第75讲 几何不等式

中国计量学院 吴跃生几何问题中出现的不等式称为几何不等式．证明几何不等式的方法大致可分为三种方法：几何方法、代数方法和三角方法．记号约定：在ABC V 中，,,a b c 表示三边长；,,A B C 表示对应角；s 表示半周长；,,a a a h t m 分别表示a 边上的高、内角平分线长、中线长；R 和r 分别表示ABC V 的外接圆半径和内接圆半径；S 表示ABC V 的面积．设P 是ABC V 内任意一点，记123,,PA R PB R PC R ===；点P 到三边,,BC CA AB 的距离分别记为123,,r r r ；记,,BPC CPA ABC αβγ∠=∠=∠=；,,BPC CPA ABC ∠∠∠的内角平分线长分别记为123,,w w w ．一、距离不等式与化直法仅仅涉及线段长度的几何不等式称为距离不等式．1． 设,,a b c 是ABC V 的边长，求证：2a b c b c c a a b++<+++． ２． 已知：在ABC V 中，c 是最小边，P 是ABC V 内任意一点，求证：PA PB PC a b ++<+． （冷岗松） 加强：在ABC V 中，c 是最小边，P 是ABC V 内任意一点，求证：存在(01)p p λλ<<，使得(1)[min(,)]p PA PB PC a b a b c λ++<+---． （鱼儿）3． 设a 是ABC V 的最大边，O 是ABC V 内任意一点，设直线AO BO CO 、、与ABC V 的三边分别交于点P Q R 、、，证明：OP OQ OR a ++<．二、托勒密(Ptolemy)定理及其应用托勒密定理：在凸四边形ABCD 中，有AB CD AD BC AC BD ⋅+⋅≥⋅，当且仅当四边形ABCD 是圆内接四边形时等号成立．下面各例中的不等式的等号成立的条件，请读者自行判明，不再赘述．1． 242b c m m a bc ≤+(1993年，陈计)对偶式：22242449b c m m a b c bc ≥--+．(1992年，陈计)注：中线长公式a m = 2． 2cb a bm cm am +≥．（1996年，吴跃生）推论 ()()()2220a b c m bc a m ca b m ab c -+-+-≥．3． ()1232a b c am bm cm R R R a b c++++≥++．（1995年，吴跃生） 4．31212332a b c R R R r h r h r h ++≥+++．（1995年，吴跃生） 三、关于三角形边长、面积的不等式1． 魏森伯克()Weitzenbock &&不等式： 设,,a b c 是三角形的三边长，S 是三角形的面积，则有222a b c ++≥．2． 费因斯列尔－哈德维格（-Finsler Hadweiger ）不等式： 设,,a b c 是三角形的三边长，S 是三角形的面积，则有()()()222222a b c a b b c c a ++≥+-+-+-．3． 设,,a b c 是ABC V 的三边长，求证： ()()()()()()222222222222b c a c a b a b c b c a c a b a b c +-+-+-≥+-+-+-4．（Catulan 不等式）： 设,,a b c 是三角形的三边长， 则有222()()()0a b a b b c b c c a c a -+-+-≥． (IMO24)推广1 ()()()0(2)p p p a b a b b c b c c a c a p -+-+-≥≥；当0p ≤时，不等号反向．推广2 设四边形ABCD 有内切圆，且其边长分别为,,,a b c d ，则有 ()2222()()()0a b a b b c b c c d c d d a d a -+-+-+-≥．四、关于费尔马（Fermat ）点的不等式费尔马问题：给定平面上的三点,,A B C ，在点,,A B C 所在平面上求一点P ，使得PA PB PC ++最小．PA PB PC ++取最小值时的点P 称为的费尔马点．结论1 当ABC V 的各内角都小于120o时，费尔马点P 在ABC V 内部，且有120BPC CPA APB ∠=∠=∠=o ；当ABC V 的最大内角不小于120o 时，费尔马点P 与ABC V 的钝角顶点重合．结论2 费尔马极值公式：f PA PB PC =++=． 注 在本节例题和习题中，为证明方便计，仅考虑ABC V 的各内角都小于120o 的情形，但有许多结论对于ABC V 的最大内角不小于120o 时仍然成立．张角定理 在ABC V ，设D 是BC 上任意一点，则有sin sin sin BAC BAD CAD AD AC AB∠∠∠=+． 1． 设P 是ABC V 的费尔马点，过点P 的Ceva 线长分别记为,,a b c ff f ，则有（1）2f ≥，（2）a b b c c a f f f f f f ++≥．（3）)a b c f ++≤， (1994年，吴跃生) (4) f ≤(1994年，吴跃生) (5) 111f f f sa b c ++≥．(1994年，吴跃生) 2．设P 是ABC V的费尔马点，则有312r r r a b c ++≤ (1997年，刘健提出，吴跃生证明) 推广：设P 是ABC V 内任意一点，则有3121cot cot cot 2222r r r a b c αβγ⎛⎫++≤++ ⎪⎝⎭． (1999年，吴跃生) 再推广：设P 是凸n 边形12n A A A L 内任意一点，记1i i i A A a +=，1i i i A PA α+∠=，并记点P 到边1i i A A +的距离分别为i r ，其中12i n =L ，，，，，11n A A +=，则有 111cot 22nn i i i i i r a α==≤∑∑． (1999年，吴跃生)五、嵌入不等式三角形嵌入不等式（简称嵌入不等式）在几何不等式的研究中起者极其重要的作用，是产生新的几何不等式的一个源头，因此，人们也把它称为“母不等式”．定理（嵌入不等式）对于任意ABC ∆和任意实数,,x y z ，有2222cos 2cos 2cos x y z yz A zx B xy C ++≥++，等号成立当且仅当::sin :sin :sin x y z A B C =．简证 左边—右边=()()22cos cos sin sin 0x y C z B y C z B --+-≥三角形嵌入不等式的等价形式： 1． ()34a ab bc c t t t t t t aa bb cc ''''''++≤++． 2． ()22222212313R R R a b c ++≥++． 3． 31223311234r r r R R R R R R ++≤+++． （刘健提出，吴跃生证明）32≤． （吴跃生提出并证明） 4．（关于三角形边长的嵌入不等式） 设,,a b c 是任意三角形的三边长， ,,x y z 是任意三个实数，求证：()()()()()()2220a x y x z b y z y x c z x z y --+--+--≥．类似问题：设,,,x y z R R λ+∈∈， 则有()()()()()()0x x y x z y y z y x z z x z y λλλ--+--+--≥．（Schur 不等式）。

几何法证明不等式(精选多篇)^2(a,b∈r，且a≠b)设一个正方形的边为c,有4个直角三角形拼成这个正方形,设三角形的一条直角边为a,另一条直角边为b,(b>a)a=b,刚好构成,若a不等于b时,侧中间会出现一个小正方形,所以小正方形的面积为(b-a)^2,经化简有(b+a)^2=4ab,所以有((a+b)/2)^2=ab,又因为(a^2+b^2)/2>=ab,所以有((a+b)/2)^2<=(a^2+b^2)/2,又因为a不等与b,所以不取等号可以在直角三角形内解决该问题=^2-(a^2+b^2)/2=/4=-(a-b)^2/4<0能不能用几何方法证明不等式，举例一下。

比如证明sinx不大于x(x范围是0到兀/2，闭区间)做出一个单位圆，以o为顶点，x轴为角的一条边任取第一象限一个角x，它所对应的弧长就是1*x=x那个角另一条边与圆有一个交点交点到x轴的距离就是sinx因为点到直线，垂线段长度最小，所以sinx小于等于x，当且尽当x=0时，取等已经有的方法：第一数学归纳法2种;反向归纳法(特殊到一般从2^k过渡到n);重复递归利用结论法;凸函数性质法;能给出其他方法的就给分(a1+a2+...+an)/n≥(a1a2...an)^(1/n)一个是算术，一个是几何。

人类认认识算术才有几何，人类吃饱了就去研究细微的东西，所以明显有后者小于前者的结论，这么简单都不懂，叼佬就是叼佬^_^搞笑归搞笑，我觉得可以这样做，题目结论相当于证(a1+a2+...+an)/n-(a1a2...an)^(1/n)≥0我们记f(a1,a2,……,an)=(a1+a2+...+an)/n-(a1a2...an)^(1/n)这时n看做固定的。

我们讨论f的极值，它是一个n元函数，它是没有最大值的(这个显然)我们考虑各元偏导都等于0，得到方程组，然后解出a1=a2=……=an再代入f中得0，从而f≥0，里面的具体步骤私下聊，写太麻烦了。

几何不等式知识定位不等式是初中数学竞赛比较重要的一个知识点，在历年竞赛中占据非常大比例，几何不等式就其形式来说不外乎分为线段不等式、角不等式以及面积不等式三类，在解题中不仅要用到一些有关的几何不等式的基本定理，还需用到一些图形的面积公式。

本文归纳总结了几何不等式的若干性质及定理，将通过例题来说明这些方法的运用。

知识梳理1、几何不等式定理：几何不等式就其形式来说不外乎分为线段不等式、角不等式以及面积不等式三类，在解题中不仅要用到一些有关的几何不等式的基本定理，还需用到一些图形的面积公式。

下面先给出几个基本定理：定理1在三角形中，任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边．定理2同一个三角形中，大边对大角，小边对小角，反之亦然．定理3在两边对应相等的两个三角形中，第三边大的，所对的角也大，反之亦然．定理4三角形内任一点到两顶点距离之和，小于另一顶点到这两顶点距离之和．定理5自直线l外一点P引直线l的斜线，射影较长的斜线也较长，反之，斜线长的射影也较长．说明：如图2-135所示．PA，PB是斜线，HA和HB分别是PA和PB在l上的射影若HA＞HB，则PA＞PB；若PA＞PB，则HA＞HB．事实上，由勾股定理知：PA2-HA2=PH2=PB2-HB2，所以PA2-PB2=HA2-HB2．从而定理容易得证．定理6 在△ABC中，点P是边BC上任意一点，则有PA≤max｛AB，AC｝，当点P为A 或B时等号成立．说明 max｛AB，AC｝表示AB，AC中的较大者，如图2-136所示，若P在线段BH上，则由于PH≤BH，由上面的定理5知PA≤BA，从而PA≤max｛AB，AC｝．同理，若P在线段HC上，同样有PA≤max｛AB，AC｝例题精讲【试题来源】【题目】在锐角三角形ABC中，AB＞AC，AM为中线，P为△AMC内一点，证明：PB＞PC 【答案】如下解析【解析】证：在△AMB与△AMC中，AM是公共边，BM=MC，且AB＞AC，由定理3知，∠AMB＞∠AMC，所以∠AMC＜90°过点P作PH⊥BC，垂足为H，则H必定在线段BM的延长线上．如果H在线段MC内部，则BH＞BM=MC＞HC．如果H在线段MC的延长线上，显然BH＞HC，所以PB＞PC．【知识点】几何不等式【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】已知P是△ABC内任意一点（1）求证：1/2（a+b+c）<PA+PB+PC<a+b+c（2）若△ABC为正三角形，且边长为1，求证：PA+PB＋PC＜2【答案】如下解析【解析】证明：（1）由三角形两边之和大于第三边得PA＋PB＞c，PB＋PC＞a，PC＋PA＞b 把这三个不等式相加，再两边除以2，便得PA+PB＋PC>1/2（a+b+c）又由定理4可知PA＋PB＜a＋b， PB＋PC＜b＋c，PC+PA＜c＋a．把它们相加，再除以2，便得PA＋PB＋PC＜a＋b＋c．所以1/2（a+b+c）<PA+PB+PC<a+b+c（2）过P作DE∥BC交正三角形ABC的边AB，AC于D，E，于是PA＜max｛AD，AE｝＝AD，PB＜BD＋DP，PC＜PE＋EC，所以PA＋PB＋PC＜AD＋BD＋DP＋PE＋EC=AB＋AE＋EC=2．【知识点】几何不等式【适用场合】当堂练习【难度系数】3【试题来源】【题目】如图，在线段BC同侧作两个三角形ABC和DBC，使得AB=AC，DB＞DC，且AB＋AC=DB ＋DC．若AC与BD相交于E，求证：AE＞DE【答案】如下解析【解析】证：在DB上取点F，使DF=AC，并连接AF和AD．由已知2DB＞DB+DC=AB+AC=2AC，所以 DB＞AC．由于DB＋DC=AB＋AC=2AC，所以DC＋BF=AC=AB．在△ABF中，AF＞AB-BF=DC．在△ADC和△ADF中，AD=AD，AC=DF，AF＞CD．由定理3，∠1＞∠2，所以AE＞DE【知识点】几何不等式【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】设G是正方形ABCD的边DC上一点，连结AG并延长交BC延长线于K，求证：1/2（AG+AK）>AC【答案】如下解析【解析】证如图，在GK上取一点M，使GM=MK，则1/2（AG+AK）=AM在Rt △GCK 中，CM 是GK 边上的中线， 所以∠GCM=∠MGC ．而∠ACG=45°，∠MGC ＞∠ACG ， 于是∠MGC ＞45°，所以∠ACM=∠ACG ＋∠GCM ＞90°．【知识点】几何不等式 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3【试题来源】【题目】设h a 、h b 、h c 是ΔABC 三边上的高，求证：12＜h a ＋h b ＋h ca ＋b ＋c ＜1【答案】如下解析【解析】 证明：在Rt ΔADC 中，∵AC ＞AD ，∴b ＞h a ．同理可证：c ＞h b ，a ＞h c ，∴h a ＋h b ＋h c ＜a ＋b ＋c ，h a ＋h b ＋h ca ＋b ＋c ＜1．（1）设ΔABC 的垂心为H 点，∵HA ＋HF ＞AF ，HF ＋HB ＞FB ，HB ＋HD ＞BD ， HD ＋HC ＞CD ，HC ＋HE ＞CE ，HE ＋HA ＞EA ，上述六个式子相加得，2(h a ＋h b ＋h c )＞a ＋b ＋c ， 则得，h a ＋h b ＋h c a ＋b ＋c ＞12 （2）由（1）、（2）∴12＜h a ＋h b ＋h c a ＋b ＋c＜1． 【知识点】几何不等式 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4【试题来源】【题目】ΔABC 中，∠A ＞90°，AD ⊥BC 于D ．求证：AB ＋AC ＜AD ＋BC【答案】如下解析【解析】 证明：（法一）在BC 上取点E ，使BE ＝AB ，在AC 上取点F ，使AF ＝AD ，连结AE 、EF 、DF ．则∠BEA ＝∠BAE ＝90°－12∠B ． ∠1＝90°－∠BEA ， ∴∠1＝12∠B ，又∠A ＞90°， ∴∠DAC ＞∠B ∴∠2＞∠1， ∵AD ＝AF ，AE ＝AE∴DE ＜EF ，且∠ADF ＝∠AFD ， ∴∠EDF ＞∠EFD ，∵∠ADE ＝∠ADF ＋∠EDF ＝90°， ∴∠AFE ＝∠AFD ＋∠EFD ＜90°， ∴∠EFC ＞90°．∴在ΔEFC 中，EF ＞FC ．即BC －AB ＞AC －AD ∴AB ＋AC ＜AD ＋BC（法二）以A 为顶点，AB 为一边，作∠GAB ＝90°．∵∠A ＞90°，∴AG 在∠BAC 内部，ABCD21FA B C DE∵AD ⊥BC ，AB ⊥AG ，∴BG 2＝AB 2＋AG 2 （1），BG ·AD ＝AB ·AG （2） (1)＋(2)×2得BG 2＋2BG ·AD ＝(AB ＋AG )2．∴(BG ＋AD )2＞(AB ＋AG )2，即BG ＋AD ＞AB ＋AG ， 在ΔAGC 中，GC ＞AC －AG ．∴BG ＋AD ＋GC ＞AB ＋AG ＋AC －AG ， 即AB ＋AC ＜AD ＋BC ．【知识点】几何不等式 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】4【试题来源】【题目】在锐角三角形ABC 中，AH 是其最大的高，BM 是AC 边上的中线，且AH ＝BM ，证明：∠B ≤60°【答案】如下解析【解析】 证明：延长BM 至D ，使DM ＝BM ，连结AD ，则ΔADM ≌ΔCBM ．∴AD ＝BC ， ∠D ＝∠CBM ．∵AH 是ΔABC 最大的高，又三角形的一边与这条边上的高的乘积是定值， ∴BC 是ΔABC 最小的边． ∴BC≤AB ，AD≤AB ．∴∠CBM ＝∠D≥∠ABM ，过点M 作MN ⊥BC 于N ，则MN ∥AH ． ∵AH ＝BM ， ∴MN ＝12BM ． ∴∠CBM ＝30°．∵∠B ＝∠ABM ＋∠CBM≤30°＋30°＝60°．即∠B≤60°（当三角形为等腰三角形时，等号成立）ABCDG【知识点】几何不等式【适用场合】当堂例题 【难度系数】4【试题来源】【题目】在ΔABC 中，∠A ＝90°，AD ⊥BC 于D ，ΔPQR 是它的任一内接三角形．求证：PQ ＋QR ＋RP ＞2AD ．【答案】如下解析【解析】 证明：作点Q 关于AB 、AC 的对称点Q '、Q "，连PQ '，RQ "，AQ ，AQ '，AQ "．显然，PQ '＝PQ ，RQ "＝RQ ，AQ '＝AQ ＝AQ "．∠Q 'AB ＝∠QAB ，∠Q "AC ＝∠QAC ， 而∠BAC ＝∠BAQ ＋∠CAQ ＝90°， ∴∠Q 'AQ "＝2∠BAC ＝180°．即Q '、A 、Q "三点在一条直线上．∴PQ ＋QR ＋RP ＝Q 'P ＋PR ＋RQ "≥Q 'Q "＝2AQ ． ∵AD ⊥BC ， ∴AQ ≥AD ．故PQ ＋QR ＋RP ＞2AD ．BA BCDPRQ【知识点】几何不等式 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3【试题来源】【题目】2×3的矩形内放入两个与此矩形相似的互不重叠的小矩形．且每个矩形的边与大矩形的边平行，求两个矩形周长之和的最大值． 【答案】403【解析】 解：这两个小矩形可以都竖放，或都横放，或一横一竖放．（1）都竖放：宽＝2×23＝43，两个矩形周长＝8＋163＝403．（图1） （2）都横放，一个在另一个上面：设一个矩形的宽为x ，另一个为2－x ，则周长＝2(x ＋2－x )＋2×32×2＝10．（图2） 都横放，并排放置：周长＝3×2＋2×2＝10，（图3） （3）一横放一竖放，左边一个宽x ，右边一个长y ，则x ＋y ≤3，32x ≤2，23y ≤2．周长＝2(52x ＋53y )＝2×53(x ＋y )＋2×56x ≤12＋29．（图4） 即最大值为403．【知识点】几何不等式【适用场合】当堂例题 【难度系数】5"图2图3图4图1【试题来源】【题目】试证：锐角三角形的内接三角形中，以垂足三角形的周长最小 【答案】如下解析【解析】 证明：1︒ 先在BC 上任取一点D ，固定D ，求出以D 为一个顶点⊿ABC 的内接三角形中周长最小者．作D 关于AB 、AC 的对称点D ’、D”，连D’D”交AB 、AC 于点F 、E ，连DF 、D’F ，DE 、D”E ，对于任一以DD 一个顶点的⊿ABC 的内接三角形XPQ ，连QD’、QD ，PD ”、PD ， 于是可证DE +EF +FD ＝D’D”≤D’Q +QP +PD”＝DQ +QP +PD ． 即⊿DEF 为固定点D 后周长最小的内接三角形．2︒ 当点D 的BC 上运动时，对每一点D ，都作出1︒中得出的周长最小三角形，再求这些三角形的周长最小值．连AD 、AD’、AD ”，则AD ＝AD’＝AD ”，且∠D’AB ＝∠DAB ，∠D”AC ＝∠DAC ， 于是∠D’AD”＝2∠A ． 所以D’D”＝2AD sin A ．当点D 在BC 上运动时，以点D 为BC 边上高的垂足时AD 最小．3︒ 说明此时的最小三角形就是⊿ABC 的垂足三角形．由于D 为BC 边上的垂足． 对于垂足三角形DEF ，由∠DEC ＝∠AEF ，而∠DEC ＝∠CED"， 故点E 在D’D”上，同理，F 在D’D”上，即⊿DEF 为所求得的周长最小三角形．【知识点】几何不等式 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】5习题演练ABCDD'D"E FABCDD'D"EFA BCDD'D"E F P Q【题目】如图，已知△ABC中，AB=AC，E、F分别在AB、AC上且AE=CF．求证：EF≥BC．【答案】如下解析【解析】证明：过E作ED平行且等于BC，连接DF，DC（如图），∴BCDE是平行四边形，∴DC平行且等于BE，∴∴1=∴A，∴AB=AC，AE=FC，∴BE=AF=DC，∴∴AEF∴∴CFD，∴EF=DF，在∴EFD中，EF+DF＞DE，∴2EF＞BC，即EF＞BC，当E、F为AB、AC中点时，EF=BC，∴EF≥BC．【知识点】几何不等式【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【题目】如图，在∴ABC中，a、b、c分别为∴A、∴B、∴C的对边，且2b＜a+c，求证：2∴B＜∴A+∴C．【答案】如下解析【解析】证明：延长BA到D，使AD=BC=a，延长BC到E，使CE=AB=c，连接DE，这就把图形补成一个等腰三角形，即有BD=BE=a+c，∴∴BDE=∴BED，作DF∴AC，CF∴AD，相交于F，连接EF，则ADFC是平行四边形．∴CF=AD=BC，又∴FCE=∴CBA，∴∴FCE∴∴CBA∴EF=AC，于是DE≤DF+EF=2b＜a+c=BD=BE．这样，在∴BDE中，便有∴B＜∴BDE=∴BED∴∴2B＜∴BDE+∴BED=180°一∴B=∴A+∴C，即2∴B＜∴A+∴C．【知识点】几何不等式【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【题目】过三角形的重心任作一直线，把这个三角形分成两部分，求证：这两部分面积之差不大于整个三角形面积的．【答案】如下解析【解析】证明：设△ABC重心为G，过点G分别作各边的平行线与各边交点依次为A1、B1、B2、C1、C2、A2连接A1A2；B1B2、C1C2，∴三角形重心到一个顶点的距离等于它到对边中点距离的二倍，∴A1A=A1B l=B1B，BB2=B2C l=C1C，CC2=C2A2=A2A，∴A1A2∴BC，B1B2∴AC，C1C2∴AB，∴图中的9个三角形全等．即∴AA1A2∴∴A1B1G∴∴B2GB1∴∴C2C l C、所以上述9个小三角形的面积均等于∴ABC面积的．若过点C作的直线恰好与直线A1C1、B1C2、B2A2重合，则∴ABC被分成的两部分的面积之差等于一个小三角形的面积，即等于∴ABC面积的．若过点C作的直线不与直线A1C1、B1C2、B2A2重合，不失一般性，设此直线交AC于F，交AB于E，交C1C2于D，∴GB l=GC2，∴EB1G=∴DC2C，∴B1GE=∴C2GD，∴∴B1GE∴∴C2GD、∴EF分∴ABC成两部分的面积之差等于，而这个差的绝对值不会超过S∴C1C2C的面积．从而EF分∴ABC成两部分的面积之差不大于∴ABC面积的．综上所述：过三角形重心的任一直线分三角形成两部分的面积之差不大于整个三角形面积的．【知识点】几何不等式【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【题目】如图，在△ABC中，P、Q、R将其周长三等分，且P、Q在AB上，求证：．【答案】如下解析【解析】证明：作CL⊥AB于L，RH⊥PQ于H，∴RH∴CL，∴，则==，不妨设∴ABC的周长为1，则PQ=，AB＜，∴．∴AP≤AP+BQ=AB﹣PQ＜，∴AR=﹣AP＞﹣，又AC＜，从而，∴，∴＞．【知识点】几何不等式【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4。

几何图形证明不等式是一种有效的方法，用于证明不等式的真实性。

它通过利用几何图形来证明不等式的结论，从而有助于我们理解不等式的真实性。

下面我们来看一些不等式的例子，可以用几何图形证明不等式的真实性。

例如，我们可以用几何图形证明不等式 a < b，即a小于b。

我们可以在坐标平面中画出一条直线，将a点和b点标记在直线上，如果a点在b点的左边，则证明了a < b，即a小于b。

另一个例子是，我们可以用几何图形证明不等式a ≤ b，即a小于等于b。

我们可以在坐标平面中画出一条直线，将a点和b点标记在直线上，如果a点在b点的左边或者在b点上，则证明了a ≤ b，即a小于等于b。

最后，我们可以用几何图形证明不等式a ≥ b，即a大于等于b。

我们可以在坐标平面中画出一条直线，将a点和b点标记在直线上，如果a点在b点的右边或者在b点上，则证明了a ≥ b，即a大于等于b。

总之，几何图形证明不等式是一种有效的方法，它可以有效地帮助我们证明不等式的真实性，从而有助于我们更好地理解不等式。

第5章 几何不等式[赛点突破]1． 三角形中的几个极值点（1）到三角形三顶点距离之和最小的点——费马点； （2）到三角形三顶点距离的平方和最小的点——重心； （3）三角形内到三边距离之和最大的点——重心。

2．简单的等周问题（1）在周长一定的n 边形的集合中，正n 边形的面积最大； （2）在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大；（3）在面积一定的n 边形的集合中，正n 边形的周长最小； （4）在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。

3．欧拉定理设r 和R 分别是三角形的内切圆和外接圆的半径，则R r ³，等号成立当且仅当三角形为正三角形。

4．埃德斯—莫德尔不等式设P 为ABC D 内任意一点，P 到三边的距离分别为x ，y ，z ，则2()PA PB PC xy z ++?+等号成立当且仅当ABC D 为正三角形，且P 为ABC D 的中心。

[范例解密]例1（2002年首届中国女子数学奥林匹克试题7）锐角三角形ABC 的三条高分别为AD ，BE ，CF 。

求证：三角形DEF 的周长不超过三角形ABC 的周长的一半。

分析：要证明1()2DE EF FD AB BC CA ++?+只要证明DE FD BC + ，EF FD AB + ， DE EF CA + 。

证明：∵ 090BECBFC ??∴ B 、C 、E 、F 四点共圆，且BC 为直径 作点E 关于BC 的对称点E ’，则'DE DE =且点E ’也在圆BCEF 上又 'E DCEDC BAC BDF ??∴ F 、D 、E ’三点共线 在圆BCEF 中，BC 为直径 ∴ 'FE BC £∴ DE FD BC + 同理 EF FD AB + ，DE EF CA +∴ 1()2DE EF FD AB BC CA ++?+评注：“简单的”常常最有用！上述证明的关键是运用性质“在圆中，直径是最大的弦”。

算术-几何平均值不等式信息来源：维基百科在数学中，算术-几何平均值不等式是一个常见而基本的不等式，表现了两类平均数：算术平均数和几何平均数之间恒定的不等关系。

设为个正实数，它们的算术平均数是，它们的几何平均数是。

算术-几何平均值不等式表明，对任意的正实数，总有：等号成立当且仅当。

算术-几何平均值不等式仅适用于正实数，是对数函数之凹性的体现，在数学、自然科学、工程科学以及经济学等其它学科都有应用。

算术-几何平均值不等式经常被简称为平均值不等式（或均值不等式），尽管后者是一组包括它的不等式的合称。

例子在的情况，设: ，那么.可见。

历史上的证明1 / 6历史上，算术-几何平均值不等式拥有众多证明。

的情况很早就为人所知，但对于一般的，不等式并不容易证明。

1729年，英国数学家麦克劳林最早给出了一般情况的证明，用的是调整法，然而这个证明并不严谨，是错误的。

柯西的证明1821年，法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中给出了一个使用逆向归纳法的证明[1]：命题：对任意的个正实数，当时，显然成立。

假设成立，那么成立。

证明：对于个正实数，假设成立，那么成立。

证明：对于个正实数，设，，那么由于成立，。

但是，，因此上式正好变成也就是说2 / 6综上可以得到结论：对任意的自然数，命题都成立。

这是因为由前两条可以得到：对任意的自然数，命题都成立。

因此对任意的，可以先找使得，再结合第三条就可以得到命题成立了。

归纳法的证明使用常规数学归纳法的证明则有乔治·克里斯托（George Chrystal）在其著作《代数论》（algebra）的第二卷中给出的[2]：由对称性不妨设是中最大的，由于，设，则，并且有。

根据二项式定理，于是完成了从到的证明。

此外还有更简洁的归纳法证明[3]：在的情况下有不等式和成立，于是：3 / 6所以，从而有。

基于琴生不等式的证明注意到几何平均数实际上等于，因此算术-几何平均不等式等价于：。

由于对数函数是一个凹函数，由琴生不等式可知上式成立。

九年级数学几何不等式例题讲解知识点、重点、难点所谓几何不等式，指不等关系出现在几何问题之中，它将几何的论证与不等式的技巧有机结合在一起，其综合性与难度都较高。

有关几何不等关系的性质和定理如下：1.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

2.三角形的外角大于任一不相邻内角。

3.同一三角形中大角对大边，大边对大角。

4.两点之间直线段最短。

5.两边对应相等的两个三角形中，所夹的角越大，则第三边越大。

6.两边对应相等的两个三角形中，第三边越大，则它所对的角越大。

7.直角三角形的斜边大于任一直角边。

8.同圆或等圆中，弧长越长，所对的圆心角以及圆周角越大。

9.同圆或等圆中，直径大于任何一条非直径的弦。

可以看到，几何不等式的基础大多数源于三角形中，所以三角形中的不等式是占绝大多数的，而很多包括四边形、圆的问题都可以化为三角形中的不等关系，因此三角形中的各种不等式是我们讨论的一个重点。

要注意到，很多几何不等式实际上是代数不等式，还有相当一部分几何不等式的证明过程中用到了经典的代数不等式，其中最常用到的是均值不等式和柯西不等式。

柯西不等式：设1212,,,,,,n n x x x y y y R ∈则222222212121122()()().n n n n x x x y y y x y x y x y ++++++≥+++当且仅当iix y λ=（λ为常数，1,,i n =）时，等号成立。

均值不等式：设12,,0,n x x x >则12n x x x n+++≥例1：已知AD 是△ABC 的∠A 的平分线，过A 作直线PQ ⊥AD ，M 是PQ 上任一点，求证：MB ＋MC >AB ＋AC .分析 欲证MB ＋MC >AB ＋AC ，如能适当地进行变换将MB 、MC 、AB 、AC 集中到一个三角形内，问题就好解决了。

因为PQ ⊥AD ，则PQ 平分∠BAC 的外角∠BAC ，如以PQ 为轴将△AMB 翻转180°，AB 将落在AF 上。

基本不等式的解题规律与技巧————由基础到拔高一、基础知识1. 重要不等式：：a 2＋b 2≥ 2ab (a ，b ∈R)；2.基本不等式：ab ≤a ＋b 2； (1) 基本不等式成立的条件：a >0，b >0；(2) 等号成立的条件：当且仅当a ＝b .22()24 22a b S a b S ab ab P a b ab P++=⇒==⇒+=(3)若（定值）若(定值)简称为““一正”“二定”“三相等”，三个条件缺一不可．3.基本不等式的变形：①a ＋b ≥2ab ，常用于求和的最小值；②ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，常用于求积的最大值；4.重要不等式链：设0b a <：a ≥√a 2+b 22⩾a+b 2⩾√ab ⩾2ab a+b =21a +1b≥b 二、基本不等式的两种几何解释（1）2222112a b ab a b a b +++（2）以a 为上底b 为下底作一梯形ABCD ,再作四条直线均平行于两底，分别交两腰于(1,2,3,4).i i A B i =其中11A B 平分梯形的面积，有 22112a b A B =+ 22A B 为中位线，有 222a b A B += 33A B 分梯形为两个相似的梯形，有33A B ab =44A B 过两对角线的交点，有44211A B a b =+有34421132CD AB A A B B A B A B <<<<<得2222211a a a b b b a a b b <<+<++<< 梯形变为平行四边形即a=b 时四条线段重合.三、解题规律技巧(1)公式的直接应用例1.求1x x+的最小值 解：11112.2,1x x x x x x x x x+=+==⇔=±当时等号成立 故1x x+的最小值为2. 例2.0,0a b >>证明：11()()4a b a b++ 证明：1112,2a b ab a b ab ++，所以111()()22 4.a b ab a b ab++⨯=当且仅当a=b时等号成立.222.,3, ,, 3,,4120,62 6.2, 33,230,31()9.x y x y xy x y xy x y x y xy x y x y xy t x y t t t t x y xy xy x y x y xy t t t t t xy ++=++++⎛⎫++=≤=+--≥∴≥≤-+≥ ⎪⎝⎭+++=≥=--≥∴≥≤-≥3例正实数满足求及的最小值.求的最小值那么就保留利用不等式转化的形式解：或（舍）即同理求最小值就保留利用不等式转化的形式或舍故 注：基本不等式的实质就是一种放缩.例4若0x >，0y >，则1122x y x y +++的最小值是（ ） A．B．C ．4 D ．2解：由基本不等式得1122x y x y +++≥==当且仅当x =y =时等号成立，因此，1122x y x y +++的最小值为故选A. 例5.已知a >0，则当19a a+取得最小值时，a 的值为（ ） A ．19 B ．16C ．13D ．3 解：∵a >0，∴196a a +≥=，当且仅当19a a =，即13a =时，等号成立，故选：C 例6.若实数11, a b a b a b+=+满足求的最小值 解：依题意0,0,1112,.a b a b a b ab >>=+==当且仅当解得2222ab a b ab ⇒+a b ==当且仅当例7. 已知 a,b ∈R , 且 2a −b −2=0, 则 9a +13b 的最小值为 ( )A. 2B. 4C. 6D. 8解：由指数的运算法则, 可得 9a +13b =32a +13b , 再结合已知等式与基本不等式, 即可得解由 2a −b −2=0, 知 2a −b =2,所以 9a +13b =32a +13b ≥2√32a ⋅13b =2√32a−b =2√32=6, 当且仅当9a =13, 即 a =12,b =−1 时, 等号成立, 所以 9a +13b 的最小值为 6 .选: C . 例8.若 m >0,n >0, 则 n+1m +4m n 2 的最小值为________. 解：若 m >0,n >0,则 n +1m +4mn 2≥n +2√1m ⋅4m n 2=n +4n ≥2√n ⋅4n =4, 当且仅当 n =2m =2 时, 原式取得最小值 4 .例9. 设 a >2b >0, 那么 a 4+1b (a−2b )的最小值是 ________ 解: 由于 a >2b >0,故a 4+1b (a−2b )=2(a 4+1)2b (a−2b ) ≥2(a 4+1)(2b+a−2b 2)2 =2（a 4+1）a 24 =8(a 4+1)a 2=8(a 2+1a 2)≥16,当且仅当 a =1,b =14 时, 等号成立, 故 a 4+1b (a−2b )的最小值为 16 . 评注：例8例9均两次直接运用均值不等式，构造出积为定值的情况,属于一般性技巧，也是处理双字母变量的行之有效的方法.。

●数学活动课程讲座●几何不等式初步(上)熊　斌(华东师范大学数学系,200062) 收稿日期:2007-09-04 (本讲适合初中)几何中表示量的不等关系的式子叫做几何不等式.几何不等式就其形式来说分为线段不等式、角不等式以及面积不等式三类.下面给出一些基本的几何不等式性质.(1)在三角形中,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.(2)在同一个三角形中,大边对大角,小边对小角;反之也成立.(3)两组对边对应相等的两个三角形中,夹角大的第三边也大;反之也成立.(4)三角形内任一点到两顶点的距离之和小于另一顶点到这两个顶点的距离之和.(5)三角形一边上的中线小于另外两边之和的一半.(6)在△ABC 中,点P 是边BC 上任意一点,则有P A ≤max{AB ,AC },当点P 与点B 或C 重合时,等号成立.在解决几何不等式问题时,经常要用到一些已经学过的基本定理和已经证明过的结论,运用不等式的基本性质,通过几何、三角、代数等解题方法进行计算和证明.同时,还需考虑几何图形的特点和性质.1　与线段有关的不等式问题例1　已知BC 是△ABC 的最长边,O 是△ABC 内部任意一点,直线OA 、OB 、OC 分别交对边于点A 1、B 1、C 1.证明:(1)OA 1+OB 1+OC 1<BC ;(2)OA 1+OB 1+OC 1≤max{AA 1,BB 1,CC 1}.图1证明:(1)如图1,过点O 作OX ∥AB ,OY ∥AC ,分别交BC 于点X 、Y .再过点X 、Y 分别作XS ∥CC 1,YT ∥BB 1,分别交AB 、AC 于点S 、T .因为△OXY ∽△ABC ,则XY 是△OXY 的最大边.由性质6知OA 1<max{OX ,OY }≤XY .又△BXS ∽△BCC 1,△YCT ∽△BC B 1,所以,由CC 1<max{C A ,BC }=BC ,可得BX >XS =OC 1.同理,CY >YT =OB 1.故BC =XY +BX +YC >OA 1+OB 1+OC 1.(2)设OA 1AA 1=x ,OB 1BB 1=y ,OC 1CC 1=z .则x +y +z =S △OBC S △ABC +S △OC A S △ABC +S △OABS △ABC=1.故OA 1+OB 1+OC 1=xAA 1+yBB 1+zCC 1≤(x +y +z )max{AA 1,BB 1,CC 1}=max{AA 1,BB 1,CC 1}.说明:其实,(2)比(1)更强,由(2)可以推得(1).图2例2　如图2,在△ABC中,∠B =2∠C .求证:AC <2AB .证明:延长CB 至2中等数学D,使得DB=AB.则有∠D=∠BAD,∠ABC=2∠D.由题设知∠ABC=2∠C.所以,∠D=∠C.故AD=AC.在△ABC中,因为DB+AB>AD,即2AB>AD,所以,AC<2AB.说明:(1)把问题中的不等量尽量集中到一个三角形(或者两个具有紧密关系的三角形)中,利用三角形中的线段不等关系(或角的不等关系)解决问题.这是一种常用的解题思路.(2)若将题中的“∠B=2∠C”改为“∠B =n∠C”,可以得到相似的结论:在△ABC中,若∠B=n∠C(n是不小于2的正整数),则AC≤nAB.例3　已知P是△ABC内任一点.(1)求证:12(AB+BC+C A)<P A+P B+PC<AB+BC+C A;(2)若△ABC是正三角形,且边长为1,求证:32<P A+P B+PC<2.分析:不等式12(AB+BC+C A)<P A+P B+PC可化为AB+BC+C A<2(P A+P B+PC)=(P A+P B)+(P B+PC)+(PC+P A),由“三角形两边之和大于第三边”即可得证.由不等式P A+P B+PC<AB+BC+C A的轮换对称性,只要证明P A+P B<C A+CB即可.证明:(1)在△P AB中,P A+P B>AB.同理,P B+PC>BC,PC+P A>C A.三式相加得2(P A+P B+PC)>AB+BC+C A,即　12(AB+BC+C A)<P A+P B+PC.又由性质4知P A+P B<C A+CB.同理,P B+PC<AB+AC,PC+P A<BC+BA.三式相加得P A+P B+PC<AB+BC+C A.综上可知12(AB+BC+C A)<P A+P B+PC<AB+BC+C A .图3(2)如图3,若△ABC是正三角形,过P作MN∥BC,交AB于M、交AC于N,则△AMN也是正三角形.由(1)的结论知P A+P B+PC>12(AB+BC+C A)=32.又由性质6有A P≤max{AM,AN}=AM,且　B P<BM+MP,CP<NC+N P.三式相加得A P+B P+CP<AB+MN+NC=AB+AN+NC=AB+AC=2.所以,32<P A+P B+PC<2.例4　已知凸六边形ABCDEF的边长都为1.证明:对角线AD、B E、CF中至少有一条不超过2.图4证明:如图4,由于　∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=720°,故不妨设∠A+∠F≤720°3=240°.作菱形ABGF,则∠GFE≤60°,FG=FE=1.于是,GE是△FGE的最小边.32007年第11期故GE ≤1.又BG =1,则B E ≤BG +GE ≤2.例5　有A 、B 、C 三个村庄成三角形(如图5图5),A 、B 、C 三个村庄上小学人数的比为1∶2∶3.现需要办一所小学.问小学应设在什么地方,才能使得上学儿童所走的路程的总和S 最小?解:设小学办在点P ,A 、B 、C 三个村庄的上学人数分别为a 、2a 、3a .则S =aP A +2aP B +3aPC=a (P A +PC )+2a (P B +PC )≥aAC +2aBC .当且仅当P =C 时,上式等号成立.所以,小学设在C 村庄,可以使得上学儿童所走的路程的总和S 最小.2　与角有关的不等式问题例6　在△ABC 中,已知12AC >AB .求证:12∠ABC >∠ACB .证明:因为AC >2AB >AB ,所以,∠ABC >∠ACB .图6如图6,作∠ABD =∠ACB ,交AC 于D .下面只要证明∠CBD >∠ACB .因为△BAD ∽△C AB ,所以,BC BD =ACAB>2,即　BC >2BD .又CD >BC -BD ,两式相加得BC +CD >2BD +BC -BD =BD +BC ,即　CD >BD .所以,∠CBD >∠ACB .故∠ABC =∠ABD +∠DBC >∠ACB +∠ACB =2∠ACB .从而,12∠ABC >∠ACB .说明:与角有关的不等式常常转化为边的不等式进行证明.例7　已知平面内的任意四点,其中任意三点不共线.试问:是否一定能从这样的四个点中选出三点构成一个三角形,使得这个三角形至少有一个内角不大于45°?试证明你的结论.证明:根据内角的大小分情况讨论.(1)如图7,若四边形ABCD 是凸四边形,那么,必有一个内角不大于90°,不妨设为∠A .于是,∠A =∠BAC +∠C AD ≤90°.所以,∠BAC 与∠C AD 中必有一个不大于45°.图8图7(2)如图8,若四边形ABCD 是凹四边形,联结AC ,则△ABC 中必有一个内角小于或等于60°,不妨设为∠A .于是,∠A =∠BAD +∠C AD .所以,∠BAD 与∠C AD 中必有一个不大于12×60°=30°≤45°.综上可知,一定可以从中选出三点符合题意.说明:由不等式的性质“若a 1+a 2+…+a n =m (a 1,a 2,…,a n 为正数),则必存在a i (i =1,2,…,n ),满足a i ≤m n”,得出“凸四边形必有角不大于90°,三角形中必有角不大于60°”的结论,由此找出不大于90°的∠A .再将∠A 分成两个角,得到含有不大于45°内角的三角形.(未完待续)4中等数学。