2015年武汉市九年级四月调考数学试题

数 学 试 题（全卷共五个大题，满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填入答题卷中对应的表格内．1．下面的数中，﹣2的相反数是（ ） A ．2B ．2-C ．21D ．21-2．下列计算正确的是（ ）A ．2242a a a += B ．4961x x x -+= C ．2363(2)8x y x y -=- D ．632a a a ÷=3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A B C D 4．在函数21y x =-中自变量x 的取值范围在数轴上表示正确的为（ ）A B C D5．甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如表．如果从这四位同学中，选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加全国数学联赛，那么应选（ ）甲 乙 丙 丁平均数80 85 85 80 方差42 42 54 59 A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 6．如图，已知l 1∥l 2，∠A=40°，∠1=60°，则∠2的度数为（ ） A ．40︒ B ．60︒ C ．80︒ D ．100︒ 7．在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过原点的是（ ）A ．3y x =-+B ．5y x= C ．2y x = D ．227y x x =-+- 8．已知OA ，OB 是⊙O 的半径，点C 在⊙O 上，，∠OBA=50°，则∠C 的度数为（ ）A ． 30°B ． 40°C ． 50°D ．80°（6题图） （8题图）9．若1x =-是关于x 的一元二次方程)0(022≠=-+a bx ax 的一个根，则201522a b -+的值等于（ ） A ．2015 B ．2011 C ．2018 D ．201310．下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有1颗棋子，第②个图形一共有6颗棋子，第③个图形一共有16颗棋子，…，则第⑥个图形中棋子的颗数为（ ）A ．51B ．70C ．76D ．8111．如图所示，货车匀速通过隧道（隧道长大于货车长）时，货车从进入隧道至离开隧道的时间x与货车在隧道内的长度y 之间的关系用图象描述大致是( )12．如图，在矩形OABC 中，AB=2BC ，点A 在y 轴的正半轴上，点C 在x 轴的正半轴上，连接OB ，反比例函数(00)ky k x x=≠>，的图象 经过OB 的中点D ，与BC 边交于点E ，点E 的横坐标是4，则k 的值 是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）在每小题中，请将答案直接填在答题卷中对应的横线上．13．五湖四海，大中小学，每个学子心中都有一座逸夫楼，自1985年以来，著名的“慈善家”邵逸夫连年向内地教育捐赠巨款建设教育教学设施，迄今赠款金额近4750000000元港币，用科学记数法表示为 元港币.14．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 为边AD 的中点，连接AC ，BD 交于点O ，若AO=4，则AC= .15．在一次捐款中，某班第一组有10名同学，其捐款数额统计如下表：捐款（元） 10 15 20 50 人数1432则捐款数额组成的一组数据中，中位数是 .16．如图，在扇形AOB 中，半径OA=2，120AOB ∠=︒，C 为弧AB 的中点，连接AC 、BC ，则图中阴影部分的面积是 （结果保留π）17．有四张正面分别标有1-，0，1，2的不透明的卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中取出一张，将卡片上的数字记为a ，不放回，再取出一张，将卡片上的数字记为b ，设P 点的坐标为（a ，b ），则点P 落在势物线2y x =与直线2y x =+所围成的封闭区域内（含边界）的概率是 . 18．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AC=6，BC=8.动点P 从A 开始沿折线AC CB BA →→ 运动，点P 在AC ，CB ，BA 边上运动的速度分别为每秒3，4，5个单位.直线l 从与AC 重合的位置开始,以每秒43个单位的速度沿CB 方向平行移动，即移动过程中保持l ∥AC ，且分别与CB ，AB 边交于E ，F 两点，点P 与直线l 同时出发，设运动的时间为t 秒，当点P 第一次回到点A 时，点P 与直线l 同时停止运动.当点P 在BA 边上运动时，作点P 关于直线EF 的对称点，记为点Q ．若形成的四边形PEQF 为菱形，则t= ．（14题图） （16题图） （18题图）三、解答题：（本大题2个小题，每小题7分，共14分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程做在答题卷上． 19．解方程：3211x x =-+20．如图，BE AE ⊥于E ，CF AE ⊥于F ，D 是EF 的中点，求证：CD=BD .四、解答题：（本大题4个小题，每小题10分，共40分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程做在答题卷上21．如图，山坡上有一棵树AB ，树底部B 点到山脚C 点的距离BC 为6米，山坡的坡角为30°．小宁在山脚的平地F 处测量这棵树的高，点C 到测角仪EF 的水平距离CF=1米，从E 处测得树顶部A 的仰角为45°，树底部B 的仰角为20°，求树AB 的高度． （参考数值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）22．目前我市“校园手机”现象越来越受到社会关注，钍对这种现象，重庆某校初三（3）班数学兴趣小组的同学随机调查了学校若干名家长对 “中学生带手机”的态度（态度分为：A ．无所谓；B ．基本赞成；C ．赞成；D ．反对），并将调查结果绘制成频数折线统计图1和扇形统计图2（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）此次抽样调查中，共调查了 名中学生家长；（2）求出图2中扇形C 所的圆心角的度数为 度，并将图1补充完整； （3）根据抽样调查结果，请你估计该校11000名中学生家长中持反对态度的人数为 ； （4）在此次调查活动中，初三（3）班和初三（5）班各有2位家长对中学生带手机持反对态度，现从中选2位家长参加学校组织的家校活动，用列表法或画树状图的方法求选出的2人来自不同班级的概率．23．为丰富学校文化生活，切实提高同学们的身心素质，在这春意盎然的三月，重庆巴蜀中学第八届春季运动会即将拉开序幕。

第1页 / 共11页2015-2016学年度武汉市九年级四月调考数学试卷一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑. 1.实数3的值在A ．0与1之间.B ．1与2之间.C ．2与3之间.D ．3与4之间. 2.分式21-x 有意义，则x 的取值范围是 A ．x ＞2. B ．x =2. C ．x ≠2. D ．x ＜2. 3.运用乘法公式计算(a —3)2的结果是A ．a 2 -6a +9.B ．a 2—3a +9.C ．a 2—9.D ． a 2 -6a -9.4.小伟掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，下列事件是随机事件的是A ．掷一次骰子，在骰子向上的一面上的点数大于0.B ．掷一次骰子，在骰子向上的一面上的点数为7.C ．掷三次骰子，在骰子向上的一面上的点数之和刚好为18.D ．掷两次骰子，在骰子向上的一面上的点数之积刚好是11. 5.下列计算正确的是A ．3x 2—2x 2=1.B ．x +x =x 2.C ．4x 8÷2x 2= 2x 4.D ．x ·x =x .26.如图，平行四边形ABCD 的顶点坐标分别为A (1，4)，B (1，1)，C (5，2)，则点D 的坐标为 A ． (5，5). B ．(5，6). C ．(6，6). D ．(5，4).7.由圆柱体和长方体组成的几何体如图所示，其俯视图是8.统计学校排球队员的年龄，发现有12、13、14、15等四种年龄，统计结果如下表：年龄(岁) 12 13 14 15 人数(个)2468根据表中信息可以判断该排球队员的平均年龄为A ．13.B ． 14.C ． 13.5.D ． 5.9.如图，2×5的正方形网格，用5张1×2的矩形纸片将网格完全覆盖，则不同的覆盖方法有 A ．3种. B ．5种. C ．8种.D ．13种.yxODCBA第2页 / 共11页10.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，点O 在BC 上，以点O 为圆心，OC 为半径的⊙O 刚好与AB 相切，交OB 于点D ．若BD =1，tan ∠AOC =2，则⊙O 的面积是A ．π.B ．π2.C ．π49.D ．π916二、填空题(共6小题，每小题3分，共18分)11.计算10+(-6)的结果为___________12.2016年全国两会在3月3日开幕，引起了传媒的极大关注.某网络平台在3月1日至8日，共监测到两会对于民生问题相关信息约290 000条，数290 000用科学记数法表示为_______________13.一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4.随机取出一个小球，标号为偶数的概率为_________________14.E 为平行四边形ABCD 边AD 上一点，将△ABE 沿BE 翻折得到△FBE ，点F 在BD 上，且EF =DF .若∠C =52°，那么∠ABE =____________°.15.在平面直角坐标系中，已知A (2，4)，P (1，0).B 为y 轴上的动点，以AB 为边构造△ABC ，使点C 在x 轴上，∠BAC =90°，M 为BC 的中点，则PM 的最小值为__________16.我们把函数A 的图象与直线y =x 的公共点叫做函数A 的不动点，如二次函数y =x x 4212-有两个不动点(0，0)和(10，10).直线y =m 是平行于x 轴的直线，将抛物线y =x x 4212-在直线y =m 下侧的部分沿直线y =m 翻折，翻折后的部分与没有翻折的部分组成新的函数B 的图象，若函数B 刚好有3个不动点，则满足条件的m 的值为_____________.三、解答题(共8小题，共72分)17.(本小题满分8分) 解方程5x +2 =2(x +4).第3页 / 共11页18.(本小题满分8分)如图，线段AB ，CD 相交于点E ，AE =BE .CE = DE . 求证：AD ∥C B ．19.(本小题满分8分)国家规定，“中小学生每天在校体育锻炼时间不小于1小时”，某地区就“每天在校体育锻炼时间”的问题随机调查了若干名中学生，根据调查结果制作如下统计图(不完整).其中分组情况：A 组：时间小于0.5小时；B 组：时间大于等于0.5小时且小于1小时；C 组：时间大于等于1小时且小于1.5小时；D 组：时间大于等于1.5小时.根据以上信息，回答下列问题：(1)A 组的人数是__________________人，并补全条形统计图； (2)本次调查数据的中位数落在____组；(3)根据统计数据估计该地区25 000名中学生中，达到国家规定的每天在校体育锻炼时间的人数约有_________________人.20.(本小题满分8分)如图，双曲线y =)0(>k x k 与直线y =421+-x 相交于A ，B 两点. (1)当k =6时，求点A ，B 的坐标； (2)在双曲线y =)0(>k x k的同一支上有三点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (221x x +，0y )，请你借助图象，直接写出0y 与221y y +的大小关系.第4页 / 共11页21.(本小题满分8分)已知⊙O 为△ABC 的外接圆，点E 是△ABC 的内心，AE 的延长线交BC 于点F ，交⊙O 于点D ．(1)如图1，求证：BD = ED ；(2)如图2，AO 为⊙O 的直径，若BC = 6，sin ∠BAC =53，求OE 的长.第5页 / 共11页22.(本小题满分10分)在一块矩形ABCD 的空地上划一块四边形MNPQ 进行绿化，如图，四边形的顶点在矩形的边上，且AN =AM =CP =CQ =xm .已知矩形的边BC = 200m ，边AB = am ，a 为大于200的常数，设四边形MNPQ 的面积为Sm 2.(1)求S 关于x 的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围； (2)若a =400，求S 的最大值，并求出此时x 的值；(3)若a =800，请直接写出S 的最大值.23.(本小题满分10分)如图，在△ABC 中，AC ＞AB ，AD 是角平分线，AE 是中线.BF ⊥AD 于点G ，交AE 于点F ，交AC 于点M ，EG 的延长线交AB 于点H(1)求证：AH = BH ； (2)若∠BAC = 60°，求DGFG的第6页 / 共11页24.(本小题满分12分)如图1，在平面直角坐标系xoy 中，抛物线M ：5212+-=x y 经过点C (2，3)，直线y =kx +b 与抛物线相交于A ，B 两点，∠ACB = 90°.(1)探究与猜想：①探究：取点B (6，-13)时，点A 的坐标为(-25，815)，直接写出直线AB 的解析式 为________________，取点B (4，-3)，直接写出AB 的解析式为________________②猜想：我们猜想直线AB 必经过一个定点Q ，其坐标为___________.请取点B 的横坐标为n ，验证你的猜想；友情提醒：此问如果没有解出，不影响第(2)问的解答.(2)如图2，点D 在抛物线M 上，若AB 经过原点O ，△ABD 的面积等于△ABC 的面积，试求出一个符合条件的点D 的坐标，并直接写出其余的符合条件的D 点的坐标第7页 / 共11页第8页 / 共11页第9页 / 共11页第10页 / 共11页第11页 / 共11页。

在△ABC 中 AB=AC BE 和 CD 是中线
1 求证 BE= CD 2 求
OE 的值 OB
19. 本小题满
8 选手的晟 得 9.3 9.8 8.8
在一次青 歌手演唱比赛中 评 办法采用五 评委 场打 去掉最高 9.4 .9.5
(1)求 l
A F
B
D
C
2
第 23 题
E
24
9 1 y = x 2 − 3x + , 2 2 1 联立 ………1 1 y = 2x − 3 2 1 1 ………3 解得 A(8 12 ),D 2 2 2
1 (x 3)2 所以点 P 的横坐标 2 当 x 3 b 2 3k 时 y 2 点 P 的坐标 3 2 ………4 2 y CE 的解析式 3
求证 AB=DF+DE 连接 BE 直接写出△BEF 的面 .
24. 本小题满 如
12 抛物线 y =
1 2 9 x − 3x + 交 y 轴于点 E 2 2
在 面直角坐标系 xOy 中
C
抛物线的顶点 直线
4
AD
y=kx+b k 0
1 2
抛物线相交于 A D 两点 点 D 在点 A 的 方 . 求 A D 两点坐标 交线段 CE 于点 F 求
勾股定理得 AB y元
58 ,⊙O 的直径 58
………8
生产销售
商品的 本
依题意 得
6
150(1 12%) y(1 10%) 解之得 y 120 答 该 生产销售 商品的 本 120 元 ………3 2 题意得(﹣2x 24)[( 150(1 x%))﹣120]=660 ………5 2 整理得﹣3x 24x 720=660 化简得 x+10 (x-2)=0 x1 = −10, x 2 = 2 时 商品定 135 元或 153 元 日销售利润 660 元 ………7 3 1≤a≤6… ……10 23 1 解 过点 E 作 EN⊥DC 于点 N 在△ABC 和△DEC 中 DE DC ∠A ∠EDC ∠ACB ∠DCE △ABC△△DEC ………1 AB AC AB 5 DC 2 AC 5 DE 2 在△DEC 中 ∠EDC 45° ∠DCE 30°

勤学早·武汉市2015四月调考数学模拟卷（四）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各数中，最小的数是（ ） A ．﹣2B ．1C ．0D ．﹣32．式子2 x 有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ≥2B ．x ≤2C ．x ≥﹣2D ．x ≤﹣23．青藏高原是世界上海拔最高的高原，它的面积约为2500000平方千米．将2500000用科学记数法表示应为（ ） A ．0.25×107B ．2.5×107C ．2.5×106D ．25×1054．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好是9.4环，方差分别是S甲2＝0.90，S 乙2＝1.22，S 丙2＝0.43，S 丁2＝1.68，在本次射击测试中，成绩最稳定的是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁 5．下列计算正确的是（ ） A ．3a ﹣a ＝2 B ．b 2·b 3＝b 6 C ．a 3÷a ＝a 2 D ．(a 3)4＝a 7 6．如图在矩形ABCD 中，AD ＝10，AB ＝6，E 为BC 上一点，DE 平分∠AEC ，则CE 的长为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．如图所示，该几何体的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．8．某市努力改善空气质量，近年来空气质量明显好转，根据该市环保局公布的2010~2014这五年各年的空气质量：优良的天数，绘制成如图折线图，这五年的全年空气质量优良天数平均为（ ）A ．343天B ．344天C ．345天D ．346天9．下列图形都是由同样大小的黑点按一定的规律组成，其中第①个图形中一共有4个黑点，第②个图形中一共有9个黑点，第③个图形中一共有14个黑点，……，则第⑩个图形中黑点的个数是（ ） A ．44B ．48C ．49D ．5410．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，点E 是BC 边上靠近点B 的三等分点，动点P 从点A 出发，沿路径A →D →C →E 运动，则△APE 的面积y 与点P 经过的路径长x 之间的函数关系用图象表示大致是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．计算：520÷＝__________ 12．因式分解：x 2﹣2x ＋1＝__________13．在5瓶饮料中，有2瓶已过了保质期，从这5瓶饮料中任取1瓶，取到没有过保质期饮料的概率为__________14．如图，2×2网格（每个小正方形的边长为1）中有A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、O 九个格点．抛物线l 的解析式为y ＝x 2＋bx ＋c （x 为整数）．若l 经过这九个格点中的三个，直接写出所有满足这样条件的抛物线条数有__________条15．如图，点A 、B 在双曲线xky =的第一象限分支上，AO 的延长线交第三象限的双曲线于C ，AB 的延长线与x 轴交于点D ，连接CD 与y 轴交于点E ，若AB ＝BD ，S △ODE ＝49，则k ＝_____ 16．如图，△ABC 中，∠ABC ＝45°，AB ＝225，BC ＝12，以AC 为直角边，A 为直角顶点作等腰直角△ACD ，则BD 的长为__________ 三、解答题（共8题，共72分）17．（本题8分）直线y ＝2x ＋b 经过点(3，5)，求关于x 的不等式2x ＋b ≥0的解集18．（本题8分）如图，BD 是□ABCD 的对角线，E 、F 分别为BD 上两点，AC 交BD 于O (1) 请你添加一个条件，使得△ABE ≌△CDF ，并证明(2) 在问题(1)中，当AC 与EF 满足什么条件时，四边形AECF 是矩形，请说明理由19．（本题8分）不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个（除颜色外其余都相同），其中红球2个（分别标有1号、2号），蓝球1个．若从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为41(1) 求袋中黄球的个数(2) 第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，请用画树状图或列表格的方法，求两次摸到不同颜色球的概率20．（本题8分）四边形ABDC 在如图所示的平面直角坐标系中，将四边形ABDC 向右平移4个单位长度后得四边形A 1B 1D 1C 1，再将四边形ABDC 绕点O 旋转180°后得到四边形A 2B 2D 2C 2 (1) 在图中画出四边形A 1B 1D 1C 1与四边形A 2B 2D 2C 2(2) 四边形A 1B 1D 1C 1与四边形A 2B 2D 2C 2关于点P 成中心对称，则点P 的坐标为__________ (3) 直接写出过A 2、B 2、D 2三点的外接圆的直径为__________21．（本题8分）已知AB 是⊙O 的直径，AT 是⊙O 的切线，AT ＝AB ，OT 交⊙O 于M (1) 如图1，BT 交⊙O 于E ，求证：sin ∠BTO ＝TOBE2 (2) 如图2，若TC 切⊙O 于点C ，求tan ∠CBM 的值22．（本题10分）为了抓住世博会商机，某商店决定购进A ，B 两种世博会纪念品．若购进A 种纪念品10件，B 种纪念品5件，需要1000元；若购进A 种纪念品5件，B 种纪念品3件，需要550元(1) 求购进A ，B 两种纪念品每件需多少元？(2) 若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑到市场需求，要求购进A 种纪念品的数量不少于B 种纪念品数量的6倍，且不超过B 种纪念品数量的8倍，那么该商店共有几种进货方案？(3) 若销售每件A 种纪念品可获利润20元，每件B 种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？23．（本题10分）如图1，共直角边AB 的两个直角三角形中，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，AC 交BD 于P ，且tan ∠C ＝PCAP(1) 求证：AD ＝AB(2) 如图2，BE ⊥CD 于E 交AC 于F ①若F 为AC 的中点，求DEEC的值 ②当∠BDC ＝75°时，请直接写出DEEC的值24．（本题12分）已知抛物线经过A (－2，0)、B (0，2)、C (23，0)三点，一动点P 从原点出发以1个单位/秒的速度沿x 轴正方向运动，连接BP ，过点A 作直线BP 的垂线交y 轴于点Q ．设点P 的运动时间为t 秒 (1) 求抛物线的解析式 (2) 当BQ ＝21AP 时，求t 的值 (3) 随着点P 的运动，抛物线上是否存在一点M ，使△MPQ 为等边三角形？若存在，请直接写t 的值及相应点M 的坐标；若不存在，请说明理由勤学早·武汉市2015四月调考数学模拟卷（四）参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．2 12．(x －1)213．53 14．415．216．1314．提示：分别过AOD 三点，ABF 三点，ACH 三点，还有FGD 三点 15．提示：作AF ⊥x 轴于F ，BG ⊥x 轴于G 则BG ∥AF ∴AB ＝BD ∴FG ＝DG ，BG ＝21AF 设A (a ，a k )，则B (2a ，a k 2)，C (－a ，－ak ) ∴DG ＝FG ＝2a －a ＝a ∴OD ＝3a 作CH ⊥y 轴于H ∴CH ∥y 轴 ∴△ODE ∽△HCD∴HDODCH OE =，即a a a k OE43= ∴OE ＝ak43 ∴S △ODE ＝21OD ·OE ＝49 ∴21×3a ×ak 43＝49 ∴k ＝216．提示：∵△ADC 为等腰直角三角形 ∴AD ＝AC ，∠CAD ＝90°将△ABD 绕点A 顺时针旋转90°得△AEC ∴∠BAE ＝90°，AB ＝AE ，BD ＝CE ∴△ABE 为等腰直角三角形∴∠ABE ＝45°，BE ＝2AB ＝5 ∵∠ABC ＝45°∴∠CBE ＝45°＋45°＝90°在Rt △CBE 中，CE ＝131252222=+=+BC BE∴BD ＝13三、解答题（共8题，共72分） 17．解：x ≥21 18．解：略19．解：(1) 设袋中黄球的个数为x 个∵从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为41 ∴41121=++x ，解得：x ＝1∴袋中黄球的个数为1个 (2) 画树状图得：∵共有12种等可能的结果，两次摸到不同颜色球的有10种情况， ∴两次摸到不同颜色球的概率为：P ＝651210= 20．解：如图，四边形A 1B 1D 1C 1与四边形A 2B 2D 2C 2为所作(2) 点P 的坐标为(2，0)(3)A 2D 2＝10，A 2B 2＝B 2D 2＝5∵A 2D 22＝A 2B 22＋B 2D 22∴过A 2、B 2、D 2三点的三角形为直角三角形，∠A 2B 2D 2＝90°∴A 2D 2为过A 2、B 2、D 2三点的外接圆的直径，即过A 2、B 2、D 2三点的外接圆的直径为10 21．证明：(1) 过点O 作OF ⊥BE 于F∵AT 是⊙O 的切线 ∴∠BAT ＝90° ∵AT ＝AB∴△ABT 为等腰直角三角形 ∴∠B ＝45° ∴OF ＝BF ＝21BE ∴sin ∠BTO ＝TOBETO OF 2=(2) 连接AC∵TA 、TC 是⊙O 的切线 ∴AC ⊥OT ∵AB 是⊙O 的直径 ∴AC ⊥BC ∴BC ∥OT∴∠CBM ＝∠BMO ＝∠ABM 过点M 作MN ⊥AB 于N ∴tan ∠OMN ＝tan ∠OTA ＝21 设ON ＝1，MN ＝2，则OM ＝OB ＝5，BN ＝15+∴tan ∠CBM ＝tan ∠ABM ＝215152-=+=BNMN22．解：(1) 设A 、B 两种纪念品每件需x 元、y 元 ⎩⎨⎧=+=+550351000510y x y x ，解得⎩⎨⎧==10050y x 答：A 、B 两种纪念品每件需50元、100元 (2) 设购买A 种纪念品a 件，B 种纪念品b 件⎩⎨⎧≤≤=+b a b b a 861000010050，解得20≤b ≤25 则b ＝20，21，22，23，24，25对应的a ＝160，158，156，154，152，150 答：商店共有6种进货方案(3) 设利润为W 元，则W ＝20a ＋30b ＝20(200－2b )＋30b ＝－10b ＋4000（20≤b ≤25） ∴W 随着b 的增大而减小∴当b =20时，W 最大，此时a ＝160时，W 最大 ∴W 最大＝4000﹣10×20＝3800（元）答：方案获利最大为：A 种纪念品160件，B 种纪念品20件，最大利润为3800元 23．证明：(1) ∵∠DAB ＋∠ABC ＝180° ∴AD ∥BC ∴BCADPC AP =∵tan ∠C ＝BCAB∴BCABBC AD =∴AD ＝AB(2) ① 过点D 作DH ⊥BC 于H ，延长BE 交AD 延长线于G ∴四边形ABHD 为矩形 ∵ABAD∴四边形ABHD 为正方形 设AB ＝1 ∵F 为AC 的中点 ∴△BFC ≌△GF A （AAS ） ∴AG ＝BC 设DG ＝CH ＝x ∵BE ⊥CD∴∠DCH ＋∠CBE ＝90° ∵∠ABG ＋∠CBE ＝90° ∴∠DCH ＝∠ABG ∴Rt △ABG ∽Rt △HCD ∴DHAGCH AB =即111+=x x ，解得)(21521521舍，--=-=x x ∴2531+=+==x x DG BC DE EC (3) ∵∠BDC ＝75°，∠BDH ＝45° ∴∠HDC ＝∠DCG ＝30° ∵∠DGC ＝90°∴∠CDG ＝60°，∠DGE ＝30°设DE ＝a ，则DG ＝2DE ＝2a ，DC ＝2DG ＝4a∴EC ＝3a ∴3=DECE24．解：(1) 231322+--=x x y(2) ① 当t ≤2时∵AQ ⊥PB ，BO ⊥AP∴∠AOQ ＝∠BOP ＝90°，∠P AQ ＝∠PBO ∵AO ＝BO ＝2 ∴△AOQ ≌△BOP∴OQ ＝OP ＝t ， BQ ＝2－t ，AP ＝2＋t ∵BQ ＝21AP ∴2－t ＝21(2＋t )，t ＝32 ② 当t >2时，点Q 在点B 上方，同理可证 △AOQ ≌△BOP ，BQ ＝t －2，AP ＝2＋t ∴t －2＝21(2＋t )，t ＝6(3) 易证△AOQ ≌△BOP ∴OP ＝OQ∴△OPQ 为等腰直角三角形∵△MPQ 为等边三角形，则M 点必在PQ 的垂直平分线上 ∴M 在y ＝x 上 设M (x ，y )联立⎪⎩⎪⎨⎧--==x x y xy 31322，解得⎩⎨⎧==1111y x 或⎩⎨⎧-=-=3322y x ∴M 点可能为(1，1)或(－3，－3)① 当M 的坐标为(1，1)时，作MD ⊥x 轴于D则有PD ＝|1－t |，MP 2＝1＋|1－t |2＝t 2－2t ＋2，PQ 2＝2t 2∵△MPQ 为等边三角形 ∴MP ＝PQ∴t 2－2t ＋2＝2t 2，解得313121--=+-=t t ，（舍去） ② 当M 的坐标为(－3，－3)时作ME ⊥x 轴于E ，则有PE ＝3＋t ．ME ＝3 ∴MP 2＝32＋(3＋t )2＝t 2＋6t ＋18，PQ 2＝2t 2∵△MPQ 为等边三角形 ∴MP ＝PQ∴t 2＋6t ＋18＝2t 2，解得3331+=t ，3332+=t （舍去）。