例子:求椭圆
在点
处的切线方程.
解:对椭圆方程的两边分别求导(在此把y看成是关于x 的函数)得:
于是所求切线方程为:
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利用上述方法可得圆锥曲线的切线方程如下:
(1)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P0(x0,y0)的切线方程 是: (22))(过过x0椭椭-a圆圆)(x-a)+(y上0上-一b一)点(点yP-Pb0(0)x(=x0,r0y2,0y.)0的)的切切线线方方程程是是: :
又圆面积S=πR2,所以 =40π(cm)2/s. 故圆面积增加的速度为40π(cm)2/s.
例4:在曲线
上求一点,使通过该点的切线平行于
x轴,并求此切线的方程.
解:设所求点为P(x0,y0).则由导数的几何意义知:
切线斜率
把x0=0代入曲线方程得:y0=1. 所以点P的坐标为(0,1),切线方程为y-1=0.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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我们曾经利用导数的定义证明过这样的一个结论:
“可导的偶函数的导函数为奇函数;可导的奇函数的导 函数为偶函数”.现在我们利用复合函数的导数重新加 以证明:
证:当f(x)为可导的偶函数时,则f(-x)=f(x).两边同时对x
求导得:
,故
为
奇函数.
同理可证另一个命题.
我们还可以证明类似的一个结论:可导的周期函数
量 的求导.
3.复合函数的求导法则: 复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间
变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数.
法则可以推广到两个以上的中间变量. 求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关 系,合理选定中间变量,明确求导过程中每次是哪个变 量对哪个变量求导,一般地,如果所设中间变量可直接 求导,就不必再选中间变量.