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第八章 点的合成运动8-1 M 点沿y 轴作谐运动，运动方程为：0=x ，()β+=kt a y cos 。
如将M 点放映到银幕上，此银幕以匀速v 向左运动。
试分析M 点的牵连、相对和绝对运动，并求M 点映在银幕上的轨迹。
答案：相对运动方程 ()⎩⎨⎧+='='βkt a y vt x cos ；相对运动轨迹 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+'='βx v k a y cos8-2 M 点沿圆盘直径AB 以v 匀速运动，当开始时，M 点在圆盘中心，且直径AB 与Ox 轴重合。
如圆盘以匀角速度w 绕O 轴转动，求M 点的绝对轨迹。
答案：轨迹方程：ϕωv r =8-3 半径为r 的齿轮Ⅱ由曲柄OA 带动沿同样半径的固定齿轮Ⅰ而滚动，曲柄以角速度w 0绕O 轴转动。
设在曲柄OA 上固连一动系，试求动齿轮上B 、C 、D 三点的牵连速度。
答案：0003,5,ωωωr v r v r v eD eB eC ===8-4 河的两岸相互平行，设各处河水流速均匀且不随时间改变。
一船由点A 朝与岸垂直的方向等速驶出，经10min 到达对岸，这时船到达点B 下游120m 的点C 。
为使船从点A 能垂直到达对岸的点B ，船应逆流并保持与直线AB 成某一角度的方向航行。
再此情况下，船经12.5min 到达对岸。
求河宽L 、船对水的相对流速v r 和水的流速v 的大小。
答案：200m L =；m /s 333.0=r v ；m/s 2.0=v8-5 水流在水轮机工作轮入口处的绝对速度m/s 15=a v ，并与铅垂直径成︒=60ϕ角。
工作轮的半径m 2R =，转速r/min 30n =。
为避免水流对工作轮叶片想冲击，叶片应恰当的安装，以使水流对工作轮的相对速度与叶片相切。
求在工作轮外缘处水流对工作轮的相对速度的大小和方向。
答案：m /s 06.10=r v ； v r 与半径的夹角为︒8.418-6 矿砂从传送带A 落到另一传送带B ，其绝对速度m /s 4v 1=，方向与铅直线成︒30角。
第 5 章点的合成运动习题解答0 8 08 1 4第五章点的合成运动本章要点一、绝对运动、相对运动和牵连运动一个动点，两个参照系：定系，动系；三种运动：绝对运动、相对运动和牵连运动，包括三种速度：绝对速度、相对速度和牵连速度；三种加速度：绝对加速度、相对加速度和牵连加速度；牵连点：动参考系上瞬时与动点相重合的那一点称为动参考系上的牵连点。
二、速度合成定理动点的绝对速度，等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和，即V a V e V r解题要领1定系一般总是取地面，相对定系运动的物体为动系，动点不能在动系上.2牵连速度是牵连点的速度•3速度合成定理中的三个速度向量，涉及大小方向共六个因素，能且只能存在两个未知数方能求解，因此，至少有一个速度向量的大小方向皆为已知的.4作速度平行四边形时，注意作图次序：一定要先画大小方向皆为已知的速度向量，然后再根据已知条件画上其余两个速度向量，特别注意，绝对速度处于平行四边形的对角线位置.5用解三角形的方法解速度合成图.三、加速度合成定理1牵连运动为平移时的加速度合成定理当牵连运动为平移时，动点的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和，即a a a e a r ，当点作曲线运动时，其加速度等于切向加速度和法向加速度的矢量和，因此上式还可进一步写成a；a a a e n t na e a r a r其中a；dv；，n aa2V a tdV e n，a e ，a e2Ve a t，a r dV r，a n2v■ ?a, e, r依次dt a dt e dt r为绝对轨迹、牵连轨迹和相对轨迹的曲率半径。
解题要领1牵连运动为平移时的加速度合成定理只对“牵连运动为平移时”成立，因此，判定牵连运动是否为平移至关重要.2牵连运动为平移时的加速度合成定理涉及的三个加速度，每一加速度都可能有切向和法向加速度。
但是，法向加速度只与速度有关，因此，可以通过速度分析予以求解，从而在此处是作为已知的。
第八章 点的合成运动8-1 如图所示，光点M 沿y 轴作谐振动，其运动方程为：0=x ， )cos(β+=kt a y 如将点M 投影到感光记录纸上，此纸以等速e v 向左运动。
求点M 在记录纸上的轨迹。
解：把动坐标系'''y x O 固连在纸上，M 点的相对运动的运动方程为 t v x e '=，)cos('β+=kt a y 消去t 即可得到M 点在记录纸上的轨迹方程)'cos('eβ+=x v ka y8-3 水流在水轮机工作轮入口处的绝对速度m/s 15a =v ，并与直径成︒=60β角，如图所示，工作轮的半径m 2=R ，转速r/min 30=n 。
为避免水流与工作轮叶片相冲击，叶片应恰当地安装，以使水流对工作轮的相对速度与叶片相切。
求在工作轮外缘处水流对工作轮的相对速度的大小方向。
解：取水轮机工作轮入口处的一滴水为动点M ，动坐标系建立在工作轮上，速度分析图（a ），设θ为r v 与'x 轴的夹角。
M 点的牵连速度为m/s 283.630π2e =⨯==n R v ω 方向与'y 轴平行，由图（a ）︒=-︒=+︒sin30)sin(90)sin(60ra e v v v θθ 前一等式得)60sin(cos a e θθ+︒=v v即 ︒︒-=60cos 60sin tan a a e v v v θ把m/s 283.6e =v 及m/s 15a =v 代入解得'4841︒=θ后一等式得m/s 1.10cos 30sin a r =︒=v v θ8-5 杆OA 长l ，由推杆推动而在图面内绕点O 转动，如图所示。
假定推杆的速度为v ，其弯头高为a 。
试求杆端A 的速度的大小（表示为推杆至点O 的速度x 的函数）。
解：取推杆上与AO 杆接触的B 点为动点，动系固连在AO 上，B 点速度分析如图。
设OA 角速度为ωv v =a ，ϕωsin a e v OB v =⋅=，ϕωsin v OB =⋅ 以 22sin a x aOBa +==ϕ代入上式得，22ax va+=ω 最终得 22a ax lavl v +==ω，方向如图8-7 在图a 和b 所示的两种机构中，已知mm 20021==a O O ，rad/s 31=ω。
第五章 点的合成运动本章要点一、绝对运动、相对运动和牵连运动一个动点，两个参照系： 定系，动系；三种运动：绝对运动、相对运动和牵连运动， 包括三种速度：绝对速度、相对速度和牵连速度； 三种加速度：绝对加速度、相对加速度和牵连加速度；牵连点：动参考系上瞬时与动点相重合的那一点称为动参考系上的牵连点。
二、速度合成定理动点的绝对速度，等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和，即r e a v v v +=解题要领1 定系一般总是取地面，相对定系运动的物体为动系，动点不能在动系上.2 牵连速度是牵连点的速度.3 速度合成定理中的三个速度向量，涉及大小方向共六个因素，能且只能存在两个未知数方能求解，因此，至少有一个速度向量的大小方向皆为已知的.4 作速度平行四边形时，注意作图次序：一定要先画大小方向皆为已知的速度向量，然后再根据已知条件画上其余两个速度向量，特别注意，绝对速度处于平行四边形的对角线位置.5 用解三角形的方法解速度合成图. 三、加速度合成定理1 牵连运动为平移时的加速度合成定理当牵连运动为平移时，动点的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和，即r e a a a a +=，当点作曲线运动时，其加速度等于切向加速度和法向加速度的矢量和，因此上式还可进一步写成n r t r n e t e na t a a a a a a a +++=+其中 t v a d d a t a=，a 2a n a ρv a =，t v a d d e t e =，e2e ne ρv a =，t v a d d r t r =，r 2r n r ρv a =，r e a ,,ρρρ依次为绝对轨迹、牵连轨迹和相对轨迹的曲率半径。
解题要领1牵连运动为平移时的加速度合成定理只对“牵连运动为平移时”成立，因此，判定牵连运动是否为平移至关重要.2 牵连运动为平移时的加速度合成定理涉及的三个加速度，每一加速度都可能有切向和法向加速度。
点的合成运动一、是非题1. 在研究点的合成运动问题时，所选的动点必须相对地球有运动。
（ × ）2. 牵连速度是动参考系相对于静参考系的速度。
（ × ）3. 牵连运动为定轴转动时，科氏加速度始终为零，动点在空间里一定作直线运动。
（ × ）4. 如果考虑地球自转，则在地球上的任何地方运动的物体（视为质点），都有科氏加速度。
（ √ ）5. 用合成运动的方法分析点的运动时，若牵连角速度00≠ω，相对速度0≠r v ，则一定有不为零的科氏加速度。
（ × ）6. 牵连速度是动参考系相对于固定参考系的速度。
（ × ）7. 当牵连运动为定轴转动时，牵连加速度等于牵连速度对时间的一阶导数。
（ × ）8. 当牵连运动为平动时，相对加速度等于相对速度对时间的一阶导数。
（ √ ）9. 在点的复合运动中，下述等式是否一定成立（式中各导数均为相对静系求导）：A. t d d e e v a =， ( × ) B. t d d r rv a =， ( × ) C. t v a d d e e=， ( × ) D. t v a d d r r=， ( × ) E.t v d d a a =a ， ( √ ) F. tv a a d d a =。
( × ) 10. 在点的复合运动中，请选出正确的说法：A. 若0,0e =≠v r ，则必有0=C a ， ( × )B. 若0,0e =≠a r ，则必有0=C a ， ( × )C. 若0≠e n a ，则必有0=C a ， ( × )D. 若0,0r ≠≠v ϕ，则必有0≠a ， ( × )E. 若0,0r ≠≠a ω，则必有0≠a ( × )这里r 为动点的绝对矢径，上面所指皆为某瞬时。
11. 在点的复合运动中，下述说法是否成立：A. 若v r 为常量，则必有0r =a ， （ × ）B. 若ω为常量，则必有0e =a ， （ × ）C. 若ω||r v ，则必有0c =a 。
点的合成运动作业参考答案（求加速度和角加速度）1、图示倾角ϕ =30º的尖劈以匀速v =200mm/s 沿水平面向右运动，使杆OB 绕定轴O 转动；r =2003mm 。
求当θ =ϕ 时，杆OB 的角速度和角加速度。
思路： 以杆OB 上的点B 为动点，动系与尖劈固结，则绝对轨迹为圆弧，相对轨迹是尖劈上的倾斜直线，牵连运动是水平直线平移。
答案： , rad/s 31=ω逆时针；2rad/s 273 =α ；顺时针。
2、图示小环M 套在半径OC = R =120mm 的固定半圆环和作平动的直杆AB 上。
当OB =BC =60mm 瞬时，AB 杆以速度为30mm/s 及加速度为30mm/s 2向右加速运动；试求小环M 的相对速度和相对加速度。
思路： 以小环M 为动点，动系与杆AB 固结，则绝对轨迹为圆弧，相对轨迹是铅垂直线，牵连运动是水平直线平移。
答案： 2r r mm/s 3310 mm/s, 310==a v3、已知直角弯杆OAB 绕轴O 以匀角速度ω 转动，小环M 同时套在半径为R 的固定圆环和直角弯杆OAB 上（圆环与直角弯杆在同一平面内），几何尺寸如图9 。
在图示瞬时，AB 水平且通过圆环中心C 。
求该瞬时小环M 的绝对速度和绝对加速度。
思路： 以小环M 为动点，动系与直角弯杆OAB 固结，则绝对轨迹为圆弧，相对轨迹是水平直线，牵连运动是绕轴O 的定轴转动。
答案： ↑==→==↑== , , 2ta t2na na ωωωR a a R a a R v v M M M22ωR a M =与水平线夹角450 。
4、机构如图所示，已知圆盘半径为r ，可绕水平轴O 定轴转动；杆AB 可在水平滑道中移动。
其端点A 始终与圆盘边缘接触且在圆盘边缘上运动，若图示瞬时杆AB 以匀速v 向左运动，求该瞬时圆盘的角速度和角加速度。
思路1： 以杆端A 为动点，动系与圆盘C 固结，则绝对轨迹为水平直线，相对轨迹是以点C 为圆心的圆弧，牵连运动是绕轴O 的定轴转动。
第五章 点的合成运动本章要点一、绝对运动、相对运动和牵连运动一个动点，两个参照系： 定系，动系；三种运动：绝对运动、相对运动和牵连运动， 包括三种速度：绝对速度、相对速度和牵连速度； 三种加速度：绝对加速度、相对加速度和牵连加速度；牵连点：动参考系上瞬时与动点相重合的那一点称为动参考系上的牵连点。
二、速度合成定理动点的绝对速度，等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和，即r e a v v v +=解题要领1 定系一般总是取地面，相对定系运动的物体为动系，动点不能在动系上.2 牵连速度是牵连点的速度.3 速度合成定理中的三个速度向量，涉及大小方向共六个因素，能且只能存在两个未知数方能求解，因此，至少有一个速度向量的大小方向皆为已知的.4 作速度平行四边形时，注意作图次序：一定要先画大小方向皆为已知的速度向量，然后再根据已知条件画上其余两个速度向量，特别注意，绝对速度处于平行四边形的对角线位置.5 用解三角形的方法解速度合成图. 三、加速度合成定理1 牵连运动为平移时的加速度合成定理当牵连运动为平移时，动点的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和，即r e a a a a +=，当点作曲线运动时，其加速度等于切向加速度和法向加速度的矢量和，因此上式还可进一步写成n r t r ne t e n a t a a a a a a a +++=+其中 t v a d d a t a=，a 2a n a ρv a =，t v a d d e t e =，e2e n e ρv a =，t v a d d r t r =，r 2r nr ρv a =，r e a ,,ρρρ依次为绝对轨迹、牵连轨迹和相对轨迹的曲率半径。
解题要领1牵连运动为平移时的加速度合成定理只对“牵连运动为平移时”成立，因此，判定牵连运动是否为平移至关重要.2 牵连运动为平移时的加速度合成定理涉及的三个加速度，每一加速度都可能有切向和法向加速度。
但是，法向加速度只与速度有关，因此，可以通过速度分析予以求解，从而在此处是作为已知的。
剩下的三个切向加速度的大小方向共有六个因素，能且只能有2个未知量时方可求解。
3 因加速度合成定理涉及的矢量较多，一般不用几何作图的方法求解，而是列投影式计算，千万不能写成“平衡方程”的形式。
4 在加速度分析中，因动点和动系的选择不当而出现了一种似是而非的分析过程。
教材中例5.3.5的一个典型错误解法如下：例：半径为r 的半圆凸轮移动时，推动靠在凸轮上的杆OA 绕O 轴转动，凸轮底面直径DE 的延长线通过O 点，如图所示。
若在 30=ϕ的图示瞬时位置，已知凸轮向左的移动速度为u ，加速度为a 且与u 反向，求此瞬时OA 杆的角速度ω与角加速度α。
“解”：取OA 杆上与凸轮相接触的B 点为动点，动系固结在凸轮上。
设OA 杆的角 速度和角加速度分别为ω 和α。
1）速度分析：根据速度合成定理，可画出速度平行四边形如图所a 示。
由几何关系可得u v v 2130sin e a == , u v v 2330cos e r == 方向如图所示。
由此可求得OA 杆在图示瞬时的角速度为ru u r OB v ω63230ctg 1a ===， 转向如图所示。
2） 加速度分析：根据牵连运动为平移时的加速度合成定理，有n r t r en ata a a a a a ++=+大小： αOB ？ 2ωOB a ？ BCv 2r方向： OA ⊥ 指向O 点 ← BC ⊥ 指向C 点加速度矢量关系图如图b 所示。
在这个矢量关系式中，各加速度分量的大小、方向共有十个要素，已知八个要素，可以求解。
将图示的加速度矢量关系向CB 方向投影，得()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=--=--=--=r u a r u/a BC v a a a a 43223230sin 30sin 222r n r e t a， t a a 为负值说明τa a 的真实指向应与图设的指向相反。
由此，可求得OA 杆在图示瞬时的角加速度的大小为⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+===r u a r rr /u a/BC a OB a α2323343230ctg 22ta t a ， 转向如图所示（由t a a 的真实指向决定）。
上述解法是“避免 ”了取OA 杆为动系时出现的科氏加速度，错在何处？这不难从杆OA 的转动方程xR=ϕsin ， 对时间求导求得OA 杆的角速度和角加速度值得到验证，式中OA x =。
可以看到，速度分析的结果是正确的，而加速度分析结果是错误的。
原因是“取OA 杆上与凸轮相接触的B 点为动点”，此动点只在此瞬时与凸轮相接触，随后就分道扬镳了，其相对轨迹不是凸轮轮廓线，相对轨迹不清楚，因此，上面分析中nr a 用凸轮轮廓线的半径作为相对轨迹的曲率半径的计算是错误的。
2 牵连运动为转动时的加速度合成定理牵连运动为转动时点的加速度合成定理：当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度，等于该瞬时动点的牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和c r e a a a a a ++=，其中科氏加速度为r e c ω2v a ⨯=，当相对速度矢量与牵连角速度矢量垂直时，相对速度顺着牵连角速度转90的方向就是科氏加速度的方向，大小为r e ω2v a c =.当点作曲线运动时，其加速度等于切向加速度和法向加速度的矢量和，因此上式还可进一步写成c n r t r ne t e n a t a a a a a a a a ++++=+.解题要领：1 在加速度分析中要特别注意动系是否有角速度，如果有，就要考虑科氏加速度。
2 牵连运动为转动时的加速度合成定理涉及的矢量较多，最多有7个矢量，分析和列投影式时不要遗漏了。
3 法向加速度和科氏加速度只与速度和角速度有关，因此，在加速度分析时应作为是已知的。
4 牵连运动为转动时的加速度合成定理只可以解2个未知量。
第五章 点的合成运动 习题解答5-1 在图a 、b 所示的两种机构中，已知20021==a O O mm ，31=ωrad/s 。
求图示位置时杆A O 2的角速度。
解：（1）取杆A O 1上的A 点为动点，杆A O 2为动系。
1a ωa v =，由r e a v v v +=作速度平行四边形（如题5-1图a 所示），得a v v 1a e 2330cos ω==， rad/s 5.1212e 2===ωωAO v ， （逆时针） （2）取滑块A 为动点，杆A O 1为动系， 1e ωa v =，由r e a v v v +=作速度平行四边形（如题5-1图b 所示），得1e a 3230cos ωa v v ==， rad/s 23212a 2===ωωA O v .（逆时针）5-2图示曲柄滑道机构中，杆BC 为水平，杆DE 保持铅直。
曲柄长10.OA =m ，并以匀角速度20=ωrad/s 绕O 轴转动，通过滑块A 使杆BC 作往复运动。
求当曲柄水平线的交角分别为0=ϕ、30、90时杆BC 的速度。
(a)( b)题5-1图解：取滑块A 为动点，动系为BCE 杆。
m /s 2OA a =⋅=ϕv . 由 r e a v v v += 得 ϕsin a e v v =当 0=ϕ 时， 0e =v ；当30=ϕ时，m/s 1e =v ；当90=ϕ时，m/s 2e =v .5-3图示曲柄滑道机构中，曲柄长r OA =，并以匀角速度ω饶O 轴转动。
装在水平杆上的滑槽DE 与水平线成60角。
求当曲柄与水平线交角0=ϕ、30、60时，杆BC 的速度。
解：取滑块A 为动点，动系为杆BC ，ωωr v =⋅=OA a . 作速度矢量图如图示。
由正弦定理)30-sin()60-sin(180eaϕv v =， 解得 )30-sin(32-e ϕω⋅=r v . 当0=ϕ时， 33e v r ω=； 当30oϕ=时， 0=e v ；当60oϕ=时， 33e v r ω=-(向右). 5-4如图所示，瓦特离心调速器以角速度ω绕铅垂轴转动。
由于机器转速的变化，调速器重球以角速度1ω向外张开。
如该瞬间10rad/s =ω， 1.2rad/s 1=ω。
球柄长500mm =l ，悬挂球柄的支点到铅垂的距离为50mm =e ，球柄与铅垂轴间所成的夹角30=β。
求此时重球绝对速度的大小。
题5-3图解：取重球为动点，转轴AB 为动系，则 ωl v r =，方向如图示；牵连速度()ωβsin e l e v +=，方向与ADB 垂直。
根据r e a v v v +=，由勾股定理得 m/s 059.32r 2e a =+=v v v .5-5图示L 形杆BCD 以匀速v 沿导槽向右平动，CD BC ⊥，h BC =。
靠在它上面并保持接触的直杆OA 长为l ，可绕O 轴转动。
试以x 的函数表示出直杆OA 端点A 的速度。
解： 以L 形杆上的B 为动点，OA 杆为动系，则动点相对于动系做直线运动。
v v =a ，设OBC ∠为θ，由速度合成定理得v x h h v v 22a e cos +==ϑ， 由此可求得v xh hl l x h v v eA 2222+=+=. 也可以利用以下关系解出A v 。
由hxh x arctan ,tan ==θθ，vt x = vx h hl r v x h vh h x h vt A 22222,1d d +==+=⎪⎭⎫⎝⎛+==ωθω.5-6如图所示，摇杆OC 绕O 轴转动，拨动固定在齿条AB 上的销钉K 而使齿条在铅直导轨内移动。
齿条再传动半径100=r mm 的齿轮D 。
连线1OO 是水平的，距离400=l mm 。
在图示位置，摇杆角速度50.=ωrad/s ，30=ϕ。
试求此时齿轮D 的角速度。
题5-5图题5-6图解： 解法一：分两步计算。
（1）计算齿条AB 的速度。
取K 为动点，OC 杆为动系，则ωOK v =e . 由速度合成定理得：ϕωϕ2e a cos cos l v v v AB ===， （2）计算齿轮D 的角速度。
rad/s 67.238cos 2====ϕωωr l r v AB D .（逆时针） 解法二：设齿轮D 和齿条AB 的啮合点到K 点的距离为h ，则 ωϕϕ-== ,tan l h ，从而有()tl l t t h v AB ωωϕ2cos tan d d d d -===， 代入数据，m/s 15430cos 5.04.02-=⨯-= AB v .其中负号表示AB v 是沿h 减小的方向，即向下。
齿轮D 的角速度为 m/s 67.238===r v v AB D .（逆时针） 5-7绕轴O 转动的圆盘及直杆OA 上均有一导槽，两导槽间有一活动销子M 如图所示，0.1m =b 。
