABC三边的长，判断△ABC的形状．25．（本题8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE•CA．（1）求证：BC＝CD；（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB＝OB，CD＝2．①求证：△AFD∽△ACB．②求DF的长．26．（本题8分）如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5cm，长度均为20cm 的连杆BC，CD与AB始终在同一平面上．（1）转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝150°，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度DE．（2）将（1）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，使∠BCD＝165°，如图3，问此时连杆端点D离桌面l的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？（精确到0.1cm，参考数据：≈1.41，≈1.73）27．（本题10分）请认真阅读下面的数学探究，并完成所提出的问题．（1）探究1：如图1，在边长为a的等边三角形ABC中，P是BC边上任意一点，连接AP，将△APC绕点A按顺时针方向旋转至△ABQ处，连接PQ，求△APQ面积的最小值．（2）探究2：如图2，若△ABC是腰长为a的等腰直角三角形，∠BAC＝90°，（1）中的其他条件不变，请求出此时△APQ面积的最小值．（3）探究3：如图3，在△ABC中，AC＝a，∠C＝30°，∠ABC＝90°，P是BC边上任意一点，连接AP，将△APC绕点A按顺时针方向旋转至△AQD处，A、B、D三点共线，连接PQ，求△APQ的面积的最小值．28．（本题10分）如图，矩形ABCD中，AB＝m，AD＝n．（1）若m＝4，矩形ABCD的边CD上是否存在点P，使得∠APB＝90°？写出点P存在或不存在的可能情况和此时n满足的条件．（2）矩形ABCD的边上是否存在点P，使得∠APB＝60°？写出点P存在或不存在的可能情况和此时m、n满足的条件．。

无锡市天一实验学校秋学期初三数学期中试卷出卷人：刘 审卷人：张玲一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把答案直接写在答卷上相应的位置处．．．．．．．．．) 1．下列函数关系中，y 是x 的二次函数的是 ………………………………… ( ▲ ) A ．y = 2x + 3 B ．y =1+x C ．y = x 2 − 1 D ．y = 1x 2 + 12．如图，已知⊙O 是正方形ABCD 的外接圆，点E 是︵AD 上任意一点，则∠BEC 的度数为…………………………………………………………………………………… ( ▲ ) A ．30° B. 45° C. 60° D. 90°3．二次函数y = −3x 2 − 6x + 5的图象的顶点坐标是 …………………………… ( ▲ )A ．(−1，8)B ．(1，8)C ．(−1，2)D ．(1，−4)4．已知圆锥的底面半径为6cm ，高为8cm ，则这个圆锥的母线长为 ……… ( ▲ ) A ．12cm B ．10cm C ．8cm D ．6cm5．把抛物线y = −x 2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为 …………………………………………………………………………… ( ▲ ) A ．y = −(x − 1)2 − 3 B ．y = −(x + 1)2 − 3 C ．y = −(x − 1)2 + 3 D ．y = −(x + 1)2 + 36．如图，两个同心圆的半径分别为4cm 和5cm ，大圆的一条弦AB 与小圆相切，则弦AB 的长为 ………………………………………………………………………… ( ▲ ) A ．3cm B ．4cm C ．6cm D ．8cm第2题图 第6题图 第9题图7．已知点A 在半径为r 的⊙O 内，点A 与点O 的距离为6，则r 的取值范围是 ( ▲ ) A ．r > 6 B ．r ≥ 6 C ．r < 6 D ．r ≤ 6 8．已知二次函数y = −x 2 − 2x + k 的图象经过点A (1，y 1)，B (2-，y 2)，C (−2，y 3)，则下列结论正确的是 ……………………………………………………………… ( ▲ )A ．y 1 < y 2 < y 3B ．y 2 < y 1 < y 3C ．y 3 < y 1 < y 2D ．y 1 < y 3 < y 29．已知二次函数y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0)的图象如图所示，在下列五个结论中：①2a − b < 0；②abc < 0；③a + b + c < 0；④a − b + c > 0；⑤4a + 2b + c > 0．其ED ABC OA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图，在△ABC 中，AB = 10，AC = 8，BC = 6，经过点C 且与AB 相切的动圆与CB 、CA 分别相交于点E 、 F ，则线段EF 长度的最小值是 …………… ( ▲ )A ．24B ．4.75C ．4.8D ． 5第10题图二、填空题(本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，只需把答案直接写在答卷上相应的位置处．．．．．．．．．) 11．如图，AB 是半圆的直径，点C 、D 是半圆上两点，∠ABC = 50°，则∠ADC = ▲ ． 12．抛物线y = −2x 2 + 8bx + 1的对称轴是直线x = −2，则抛物线的解析式为 ▲ ． 13．已知扇形的半径为3 cm ，圆心角为120°，则此扇形的的弧长是 ▲ cm(结果保留π)． 14．抛物线y = 2x 2 + 8x + m 与x 轴只有一个公共点，则m 的值为 ▲ ．15．如图，在Rt △ABC 中，∠C = 90°，AC = 3，BC = 4，⊙O 为△ABC 的内切圆，点D是斜边AB 的中点，则tan ∠ODA 等于 ▲ ．第11题图 第15题图 第17题图16．已知⊙P 的半径为2，圆心P 在抛物线y = −12x 2 + 1上运动，当⊙P 与x 轴相切时，圆心P 的坐标为 ▲ ．17．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 、EF 是⊙O 的弦，且AB // CD // EF ，AB = 10，CD =6，EF = 8．则图中阴影部分的面积为 ▲ ．18．已知二次函数y = −x 2 + 2|x |+ 1．如果方程−x 2 + 2|x |+ 1 = k 恰有两个不相等的实数根，那么k 须满足的条件是 ▲ ．三、解答题(本大题共10小题，共84分．请在答卷指定区域内作答．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19．(本题满分6分)如图，已知⊙O 的半径为R ．(1)请用无刻度的直尺、圆规作出已知圆的内接正△ABC (只需保留作图痕迹)(2)试求正△ABC 的周长． CAB EF AB OCDEFO第19题图20．(本题满分8分)如图，已知二次函数y = ax 2 − 4x + c 的图象经过点A 和点B ． (1)求该二次函数的表达式；(2)写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；(3)若点P (m ，m )在该函数图象上，求m 的值．第20题图21．(本题满分7分)如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，延长BC 至点D ，使DC =CB ．延长DA 与⊙O 的另一个交点为E ，连结AC ，CE ．(1)求证：∠B =∠D ；(2)若⊙O 的半径为2，AC = 2，求CE 的长．第21题图22．(本题满分6分)如图，已知AB 是⊙O 的弦，OB = 2，∠B = 30°，点C 是弦AB 上任意一点(不与点A 、B 重合)，连接CO 并延长CO 交⊙O 于点D ，连接AD ． (1)求弦AB 的长；(2)当∠D = 20°时，求∠BOD 的度数．ACDEO第22题图23．(本题满分8分)如图，已知抛物y = x 2 + bx + c 与x 轴交于点A 、B ，AB = 2，与y 轴交于点C ，对称轴为直线x = 2． (1)求抛物线的函数表述式；(2)设P 为对称轴上一动点，求△APC 周长的最小值；第23题图24．(本题满分8分)如图，AB 是⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，D 为⊙O 上的一点，CD = CB ，延长CD 交BA 的延长线于点E ．(1)求证：CD 为⊙O 的切线；(2)若OF ⊥BD 于点F ，且OF = 1，∠ABD = 30°，求图中阴影部分的面积．(结果保留π)第24题图25．(本题满分9分)某公司在固定线路上运输，拟用运营指数Q 量化考核司机的工作业绩．OABCD素)，W 由两部分的和组成：一部分与x 的平方成正比，另一部分与x 的n 倍成正比．试行中得到了表中的数据． (1)用含x 和n 的式子表示Q ；(2)若n = 3，要使Q 最大，确定x 的值； (3)设n = 2，x = 40，能否在n 增加m % (m > 0)同时x 减少m %的情况下，而Q 的值仍为420，若能，求出m 的值；若不能，请说明理由．26．(本题满分10分)已知抛物线的顶点为(0，4)且与x 轴交于(−2，0)，(2，0)．(1)直接写出抛物线解析式；(2)如图，将抛物线向右平移k 个单位，设平移后抛物线的顶点为D ，与x 轴的交点为A 、B ，与原抛物线的交点为P ．①当直线OD 与以AB 为直径的圆相切于点E 时，求此时k 的值；②是否存在这样的k 的值，使得点O 、P 、D 三点恰好在同一直线上？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．xyPE D CBAOxyP DBAO第26题图 备用图27．(本题满分12分)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是边长为2的正方形，二次函数y = ax 2 + bx + c 的图象经过点A ，B ，与x 轴分别交于点E ，F ，且点E 的坐标(32，0)，以OC 为直径作半圆，圆心为D ． (1)求二次函数的解析式；(2)求证：直线BE 是⊙D 的切线；(3)若直线BE 与抛物线的对称轴交点为P ，M 是线段CB 上的一个动点(点M 与点B ，C 不重合），过点M 作MN // BE 交x 轴于点N ，连结PM ，PN ，设CM 的长为t ，△PMN 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．问S 是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．第27题图 备用图28．(本题满分10分)在半径为2的扇形AOB 中，∠AOB = 90°，P 是OA 延长线上一点，过线段OP 的中点H 作OP 的垂线交弧AB 于点C ，射线PC 交弧AB 于点D ，联结OD ．(1)如图，当︵AC = ︵CD 时，求弦CD 的长；(2)如图，当点C 在︵AD 上时，设P A = x ，CD = y ，求y 与x 的函数关系式，并写出x的取值范围；第28题图 备用图AO BAO BDCH P无锡市天一实验学校秋学期初三数学期中考试参考答案题号 12345678910答案CBABDCADBC11． 130° 12． y = −2x 2 − 8x + 113． 2π 14． 8 15． 2 16． (6 ，−2) 17． 12.5π 18． k = 2或k < 1三、解答题(本大题共10小题，共84分) 19．(本题满分6分) (1)如图，△ABC 就是所求作的三角形． ………………3分OABCOABCD在Rt △OCD 中，∠ODC = 90°，∠OCD = 30°，则CD = OC ·cos30° = 23R ， ∴BC = 2CD =3R ，∴△ABC 的周长 = 33R ． ………………3分20．(本题满分8分)(1)将A (−1，−1)，B (3，−9)代入，得： ⎩⎨⎧-=+--=++912914c a c a ，∴a = 1，c = −6， ∴y = x 2 − 4x − 6 ………………3分(2)对称轴：直线x = 2顶点坐标：(2，−10) ………………2分(3)∵点P (m ，m )在函数图象上， ∴m 2 − 4m − 6 = m∴m = 6或−1． ………………3分21．(本题满分7分)（1）证明：∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB =90°， ∴AC ⊥BC , ∵DC =CB ∴AD =AB ，∴∠B =∠D ． ………………3分 （2）设BC =x ，则AC =x －2．在Rt △ABC 中，AC 2+BC 2=AB 2， ∴（x －2）2+x 2=4，解得71,7121-=+=x x （舍去）， ∵∠B =∠E ，∠B =∠D ， ∴∠D =∠E ， ∴CD =CE ， ∵CD =CB∴CE =CB =1+7． ………………4分22．(本题满分6分)ABCDEO(1)过点O作OE⊥AB于E，则AE=BE=AB，∠OEB=90°，∵OB=2，∠B=30°，∴BE=OB•cos∠B=2×=，∴AB=2；………………3分（2）连接OA，∵OA=OB，OA=OD，∴∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D，又∵∠B=30°，∠D=20°，∴∠DAB=50°，∴∠BOD=2∠DAB=100°；…………3分23．(本题满分8分)解：（1）∵AB=2，对称轴为直线x=2∴ A点的坐标为（1,0），B点的坐标为（3,0）∵抛物y=x2+bx+c与x轴交于点A、B∴1,3是方程x2+bx+c=0的两个根.由根与系数的关系，得1+3=－b，1×3=c∴b=－4，c=3∴抛物线的函数表达式为y=x2－4x+3………………4分（2）连接AC，BC，BC交对称轴于点P，连接P A.由（1）知抛物线的函数表达式为y=x2－4x+3，点A、B的坐标分别为（1,0），（3,0）∴点C的坐标为（0,3）.∴ BC=223+1=10.3+3=32，AC=22∵点A、B关于对称轴x=2对称，∴P A=PB∴P A+PC=PB+PC此时，PB+PC=BC∴当P点在对称轴上运动时，P A+PC的最小值等于BC∴△APC周长的最小值=AC+AP+PC=32+10………………4分24．(本题满分8分)(1) 证明: 连接OD∵BC是⊙O的切线∴∠ABC = 90°∵CD = CB∴∠CBD =∠CDB∵OB = OD∴∠OBD = ∠ODB( 2) 在Rt △OBF 中,∵∠ABD = 30°，OF = 1, ∴∠BOF = 60º，OB = 2, BF = 3 ∵OF ⊥ BD ∴BD = 2BF = 2⨯3=6, ∠BOD = 2∠BOF = 120° ∴S 阴 = S 扇 形 BOD - S △ BOD162136021202⨯⨯-⨯=π3-34π= ………………4分25．(本题满分9分)解：（1）设W=k 1x 2+k 2nx ，∴Q= k 1x 2+k 2nx+100.由表中数据，得212212420=40240100,10060140100.k k k k ⎧+⨯+⎪⎨=+⨯+⎪⎩ 解得121= ,106.k k ⎧-⎪⎨⎪=⎩ ∴Q=110-x 2+6nx+100. ………………3分（2）当n=3时，Q=110-x 2+18x+100.由n=﹣110＜0可知，要使Q 最大，x=181210-⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=90. …………3分(3)由题意，得420=110-[40（1-m%）]2+6×2(1+m%)×40（1-m%）+100.即2(m%)2﹣m%=0，解得m%=12，或m%=0（舍去）.∴m=50. …………3分26．(本题满分10分)xyPE D CBAOxyPDCB AO解：（1）设所求抛物线解析式为y =ax 2+c ，把点（0，4）、（2，0）分别代入y =ax 2+c ，得y =-x 2+4. ………………2分(2)①连接CE ，CD ， ∵OD 是⊙C 的切线， ∴CE ⊥OD ，在Rt △CDE 中，∠CED ＝90°，CE=AC =2，DC =4，∴∠ EDC ＝30°， ∴在Rt △CDO 中，∠ OCD ＝90°，CD =4，∠ ODC ＝30°，∴OC =334，∴当直线OD 与以AB 为直径的圆相切于E 时， k = OC =334；………………4分②设平移k 个单位后的抛物线的解析式是y = －（x －k ）2+4，它与y =－x 2+4交于点P ，可得点P 的坐标是（2k ，442+-k ）．设直线OD 的解析式是y=ax ，把D （k ，4）代入，得y=k4x ，若点P （2k ，442+-k ）在直线y=k 4x 上，则24442kk k •=+-x .解得k=22±（舍去负值）．∴当k =22时，点O 、P 、D 三点恰好在同一直线上． ………………4分27．(本题满分12分)（1）由题意，得A (0，2)，x ＝－2b a ＝1，E (－23，0)，∴2,1,2420,93c ba abc ⎧⎪=⎪⎪-=⎨⎪⎪-+=⎪⎩解得9,89,42,a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩∴二次函数的解析式为y ＝－98x 2+94x +2. ………………3分（2）过点D 作DG ⊥BE 于点G .由题意，得ED ＝23+1＝53，EC ＝2+23＝83，BC ＝2，∴BE ＝6449+＝103.∵∠BEC ＝∠DEG ，∠EGD ＝∠ECB ＝90°，∴△EGD ∽△ECB .∴DG BC ＝DE BE ，即2DG＝53103，∴DG ＝1.∵⊙D 半径为1，且DG ⊥BE ，∴BE 是⊙O 的切线，G 为切点. ………………4分（3）由题意，得E (－23，0)，B (2，2)，设直线BE 的解析式为y ＝kx +b ，∴22,20,3k b k b +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩解得3,41.2k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线BE 的解析式为y ＝34x +12.∵直线BE 与对称轴交于点P ，对称轴为直线x ＝1，∴y ＝54，∴点P 的坐标为(1，54).∵MN ∥BE ，∴∠MNC ＝∠BEC .∵∠MCN ＝∠BCE ＝90°，∴△MNC ∽△BEC .∴CNEC＝MC BC ，即83CN ＝2t ，∴CN ＝43t ，∴DN ＝43t －1∴S △PND ＝12DN ·PD ＝12·(43t －1)·54＝56t －58，S △MNC ＝12CN ·CM ＝12·43t ·t ＝23t 2，S 梯形PDCM ＝12 (PD +CM )·CD ＝12 (54+t )·1＝58+12t .∵S ＝S △PND + S 梯形PDCM －S △MNC∴S ＝－23t 2+43t (0＜t ＜2)，∴S 存在最大值，当t ＝1时，S 最大＝23. …………5分28．(本题满分10分)AO BAO BDCH P………………4分………………6分。

无锡市天一实验学校200-2021学年第一学期期中考试初三数学试卷 2020.11一、选择题(每小题3分，共30分) 1.sin60°的值为（ ） A.21 B.33 C.23 D.32.若式子x 1在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A.x ≠1B.x ≤1C.x ≥1D.x ＜13.下列方程是一元二次方程的是（ ）A.x+2y=3B.x 2+6=0C.x 2+x 3＝9D..x(x+3)=x 2-24.如图，在△ABC 中，若DE ∥BC ，AD ＝3，BD ＝6，DE ＝2，则BC 的值为（ ）A.5B.6C.7D.85.如图，AB 是⊙的直径，DB 、DE 分别切⊙O 于点B 、C ，若∠ACE ＝35°，则∠D 的度数是（ ）A.65°B.55°C.60°D.70°6.有下列说法:①直径是圆中最长的弦；②等弧所对的弦相等③经过三个点一定可以作圆；④相等的圆心角对的弧相等.其中正确的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个（第4题） （第5题） （第7题）7.如图AB 是⊙O 的直径，点C 、D 、E 在⊙O 上，∠AEC ＝25°，∠BDC ＝（ ）A.100°B.110°C.120°D.115°8.如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度把一根长10m 的竹竿AC 斜靠在石坝旁，量出杆长1m 处的D 点离地面的高度DE ＝0.6m ，又量得杆底与坝脚的距离AB ＝6m ，则石坝的坡度为（ ）A.43B.53 C.3 D.4（第8题） （第9题） （第10题）9.如图，在△ABC 中，AB ＝AC=5，BC ＝25，若点O 为△ABC 三条高的交点，则OA 的长度为（ ） A.253 B.352 C.5 D.453 10.如图，点A(-1，0)，点B(-4，0)，平行四边形ABCD 的顶点D 在第二象限，反比例函数y=x (k<0)图像过点D 和BC 边的中点E,若∠C=α，则k 的值(用含α的式子表示为)（ ）A.-4tan αB.-3tan αC.925-tan αD.928-tan α 二、填空题(每小题2分，共16分)11.方程x 2＝2x 的解是_________.12.如果x y x +=47，那么y x =_________. 13.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB=6，∠A ＝60°，则BC ＝_________.14.若关于x 的一元二次方程kx 2-2x-1＝0有两个实数根，则实数的取值范围是_________.15.如图，在4×5的正方形网格中点A ，B ，C 都在格点上，则tan ∠ABC ＝_________.16.⊙O 是AC 的外接圆，∠BOC ＝110°，则∠A 的度数等于_________.17.在数学必修拓展课上，小兰利用一张直角三角形纸片折出了一个菱形AFDE ，如图所示，若∠ACB ＝90°，AC ＝3cm ，BC ＝4cm ，则折痕EF 的长为_________.（第15题） （第17题） （第18题） 18.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10，AC ＝6，点O 为△ABC 边上一点，⊙0是以点O 为圆心，1为半径的圆，若点O 沿三角形的边顺时针方向运动一周，则⊙O 扫过区域的面积为_________.三、解答题(本大题共10小题，共84分)19.计算:(本题满分8分)(1)-（-21）-2-4sin60°-tan45° (2)tan60°+│2-3│20.解下列方程:(本题满分8分)(1)x 2+4x-3=0 (2)x 2-4x+4=(3x-6)221. (6分)化简代数式b a b a 2+-+222244b ab a b a ++--1，然后选择一个你喜欢的代入求值.22.(8分)如图，在正方形ABCD 中，点E 为线段BC 上一点，EF ⊥AE ，交CD 于点F.(1)求证:△ABE ∽△ECF ；(2)若△ABE ∽△AEF ，试确定BE 与EC 的数量关系，并说明理由.23.(6分)由于发生山体滑坡灾害，武警救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废下方点C处有生命迹象，在废墟一侧地面上探测点A、B相距2米，探测线与该地面的夹角分别是30°和60°(如图所示)，试确定生命所在点C的深度.(参考数据:2≈1.414，3≈1.732，结果精确到0.1)24.(10分)如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点连接DE、OE.(1)试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若⊙O半径r＝6，DE＝8，求AD的长.25.(8分)某保健柜加工销售芝麻核桃粉，平均每天可销售20千克芝麻核桃粉，每千克赢利18元，双十一临近，为了抓住商机，增加赢利，尽快减少库存，该专柜决定采取适当降价措施.经调查发现，如果每千克降价1元，专柜平均毎天可多售出5千克，求该专柜平均每天赢利400元，且让顾客得到实惠，每千克芝麻核桃粉应降价多少元?26.(6分)门环，在中国绵延了数千多年的，集实用、装饰和门第等級为一体的一种古建筑构件，也成为中国古建“门文化”中的一部分，现有一个门环的示意图如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心.(1)请用无刻度直尺与圆规，过点O作一个⊙P，使⊙P与直线AF和直线AB同时相切.(请保留作图痕迹)(2)若正六边形ABCDEF E的边长为18cm，试求(1)中⊙P的半径.(结果保留根号)27.(10分)如图1，在平行四边形中，AB＝6，∠B＝α(60°＜α≤90°)，点E在BC上，连接AE，把△ABE沿AE折叠，使点B与AD上的点F重合，连接EF.(1)求证:四边形ABEF是菱形；(2)如图2，点M是BC上的动点，连接AM，把线段AM绕点M顺时针旋转α得线段MN，连接FN，求FN的最小值(用含α的代数式表示)28.(14分)如图，在矩形OABC中，点A坐标为(8，0)，点C坐标为(0，6)，将矩形OABC绕坐标原点O逆时针方向旋转90°得矩形ODEF，矩形ODEF的对角线OE所在直线为l.(1)直线l的解析式为:_________________.(2)若直线l以每秒1个单位的速度向右运动，当直线l经过点B时停止运动，设运动时间为t秒，若直线l扫过矩形OABC的面积为S，试求S与t的函数关系式；(3)在(2)的条件下，点P为线段BC上一点，在直线l出发的同时，点P以每秒2个单位的速度沿B→C→B的方向运动，以点P为圆心，BP为半径作⊙P，请问当t为何值时，直线与⊙P相切?。

精选资料初三中考第一次适应性训练数学试卷（考 120 分 ， 卷 分 130 分．）一、 （本大 共10 小 ，每小 3 分，共 30 分．在每小 所 出的四个 中，只有一 是正确的， 用 2B 笔把答 卡上相 的 号涂黑）．．．．．．．．．．．．．1．－ 3 的 是（ ▲ ）11C ．－ 3D ． 3A ．B ．332．以下运算正确的选项是（▲ ） 235232 223)4x 7B ． ( x)x x C ． x xx D ．（ x y A ． ( xy ）=x3．分解因式 a 29a 的 果是（▲ ）A ．a （ a - 9）B ．（ a - 3）（ a ＋ 3）C ．（ a - 3a ）（ a ＋ 3a ）D ． (a 3)24．如 ，所 形中是中心 称 形但不是 称 形的是( ▲ )AB CD5．一次数学 后，随机抽取九年 某班5 名学生的成 以下：91， 78， 98， 85， 98．对于 数据法 的是 （ ▲ ）．． A ．极差是 20 6． 的底面半径A ． 4πB ．中位数是 91C ．众数是 982，母4， 它的 面 ( ▲)B ． 8πC ． 16πD ． 4 3πD ．均匀数是917．如 是由几个同样的小正方体搭成的一个几何体，它的俯 是（）A ．B ．C ．D ．8．在平面中，以下命 真命 的是（▲）A ．四 相等的四 形是正方形B ．四个角相等的四 形是矩形C ． 角 相等的四 形是菱形D ． 角 相互垂直的四 形是平行四 形9.定 符号 min{a ，b} 的含 ：当 a ≥b min{a ，b}=b ；当 a ＜ bmin{a ，b}=a ．如： min{1 ， 3}= 3，min{ 4， 2}= 4． min{ x 2+1， x} 的最大 是（▲ ）A ．B ．C ． 1D ． 010.如 ，在平面直角坐 中，直 l 原点，且与 y正半 所 的 角 60°， 点 A （ 0，1）作 y 的垂 交直 l 于点 B ， 点 B 作直 l 的垂 交 y 于点 A 1，以 A 1B 、 BA 作 □ABA 1C 1； 点 A 1 作 y 的垂 交直 l 于点 B 1， 点 B 1 作直l 的垂 交 y 于点 A 2，以 A 2B 1、 B 1 A 1作 □A 1B 1A 2C 2； ⋯ ；按此作法 下去， C n 的坐 是（ ▲ ）A ．（×4n ，4n ）B ．（﹣×4n-1 ， 4n-1 ）C ．（﹣×4n ﹣ 1， 4n ）D ．（×4n ，4n-1）精选资料二、填空题 （本大题共 8 小题，每题2 分，共 16 分．不需写出解答过程，只要把答案直接填写在答题．．卡上相应的地点 处） ．．．．．．． 11．函数 yx 2 中自变量 x 的取值范围是▲ 。

江苏省无锡市天一实验学校2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试题【解析版】一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．下列方程是一元二次方程的是（）A．3x2﹣6x+2B．x2﹣y+1＝0C．x2＝0D．+x＝2【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【解答】解：A、它不是方程，故本选项错误；B、该方程中含有2个未知数，故本选项错误；C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确；D、该方程是分式方程，故本选项错误；故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．2．已知⊙O的直径为4，点O到直线l的距离为2，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法判断【分析】根据直线与圆的位置关系判定方法，假设圆心到直线的距离为d，当d＞r，直线与圆相离，当d＝r，直线与圆相切，当d＜r，直线与圆相交，由⊙O的直径为4cm，点O到直线l的距离为2cm，得出d＝r，进而l与⊙O的位置关系．【解答】解：∵⊙O的直径为4，∴⊙O的半径为2，∵点O到直线l的距离为2，∴d＝r∴l与⊙O的位置关系相切．故选：B．【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系，解决问题的关键是判断出圆的半径与圆心到直线的距离，再根据判定方法得出位置关系．3．已知，则的值为（）A．2B．C．D．【分析】根据比例的性质得出3a﹣3b＝a，求出2a＝3b，即可得出答案．【解答】解：∵＝，∴3a﹣3b＝a，∴2a＝3b，∴＝，故选：D．【点评】本题考查了比例的性质的应用，此题比较典型，难度不大．4．如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ABC∽△ADE的是（）A．∠B＝∠D B．∠C＝∠AED C．D．【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．【解答】解：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠DAE＝∠BAC，∴A，B，D都可判定△ABC∽△ADE选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似，故选：C．【点评】此题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．5．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB＝20°，则∠BOD等于（）A．20°B．40°C．80°D．70°【分析】由线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，根据垂径定理的即可求得：＝，然后由圆周角定理，即可求得答案．【解答】解：∵线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴＝，∴∠BOD＝2∠CAB＝2×20°＝40°．故选：B．【点评】此题考查了圆周角定理以及垂径定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．6．关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+1＝0有实数根，则k满足（）A．k≥0B．k≤0且k≠﹣1C．k＜0且k≠﹣1D．k≤0【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+1＝0有实数根，∴，解得：k≤0且k≠﹣1．故选：B．【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的判别式△≥0，找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．7．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，点E、F在AD边上，BF和CE交于点G，若EF＝AD，则图中阴影部分的面积为（）A．6B．7.5C．10.5D．12【分析】过点G作GN⊥AD于N，延长NG交BC于M，通过证明△EFG∽△CBG，可得GN：GM＝EF：BC ＝1：2，可求GN，GM的长，由面积的和差关系可求解．【解答】解：过点G作GN⊥AD于N，延长NG交BC于M，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵EF＝AD，∴EF＝BC，∵AD∥BC，NG⊥AD，∴△EFG∽△CBG，GM⊥BC，∴GN：GM＝EF：BC＝1：2，又∵MN＝AB＝3，∴GN＝1，GM＝2，＝×6×2＝6，∴S△BCG＝×3×1＝，S矩形ABCD＝AB•BC＝6×3＝18，∴S△EFG∴S＝18﹣6﹣＝．阴影故选：C．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，求出阴影部分的面积可以转化为几个规则图形的面积的和或差的关系．8．如图，△ABC中，BD⊥AB，BD、AC相交于点D，AD＝AC，AB＝4，∠ABC＝150°，则△DBC的面积是（）A．B．C．D．【分析】过点C作CE⊥BD，交BD的延长线于点E，利用△ABD∽△CED，得到比例式，求得线段CE的长，在直角三角形EBC中，利用直角三角形的边角关系求得BE，进而利用比例式求得线段BD的长，利用三角形的面积公式即可求得结论．【解答】解：过点C作CE⊥BD，交BD的延长线于点E，如图，∵BD⊥AB，∴∠ABD＝90°．∵∠ABC＝150°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝60°．∵BD⊥AB，CE⊥BD，∴AB∥EC．∴△ABD∽△CED．∴．∵AD＝AC，∴．∴．∴EC＝3．在Rt△CEB中，∵tan∠EBC＝，∴BE＝．∴．∴BD＝．∴＝××3＝．故选：D．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，过点C作CE⊥BD，交BD的延长线于点E，构建“8”字模型图得到相似三角形是解题的关键．9．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，点O为BC上的点，⊙O的半径OC＝0.5，点D是AB边上的动点，过点D作⊙O的一条切线DE（点E为切点），则线段DE的最小值为（）A．B．C．﹣1D．【分析】连接OE、OD，过点O作OD′⊥AB于D′，根据切线的性质得到OE⊥DE，根据相似三角形的性质求出OD′，根据勾股定理计算即可．【解答】解：连接OE、OD，过点O作OD′⊥AB于D′，∵DE是⊙O的切线，∴OE⊥DE，在Rt△ODE中，DE＝＝＝，则当OD最小时，DE最小，由垂线段最短可知，当OD′⊥AB时，OD′最小，∵OD′⊥AB，∠C＝90°，∴△BOD′∽△BAC，∴＝，即＝，解得：OD′＝2，∴DE的最小值＝＝，故选：A．【点评】本题考查的是切线的性质、相似三角形的判定和性质、垂线段最短，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．10．如图，点O为正方形ABCD对角线BD的中点，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC＝EC，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下五个结论中①OH＝BF；②∠CHF＝60°；③BC＝（2+）GH；④HF2＝HE•HB，正确结论有（）A．1B．2C．3D．4【分析】①只要证明OH是△DBF的中位线即可得出结论；②根据四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线可求出Rt△BCE≌Rt△DCF，再由∠EBC＝22.5°即可求出结论；③OH是△DBF的中位线等已知条件可得出OH＝BO，设正方形的边长为2a，表示出GH、BC即可得出结论；④由相似三角形的判定定理得出△DHE∽△BHD，根据相似三角形的对角边成比例即可得出结论．【解答】解：①在正方形ABCD中，∠BCE＝∠DCF，BC＝DC，∵EC＝CF，∠BCE＝∠DCF，BC＝DC，∴△BCE≌△DCF（SAS），∴∠CBE＝∠CDF，∵∠CBE+∠BEC＝90°，∠BEC＝∠DEH，∴∠DEH+∠CDF＝90°，∴∠BHD＝∠BHF＝90°，∵BE平分∠DBC，∴∠HBD＝∠HBF，∵BH＝BH，∴△BHD≌△HBF（ASA），∴DH＝HF，∵OD＝OB，∴OH是△DBF的中位线，∴OH＝BF，故①正确；∵四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线，∴BC＝CD，∠BCD＝∠DCF，∠EBC＝22.5°，∵CE＝CF，∴Rt△BCE≌Rt△DCF（SAS），∴∠EBC＝∠CDF＝22.5°，∴∠BFH＝90°﹣∠CDF＝90°﹣22.5°＝67.5°，∵OH是△DBF的中位线，CD⊥AF，∴OH是CD的垂直平分线，∴DH＝CH，∴∠CDF＝∠DCH＝22.5°，∴∠HCF＝90°﹣∠DCH＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠CHF＝180°﹣∠HCF﹣∠BFH＝180°﹣67.5°﹣67.5°＝45°，故②不正确；③∵OH是△DBF的中位线，∴OH∥BF，OH＝BF，OG＝BC，∴∠OHB＝∠HBF，∵BE是∠DBF的平分线，∴∠DBH＝∠HBF，∴∠OHB＝∠HBO，∴OH＝BO，设正方形的边长为2a，则BC＝2a，OG＝a，BD＝2a，∴OB＝OH＝a，∴GH＝OH﹣OG＝a﹣a＝（﹣1）a，∴，∴BC＝（2+2）GH，故③不正确；④∵∠DBF＝45°，BE是∠DBF的平分线，∴∠DBH＝22.5°，由②知∠HBC＝∠CDF＝22.5°，∴∠DBH＝∠CDF，∵∠BHD＝∠BHD，∴△DHE∽△BHD，∴，∴DH2＝HE•HB，故④正确；故选：B．【点评】此题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及正方形的性质，利用等腰直角三角形的性质结合角平分线的性质逐步解答．二.填空题（共8小题，每小题3分共计30分）11．在比例尺1：8000000的地图上，量得两城市的距离为6.4厘米，则这两城市的实际距离为512千米．【分析】根据比例尺＝代入数据计算即可．【解答】解：设两城市的实际距离为xcm，∵比例尺＝，∴1：8000000＝6.4：x，∴x＝51200000，∴这两城市的实际距离为512千米．故答案为：512．【点评】本题考查了比例线段，熟练掌握比例尺＝是解题的关键．12．已知实数m是关于x的方程22﹣3x﹣1＝0的一根，则代数式m2﹣m﹣2值为﹣．【分析】根据一元二次方程的解的定义得到2m2﹣3m﹣1＝0，两边除以2变形得到m2﹣m＝，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵m是关于x的方程2x2﹣3x﹣1＝0的一根，∴2m2﹣3m﹣1＝0，∴m2﹣m＝，∴m2﹣m﹣2＝﹣2＝﹣．故答案为﹣．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．13．已知P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），AB＝6cm，则AP长为（3﹣3）cm．【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；所以AP＝AB，代入数据即可得出AP的长度．【解答】解：P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），∴＝，∵AB＝6cm，∴AP＝（3﹣3）cm．故答案为：（3﹣3）．【点评】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．14．如图，一束水平光线照在有一定倾斜角度的平面镜上，若入射光线与反射光线的夹角为50°，则平面镜与水平地面的夹角α的度数是65°．【分析】根据题意求出∠ABC，根据余角的概念求出∠ABD，根据平行线的性质解答即可．【解答】解：如图，由题意得：∠ABC＝×50°＝25°，∴∠ABD＝90°﹣25°＝65∵AB∥DE，∴α＝∠ABD＝65°，故答案为：65°．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念是解题的关键．15．某服装原价为300元，连续两次涨价a%后，售价为363元，则a的值为10．【分析】根据该服装的原价及经过两次涨价后的价格，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：依题意，得：300（1+a%）2＝363，解得：a1＝10，a2＝﹣210（舍去）．故答案是：10．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．16．如图所示，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在格点处，则∠ABC的正弦值为．【分析】利用网格求出AC和AB的长，根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，最后根据三角函数的意义求解即可．【解答】解：如图，取BC的中点D，连接AD，由网格可得，AC＝，AB＝，∴AB＝AC，∴AD⊥BC，Rt△ABD中，∵AD＝，∴sin∠ABC＝．故答案为：．【点评】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．17．如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，CE＝BC，过B作BG⊥DE于G，交DC的延长线于H，连接AG交DC的延长线于F，则tan∠CBH＝，的值为．【分析】证出∠CDE＝∠CBH，设BE＝EC＝m，则BC＝CD＝2m，想办法用m表示DF，CF，即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝∠BCH＝90°，∵BG⊥DG，∴∠BGE＝∠DCE＝90°，∵∠BEG＝∠CED，∴∠CDE＝∠CBH，设BE＝EC＝m，则BC＝CD＝2m，∵∠CDE＝∠CBH，∴tan∠CBH＝tan∠CDE＝，∴，∴EG＝m，BG＝m，DE＝＝m，∵CH＝EC＝m，∴DH＝DC+CH＝3m，DG＝DE+EG＝m，∴GH＝＝＝m，∵AB∥FH，∴△FHG∽△ABG，∴，∴，∴FH＝3m，∴DF＝6m，CF＝4m，∴．故答案为：，．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．18．如图，⊙O的半径为4，定点P在⊙O上，动点A，B也在⊙O上，且满足∠APB＝30°，C为PB的中点，则点A、B在圆上运动的过程中，线段AC的最大值为2+2，此时∠ACB＝45°．【分析】如图，连接OA，OP，OB，延长BA到H，使得AH＝BA，连接PH．证明AC＝PH，求出PH的最大值即可解决问题．【解答】解：如图，连接OA，OP，OB，延长BA到H，使得AH＝BA，连接PH．∵BA＝AH，BC＝CP，∴AC∥PH，AC＝PH，∴当PH的值最大时，AC的值最大，∵∠AOB＝2∠APB＝60°，OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴AO＝AH＝AB，∴∠HOB＝90°，∴OH＝OB＝4，∵PH≤OH+OP，∴PH≤4+4，∴当P、O、H共线时，PH最大，PH的最大值为4+4，∴AC的最大值为2+2，∵AC∥PH，∴∠ACB＝∠BPH，∵OP＝OB，∠HOB＝90°，P、O、H共线，∴∠BPO＝45°，∴∠ACB＝45°故答案为：2+2，45°．【点评】本题考查点与圆的位置关系，三角形中位线定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，具体的规划是学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．三.解答题（共10小题，共计90分）19．（8分）解方程：（1）（x﹣1）2﹣9＝0．（2）x2﹣2x﹣5＝0．【分析】（1）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）先配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）（x﹣1）2＝9，∴x﹣1＝±3，解得：x1＝4，x2＝﹣2；（2）x2﹣2x＝5，x2﹣2x+1＝5+1，（x﹣1）2＝6，∴x﹣1＝±，∴x1＝1+，x2＝1﹣．【点评】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．20．（8分）计算：（1）2cos230°+；（2）﹣14+（π﹣3）0﹣2cos60°+|3﹣|．【分析】（1）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果；（2）原式利用乘方的意义，零指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义计算即可得到结果．【解答】解：（1）原式＝2×（）2+＝2×+＝+；（2）原式＝﹣1+1﹣2×+2﹣3＝2﹣4．【点评】此题考查了实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，以及绝对值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．21．（8分）如图，在▱ABCD中，点E在BC上，∠CDE＝∠DAE．（1）求证：△ADE∽△DEC；（2）若AD＝6，DE＝4，求BE的长．【分析】（1）根据AD∥BC，可以证得∠ADE＝∠DEC，然后根据∠CDE＝∠DAE即可证得；（2）根据相似三角形对应边的比相等，即可求得EC的长，则BE即可求解．【解答】（1）证明：∵▱ABCD中AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC，又∵∠CDE＝∠DAE，∴△ADE∽△DEC；（2）解：∵△ADE∽△DEC，∴＝，∴＝，∴EC＝．又∵BC＝AD＝6，∴BE＝6﹣＝．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明两个三角形相似最常用的方法是证明两组角对应相等．22．（8分）如图是6×6的网格，每个小正方形的顶点称为格点．△ABC顶点A、B、C均在格点上，在给定网格中按要求作图，并保留作图痕迹．（1）在图中画出△ABC中BC边上的中线AD；（2）在图中画出△BMN，使得△BMN与△BCA是位似图形，且点B为位似中心，点M、N分别在AB、BC边上，位似比为；（3）连结MD、ND，四边形AMND的面积是．【分析】（1）根据三角形中线的定义作出图形即可．（2）在BC上取一点N，使得NB＝2，取格点T，连接NT交AB于M，△BMN即为所求．＝S△ABC﹣S△BMN﹣S△ADC，求解即可．（3）根据S四边形AMND【解答】解：（1）如图，线段AD即为所求．（2）如图，△BMN即为所求．＝S△ABC﹣S△BMN S△ADC＝×6×4﹣×3×4﹣×2×＝．（3）S四边形AMND故答案为：．【点评】本题考查作图﹣位似变换，三角形的中线，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找线段AB，BC的三等分点，属于中考常考题型．23．（8分）已知关于x的方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＜x2．若2x1＝x2+1，求m的值．【分析】（1）首先得到Δ＝（﹣4m）2﹣4（4m2﹣9）＝36＞0证得方程有两个不相等的实数根；（2）根据已知条件得到得出关于m的方程求得答案即可．【解答】解：（1）∵Δ＝（﹣4m）2﹣4（4m2﹣9）＝36＞0，∴此方程有两个不相等的实数根；（2）∵x＝＝2m±3，∴x1＝2m﹣3，x2＝2m+3，∵2x1＝x2+1，∴2（2m﹣3）＝2m+3+1，∴m＝5．【点评】本题考查了根的判别式的知识，同时题目中还考查了配方法等知识，特别是解决第（2）题时，用公式法求含有字母系数方程更是个难点．24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C、点D在⊙O上，AC＝CD，AD与BC相交于点E，点F在BC的延长线上，且AF＝AE．（1）求证：AF是⊙O的切线；（2）若EF＝12，sin∠BAC＝，求⊙O的半径．【分析】（1）先由AB是⊙O的直径证明∠ACB＝90°，再由等边对等角以及圆周角定理证明∠CAF＝∠B，则∠FAB＝∠CAF+∠CAB＝∠B+∠CAB＝90°，由此可以证明AF是⊙O的切线；（2）先证明∠F＝∠BAC，则sin∠F＝＝sin∠BAC＝＝，设AC＝4m，AF＝5m，由勾股定理得CF＝3m，由3m＝6得m＝2，则AC＝8，设BC＝4n，AB＝5n，由勾股定理得AC＝3n，由3n＝8得n＝，可求出AB的长，进而求出OA的长，即⊙O的半径长．【解答】（1）证明：如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠D，∵∠D＝∠B，∴∠CAD＝∠B，∵AF＝AE，AC⊥EF，∴∠CAF＝∠CAE，即∠CAF＝∠CAD，∴∠CAF＝∠B，∴∠FAB＝∠CAF+∠CAB＝∠B+∠CAB＝90°，∵OA是⊙O的半径，且AF⊥OA，∴AF是⊙O的半径．（2）∵AF＝AE，AC⊥EF，∴CF＝CE＝EF＝×12＝6，∴∠F＝90°﹣∠B＝∠BAC，∵∠ACF＝90°，∴sin∠F＝＝sin∠BAC＝＝，设AC＝4m，AF＝5m，∴CF＝＝3m，由3m＝6得m＝2，∴AC＝8，设BC＝4n，AB＝5n，∴AC＝＝3n，由3n＝8得n＝，∴AB＝，∴OA＝AB＝，∴⊙O的半径长为．【点评】此题重点考查圆的切线的判定、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数、解直角三角形等知识与方法，此题综合性较强，是很好的练习题．25．（10分）某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．为了增加利润，减少库存，商店决定采取适当的降价措施．经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么可多售出2件．设每件童装降价x元．（1）降价后，每件盈利（40﹣x）元，每天可销售（20+2x）件；（用含x的代数式填空）（2）每件童装降价多少元时，每天盈利1200元；（3）该专卖店每天盈利能否等于1300元，若能，求出此时每件童装降价多少元，若不能，说明理由．【分析】（1）利用每件盈利＝销售价格﹣进价，即可用含x的代数式表示出每件盈利，利用每天的销售量＝20+2×降低的价格，即可用含x的代数式表示出每天的销售量；（2）利用每天销售这种童装的利润＝每件的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合“为了增加利润，减少库存”，即可得出每件童装降低的价格；（3）利用每天销售这种童装的利润＝每件的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣100＜0，即可得出该方程没有实数根，即该专卖店每天盈利不能等于1300元．【解答】解：（1）若每件童装降价x元，则每件盈利（120﹣x﹣80）＝（40﹣x）元，每天可销售（20+2x）件．故答案为：（40﹣x）；（20+2x）．（2）依题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，整理得：x2﹣30x+200＝0，解得：x1＝10，x2＝20．又∵为了增加利润，减少库存，∴x＝20．答：每件童装降价20元时，每天盈利1200元．（3）该专卖店每天盈利不能等于1300元，理由如下：依题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1300，整理得：x2﹣30x+250＝0．∵Δ＝（﹣30）2﹣4×1×250＝﹣100＜0，∴该方程没有实数根，即该专卖店每天盈利不能等于1300元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用、根的判别式以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出各数量；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）牢记“当Δ＜0时，方程没有实数根”．26．（8分）如图1，我国古建筑的大门上常常悬挂着巨大的匾额，图2中的线段BC就是悬挂在墙壁AM上的某块匾额的截面示意图．已知BC＝2.5米，∠MBC＝37°．从水平地面点D处看点C，仰角∠ADC＝45°，从点E处看点B，仰角∠AEB＝53°，且DE＝4.5米，求匾额悬挂的高度AB的长．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）【分析】过点C作CN⊥AB于N，延长DC交AB的延长线于F，解直角三角形求出CN、BN的长，得出BF的长，再求出≈，设AE＝3x米，则AB＝4x米，AF＝AB+BF＝（4x+3.5）米，AD＝AE+DE＝（3x+4.5）米，然后证AF＝AD，则4x+3.5＝3x+4.5，解得x＝1，即可求解．【解答】解：过点C作CN⊥AB于N，延长DC交AB的延长线于F，如图所示：则CN∥AD，∴∠NCF＝∠ADC＝45°，在Rt△BCN中，CN＝BC•sin37°≈2.5×＝1.5（米），BN＝BC•cos37°≈2.5×＝2（米），在Rt△CNF中，∠NCF＝45°，∴△CNF是等腰直角三角形，∴NF＝CN＝1.5（米），∴BF＝BN+NF＝3.5（米），在Rt△ABE中，∠AEB＝53°，∴∠ABE＝37°，∴tan∠ABE＝tan37°＝≈，设AE＝3x米，则AB＝4x米，AF＝AB+BF＝（4x+3.5）米，AD＝AE+DE＝（3x+4.5）米，在Rt△ADF中，∠ADC＝45°，∴△ADF是等腰直角三角形，∴AF＝AD，即4x+3.5＝3x+4.5，解得：x＝1，∴AB＝4x＝4（米）．答：匾额悬挂的高度AB的长约为4米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．27．（12分）如图，在矩形中，CE⊥BD，AB＝8，BC＝6，P为BD上一个动点，以P为圆心，PB长半径作⊙P，⊙P交CE、BD、BC交于F、G、H（任意两点不重合）．（1）半径BP的长度范围为＜BP＜5；（2）如图1，连接BF并延长交CD于K，若tan∠KFC＝3，求BP；（3）如图2，连接GH，将劣弧HG沿HG翻折交BD于点M，试探究是否为定值，若是，求出该值，若不是，请说明理由．【分析】（1）当点G和点E重合，当点G和点D重合两种临界状态下分别求出BP的值，因为任意两点不重合，所以BP在两者之间，即可得出BP范围；（2）∠KFC和∠BFE是对顶角，得到tan∠BFE＝3，得出EF的值，再根据△BEF∽△FEG，求出EG的值，进而可求出BP的值；（3）设出圆的半径，利用三角函数表示出PO，GO的值，用面积法求出P'Q，在△P'GQ中，由勾股定理得出MQ的值，进而可求出PM的值，即可得出答案．【解答】解：（1）当G点与E点重合时，BG＝BE，∵四边形ABCD是矩形，AB＝8，BC＝6，∴BD＝＝＝10，∵CE⊥BD，∴BC•CD＝BD•CE，∴CE＝，在△BEC中，由勾股定理得：BE＝＝＝，∴BP＝BE＝，当点G和点D重合时，∵△BCD是直角三角形，∴BP＝DP＝CP，∴BP＝5，∵F、G、H（任意两点不重合），∴＜BP＜5，故答案为：＜BP＜5；（2）连接FG，∵∠KFC＝∠BFE，tan∠KFC＝3，∴tan∠BFE＝3，∴＝3，∴EF＝，∵BG是圆的直径，∴∠BFG＝90°，∴∠GFE+∠BFE＝90°，∵CE⊥BD，∴∠FEG＝∠FEB＝90°，∴∠GFE+∠FGE＝90°，∴∠BFE＝∠FGE，∴△BEF∽△FEG，∴，即EG＝＝，∴BG＝EG+BE＝4，∴BP＝2；（3）为定值，过P'作P'Q⊥BD，连接P'G、P'M、P'P交GH于点O，设BP＝5x＝PG＝P'G＝P'M，则PO＝P'O＝3x，GO＝4x，∴P'Q•PG＝GO•PP'，∴P'Q＝x，∴MQ＝GQ＝＝x，∴MG＝x，∴PM＝PG﹣MG＝x，∴．【点评】本题是圆的综合题，主要考查了动圆问题，矩形的性质，面积法的应用，三角函数，形似三角形的判定和性质等知识，熟练利用数形结合思想是解题的关键．28．（12分）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，点E在边BC上，且AE∥CD，DE∥AB，作CF∥AD交线段AE于点F，连接BF．（1）求证：△ABF≌△EAD；（2）如图2．若AB＝8，CD＝5，∠ECF＝∠AED，求BE的长；（3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，则的值为1+．【分析】（1）先证AB＝AE，DE＝DC，再证四边形ADCF是平行四边形，得出AF＝CD，进而得出AF＝DE，再由平行线性质得∠AED＝∠BAF，进而证得结论；（2）证△EAD∽△CFE，得＝＝，再由平行四边形的性质得AD＝CF，AF＝CD，则＝＝，得CF＝2，CE＝，然后证△ABE∽△DEC，求得答案；（3）延长BM、ED交于点G，先证△ABE∽△DCE，得＝＝，设CE＝1，BE＝x，DC＝DE＝a，则AB＝AE＝ax，AF＝CD＝a，可得EF＝AE﹣AF＝ax﹣a＝a（x﹣1），再证△ABF∽△EGF，列方程求解即可．【解答】（1）证明：如图1，∵AE∥CD，∴∠AEB＝∠BCD，∵∠ABC＝∠BCD，∴∠ABC＝∠AEB，∴AB＝AE，∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠ABC，∠AED＝∠BAF，∵∠ABC＝∠BCD，∴∠DEC＝∠BCD，∴DE＝DC，∵CF∥AD，AE∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形，∴AF＝CD，∴AF＝DE，在△ABF和△EAD中，，∴△ABF≌△EAD（SAS）；（2）方法一：∵CF∥AD，∴∠EAD＝∠CFE，∵∠ECF＝∠AED，∴△EAD∽△CFE，∴＝＝，由（1）知：四边形ADCF是平行四边形，∴AD＝CF，AF＝CD，∵AB＝8，CD＝5，∴AE＝8，DE＝5，∴EF＝AE﹣AF＝8﹣5＝3，∴＝＝，解得：CF＝2，CE＝，∵∠ABC＝∠BCD＝∠AEB＝∠DEC，∴△ABE∽△DEC，∴＝，即＝，解得：BE＝2；方法二：由（1）知△ABF≌△EAD，∴∠ABF＝∠EAD，∵∠EAD＝∠CFE，∴∠ABF＝∠CFE，∵∠ABC＝∠AEB，∠ABC＝∠ABF+∠EBF，∠AEB＝∠CFE+∠ECF，∴∠EBF＝∠ECF，∵∠BAE＝∠AED＝∠ECF，∴∠EBF＝∠BAE，∵∠BEF＝∠AEB，∴△BEF∽△AEB，∴＝，即＝，解得：BE＝2；（3）如图3，延长BM、ED交于点G，∵△ABE，△DCE均为等腰三角形，且∠ABC＝∠DCE，∴△ABE∽△DCE，∴＝＝，设EC＝1，BE＝x，DC＝DE＝a，则AB＝AE＝ax，AF＝CD＝a，∴EF＝AE﹣AF＝ax﹣a＝a（x﹣1），∵AB∥DG，∴∠ABG＝∠G∵AD的中点M，∴AM＝DM，∵∠AMB＝∠DMG，∴△AMB≌△DMG（AAS），∴DG＝AB＝ax，∴EG＝DG+DE＝ax+a＝a（x+1），∵AB∥DG（即AB∥EG），∴△ABF∽△EGF，∴＝，即＝，整理得：x2﹣2x﹣1＝0，解得：x＝1+或x＝1﹣（舍去），∴＝x＝1+，故答案为：1+．【点评】本题是四边形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形判定和性质和相似三角形的判定和性质，正确添加辅助线构造相似三角形是解题的关键．。