(完整版)简谐运动的对称性

专题：简谐运动的多解性和对称性教学目标：1．加深对简谐运动周期性和对称性的理解。

2．能运用周期性和对称性分析和解决简谐运动的有关问题。

教学重点和难点：周期性和对称性的应用。

教学方法：分析、讨论和总结。

教学过程一、简谐运动的多解性和对称性1．简谐运动的多解性：做简谐运动的质点，在运动方向上是一个变加速运动，质点运动相同的路程所需的时间不一定相同。

它是一个周期性的运动，假设运动的时间是周期或半周期的整数倍，那么质点运动的路程是唯一的，假设不具备以上条件，那么质点运动的路程是多解的。

2．简谐运动的对称性：做简谐运动的质点，在距平衡位置等距离的两点上时，具有大小相等的速度和加速度，由这两点运动到平衡位置或最大位移处的时间相等。

二、课堂讨论【例1】一个做简谐运动的质点在平衡位置O 点附近振动，当质点从O 点向某一侧运动时，经3s 第一次过P 点，再向前运动，又经2s 第二次过P 点，那么该质点再经 s 的时间第三次过P 点。

〔14s 或s 310〕 【例2】一质点做简谐运动，从平衡位置开始计时，经过0.5s 在位移最大处发现该质点，那么此简谐运动的周期可能是〔AB 〕A.2sB.s 32 C.s 21 D.s 41 解：假设质点先向发现点运动，那么，t=T n )41(+，且n=0、1、2、3…… 由上式可知答案A 正确；假设质点先向背离发现点运动，那么，t=T n )43(+，且n=0、1、2、3…… 由上式可知答案B 正确。

【例3】一弹簧振子做简谐运动，周期为T ，下述正确的选项是〔C 〕A.假设t 时刻和(t+△t)振子运动位移的大小相等，方向相反，那么△t 一定等于T 的整数倍。

B.假设t 时刻和(t+△t)振子运动速度大小相等，方向相反，那么△t 一定等于2T 的整数倍。

C.假设△t=T,那么在t 时刻和(t+△t)时刻振子运动的加速度一定相等。

D.假设△t ＝2T ,那么在t 时刻和(t+△t)时刻弹簧长度一定相等。

简谐运动中的对称性应用
简谐运动是物体在规定的单位时间内经过等间隔的位置，并以等差
序列速度变化，也就是速度增减是以等差序列的形式的运动。

简谐运
动的特点是它的速度和位置变化都有着某种对称性，可以帮助我们更
好的理解物体的实际运动规律。

在简谐运动中，最典型的应用就是线路对称性。

在重力加速度力作用下，物体进行简谐运动时，它的轨迹具有线性对称特性。

即加速度在
某个定位处产生等效反作用，使物体能够在前后两端位置相同，既然
物体在相同位置执行，因此它们的速度也将在此处发生对称变化，比
如物体在两个位置的速度变化为相反的负值。

除了线路对称性，速度和加速度也具有相关性。

简谐运动是一种运动，速度增减与加速度处于相反方向。

另外，加速度和力也有对称关系，
只要加速度以一定相对距离取反，力就会施加在该点上。

因此，在进
行简谐运动时，物体的力也具有一定的对称性。

简谐运动的对称性问题简谐运动的四个二 两种特性对称性和周期性 两类图像 运动示意图和简谐运动图像两组物理量 位移力加速度势能 速度动能， 两个定律牛顿第二定律和能量守恒定律1. 用运动示意图和简谐运动图像分析运动学量的对称性和周期性例题1. 如图1所示，一质点在平衡位置O 点两侧做简谐运动，在它从平衡位置O 出发向最大位移A 处运动过程中经0.15s 第一次通过M 点，再经0.1s 第2次通过M 点。

则此后还要经多长时间第3次通过M 点，该质点振动的频率为多大？图1解析：由于质点从M →A 和从A →M 的时间是对称的，结合题设条件可知M →A 所需时间为0.05s ，所以质点从平衡位置O →A 的时间为，又因为，所以质点的振动周期为T ＝0.8s ，频率。

根据时间的对称性可知M →O 与O →M 所需时间相等为0.15s ，所以质点第3次通过M 点所需时间为例题2. 一弹簧振子做简谐运动，周期为T ，则正确的说法是…（ ）A ．若t 时刻和（t ＋Δt ）时刻振子运动位移的大小相等，方向相同，则Δt 一定等于T 的整数倍B ．若t 时刻和（t ＋Δt ）时刻振子运动速度大小相等，方向相反，则Δt 一定等于2T 的整数倍C ．若Δt ＝T ，则在t 时刻和（t ＋Δt ）时刻振子运动的加速度一度相等D ．若Δt ＝2T ，则在t 时刻和（t ＋Δt ）时刻弹簧的长度一定相等 解法一：如图1为一个弹簧振子的示意图，O 为平衡位置，B 、C 为两侧最大位移处，D 是C 、O 间任意位置．对于A 选项，当振子由D 运动到B 再回到D ，振子两次在D 处位移大小、方向都相同，所经历的时间显然不为T ，A 选项错．对于B 选项，当振子由D 运动到B 再回到D ，振子两次在D 处运动速度大小相等，方向相反，但经过的时间不是2T ，可见选项B 错． 由于振子的运动具有周期性，显然加速度也是如此，选项C 正确．对于选项D ，振子由B 经过O 运动到C 时，经过的时间为2T ，但在B 、C 两处弹簧长度不等，选项D 错．正确答案选C ．解法二：本题也可利用弹簧振子做简谐运动的图象来解．如图2所示，图中A 点与B 、E 、F 、I 等点的振动位移大小相等，方向相同．由图可见，A 点与E 、I 等点对应的时刻差为T 或T 的整数倍；A 点与B 、F 等点对应的时刻差不为T 或T 的整数倍，因此选项A 不正确．用同样的方法很容易判断出选项B 、D 也不正确．故只有选项C 正确．说明：比较两时刻的振动情况或根据两时刻的振动情况确定两时刻间的时间间隔跟周期的关系时，借助振动图象可以较方便而准确地作出判断．练习1、一质点在平衡位置O 附近做简谐运动，从它经过平衡位置起开始计时，经0.13 s 质点第一次通过M 点，再经0.1 s 第二次通过M 点，则质点振动周期的可能值为多大？ 通过上述例题的学习，我们了解了简谐运动的周期性和对称性，下面让我们通过演示再来巩固一下。

简谐运动的对称性例1.如下图所示，一个质点在平衡位置O点附近做简谐运动，若从O开始计时，经过3s质点第一次过M点；再继续运动，又经过2s 它第二次经过M点；则该质点第三次经过M点所需要的时间是（）A.8sB.4sC.14sD.s 3 10练习1、如图，在水平方向做简谐运动的弹簧振子，质量为m，A、B两点关于平衡位置对称，经过A点时速度为v。

（1）它从平衡位置O点经过0.4s第一次到达A点，再经过0.2s第二次到达A点，从弹簧振子离开O点开始计时，则振子第三次到达A点时间是多少？（2）振子连续经过A、B两点，弹力所做的功例2 如图1所示，一个质点做简谐运动，先后以相同的速度依次通过A和B两点，历时1s质点通过B点后再经过1s第2次通过B 点，在这2s内，质点通过的总路程为12cm，则质点振动的周期和振幅分别是多少？练习2 一弹簧振子做简谐动动，周期为T ，则下列说法中正确的是（ ）A . 若t 时刻和（t +△t ）时刻振子运动的位移大小相等、方向相同，则△t 一定等于T 的整数倍B . 若T 时刻和（t +△t ）时刻振子运动的速度大小相等、方向相反，则△t 一定等于T /2的整数倍C . 若△t =T ，则t 时刻和（t +△t ）时刻，振子运动的加速度一定相等D . 若△t =2T，则t 时刻和（t +△t ）时刻，弹簧的长度一定相等例3 如图2所示，质量为m 的物体在竖直弹簧上做简谐运动，当振幅为A 时，木块对弹簧压力的最大值为木块重力的1.5倍，则木块对弹簧压力的最小值为多少？欲使木块不脱离弹簧，其振幅不能超过多少？练习3 劲度系数为k 的轻质弹簧，下端挂一个质量为m 的小球，小球静止时距地面的高度为h 。

用力向下拉球使球与地面接触，然后从静止释放小球（弹簧始终在弹性限度以内）则（ ）A. 运动过程中距地面的最大高度为2hB. 球上升过程中势能不断变小C. 球距地面高度为h 时，速度最大D. 球在运动中的最大加速度是4.如下图在质量为M的支架上用一轻质弹簧挂有质量均为m（M≥m）的A、B两物体，支架放在水平地面上，开始各物体都静止，突然剪断A、B间的连线，此后A做简谐运动，当A运动到最高点时，支架对地面的压力为（）A.M gB.(M－m)gC.(M+m)gD.(M+2m)g。

简谐运动中对称性的应用【摘要】做简谐运动的物体，其对称性主要表现在：①位移对称性；②时间对称性；③速率对称性；④加速度（回复力）对称性。

【关键词】简谐运动对称性应用“对称性”会给解题带来较大方便，本文将结合实例加以分析。

一、位移对称性的应用例1、物体做简谐运动的过程中，有两点A、A/关于平衡位置对称，则物体（）A、在两点处的位移一定相同B、在两点处的位移可能相同C、在两点处的位移一定不同D、在两点处的位移大小一定相同解析：根据位移的对称性知，A、A/两点的位移始终大小相等、方向相反。

因此C、D为正确答案。

二、时间对称性的应用例2、一个质点在平衡位置O附近做简谐运动，若从O 点开始计时，经过3S质点第一次到达M点，再经过2S第二次到达M点，则质点第三次到达M点的时间为多少？解析：如图1、设a、b为质点运动过程中的最大位移处，质点的运动可分为两种情况：若质点开始时是向右运动的，由O→M用了t1=3S，由M→b→M用了t2=2S，根据时间对称性知，质点由M→b用时为1S，故T/4=4S，得T=16S。

所以质点第三次到达M点的时间为t3=T+t1=19S。

图1若质点开始时是向左运动的，由O→a→O→M，历时t1=3S，由M→b→M，历时t2=2S，同理有T//2+ T//4=4S，得T/=16/3S，又质点由O→M的时间为t/= T//4- t2/2=1/3S，所以质点第三次到达M点的时间为t3=3T//2+t/=25/3S.三、速度对称性的应用例3、如图2为一水平弹簧振子在5S内的振动图象，从图象中分析，在给定的时间内，以t=0.5S时刻为起点的哪段时间内，弹力做的功为零。

解析：由速率的对称性知，与0.5S具有相同速率的时刻为1.5S、2.5S、3.5S、4.5S.再由动能定理知，在0.5S～1.5S、0.5S～2.5S、0.5S～3.5S、0.5S～4.5S的时间内弹力所做的功为零。

图2四、加速度（回复力）对称性的应用例4、如图3甲所示，小球从竖直立在地面上的轻弹簧的正上方某处自由下落，接触弹簧后将弹簧压缩，整个过程中弹簧为弹性形变。

机械振动点点清专题2 简谐运动的周期性和对称性一 简谐运动的周期性：做简谐运动的物体经过一个周期T 或几个周期nT ，振子处于同一位置且振动状态相同。

二 简谐运动的对称性：1、运动状态的对称性(1)相隔T 2或（2n ＋1）T 2(n 为正整数)的两个时刻，振子位置关于平衡位置对称，位移、速度、加速度大小相等，方向相反。

(2)如图2所示，振子经过关于平衡位置O 对称的两点P 、P ′(OP ＝OP ′)时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等。

图22、运动过程时间的对称性(3)振子由P 到O 所用时间等于由O 到P ′所用时间，即t PO ＝t OP ′。

(4)振子往复过程中通过同一段路程(如OP 段)所用时间相等，即t OP ＝t PO 。

如图5所示，物体在A 和B 之间运动，O 点为平衡位置，C 和D 两点关于O 点对称，则：图5①物体来回通过相同的两点间的时间相等．如t DB ＝t BD .②振子往复过程中通过同一段路程(如OP 段)所用时间相等，，图中t OB ＝t BO ＝t OA ＝t AO ，t OD ＝t DO ＝t OC例题1、 关于简谐运动的周期，以下说法正确的是（ ）A.间隔一个周期的整数倍的两个时刻，物体的振动情况相同B.间隔半个周期的奇数倍的两个时刻，物体的速度和加速度可能同时相同C.半个周期内物体的动能变化一定为零D.一个周期内物体的势能变化一定为零E.经过一个周期质点通过的路程变为零解析：根据周期的定义可知，物体完成一次全振动，所有的物理量都恢复到初始状态，故A 正确.当间隔半周期的奇数倍时，所有的矢量都变得大小相等，方向相反，且物体的速度和加速度不同时为零，故B 错误，C 、D 正确.经过一个周期，质点通过的路程为4A ，E 错误.答案：ACD例题2、如图5所示，振子以O 点为平衡位置在A 、B 间做简谐运动，从振子第一次到达P 点开始计时，则( B )图5A ．振子第二次到达P 点的时间间隔为一个周期B ．振子第三次到达P 点的时间间隔为一个周期C ．振子第四次到达P 点的时间间隔为一个周期D ．振子从A 点到B 点或从B 点到A 点的时间间隔为一个周期解析 从经过某点开始计时，则再经过该点两次所用的时间为一个周期，B 对，A 、C 错；振子从A 到B 或从B 到A 的时间间隔为半个周期，D 错．例题3、(2018·辽宁鞍山模拟)(多选)弹簧振子做简谐运动，O 为平衡位置，当它经过点O 时开始计时，经过0.3 s ，第一次到达点M ，再经过0.2 s 第二次到达点M ，则弹簧振子的周期不可能为( )A.0.53 sB.1.4 sC.1.6 sD.2 s【答案】 BD【解析】 如图甲所示，设O 为平衡位置，OB(OC)代表振幅，振子从O ―→C 所需时间为T 4。

第1页 共3页竖 直 方 向 的 简 谐 振 动一、模型介绍如图1（a ）所示，把一根弹簧上端固定，下端系一个物体静止，然后再把物体向下拉一段距离后松手，物体将在竖直方向振动，若不计弹簧的质量及空气阻力，则此物体的运动是简谐振动（同学们可结合简谐振动的动力学特点F 回＝-kx 加以证明），简谐振动的各种规律、特点对其都适用，但和教材中的弹簧振子模型相比较，竖直方向的简谐振动的平衡位置并不是弹簧的原长位置，而是弹力和振子重力相等的位置，在利用简谐振动的对称性解题时应格外注意！图1（b ）所示的情境中，若物体和弹簧是固定在一起的，则效果与图1相同；若物体和弹簧不是固定在一起的，则当振幅/A mg k 时，效果与图1相同，当振幅/A mg k 时，物体在高度较大的部分要脱离弹簧，而接触弹簧的运动过程为简谐振动的一部分，对此也应引起注意！熟悉竖直方向简谐振动模型的特点和规律并加以灵活应用、拓展、迁移，会给我们的解题带来极大的方便，下面举例说明。

二、典型例题如图2所示，质量为M 的框架置于水平地面上，在其顶部通过一个轻弹簧悬挂一个盘，盘内有一砝码，砝码与盘质量皆为m ，该装置静止稳定时，若将盘中砝码突然取走，盘将开始向上运动，则砝码盘运动到最高点时，框架对地面压力大小是多少？〖解析〗 盘内砝码被取走后，盘与轻弹簧所组成的弹簧振子将开始做简谐运动．在取走砝码的瞬间，盘所受合外力即回复力方向向上，大小为mg ，由简谐运动的回复力大小和方向关于平衡位置的对称性可知，当盘运动到最高点时，它所受到的回复力也应为mg ，正好等于重力，所以此时弹簧形变为零，无弹力，显然此时框架对地面压力为M g ．〖点拨〗 简谐运动的对称性不只是关于平衡位置对称的两点处的回复力，还有加速度、位移、动能、势能，另外还有通过对称的两段长度用的时间也相等．这些对称性，在解答问题时会用到，要熟练掌握．三、思维推展（1）题设条件下，为了使框架不离开地面，所放砝码的质量应满足什么条件？〖解析〗 设所放砝码的质量为m 0时，盘运动到最高点M 恰要离开地面，同样根据振动最高点和最低点回复力的对称性可知，盘在最高点的回复力为m 0g 。

高中物理：对称性模型知识点对称法作为一种重要的物理思想和方法，从侧面体现学生的直观思维能力和客观的猜想推理能力。

1. 简谐运动中的对称性例1. 劲度系数为k的轻质弹簧，下端挂一个质量为m的小球，小球静止时距地面的高度为h，用力向下拉球使球与地面接触，然后从静止释放小球（弹簧始终在弹性限度以内）则：A. 运动过程中距地面的最大高度为2hB. 球上升过程中势能不断变小C. 球距地面高度为h时，速度最大D. 球在运动中的最大加速度是kh/m解析：因为球在竖直平面内做简谐运动，球从地面上由静止释放时，先做变加速运动，当离地面距离为h时合力为零，速度最大，然后向上做变减速运动，到达最高点时速度为零，最低点速度为零时距平衡位置为h，利用离平衡位置速度相同的两点位移具有对称性，最高点速度为零时距平衡位置也为h，所以球在运动过程中距地面的最大高度为2h，由于球的振幅为h，由可得，球在运动过程中的最大加速度为，球在上升过程中动能先增大后减小，由整个系统机械能守恒可知，系统的势能先减小后增大。

所以正确选项为ACD。

2. 静电场中的对称性例2. 如图1所示，带电量为＋q的点电荷与均匀带电薄板相距为2d，点电荷到带电薄板的垂线通过板的几何中心。

若图中b点处产生的电场强度为零，根据对称性，带电薄板在图中b点处产生的电场强度大小为多少，方向如何？（静电力恒量为k）。

解析：在电场中a点：板上电荷在a、b两点的电场以带电薄板对称，带电薄板在b点产生的场强大小为，方向水平向左。

题目中要求带电薄板产生的电场，根据中学物理知识仅能直接求点电荷产生的电场，无法直接求带电薄板产生的电场；由Ea＝0，可以联想到求处于静电平衡状态的导体的感应电荷产生的场强的方法，利用来间接求出带电薄板在a点的场强，然后根据题意利用对称性求出答案。

例3. 静电透镜是利用静电场使电子束会聚或发散的一种装置，其中某部分静电场的分布如图2所示。

虚线表示这个静电场在xOy平面内的一簇等势线，等势线形状相对于Ox轴、Oy轴对称，等势线的电势沿x轴正向增加，且相邻两等势线的电势差相等。

巧用弹簧振子简谐振动过程的对称性解题对称性是简谐运动的重要性质之一，在关于平衡位置对称点上位移，回复力，加速度，速度，动能，势能数值均相等，振动物体沿不同方向经过同一路径或通过关于平衡位置两段对称路程的时间相等，利用对称规律解题，往往事半功倍，下面以弹簧振子为例加以说明：一、时间、速度的对称性例1、如图，在水平方向做简谐运动的弹簧振子，质量为m ，A 、B 两点关于平衡位置对称，经过A 点时速度为v 。

（1） 它从平衡位置O 点经过0.4s 第一次到达A 点，再经过0.2s 第二次到达A 点，从弹簧振子离开O 点开始计时，则振子第三次到达A 点时间是多少？（2）振子连续经过A 、B 两点，弹力所做的功以及弹力的冲量是多少？解析：（1）①若开始经过O 点速度方向向右由时间对称性：42.02124.0T T =⨯+-∴s T 32= ②若开始经过O 点的运动方向向左2.024.02+⨯=T T=2S（2）由速度的对称性知连续经过A 、B 两点v A 与v B 大小相等，但方向可能相同或相反。

∴W 弹=△Ek=0，I 弹=0或I 弹=2mv二、加速度、回复力的对称性例2、如图（1）所示，质量分别为m 和M 的A 、B 两重物用劲度系数为k 的轻质弹簧竖直地连接起来，若将A 固定在天花板上，用手托住B ，让弹簧处于原长，然后放手，B 开始振动，试问：（1）B 到达最低点时的加速度以及弹性势能多大？（2）B 振动具有最大速度Vm 时弹簧的弹性势能为多大？（3）如图（2）所示，若将A 从天花板上取下，使弹簧为原长时，让两物从静止开始自由下落，下落过程中弹簧始终保持竖直状态。

当重物A 下落距离h 时，重物B 刚好与地面相碰，假定碰后的瞬间重物B 不离开地面（B 与地面作完全非弹性碰撞）但不粘连。

为使重物A 反弹时能将重物B 提离地面，下落高度h 至少应为多少？解析：（1）B 释放时，弹簧原长，∴M 加速度 a=g 向下当B 到达最低点时，根据对称性a ′=g 向上最高点与最低点回复力大小相等，即Mg=kx-Mg∴最低点伸长量KMg x 2= 由最高点到最低点能量守恒得Kg M Mgx E 222==弹 （2）B 速度最大时，弹簧振子处于平衡位置，设伸长Mg Kx x =11能量守恒2121m Mv Ep Mgx += 22221m Mv K g M Ep -= （3）B 触地时，弹簧为原长，A 的速度gh v 2=，A 压缩弹簧后向上弹起，弹簧恢复原长后A 又继续上升拉伸弹簧，当v A =0时，弹簧伸长x 2，B 恰好被提离地面应有 Kx 2=Mg ∴x 2=x 1 ∴最高点弹性势能Ep ′=Ep弹簧由压缩到拉伸能量守恒p E mgx mv '+=222122221221m Mv K g M K Mg mg gh m -+⋅=⋅ mgMv km g M K Mg h m 222-+= 三、弹簧振子关于平衡位置对称的两点位移大小相等，关于原长对称的两位置由于形变量大小相等，弹力势能相同。

简谐运动中对称性规律解题江苏 陈国荣简谐运动是机械振动中最为典型的一种形式，由于振动过程的对称性、振动过程中各物理量（位移x 、速度v 、加速度a 、回复力F 等）的对称性，使得简谐运动的过程变得丰富多彩，利用对称性规律可以方便快捷地解决振动中有关问题．一、运动过程的对称性例1 弹簧振子以O 点为平衡位置做简谐运动，从O 点开始计时，振子第一次到M 点用了0.3s 时间，又经过0.2s 第二次经过M 点，则振子第三次经过M 点还需要的时间可能是（ ）．A 、s 31B 、s 158 C 、1.4 s D 、1.6s 解析：本题考查简谐运动的周期概念的同时，注重过程的时间对称性分析，就可以很快速地得出结论．由题意可知，振子的运动过程有两种可能，如图1所示．第一种可能中，s 6.1T ,s 4.0s 22.03.02t t 4T 21==⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=，第三次通过M 点还要经过的时间s 4.1s )8.03.02(2T t 2t 13=+⨯=+=。

第二种可能中，4T 2t 2T t 21=+-，即s 36.1T =，第三次通过M 点还要经过的时间s 31s 1.0126.13.02t 4T t t 213=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+=。

选项AC 正确。

二、运动速度的对称性例2 如图2所示，弹簧振子以O 点为平衡位置，在B 、C 两点间做简谐运动，振子从O 、B 间的P 点以速度v 向B 点运动，从P 点开始计时，在t=2s 时振子的速度第一次变为－v ，在t=5s 时，振子的速度第二次变为－v ，求弹簧振子的周期T ．解析：M 、P 两点相对于O 点对称，则M 点就是振子的速度第二次变为－v 的位置．由题意可知，振子从P 点出发，沿着PB 到B 点，再沿BP 回到出发点P ，历时为2s ，根据简谐运动的速度和时间对称性可得s 1t t BP PB ==。

同理可得s 5.1s )25(21t t OM PO =-⨯==。

简谐运动的对称性在高中物理模型中，有很多运动模型有对称性，如（类）竖直上抛运动的对称性，简谐运动中的对称性，电路中的对称性，带电粒子在匀强磁场中匀速圆周运动中几何关系的对称性.简谐运动的对称性是指振子经过关于平衡位置对称的两位置时，振子的位移、回复力、加速度、动能、势能、速度、动量等均是等大的（位移、回复力、加速度的方向相反，速度动量的方向不确定）。

运动时间也具有对称性，即在平衡位置对称两段位移间运动的时间相等。

（从某点到达最大位置和从最大位置再回到这一点所需要的时间相等、从某点向平衡位置运动的时间和它从平衡位置运动到这一点的对称点所用的时间相等）. 理解好对称性这一点对解决有关问题很有帮助。

下面我们分别从五个方面说明对称性在简谐运动中的应用:一、运动时间的对称性例 1. 如下图所示，一个质点在平衡位置O点附近做简谐运动，若从O 开始计时，经过3s 质点第一次过M点；再继续运动，又经过2s 它第二次经过M点；则该质点第三次经过M 点所需要的时间是（）10sA. 8sB. 4sC. 14sD. 3解析】设图中a、 b 两点为质点运动过程中的最大位移处，若开始计时时刻质点从O点向右运动，O→M 运动过程历时3s，M→b→M 过程历时2s ，由运动时间的对称性知：T4s,T 16s4 质点第三次经过M点所需时间：△ t T 2s 16s 2s 14s，故 C 正确；若开始计时时刻质点从O 点向左运动，O→a→ O→ M，运动过程历时3s，M→ b→ M过程历时2s，有：T2T44s,T16s3，质点第三次经过M点所需时间1610t T2s s2s s△3 3 ，故 D 正确，应选CD。

二、速度的对称性例 2. 做简谐运动的弹簧振子，其质量为m，运动过程中的最大速率为v ，从某一时刻算起，在半个周期内（）A. 弹力做的功一定为零1mv2B.弹力做的功可能是0到2之间的某一值C.弹力的冲量一定为零D.弹力的冲量可能是0到2mv之间的某一值【解析】由速度的对称性知，无论从什么时刻开始计时，振子半个周期后的速度与原来的速度大小相等，方向相反。

简谐运动的特点是具有往复性，相对平衡位置对称的两点，加速度、回复力、位移均为等值反向，速度可能相同也可能等值反向，动能、势能一定相同。

在实际问题中利用这些特点分析问题，往往会收到事半功倍的效果。

1）距平衡位置距离相同的两点加速度具有对称性。

[例1] 如图1所示，质量为m 的物体在竖直弹簧上做简谐运动，当振幅为A 时，木块对弹簧压力的最大值为木块重力的1.5倍，则木块对弹簧压力的最小值为多少？欲使木块不脱离弹簧，其振幅不能超过多少？2）距平衡位置距离相同的两点速度具有对称性[例2] 如图2所示，一个质点做简谐运动，先后以相同的动量依次通过A 和B 两点，历时1s 。

质点通过B 点后再经过1s 第2次通过B 点，在这2s 内，质点通过的总路程为12cm ，则质点振动的周期和振幅分别是多少？3）利用离平衡位置速度相同的两点位移具有对称性[例3] 劲度系数为K 的轻质弹簧，下端挂一个质量为m 的小球，小球静止时距地面的高度为h 。

用力向下拉球使球与地面接触，然后从静止释放小球（弹簧始终在弹性限度以内）则A ．运动过程中距地面的最大高度为2hB ．球上升过程中势能不断变小C ．球距地面高度为h 时，速度最大D ．球在运动中的最大加速度是kh/mA B a b O图2图15．如图所示，两根完全相同的弹簧和一根张紧的细线将甲、乙两物块束缚在光滑水平面上，已知甲的质量大于乙的质量.当细线突然断开后，两物块都开始做简谐运动，在运动过程中A.甲的振幅大于乙的振幅B.甲的振幅小于乙的振幅C.甲的最大速度小于乙的最大速度D.甲的最大速度大于乙的最大速度6在竖直悬挂的劲度系数为k的轻质弹簧下端挂一个质量为m的小球，用一个竖直向下的力将小球竖直拉向下方，当小球静止时拉力的大小为F，若撤去拉力，小球便在竖直面内做简谐运动，求：（1）小球在最低点受到弹簧对它的弹力的大小；（2）小球经过平衡位置时弹簧的伸长量；（3）小球在振动过程中通过最高点时的加速度的大小和方向。