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习 题7-1 如图7-26所示，光点M 沿y 轴作谐振动，其运动方程为：x = 0，)cos(θω+=t A y ，式中，A 、ω、θ均为常数。
如将点M 投影到感光记录纸上，此纸以等速v e 向左运动，试求点在记录纸上的轨迹。
图7-26t v x e =')cos()cos(eθωθω+'=+=='x v A t A y y7-2 用车刀切削工件的端面，车刀刀尖M 的运动方程为 t b x ωsin =，其中b 、ω为常数，工件以等角速度ω逆时针方向转动，如图7-27所示。
试求车刀在工件端面上切出的痕迹。
图7-27t b t y t x x ωωωsin sin cos ='-'= 0cos sin ='+'=t y t x y ωω 解得)2sin(2cos sin sin tan cos sin t b t t b t t t t b x ωωωωωωω==+=' ]1)2[cos(2sin tan 2-=-='-='t bt b t x y ωωω4)2()(222b b y x =+'+'7-3 河的两岸相互平行，如图7-28所示。
设各处河水流速均匀且不随时间改变。
一船由点A 朝与岸垂直的方向等速驶出，经过10 min 到达对岸，这时船到达点B 的下游120 m 处的点C 。
为使船A 能垂直到达对岸的点B ，船应逆流并保持与直线AB 成某一角度的方向航行。
在此情况下，船经12.5 min 到达对岸。
试求河宽L 、船相对于水的相对速度v r 和水的流速v 的大小。
图7-28m/s 2.0600120==v 600r L v =船A 能垂直到达对岸的点B750a L v = 2a22r v v v += 2222.0)750()600(+=L L m 200)7501()6001(2.022=-=L m/s 31r =v7-4 半径R = 60mm 的半圆管BC 绕定轴OO 1按规律)5(t t -=ϕ转动，点在管内运动，相对于管子的运动方程为2π10t BM =(弧长的单位为mm)，如图7-29所示。
第七章作业答案1、解 由点M 的相对运动方程可改写为
由题得点M 的坐标变换关系式
点M 的绝对轨迹方程
2、解 （a）套筒A 为动点，动系固结于杆O1 A
由图a1
（b）套筒A 为动点，动系固结于杆O2 A，速度分析如图b1 所示。
3、解 ① 活动销子M 为动点，动系固结于轮O
② 活动销子M 为动点，动系固结于杆OA
速度分析如图b 所示
4、解 速度分析，如图b所示
加速度分析，如图c所示
5、解 点A 为动点，动系固结于小车，加速度分析如图b 所示。
由题意得t = 1 s时，各量为
分别向轴x ， y 方向投影得
6、解 小环M 为动点，动系固结于曲杆OBC，速度分析如图b 所示。
加速度分析如图c 所示。
2v v e =1v v =ABr v v =045045v r =N第七章 点的合成运动习题解析[习题7-1] 汽车A 以h km v /401=沿直线道路行驶，汽车B 以h km v /2402=沿另一叉道行驶。
求在B 车上观察到的Ａ车的速度。
解： 动点：A 车。
动系：固连于B 车的坐标系。
静系：固连地面的坐标系。
绝对运动：动点A 相对于地面的运动。
相对运动：动点A 相对于B 车的运动。
牵连运动：在动系中，动点与动系的重合点， 即牵连点相对于静系（地面）的运动。
当Ａ、 Ｂ两车相遇时，即它们之间的距离趋近于０时， Ａ、Ｂ相重合，Ｂ车相对于地面的速度就是 牵连速度。
2v v e =。
由速度合成定理得：→→→+=r e v v v 。
用作图法求得：h km v v AB r /40== （↑）故，Ｂ车上的人观察到Ａ车的速度为h km v v AB r /40==，方向如图所示。
[习题7-2] 由西向东流的河，宽1000m ，流速为0.5m/s ，小船自南岸某点出发渡至北岸，设小船相对于水流的划速为1m/s 。
问：（1）若划速保持与河岸垂直，船在北岸的何处靠岸？渡河时间需多久？（2）若欲使船在北岸上正对出发点处靠岸，划船时应取什么方向？渡河时间需多久？ 解：（１） 动点：船。
动系：固连在流水上。
静系：固连在岸上。
绝对运动：岸上的人看到的船的运动。
相对运动：船上的有看到的船的运动。
牵连运动：与船相重合的水体的运动。
绝对速度：未知待求，如图所示的v 。
相对速度：s m v r /1=，方向如图所示。
牵连速度：s m v e /5.0=，方向如图所示。
由速度合成定理得：→→→+=r e v v vv r1=N1v sm /2sm v e /1=v)/(118.115.02222s m v v v r e =+=+=0435.635.01arctan arctan===e r v v θ )(50021000tan 1000m AC ===θ，即，船将在北岸下流５００m 处靠岸。
如图所示，Ａ为出发点，Ｂ为靠岸点。
渡河所花的时间：秒分4016)(1000/110001===s sm mt（２）03015.0arcsin arcsin ===r e v v α)/(866.05.012222s m v v v e r =+=-=即船头对准方向为北偏西030 渡河所花的时间：秒分1519)(1155/866.010002===s sm mt[习题7-3] 播种机以匀速率s m v /11=直线前进。
种子脱离输种管时具有相对于输种管的速度s m v /22=。
求此时种子相对于地面的速度，及落至地面上的位置与离开输种管时的位置之间水平距离。
解： 动点：种子。
动系：固连于输种管的坐标系。
静系：固连于地面的坐标系。
绝对速度：种子相对于地面的速度，未知待求。
相对速度：s m v v r /22== 牵连速度：s m v v e /11==→→→+=r e v v v)/(65.2120cos 21221022s m v =⨯⨯-+=0120sin 65.2)60sin(1=-θ0007.1965.2120sin arcsin 60==-θ093.40=θ即→v 与→1v 之间的夹角为093.40=θ。
种子走过的水平距离为：t v t v s x ⋅==θcos221gt t v h y += 221sin gt t v h +=θ 208.95.093.40sin 65.225.0t t ⨯+= 025.0736.19.42=-+t t⎩⎨⎧-=±-=⨯-⨯⨯-±-=不合舍去）)((464.0)(11.08.9813.2736.19.42)25.0(9.44736.1736.12s s t )(22.011.093.40cos 65.20m s =⨯⨯=[习题7-4] 砂石料从传送带Ａ落到另一传送带Ｂ的绝对速度为s m v /41=，其方向与铅直线成030角。
设传送带Ｂ与水平面成015角，其速度为s m v /22=，求此时砂石料对于传送带Ｂ的相对速度。
又当传送带Ｂ的速度多大时，砂石料的相对速度才能与B 带垂直。
解：动点：砂石料。
动系：固连于传送带Ｂ的坐标系。
静系：固连于地面的坐标系。
绝对速度：砂石料相对于地面的速度，s m v v /41==。
相对速度：砂石料相对于传送带Ｂ的速度，待求。
牵连速度：传送带Ｂ相对于地面的速度：s m v v e /22==→→→+=r e a v v v)/(98.375cos 42242022s m v r =⨯⨯-+=e Aa v v =vev当B r v v ⊥时，传送带Ｂ的速度为：)/(04.115sin 415sin 00s m v v a B ===[习题7-5] 三角形凸轮沿水平方向运动，其斜边与水平线成α角。
杆ＡＢ的Ａ端搁置在斜面上，另一端Ｂ在气缸内滑动，如某瞬时凸轮以速度v 向右运动，求活塞Ｂ的速度。
解： 动点：Ａ。
动系：固连于凸轮上的坐标系。
静系：固连于地面的坐标系。
绝对速度：Ａ相对于地面的速度，待求。
相对速度：Ａ相对于凸轮的速度。
牵连速度：凸轮相对于地面的速度。
→→→+=r e a v v vαtan v v A =因为杆ＡＢ作上下平动，故活塞Ｂ的速度为：αtan v v v A B ==[习题7-6] 图示一曲柄滑道机构，长r OA =的曲柄，以匀角速度ω绕Ｏ轴转动。
装在水平杆ＣＢ上的滑槽ＤＥ与水平线成060角。
求当曲柄与水平线的夹角ϕ分别为00、030、060时，杆ＢＣ的速度。
解： 动点：Ａ。
a90BCOaevC动系：固连于ＣＢＤＥ上的坐标系。
动系平动，BCCBDEAvvv==静系：固连于地面的坐标系。
绝对速度：Ａ相对于地面的速度。
相对速度：Ａ相对于ＤＥ的速度。
牵连速度：ＣＢＤＥ相对于地面的速度。
→→→+=reavvvωrva=0120sin)90120180sin(aBCvv=+--ϕ0120sin)30sin(ϕϕrvBC=-ωϕrvBC⋅-=120sin)30sin(ωωωϕrrrvBC332321120sin)30sin(|-=-=⋅-==负号表示此时速度方向与图示方向相反，即向左。
120sin)3030sin(|300=-==ϕBCv，此时往复运动改变方向。
ωωωϕrrrvBC332321120sin)3060sin(|600==⋅-==，向右。
[习题7-7] 摇杆ＯＣ带动齿条ＡＢ上下移动，齿条又带动直径为１００ｍｍ的齿轮绕Ｏ１轴摆动。
在图所示瞬时，ＯＣ之角速度ω０＝０.５ｒａｄ／ｓ，求这时齿轮的角速度。
解：动点：C。
动系：固连于ＯＣ杆上的坐标系。
静系：固连于地面的坐标系。
av ev rv A30090绝对速度：Ｃ相对于地面的速度。
相对速度：Ｃ相对于ＯＣ杆的速度。
牵连速度：ＯＣ杆相对于地面的速度。
)/(231.05.030cos 4.00s m OC v e =⨯=⋅=ω→→→+=r e a v v v)/(267.030cos 2.030cos 020s m v v e a ===75.0/2.01===ωr v v AB a)/(33.505.075.0/2.0/267.011s rad r ===ω即齿轮的角速度为s rad /33.51=ω[习题7-８] 摇杆滑道机构的曲柄ＯＡ长l ，以匀角速度ω０绕Ｏ轴转动。
已知在图所示位置 ＯＡ⊥ＯＯ１，l AB 2=，求该瞬时ＢＣ杆的速度。
解： 动点：Ａ。
动系：固连于D O 1杆上的坐标系。
静系：固连于地面的坐标系。
绝对速度：Ａ相对于地面的速度，0ωl v a =。
相对速度：Ａ相对于D O 1杆的速度。
牵连速度：D O 1杆相对于地面的速度。
→→→+=r e a v v v002130sin ωl v v a e == 01211ωωl A O v D O e =⋅= 02121ωωl l D O =⋅ 0411ωω=D O动点：Ｂ。
avrBeav rvaa n动系：固连于D O 1杆上的坐标系。
静系：固连于地面的坐标系。
绝对速度：Ｂ相对于地面的速度。
相对速度：Ｂ相对于D O 1杆的速度。
牵连速度：D O 1杆相对于地面的速度。
→→→+=r e a v v v0014141ωωωl l B O v D O e =⨯=⋅=000155.1866.030cos ωωl l v v e a ===BC 作平动，故0155.1ωl v v a BC ==[习题7-9] 一外形为半圆弧的凸轮Ａ，半径ｒ＝３００ｍｍ，沿水平方向向右作匀加速运动，其加速度ａＡ＝８００ｍｍ／ｓ２。
凸轮推动直杆ＢＣ沿铅直导槽上下运动。
设在图所示瞬时，ｖＡ＝６００ｍｍ／ｓ，求杆ＢＣ的速度及加速度。
解：动点：Ｂ。
动系：固连于凸轮Ａ上的坐标系。
静系：固连于地面的坐标系。
绝对速度：Ｂ相对于地面的速度。
相对速度：Ｂ相对于凸轮的速度。
牵连速度：Ｂ相对于凸轮的速度。
→→→+=r e a v v v凸轮在水平面上作平动，ＢＣ在铅垂方向上作平动。
A e v v =)/(23.1039360030cot 30cot 00s mm v v v v v A e a B BC ====== )/(12006002230sin 0s mm v v v e er =⨯===→→→→→→++=+=τr n re r e a a a a a a aeCv rv ra aa ea上式在x 轴上的投影为：n r e a a a a -=0030cos 60cosrv a a a a r e n re a 22323⋅-=-=)/(4.8214300)1200(2800732.122s mm a a -=⨯-⨯=，负号表示方向向下。
[习题7-10] 铰接四边形机构中的Ｏ１Ａ＝Ｏ２Ｂ＝１００ｍｍ，Ｏ１Ｏ２＝ＡＢ，杆Ｏ１Ａ以等角速度ω＝２ｒａｄ／ｓ绕Ｏ１轴转动。
ＡＢ杆上有一套筒Ｃ，此筒与ＣＤ杆相铰接，机构各部件都在同一铅直面内。
求当φ＝６０°时ＣＤ杆的速度和加速度。
解：动点：Ｃ。
动系：固连于ＡＢ杆上的坐标系。
静系：固连于地面的坐标系。
绝对速度：Ｃ相对于地面的速度。
相对速度：Ｃ相对于ＡＢ杆的速度。
牵连速度：ＡＢ杆相对于地面的速度。
→→→+=r e a v v v)/(20021001s mm A O v v v A C e =⨯=⋅===ω )/(1005.020060cos 0s mm v v e a =⨯==)/(100s mm v v v a C CD ===→→→+=r e a a a aA e a a = 0=τe a)/(4002100222112s mm A O AO v a a n ee =⨯=⋅===ω)/(4.346866.040060sin 20s mm a a e a =⨯==)/(4.346s mm a a a a C CD ===[习题7-11] 具有圆弧形滑道的曲柄滑道机构，用来使滑道ＣＤ获得间歇往复运动。
