FDTD方法中的吸收边界条件
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一种有效吸收边界条件的MATLAB实现页数:8
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FDTD
FDTD ABSORBING BOUNDARY CONDITIONS
赵书龙 电磁场与微波技术
引子
由于计算机容量的限制，FDTD计算只能在有限的区域内进 行。为了抑制边界处的反射，模拟开域的电磁过程，在计 算区域的截断边界处必须给出吸收边界条件。 吸收边界从简单的插值边界，到广泛采用的Mur吸收边界， 再到完全匹配层（PML）吸收边界，其吸收效果越来越好。
Mur 吸收边界条件
对于二维电磁场问题，Mur指出二阶近似吸收边界可降 低为只含E,H分量的一阶导数，从而使数值计算简化。 TM波
二维直角坐标TM波
将上式对t积分，并设初始场为0
Mur 吸收边界条件
对于TE波，同理
Mur二阶近似吸收边界条件比一阶近似多出一项一阶导数。
Mur吸收边界条件的FDTD离散式 先看TM波的一阶近似 ③
Engquist-Majda吸收边界条件
考虑齐次波动方程，在二维情形为①：
其平面波解为： 其中 设x=0平面为截断面，如图所示，x>=0右侧区 域同时存在入射波和反射波叠加，此区域中有： ②
式中设 左行波 右行波
Engquist-Majda吸收边界条件
②带入①得 定义微分算子
注：保留对x的导数
Mur 吸收边界条件
对于TM波的Mur吸收边界条件二阶形式，比一阶多一项
离散式
线性插值 整理后得吸收边界的离散式：
Mur 吸收边界Βιβλιοθήκη 件TE波一阶二阶吸收边界条件可类似推导得到
Mur 吸收边界条件
对于二维TM波情况，电磁场除了EZ 还有 Hx 、 Hy。 由图可知，在用FDTD计算边界处的TM波元胞 时并不会涉及截断边界以外E或H的节点。 只有 涉及截断边界外侧的H节点。因此只需 给出边界处切向场分量 EZ 的吸收边界条件。
赵书龙 电磁场与微波技术
引子
由于计算机容量的限制，FDTD计算只能在有限的区域内进 行。为了抑制边界处的反射，模拟开域的电磁过程，在计 算区域的截断边界处必须给出吸收边界条件。 吸收边界从简单的插值边界，到广泛采用的Mur吸收边界， 再到完全匹配层（PML）吸收边界，其吸收效果越来越好。
Mur 吸收边界条件
对于二维电磁场问题，Mur指出二阶近似吸收边界可降 低为只含E,H分量的一阶导数，从而使数值计算简化。 TM波
二维直角坐标TM波
将上式对t积分，并设初始场为0
Mur 吸收边界条件
对于TE波，同理
Mur二阶近似吸收边界条件比一阶近似多出一项一阶导数。
Mur吸收边界条件的FDTD离散式 先看TM波的一阶近似 ③
Engquist-Majda吸收边界条件
考虑齐次波动方程，在二维情形为①：
其平面波解为： 其中 设x=0平面为截断面，如图所示，x>=0右侧区 域同时存在入射波和反射波叠加，此区域中有： ②
式中设 左行波 右行波
Engquist-Majda吸收边界条件
②带入①得 定义微分算子
注：保留对x的导数
Mur 吸收边界条件
对于TM波的Mur吸收边界条件二阶形式，比一阶多一项
离散式
线性插值 整理后得吸收边界的离散式：
Mur 吸收边界Βιβλιοθήκη 件TE波一阶二阶吸收边界条件可类似推导得到
Mur 吸收边界条件
对于二维TM波情况，电磁场除了EZ 还有 Hx 、 Hy。 由图可知，在用FDTD计算边界处的TM波元胞 时并不会涉及截断边界以外E或H的节点。 只有 涉及截断边界外侧的H节点。因此只需 给出边界处切向场分量 EZ 的吸收边界条件。
时域有限差分法中的吸收边界条件与角点处理
时域有限差分法中的吸收边界条件与角点处理 # 时域有限差分法中的吸收边界条件与角点处理## 引言时域有限差分法（FDTD）是一种常用的数值求解电磁波传播问题的方法，广泛应用于电磁场仿真、天线设计、微波器件分析等领域。
在FDTD模拟中，吸收边界条件和角点处理是两个关键问题，它们直接影响了模拟结果的准确性和稳定性。
本文将重点介绍时域有限差分法中的吸收边界条件与角点处理方法，以及它们在仿真中的作用和应用。
## 吸收边界条件吸收边界条件是为了模拟无限大空间中的波传播而引入的一种边界处理方法。
在FDTD模拟中，常用的吸收边界条件包括吸收边界条件（ABC）、完美匹配层（PML）等。
吸收边界条件的作用是吸收边界处的入射波，防止波的反射，从而模拟出无限大空间中的波传播情况。
### 完美匹配层（PML）完美匹配层是一种常用的吸收边界条件，它通过引入特殊的吸收介质层来吸收边界处的入射波。
PML可以有效地吸收各种角度和频率的波，并且对于非均匀介质和斜入射波也具有很好的吸收性能。
其核心思想是通过引入特殊的吸收剂来模拟吸收介质，从而将波能量有效地吸收并消散。
## 角点处理在FDTD模拟中，当电磁波遇到介质界面或者几何体的角点时，会产生数值不稳定性和误差。
为了解决这一问题，需要对角点进行特殊处理，以确保模拟结果的准确性和稳定性。
### Yee 网格的角点处理在Yee 网格中，角点处的电场和磁场分量通常采用平均值进行处理，以确保在角点处的场分量满足Maxwell方程组。
具体而言，对于角点处的电场分量，通常采用相邻网格点的电场分量的平均值来代替；对于角点处的磁场分量，同样采用相邻网格点的磁场分量的平均值来代替。
### 交错网格的角点处理在交错网格中，角点处的处理相对复杂一些，通常需要考虑网格点的排列方式以及场分量的插值方法。
一种常用的处理方法是采用插值技术对角点处的场分量进行计算，以确保场分量在角点处满足Maxwell方程组。
标量FDTD分析平面光波导
+ey2(2,k))+1/12*(ey2(1,k+1)-2*ey2(1,k)+ey2(1,k-1)...
+ey2(2,k+1)-2*ey2(2,k)+ey2(2,k-1));
end
% 角点(右边界上下两个角点）
a1=48/(48^2+248^2)^(1/2);
-4*ey2(i,k))+2*ey2(i,k)-ey1(i,k);
end
end
end
% 边界点(右,上,下边界)mur吸收边界条件二阶近似
km=NN;im=N;
+ey2(im-1,k))+1/12*(ey2(im,k+1)-2*ey2(im,k)+ey2(im,k-1)...
+ey2(im-1,k+1)-2*ey2(im-1,k)+ey2(im-1,k-1));
ey3(1,k)=-ey1(2,k)-1/3*(ey3(2,k)+ey1(1,k))+4/3*(ey2(1,k)...
vmax=1/(sqrt(u0*epsz)*min(n1,n2));
delt=dels/(2*vmax); % 稳定条件
N=fix(1*10^(-6)/dels)+26; % 空间步长(i:50)
NN=fix(1.0397*10^(-5)/dels); % (k:250)
% 只由波导的结构参数与光源的频率(或波长)决定。
% 达到稳定后五种情况下的稳态基模模场分布相同。
else
n(i,j)=n1;
end
end
end
for t=1:T
+ey2(2,k+1)-2*ey2(2,k)+ey2(2,k-1));
end
% 角点(右边界上下两个角点）
a1=48/(48^2+248^2)^(1/2);
-4*ey2(i,k))+2*ey2(i,k)-ey1(i,k);
end
end
end
% 边界点(右,上,下边界)mur吸收边界条件二阶近似
km=NN;im=N;
+ey2(im-1,k))+1/12*(ey2(im,k+1)-2*ey2(im,k)+ey2(im,k-1)...
+ey2(im-1,k+1)-2*ey2(im-1,k)+ey2(im-1,k-1));
ey3(1,k)=-ey1(2,k)-1/3*(ey3(2,k)+ey1(1,k))+4/3*(ey2(1,k)...
vmax=1/(sqrt(u0*epsz)*min(n1,n2));
delt=dels/(2*vmax); % 稳定条件
N=fix(1*10^(-6)/dels)+26; % 空间步长(i:50)
NN=fix(1.0397*10^(-5)/dels); % (k:250)
% 只由波导的结构参数与光源的频率(或波长)决定。
% 达到稳定后五种情况下的稳态基模模场分布相同。
else
n(i,j)=n1;
end
end
end
for t=1:T
fdtd边界条件
FDTD边界条件介绍FDTD（Finite-Difference Time-Domain）是一种求解时域电磁问题的数值仿真方法。
在FDTD方法中，边界条件的处理十分重要，其对仿真结果和计算精度有着直接影响。
本文将探讨FDTD边界条件的不同类型、原理以及应用。
一、边界条件的作用边界条件在数值仿真中是非常关键的，它模拟了物理领域内的边界行为。
在FDTD 方法中，合适的边界条件可以使电磁波在仿真空间内自由传播，减少反射和影响，提高仿真的准确性和稳定性。
因此，边界条件的选择和设计是进行FDTD仿真的重要一环。
二、FDTD边界条件分类根据FDTD方法的不同发展和应用，边界条件可以分为吸收边界条件（ABC，Absorbing Boundary Condition）和非反射边界条件（PML，Perfectly Matched Layer）。
下面将对这两种边界条件进行详细介绍。
1. 吸收边界条件（ABC）吸收边界条件旨在消除电磁波从计算区域反射回来的影响，使得计算区域内的电磁波在仿真过程中逐渐衰减并最终消失。
常见的吸收边界条件有：1.1 第一类Mur边界条件第一类Mur边界条件是FDTD中最早提出的一种吸收边界条件，其基本原理是通过改变仿真区域内Accuracy的系数，使得边界处的电磁波消散到仿真区域外。
该边界条件的特点是简单易实现，但在一些场景下可能会产生较大的数值反射。
1.2 第二类Mur边界条件第二类Mur边界条件通过在仿真区域内增加一层增益层来减少反射，改善第一类Mur边界条件的不足。
该边界条件的特点是相对于第一类Mur边界条件，其增加了计算复杂度，但能够有效抑制反射。
1.3 PML边界条件PML边界条件是一种效果更加优越的吸收边界条件。
PML边界条件通过引入复杂的嵌套介质结构，在仿真区域内产生消散性能损耗，从而减少电磁波的反射。
相比于Mur边界条件，PML边界条件能够更好地消除反射和影响，提高仿真的准确性和稳定性。
FDTD方法
： UPML吸收边界 中
σ κ的
的
吸收边界条件
FDTD计算区域中 σ 和κ 的特殊取值，如图所示：
吸收边界条件
直角坐标系中旋度的表达式：
∂f y ∂f x ∂f x ∂f z ∂f z ∂f y − ∇ ×f = ( − )i + ( − )j + ( )k ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ∂x
基 本 公 式
远场计算
利用时域电磁流直接在时域进行远场外推，得到远场点的时 域值，这对于计算目标的宽频带远场特性比较有效，但显然这种 方法需存储多个时间步的远场时域值，随着场点数目增多，所需 内存也越来越大。
先将时域电磁流在FDTD方法的迭代过程中利用离散傅立叶 变换(DFT）转化为频域电磁流，然后再在频域进行远场外推， 这样可以避免存储时域远场值。但这仅适合在较少的工作频率 点上求远场，否则频域电磁流的存储量也会很大。
与这两种场量对应的时域电、磁流分别为： 1 n− n− 1 ) ) J z 2 (i, j , k ) = x × y H y 2 (i, j , k ) ) ) n M yn (i, j , k ) = − x × z E y (i, j , k )
(7.4 - 3) (7.4 - 4)
对于典型的二端口网络电路。其四个S参数为：
U 式中， i ,inc (t ) 和 U i ,ref (t )(i = 1,2)是指每个端门的入射电压和反射电压； 是 U i ,trans (t )(i = 1,2) 指相对于其他入射波端口 i 的传输电压端口的传 输电压。各个端门的时域电压值由参考面上的时域电场积分可以 获得。
逆时针积分
周向电流源激励，如图所示：
其缺点： 由于电流源馈电模型中线天线馈电点处被定义为理想导 体以符合电流存在的物理条件，因此它无法像电压源激励方 式那样可以直接地计算出馈电点处的输入电压，从而导致这 种馈电方式无法直接获得天线的输入阻抗参数。
σ κ的
的
吸收边界条件
FDTD计算区域中 σ 和κ 的特殊取值，如图所示：
吸收边界条件
直角坐标系中旋度的表达式：
∂f y ∂f x ∂f x ∂f z ∂f z ∂f y − ∇ ×f = ( − )i + ( − )j + ( )k ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ∂x
基 本 公 式
远场计算
利用时域电磁流直接在时域进行远场外推，得到远场点的时 域值，这对于计算目标的宽频带远场特性比较有效，但显然这种 方法需存储多个时间步的远场时域值，随着场点数目增多，所需 内存也越来越大。
先将时域电磁流在FDTD方法的迭代过程中利用离散傅立叶 变换(DFT）转化为频域电磁流，然后再在频域进行远场外推， 这样可以避免存储时域远场值。但这仅适合在较少的工作频率 点上求远场，否则频域电磁流的存储量也会很大。
与这两种场量对应的时域电、磁流分别为： 1 n− n− 1 ) ) J z 2 (i, j , k ) = x × y H y 2 (i, j , k ) ) ) n M yn (i, j , k ) = − x × z E y (i, j , k )
(7.4 - 3) (7.4 - 4)
对于典型的二端口网络电路。其四个S参数为：
U 式中， i ,inc (t ) 和 U i ,ref (t )(i = 1,2)是指每个端门的入射电压和反射电压； 是 U i ,trans (t )(i = 1,2) 指相对于其他入射波端口 i 的传输电压端口的传 输电压。各个端门的时域电压值由参考面上的时域电场积分可以 获得。
逆时针积分
周向电流源激励，如图所示：
其缺点： 由于电流源馈电模型中线天线馈电点处被定义为理想导 体以符合电流存在的物理条件，因此它无法像电压源激励方 式那样可以直接地计算出馈电点处的输入电压，从而导致这 种馈电方式无法直接获得天线的输入阻抗参数。
电磁场FDTD算法的容错分析与实现
Abstract:
To aim at the difficulty of the implementaion in computers for finite difference time domain ( FDTD) algorithm,
the concepts of time and space fault tolerance are presented here. Furthermore, the fault tolerance characteristic of FDTD algorithm is analyzed in detail, and some key factors are discussed which influence the running performance and computation precision in the fault tolerant FDTD algorithm. With the implementaion of the fault tolerance, the perfectly matched layer ( PML) absorbing bound ary is ignored, and the data arrays of electromagnetic field are gained by using memory mapped technique, which is applied to time and space fault tolerance for FDTD algorithm successfully. The computed examples are given, and various comparisons are made to pro ve the feasibility of this approach. The results show that the proposed method is effective. Key words: finite difference time domain ( FDTD) algorithm; fault tolerance; absorbing boundary ; memory mapped array
ADI-FDTD方法
g1 = r1 / b1
g i = (ri − ai g i −1 ) / (bi − ai xi −1 )
这两种方法都是利用高 斯消元的原理，通过前 向和后向迭代 进行求解，其计算量正 比于未知数的个数 n，而不是正比于 n 3。
n 同理，通过（5'）求 E x +1分量时，随着 x坐标的变化逐行扫描组 成
2
2
（17）
（18）
由于p, q取值都大于1，可以得出：
1 ± j pq − 1 ε1 = p
（19）
同样，为了计算过程二的增长因子ε 2，将平面波本征模代入过程二的 式（5）（6）（7）
∆t k y ∆y E x0ε 2 = E x 0 + j ε∆y sin 2 H z 0 ε 2 ∆t k x ∆x E y 0ε 2 = E y 0 − j H z0 sin ε∆x 2
n 时刻E xn +1 , E y +1 , H zn +1分量的大小。
可以发现，两个过程中 对于磁场和电场的值都 是同时计算的。
3.对角型线性方程组求解 对角型线性方程组求解
将（4）代入（3）中，可以得到：
E
n+ 1 2 y
(
i − 1, j + 1
2
2 εµ ∆x 2 n + 1 n 1 + 2 ⋅ E y 2 i, j + 1 + E y + 2 i + 1, j + 1 − 2 2 2 ∆t
v max ∆ t ≤ 1 1 1 1 + + (∆x) 2 (∆y ) 2 (∆z ) 2
应用于微波电磁场FDTD数值模拟的吸收边界条件
应用于微波电磁场FDTD数值模拟的吸收边界条件
柴中林;唐伟忠;李安贵;单欣颖
【期刊名称】《北京工商大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2003(021)003
【摘要】在应用FDTD方法模拟复杂空间中微波电磁场分布时,不仅要考虑入射电磁波的贡献,还要考虑反射电磁波的影响.对于后者,一般常采用吸收边界条件的方法予以处理.针对TEM电磁波的传播特点,推导出了一种新的吸收边界条件的表达式,并利用其对微波法金刚石膜沉积系统沉积室中电磁场的分布进行了数值模拟.【总页数】4页(P61-64)
【作者】柴中林;唐伟忠;李安贵;单欣颖
【作者单位】北京科技大学,应用科学学院,北京,100083;北京科技大学,材料科学学院,北京,100083;北京科技大学,应用科学学院,北京,100083;北京科技大学,材料科学学院,北京,100083
【正文语种】中文
【中图分类】O242.1;O485;TH142
【相关文献】
1.WE -FDTD 中近似吸收边界条件的角点计算 [J], 赵长青
2.PML吸收边界条件下的TE波FDTD算法的仿真与验证 [J], 李晶;孟祥雪;吕宁;于晓娣
3.磁偶源2.5维瞬变电磁场全空间FDTD数值模拟 [J], 杨海燕;岳建华
4.指数差分离散的完全匹配层吸收边界条件在ADI—FDTD中的应用 [J], 李雅静;
李智峰
5.一种新的吸收边界条件及三维微波结构的FDTD [J], 邵振海;洪伟
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FDTD方法中的吸收边界条件
FDTD方法中的吸收边界条件有几种吸收边界条件可以用于时域有限差分时间-域（FDTD）方法中，以模拟开放空间的无穷边界。
这些吸收边界条件的目标是吸收或反射尽可能少的能量，并且尽量减小边界对计算域中场分布的影响。
第一种常见的吸收边界条件是完美匹配层（Perfectly Matched Layer，简称PML）。
PML是一种人工吸收层，模拟了在模拟区域边界的理想吸收层。
PML通过嵌入在实际计算区域之外的等效吸收层来实现，使得电磁波在边界处被吸收。
PML通过引入Lossy介质来吸收能量，其吸收效果由材料的吸收率、传播常数和吸收边界厚度等因素决定。
PML在FDTD方法中已经被广泛应用，并且在模拟计算区域边界时表现出了较好的吸收效果。
第二种常见的吸收边界条件是吸收边界条件（Absorbing Boundary Condition，简称ABC）。
ABC是一类在边界处引入的边界条件，通过使边界处的反射系数减少来实现。
常见的ABC包括Mur ABC、Berenger ABC和磁流体（Magnetic Fluid）吸收边界等。
ABC通常需要通过增加节点的数目或周围嵌入吸收材料来实现。
这些方法通常需要对计算域进行扩展或使用专门的吸收元件。
第三种常见的吸收边界条件是开放边界条件（Open Boundary Condition，简称OBC）。
OBC试图模拟一个无穷大的开放空间，以模拟场的自由传播。
OBC通常在计算域边界上应用自然边界条件或辐射条件。
自然边界条件要求边界上电场、磁场的法向分量为零，而切向分量与场的梯度成正比。
辐射条件则要求边界上场的入射和反射能量相对较小。
OBC通常在计算域的边界上要求场的梯度不受限制，并且在边界处不反射能量。
这些吸收边界条件在FDTD方法中有各自的优缺点，适用于不同的应用和场景。
PML是一种广泛使用的有效吸收边界条件，但需要较复杂的计算和实现。
ABC通过减小边界反射系数来实现吸收，可以有效减小计算域边界对场的影响，但需要对计算域进行扩展或使用专门的吸收元件。
应用FDTD方法解决电磁辐射问题
应用FDTD 方法解决电磁辐射问题自电磁场基本方程以来，电磁场理论和应用的发展已经有一百多年的历史。
目前，电磁波的研究已深入到各个领域，应用十分广泛，例如无线电波传波，光纤通信和移动通信，雷达技术，微波，天线，电磁成像，地下电磁探测，电磁兼容等等。
在各类复杂系统中的电磁问题，主要依靠各种电磁场数值计算方法加以解决。
随着电子计算机处理能力和存储容量的巨大发展，更促进了这些计算方法在实际问题中的应用。
目前在电磁场领域应用的数值算法也是种类繁多，各有其优缺点，常用的电磁场计算方法大致有：FDTD Finite difference time domain （时域有限差分法）TLM Transmission line method （传输线法）FEM Finite element method （有限元法）BEM Boundary element method （边界元法）MoM Method of moments （矩量法）其中时域有限差分法(FDTD)理论经过30多年的发展和完善，已经成为时域电磁场数值计算的主要方法之一，并广泛应用各类实际工程电磁场中。
一、 FDTD 法简介时域有限差分法以差分原理为基础，直接从概括电磁场普遍规律的麦克斯韦旋度方程出发，将其转换为差分方程组，在一定体积内和一段时间上对连续电磁场的数据采样。
因此，它是以电磁场问题的最原始、最本质、最完备的数值模拟。
以它为基础制作的计算程序，对广泛的电磁场问题具有通用性，因此得到了广泛的应用。
1. Yee 差分算法基本原理考虑空间一个无源区域，其煤质参数不随时间变化且各向同性，由Maxwell 方程组中的两个旋度方程在直角坐标系中可导出六个耦合公式：1(1.1)1(1.2)H E H t E H E t ρμμσεε∂=-∇⨯-∂∂=∇⨯-∂ ⇒ 1()(1.3)1()(1.4)1()(1.5)1()(1.6)1()(1.7)1()(1.8)y x z x y x z y y x z z y x z x y x z y y x z z E H E H t z y H E E H t x z E E H H t y x H E H E t y z E H H E t z x H H E E t x y ρμρμρμσεσεσε∂⎧∂∂=--⎪∂∂∂⎪⎪∂∂∂=--⎪∂∂∂⎪⎪∂∂∂⎪=--∂∂∂⎪⎨∂∂∂⎪=--⎪∂∂∂⎪∂∂⎪∂=--⎪∂∂∂⎪∂∂∂⎪=--⎪∂∂∂⎩其中ε为介电常数（F/m ）；μ为磁导率（H/m ）；σ为电导率（S/m ）；ρ为磁阻率（/m Ω）。
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FDTD方法中的吸收边界条件
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FDTD方法中的吸收边界条件
胡来平，刘占军
（重庆邮电学院光电工程学院重庆400065）
摘要：介绍并分析了时域有限差分中的吸收边界条件，对各种条件的应用进行了讨论，对时域差分技术的吸收边界条件进行了一定的总结和展望。
关键词：时域有限差分方法；吸收边界条件；电磁散射；完全匹配层
时域有限差分法（FDTD）是一种分析各种电磁问题的全波方法。
用FDTD分析电磁辐射、散射等开放或者半开放性质问题时，不可能直接对无限的结构进行计算，因此必须在截断处设置适当的吸收边界条件，以便用有限网格空间模拟开放的无限空间或无限长的传输结构。
理想的吸收边界条件应在截断边界上只有向外传输的波而没有向内的反射波。
自从Yee提出FDTD方法以来，对FDTD方法中的重要组成部分--吸收边界条件的研究就一直没有停止过。
目前，构造吸收边界条件的思路主要有2种：一种是在边界上引入吸收材料，电磁波在无反射地进入吸收材料后被衰减掉，如PML。
这种方法构造复杂，内存需求较大，但在很大的入射角度上吸收效果较好。
另一种是从外行波方程出发构造的透射边界条件，如Mur边界条件等。
这种类型的透射边界条件具有构造简单，内存需求小，基本上不额外消耗内存等特点。
下面介绍几种应用较为广泛的吸收边界条件。
1 Mur吸收边界条件［1］
考察一维波动方程：
他可分解为2个单向波方程：
当边界上电磁场满足式（2）时，电磁场仍是单向波形式，不产生反射，这就是Mur一阶吸收边界条件。
同法对二维情况，有二维波动方程：
把式（4）根号部分进行Taylor展开，然后取其前2项，即令：
这就是Mur所建议的具有二阶近似的，适用于二维问题的近似吸收边界条件。
他在FDTD中有广泛地应用。
Mur吸收边界条件具有实施方便简单、吸收边界条件效果好的特点，然而在使用中注意到，一阶近Yee网格划分，在角区域存在较大误差，而二阶近似尽管就算精度较高，但编程复杂，且对三维情况还可能出现结果发散的现象［2］。
2 廖氏吸收边界条件
廖氏吸收边界条件比同阶的Mur吸收边界条件反射小约一个数量级，并且各阶吸收边界条件可用统一的公式表示。
由于推导繁琐，这里直接给出其吸收边界条件公式：
其中：C j
为组合数，N表示廖氏吸收边界条件的阶数。
N
N＝1时，给出了一阶吸收边界条件：
其中：S＝αvΔt／Δx，α是一个常数，0．5≤α≤2。
N＝2时，给出了二阶吸收边界条件：
3 超吸收边界条件
Fang和Mei于1988年第一次提出了超吸收边界条件的概念。
传统的吸收边界条件只在边界上给电场或磁场进行特殊处理，不同时计算二者，因为只要在边界知道了电场或磁场，则内部区域的场就能惟一地确定。
在超吸收边界条件中让磁场也参与计算并用他来减少计算电场时所产生的非物理因素引起的反射，从而改善原始吸收的性能。
其具体的理论推导可见文献［1］。
超吸收边界条件的具体运用格式为：
（1）在自由空间的截断边界上采用一种吸收边界
（5）利用得到的，M－0．5，．），重新由前面的差分方程中H分量在n＋0．5时刻的表达式计算出）
4 完全匹配层
1994年J．P．Berenger提出了“完全匹配层（PML）”这种新边界，他是应用某种依赖于方向的、满足匹配条件的地导电和导磁媒质来吸收反射波。
通常在计算域的截断面之外布置完全匹配层，当波进入PML中时，因波阻抗保持不变而无反射发生。
当外行波到达PML的最外层时，其幅度近似衰减为0。
微弱的反射波在此产生，反射波传播到计算域之前，又要经过完全匹配层的再次衰减，这样进入计算域的反射波是十分微弱的。
完全匹配层是一种非物理性的电磁波吸收层，用电导率σ
和磁导率σ＃表征，σ和σ＃可分别解为σ
x ，σ
y
，σ
z
和。
可以证明，当PML满足以下2
个条件时，他对电磁波不反射［3］：
（1）为吸收某一方向的电磁波（如z向），则σ和σ＃在其他方向上的分量均为
0。
（2）σ和σ＃与电介常数ε和磁导率μ满足下列方程：
5 吸收边界条件的现状和一点展望
时域有限差分法是最受瞩目的电磁场数值计算方法之一，现在应用于包括电磁辐射、散射等在内的几乎所有电磁问题的数值模拟中。
他实质上是一种蛙跃法，具有二阶精度。
对于开域问题，受计算机内存和计算时间限制，必须截断计算空间并设置边界条件，国内外许多人在这方面做了大量的工作，提出了各种边界条件，其目的是使有限的计算空间与无限的实际空间等效，如Mur吸收边界条件、廖氏吸收边界条件、超吸收边界条件以及理想匹配层等。
其中Mur 边界由于具有较宽的入射角度范围内的吸收效果，而且占内存小，因此得到较为广泛地应用。
但是他也存在局限性：
（1）边界面上任意点的插值都是在其领域的三维空间上进行，不允许靠近边界的区域出现介质的不连续性；
（2）在垂直入射情况下的计算精度仅相当于一阶吸收边界条件。
在廖氏吸收边界条件中，边界点x的场可用x轴内部的点和以前时间段上的值来表示，因此廖氏吸收边界条件可以理解为用Newton后向差分多项式对空间和时间的外推。
超吸收技术对大多数被广泛采用的吸收边界条件都有明显的改进作用。
与Mur边界条件相比，PML边界具有更高的计算精度，而且任意方向入射时均无反射。
在二维自由空间，Berenger得出结论：PML吸收边界的反射系数可低于－70 dB，比其他各种边界改善约40 dB。
这种人工设计的完全匹配层由有耗导电、导磁媒质组成，可吸收任意入射角、任何频率、任意偏振态的入射电磁波，其实用性更强，但是他内存大，在不连续介质接触边界面和三维区域的6个面不全为吸收边界时也难以应付。
人们对各种吸收边界条件做了比较、校正和优化，并陆续提出了一些新的办法。
诸如对Mur条件的校正，以得到更高的计算精度，简化行波边界条件等等。
目前各种吸收边界条件都存在着一些缺点，在某些问题中这些吸收边界条件的反射过大，或者所适应的入射角度的范围不够宽广，另外提高计算精度，允许计算计算网格空间的外边界能更接近辐射源或散射体表面，从而节省计算机的存储空间和计算时间，这些都是我们应该努力的方向。
参考文献
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现代电子技术。