简谐运动的多解性和对称性

专题：简谐运动的多解性和对称性教学目标：1．加深对简谐运动周期性和对称性的理解。

2．能运用周期性和对称性分析和解决简谐运动的有关问题。

教学重点和难点：周期性和对称性的应用。

教学方法：分析、讨论和总结。

教学过程一、简谐运动的多解性和对称性1．简谐运动的多解性：做简谐运动的质点，在运动方向上是一个变加速运动，质点运动相同的路程所需的时间不一定相同。

它是一个周期性的运动，假设运动的时间是周期或半周期的整数倍，那么质点运动的路程是唯一的，假设不具备以上条件，那么质点运动的路程是多解的。

2．简谐运动的对称性：做简谐运动的质点，在距平衡位置等距离的两点上时，具有大小相等的速度和加速度，由这两点运动到平衡位置或最大位移处的时间相等。

二、课堂讨论【例1】一个做简谐运动的质点在平衡位置O 点附近振动，当质点从O 点向某一侧运动时，经3s 第一次过P 点，再向前运动，又经2s 第二次过P 点，那么该质点再经 s 的时间第三次过P 点。

〔14s 或s 310〕 【例2】一质点做简谐运动，从平衡位置开始计时，经过0.5s 在位移最大处发现该质点，那么此简谐运动的周期可能是〔AB 〕A.2sB.s 32 C.s 21 D.s 41 解：假设质点先向发现点运动，那么，t=T n )41(+，且n=0、1、2、3…… 由上式可知答案A 正确；假设质点先向背离发现点运动，那么，t=T n )43(+，且n=0、1、2、3…… 由上式可知答案B 正确。

【例3】一弹簧振子做简谐运动，周期为T ，下述正确的选项是〔C 〕A.假设t 时刻和(t+△t)振子运动位移的大小相等，方向相反，那么△t 一定等于T 的整数倍。

B.假设t 时刻和(t+△t)振子运动速度大小相等，方向相反，那么△t 一定等于2T 的整数倍。

C.假设△t=T,那么在t 时刻和(t+△t)时刻振子运动的加速度一定相等。

D.假设△t ＝2T ,那么在t 时刻和(t+△t)时刻弹簧长度一定相等。

简谐运动中的对称性应用
简谐运动是物体在规定的单位时间内经过等间隔的位置，并以等差
序列速度变化，也就是速度增减是以等差序列的形式的运动。

简谐运
动的特点是它的速度和位置变化都有着某种对称性，可以帮助我们更
好的理解物体的实际运动规律。

在简谐运动中，最典型的应用就是线路对称性。

在重力加速度力作用下，物体进行简谐运动时，它的轨迹具有线性对称特性。

即加速度在
某个定位处产生等效反作用，使物体能够在前后两端位置相同，既然
物体在相同位置执行，因此它们的速度也将在此处发生对称变化，比
如物体在两个位置的速度变化为相反的负值。

除了线路对称性，速度和加速度也具有相关性。

简谐运动是一种运动，速度增减与加速度处于相反方向。

另外，加速度和力也有对称关系，
只要加速度以一定相对距离取反，力就会施加在该点上。

因此，在进
行简谐运动时，物体的力也具有一定的对称性。

01简谐运动的多解性与机械波传播的多解性问题模型概述1.简谐运动的周期性与对称性1)周期性①相隔Δt=n+1 2T(n=0，1,2,3⋯⋯)的两个时刻，弹簧振子的位置关于平衡位置对称，位移等大反向(或都为零)，速度等大反向(或都为零)，加速度等大反向(或都为零)．②相隔Δt=nT(n=0，1,2,3⋯⋯)的两个时刻，弹簧振子在同一位置，位移、速度和加速度都相同．2)对称性关于平衡位置O对称的两点,速度的大小、动能、势能、相对平衡位置的位移大小相等,由对称点向平衡位置O运动时用时相等2.波传播问题的多解性问题及分析思路1)造成造成波传播问题多解的主要因素①周期性a)时间周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确．b)空间周期性：波传播的距离Δx与波长λ的关系不明确．②双向性a)传播方向双向性：波的传播方向不确定．b)振动方向双向性：质点振动方向不确定．2)解决波的多解问题的思路①首先考虑传播方向的双向性：如果题目未说明波的传播方向或没有其他条件暗示，应首先按波传播方向的可能性进行讨论。

②对设定的传播方向：机械波在一个周期内不同时刻图像的形状是不同的，但在相隔时间为周期整数倍的不同时刻图像的形状则是相同的，这种周期性必然导致波的传播距离、时间和速度等物理量有多个值与之对应。

一般采用从特殊到一般的思维方法，先确定最简单的情况，即先找出一个周期(或一个波长内)内满足条件的关系Δt或Δx，然后在此基础上加nT(或nλ)。

若此关系为时间，则t=nT+Δt(n=0，1，2，3，⋯⋯)；若此关系为距离，则x=nλ+Δx(n=0，1，2，3，⋯⋯)．最后求速度v=xt=nλ+ΔxkT+Δt，其中n=0,1,2，⋯且k=0,1,2，⋯)。

02典题攻破1.简谐运动的多解性问题1.(2024·陕西西安·模拟预测)(多选)如图所示，弹簧振子做简谐运动，M 点和N 点为最大位移处，从某次通过A 点开始计时，经过2s 后振子第一次以与A 点相同的速度通过B 点，再经过2s 振子紧接着又通过B 点，已知物体在4s 内所走过的总路程为18cm ，则下列说法正确的是()A.振子做简谐运动的周期可能是4sB.振子做简谐运动的周期可能是8sC.振子做简谐运动的振幅可能是3cmD.振子做简谐运动的振幅可能是6cmE.振子做简谐运动的振幅可能是9cm【答案】BCE 【详解】AB ．若小球通过A 点计时是向右运动：由简谐振动的规律可知，因为过A 、B 两点的速度大小相等，所以A 、B 两点一定关于平衡位置O 对称，此时通过A 、B 两点的速度方向相同，所以有从O 到B 的时间为1s ，而从B 到速度为零的位置为1s ，所以T 4=2s 解得T =8s若小球通过A 点计时是向左运动，由简谐振动的规律可知，因为过A 、B 两点的速度相等，所以A 、B 两点一定关于平衡位置O 对称，此时经过A 、B 两点的速度方向相反，设从A 到B 的时间为t 1，从B 到最右端的时间为t 2，由对称性有4t 2+t 1=2s2t 2+2t 1=2s其周期为T =2t 1+4t 2=83s 综上所述，振子做简谐运动的周期可能是8s 或者83s ，故A 错误，B 正确；CDE ．若小球通过A 点计时是向右运动：由简谐振动的规律可知，因为过A 、B 两点的速度大小相等，方向相反，所以A 、B 两点一定关于平衡位置O 对称，由对称性有2A =18cm解得A =9cm若小球通过A 点计时是向左运动，由简谐振动的规律可知，因为过A 、B 两点的速度相等，所以A 、B 两点一定关于平衡位置O 对称，此时经过A 、B 两点的速度方向相反，由对称性有2A +A +2A +A =18cm 解得A =3cm综上所述，振子做简谐运动的振幅可能是9cm 或者3cm ，故CE 正确，D 错误。

1. 简谐运动：（1）简谐运动：）简谐运动：物体在跟位移大小成正比，且总是指向平衡位置的力作用下的振动。

受力特征：kx F -=对简谐运动的理解：① 简谐振动是最简单最基本的振动简谐振动是最简单最基本的振动②简谐运动的位移按正弦规律变化，所以它不是匀变速运动，而是变力作用下的非匀变速运动。

③简谐运动具有重复性的运动轨迹，若轨迹不重复，则一定不是简谐运动。

简谐运动。

（2）描述简谐运动的）描述简谐运动的物理量物理量 平衡位置：做往复运动的物体能够静止的位置，叫作平衡位置。

的位置，叫作平衡位置。

振动：物体（或其一部分）在平衡位置附近所做的往复运动，对振动的三点透析：振动的轨迹：振动物体可能作直线运动，振动物体可能作直线运动，也可能做也可能做也可能做曲线曲线运动，运动，所以其轨迹可能是所以其轨迹可能是直线或曲线。

振动的特征：往复性。

振动的特征：往复性。

振动的条件：每当物体离开平衡位置后，它就受到一个指向平衡位置的力，该力使物体产生回到平衡位置的效果（即回复力）、并将其看作受到的阻力足够小。

此时认为它做自由振动。

振幅A ：定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，叫作振动的振幅（或省略作振幅）振幅（或省略作振幅）单位：m （米）（米）物理意义：反映振动的强弱和振动的空间范围，对同一系统，振幅越大，系统的能量越大。

大。

振幅和位移的区别1. 振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离，位移是振动物体相对平衡位置的位置变化2. 振幅时表示振动强弱的物理量，位移表示的是某一时刻振动质点的位置。

3. 振幅是标量，位移是矢量周期T ：定义：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间。

定义：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间。

单位：s 物理意义：表示振动的快慢，周期越长表示物体振动的越慢，周期越短表示物体振动得越快。

方法规律做简谐运动的物体，某一振动过程是否为一次全振动，可以从两个角度判断，一是看物体经过某点时的特征物理量，如果物体的位移和速度都回到原值（大小、方向两方面），物体完成了一次全振动，即物体从一个方向回到出发点，二是看物体在这段时间内通过的路程是否等于振幅的4倍。

简谐运动的对称性在高中物理模型中，有很多运动模型有对称性，如（类）竖直上抛运动的对称性，简谐运动中的对称性，电路中的对称性，带电粒子在匀强磁场中匀速圆周运动中几何关系的对称性.简谐运动的对称性是指振子经过关于平衡位置对称的两位置时，振子的位移、回复力、加速度、动能、势能、速度、动量等均是等大的（位移、回复力、加速度的方向相反，速度动量的方向不确定）。

运动时间也具有对称性，即在平衡位置对称两段位移间运动的时间相等。

(从某点到达最大位置和从最大位置再回到这一点所需要的时间相等、从某点向平衡位置运动的时间和它从平衡位置运动到这一点的对称点所用的时间相等).理解好对称性这一点对解决有关问题很有帮助。

下面我们分别从五个方面说明对称性在简谐运动中的应用:一、运动时间的对称性例1.如下图所示，一个质点在平衡位置O 点附近做简谐运动，若从O 开始计时，经过3s 质点第一次过M 点；再继续运动，又经过2s 它第二次经过M 点；则该质点第三次经过M 点所需要的时间是（ ）A. 8sB. 4sC. 14sD. s 310【解析】设图中a 、b 两点为质点运动过程中的最大位移处，若开始计时时刻质点从O 点向右运动，O →M 运动过程历时3s ，M →b →M 过程历时2s ，由运动时间的对称性知：s 16T ,s 44T ==质点第三次经过M 点所需时间：△s 14s 2s 16s 2T t =-=-=，故C 正确；若开始计时时刻质点从O 点向左运动，O →a →O →M ，运动过程历时3s ，M →b →M 过程历时2s ，有：s 316T ,s 44T 2T ==+，质点第三次经过M 点所需时间： △s 310s 2s 316s 2T t =-=-=，故D 正确，应选CD 。

二、速度的对称性例2.做简谐运动的弹簧振子，其质量为m ，运动过程中的最大速率为v ，从某一时刻算起，在半个周期内（ ）A. 弹力做的功一定为零B. 弹力做的功可能是0到2mv 21之间的某一值C. 弹力的冲量一定为零D. 弹力的冲量可能是0到2mv 之间的某一值【解析】由速度的对称性知，无论从什么时刻开始计时，振子半个周期后的速度与原来的速度大小相等，方向相反。

简谐振动的规律和特点简谐振动是一种重要的物理现象，它在自然界和人类生活中都有广泛的应用。

本文将详细介绍简谐振动的规律和特点，并从多个角度进行描述。

一、简谐振动的规律和特点1. 定义：简谐振动是指物体在一个平衡位置附近做往复振动的运动。

它的运动方式具有周期性和对称性，是一种非常规律的振动。

2. 弹簧振子的例子：弹簧振子是最常见的简谐振动的例子之一。

当弹簧振子受到外力拉伸或压缩后，当外力移除时，它会以平衡位置为中心作往复振动。

3. 动力学规律：简谐振动的运动规律可以由胡克定律和牛顿第二定律得出。

根据胡克定律，当弹性体受力时，其恢复力与位移成正比。

牛顿第二定律则表明物体的加速度与作用力成正比，与质量成反比。

结合这两个定律，可以推导出简谐振动的运动方程。

4. 运动方程：简谐振动的运动方程可以表示为x = A * sin(ωt + φ)，其中x是物体的位移，A是振幅，ω是角频率，t是时间，φ是相位差。

这个运动方程描述了物体在平衡位置两侧往复振动的过程。

5. 特点一：周期性。

简谐振动的最基本特点是其运动是周期性的，即物体在一个周期内重复完成相同的运动。

周期T是指物体完成一个完整振动所需的时间，与角频率ω的倒数成正比。

6. 特点二：振幅和频率。

简谐振动的振幅A表示物体在振动过程中最大的位移，频率f表示单位时间内完成的振动次数。

振幅和频率都是简谐振动的重要参数，它们与物体的质量、劲度系数、外力等因素有关。

7. 特点三：相位差和初相位。

相位差是指两个简谐振动之间的时间差，初相位是指物体在某一时刻的位移相对于平衡位置的位置。

相位差和初相位对于描述简谐振动的运动状态和相互作用非常重要。

8. 特点四：能量转化。

简谐振动是一种能量在不同形式之间转化的过程。

在振动过程中，物体的动能和势能会不断相互转化，当物体通过平衡位置时，动能最大，而位移最大时，势能最大。

9. 特点五：应用广泛。

简谐振动的规律和特点在物理学、工程学、生物学等领域都有广泛的应用。

简谐运动、机械波的多解性简谐运动是质点运动的一种基本模型，它的基本特点就是周期性和对称性．在解答某些 问题时，如果能充分利用其对称性，不仅物理过程简单明了，而且解答也很简洁．波的传播和介质各质点的振动之间有密切的内在联系，在求解此类问题时，如果质点振动或波的传播方向不确定和波的传播时间不确定等，就容易出现多解现象．解题时往往人为地选定某一方向为波的传播方向或是质点的振动方向， 造成漏掉一个相反方向的可能解．如果解题中又不能透彻分析题意，合理使用已知条件，就会造成解答不完整，或用特解代替通解现象．简谐运动的多解性简谐振动的多值性 ：作简谐振动的质点，是一个变加速运动，质点运动相同的路程所需的时间不一定相同．简谐振动是周期性的运动，若运动的时间与周期存在整数倍的关 系，质点运动的路程是唯一的，若运动时间为周期的一半，运动的路程具有唯一性．若不具备以上条件，质点运动的位移是多值的．情形一：简谐振动的对称性引出的多值例1．一个做简谐运动的质点在平衡位置O 点附近振动，当质点从O 点向某一侧运动时，经3s 第一次过P 点，再向前运动，又经2s 第二次过P 点，则该质点再经 s 的时间第三次过P 点．分析与解： 由题意“从 O 点”出发，“过 P 点继续”运动知，P 点不是平衡位置和位移最大的特殊点，做出示意图，题中未明确质点第一次从 O 到P 的路径，因此需多向思维，考虑到可能的两种情况． 若质点沿图14-1中①的方向第一次过 P 点 ，历时3s ；由P 到b ，再由b 到P 共历时2s ，则由其对 称性知P 、b 间往返等时，各为1s ，从而可知4T =4s ，周期 T =16s ，第三次再过 P 点，设由P 向左到a ，再返回P ，历时一个周期 T 减去P 、b 间往返用的 2s ，需时t=(16—2)s=14s ．若沿图1中② 的方向第一次过 P 点，由对 称性可知，从 O 到P 的时间与从P 到O 的时间相等，设为t ’ ，则有：'3'22'4T t t -=+=由上式解得1'3t =s,163T =s ，质点第三次过 P 点历时10''23t T =-=s ，故此时的答案为：14s 或103s ． 情形二：运动方向性引出的多值性例2．一质点做简谐运动，从平衡位置开始计时，经过0.5s 在位移最大处发现该质点，则此简谐运动的周期可能是（ ）A.2sB.2s 3C.1s 2D.1s 4解：质点从平衡位置开始运动时，是先向发现点运动还是背离发现点运动，题目中并未说明，故分析时应考虑两种情况：若质点先向发现点运动，设周期为T 则，t =T n )41(+，且n=0、1、2、3…… 图14-1由上式可知答案A 正确；若质点先向背离发现点运动，设周期为T 则，t =T n )43(+，且n=0、1、2、3…… 由上式可知答案B 正确．情形三：周期性变化引出的多值性在解决与振动有关的问题时，要充分考虑到振动的周期性，由于振动具有周期性，所以此类问题往往答案不是一个而是多个．例3．如图14-2所示，光滑圆弧轨道的半径为R ，圆弧底部中点为O ，两个相同的小球分别在O 正上方h 处的A 点和离O 很近的轨道B 点，现同时释放两球，使两球正好在O 点相碰。