文科数学 高三最后一课2018

合肥六中2018届高三最后一卷数学（文）答案 1-5 ABBDA 6-10 BDCCB 11-12 AC 13. 15 ; 14.-1 ; 15. 21; 16. 63 ;17.（Ⅰ）由2cos 22C b a =可得cos a b b C -=根据正弦定理得sin sin sin cos A B B C -=， 即()sin sin sin cos B C B B C +=+，sin cos cos sin sin sin cos B C B C B B C +=+，sin cos sin C B B = （Ⅱ）由cos a b b C -=，且1a =， 2b =，得1cos 2C =-， 由余弦定理， 22212cos 1421272c a b ab C ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭， 所以c =18.（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中，连接AC ，因为AB =30ABC ∠=2BC =由余弦定理得AC =090ACB ∠=,即AC BC ⊥,即AC AD ⊥，又因为2AD AP ==，DP =所以AD AP ⊥,AP AC A ⋂=,所以AD ⊥平面PAC ，所以AD PC ⊥ （Ⅱ）因为E 为CD 的中点， 1,4BEC ABCDS S ∆∴=四边形 平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD = PA AD ⊥，PA ⊥平面ABCD设F 到平面ABCD 的距离为,h1,12B EFC F BEC P ABCD V V V ---== 111,3123BEC ABCD S h S PA ∆∴⋅⨯=⋅⋅⋅ 1,3h PA ∴=所以2.3PF PB = 19.【解析】(1) ()()1111121315161714,13012512311611511112066x y =+++++==+++++=, ()()61310251314253984i ii x x y y =--=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑, ()()()()62222222132112328i i x x =-=-+-+-+++=∑, ()()121()84328n i ii n i i x x y y b x x ==--∴===-∑∑, 12031478a y bx =-=-⨯=,期末考试语文成绩 y 关于每年读书本书x 的线性回归方程为378y x =+.（Ⅱ）两名同学成绩相差不超过5分的概率51153P ==20.（Ⅰ）22142x y +=， （Ⅱ）PM PN =,证明如下：设直线,PAPB 的斜率分别为12,k k ，将y x m =+代入22142x y +=，消去y 整理得2220x m +-=． 令()222420m m ∆=-->，解得22m -<<．设()()1122,,,A x y Bx y．则12x x +=， 2122x x m =-．()()12211211yx y x k k -+--+==()(()(122111y x y x -+--=1212(2)()1)x m x x m +-+-- )22(2)()1)0m m m =-+---=所以PMN PNM ∠=∠,所以PM PN =21.（Ⅰ）当1a =-时()21(1)x f x e x =-'-在3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭恒大于0，所以()f x 在3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭单增，所以)(x f 最小值为2)23(23+=e f（Ⅱ）()l n 1l n 1x ax f x x e x x ⎛⎫⋅=--⋅ ⎪-⎝⎭ ，只需证：()()1ln 1101x x x e ax x ⎡⎤⋅⋅---≥⎣⎦-在()()0,11,+∞上恒成立，()()0,11,x ∈+∞时，1l n 01x x ⋅>-恒成立，∴只需证：()()110x x e a x ---≥在()0,+∞恒成立，设()()()11x g x x e ax =---，[)0,x ∈+∞ ()00g =恒成立，∴只需证：()0g x ≥在[)0,+∞恒成立()1x g x x e a '=⋅--， 令()1x h x x e a =⋅--，()()'10x h x x e =+⋅>恒成立()g x '∴单调递增，()()010g x g a ''≥=--≥ ，()g x ∴单调递增，()()00g x g ≥= ()0g x ∴≥在[)0,+∞恒成立，即()()1l n l n 01f x x x g x x ⋅=⋅⋅≥-在()()0,11,+∞上恒成立22.（Ⅰ）4cos ρθ=, 4sin ρθ=;（Ⅱ）3（Ⅰ）曲线 1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，设(,)Q ρθ,则(,)2P πρθ-,所以曲线2C 的极坐标方程4sin ρθ=；（Ⅱ）()2,0M 到射线(0)3πθρ=>的距离为2sin 3d π==4sin cos 233B A AB ππρρ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭则132S AB d =⨯=23.解：(I)证明：由a>0，有11()444f x x x a a a a=++-≥+≥，所以.(4)f x ≥(Ⅱ)()12f ＝112124a a ++-,当3a >时， 1420a a +<,得3a <<当03a <≤时，124420,a a +-<132a <≤综上，a a <<。

2018年安徽省合肥市第一中学冲刺高考最后1卷文科数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合2{|2},{|340}S x x T x x x =>-=+-≤，则()R C S T ⋃=（ ） A ．(,1]-∞ B ．(,4]-∞- C ．(2,1]- D ．[1,)+∞2.已知,a R i ∈是虚数单位，复数z 的共轭复数为z ，若3,4z a i z z =+⋅=，则a =（ ） A ．3 B ．3- C ．7或7- D ．1或1-3.阅读下面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34.设,a b r r 为向量，则“||||||a b a b ⋅=r rr r ”是“//a b r r ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5.函数sin (1cos 2)y x x =+在区间[2,2]-内的图像大致为（ ）A． B．C. D．6.在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示. 如果小正方形网格的边长为1，那么该四面体的体积是（）A．643B．323C.16 D．327.观察下图：则第（）行的各数之和等于22017.A．2010 B．2018 C.1005 D．10098.已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面,,1,2ABC AB BC SA AB BC ⊥===，则球O 的表面积等于（ ）A ．4πB ．3π C. 2π D ．π9.如图所示，点,A B 分别在x 轴与y 轴的正半轴上移动，且2AB =，若点A 从(3,0)移动到(2,0)，则AB 的中点D 经过的路程为（ ）A ．3π B ．4π C. 6πD ．12π10.设集合{(,)|||||1},{(,)|()()0},A x y x y B x y y x y x M A B =+≤=-+≤=⋂，若动点(,)P x y M ∈，则22(1)x y +-的取值范围是（ ）A ．110[2 B ．2102 C. 15[,]22D ．25]22 11.已知函数221,20(),0x x x x f x e x ⎧--+-≤<⎪=⎨≥⎪⎩，若函数()()g x f x ax a =-+存在零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．21[,]3e - B ．21(,][,)3e -∞-⋃+∞ C. 11[,]3e - D ．1(,][,)3e -∞-⋃+∞ 12.点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2y x =于,A B 两点，且||2||PA AB =，则称点P 为“δ点”.下列结论中正确的是（ ） A ．直线l 上的所有点都是“δ点” B ．直线l 上仅有有限个点是“δ点” C. 直线l 上的所有点都不是“δ点”D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“δ点”第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 为了研究某班学生的脚长x (单位:厘米)和身高y （单位:厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆybx a =+已知101011ˆ225,1600,4ii i i xy b=====∑∑.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为 ．14.从区间[0,2]随机抽取2n 个数1212,,...,,,,...,n n x x x y y y ，构成n 个数对1122(,),(,),...,(,)n n x y x y x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 ．15.如图所示，B 地在A 地的正东方向4km 处，C 地在B 地的北偏东30o 方向2km 处，河流的沿岸PQ （曲线）上任意一点到A 的距离比到B 的距离远2km .现要再曲线PQ 上任一处M 建一座码头，向,B C 两地转运货物.经测算，从M 到B 和M 到C 修建公路的费用均为a 万元/km ，那么修建这两条公路的总费用最低是 万元.16.已知数列{}n a 满足*113,(3)(6)18()n n a a a n N +=-+=∈，则11ni ia =∑的值是 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos (cos cos )3B a B b A c +=. （1）求B ；（2）若,,a b c 成等差数列，且ABC ∆的周长为35，求ABC ∆的面积.18. 在如图所示的几何体ACBFE 中，,,AB BC AE EC D ==为AC 的中点，//EF DB . （1）求证：AC FB ⊥；（2）若,4,3,3,2AB BC AB AE BF BD EF ⊥====，求该几何体的体积.19. 某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题. 该企业为了检查生产该产品的甲、乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值.若该项质量指标值落在(195,210]内，则为合格品，否则为不合格品.表 1是甲流水线样本的频数分布表，如图所示是乙流水线样本的频率分布直方图. 表1 甲流水线样本的频数分布表 质量指标值频数(190,195] 2(195,200]13(200,205] 23 (205,210]8 (210,215]4（1）若将频率视为概率，某个月内甲、乙两条流水线均生产了6万件产品，则甲、乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件？（2）在甲流水线抽取的样本的不合格品中随机抽取两件，求两件不合格品的质量指标值均偏大的概率；（3）根据已知条件完成下面22⨯列联表，并判断在犯错误概率不超过0.1的前提下能否认为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两条流水线的选择有关”？ 甲生产线 乙生产线 合计 合格品 不合格品 合计附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++为样本容量）2()P K k ≥ 0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820. 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为22，短轴长为42.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设A 为椭圆C 的左顶点，P 为椭圆C 上位于x 轴上方的点，直线PA 交y 轴于点M ，点N 在y 轴上，且0MF FN →→⋅=，设直线AN 交椭圆C 于另一点Q ，求APQ ∆的面积的最大值.21. 已知函数2()ln ,()(1)f x x x g x x λ==-（λ为常数）.（1）若函数()y f x =与函数()y g x =在1x =处有相同的切线，求实数λ的值； （2）当1x ≥时，()()f x g x ≤，求实数λ的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C的参数方程为cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线1C 上的点按坐标变换322x x y ⎧'=+⎪⎨⎪'=+⎩得到曲线2C ，以原点为极点、x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系. （1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）若直线()3R πθρ=∈与曲线1C 交于,M N 两点，与曲线2C 交于,P Q 两点，求||||MN PQ 的值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()|||2|f x x a x =-++. （1）当1a =时，解不等式()4f x ≥；（2）00,()|21|x R f x a ∃∈≤+，求a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:ADCCB 6-10:BDADC 11、12：BA二、填空题13. 166 14.16m n 15.2)a 16. 11(22)3n n +-- 三、解答题17.解：（1）已知2cos (cos cos )B a B b A +=，由正弦定理得2cos (sin cos sin cos )B A B B A C +=，即2cos sin(),B A B C ⋅+=cos 2B B ∴=Q 为ABC ∆的内角，6B π∴=. （2）,,a b c Q 成等差数列，2b a c ∴=+，又ABC ∆的周长为，即a b c b ++=∴=由余弦定理知2222222cos ()(2,b a c ac B a c a c ac =+-=+-=+-+ac ∴=111sin 15(2222ABC S ac B ∆∴==⨯⨯=. 18.（1）证明：//,EF BD EF ∴Q 与BD 确定平面EFBD .连接,,DE AE EC D =Q 的为AC 的中点，DE AC ∴⊥.同理可得BD AC ⊥，又,BD DE D BD ⋂=⊂Q 平面,EFBD DE ⊂平面,EFBD AC ∴⊥平面,BDEF FB ⊂Q 平面,EFBD AC FB ∴⊥.（2）由（1）可知AC ⊥平面1,,3ABCEF A BDEF C BDEF BDEF BDEF V V V S AC --∴=+=⋅⋅,,4,AB BC AB BC AB BD AC =⊥=∴==Q 3,1AE DE =∴==.在梯形BDEF 中，取BD 的中点M ，连接MF ，则//EF DM 且,EF DM =∴四边形FMDE 为平行四边形，//FM DE ∴且FM DE =.又222,BF BF FM BM =∴=+11,142232ABCEF BDEF FM BM S V ∴⊥=⨯⨯=∴=⨯=梯形.19. （1）由甲、乙两条流水线各抽取的50件产品可得，甲流水线生产的不合格品有6件，则甲流水线生产的产品为不合格品的概率635025P ==甲，乙流水线生产的产品为不合格品的概率6(0.0160.32)525P =+⨯=乙.于是，若某个月内甲、乙两条流水线均生产了6万件产品，则甲、乙两条流水线生产的不合格品件数分别为360000720025⨯=（件），6600001440025⨯=（件）.（2）在甲流水线抽取的样本中，不合格品共有6件，其中质量指标值偏小的有2件，记为,A B ；质量指标值偏大的有4件，记为,,,C D E F ，则从中任选2件有,,,,,,,AB AC AD AE AF BC BD ,BE ,BF ,,CD CE,,,CF DE DF EF 共15种结果，其中质量指标值都偏大有6种结果.故所求概率为62155P ==. （3）22⨯列联表如下：则22100(4412386)2.439 2.70650508218K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以在犯错误概率不超过0.1的前提下不能认为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两条流水线的选择有关”.20.解：（1）由题意得2222c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得4a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩C 的标准方程为221168x y +=. （2）由题可设直线PA 的方程为(4),0y k x k =+>，则(0,4)M k，又F 且0MF FN →→⋅=，所以MF FN ⊥，所以直线FN 的方程为4y x k =-，则2(0,)N k -，联立22(4)216y k x x y =+⎧⎨+=⎩消去y 并整理得2222(12)1632160k x k x k +++-=，解得14x =-或2224812k x k-=+，则222488(,)1212k k P k k -++，直线AN 的方程为1(4)2y x k =-+，同理可得222848(,)1212k k Q k k --++，所以,P Q 关于原点对称，即PQ 过原点，所以APQ ∆的面积211632||212122P Q k S OA y y k k k=⋅-=⋅=≤++12k k =，即2k =时，等号成立，所以APQ ∆的面积的最大值为21.解：（1）由题意得()ln 1,()2f x x g x x λ''=+=，又(1)(1)0f g ==，且函数()y f x =与()y g x =在1x =处有相同的切线，(1)(1)f g ''∴=，则21λ=，即12λ=. （2）设2()ln (1)h x x x x λ=--，则()0h x ≤对[1,)x ∀∈+∞恒成立. ()1ln 2h x x x λ'=+-Q ，且(1)0,(1)0h h '=∴≤，即1120,2λλ-≤∴≥.另一方面，当12λ≥时，记()()x h x ϕ'=，则112()2xx x xλϕλ-'=-=.当[1,)x ∈+∞时，()0,()x x ϕϕ'≤∴在[1,)+∞内为减函数，∴当[1,)x ∈+∞时，()(1)120x ϕϕλ≤=-≤，即()0,()h x h x '≤∴在[1,)+∞内为减函数，∴当[1,)x ∈+∞时，()(1)0h x h ≤=恒成立，符合题意.当12λ<时，①若0λ≤，则()1ln 20h x x x λ'=+-≥对[1,)x ∀∈+∞恒成立，()h x ∴在[1,)+∞内为增函数，∴当[1,)x ∈+∞时，()(1)0h x h ≥=恒成立，不符合题意.②若102λ<<，令()0x ϕ'>，则11,()2x x ϕλ<<∴在1(1,)2λ内为增函数，∴当1(1,)2x λ∈时，()(1)120x ϕϕλ>=->，即()0,()h x h x '>∴在1(1,)2λ内为增函数，∴当1(1,)2x λ∈时，()(1)0h x h >=，不符合题意，综上所述12λ≥.22.解：（1）已知曲线1C的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），消去参数α得22143x y +=.又cos ,sin ,x y ρθρθ==22223cos 4sin 12ρθρθ∴+=，即曲线1C 的极坐标方程为22(3sin )12ρθ+=.又由已知322x x y ⎧'=+⎪⎨⎪'=+⎩得2(32)x x y y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=-⎪⎩代入22143x y +=得2(2)1,9y '-+=∴曲线2C的直角坐标方程为22((2)9x y -+-=.（2）将3πθ=代入22(3sin )12ρθ+=，得216,||5MN ρρ=∴=∴=.又直线的参数方程为122x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入22((2)9x y -+-=，整理得270t -+=，分别记,P Q两点对应的参数为12,t t，则121212||4||||||57t t MN PQ t t PQ t t ⎧+=⎪=-==∴=⎨⋅=⎪⎩.23.解：（1）当1a =时，()4f x ≥，即2214x x <-⎧⎨--≥⎩或2134x -≤≤⎧⎨≥⎩或1214x x >⎧⎨+≥⎩解得52x ≤-或x ∈∅或32x ≥，故此不等式的解集为53(,][,)22-∞-⋃+∞.（2）因为()|||2||()(2)||2|f x x a x x a x a =-++≥--+=+，因为0x R ∃∈，有0()|21|f x a ≤+成立，所以只需|2||21|a a +≤+，化简得210a -≥，解得1a ≤-或1a ≥，所以a 的取值范围为(,1][1,)-∞-⋃+∞.。

2018高考最后一讲一聚焦考点1.1函数【考点梳理】【考点剖析】例1 已知函数f(x)=ax3−3x2+1,若存在唯一零点x0,且x0>0，则a的取值范围为（）A.(2,+∞)B.(- ∞,−2)C.(1,+ ∞)D.(- ∞,−1)例2 已知函数f(x)={xlnx−2x ,x>0x2+32x , x≤0的图像上有且仅有四个不同的点关于直线y=-1 的对称点在y=kx-1的图像上，则实数k的取值范围是（）A. (12,1) B.(12,34) C.(13,1) D. (12,2)例4 已知函数f(x)＝2sin⎝⎛⎭⎫x＋π4＋2x2＋x2x2＋cos x的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝()A．－2 B．2 C．－4 D．4最值互嵌最值互嵌也称复合最值问题。

（1）M=max{x1,x2,…，x n}⇔M≥x i(i=1,2,…,n)（2）m=min{x1,x2,…，x n}⇔m≤x i(i=1,2,…,n)例5 设x,y∈R+,A=min{x,yx2+y2}, 则A max = ( )A.1B.−√22C.√22D.12例6 设a∈R+,b∈R,且 max {min {2x+4,ax2+b,5−3x}}=2,则a+b 的值为（）A.-1B.1C.2D.3例31.2立体几何小题【考点梳理】例7 ．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2，1，12，则此三棱锥外接球的表面积为（）A．174πB．214πC．4πD．5π例8 如图，在平行四边形ABCD中，AB BD⊥，=AB CD=BD=，沿BD 把ABD△翻折起来，且平面ABD⊥平面BCD，此时A，B，C，D在同一球面上，则此球的体积为___________．例9 桌面上有3个半径为2018的球两两相切，在其上方空隙里放一个球，使其顶点（最高点）与3个球的顶点在同一平面内，则该球的半径为 （ ） A.2018 B.2018.3C.2018.5D.2018.π1.3解三角形与数列【考点回顾】时间 题号 考查背景 考点 2013 17 三角函数 正弦定理2014 17 数列 已知Sn 求a n ,等差数列 2015 17 数列 已知Sn 求a n ,裂项求和 2016 17 三角函数 正余弦定理、三角恒等变换 201717三角函数正余弦定理例10 如图，在△ABC 中，点D 在AC 边上，且AD ＝3DC ，AB ＝7， ∠ADB ＝π3，∠C ＝π6.(Ⅰ)求DC 的值； (Ⅱ)求tan ∠ABC 的值．例11 已知数列{ a n} ,{b n}的前n项和分别为S n，T n .b n-a n=2n+1,且S n+T n=2n+1+n2-2.(1)求T n-S n(2)求数列{b n2n}的前n项和R n.1.4圆锥曲线【考点回顾】【小题快解】例12 （1）过抛物线（）的焦点作倾斜角为的直线，若直线与抛物线在第一象限的交点为A,并且点也在双曲线（,）的一条渐近线上，则双曲线的离心率为（ A ）A B C D22y px=0p>F60l l A22221x ya b-=0a> 0b>*在椭圆中2221;b e a =-在双曲线中222 1.b e a=-*（2）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点F 为双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的一个焦点，经过两曲线交点的直线恰过点F ，则该双曲线的离心率为（ ）A. 1B.1 D. 1+ *椭圆和双曲线的通径长为22;b a抛物线的通径长为2.p * （3）已知双曲线:M 22221(0,0)x y a b a b-=>>两个焦点为分别为)0,3(),03(21F F ，-，过点2F 的直线l 与该双曲线的右支交于,M N 两点，且1F MN ∆ 是等边三角形，则以点2F 为圆心，与双曲线M 的渐近线相切的圆的方程为（ ）A.22(2x y +=B.22(4x y +=C.22(1x y +=D.223(5x y +=*双曲线焦点F 到渐近线的距离为短半轴长b.*（4）设双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>,左,右焦点分别 为12,,F F 若双曲线右支上一点P 满足12212,,3F PF F PF S π∆∠==则离心率为______．*椭圆中122tan ,2F PF S b θ∆=双曲线中122cot .2F PF S b θ∆=* （5）设椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）的左右焦点分别为12,,F F 椭圆上存在点P ，使12F PF ∠为钝角，则该椭圆离心率e 的取值范围为__________.*12,F F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点，点P 在椭圆上，,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ*（6）抛物线2:3C y x =的焦点为F ,过F 且倾斜角为030的直线交C 于,A B两点,O 为坐标原点，则AOB ∆面积为（ ）C.6332D.94*AB 是过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的弦，则 ①12||AB x x p =++；②22||sin pAB α=；*【大题剖析】例13 已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M （2，1），平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m （m ≠0），l 交椭圆于A 、B 两个不同点。

2018届高考模拟最后一卷文科数学试题本试卷分选择题和非选择题两部分，第I 卷（选择题），第II 卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名，考籍号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦拭干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上做答，在试题卷上答题无效。

5.考试结束后，只将答题卡交回。

第I 卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。

1．复数122ii +-的共轭复数是（ ） A ．35i B ．35i- C ．i D ．i -2．已知直线l 1：ax+ 2y +1=0，l 2：（3－a ）x －y+a=0，则条件“a=1”是“l 1⊥l 2"的( )A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不必要也不充分条件 3．已知抛物线)0(2a ＞ax y =的焦点到准线的距离为2，则a =（ ）A ．4B ．2C ．41 D ．21（第4题图）4．执行如图所示的程序框图，则输出的k 的值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65. 设,43tan π=a ,52cos π=b 0)56sin 1(π+=c ，则,,a b c 的大小关系是A ．c a b >>B ．c b a >>C ．a b c >>D ．b c a >> 6.在面积为S 的ABC ∆内部任取一点P ，则PBC ∆的面积大于4S的概率为( ) A.41 B.43C.94D.169 （第7题图） 7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )启用前·绝密A.643 B. 163 C. 803D.4338. 已知函数()sin(2)6f x x m π=--在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，则m 的取值范围为（ ）A. 1, 12⎛⎫ ⎪⎝⎭ B 1, 12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.1, 12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 1, 12⎛⎤ ⎥⎝⎦ 9．已知奇函数)(x f y =的导函数()0f x '<在R 恒成立，且y x ,满足不等式0)2()2(22≥-+-y y f x x f ，则22y x +的取值范围是( )A. ]22,0[B. ]2,0[C. ]2,1[D. ]22,2[ 10. 已知点A 是抛物线y x 42=的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足PB m PA =，当m 取最大值时，点P 恰好在以B A ,为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )A ．215- B ．212+ C ．12+ D ．15-第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分. 把答案填在答题卡上的相应横线上。

2018年泗县一中最后一卷数学（文）能力测试试题考试时间：120分钟 试卷分值：150分注意：本试卷共分Ⅰ、Ⅱ两卷，所有答案必须写在答题卷及答题卡的相应位置上，答写在试卷上不予记分。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（每小题5分，共 50分。

每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1. 复数i i++121（i 是虚数单位）的虚部是 A ．23 B ．21C ．3D ．12.集合{|2x A x =>，{|0B x x =<≤， 则R A C B =A ．12⎛ ⎝ B．(C ．(,0)-∞ D．)+∞3. 下列命题中是假命题的是A. ⎪⎭⎫⎝⎛∈∀2,0πx ,x x sin > B ．0x R ∃∈,0lg 0=x C ．x R ∀∈,03>xD ．0x R ∃∈,2cos sin 00=+x x4. 已知m 、n 表示直线，γβα,,表示平面，给出下列四个命题，其中真命题为（1）βααβα⊥⊥⊂=则,,,m n n m （2）m n n m ⊥==⊥则,,,γβγαβα （3）,,βα⊥⊥m m 则α∥β（4）βαβα⊥⊥⊥⊥则,,,n m n m A ．（1）、（2） B ．（3）、（4） C ．（2）、（3） D ．（2）、（4）5. 右图是一个几何体的三视图,其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4,, 则该几何体的体积是A. 28πB.π328 C. 73π D. 7π 6. 已知A 、B 、C 是圆22:1O x y +=和三点，OA OB OC +=，AB OA ⋅=A ．32B ．C ．32-D ．127. 已知函数)62sin()(π-=x x f ，若存在),0(π∈a ，使得(2)()f x a f x +=恒成立，则a 的值是 A ．6π B ．3π C ．4π D ．2π 侧视图8. 从{}1,2,3,4,5中随机选取一个数为a ，从{}2,3,4,5中随机选取一个数为b ，则a b >的概率为A ．25 B ．310 C ．15 D ．1109.过直线y x =上一点P 引圆22670x y x +-+=的切线，则切线长的最小值为A ．22 B ． 223 C ．210 D ．210.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的一点到其左、右焦点的距离之差为4，若已知抛物线2y ax =上的两点11(,)A x y ，22(,)B x y 关于直线y x m =+对称，且1212x x =-，则m 的值为 A ． 34 B ． 32 C ．54 D ． 52第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．） 11.若双曲线221x ky +=的离心率是2，则实数k 的值是12．若变量x 、y 满足2040x y x y y a ++≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，若2x y -的最大值为1-，则a =13. 在等差数列{}n a 中，80a =，44a =，数列{}n b 满足11b =，1n n n b b a --=，则10b =14. 给出右面的程序框图，则输出的结果为_________. 15．给出以下结论：①甲从四面体中任意选择一条棱，乙也从该四面体中任意选择一条棱，则所得的两条棱所在的直线是异面直线的概率是1;6②关于x 的不等式222sin sin a x x<+恒成立，则a的取值范围是a < ③若关于x 的方程10(0,1)x k x x-+=∈在上没有实数根，则k 的取值范围是2k ≥；④函数()2(0)xf x e x x =--≥有一个零点。

2018年吉林省长春市市十一中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知圆x2＋y2=9与圆x2＋y2－4x＋4y－1=0关于直线l对称，则直线l的方程为( ) A．4x－4y＋1=0 B．x－y=0 C．x＋y=0 D．x－y－2=0参考答案：D2. 已知是椭圆的两个焦点，p是椭圆上的任意一点，则的最大值是（）A.、9B.16C.25D.参考答案：C3. 直线在平面内，直线在平面内，下列命题正确的是A． B．C． D．参考答案：D4. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F且斜率为的直线交抛物线于点M （M在第一象限），于点N，直线NF交y轴于点D，则（）A. 4B.C. 2D.参考答案：B【分析】设出直线方程，联立抛物线方程，求得点的坐标，即可得点坐标，进而可求得的方程，容易得点的坐标，用两点之间的距离公式即可求得的长度.【详解】根据题意，作图如下：由题可知，点，故直线的方程为，联立抛物线方程可得，解得或因为点在第一象限，故可得.又因为准线方程为，故可得.则直线的方程为，令，解得，即可得.故.故选：B.【点睛】本题考查抛物线中线段长度的求解，关键是要逐步求解出点的坐标即可. 5. 设i为虚数单位，则复数的虚部为(A)1 (B)i (C)-1 (D)-i参考答案：A略6. 如果执行右面的框图，输入N＝2011，则输出的数等于（）A.2010×＋2B.2011×－2C.2010×＋2D.2011×－2参考答案：A7. 如果命题“非或非”是假命题，则在下列各结论中正确的是（）① 命题“且”是真命题；② 命题“且”是假命题；③ 命题“或”是真命题；④ 命题“或”是假命题；A．① ③ B．② ④ C．②③ D．① ④参考答案：A8. 若数列满足，，则称数列为“梦想数列”。

2017-2018学年山东师大附中高考数学考前最后一卷（文科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分．共50分．1．已知集合M={x||x﹣1|≤2}，N={x|≥1}，则M∩N等于（）A．[﹣1，3] B．（﹣1，3] C．[﹣1，4] D．（﹣1，4]2．已知i为虚数单位，a∈R，若为纯虚数，则复数z=（2a+1）+i的模为（）A．B．C．D．3．已知函数，若f（1）=f（﹣1），则实数a的值等于（）A．1 B．2 C．3 D．44．：“若a2+b2=0，则a=0且b=0”的逆否是（）A．若a2+b2=0，则a=0且b≠0 B．若a2+b2≠0，则a≠0或b≠0C．若a=0且b=0，则a2+b2≠0 D．若a≠0或b≠0，则a2+b2≠05．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（）A．B．C．D．6．下列说法中正确的个数为（）①若样本数据x1，x2，…，x n的平均数=5，则样本数据2x1+1，2x2+1，…，2x n+1的平均数为10②将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数与方差均没有变化③采用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加活动，学号为5，16，27，38，49的同学均被选出，则该班学生人数可能为60．A．0 B．1 C．2 D．37．函数f（x）=sinx•ln（x+1）的图象大致为（）A．B．C．D．8．若函数f（x）=sin（ωx+）的图象向右平移个单位后与原函数的图象关于x轴对称，则ω的最小正值是（）A．B．1 C．2 D．39．执行如图所示的程序框图，若输入K=5，则输出的S是（）A．18 B．50 C．78 D．30610．设函数，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[﹣1.2]=﹣2，[1.2]=1，[1]=1，若直线y=kx+k（k＞0）与函数y=f（x）的图象恰有三个不同的交点，则k的取值范围是（）A．B． C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．在△ABC中，若asinA+bsinB﹣csinC=asinB．则角C等于．12．设x，y满足约束条件，则目标函数z=2x﹣y的取值范围为．13．在区间[1，2]上随机取一个数r，则使得圆x2+y2=r2与直线x+y+2=0存在公共点的概率为．14．四边形ABCD中，AC⊥BD且AC=2，BD=3，则•的最小值为．15．设F 1、F 2是双曲线（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，P 是双曲线右支上一点，满足（）=0（O 为坐标原点），且3||=4||，则双曲线的离心率为 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．已知函数f （x ）=sin 2x +2sinxcosx +sin （x +）sin （x ﹣），x ∈R ．（Ⅰ）求f （x ）的最小正周期和单调增区间； （Ⅱ）若x=x 0（0≤x 0≤）为f （x ）的一个零点，求cos2x 0的值．17．某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米（精确到0.1米）以上的为合格．数据分成6组画出频率分布直方图的一部分（如图），已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30．第6小组的频数是7．（Ⅰ）求这次铅球测试成绩合格的人数； （Ⅱ）若参加测试的学生中9人成绩优秀，现要从成绩优秀的学生中，随机选出2人参加“毕业运动会”，已知学生a 、b 的成绩均为优秀，求两人a 、b 至少有1人入选的概率．18．如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，AB ∥EF ，矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1． （1）求证：AF ⊥平面CBF ；（2）设FC 的中点为M ，求证：OM ∥平面DAF ；（3）设平面CBF 将几何体EFABCD 分成的两个锥体的体积分别为V F ﹣ABCD ，V F ﹣CBE ，求V F ﹣ABCD ：V F ﹣CBE ．19．用部分自然数构造如图的数表：用a ij （i ≥j ）表示第i 行第j 个数（i ，j ∈N +），使得a i1=a ii =i ．每行中的其他各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和，a （i+1）j =a i （j ﹣1）+a ij （i ≥2，j ≥2）．设第n （n ∈N +）行的第二个数为b n （n ≥2）．（1）写出第7行的第三个数；（2）写出b n+1与b n的关系并求b n（n≥2）；（3）设c n=2（b n﹣1）+n，证明： +++…+＜．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，以椭圆的短半轴为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆的右焦点F的直线l1与椭圆交于A、B，过F与直线l1垂直的直线l2与椭圆交于C、D，与直线l3：x=4交于P；①求证：直线PA、PF、PB的斜率k PA，k PF，k PB成等差数列；②是否存在常数λ使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|成立，若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．21．已知函数（a∈R）在其定义域内有两个不同的极值点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）记两个极值点分别为x1，x2，且x1＜x2．已知λ＞0，若不等式恒成立，求λ的范围．2016年山东师大附中高考数学考前最后一卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分．共50分．1．已知集合M={x||x﹣1|≤2}，N={x|≥1}，则M∩N等于（）A．[﹣1，3] B．（﹣1，3] C．[﹣1，4] D．（﹣1，4]【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合M，N，由此能求出利用交集的性质能求出M∩N．【解答】解：∵集合M={x||x﹣1|≤2}={x|﹣1≤x≤3}，N={x|≥1}={x|﹣1＜x≤4}，∴M∩N={x|﹣1＜x≤3}=（﹣1，3]．故选：B．2．已知i为虚数单位，a∈R，若为纯虚数，则复数z=（2a+1）+i的模为（）A．B．C．D．【考点】复数求模．【分析】根据复数的基本运算，即可得到结论．【解答】解：==，若为纯虚数，则，解得a=，则z=（2a+1）+i=z=2+i，则复数z=（2a+1）+i的模为，故选：C3．已知函数，若f（1）=f（﹣1），则实数a的值等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【分析】由分段函数f（x），我们易求出f（1），f（﹣1）的值，进而将式子f（1）=f（﹣1）转化为一个关于a的方程，结合指数的函数的值域，及分段函数的解析式，解方程即可得到实数a的值．【解答】解：∵函数，∴f（﹣1）=2，f（1）=a，若f（1）=f（﹣1），∴a=2，故选B．4．：“若a2+b2=0，则a=0且b=0”的逆否是（）A．若a2+b2=0，则a=0且b≠0 B．若a2+b2≠0，则a≠0或b≠0C．若a=0且b=0，则a2+b2≠0 D．若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0【考点】四种间的逆否关系．【分析】根据“若p，则q”的逆否是“若￢q，则￢p”，写出它的逆否即可．【解答】解：“若a2+b2=0，则a=0且b=0”的逆否是：“若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0”．故选：D．5．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．根据三视图看到方向，可以确定三个识图的形状，判断答案．【解答】解：∵相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．∴其正视图和侧视图是一个圆，∵俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上∴俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，故选：B6．下列说法中正确的个数为（）①若样本数据x1，x2，…，x n的平均数=5，则样本数据2x1+1，2x2+1，…，2x n+1的平均数为10②将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数与方差均没有变化③采用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加活动，学号为5，16，27，38，49的同学均被选出，则该班学生人数可能为60．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】的真假判断与应用．【分析】①根据样本平均数之间的关系进行判断，②根据样本平均数和方差的定义和性质进行判断．③根据系统抽样的定义，判断班级人数为55，进行判断．【解答】解：①若样本数据x1，x2，…，x n的平均数=5，则样本数据2x1+1，2x2+1，…，2x n+1的平均数为2+1=2×5+1=11，故①错误，②将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数发生变化，方差没有变化，故②错误③采用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加活动，学号为5，16，27，38，49的同学均被选出，则样本间隔为16﹣5=11，则则该班学生人数可能为11×5=55人，故③错误，故正确的为0个，故选：A．7．函数f（x）=sinx•ln（x+1）的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据函数值的符号即可判断，当当﹣1＜x＜0时，f（x）＞0，故排除C，D，当x=0时，f（0）=0，故排除B，问题得以解决．【解答】解：f（x）=sinx•ln（x+1）的定义域为x＞﹣1，当﹣1＜x＜0时，sinx＜0，ln（x+1）＜0，所以f（x）＞0，故排除C，D，当x=0时，sin0=0，ln（0+1）=0，所以f（0）=0，故排除B，故选：A．8．若函数f（x）=sin（ωx+）的图象向右平移个单位后与原函数的图象关于x轴对称，则ω的最小正值是（）A．B．1 C．2 D．3【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【分析】先根据函数的平移法则求出把已知函数的图象向右平移个单位所得的函数，然后由已知y=sin（ωx+﹣）与f（x）=sin（ωx+）的图象关于x轴对称可得sin（ωx+）=﹣sin（ωx+﹣），解方程可得ω，进而求最小值【解答】解：根据函数的平移法则可得，把已知函数的图象向右平移个单位的函数y=sin（ωx+﹣）与f（x）=sin（ωx+）的图象关于x轴对称则有sin（ωx+）=﹣sin（ωx+﹣），解方程可得，ω=6k+3，k∈Z，故当k=0时ω的最小值为：3．故选D．9．执行如图所示的程序框图，若输入K=5，则输出的S是（）A．18 B．50 C．78 D．306【考点】程序框图．【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件n≥5，跳出循环体，确定输出S的值．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=1，S=0，K=5执行循环体，S=2，n=2不满足条件n≥5，执行循环体，S=6，n=3不满足条件n≥5，执行循环体，S=2，n=4不满足条件n≥5，执行循环体，S=18，n=5满足条件n≥5，退出循环，输出S的值为18．故选：A．10．设函数，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[﹣1.2]=﹣2，[1.2]=1，[1]=1，若直线y=kx+k（k＞0）与函数y=f（x）的图象恰有三个不同的交点，则k的取值范围是（）A．B． C．D．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】画图可知f（x）就是周期为1的函数，且在[0，1）上是一直线y=x的对应部分的含左端点，不包右端点的线段，要有三解，只需直线y=kx+k过点（3，1）与直线y=kx+k 过点（2，1）之间即可．【解答】解：∵函数，∴函数的图象如下图所示：∵y=kx+k=k（x+1），故函数图象一定过（﹣1，0）点若f（x）=kx+k有三个不同的根，则y=kx+k与y=f（x）的图象有三个交点当y=kx+k过（2，1）点时，k=，当y=kx+k过（3，1）点时，k=，故f（x）=kx+k有三个不同的根，则实数k的取值范围是故选D二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．在△ABC中，若asinA+bsinB﹣csinC=asinB．则角C等于．【考点】正弦定理．【分析】根据正弦定理和余弦定理将条件进行化简即可得到结论．【解答】解：∵asinA+bsinB﹣csinC=asinB．∴由正弦定理可得a2+b2﹣c2=ab，∴由余弦定理可得cosC==，∵0＜C＜π，∴C=．故答案为：．12．设x，y满足约束条件，则目标函数z=2x﹣y的取值范围为[﹣1，2] ．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：可行域对应的区域如图：当直线y=2x﹣z经过C时，目标函数最小，当经过A 时最大；其中C（0，1），由得到A（1，0），所以目标函数z=2x﹣y的最小值为2×0﹣1=﹣1，最大值为2×1﹣0=2；故目标函数z=2x﹣y的取值范围为[﹣1，2]；故答案为：[﹣1，2]．13．在区间[1，2]上随机取一个数r，则使得圆x2+y2=r2与直线x+y+2=0存在公共点的概率为2﹣．【考点】几何概型．【分析】利用圆心到直线的距离小于等于半径可得到直线与圆有公共点，可求出满足条件的k，最后根据几何概型的概率公式可求出所求【解答】解：圆x2+y2=r2的圆心为（0，0），圆心到直线x+y+2=0的距离为，要使圆x2+y2=r2与直线x+y+2=0存在公共点，则r，∴在区间[1，2]上随机取一个数r，使圆x2+y2=r2与直线x+y+2=0存在公共点的概率为；故答案为：．14．四边形ABCD中，AC⊥BD且AC=2，BD=3，则•的最小值为﹣．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】通过建立坐标系，设C（a，0），D（0，b），利用数量积的坐标运算得出数量积关于a，b的函数，求出函数的最小值．【解答】解：设AC与BD交点为O，以O为原点，AC，BD为坐标轴建立平面直角坐标系，设C（a，0），D（0，b），则A（a﹣2，0），B（0，b﹣3），∴=（2﹣a，b﹣3），=（﹣a，b）．∴=a（a﹣2）+b（b﹣3）=（a﹣1）2+（b﹣）2﹣．∴当a=1，b=时，•取得最小值﹣．故答案为：﹣．15．设F1、F2是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P是双曲线右支上一点，满足（）=0（O为坐标原点），且3||=4||，则双曲线的离心率为5．【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用双曲线的定义，结合条件可得|PF1|=8a，|PF2|=6a，再由（）=0，可得|OP|=|OF2|，得到∠F1PF2=90°，由勾股定理及离心率公式，计算即可得到．【解答】解：由于点P在双曲线的右支上，则由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|=|PF2|，解得|PF1|=8a，|PF2|=6a，由（）=0，即为（）•（﹣）=0，即有2=2，则△PF1F2中，|OP|=|OF2|=|OF1|，则∠F1PF2=90°，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，即有64a2+36a2=4c2，即有c=5a，即e==5．故答案为：5三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+sin（x+）sin（x﹣），x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调增区间；（Ⅱ）若x=x0（0≤x0≤）为f（x）的一个零点，求cos2x0的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；复合三角函数的单调性．【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换可求得f（x）=2sin（2x﹣）+，利用正弦函数的周期性与单调性即可求得f（x）的最小正周期和单调增区间；（Ⅱ）由f（x0）=2sin（2x0﹣）+=0，得sin（2x0﹣）=﹣＜0，0≤x0≤，可得﹣≤2x0﹣≤0，于是可求得cos（2x0﹣）的值，利用两角和的余弦即可求得答案．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sin2x+sin2x+（sin2x﹣cos2x）=+sin2x﹣cos2x，=sin2x﹣cos2x+=2sin（2x﹣）+，∴f（x）的周期为π，由﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ得：﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z．∴f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ， +kπ]k∈Z．（Ⅱ）由f（x0）=2sin（2x0﹣）+=0，得sin（2x0﹣）=﹣＜0，又由0≤x0≤得﹣≤2x0﹣≤，∴﹣≤2x0﹣≤0，故cos（2x0﹣）=，此时cos2x0=cos[（2x0﹣）+]=cos（2x0﹣）cos﹣sin（2x0﹣）sin=×﹣（﹣）×=17．某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米（精确到0.1米）以上的为合格．数据分成6组画出频率分布直方图的一部分（如图），已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30．第6小组的频数是7．（Ⅰ）求这次铅球测试成绩合格的人数； （Ⅱ）若参加测试的学生中9人成绩优秀，现要从成绩优秀的学生中，随机选出2人参加“毕业运动会”，已知学生a 、b 的成绩均为优秀，求两人a 、b 至少有1人入选的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图． 【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图求出第6小组的频率，即可求出总人数，继而求出这次铅球测试成绩合格的人数，（Ⅱ）设成绩优秀的9人分别为a ，b ，c ，d ，e ，f ，g ，h ，k ，一一列举出所有的基本事件，找到其中a 、b 到少有1人入选的情况有15种，根据概率公式计算即可． 【解答】解：（Ⅰ）第6小组的频率为1﹣（0.04+0.10+0.14+0.28+0.30）=0.14，∴此次测试总人数为（人）．∴第4、5、6组成绩均合格，人数为（0.28+0.30+0.14）×50=36（人）．（Ⅱ）设成绩优秀的9人分别为a ，b ，c ，d ，e ，f ，g ，h ，k ，则选出的2人所有可能的情况为：ab ，ac ，ad ，ae ，af ，ag ，ah ，ak ；bc ，bd ，be ，bf ，bg ，bh ，bk ；cd ，ce ，cf ，cg ，ch ，ck ；de ，df ，dg ，dh ，dk ；ef ，eg ，eh ，ek ；fg ，fh ，fk ；gh ，gk ；hk ． 共36种，其中a 、b 到少有1人入选的情况有15种，∴a 、b 两人至少有1人入选的概率为．18．如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，AB ∥EF ，矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1． （1）求证：AF ⊥平面CBF ；（2）设FC 的中点为M ，求证：OM ∥平面DAF ；（3）设平面CBF 将几何体EFABCD 分成的两个锥体的体积分别为V F ﹣ABCD ，V F ﹣CBE ，求V F ﹣ABCD ：V F ﹣CBE ．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】（1）可以先由平面ABCD ⊥平面ABEF 以及CB ⊥AB 证得CB ⊥平面ABEF ，⇒AF ⊥CB ．又因为AB 为圆O 的直径⇒AF ⊥BF ，就可证：AF ⊥平面CBF ；（2）取DF 的中点为N ，利用MN AO ⇒MNAO 为平行四边形⇒OM ∥AN 即可．既用线线平行来证线面平行．（3）先把两个锥体的体积套公式求出来，就可求出其体积之比． 【解答】解：（1）证明：由平面ABCD ⊥平面ABEF ，CB ⊥AB ， 平面ABCD ∩平面ABEF=AB ， 得CB ⊥平面ABEF ，而AF ⊂平面ABEF ，所以AF ⊥CB 又因为AB 为圆O 的直径， 所以AF ⊥BF ，又BF ∩CB=B ，所以AF ⊥平面CBF（2）证明：设DF 的中点为N ，连接AN ，MN则MNCD ，又AOCD则MN AO ，所以四边形MNAO 为平行四边形， 所以OM ∥AN ，又AN ⊂平面DAF ，OM ⊄平面DAF ， 所以OM ∥平面DAF ．（3）过点F 作FG ⊥AB 于G ，因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，所以FG ⊥平面ABCD ，所以因为CB ⊥平面ABEF ，所以所以V F ﹣ABCD ：V F ﹣CBE =4：1．19．用部分自然数构造如图的数表：用a ij （i ≥j ）表示第i 行第j 个数（i ，j ∈N +），使得a i1=a ii =i ．每行中的其他各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和，a （i+1）j =a i （j ﹣1）+a ij （i ≥2，j ≥2）．设第n （n ∈N +）行的第二个数为b n （n ≥2）． （1）写出第7行的第三个数；（2）写出b n+1与b n 的关系并求b n （n ≥2）； （3）设c n =2（b n ﹣1）+n ，证明：+++…+＜．【考点】数列与不等式的综合；归纳推理．【分析】（1）直接计算即得结论；（2）通过对b n+1=b n+n变形可知b n+1﹣b n=n，进而累加计算即得结论；（3）通过（2）可知c n=n2，放缩可知＜（﹣），进而累加计算即得结论．【解答】（1）解：第7行的第三个数为41；（2）解：由已知得b n+1=b n+n，∴当n≥2时，b3﹣b2=2，b4﹣b3=3，…，b n+1﹣b n=n，累加，得：b n+1﹣b2=2+3+4+…+n，∴b n+1=1+（1+2+3+4+…+n）=1+，∴；（3）证明：由（2），∵，∴=．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，以椭圆的短半轴为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆的右焦点F的直线l1与椭圆交于A、B，过F与直线l1垂直的直线l2与椭圆交于C、D，与直线l3：x=4交于P；①求证：直线PA、PF、PB的斜率k PA，k PF，k PB成等差数列；②是否存在常数λ使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|成立，若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）利用椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，可得e=，椭圆C的短半轴为半径的圆与直线x﹣y+=0相切，求得a，b的值，则椭圆方程可求；（2）①分直线AB的斜率存在和不存在讨论，当直线的斜率不存在时，可得直线PA、PF、PB的斜率k PA，k PF，k PB成等差数列；当直线的斜率存在时，设出直线AB的方程，和椭圆方程联立，由根与系数的关系得到A，B两点横坐标的和与积，再求出P的坐标，由k PA+k PB=2k PF得答案；②联立AB、CD所在直线方程与椭圆方程，由弦长公式求得|AB|、|CD|的长度，代入|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|即可求得λ的值．【解答】（1）解：∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，∴e=，∵椭圆C的短半轴为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．∴b=，则a2=b2+c2=4，∴椭圆C的方程为；（2）①证明：∵椭圆的左焦点F（1，0），当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x=1，联立直线方程和椭圆方程可得：A（1，），B（1，﹣），此时k PA与k PB互为相反数，则k PA，k PF，k PB成等差数列；当直线AB的斜率存在时，设过其右焦点F的直线AB的方程为：y=k（x﹣1），k≠0，CD的直线方程为y=，由方程组，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1•x2=，在CD的方程中，取x=4，得y=﹣，∴P（4，），则k PA+k PB=====．综上，k PA、k PF、k PB成等差数列；②解：∵椭圆的左焦点F（1，0），设过其右焦点F的直线AB的方程为：y=k（x﹣1），k≠0，由方程组，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1•x2=，由弦长公式得|AB|==，同理设C（x3，y3），D（x4，y4），|CD|=，∵|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，∴λ====．∴存在λ=，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立．21．已知函数（a∈R）在其定义域内有两个不同的极值点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）记两个极值点分别为x1，x2，且x1＜x2．已知λ＞0，若不等式恒成立，求λ的范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）由导数与极值的关系知可转化为方程f′（x）=lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根；再转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，或转化为函数与函数y=a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点；或转化为g（x）=lnx﹣ax有两个不同零点，从而讨论求解；（Ⅱ）可化为1+λ＜lnx1+λlnx2，结合方程的根知1+λ＜ax1+λax2=a（x1+λx2），从而可得；而，从而化简可得，从而可得恒成立；再令，t∈（0，1），从而可得不等式在t∈（0，1）上恒成立，再令，从而利用导数化恒成立问题为最值问题即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），方程f′（x）=0在（0，+∞）有两个不同根；即方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根；（解法一）转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，如右图．可见，若令过原点且切于函数y=lnx图象的直线斜率为k，只须0＜a＜k．令切点A（x0，lnx0），故，又，故，解得，x0=e，故，故．（解法二）转化为函数与函数y=a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点．又，即0＜x＜e时，g′（x）＞0，x＞e时，g′（x）＜0，故g（x）在（0，e）上单调增，在（e，+∞）上单调减．=g（e）=；故g（x）极大又g（x）有且只有一个零点是1，且在x→0时，g（x）→﹣∞，在在x→+∞时，g（x）→0，故g（x）的草图如右图，可见，要想函数与函数y=a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，只须．（解法三）令g（x）=lnx﹣ax，从而转化为函数g（x）有两个不同零点，而（x＞0），若a≤0，可见g′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，所以g（x）在（0，+∞）单调增，此时g（x）不可能有两个不同零点．若a＞0，在时，g′（x）＞0，在时，g′（x）＜0，所以g（x）在上单调增，在上单调减，从而=，又因为在x→0时，g（x）→﹣∞，在在x→+∞时，g（x）→﹣∞，＞0，即，所以．于是只须：g（x）极大综上所述，．（Ⅱ）因为等价于1+λ＜lnx1+λlnx2．由（Ⅰ）可知x1，x2分别是方程lnx﹣ax=0的两个根，即lnx1=ax1，lnx2=ax2所以原式等价于1+λ＜ax1+λax2=a（x1+λx2），因为λ＞0，0＜x1＜x2，所以原式等价于．又由lnx1=ax1，lnx2=ax2作差得，，即．所以原式等价于，因为0＜x1＜x2，原式恒成立，即恒成立．令，t∈（0，1），则不等式在t∈（0，1）上恒成立．令，又=，当λ2≥1时，可见t∈（0，1）时，h′（t）＞0，所以h（t）在t∈（0，1）上单调增，又h（1）=0，h（t）＜0在t∈（0，1）恒成立，符合题意．当λ2＜1时，可见t∈（0，λ2）时，h′（t）＞0，t∈（λ2，1）时h′（t）＜0，所以h（t）在t∈（0，λ2）时单调增，在t∈（λ2，1）时单调减，又h（1）=0，所以h（t）在t∈（0，1）上不能恒小于0，不符合题意，舍去．综上所述，若不等式恒成立，只须λ2≥1，又λ＞0，所以λ≥1．2016年7月29日。

2018年高三数学预测及最后一讲一、填空题：2018年填空题8-14题总体难度过大. 2018年会控制难度，减少3-4道难题，按6道容易题+6道中等题+2道难题的要求命制.填空题只填结果而不要过程，这个结果可以象做解答题那样，由逻辑推理，计算而得到（演绎推理）. 但由于不要过程，也可将一般情形特殊化后再求结果（类比推理)，还可从个别事实中归纳出一般性的结论（归纳推理），所以解填空题的基本策略是要在“准”、“巧”、“快”上下功夫巧；解题的要领是：快——运算要快，力戒小题大作；稳——变形要稳，不可操之过急；全——答案要全，力避残缺不齐；活——解题要活，不要生搬硬套；细——审题要细，不能粗心大意.常用的方法有：①直接法，②特例法，③合理猜想法，④图象法. 数学填空题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断。

解题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整. 合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求.【解法推介】（一）、直接法这是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果.例1．设,)1(,3)1(j m i b i i m a -+=-+=其中i ，j 为互相垂直的单位向量，又)()(b a b a -⊥+，则实数m = .（二）、特殊化法当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的不定量用特殊值特殊值（或特殊函数，或特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等）代替，即可以得到正确结果.例2．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 。

若a 、b 、c 成等差数列，则=++CA C A cos cos 1cos cos .例3.一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为1h ，2h ，h ，则12::h h h =___________.例4．坐标原点为O ，抛物线22y x =与过焦点的直线交于A 、B 两点，则OA OB ∙=34- . （三）、数形结合法对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果.例5．如果不等式x a x x )1(42->-的解集为A ，且}20|{<<⊆x x A ，那么实数a 的取值范围是 .例6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若410S ≥，515S ≤，则5a 的最大值为________.（四）、等价转化法通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”，将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果.例7．不等式23+>ax x 的解集为（4，b ），则a= ，b=例8.下列表中的对数值有且仅有一个是错误的：请将错误的一个改正为lg = ．（五）、归纳猜想法例9．已知()1(1)()1f nf nf n-+=+(n∈N*)，2)1(=f，则f（2018）= _______（六）、几种开放型填空题1：开放型填空题之多选型填空题例10．若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基量”。

2018高考文科数学收官课第一篇．2018圆锥曲线高考说明`第二篇．解析几何在解答题中的学科特色(),y M M x x =3(),y N N x 第三篇 方法论之弦长面积问题题型一：弦长问题斜率存在12AB x x =- （适用于直线上任意两点间距离）AB = （直线与椭圆交于两点的弦长）12AB y y =-题型二：三角形面积问题（底乘高型） y kx m =+ d PH==12ABP S AB d =⋅△1121212ABF S F F y y =⋅-△ 1212y y k x x -=⋅-题型三：平行四边形面积 1y kx m =+ 2y kx m =+d CH ==ABCD S AB d =⋅=△ 题型四：三角形面积问题（利用公式法转化面积）111sin sin sin 222S ab C ac B bc A ===△PMN PAB S S =△△11sin sin 22PA PB APB PM PN MPN ⋅∠=⋅∠ PA PNPM PB=第四篇北京高考真题分析与探究通过直线和圆锥曲线的位置关系的解答题，重点考查：1．对“设而不求”和“整体代入”的理解和运用；2．函数与方程、数形结合、分类思考等数学思想方法；3．运算能力、逻辑推理能力及分析问题和解决问题的能力．特点：需思考，要运算高考真题分析2013北京文：直线y kx m =+()0m ≠与椭圆W ：2214x y +=相交于A 、C 两点，O 为坐标原点．（1）当点B 的坐标为()0,1，且四边形OABC 为菱形时，求AC 的长． （2）当点B 在W 上且不是W 的顶点时，证明：四边形OABC 不可能为菱形． 分析：1．由题知直线AC 存在，可设为y kx m =+与椭圆联立；2．AC 中点M 的坐标，由四边形为菱形可得OM 垂直AC 得到k 与m 的关系；解：假设存在点B 在W 上且不是W 的顶点时满足题意，则有：由题知直线AC 存在，可设为y kx m =+ ．．．．．．．．．．6分2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩⇒ ()222148440k x kmx m +++-= ．．．．．．．．．．8分设11(,)A x y ，22(,)C x y ，则有：1224214x x km k +=-+，121222214y y x x mk m k ++=⋅+=+ ．．．．．．．．．．10分 M 224,1414km m k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，14OM k k =- ．．．．．．．．．．11分11144OM AC k k k k ⎛⎫⋅=⋅-=-≠- ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．13分 故假设不成立所以，当点B 在W 上且不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能为菱形． ．．．．14分2014北京文：已知椭圆C ：2224x y += （1）求椭圆C 的离心率．（2）设O 为坐标原点，若点B 在椭圆上，点A 在直线2y =上，且O A O B ⊥，求线段AB长度的最小值．考点：点B 随着点A 的变化而变化，当点在椭圆上移动时，问线段AB 长度的最值问题．注意：椭圆上只有一个动点哦！ 分析：思路：通过OA OB ⊥可以将点B 的横坐标用点A 的坐标表示，从而AB 的长度为关于点A 的坐标的式子，通过点A 的坐标满足椭圆方程将距离化为单变量的问题，从而通过函数或者均值可求最值．解：设()00,A x y ，(),2B t ，则220024x y +=， ．．．．．．．．．．5分OA OB OA OB ⊥⇒⋅ ，0000220y tx y t x +=⇒=-．．．．．．．．．．7分()()()22222000000222y AB x t y x y x ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭ ．．．．．．．．．．8分()222220000022004844042y x x y x x x =+++=++<≤ ．．．．．．．．．．10分 ()22002084042x x x +<≥≤，当且仅当204x =时取等号． ．．．．．．．．．．12分28AB AB ⇒≥≥ ．．．．．．．．．．14分2015北京文：已知椭圆C ：2233x y +=,过点()0,1D 且不过点()2,1E 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，直线AE 与直线3x =交于点M ． （1）求椭圆C 的离心率；（2）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；（3）试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由．思路分析：在圆锥曲线解答题中：（1）直线间的位置关系常见的有平行和垂直两种 （2）注意作出图像直观感受，猜想证明．解：由题意可知：设直线AB 的方程为AB l ，则AB l ：y kx k =-，2213x y y kx k ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩⇒ ()()2222316330k x k x k +-+-= ．．．．．．．．．．9分0∆>设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有： 2122631k x x k +=+21223331k x x k -=+ ．．．．．．．．．．10分AE l :()11122y y x x --=--1113,12y M x ⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭．．．．．．．．．．11分 11211221111221133BM DE y kx k y x x k k x x ---+-+---=-=--- ()()()()()()1212121223123k x x k x x k x x -+-+--=--()()()()()12121212323k x x x x x x --++-=-- ．．．．．．．．．．12分∴()()()2222123361233131023BMDEk k k k k k k x x ⎛⎫⎛⎫---+- ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭-==-- ．．．．．．．．．．13分 ∴BMDE k k BM DE =⇒∥（,BM DE 不重合） ．．．．．．．．．．14分2016北京文：已知椭圆C :22221x y a b+=过点()2,0A ,()0,1B 两点．（1）求椭圆C 的方程及离心率．（2）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ．直线PB 与X 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．思路分析：定值问题：椭圆上只有一个点在动，将四边形面积转化为关于椭圆上动点的坐标问题求解．注意：椭圆上只有一个点在动哦！解：设()2222000000,1444x P x y y x y ⇒+=⇒+= ．．．．．．．．．．6分 002PAy k x =- ⇒ ()00002:20,22PAy y l y x M x x ⎛⎫-=-⇒ ⎪--⎝⎭．．．．．．．．．．7分 001PBy k x -= ⇒ 00001:1,01PB y x l y x N x y ⎛⎫--=++⇒ ⎪-⎝⎭．．．．．．．．．．8分 12ABMN S BM AN =⋅ （中心式，即为得出结论之前的表达式） 0000022211x x y AN y y +-=+=-- 00000222122y x y BM x x +-=+=-- ．．．．．．．．．．10分 ()22000000000044484112222ABMNx y x y x y S BM AN x y x y ++--+=⋅⋅=⋅--+ ．．．．．．．．．．11分 00000000448812222x y x y x y x y --+=⋅=--+ ．．．．．．．．．．13分 故四边形ABNM 的面积为定值，定值为2． ．．．．．．．．．．14分2017北京文：已知椭圆C 的两个顶点分别为()2,0A -，()2,0B ，焦点在x． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点,M N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E ．求证：BDE △与BDN △的面积之比为4:5． 思路分析：定比问题：椭圆上只有一个点在动，其余点从动，则将三角形面积比转化为相似三角形对应边之比， 再转化为关于椭圆上动点坐标的斜率问题进行求解．注意：椭圆上只有一个点在动哦！解：连接BM ，过E 作AB 的垂线，垂足为F ，如下图：设()()00,022D x x -<<，()00,M x y ， 则2000200012244AM BMy y y k k x x x ⋅=⋅==-+-- ．．．．．．．．．．．6分 1DE AM k k ⋅=-，故4DE BM k k = ．．．．．．．．．．．7分 又根据椭圆的对称性，有BM BE k k =-，因此4DE BE k k =-（*） ．．．．．．．．．．．8分 因为tan DE EF k EDF DF =∠=，tan BE EFk EBF BF=-∠=- ．．．．．．．．．．9分 代入（*）式得：4BF DF = ．．．．．．．．．．．10分因此45BF BD =，又//EF MN ．．．．．．．．．．11分 故由三角形相似比，45BE BF BN BD == ．．．．．．．．．．．13分 因此45BDE BDNSBE SBN ==，证明完毕． ．．．．．．．．．．14分计算能力在圆锥曲线中的体现：1.利用两点求斜率，利用点斜式求直线方程；2.直线与椭圆联立方程组，韦达定理、判别式 ；3.消参过程、整体代入：4．求面积、弦长的最值问题分析：结合近五年高考试题来看，有两年主要是结合韦达定理就能做的题目，有三年倾向于用坐标法去进行求解，尤其是2014年的那道题目，考查了通过椭圆上一点的变化引起的其他量的变化．而从考查的题型来看，考查了弦长面积问题、中点垂直对称问题、定值问题、共线问题2018模拟题已知椭圆C 的两个焦点为12(1,0),(1,0)F F -，离心率为12． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设点A 是椭圆C 的右顶点，过点1F 的直线与椭圆C 交于,P Q 两点，直线,AP AQ 与直线4x =-分别交于M 、N 两点． 求证：点1F 在以MN 为直径的圆上．解：（Ⅰ）由题意，设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>> ，则222112c c a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩得2,a b ==所以椭圆方程为221.43x y += ．．．．．．．．．．．．．4分 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得(2,0)A ．当直线PQ 不存在斜率时，可得33(1,),(1,)22P Q ---直线AP 方程为()122y x =--，令4,x =-得(4,3)M -,同理，得(4,3)N --．所以()()113,3,3,3F M F N =-=--, 得110F M F N ⋅=．所以190MF N∠=︒,1F 在以MN 为直径的圆上．当直线PQ 存在斜率时，设PQ 方程为()1y kx =+ ，()11,y x P 、()22,yx Q ．由()221143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()22223484120k x k x k +++-=． 显然0∆>,221212228412,3434k k x x x x k k-+=-=++,直线AP 方程为11(2)2y y x x =--，得116(4,)2y M x --- , 同理， 226(4,)2y N x ---． 所以12111266(3,),(3,)22y y F MF N x x --=-=---． 121112369(2)()y y F M F N x x ⋅=+--2因为()()11221,1y k x y k x =+=+所以2121212123636(1)(1)(2)()(2)()y y k x x x x x x ++----=22 ()()212121212222222222223612()441283436()3441216121634936369k x x x x x x x x k k k k k k k k k k k +++=-++--+++=-++++-⋅==- 所以110F M F N⋅=所以90MFN ∠=︒,F 在以MN 为直径的圆上．综上，F 在以MN 为直径的圆上． ．．．．．．．．．．．．14分已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为，以椭圆C 的任意三个顶点为顶点的三角形的面积是 （1）求椭圆C 的方程．（2）设A 是椭圆C 的右顶点，点B 在x 轴上．若椭圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，求点B横坐标的取值范围．解：（1）设椭圆C 的半焦距为c ．依题意，得c a =ab =222a b c =+．解得 2a =，b =∴椭圆C 的方程为22142x y +=． ．．．．．．．．．．．．4分 （2）“椭圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=”等价于“存在不是椭圆左、右顶点的点P ，使得0PA PB −−→−−→⋅=成立”． 依题意，(2,0)A ．设(,0)B t ，(,)P m n ，则()222422mn m +=-<<，(2,)PA m n =--，(,)PB t m n =--∴(2,)(,)0PA PB m n t m n ⋅=--⋅--=，即 2(2)()0m t m n --+=．将 2242m n -=代入上式，得 2(2)()204m m t m ---+=． ∵ 22m -<<， ∴ 202mt m +-+=， 即 22m t =+． ∴ 2222t -<+<， 解得 20t -<<，∴ 点B 横坐标的取值范围是(2,0)-． ．．．．．．．．．．．．14分高考预测题1．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>，双曲线2222:1x y C a b-=的焦点坐标为1(2,0)F -，2(2,0)F 且一条渐近线的倾斜角为π6． （I ）求椭圆1C 的标准方程；（II ）设与坐标轴不平行的直线l 与椭圆1C 交于,A B 两点，若在,A B 两点处的切线相交于点P ，且P 在以12F F 为直径的圆上，试探究P 与以AB 为直径的圆的关系，并加以证明．解：（I ）由题意，224a b +=，且πtan 6b a ==．．．．．．．．．．．2分所以1a b ==． ．．．．．．．．．．．3分 221:13x C y +=． ．．．．．．．．．．．4分 （II ）P 在以AB 为直径的圆上，证明如下： ．．．．．．．．．．．5分设()00,P x y ，于是22004x y +=．设过点P 的一条直线的方程为00()y y k x x -=-． ．．．．．．．．．．．7分与椭圆方程联立得：0022()13y y k x x x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有：即2220000(31)6()3()30k x k kx y x kx y +--+--=． ．．．．．．．．．．．8分 若直线与椭圆相切，则判别式0∆=，即2222000036()4(31)3()30k kx y k kx y ⎡⎤--+--=⎣⎦．整理成一个关于k 的方程，即()222000036122412120x k kx y y -+-+=．．．．．10分若203x =，则201y =，易知，PA PB ⊥． ．．．．．．．．．．．11分 若否，则由韦达定理，220012220012123612136123612y x k k x x -+-+===---．．．．．．．．．．．．13分 由于12,k k 恰为直线,PA PB 的斜率，故仍有PA PB ⊥．因此P 在以AB 为直径的圆上． ．．．．．．．．．．．14分2．已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的两个焦点与一个短轴端点构成等边三角形，此三角（I ）求椭圆的方程；（II ）过点(4,0)A 的直线1l 与椭圆交于,B C 两点，过椭圆右焦点F 的直线2l 与椭圆交于,M N 两点，且+40AB AC FM FN ⋅⋅=，证明：若1l 与2l 相交，则交点必在定直线上．解：（I）由已知可得：b =，122b c ⋅⋅=．．．．．．．．．．．2分21c ∴=，23b =，24a =， ．．．．．．．．．．．3分 椭圆方程为22143x y +=． ．．．．．．．．．．．4分 （II ）直线1l 与椭圆交于,B C 两点，此时斜率存在，设直线1l ：()4y kx =-，B C ，坐标为()11,x y ，()22,x y ， ．．．．．．．．．．．6分 联立方程：()221434x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，()22224+33264120k x k x k -+-=， 0∆>21223243k x x k ∴+=+，2122641243k x x k -=+ ．．．．．．．．．．．7分 ()()()()()()21212121222222224414416361641232=1416434343AB AC x x y y k x x x x k k k k k k k ∴⋅=--+=+--++⎛⎫-+-⋅+= ⎪+++⎝⎭当直线2l 的斜率不存在时，此时直线为1x =，,M N 的坐标为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，94FM FN ⋅=-，()2223619+4904343k AB AC FM FN k k +⋅⋅=-=≠++， 此时不满足条件，故直线2l 的斜率存在． ．．．．．．．．．．．9分设直线1l ：()11y k x =-，M N ，坐标为()33,x y ，()44,x y ，联立方程：()2211431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，()22221114+384120k x k x k -+-=， 0∆>213421843k x x k ∴+=+，21342141243k x x k -=+， ．．．．．．．．．．．11分()()()()()()23434134342221211122211111=11914128=11434343FM FN x x y y k x x x x k k k k k k k ⋅=--++--++⎛⎫-+-+=-⎪+++⎝⎭()()221221361361+404343k k AB AC FM FN k k ++∴⋅⋅=-=++， ．．．．．．．．．．．13分 解方程：221k k =，又两直线相交，1k k ≠，10k k ∴+=，此时1l 与2l 的交点必在AF 的垂直平分线52x =上． ．．．．．．．．．．．14分课后小练：1．已知椭圆2222:1(0)x y W a b a b +=>>的离心率为，其左顶点A 在圆22:4O x y +=上（O 为坐标原点）． （I ）求椭圆W 的方程； (II) 过点A 作直线AQ 交椭圆W 于另外一点Q ，交y 轴于点R ．P 为椭圆W 上一点,且//OP AQ ，求证：2AQ AR OP⋅为定值．2．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为(1,0)F ，离心率为12． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）,A B 是椭圆C 在y 轴右侧部分上的两个动点，若原点O 到直线AB，证明：△ABF 的周长为定值．3．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长为4，离心率为12，过右焦点F 且不与坐标轴垂直的直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，设点(,0)P m ，记直线PM ，PN 的斜率分别为1k ，2k ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）若120k k +=，求m 的值．4．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，且过点1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭． （1）求椭圆C 的方程．（2）过椭圆C 的左焦点的直线1l 与椭圆C 交于,A B 两点，直线2l 过坐标原点且与直线1l 的斜率互为相反数．直线2l 与椭圆交于,E F 两点且均不与点,A B 重合，设直线AE 斜率为1k ，直线BF 斜率为2k ，证明：12k k +为定值．C考点趋势分析：1、通过高考真题探究，定量问题的考查依然是近年来的热点，并占有相当的比重，并且2018年高考说明将样题改为2014年真题——通过椭圆上一点的变化引起的其他量的变化，考查直线与圆的位置关系的定量关系，这也预示着北京高考在圆锥曲线部分考法的变化趋势——在侧重分析的基础上考查学生转化问题的能力和计算能力；2、根据最近各区模拟题的考法以及我对高考说明的解读，结合以上高考真题规律的探究，我认为，今年高考依然会以定量关系作为命题点，考查椭圆的几何性质，但考法会稍有变化，即有可能以直线与椭圆联立考查设而不求的解题方法．但在问题设置方面会以探究形式出现，考查学生的分析能力、问题的转化能力以及计算能力．。

2018冲刺高考最后1卷文科数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：求出集合的补集，利用一元二次不等式的解法化简集合，利用并集的定义可得结果.详解：因为，所以，又因为，，故选A.点睛：本题主要考查解一元二次不等式，求集合的补集与并集，属于容易题，在解题过程中要注意在求补集与并集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时将不等式与集合融合，体现了知识点之间的交汇.2. 已知是虚数单位，复数的共轭复数为，若，则（）A. B. C. 或 D. 或【答案】D【解析】分析：由求出，利用可得结果.详解：由，可得，，故选D.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3. 阅读下面的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为，则输出的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】第一次，能被3整除，不成立，第二次，8不能被3整除，不成立，第三次，不能被3整除成立，输出故选C4. 设为向量，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】分析：“”可得，由“”可得向量夹角为或，利用充分不必要的定义可得结果.详解：由，得，即或，，由，得向量与同向或反向，或，，“”是“”的充分必要条件，故选C.点睛：判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.5. 函数在区间内的图像大致为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：根据奇偶性排除；根据时函数值为正排除；根据函数零点排除，从而可得结果.详解：函数定义域为，其关于原点对称，且，则为奇函数，又图象关于原点对称，排除；当时，，排除；又，可得或，排除，故选B.点睛：本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.6. 在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示. 如果小正方形网格的边长为，那么该四面体的体积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由三视图可得该几何体为三棱锥，底面为等腰直角三角形，一个侧面与底面垂直，结合三视图中数据，利用棱锥的体积公式可得结果.详解：由三视图还原的几何体如图所示，该几何体为三棱锥，侧面为等腰三角形，且平面平面，，底面为直角三角形，，棱锥的高为，该四面体的体积，故选B.点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.7. 观察下图：则第（）行的各数之和等于.A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据图形中数据，归纳可得第行各数之和，从而可得结果.详解：由图形知，第一行各数和为；第二行各数和为；第三行各数和为；第四行各数和为，第行个数之和为，令，解得，故选D.点睛：归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳. 8. 已知是球表面上的点，平面，则球的表面积等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由题意得，因为平面，，所以四面体的外接球半径等于以长宽高分别为三边长的长方体的外接球的半径，又因为，所以，所以球的表面积为，故选A.考点：球的内接多面体；球的表面积公式.【方法点晴】本题主要考查了球的内接多面体，球的表面积公式的应用，其中根据已知条件求出球的直径（半径）是解答本题的关键，属于中档试题，着重考查了转化与化归的思想方法及空间想象能力，本题的解答中由平面，，转化为四面体的外接球半径等于以长宽高分别为三边长的长方体的外接球的半径，从而求解球的半径，即可求解球的表面积.9. 如图所示，点分别在轴与轴的正半轴上移动，且，若点从移动到，则的中点经过的路程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：设的中点，由，可得，根据的变化规律求出从变到，从而可得结果.详解：设的中点，，，当点从移动到时，从变到，圆心角变化经过的路程为，故选D.点睛：本题主要考查直接法求轨迹方程、弧长公式的应用，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.10. 设集合，若动点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用线性规划知识，画出所表示的区域，就是区域内点到距离的平方，根据平面几何知识可得结果.详解：在同一直角坐标系中画出集合所在区域，取交集后可得所表示的区域如图中阴影部分所示，而表示的是中的点到的距离，由图可知，到直线的距离最小，为；到的距离最大，为，所以范围是，故选C.点睛：本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.11. 已知函数，若函数存在零点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：函数存在零点，等价于方程存在实数根，即函数与的图象有交点，画出函数图象，利用数形结合可得结果.详解：函数存在零点，即方程存在实数根，即函数与的图象有交点，如图所示，直线恒过定点，过点与的直线的斜率，设直线与相切于，则切点处的导数值为，则过切点的直线方程为，又切线过，则，，得，此时切线的斜率为，由图可知，要使函数存在零点，则实数的取值范围是或，故选B.点睛：函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数有零点函数在轴有交点方程有根函数与有交点.12. 点在直线上，若存在过的直线交抛物线于两点，且，则称点为“点”.下列结论中正确的是（）A. 直线上的所有点都是“点”B. 直线上仅有有限个点是“点”C. 直线上的所有点都不是“点”D. 直线上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”【答案】A【解析】分析：设，由，可得，由在上，可得关于的方程，证明方程恒有解即可得结论详解：如图所示，设，因为，直线与抛物线相离，所以，，可得，在上，，消去，整理得，关于的方程，恒成立，方程恒有实数解，点在直线上，总存在过的直线交抛物线于两点，且，所以，直线上的所有点都是“点”，故选A.点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题定义“点”达到考查共线向量、直线与抛物线的位置关系的目.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 为了研究某班学生的脚长(单位:厘米)和身高（单位:厘米）的关系，从该班随机抽取名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为已知.该班某学生的脚长为，据此估计其身高为__________．【答案】【解析】分析：由，利用平均值公式求得样本中心点坐标，将其代入，可得的值，将再代人所求方程即可的结果.详解：由，利用平均值公式求得，因为，，从而当时，，故答案为.点睛：求回归直线方程的步骤：①确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.14. 从区间随机抽取个数，构成个数对，其中两数的平方和小于的数对共有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为__________．【答案】【解析】分析：根据随机模拟试验的性质以及几何概型概率公式列方程求解即可.详解：利用几何概型，可得四分之一圆形的面积和正方形的面积比为，故答案为.点睛：本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时, 忽视验证事件是否等可能性导致错误.15. 如图所示，地在地的正东方向处，地在地的北偏东方向处，河流的沿岸（曲线）上任意一点到的距离比到的距离远.现要再曲线上任一处建一座码头，向两地转运货物.经测算，从到和到修建公路的费用均为万元，那么修建这两条公路的总费用最低是__________万元.【答案】【解析】分析：以所在的直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，可得的轨迹方程为，根据双曲线的定义，结合平面几何知识，即可得结果.详解：以所在的直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，则，由知点的轨迹，即曲线的方程为，，修建这两条公路的总费用最低是万元，故答案为.点睛：本题主要考查利用定义求双曲线方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.16. 已知数列满足，则的值是__________．【答案】【解析】分析：设可得，数列是公比为的等比数列，从而可求得，利用分组求和，结合等比数列求和公式求解即可.详解：设，则，即，，故数列是公比为的等比数列，则，，，故答案为.点睛：本题主要考查等比数列的定义以及已知数列的递推公式求通项，属于中档题.由数列的递推公式求通项常用的方法有：（1）等差数列、等比数列（先根据条件判定出数列是等差、等比数列）；（2）累加法，相邻两项的差成等求和的数列可利用累加求通项公式；（3）累乘法，相邻两项的商是能求出积的特殊数列时用累乘法求通项；（4）构造法，形如的递推数列求通项往往用构造法，即将利用待定系数法构造成的形式，再根据等比数例求出的通项，进而得出的通项公式.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 的内角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若成等差数列，且的周长为，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）由,利用正弦定理可得，再由两角和的正弦公式结合诱导公式可得,从而可得结果；（2）由成等差数列，的周长为，可得，由余弦定理利用三角形面积公式可得结果.详解：（1）已知，由正弦定理得，即为的内角，.（2）成等差数列，，又的周长为，即，由余弦定理知.点睛：以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.18. 在如图所示的几何体中，为的中点，.（1）求证：；（2）若，求该几何体的体积.【答案】（1）见解析（2）4【解析】分析：（1）由可得共面，根据等腰三角形的性质可得，，由线面垂直的判定定理可得平面进而可得结果；（2）由（1）可知平面由勾股定理可得，从而可求出梯形的面积，利用棱锥的体积公式可得结果.详解：（1）与确定平面.连接的为的中点，.同理可得，又平面平面平面平面.（2）由（1）可知平面，又.在梯形中，取的中点，连接，则且四边形为平行四边形，且.又.点睛：解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.19. 某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题. 该企业为了检查生产该产品的甲、乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值.若该项质量指标值落在内，则为合格品，否则为不合格品.表 1是甲流水线样本的频数分布表，如图所示是乙流水线样本的频率分布直方图.表1 甲流水线样本的频数分布表质量指标值频数（1）若将频率视为概率，某个月内甲、乙两条流水线均生产了万件产品，则甲、乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件？（2）在甲流水线抽取的样本的不合格品中随机抽取两件，求两件不合格品的质量指标值均偏大的概率；（3）根据已知条件完成下面列联表，并判断在犯错误概率不超过的前提下能否认为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两条流水线的选择有关”？甲生产线乙生产线合计合格品不合格品合计附：（其中为样本容量）【答案】（1）7200，14400（2）（3）不能认为【解析】分析：（1）由甲流水线样本的频数分布表求得甲不合格品的概率，由乙流水线样本的频率分布直方图可得乙不合格品的概率，根据概率与总产品数的乘积可得结果；（2）在甲流水线抽取的样本中，不合格品共有件，其中质量指标值偏小的有件，利用列举法，根据古典概型概率公式可得两件不合格品的质量指标值均偏大的概率；（3）完成列联表，根据列联表中数据，利用公式求得，从而可得结果.详解：（1）由甲、乙两条流水线各抽取的件产品可得，甲流水线生产的不合格品有件，则甲流水线生产的产品为不合格品的概率，乙流水线生产的产品为不合格品的概率.于是，若某个月内甲、乙两条流水线均生产了万件产品，则甲、乙两条流水线生产的不合格品件数分别为（件），（件）.（2）在甲流水线抽取的样本中，不合格品共有件，其中质量指标值偏小的有件，记为；质量指标值偏大的有件，记为，则从中任选件有共种结果，其中质量指标值都偏大有种结果.故所求概率为.（3）列联表如下：甲生产线乙生产线合计合格品不合格品合计则，所以在犯错误概率不超过的前提下不能认为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两条流水线的选择有关”.点睛：本题主要考查频率分布直方图、古典概型概率公式以及独立性检验，属于难题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3) 查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）20. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，短轴长为.（1）求椭圆的标准方程；（2）设为椭圆的左顶点，为椭圆上位于轴上方的点，直线交轴于点，点在轴上，且，设直线交椭圆于另一点，求的面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）根据离心率为，短轴长为，结合性质，列出关于、、的方程组，求出、、，即可求得椭圆的标准方程；（2）联立消解得或，则，同理可得，的面积.详解：（1）由题意得，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）由题可设直线的方程为，则，又且，所以，所以直线的方程为，则，联立消去并整理得，解得或，则，直线的方程为，同理可得，所以关于原点对称，即过原点，所以的面积，当且仅当，即时，等号成立，所以的面积的最大值为.点睛：求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于的方程组，解出，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.21. 已知函数（为常数）.（1）若函数与函数在处有相同的切线，求实数的值；（2）当时，，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）求出，根据，即可得，即；（2）设，则对恒成立.，，且，即符合题意，当时，分两种情况讨论①，②，分别利用导数研究函数的单调性，可得到不合题意，从而可得结果.详解：（1）由题意得，又，且函数与在处有相同的切线，，则，即.（2）设，则对恒成立. ，且，即.另一方面，当时，记，则.当时，在内为减函数，当时，，即在内为减函数，当时，恒成立，符合题意.当时，①若，则对恒成立，在内为增函数，当时，恒成立，不符合题意.②若，令，则在内为增函数，当时，，即在内为增函数，当时，，不符合题意，综上所述.点睛：本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程为（为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线上的点按坐标变换得到曲线，以原点为极点、轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于两点，与曲线交于两点，求的值.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）曲线的参数方程消去参数可得其普通方程，利用可得极坐标方程，由得代入得从而可得曲线的直角坐标方程；（2）将代入，可得，直线的参数方程为（为参数），代入，根据韦达定理以及直线参数方程的几何意义可得，从而可得结果.详解：（1）已知曲线的参数方程为（为参数），消去参数得.又，即曲线的极坐标方程为.又由已知得代入得曲线的直角坐标方程为.（2）将代入，得.又直线的参数方程为（为参数），代入，整理得，分别记两点对应的参数为，则.点睛：参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）当时，解不等式；（2），求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）对分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果；（2）因为，所以可得，从而可得结果.详解：（1）当时，，即或或解得或或，故此不等式的解集为.（2）因为，因为，有成立，所以只需，化简得，解得或，所以的取值范围为.点睛：绝对值不等式的常见解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。

2018年安徽省合肥一中高考数学最后一卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合S={x|x>−2}，T={x|x2+3x−4≤0}，则(∁R S)∪T=( )A.(−2, 1]B.(−∞, −4]C.(−∞, 1]D.[1, +∞)【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】先根据一元二次不等式求出集合T，然后求得∁R S，再利用并集的定义求出结果．【解答】解：∵集合S={x|x>−2}，∴∁R S={x|x≤−2}，T={x|x2+3x−4≤0}={x|−4≤x≤1}，故(∁R S)∪T={x|x≤1}.故选C．2. 已知a∈R，i是虚数单位，复数z的共轭复数为z，若z=a+√3i,z∗z=4，则a=()A.√3B.−√3C.√7或−√7D.1或−1【答案】D【考点】复数的运算【解析】推导出(a+√3i)(a−√3i)=a2−3i2=4，由此能求出a的值．【解答】∵a∈R，i是虚数单位，复数z的共轭复数为z，z=a+√3i,z∗z=4，∴(a+√3i)(a−√3i)=a2−3i2=4，解得a=1或a=−1．3. 阅读下面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为( )A.0B.1C.2D.3【答案】 C【考点】 程序框图 【解析】根据程序框图，进行模拟计算即可． 【解答】解：第一次N =24，能被3整除，N =243=8≤3不成立，第二次N =8，8不能被3整除，N =8−1=7，N =7≤3不成立， 第三次N =7，不能被3整除，N =7−1=6，N =63=2≤3成立， 输出N =2. 故选C .4. 设a →，b →为向量，则|a →⋅b →|=|a →||b →|是“a → // b →”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】 C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 平行向量的性质 【解析】利用向量的数量积公式得到 a →⋅b →=|a →||b →|cosθ，根据此公式再看|a →⋅b →|=|a →||b →|与a → // b →之间能否互相推出，利用充要条件的有关定义得到结论． 【解答】解：因为a →⋅b →=|a →||b →|cosθ，若a ，b 为零向量，显然成立；若|a→⋅b→|=|a→||b→|⇒cosθ=±1则a→与b→的夹角为零角或平角，即a→ // b→，故充分性成立．而a→ // b→，则a→与b→的夹角为零角或平角，有|a→⋅b→|=|a→||b→|．因此|a→⋅b→|=|a→||b→|是a→ // b→的充分必要条件．故选C．5. 函数y=sinx(1+cos2x)在区间[−2, 2]上的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】B【考点】函数的图象变化【解析】求得函数为奇函数，图象关于原点对称，排除D；再由0<x<1，y>0，以及y=0的根，即可得到正确结论．【解答】函数y=sinx(1+cos2x)，定义域为[−2, 2]关于原点对称，且f(−x)=sin(−x)(1+cosx)=−sinx(1+cosx)=−f(x)，则f(x)为奇函数，图象关于原点对称，排除D；由0<x<1时，y=sinx(1+cos2x)=2sinxcos2x>0，排除C；又2sinxcos2x=0，可得x=±π2(0<x≤2)，则排除A，B正确．6. 在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示．如果小正方形网格的边长为1，那么该四面体的体积是（）A.323B.16 C.643D.32【答案】A【考点】由三视图求体积【解析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为三棱锥，侧面PAC为等腰三角形，且平面PAC⊥平面ABC，PA=PC，底面ABC为直角三角形，AB=AC=4，然后由棱锥体积公式求解．【解答】由三视图还原原几何体如图：该几何体为三棱锥，侧面PAC为等腰三角形，且平面PAC⊥平面ABC，PA=PC，底面ABC为直角三角形，AB=AC=4，∴该四面体的体积是V=13×12×4×4×4=323．7. 观察图，则第几行的各数之和等于20172()A.2017B.2015C.1008D.1009【答案】D【考点】归纳推理【解析】由题意及所给的图形找准其排放的规律，利用等差数列的通项及其前n项和公式即可求解．【解答】由题意及所给的数据排放规律如下：①第一行一个数字就是1；第二行3个数字，构成以2为首项，以1为公差的等差数列；第三行5个数字，构成以3为首项，以1为公差的等差数列…②第一行的最后一项为1；第二行的最后一项为4；第三行的最后一项为7…③所给的图形中的第一列构成以1为首项，以1为公差的等差数列；④有图形可以知道第n行构成以n为首项，以1为公差的等差数列，有等差数列的通项公式给以知道第n行共2n−1个数；由以上的规律及等差数列的知识可以设第n行的所有数的和为20172，列出式为n(2n−1)+(2n−1)(2n−2)2=2017×2017∴n=10098. 已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC=√2，则球O的表面积等于（）A.4πB.3πC.2πD.π【答案】A【考点】球的体积和表面积直线与平面垂直【解析】先寻找球心，根据S，A，B，C是球O表面上的点，则OA＝OB＝OC＝OS，根据直角三角形的性质可知O为SC的中点，则SC即为直径，根据球的面积公式求解即可．【解答】∵已知S，A，B，C是球O表面上的点∴OA＝OB＝OC＝OS＝1又SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC=√2，∴球O的直径为2R＝SC＝2，R＝1，∴表面积为4πR2＝4π．9. 点A，B分别在x轴与y轴的正半轴上移动，且AB=2，若点A从(√3,0)移动到(√2,0)，则AB中点D经过的路程为（）A.π6B.π12C.π4D.π3【答案】B【考点】轨迹方程【解析】首先设出求出中点的轨迹是以原点为圆心半径为1的圆，然后求出点D和点D′的坐标，再由弧长公式得出结果．【解答】设AB的中点为O(x, y)，则A(2x, 0)，B(0, 2y)，∵AB=2∴(2x)2+(2y)2=4即x2+y2=1所以中点是以原点为圆心半径为1的圆∵点A从(√3, 0)移动到(√2, 0)，∴D(√32,12) D′(√22,√22)，tan∠D′OA=1，tan∠DOA=√33，∴∠D′OD=π12，∴DD′^为中点走过的路径，∴l=π12×1=π12．10. 设集合A={(x, y)||x|+|y|≤1}，B={(x, y)|(y−x)(y+x)≤0}，M=A∩B，若动点P(x, y)∈M，则x2+(y−1)2的取值范围是（）A.[12,52brack B.[√22,52brackC.[12,√102brack D.[√22,√102brack【答案】A【考点】简单线性规划【解析】集合A={(x, y)||x|+|y|≤1}，B={(x, y)|(y−x)(y+x)≤0}，M=A∩B，可以画出其可行域，目标函数z=x2+(y−1)2表示可行域中的点到圆心(0, 1)距离的平方，从而进而求解；【解答】集合A={(x, y)||x|+|y|≤1}，B={(x, y)|(y−x)(y+x)≤0}，可以若x>0，−x≤y≤x；若x<0可得，x≤y≤−xM=A∩B，可以画出可行域M：目标函数z =x 2+(y −1)2表示可行域中的点到圆心(0, 1)距离的平方，由上图可知：z 在点A 或C 可以取得最小值，即圆心(0, 1)到直线y =x 的距离的平方， z min =d 2=(√2)2=12，z 在点B 或D 处取得最大值，z max =|0B|2=(√2)2+(√22)2=52，∴ 12≤z ≤52，11. 已知函数f(x)={−x 2−2x +1,−2≤x <0e x ,x ≥0 ，若函数g(x)=f(x)−ax +a 存在零点，则实数a 的取值范围为（ ） A.[−13,e 2]B.(−∞,−13]∪[e 2,+∞)C.[−13,1e ]D.(−∞,−13]∪[e,+∞)【答案】 B【考点】函数零点的判定定理 【解析】根据题意，把函数g(x)=f(x)−ax +a 存在零点转化为方程f(x)−ax +a =0存在实数根，也就是函数y =f(x)与y =a(x −1)的图象有交点，作出函数图象，数形结合得答案． 【解答】根据题意，函数g(x)=f(x)−ax +a 存在零点，即方程f(x)−ax +a =0存在实数根， 也就是函数y =f(x)与y =a(x −1)的图象有交点． 函数f(x)={−x 2−2x +1,−2≤x <0e x,x ≥0 的图象如图， 而直线y =a(x −1)恒过定点(1, 0)，过点(−2, 1)与(1, 0)的直线的斜率k =1−0−2−1=−13，设直线y =a(x −1)与y =e x 相切于(m, e m )，则切点处的导数值为e m ，则过切点的直线方程为y −e m =e m (x −m)，由切线过(1, 0)，则−e m=e m(1−m)，即me m=2em，解可得m=2，此时切线的斜率为e2，由图可知，要使函数g(x)=f(x)−ax+a存在零点，则实数a的取值范围为(−∞, −1)∪[e2, +∞)312. 点P在直线l:y=x−1上，若存在过P的直线交抛物线y=x2于A，B两点，且|PA|=|AB|，则称点P为“点”，那么下列结论中正确的是( )A.直线l上的所有点都是“点”B.直线l上仅有有限个点是“点”C.直线l上的所有点都不是“点”D.直线l上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”【答案】A【考点】直线与椭圆结合的最值问题中点坐标公式【解析】根据题设方程分别设出A，P的坐标，进而B的坐标可表示出，把A，B的坐标代入抛物线方程联立消去y，求得判别式大于0恒成立，可推断出方程有解，进而可推断出直线l 上的所有点都符合．【解答】解：如图，联立直线l与抛物线的方程得：x2−x+1=0,Δ=(−1)2−4=−3<0，∴ 直线与抛物线没有交点.设A(m,n),P(x,x −1),B(2m −x,2n −x +1)， 则有{n =m 2,2n −x +1=(2m −x)2,整理得x 2−(4m −1)x +2m 2−1=0，∴ Δ=(4m −1)2−4(2m 2−1)=8m 2−8m +5>0， 方程恒有实数解,∴ 点P 可以在直线l 上的任意位置. 故选A .二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为y ∧=b ∧x +a ∧．已知∑=i=110xi 225，∑=i=110yi 1600，b ∧=4．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高________． 【答案】 166【考点】求解线性回归方程 【解析】首先求出样本中心点，然后结合回归方程过样本中心点求得回归方程，最后利用回归方程的预测作用求解该班某学生的脚长为24的身高即可． 【解答】由题意可得：x =22510=22.5,y =160010=160，则数据的样本中心点(22.5, 160)，由回归直线方程样本中心点，则 a ^=y −b ^x =160−4×22.5=70，∴ 回归直线方程为 yˆ=4x +70， 当x =24时，yˆ=4×24+70=166， 则估计其身高为166，从区间[0, 2]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，…，(x n , y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为________． 【答案】 16mn【考点】模拟方法估计概率 【解析】根据题意，用几何概型的概率求出对应区域的面积比，即可求出圆周率π的表达式． 【解答】由题意，两数的平方和小于1，对应区域的面积为14π⋅12=π4；从区间[0, 2]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，…，(x n , y n )，对应区域的面积为22=4；∴mn =π44，解得π=16mn．如图所示，B地在A地的正东方向4km处，C地在B地的北偏东30∘方向2km处，河流的沿岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远2km．现要再曲线PQ上任一处M建一座码头，向B，C两地转运货物．经测算，从M到B和M到C修建公路的费用均为a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是________万元．【答案】(2√7−2)a【考点】轨迹方程【解析】以AB的中点为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，可得A(−2, 0)，B(2, 0)，C(3, √3)，由双曲线的定义可得M在以A，B为左右焦点的双曲线的右支上，修建这两条公路的总费用设为s万元，可得s=a(|MB|+|MC|)=a(|MA|+|MC|−2)，由三点共线可得最小值．【解答】由题意可得|AB|=4，以AB的中点为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，可得A(−2, 0)，B(2, 0)，C(3, √3)，河流的沿岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远2km，由|MA|−|MB|=2<|AB|，双曲线的定义可得M在以A，B为左右焦点的双曲线的右支上，其a′=1，c=2，b=ackslasℎackslasℎsrtc2−a′2=√3，方程为x2−y23=1(x>0)，修建这两条公路的总费用设为s万元，可得s=a(|MB|+|MC|)=a(|MA|+|MC|−2)≥a(|AC|−2)=(2√7−2)a，当且仅当A，M，C共线时，s取得最小值(2√7−2)a万元，已知数列{a n}满足a1=3,(3−a n+1)(6+a n)=18(n∈N∗)，则∑n i=11ai的值是________．【答案】13(2n+1−n−2)【考点】数列的求和 【解析】数列{a n }满足a 1=3,(3−a n+1)(6+a n )=18(n ∈N ∗)，化为：1an+1=2a n+13，变形为：1a n+1+13=2(1a n+13)，利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出． 【解答】数列{a n }满足a 1=3,(3−a n+1)(6+a n )=18(n ∈N ∗)， 化为：1an+1=2a n+13， 变形为：1an+1+13=2(1a n+13)，1a 1+13=23． ∴ 1a n+13=23×2n−1=13×2n ， 可得：1a n=13×2n −13，∴∑n i=11a i=13×2×(2n −1)2−1−n 3=13(2n+1−n −2)．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cosB(acosB +bcosA)=√3c ． （1）求B ；（2）若a ，b ，c 成等差数列，且△ABC 的周长为3√5，求△ABC 的面积． 【答案】∵ 2cosB(acosB +bcosA)=√3c ，由正弦定理得2cosB(sinAcosB +sinBcosA)=√3sinC ， 即2cosB ∗sin(A +B)=√3sinC ，∴ cosB =√32，∵ B 为△ABC 的内角，∴ B =π6．∵ a ，b ，c 成等差数列，∴ 2b =a +c ，又△ABC 的周长为3√5，即a +b +c =3√5，∴ b =√5，由余弦定理知b 2=a 2+c 2−2accosB =a 2+c 2−√3ac =(a +c)2−(2+√3)ac ， ∴ ac =2+√3，∴ S △ABC =12acsinB =12×15(2−√3)×12=15(2−√3)4．【考点】三角形求面积 【解析】（1）由正弦定理得cosB =√32，可得B =π6．（2）利用a ，b ，c 成等差数列及△ABC 的周长可得b =√5，由余弦定理知ac =2+3，即可求出得△ABC的面积．【解答】∵2cosB(acosB+bcosA)=√3c，由正弦定理得2cosB(sinAcosB+sinBcosA)=√3sinC，即2cosB∗sin(A+B)=√3sinC，∴cosB=√32，∵B为△ABC的内角，∴B=π6．∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，又△ABC的周长为3√5，即a+b+c=3√5，∴b=√5，由余弦定理知b2=a2+c2−2accosB=a2+c2−√3ac=(a+c)2−(2+√3)ac，∴ac=2+√3，∴S△ABC =12acsinB=12×15(2−√3)×12=15(2−√3)4．在如图所示的几何体ACBFE中，AB=BC，AE=EC，D为AC的中点，EF // DB．（1）求证：AC⊥FB；（2）若AB⊥BC,AB=4,AE=3,BF=√3,BD=2EF，求该几何体的体积．【答案】证明：∵EF // BD，∴EF与BD确定平面EFBD．连接DE，∵AE=EC，D为AC的中点，∴DE⊥AC．同理可得BD⊥AC，又∵BD∩DE=D，BD⊂平面EFBD，DE⊂平面EFBD，∴AC⊥平面BDEF，∵FB⊂平面EFBD，∴AC⊥FB；由（1）可知AC⊥平面BDEF，∴V ABCEF=V A−BDEF+V C−BDEF=13∗S BDEF∗AC，∵AB=BC，AB⊥BC，AB=4，∴BD=2√2,AC=4√2，又AE=3，∴DE=√AE2−AD2=1．在梯形BDEF中，取BD的中点M，连接MF，则EF // DM且EF=DM，∴四边形FMDE为平行四边形，∴FM // DE且FM=DE．又BF=√3，∴BF2=FM2+BM2，∴FM⊥BM,S梯形BDEF =12×(√2+2√2)×1=3√22，∴VABCEF =13×3√22×4√2=4．【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】（1）由条件利用等腰三角形的性质，证得BD⊥AC，DE⊥AC，再利用直线和平面垂直的判定定理证得AC⊥平面BDEF，从而证得AC⊥FB；（2）由（1）可知AC⊥平面BDEF，可得V ABCEF=V A−BDEF+V C−BDEF=13∗S BDEF∗AC，由已知求得梯形BDEF得面积及AC，代入棱锥体积公式可得多面体ABCEF的体积．【解答】证明：∵EF // BD，∴EF与BD确定平面EFBD．连接DE，∵AE=EC，D为AC的中点，∴DE⊥AC．同理可得BD⊥AC，又∵BD∩DE=D，BD⊂平面EFBD，DE⊂平面EFBD，∴AC⊥平面BDEF，∵FB⊂平面EFBD，∴AC⊥FB；由（1）可知AC⊥平面BDEF，∴V ABCEF=V A−BDEF+V C−BDEF=13∗S BDEF∗AC，∵AB=BC，AB⊥BC，AB=4，∴BD=2√2,AC=4√2，又AE=3，∴DE=√AE2−AD2=1．在梯形BDEF中，取BD的中点M，连接MF，则EF // DM且EF=DM，∴四边形FMDE为平行四边形，∴FM // DE且FM=DE．又BF=√3，∴BF2=FM2+BM2，∴FM⊥BM,S梯形BDEF =12×(√2+2√2)×1=3√22，∴VABCEF =13×3√22×4√2=4．某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题．该企业为了检查生产该产品的甲、乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值．若该项质量指标值落在[195,210)内，则为合格品，否则为不合格品．下表是甲流水线样本的频数分布表，如图是乙流水线样本的频率分布直方图．甲流水线样本的频数分布表质量指标值频数[190,195)2[195,200)13[200,205)23[205,210)8[210,215)4乙流水线样本的频数分布直方图（1）若将频率视为概率，某个月内甲、乙两条流水线均生产了6万件产品，则甲、乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件？（2）在甲流水线抽取的样本的不合格品中随机抽取两件，求两件不合格品的质量指标值均偏大的概率；（3）根据已知条件完成下面2×2列联表，并判断在犯错误概率不超过0.1的前提下能否认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两条流水线的选择有关？甲生产线乙生产线合计合格品不合格品合计K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)（其中n=a+b+c+d为样本容量）【答案】解：（1）由甲、乙两条流水线各抽取的50件产品可得，甲流水线生产的不合格品有6件，则甲流水线生产的产品为不合格品的概率P 甲=650=325，乙流水线生产的产品为不合格品的概率P 乙=(0.016+0.032)×5=625．于是，若某个月内甲、乙两条流水线均生产了6万件产品，则甲、乙两条流水线生产的不合格品件数分别为60000×325=7200（件），60000×625=14400（件）．（2）在甲流水线抽取的样本中，不合格品共有6件，其中质量指标值偏小的有2件，记为A，B；质量指标值偏大的有4件，记为C，D，E，F，则从中任选2件有AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF共15种结果，其中质量指标值都偏大有CD，CE，CF，DE，DF，EF共6种结果．故所求概率P=615=25．（3）2×2列联表如下：甲生产线乙生产线合计合格品443882不合格品61218合计5050100则K2=100×(44×12−38×6)282×18×50×50≈2.439<2.706，所以在犯错误概率不超过0.1的前提下不能认为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两条流水线的选择有关”．【考点】独立性检验【解析】此题暂无解析【解答】解：（1）由甲、乙两条流水线各抽取的50件产品可得，甲流水线生产的不合格品有6件，则甲流水线生产的产品为不合格品的概率P 甲=650=325，乙流水线生产的产品为不合格品的概率P 乙=(0.016+0.032)×5=625．于是，若某个月内甲、乙两条流水线均生产了6万件产品，则甲、乙两条流水线生产的不合格品件数分别为60000×325=7200（件），60000×625=14400（件）．（2）在甲流水线抽取的样本中，不合格品共有6件，其中质量指标值偏小的有2件，记为A，B；质量指标值偏大的有4件，记为C，D，E，F，则从中任选2件有AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF共15种结果，其中质量指标值都偏大有CD，CE，CF，DE，DF，EF共6种结果．故所求概率P=615=25．（3）2×2列联表如下：甲生产线乙生产线合计合格品443882不合格品61218合计5050100则K2=100×(44×12−38×6)282×18×50×50≈2.439<2.706，所以在犯错误概率不超过0.1的前提下不能认为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两条流水线的选择有关”．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，短轴长为4√2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设A 为椭圆C 的左顶点，P 为椭圆C 上位于x 轴上方的点，直线PA 交y 轴于点M ，点N 在y 轴上，且MF →⋅FN →=0，设直线AN 交椭圆C 于另一点Q ，求△APQ 的面积的最大值． 【答案】由题意得{ca =√222b =4√2a 2=b 2+c 2，解得{a =4b =2√2c =2√2 ， 所以椭圆C 的标准方程为x 216+y 28=1．由题可设直线PA 的方程为y =k(x +4)，k >0，则M(0, 4k)， 又F(2√2,0)且MF →⋅FN →=0， 所以MF ⊥FN ， 所以直线FN 的方程为y =2√24k(x −2√2)，则N(0,−2k )，联立{y =k(x +4)x 2+2y 2=16 消去y 并整理得(1+2k 2)x 2+16k 2x +32k 2−16=0， 解得x 1=−4或x 2=4−8k 21+2k 2，则P(4−8k 21+2k 2,8k1+2k 2)， 直线AN 的方程为y =−12k (x +4)， 同理可得Q(8k 2−41+2k2,−8k 1+2k 2)，所以P ，Q 关于原点对称，即PQ 过原点，所以△APQ 的面积S =12OA ⋅|y P −y Q |=2⋅16k 1+2k 2=322k+1k≤8√2，当且仅当2k =1k ，即k =√22时，等号成立， 所以△APQ 的面积的最大值为8√2． 【考点】 椭圆的离心率 【解析】 （1）由题意得{ca=√222b =4√2a 2=b 2+c 2，解出即可得出椭圆C 的标准方程（2）由题可设直线PA 的方程为y =k(x +4)，k >0，则M(0, 4k)，根据MF →⋅FN →=0，可得MF ⊥FN ，可得直线FN 的方程为y =2√24k(x −2√2)，N(0,−2k )，联立{y =k(x +4)x 2+2y 2=16 ，可得(1+2k 2)x 2+16k 2x +32k 2−16=0，解出可得P 坐标．直线AN 的方程为y =−12k (x +4)，同理可得Q(8k 2−41+2k2,−8k 1+2k 2)，可得P ，Q 关于原点对称，即PQ 过原点，可得△APQ 的面积S ，再利用不等式的性质即可得出． 【解答】由题意得{ca =√222b =4√2a 2=b 2+c 2，解得{a =4b =2√2c =2√2 ， 所以椭圆C 的标准方程为x 216+y 28=1．由题可设直线PA 的方程为y =k(x +4)，k >0，则M(0, 4k)， 又F(2√2,0)且MF →⋅FN →=0， 所以MF ⊥FN ， 所以直线FN 的方程为y =2√24k(x −2√2)，则N(0,−2k )，联立{y =k(x +4)x 2+2y 2=16 消去y 并整理得(1+2k 2)x 2+16k 2x +32k 2−16=0， 解得x 1=−4或x 2=4−8k 21+2k，则P(4−8k 21+2k ,8k 1+2k )，直线AN 的方程为y =−12k (x +4)， 同理可得Q(8k 2−41+2k2,−8k 1+2k 2)，所以P ，Q 关于原点对称，即PQ 过原点，所以△APQ 的面积S =12OA ⋅|y P −y Q |=2⋅16k 1+2k 2=322k+1k≤8√2，当且仅当2k =1k ，即k =√22时，等号成立， 所以△APQ 的面积的最大值为8√2．已知函数f(x)=xlnx ，g(x)=λ(x 2−1)（λ为常数）．（1）若函数y =f(x)与函数y =g(x)在x =1处有相同的切线，求实数λ的值；（2）当x ≥1时，f(x)≤g(x)，求实数λ的取值范围． 【答案】由题意得f ′(x)=lnx +1，g ′(x)=2λx ，又f(1)=g(1)=0，且函数y =f(x)与y =g(x)在x =1处有相同的切线， ∴ f ′(1)=g ′(1)，则2λ=1，即λ=12．设ℎ(x)=f(x)−g(x)=xlnx −λ(x 2−1)，则ℎ(x)≤0对∀x ∈[1, +∞)恒成立． ∵ ℎ′(x)=1+lnx −2λx ，且ℎ(1)=0，∴ ℎ′(1)≤0，即1−2λ≤0，∴ λ≥12． 另一方面，当λ≥12时，记φ(x)=ℎ′(x)，则φ′(x)=1x −2λ=1−2λx x．当x ∈[1, +∞)时，φ′(x)≤0，∴ φ(x)在[1, +∞)内为减函数，∴ 当x ∈[1, +∞)时，φ(x)≤φ(1)=1−2λ≤0，即ℎ′(x)≤0， ∴ ℎ(x)在[1, +∞)内为减函数，∴ 当x ∈[1, +∞)时，ℎ(x)≤ℎ(1)=0恒成立，符合题意．当λ<12时，①若λ≤0，则ℎ′(x)=1+lnx −2λx ≥0对∀x ∈[1, +∞)恒成立，∴ ℎ(x)在[1, +∞)内为增函数，∴ 当x ∈[1, +∞)时，ℎ(x)≥ℎ(1)=0恒成立，不符合题意．②若0<λ<12，令φ′(x)>0，则1<x <12λ， ∴ φ(x)在(1,12λ)内为增函数，∴ 当x ∈(1,12λ)时，φ(x)>φ(1)=1−2λ>0，即ℎ′(x)>0， ∴ ℎ(x)在(1,12λ)内为增函数，∴ 当x ∈(1,12λ)时，ℎ(x)>ℎ(1)=0，不符合题意， 综上所述λ≥12．【考点】利用导数研究函数的最值 【解析】（1）根据题意，求出f(x)与g(x)的导数，由导数的几何意义可得f ′(1)=g ′(1)，则2λ=1，解可得λ的值，即可得答案；（2）根据题意，设ℎ(x)=f(x)−g(x)=xlnx −λ(x 2−1)，则原问题可以转化为ℎ(x)≤0对∀x ∈[1, +∞)恒成立，求出ℎ(x)的导数，利用导数与函数单调性的关系，分析可得答案． 【解答】由题意得f ′(x)=lnx +1，g ′(x)=2λx ，又f(1)=g(1)=0，且函数y =f(x)与y =g(x)在x =1处有相同的切线， ∴ f ′(1)=g ′(1)，则2λ=1，即λ=12．设ℎ(x)=f(x)−g(x)=xlnx −λ(x 2−1)，则ℎ(x)≤0对∀x ∈[1, +∞)恒成立． ∵ ℎ′(x)=1+lnx −2λx ，且ℎ(1)=0，∴ ℎ′(1)≤0，即1−2λ≤0，∴ λ≥12． 另一方面，当λ≥12时，记φ(x)=ℎ′(x)，则φ′(x)=1x−2λ=1−2λx x．当x ∈[1, +∞)时，φ′(x)≤0，∴ φ(x)在[1, +∞)内为减函数， ∴ 当x ∈[1, +∞)时，φ(x)≤φ(1)=1−2λ≤0，即ℎ′(x)≤0， ∴ ℎ(x)在[1, +∞)内为减函数，∴ 当x ∈[1, +∞)时，ℎ(x)≤ℎ(1)=0恒成立，符合题意．当λ<12时，①若λ≤0，则ℎ′(x)=1+lnx −2λx ≥0对∀x ∈[1, +∞)恒成立，∴ ℎ(x)在[1, +∞)内为增函数，∴ 当x ∈[1, +∞)时，ℎ(x)≥ℎ(1)=0恒成立，不符合题意．②若0<λ<12，令φ′(x)>0，则1<x <12λ，∴ φ(x)在(1,12λ)内为增函数，∴ 当x ∈(1,12λ)时，φ(x)>φ(1)=1−2λ>0，即ℎ′(x)>0， ∴ ℎ(x)在(1,12λ)内为增函数，∴ 当x ∈(1,12λ)时，ℎ(x)>ℎ(1)=0，不符合题意， 综上所述λ≥12．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]已知曲线C 1的参数方程为{x =cosαy =√3sinα （α为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线C 1上的点按坐标变换{x ′=32x +2√3y ′=√3y +2得到曲线C 2，以原点为极点、x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程；（2）若直线θ=π3(ρ∈R)与曲线C 1交于M ，N 两点，与曲线C 2交于P ，Q 两点，求|MN||PQ|的值． 【答案】已知曲线C 1的参数方程为{x =2cosαy =√3sinα （α为参数），消去参数α得x 24+y 23=1．又x =ρcosθ，y =ρsinθ，∴ 3ρ2cos 2θ+4ρ2sin 2θ=12， ∴ 曲线C 1的极坐标方程为ρ2(3+sin 2θ)=12． 又由已知{x ′=32x +2√3y ′=√3y +2 ，得{x =23(x ′−2√3)y =√3′−2) ， 代入x 24+y 23=1，得(x ′−2√3)29+(y ′−2)29=1，∴ 曲线C 2的直角坐标方程为(x −2√3)2+(y −2)2=9． 将θ=π3，代入ρ2(3+sin 2θ)=12，得ρ2=165，∴ ρ=±4√55，∴ |MN|=8√55．又直线的参数方程为{x =12ty =√32t （t 为参数），代入(x −2√3)2+(y −2)2=9， 整理得t 2−4√3t +7=0，分别记P ，Q 两点对应的参数为t 1，t 2，则{t 1+t 2=4√3t 1∗t 2=7∴ |PQ|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=2√5，∴ |MN||PQ|=45．【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】（1）曲线C 1的参数方程消去参数α得x 24+y 23=1．由x =ρcosθ，y =ρsinθ，得曲线C 1的极坐标方程为ρ2(3+sin 2θ)=12．由{x ′=32x +2√3y ′=√3y +2 ，得{x =23(x ′−2√3)y =√3′−2) ，代入x 24+y 23=1，能求出曲线C 2的直角坐标方程．（2）将θ=π3，代入ρ2(3+sin 2θ)=12，得ρ2=165，从而|MN|=8√55．直线的参数方程为{x =12t y =√32t代入(x −2√3)2+(y −2)2=9，得t 2−4√3t +7=0，由此能求出|MN||PQ|的值．【解答】已知曲线C 1的参数方程为{x =2cosαy =√3sinα（α为参数）， 消去参数α得x 24+y 23=1．又x =ρcosθ，y =ρsinθ，∴ 3ρ2cos 2θ+4ρ2sin 2θ=12，∴ 曲线C 1的极坐标方程为ρ2(3+sin 2θ)=12．又由已知{x ′=32x +2√3y ′=√3y +2 ，得{x =23(x ′−2√3)y =√3′−2) ， 代入x 24+y 23=1，得(x ′−2√3)29+(y ′−2)29=1，∴ 曲线C 2的直角坐标方程为(x −2√3)2+(y −2)2=9．将θ=π3，代入ρ2(3+sin 2θ)=12，得ρ2=165，∴ ρ=±4√55，∴ |MN|=8√55． 又直线的参数方程为{x =12t y =√32t （t 为参数），代入(x −2√3)2+(y −2)2=9， 整理得t 2−4√3t +7=0，分别记P ，Q 两点对应的参数为t 1，t 2，则{t 1+t 2=4√3t 1∗t 2=7∴ |PQ|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=2√5， ∴ |MN||PQ|=45．[选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)=|x −a|+|x +2|．（1）当a =1时，解不等式f(x)≥4；（2）∃x 0∈R ，f(x 0)≤|2a +1|，求a 的取值范围．【答案】当a =1时，不等式f(x)≥4，即{x <−2−2x −1≥4 或{−2≤x ≤13≥4 或{x >12x +1≥4． 解得x ≤−52或x ∈⌀或x ≥32，故此不等式的解集为(−∞,−52]∪[32,+∞)．因为f(x)=|x −a|+|x +2|≥|(x −a)−(x +2)|=|a +2|， 因为∃x 0∈R ，有f(x 0)≤|2a +1|成立，所以只需|a +2|≤|2a +1|，化简得a 2−1≥0，解得a ≤−1或a ≥1，所以a 的取值范围为(−∞, −1]∪[1, +∞)．【考点】绝对值不等式的解法与证明【解析】（1）通过对x 的范围的“分类讨论”，去掉绝对值符号，分别解不等式． （2）可得f(x)=|x −a|+|x +2|≥|(x −a)−(x +2)|=|a +2|，只需|a +2|≤|2a +1|，化简得a 2−1≥0，解得a ≤−1或a ≥1，即可．【解答】当a =1时，不等式f(x)≥4，即{x <−2−2x −1≥4 或{−2≤x ≤13≥4 或{x >12x +1≥4． 解得x ≤−52或x ∈⌀或x ≥32，故此不等式的解集为(−∞,−52]∪[32,+∞)．因为f(x)=|x −a|+|x +2|≥|(x −a)−(x +2)|=|a +2|， 因为∃x 0∈R ，有f(x 0)≤|2a +1|成立，所以只需|a +2|≤|2a +1|，化简得a 2−1≥0，解得a ≤−1或a ≥1，所以a 的取值范围为(−∞, −1]∪[1, +∞)．。

山东师大附中2018届高三最后一次模考文科数学参考公式：样本数据x 1，x 2，…x n 的标准差：S=1n［2212()()x x x x -+-+…2()n x x +-］，其中x 为样本的平均数.锥体体积公式：V =13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高.球的表面积、体积公式：2344ππ,3S R V R ==,其中R 为球的半径. 本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考试结束后，将答题纸和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题60分）注意事项： 1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座号和准考证号填写在答题卡和试卷规定的位置。

2.第I 卷共2页。

答题时，考生需用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

在试卷上作答无效。

一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设z=1-i(i 为虚数单位)，则z 2+2z=( ) A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i 2.若集合P ={y │0y ≥},P ∩Q=Q ，则集合Q 不可能．．．是( ) A.{y │2y x x R =∈,} B.{y │2xy x R =∈,} C.{y │y=│lgx │,x ＞0} D.{y │30y x x -=≠,} 3.若函数f （x ）= ，则f (f (2))等于( ) A.4 B.3 C.2 D.1 4.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的s 值为( ) A.118 B.410 C.614 D.16385.等差数列{a n }的前n 项和S n ，若a 3+ a 7-a 10=8，a 11-a 4=4，则S 13等于( )A.152B.154C.156D.158 （第4题图） 6.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，且sin 2A-sin 2C=(sinA-sinB) sinB,则角C 等于( ) A.π6 B.π3 C.5π6D.2π37.如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 、K 、L 分别为AB 、BB 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1D 、DA 的中点，则六边形EFGHKL 在正方体面上的射影可能是( )8.已知双曲线22221x y a b-=的一个焦点与抛物线y 2=4x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为( )A.224515x y -= B.22154x y -= C.22154y x -= D.225514x y -= 9.若把函数3cos sin y x x =-的图像向右平移m(m ＞0)个单位长度后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是( ) A.π3 B.2π3 C.π6D.5π610.若A ，B ，C 是直线l 上不同的三个点，点O 不在l 上，存在实数x 使得20x OA xOB BC ++=，实数x 为( )A.-1B.0C.1+52- D. 1+5211.若实数x,y 满足不等式组20020,x y x y a -≤⎧⎪≤⎨+-≥⎪⎩,-1,,目标函数t=x-2y 的最大值为2，则实数a 的值是( )A.-2B.0C.1D.212.已知P 为抛物线y 2=4x 上一个动点，Q 为圆22(4)1x y +-=上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是( )A.251-B.252-C.171-D.172-第Ⅱ卷（非选择题90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.请把答案填在答题纸的相应位置.A. B. C. D.13.已知函数f(x)= 若f(x)在（-∞,+∞）上单调递增，则实数a 的取值范围为 .14.一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积（单位：cm 2）为 . 15.今年一轮又一轮的寒潮席卷全国.某商场为了了解某品牌羽绒服的月销售量y （件）与月平均气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，数据如下表：月平均气温x(℃) 17 13 8 2 月销售量y （件）24334055由表中数据算出线性回归方程y bx a =+中的b ≈-2.气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计，该商场下个月毛衣的销售量的件数约为 .16.对于命题：如果O 是线段AB 上一点，则│OB │·OA +│OA │·OB =0；将它类比到平面的情形是:若O 是△ABC 内一点，有S △OBC ·OA +S △OCA ·OB +S △OBA ·OC =0；将它类比到空间的情形应该是：若O 是四面体ABCD 内一点，则有 .三、解答题：本大题共6个小题，满分74分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置.17.（本小题12分）已知函数()f x =Asin(ωx+φ)( A ＞0, ω＞0，φ＜π2)的图像与y 轴的交点为（0,1），它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x 0，2)和(x 0+2π，-2).（Ⅰ）求()f x 的解析式及x 0的值；（Ⅱ）若锐角θ满足cos θ=13,求f (4θ)的值.18.（本小题满分12分）班级联欢时，主持人拟出了如下一些节目：跳双人舞、独唱、朗诵等，指定3个男生和2个女生来参与，把5个人分别编号为1，2，3，4，5，其中1，2，3号是男生，4，5号是女生，将每个人的号分别写在5张相同的卡片上，并放入一个箱子中充分混合，每次从中随即地取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目.（Ⅰ）为了选出2人来表演双人舞，连续抽取2张卡片，求取出的2人不全是男生的概率；（Ⅱ）为了选出2人分别表演独唱和朗诵，抽取并观察第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片，求：独唱和朗诵由同一个人表演的概率.19.（本小题满分12分）如图所示，在矩形ABCD 中，AB =4，AD =2, E 是CD 的中点，O 为a nAE 的中点，F 是AB 的中点.以AE 为折痕将△ADE 向上折起，使面DAE ⊥面ABCE. （Ⅰ）求证：OF ∥面BDE ；（Ⅱ）求证：AD ⊥面BDE ；（Ⅲ）求三棱锥D-BCE 的体积.20.（本小题满分12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=3,点（S n ，S n+1）在直线*11(N )n y x n n n+=++∈上. （Ⅰ）求证：数列{}n S n 是等差数列；（Ⅱ）若数列{b n }满足b n =a n ·2 ，求数列{b n }的前n项和T n ； （Ⅲ）设C n =232nn T +，求证：C 1+ C 2+…+C n ＞2027.21.（本小题满分12分）某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形的高科技工业园区.已知AB ⊥BC ，OA ∥BC ，且AB=BC=4km ，AO=2km,曲线段OC 是以点O 为顶点且开口向上的抛物线的一段.如果要使矩形的相邻两边分别落在AB ，BC 上，且一个顶点落在曲线段OC 上. 问：应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积（精确到0.1km 2）.22.（本小题满分14分）已知椭圆C ：22x a +22y b =1（a ＞b ＞0）经过点（0，1），离心率为e=32.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线x =my+1与椭圆C 交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为A ′(A ′与B 不重合)，则直线A ′B 与x 轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由.山东师大附中2101届高三最后一次模考数学试题参考答案（文）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.座号1.解析：z 2+2z =(1-i)2+21i-=-2i+1+i=1-i ，故选C. 2.解析：P ∩Q=Q ⇒Q P ⊆,{y │30y x x -=≠,}=(-∞，0)∪(0,+∞)⊄P.故选D.3.解析：f （f （2））= f （8）=log 28=3,故选B.4.解析：2626102410i 3i 5i 7i 9i 11s s s s s =====⎧⎧⎧⎧⎧→→→→⎨⎨⎨⎨⎨=====⎩⎩⎩⎩⎩，输出s=410,故选B. 5.解析：a 3+ a 7-a 10=8，a 11-a 4=4，相加得a 7+ a 11-a 10+ a 3-a 4=12，a 7=12， S 13=113713()131562a a a +==，故选C. 6.解析：由正弦定理sin 2A-sin 2C=(sinA-sinB) sinB 可化为a 2+ b 2-c 2=ab ，由余弦定理cosC=222122a b c ab +-=∴C=π3，故选B. 7.解析：在底面ABCD 上的投影为B ，故选B. 8.解析：抛物线y 2=4x 的焦点F （1，0），c=1,e=c a =1a =5，a 2=15, b 2 = c 2 - a 2 =45，双曲线的方程为5x 2-54y 2=1,故选D. 9.解析：y =3cosx-sinx = 2cos π6x ⎛⎫+⎪⎝⎭，对称轴方程x=k π-π6，k ∈ z ，故选C. 10.解析：由x 2OA + x OB +BC =0，得x 2OA + x OB +OC -OB =0，OC =- x 2OA +（1-x ）OB ⇒x 2+x=0，x=-1,x=0.若x=0，则BC =0与题设矛盾，∴x=-1，故选A.11.解析：由2(2,0)22x A x y =⎧⇒⎨-=⎩是最优解，直线x+2y-a=0过点(2,0)A ，所以a = 2，故选D.12.解析：抛物线y 2=4x 的焦点为F （1,0），圆x 2+ (y-4)2=1的圆心为C （0，4），点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值为：171FC r -=-,故选C. 二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分. 13.解析： ⇒2＜a ≤3.14.解析：此几何体为正四棱锥，底面边长为8，侧面上的高为5，所以S 侧=4×12×8×5=80cm 3. 15.解析：由表格得()x y , 为：（10，38），又()x y, 在回归方程y bx a =+上且b ≈-2所以38=10×（-2）+a ，解得：a=58，所以258y x =-+.当x =6时，265846.y =-⨯+= 16.答：V OBCD ·OA +V OACD ·OB + V OABD ·OC + V OABC ·OD =0.第二次抽取 第一次抽取三、解答题.17．解析：（1）由题意可得：A=2,2T =2π，T=4π，2πω=4π 即ω=12，……………2分f(x)=2sin(12x+ϕ)，f(0)=2sin ϕ=1,由ϕ＜π2，∴ϕ=π6.f(x)=2sin(12x+π6) (4)分f(x 0)=2sin(12x 0+π6)=2,所以12x 0+π6=2k π+π2，x 0=4 k π+2π3（k ∈Z ），又∵x 0是最小的正数，∴x 0=2π3.……………………………………………………………6分（2）∵θ∈（0，π2），cos θ=13，∴sin θ=223,∴cos2θ=2cos 2θ-1=-79，sin2θ=2sin θcos θ=429，……………………………9分 f(4θ)=2sin(2θ+π6)=3sin2θ+cos2θ=3·429-79=469-79. (12)分18.解析：（Ⅰ）利用树形图我们可以列出连续抽取2张卡片的所有可能结果.所以实验的所有可能结果数为n=20. ………………………………………………………2分设A 1表示事件“连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生”。