2019-2020学年江苏省无锡市锡中实验学校九年级(上)期中数学试卷 (解析版)

2019-2020学年江苏省无锡市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1．（4分）已知O 的半径为4cm ，点P 在O 上，则OP 的长为( ) A ．1cm B ．2cmC ．4cmD ．8cm2．（4分）若37a b =，则b aa-等于( ) A ．34B ．43C ．73D ．373．（4分）二次函数223y x x =-+图象的对称轴是( ) A ．直线1x =B ．直线1x =-C ．直线2x =D ．直线2x =-4．（4分）如图，在O 中，点M 是AB 的中点，连结MO 并延长，交O 于点N ，连结BN ，若140AOB ∠=︒，则N ∠的度数为( )A ．70︒B ．40︒C ．35︒D ．20︒5．（4分）在一个不透明的口袋里装有2个白球，3个黑球和3个红球，它们除颜色外其余都相同，现随机从袋里摸出1个球，则摸出白球的概率是( ) A ．12B ．38C ．13D ．146．（4分）如图，由六段相等的圆弧组成的三叶花，每段圆弧都是四分之一圆周，2OA OB OC ===，则这朵三叶花的面积为( )A ．33π-B ．36π-C ．63π-D ．66π-7．（4分）已知点C 在线段AB 上，且点C 是线段AB 的黄金分割点()AC BC >，则下列结论正确的是( ) A ．2AB AC BC =B ．2BC AC BC =C ．512AC BC -=D ．512BC AC -= 8．（4分）如图，AB 是半圆的直径，点C 是弧AB 的中点，点E 是弧AC 的中点，连结EB 、CA 交于点F ，则EFBF的值为( )A ．14B ．224- C ．212-D ．212- 9．（4分）如图，已知抛物线2y x bx c =++与直线y x =交于(1,1)和(3,3)两点，现有以下结论：①240b c ->； ②360b c ++=； ③当22x bx c x++>时，2x >； ④当13x <<时，2(1)0x b x c +-+<， 其中正确的序号是( )A ．①②④B ．②③④C ．②④D ．③④10．（4分）若平面直角坐标系内的点M 满足横、纵坐标都为整数，则把点M 叫做“整点”．例如：(1,0)P 、(2,2)Q -都是“整点”．抛物线221(0)y mx mx m m =-+->与x 轴交于A 、B 两点，若该抛物线在A 、B 之间的部分与线段AB 所围成的区域（包括边界）恰有6个整点，则m 的取值范围是( ) A ．1184mB ．1194m< C ．1192m < D ．1194m <<二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）11．（5分）已知线段c 是线段a 、b 的比例中项，且4a =，9b =，则线段c 的长度为 ．12．（5分）小颖在二次函数2245y x x =++的图象上找到三点1(1,)y -，1(2，2)y ，1(32-，3)y ，则你认为1y ，2y ，3y 的大小关系应为 ．13．（5分）如图，水库堤坝的横断面是梯形，测得BC 长为30m ，CD 长为205m ，斜坡AB 的坡比为1:3，斜坡CD 的坡比为1:2，则坝底的宽AD 为 m ．14．（5分）如图，O 的半径为1，正方形ABCD 顶点B 坐标为(5,0)，顶点D 在O 上运动，则正方形面积最大时，正方形与O 重叠部分的面积是 ．15．（5分）如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，E 是BC 上的一动点（不与点B 、C 重合）．连接AE ，过点D 作DF AE ⊥，垂足为F ，则线段BF 长的最小值为 ．16．（5分）如图，ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，CE 平分BCD ∠交AB 于点E ，交BD 于点F ，且60ABC ∠=︒，2AB BC =，连接OE ．下列结论：①EO AC ⊥；②4AOD OCF S S ∆∆=；③:21:7AC BD =；④2FB OF DF =．其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）三、解答题（共8小题，满分80分）17．（8分）如图，直线123////l l l ，直线AC 依次交1l 、2l 、3l 于A 、B 、C 三点，直线DF依次交1l 、2l 、3l 于D 、E 、F 三点，若47AB AC =，2DE =，求EF 的长．18．（8分）下表给出了代数式2x bx c -++与x 的一些对应值：x⋯ 2- 1- 0 1 2 3 ⋯ 2x bx c -++ ⋯5nc23-10-⋯（1）根据表格中的数据，确定b ，c ，n 的值；（2）设2y x bx c =-++，直接写出02x 时y 的最大值．19．（8分）随着经济的快速发展，环境问题越来越受到人们的关注，某校学生会为了解节能减排、垃圾分类知识的普及情况，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类，并将调查结果绘制成下面两个统计图．（1）本次调查的学生共有 人，估计该校1200名学生中“不了解”的人数是 人； （2）“非常了解”的4人有1A ，2A 两名男生，1B ，2B 两名女生，若从中随机抽取两人向全校做环保交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率． 20．（8分）如图，在锐角三角形ABC 中，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，AG BC ⊥于点G ，AF DE ⊥于点F ，EAF GAC ∠=∠．（1）求证：ADE ABC ∆∆∽； （2）若3AD =，5AB =，求AFAG的值．21．（10分）如图，ABC ∆内接于O ，AB AC =，36BAC ∠=︒，过点A 作//AD BC ，与ABC ∠的平分线交于点D ，BD 与AC 交于点E ，与O 交于点F ． （1）求DAF ∠的度数； （2）求证：2AE EF ED =； （3）求证：AD 是O 的切线．22．（12分）某商场将每件进价为80元的A 商品按每件100元出售，一天可售出128件．经过市场调查，发现这种商品的销售单价每降低1元，其日销量可增加8件．设该商品每件降价x 元，商场一天可通过A 商品获利润y 元．（1）求y 与x 之间的函数解析式（不必写出自变量x 的取值范围） （2）A 商品销售单价为多少时，该商场每天通过A 商品所获的利润最大？ 23．（12分）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”． 理解：（1）如图1，已知Rt ABC ∆在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D ，使四边形ABCD 是以AC 为“相似对角线”的四边形（保留画图痕迹，找出3个即可）； （2）如图2，在四边形ABCD 中，80ABC ∠=︒，140ADC ∠=︒，对角线BD 平分ABC ∠． 求证：BD 是四边形ABCD 的“相似对角线”；（3）如图3，已知FH 是四边形EFGH 的“相似对角线”， 30EFH HFG ∠=∠=︒，连接EG ，若EFG ∆的面积为3，求FH 的长．24．（14分）在平面直角坐标系xOy 中，一块含60︒角的三角板作如图摆放，斜边AB 在x 轴上，直角顶点C 在y 轴正半轴上，已知点(1,0)A -．（1）请直接写出点B 、C 的坐标：B 、C ；并求经过A 、B 、C 三点的抛物线解析式；（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF （其中90EDF ∠=︒，60)DEF ∠=︒，把顶点E 放在线段AB 上（点E 是不与A 、B 两点重合的动点），并使ED 所在直线经过点C ．此时，EF 所在直线与（1）中的抛物线交于点M ．①设AE x =，当x 为何值时，OCE OBC ∆∆∽；②在①的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P 使PEM ∆是等腰三角形？若存在，请写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）已知O 的半径为4cm ，点P 在O 上，则OP 的长为( ) A ．1cmB ．2cmC ．4cmD ．8cm解：点P 在O 上， 4OP cm ∴=．故选：C ． 2．（4分）若37a b =，则b aa-等于( ) A ．34B ．43C ．73D ．37解：设37a bk ==， 3a k ∴=，7b k =， ∴73433b a k k a k --==． 故选：B ．3．（4分）二次函数223y x x =-+图象的对称轴是( ) A ．直线1x =B ．直线1x =-C ．直线2x =D ．直线2x =-解：已知1a =，2b =-，3c = 由对称轴公式可知，对称轴是12bx a=-=． 故选：A ．4．（4分）如图，在O 中，点M 是AB 的中点，连结MO 并延长，交O 于点N ，连结BN ，若140AOB ∠=︒，则N ∠的度数为( )A ．70︒B ．40︒C ．35︒D ．20︒解：点M 是AB 的中点， ∴AM BM =，140AOB ∠=︒，1702BOM AOB ∴∠=∠=︒， 1352N BOM ∴∠=∠=︒， 故选：C ．5．（4分）在一个不透明的口袋里装有2个白球，3个黑球和3个红球，它们除颜色外其余都相同，现随机从袋里摸出1个球，则摸出白球的概率是( ) A ．12B ．38C ．13D ．14解：口袋里装有2个白球，3个黑球和3个红球， ∴口袋里共有8个球， ∴摸出白球的概率是2184=； 故选：D ．6．（4分）如图，由六段相等的圆弧组成的三叶花，每段圆弧都是四分之一圆周，2OA OB OC ===，则这朵三叶花的面积为( )A ．33π-B ．36π-C ．63π-D ．66π-解：如图所示：弧OA 是M 上满足条件的一段弧，连接AM 、MO ， 由题意知：90AMO ∠=︒，AM OM = 2AO =，2AM ∴=．21142AMO S MA ππ=⨯⨯=扇形． 112AMO S AM MO ∆==，112AO S π∴=-弓形，1612S π⎛⎫∴=⨯- ⎪⎝⎭三叶花36π=-．故选：B ．7．（4分）已知点C 在线段AB 上，且点C 是线段AB 的黄金分割点()AC BC >，则下列结论正确的是( ) A ．2AB AC BC =B ．2BC AC BC =C ．512AC BC -=D ．512BC AC -= 解：点C 是线段AB 的黄金分割点且AC BC >， ∴512BC AC AC AB -==，即2AC BC AB =，故A 、B 错误； 512AC AB -=，故C 错误； 512BC AC -=，故D 正确； 故选：D ．8．（4分）如图，AB 是半圆的直径，点C 是弧AB 的中点，点E 是弧AC 的中点，连结EB 、CA 交于点F ，则EFBF的值为( )A ．14B ．224- C ．212-D ．212- 解：连接AE ，BC ，连接OE 交AC 于H ，点E 是弧AC 的中点， OE AC ∴⊥，AB 是半O 的直径， BC AC ∴⊥， //OE BC ∴， EHF BCF ∴∆∆∽， ∴EF EHBF BC=， 设2BC x =，则2OE OB x ==， OH x ∴=，(21)EH x =-， ∴(21)2122EF EH x BF BC x --===， 故选：D ．9．（4分）如图，已知抛物线2y x bx c =++与直线y x =交于(1,1)和(3,3)两点，现有以下结论：①240b c ->； ②360b c ++=； ③当22x bx c x++>时，2x >； ④当13x <<时，2(1)0x b x c +-+<， 其中正确的序号是( )A ．①②④B ．②③④C ．②④D ．③④解：函数2y x bx c =++与x 轴无交点， 240b ac ∴-<； 240b c ∴-<故①不正确；当3x =时，933y b c =++=，即360b c ++=； 故②正确；把(1，1)(3，3)代入2y x bx c =++，得抛物线的解析式为233y x x =-+， 当2x =时，2331y x x =-+=，21y x==， 抛物线和双曲线的交点坐标为(2,1) 第一象限内，当2x >时，22x bx c x ++>； 或第三象限内，当0x <时，22x bx c x ++>； 故③错误；当13x <<时，二次函数值小于一次函数值， 2x bx c x ∴++<，2(1)0x b x c ∴+-+<．故④正确； 故选：C ．10．（4分）若平面直角坐标系内的点M 满足横、纵坐标都为整数，则把点M 叫做“整点”．例如：(1,0)P 、(2,2)Q -都是“整点”．抛物线221(0)y mx mx m m =-+->与x 轴交于A 、B 两点，若该抛物线在A 、B 之间的部分与线段AB 所围成的区域（包括边界）恰有6个整点，则m 的取值范围是( ) A ．1184mB ．1194m< C ．1192m < D ．1194m <<解：由已知可得2221(1)1y mx mx m m x =-+-=--， ∴函数的顶点是(1,1)-，∴点(1,1)-，(1,0)必在抛物线在A ，B 之间的部分与线段AB 所围成的区域（包括边界）的区域内，又在此区域内有6个整点，∴必有点(1,0)-，(0,0)，(2,0)，(3,0)， ∴当点(1,0)-在边界上时，14m =， 当点(2,0)-在边界上时，19m =2(1)1y m x =--与x 轴的交点A 的横坐标21A x -<-，∴1194m<， 故选：B ．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）11．（5分）已知线段c 是线段a 、b 的比例中项，且4a =，9b =，则线段c 的长度为 6 ． 解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积． 所以249c =⨯，解得6c =±（线段是正数，负值舍去）， 故答案为：6．12．（5分）小颖在二次函数2245y x x =++的图象上找到三点1(1,)y -，1(2，2)y ，1(32-，3)y ，则你认为1y ，2y ，3y 的大小关系应为 123y y y << ．解：抛物线的对称轴为直线4122x =-=-⨯， 而抛物线开口向上，点1(1,)y -在对称轴上，点1(2，2)y 比点1(32-，3)y 离对称轴要近，所以123y y y <<． 故答案为123y y y <<．13．（5分）如图，水库堤坝的横断面是梯形，测得BC 长为30m ，CD 长为5m ，斜坡AB 的坡比为1:3，斜坡CD 的坡比为1:2，则坝底的宽AD 为 130 m ．解：作BE AD ⊥于E ，CF AD ⊥于F ， 斜坡CD 的坡比为1:2，即12CF DF =， 2DF CF ∴=，又205CD m =，20CF m ∴=，40DF m =，由题意得，四边形BEFC 是矩形， 20BE CF m ∴==，30EF BC m ==，斜坡AB 的坡比为1:3， ∴13BE AE =，即360AE BE m ==， 130AD AE EF DF m ∴=++=，故答案为：130m ．14．（5分）如图，O 的半径为1，正方形ABCD 顶点B 坐标为(5,0)，顶点D 在O 上运动，则正方形面积最大时，正方形与O 重叠部分的面积是12π+ ．解：如图所示，当点D 运动到(1,0)-时，BD 最长，此时，正方形面积最大，45CDO ∠=︒， 45CDO ∴∠=︒，又45FDO ∠=︒， CD ∴经过点F ，同理可得，AD 经过点E ，∴正方形与O 重叠部分的面积是DEF ∆的面积与半圆面积的和，即21112111222ππ⨯⨯+⨯⨯=+， 故答案为：12π+．15．（5分）如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，E 是BC 上的一动点（不与点B 、C 重合）．连接AE ，过点D 作DF AE ⊥，垂足为F ，则线段BF 长的最小值为 2134- ．解：如图，AE DF ⊥， 90AFD ∴∠=︒，∴点F 的运动轨迹是以AD 为直径的O ，连接OB ，OF ．四边形ABCD 是矩形， 90BAO ∴∠=︒， 6AB =，4AO =，22213OB AB AO ∴=+=，142FO AD ==， BF OB OF -，BF ∴的最小值为2134-，故答案为2134-．16．（5分）如图，ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，CE 平分BCD ∠交AB 于点E ，交BD 于点F ，且60ABC ∠=︒，2AB BC =，连接OE ．下列结论：①EO AC ⊥；②4AOD OCF S S ∆∆=；③:21:7AC BD =；④2FB OF DF =．其中正确的结论有 ①③④ （填写所有正确结论的序号）解：四边形ABCD 是平行四边形， //CD AB ∴，OD OB =，OA OC =， 180DCB ABC ∴∠+∠=︒， 60ABC ∠=︒， 120DCB ∴∠=︒， EC 平分DCB ∠，1602ECB DCB ∴∠=∠=︒， 60EBC BCE CEB ∴∠=∠=∠=︒， ECB ∴∆是等边三角形， EB BC ∴=， 2AB BC =，EA EB EC ∴==， 90ACB ∴∠=︒， OA OC =，EA EB =， //OE BC ∴，90AOE ACB ∴∠=∠=︒， EO AC ∴⊥，故①正确， //OE BC ， OEF BCF ∴∆∆∽， ∴12OE OF BC FB ==， 13OF OB ∴=，3AOD BOC OCF S S S ∆∆∆∴==，故②错误，设BC BE EC a ===，则2AB a =，3AC a =，2237()22OD OB a a a ==+=， 7BD a ∴=，:3:721:7AC BD a a ∴==，故③正确，1736OF OB a ==，73BF a ∴=， 2279BF a ∴=，27777()6269OF DF a a a a =+=， 2BF OF DF ∴=，故④正确，故答案为①③④．三、解答题（共8小题，满分80分）17．（8分）如图，直线123////l l l ，直线AC 依次交1l 、2l 、3l 于A 、B 、C 三点，直线DF 依次交1l 、2l 、3l 于D 、E 、F 三点，若47AB AC =，2DE =，求EF 的长．解：123////l l l ，直线AC 依次交1l 、2l 、3l 于A 、B 、C 三点，直线DF 依次交1l 、2l 、3l 于D 、E 、F 三点， ∴AB DEAC DF=， 47AB AC =，2DE =， ∴427DF=， 解得： 3.5DF =，3.52 1.5EF DF DE ∴=-=-=．18．（8分）下表给出了代数式2x bx c -++与x 的一些对应值：x⋯ 2- 1- 0 1 2 3 ⋯ 2x bx c -++ ⋯5nc23-10-⋯（1）根据表格中的数据，确定b ，c ，n 的值；（2）设2y x bx c =-++，直接写出02x 时y 的最大值． 解：（1）根据表格数据可得42512b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得25b c =-⎧⎨=⎩，2225x bx c x x ∴-++=--+，当1x =-时，2256x x --+=，即6n =；（2）根据表中数据得当02x 时，y 的最大值是5．19．（8分）随着经济的快速发展，环境问题越来越受到人们的关注，某校学生会为了解节能减排、垃圾分类知识的普及情况，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类，并将调查结果绘制成下面两个统计图．（1）本次调查的学生共有 50 人，估计该校1200名学生中“不了解”的人数是 人； （2）“非常了解”的4人有1A ，2A 两名男生，1B ，2B 两名女生，若从中随机抽取两人向全校做环保交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率． 解：（1）48%50÷=（人)，1200(140%22%8%)360⨯---=（人)；故答案为：50，360；（2）画树状图，共有12种可能的结果，恰好抽到一男一女的结果有8个， P ∴（恰好抽到一男一女的）82123==．20．（8分）如图，在锐角三角形ABC 中，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，AG BC ⊥于点G ，AF DE ⊥于点F ，EAF GAC ∠=∠．（1）求证：ADE ABC ∆∆∽； （2）若3AD =，5AB =，求AFAG的值．解：（1）AG BC ⊥，AF DE ⊥，90AFE AGC ∴∠=∠=︒， EAF GAC ∠=∠， AED ACB ∴∠=∠， EAD BAC ∠=∠，ADE ABC ∴∆∆∽，（2）由（1）可知：ADE ABC ∆∆∽， ∴35AD AE AB AC == 由（1）可知：90AFE AGC ∠=∠=︒， EAF GAC ∴∠=∠， EAF CAG ∴∆∆∽， ∴AF AEAG AC =， ∴35AF AG = 另解：AG BC ⊥，AF DE ⊥，ADE ABC ∆∆∽， ∴35AF AD AG AB == 21．（10分）如图，ABC ∆内接于O ，AB AC =，36BAC ∠=︒，过点A 作//AD BC ，与ABC ∠的平分线交于点D ，BD 与AC 交于点E ，与O 交于点F ． （1）求DAF ∠的度数； （2）求证：2AE EF ED =； （3）求证：AD 是O 的切线．【解答】（1）解：//AD BC ，D CBD ∴∠=∠，AB AC =，36BAC ∠=︒，1(180)722ABC ACB BAC ∴∠=∠=⨯︒-∠=︒， 72AFB ACB ∴∠=∠=︒，BD 平分ABC ∠，11723622ABD CBD ABC ∴∠=∠=∠=⨯︒=︒，36D CBD ∴∠=∠=︒，1801803636108BAD D ABD ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒， 180180367272BAF ABF AFB ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒， 1087236DAF DAB FAB ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒；（2）证明：36CBD ∠=︒，FAC CBD ∠=∠， 36FAC D ∴∠=︒=∠，AED AEF ∠=∠， AEF DEA ∴∆∆∽， ∴AE EDEF AE=， 2AE EF ED ∴=⨯；（3）证明：连接OA 、OF ，36ABF ∠=︒，272AOF ABF ∴∠=∠=︒， OA OF =，1(180)542OAF OFA AOF ∴∠=∠=⨯︒-∠=︒， 由（1）知36DAF ∠=︒， 365490DAO ∴∠=︒+︒=︒，即OA AD ⊥， OA 为半径，AD ∴是O 的切线．22．（12分）某商场将每件进价为80元的A 商品按每件100元出售，一天可售出128件．经过市场调查，发现这种商品的销售单价每降低1元，其日销量可增加8件．设该商品每件降价x 元，商场一天可通过A 商品获利润y 元．（1）求y 与x 之间的函数解析式（不必写出自变量x 的取值范围）（2）A 商品销售单价为多少时，该商场每天通过A 商品所获的利润最大？解：（1）由题意得，商品每件降价x 元时单价为(100)x -元，销售量为(1288)x +件， 则2(1288)(10080)8322560y x x x x =+--=-++，即y 与x 之间的函数解析式是28322560y x x =-++；（2）2283225608(2)2592y x x x =-++=--+，∴当2x =时，y 取得最大值，此时2592y =，∴销售单价为：100298-=（元)，答：A 商品销售单价为98元时，该商场每天通过A 商品所获的利润最大．23．（12分）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．理解：（1）如图1，已知Rt ABC ∆在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D ，使四边形ABCD 是以AC 为“相似对角线”的四边形（保留画图痕迹，找出3个即可）；（2）如图2，在四边形ABCD 中，80ABC ∠=︒，140ADC ∠=︒，对角线BD 平分ABC ∠． 求证：BD 是四边形ABCD 的“相似对角线”；（3）如图3，已知FH 是四边形EFGH 的“相似对角线”， 30EFH HFG ∠=∠=︒，连接EG ，若EFG ∆的面积为23，求FH 的长．解：（1）由图1知，5AB=，25BC=90ABC∠=︒，5AC=，四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形，①当90ACD∠=︒时，ACD ABC∆∆∽或ACD CBA∆∆∽，∴12AC ABCD BC==或2AC BCCD AB==，10CD∴=或 2.5CD=同理：当90CAD∠=︒时， 2.5AD=或10AD=，（2）证明：80ABC∠=︒，BD平分ABC∠，40ABD DBC∴∠=∠=︒，140A ADB∴∠+∠=︒140ADC∠=︒，140BDC ADB∴∠+∠=︒，A BDC∴∠=∠，ABD DBC∴∆∆∽，BD∴是四边形ABCD的“相似对角线”；（3）如图3，FH是四边形EFGH的“相似对角线”，EFH∴∆与HFG∆相似，EFH HFG∠=∠，FEH FHG∴∆∆∽，∴FE FHFH FG=，2FH FE FG∴=，过点E作EQ FG⊥于Q，3sin 602EQ FE FE ∴=︒=， 1232FG EQ ⨯=， ∴132322FG FE ⨯=， 8FG FE ∴=，28FH FE FG ∴==，22FH ∴=．24．（14分）在平面直角坐标系xOy 中，一块含60︒角的三角板作如图摆放，斜边AB 在x 轴上，直角顶点C 在y 轴正半轴上，已知点(1,0)A -．（1）请直接写出点B 、C 的坐标：B (3,0) 、C ；并求经过A 、B 、C 三点的抛物线解析式；（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF （其中90EDF ∠=︒，60)DEF ∠=︒，把顶点E 放在线段AB 上（点E 是不与A 、B 两点重合的动点），并使ED 所在直线经过点C ．此时，EF 所在直线与（1）中的抛物线交于点M ． ①设AE x =，当x 为何值时，OCE OBC ∆∆∽；②在①的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P 使PEM ∆是等腰三角形？若存在，请写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）点(1,0)A -，1OA ∴=，由图可知，BAC ∠是三角板的60︒角，ABC ∠是30︒角， 所以，tan 60133OC OA =︒==，cot 30333OB OC =︒==，所以，点(3,0)B，C ，设抛物线解析式为2y ax bx c =++，则0930a b c a b c c ⎧-+=⎪++=⎨⎪=⎩，解得a b c ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩，所以，抛物线的解析式为2y =；（2）①OCE OBC ∆∆∽， ∴OE OC OC OB=，= 解得1OE =，所以，112AE OA OE =+=+=， 即2x =时，OCE OBC ∆∆∽；②存在．理由如下：抛物线的对称轴为12b x a =-==，所以，点E 为抛物线的对称轴与x 轴的交点， OA OE =，OC x ⊥轴，60BAC ∠=︒， ACE ∴∆是等边三角形， 60AEC ∴∠=︒，又60DEF ∠=︒，60FEB ∴∠=︒，BAC FEB ∴∠=∠，//EF AC ∴，由(1,0)A -，C 可得直线AC的解析式为y =， 点(1,0)E ，∴直线EF的解析式为y =联立2y y ⎧=-⎪⎨=++⎪⎩，解得112x y =⎧⎪⎨=⎪⎩223x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩， ∴点M的坐标为，或(3,--（舍去），2EM ==， 分三种情况讨论PEM ∆是等腰三角形， 当PE EM =时，2PE =， 所以，点P 的坐标为(1,2)或(1,2)-， 当PE PM =时，60FEB ∠=︒， 906030PEF ∴∠=︒-︒=︒，11cos30222PE EM =÷︒=⨯= 所以，点P的坐标为， 当PM EM =时，2cos3022PE EM =︒=⨯=， 所以，点P 的坐标为(1，， 综上所述，抛物线对称轴上存在点(1,2)P 或(1,2)-或或(1，，使PEM ∆是等腰三角形．。

2019学年江苏省无锡市九年级上学期期中考试数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（）. A． B． C． D．2. 下列图形中，不是中心对称图形的是（）.3. 关于的方程是一元二次方程，则的值为（）．A． B． C． D．无解4. 三角形的外心是（）．A．各内角的平分线的交点B．各边中线的交点C．各边垂线的交点D．各边垂直平分线的交点5. 如图，已知是⊙直径，，则等于（）．A． B． C． D．6. 如图，⊙的半径为5，弦的长为8，是弦上的动点，则线段长的最小值为（）．A．2 B．3 C．4 D．57. 如图，在中，若，，，、分别是、的中点，则以为直径的圆与的位置关系为（）．A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定8. 定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知方程是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）．A． B． C． D．9. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过点、，⊙的半径为2(为坐标原点)，点是直线上的一动点，过点作⊙的一条切线，为切点，则切线长的最小值为（）．A． B． C． D．10. 如图，在直角坐标系中放置一个边长为的正方形，将正方形沿轴的正方向无滑动的在轴上滚动，当点第三次回到轴上时，点运动的路线与轴围成的图形的面积和为（）．A． B． C． D．二、填空题11. 若，则．12. 将一元二次方程化成一般形式为．13. 在比例尺为的地图上，测得、两地间的图上距离为厘米，则其实际距离为米．14. 关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是．15. 如图，、是⊙的切线，切点分别为、，若，则_____°.16. 如图，在中，点是边的中点，且//，则___________．17. 若一个圆锥的侧面积是，侧面展开图是半圆，则该圆锥的底面圆半径是______．18. 如图，等腰直角三角形顶点在轴上，，，反比例函数的图象分别与，交于点、．连结，当∽时，点的坐标为．三、解答题19. 解下列方程（每小题4分，共16分）.（1）；（2） (配方法) ；（3）；（4） (公式法) ．四、选择题20. （本题满分6分）设、是方程的两个实数根，不解方程，求下列代数式的值．（1）；（2）五、解答题21. （本题满分7分）已知关于的方程．（1）试说明：无论取什么实数值，方程总有实数根；（2）若等腰的一边长为1，另两边长、恰好是这个方程的两个实数根，求的周长．六、填空题22. （本题满分6分）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中有，建立平面直角坐标系后，点的坐标是．（1）以为位似中心，作∽，相似比为，且保证在第三象限；（2）点的坐标为（，）；（3）若线段上有一点，它的坐标为，那么它的对应点的坐标为（，）．七、解答题23. (本题满分7分)果农李明种植的草莓计划以每千克元的单价对外批发销售，由于部分果农盲目扩大种植，造成该草莓滞销．李明为了加快销售，减少损失，价格连续两次下调后，以每千克元的单价对外批发销售．（1）求李明平均每次下调的百分率；（2）小刘准备到李明处购买吨该草莓，因数量多，李明决定再给予两种优惠方案以供其选择：方案一：在原下调后价格的基础上，再次以相同的百分率降价；方案二：不打折，每吨优惠现金元．试问小刘选择哪种方案更优惠，请说明理由．24. （本题满分7分）如图，点、分别为、边上两点，且，，，．（1）试说明：∽；（2）若，求的长．25. （本题满分7分）已知：如图，内接于⊙，点在的延长线上，．（1）求证：是⊙的切线；（2）若，，求的长．八、填空题26. （本题满分8分）如图所示，，，，点是以为直径的半圆上一动点，交直线于点，设．（1）当时，求弧的长；（2）当时，求线段的长；（3）若要使点在线段的延长线上，则的取值范围是________ _.（直接写出答案）九、解答题27. （本题满分10分）将绕点按逆时针方向旋转度，并使各边长变为原来的倍，得，如图①，我们将这种变换记为．（1）如图①，对作变换得，则；直线与直线所夹的锐角为度；（2）如图②，中，，，对作变换得，使点、、在同一直线上，且四边形为矩形，求和的值；（3）如图③，中，，，，对作变换得，使点、、在同一直线上，且四边形为平行四边形，求和的值．28. （本题满分10分）如图，在中，，，．点、都是斜边上的动点，点从向运动（不与点重合），点从向运动，．点、分别是点、以、为对称中心的对称点，于，交于点．当点到达顶点时，、同时停止运动．设的长为，的面积为．（1）求证：∽；（2）求关于的函数解析式；（3）当为何值时，为等腰三角形?参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】第25题【答案】第26题【答案】第27题【答案】第28题【答案】。

九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A. B.C. D.2.如图，CD是⊙O的直径，弦DE∥OA，若∠D的度数是50°，则∠C的度数是（）A.B.C.D.3.如图，已知等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，则下面四个结论：（1）DE=1，（2）△CDE∽△CAB，（3）△CDE的面积与△CAB的面积之比为1：4．其中正确的有（）A. 0个B. 1个C. 2个D.3个4.如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（）A. 6B. 5C. 4D. 35.如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是（）A. cmB.C. cmD. 1cm6.如图，在一幅长80cm，宽50cm的矩形树叶画四周镶一条金色的纸边，制成一幅矩形挂图，若要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，则满足的方程是（）A. B.C. D.7.下列命题是真命题的是（）A. 垂直于圆的半径的直线是圆的切线B. 经过半径外端的直线是圆的切线C. 直线上一点到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线D. 到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线8.如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C=∠E，AD=4，BC=8，BD：DC=5：3，则DE的长等于（）A.B.C.D.9.如图，一张半径为1的圆形纸片在边长为a（a≥3）的正方形内任意移动，则在该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（）A.B.C.D.10.如图，在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在边DC，CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，若AD=2，线段CP的最小值是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）11.已知=，则= ______ ．12.近年来全国房价不断上涨，我市2013年的房价平均每平方米为7000元，经过两年的上涨，2015年房价平均每平方米为8500元，设这两年房价的年平均增长率均为x，则关于的方程为______ ．13.若关于x的一元二次方程（k-1）x2+2x-2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．14.如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则∠PCA= ______ °．15.小红需要用扇形薄纸板制作成底面半径为9厘米，高为12厘米的圆锥形生日帽，如图所示，则该扇形薄纸板的圆心角为______ ．16.如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A、B、C，如果AB=1，那么曲线CDEF的长是______．17.如图，平面直角坐标系中，⊙A的圆心在x轴上，坐标为（a，0），半径为1，直线l为y=2x-2，若⊙A沿x轴向右运动，当⊙A与直线l有公共点时，点A横坐标a 的取值范围是______ ．18.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，点B落在点D的位置，且AD交y轴于点E，那么点D的坐标为______ ．三、解答题（本大题共10小题，共84.0分）19.（1）3y（y-1）=2（y-1）（2）（x-1）（x+2）=70（3）2y2-3=4y（配方法）20.小玲用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离EA=21米．当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B．已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米．请你帮助小玲计算出教学大楼的高度AB是多少米？（注意：根据光的反射定律：反射角等于入射角）．21.在等腰△ABC中，三边分别为a、b、c，其中a=5，若关于x的方程x2+（b+2）x+6-b=0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．22.如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过格点A、B、C．（1）请找出该圆弧所在圆的圆心O的位置；（2）请在（1）的基础上，完成下列问题：①⊙O的半径为______ （结果保留根号）；②的长为______ （结果保留π）；③试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．23.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AE交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE⊥CD；（2）已知AE=4cm，CD=6cm，求⊙O的半径．24.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=4，以BC为直径的半圆交AB于点D，以A为圆心，AC为半径的扇形交AB 于点E．（1）以BC为直径的圆与AC所在的直线有何位置关系？请说明理由；（2）求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）．25.某公司销售一种进价为20（元/个）的计算器，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）之间为一次函数关系，其变化如下表：40万元的净利润，且尽可能让顾客得到实惠，那么销售价格应定为多少？（注：净利润=总销售额-总进价-其他开支）26.如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的边长为AO=6，BO=8，（1）如图①，动点P以每秒2个单位的速度由点C向点A沿线段CA运动，同时点Q以每秒4个单位的速度由点O向点C沿线段OC运动，求当P、Q、C三点构成等腰三角形时点P的坐标．（2）如图②，E是OB的中点，将△AOE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形AOBC 内部，延长AF交BC于点G．求点G的坐标．27.如图1，小红将一张直角梯形纸片沿虚线剪开，得到矩形和三角形两张纸片，测得AB=15，AD=12．在进行如下操作时遇到了下面的几个问题，请你帮助解决．（1）将△EFG的顶点G移到矩形的顶点B处，再将三角形绕点B顺时针旋转使E 点落在CD边上，此时，EF恰好经过点A（如图2）求FB的长度；（2）在（1）的条件下，小红想用△EFG包裹矩形ABCD，她想了两种包裹的方法如图3、图4，请问哪种包裹纸片的方法使得未包裹住的面积大？（纸片厚度忽略不计）请你通过计算说服小红．28.对于半径为r的⊙P及一个正方形给出如下定义：若⊙P上存在到此正方形四条边距离都相等的点，则称⊙P是该正方形的“等距圆”．如图1，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（2，4），顶点C、D在x轴上，且点C 在点D的左侧．（1）当r=4时，①在P1（0，-3），P2（4，6），P3（4，2）中可以成为正方形ABCD的“等距圆”的圆心的是______；②若点P在直线y=-x+2上，且⊙P是正方形ABCD的“等距圆”，则点P的坐标为______；（2）如图2，在正方形ABCD所在平面直角坐标系xOy中，正方形EFGH的顶点F的坐标为（6，2），顶点E、H在y轴上，且点H在点E的上方．①若⊙P同时为上述两个正方形的“等距圆”，且与BC所在直线相切，求⊙P在y轴上截得的弦长；②将正方形ABCD绕着点D旋转一周，在旋转的过程中，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心，则r的取值范围是______．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、由原方程得到2x+1=0，即未知数的最高次数是1．故本选项错误；B、当a=0时．该方程不是一元二次方程．故本选项错误；C、由原方程得到x2-x-1=0，符合一元二次方程的定义，故本选项正确；D、该方程中含有两个未知数．故本选项错误；故选C．本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．本题考查了利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．2.【答案】A【解析】解：∵DE∥OA，∴∠AOD=∠D=50°，∴∠C=∠AOD=25°，故选：A．根据平行线的性质可得∠AOD=∠D，再根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半可得答案．此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3.【答案】D【解析】解：∵等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，∴DE=1，DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴DE：AB=1：2，∴△CDE的面积与△CAB的面积之比为1：4．故选D．由题意即可推出DE∥AB，推出DE=1，△CDE∽△CAB，△CDE的面积与△CAB 的面积之比为相似比的平方，即为1：4．本题主要考查相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形中位线定理，关键在于推出DE∥AB．4.【答案】B【解析】解：过O作OC⊥AB于C，∵OC过O，∴AC=BC=AB=12，在Rt△AOC中，由勾股定理得：OC==5．故选：B．过O作OC⊥AB于C，根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OC即可．本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是求出OC的长．5.【答案】A【解析】解：连接AC，过B作BD⊥AC于D；∵AB=BC，∴△ABC是等腰三角形，∴AD=CD；∵此多边形为正六边形，∴∠ABC==120°，∴∠ABD=×120°=60°，∴∠BAD=30°，AD=AB•cos30°=2×=，∴a=2cm．故选A．连接AC，作BD⊥AC于D；根据正六边形的特点求出∠ABC的度数，再由等腰三角形的性质求出∠BAD的度数，由特殊角的三角函数值求出AD的长，进而可求出AC的长．此题比较简单，解答此题的关键是作出辅助线，根据等腰三角形及正六边形的性质求解．6.【答案】B【解析】解：依题意，设金色纸边的宽为xcm，则（80+2x）（50+2x）=5400．故选：B．根据矩形的面积=长×宽，我们可得出本题的等量关系应该是：（树叶画的长+2个纸边的宽度）×（树叶画的宽+2个纸边的宽度）=整个挂图的面积，由此可得出方程．此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据题意列出方程是解题关键．7.【答案】D【解析】解：A、应经过此半径的外端，故本选项错误；B、应该垂直于此半径，故本选项错误．C、应是圆心到直线的距离等于圆的半径，故本选项错误；D、根据切线的判定方法，故本选项正确；故选D．要正确理解切线的定义：和圆有唯一公共点的直线是圆的切线．掌握切线的判定：①经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线，是圆的切线；②到圆心的距离等于半径的直线是该圆的切线．本题考查了命题和定理，知识点有：切线的判定方法．8.【答案】D【解析】解：∵∠C=∠E，且∠BDE=∠ADC，∴△BDE∽△ADC，∴=，∵BC=8，BD：DC=5：3，∴BD=5，DC=3，AD=4，∴=，解得DE=，故选：D．由条件可证明△BDE∽△ADC，且可求得BD和DC的长度，利用相似三角形的对应边的比相等可求得DE．本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题时注意：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．9.【答案】B【解析】解：小正方形的面积是：1；当圆运动到正方形的一个角上时，形成扇形BAO，它的面积是．则这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是4×（1-）=4-π．故选：B．这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是就是小正方形的面积与扇形的面积的差的4倍．本题主要考查了轨迹、正方形和圆的面积的计算公式，正确记忆公式是关键．10.【答案】B【解析】解：∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在边DC，CB上移动，∴DE=CF，在△ADE和△DCF中，，∴∠DAE=∠CDF，∵∠CDF+∠ADF=∠ADC=90°，∴∠ADF+∠DAE=90°，∴∠APD=90°，取AD的中点O，连接OP，则OP=AD=×2=1（不变），根据两点之间线段最短得C、P、O三点共线时线段CP的值最小，在Rt△COD中，根据勾股定理得，CO===，所以，CP=CO-OP=-1．故选B．根据点E、F的运动速度判断出DE=CF，然后利用“边角边”证明△ADE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DAE=∠CDF，然后求出∠APD=90°，取AD的中点O，连接OP，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得点P到AD的中点的距离不变，再根据两点之间线段最短可得C、P、O三点共线时线段CP的值最小，然后根据勾股定理列式求出CO，再求解即可．本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，确定出点P到AD的中点的距离是定值是解题的关键，也是本题的难点．11.【答案】【解析】解；由=，得=．由合比性质，得=．=，故答案为：．根据比例的性质，可得y：x的值，再根据倒数的意义，可得答案．本题是基础题，考查了比例的基本性质，比较简单12.【答案】7000（1+x）2=8500【解析】解：设这两年房价的年平均增长率均为x，根据题意，可列方程：7000（1+x）2=8500，故答案为：7000（1+x）2=8500．由于设这两年房价的平均增长率均为x，那么2014年房价平均每平方米为7000（1+x）元，2015年的房价平均每平方米为7000（1+x）（1+x）元，然后根据2015年房价平均每平方米为8500元即可列出方程．此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握增长率问题的计算公式：变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．13.【答案】k＞且k≠1【解析】解：根据题意得k-1≠0且△=22-4（k-1）×（-2）＞0，解得：k＞且k≠1．故答案为：k＞且k≠1．根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k-1≠0且△=22-4（k-1）×（-2）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．14.【答案】67.5【解析】解：∵PD切⊙O于点C，∴∠OCD=90°；又∵CO=CD，∴∠COD=∠D=45°；∴∠A=∠COD=22.5°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∵OA=OC，∴∠A=∠ACO=22.5°（等边对等角），∴∠PCA=180°-∠ACO-∠OCD=67.5°．故答案是：67.5°．根据切线的性质知∠OCD=90°，然后在等腰直角三角形OCD中∠COD=∠D=45°；再由圆周角定理求得∠ACO=22.5°；最后由平角的定义即可求得∠PCA的度数．本题考查了圆的切线．解题的关键是根据切线的定义推知∠OCD=90°．15.【答案】216°【解析】解：母线长==15，设该扇形薄纸板的圆心角为n°，所以2π•9=，解得n=216，即该扇形薄纸板的圆心角为216°．故答案为216°．利用勾股定理计算出母线长=15，设该扇形薄纸板的圆心角为n°，利用弧长公式得到2π•9=，解得n=216．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．16.【答案】4π【解析】解：弧CD的长是=，弧DE的长是：=，弧EF的长是：=2π，则曲线CDEF的长是：++2π=4π．故答案为：4π．弧CD，弧DE，弧EF的圆心角都是120度，半径分别是1，2，3，利用弧长的计算公式可以求得三条弧长，三条弧的和就是所求曲线的长．本题考查了弧长的计算公式，理解弧CD，弧DE，弧EF的圆心角都是120度，半径分别是1，2，3是解题的关键．17.【答案】1-≤a≤1+【解析】解：如图：当⊙A在直线L的左侧，⊙A与直线L相切时，△BOD∽△ABC，∵直线l为y=2x-2，∴B（1，0），D（0，-2），∴OB=1，OD=2，∴，即，∴BC=，∴AB=，当⊙A在直线L的右侧，⊙A与直线L相切时，同理A′B=，∴A横坐标a的取值范围是1-≤a≤1+，故答案为：1-≤a≤1+．根据⊙A与L有公共点从左相切开始，到相交，到右相切，所以A移动的距离是左相切到右相切时的距离．此题主要考查了坐标与图形的性质和直线与圆的位置关系，关键是知道点A 移动距离．18.【答案】（-，）【解析】解：如图，过D作DF⊥AF于F，∵点B的坐标为（1，3），∴AO=1，AB=3，根据折叠可知：CD=OA，而∠D=∠AOE=90°，∠DEC=∠AEO，∴△CDE≌△AOE，∴OE=DE，OA=CD=1，设OE=x，那么CE=3-x，DE=x，∴在Rt△DCE中，CE2=DE2+CD2，∴（3-x）2=x2+12，∴x=．又DF⊥AF，∴DF∥EO，∴△AEO∽△ADF，而AD=AB=3，∴AE=CE=3-=，∴==，即==．∴DF=，AF=．∴OF=-1=．∴点D的坐标为（-，）．故答案为：（-，）．如图，过D作DF⊥AF于F，根据折叠可以证明△CDE≌△AOE，然后利用全等三角形的性质得到OE=DE，OA=CD=1，设OE=x，那么CE=3-x，DE=x，利用勾股定理即可求出OE的长度，而利用已知条件可以证明△AEO∽△ADF，而AD=AB=3，接着利用相似三角形的性质即可求出DF、AF的长度，也就求出了D的坐标．此题主要考查了图形的折叠问题，也考查了坐标与图形的性质，解题的关键是把握折叠的隐含条件，利用隐含条件得到全等三角形和相似三角形，然后利用它们的性质即可解决问题．19.【答案】解：（1）∵3y（y-1）=2（y-1），∴（y-1）（3y-2）=0，∴y-1=0或3y-2=0，∴y1=1，y2=；（2）∵（x-1）（x+2）=70，∴x2+x-2=70，∴x2+x-72=0，∴（x+9）（x-8）=0，∴x+9=0或x-8=0，∴x1=-9，x2=8；（3）∵2y2-3=4y，∴2（y2-2y+1-1）-3=0，∴2（y-1）2=5，y=1±，y1=1+，y2=1-．【解析】（1）移项将方程右边化简为0，然后在提取公因式即可求解；（2）将方程左边去括号然后再化简成x2+x-72=0，利用因式分解即可求解；（3）移项然后在利用配方法即可求解．本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．20.【答案】解：根据题意可得：∠AEB=∠CED，∠BAE=∠DCE=90°，（2分）∴△ABE∽△CDE，（5分）∴，（7分）∴，（8分）∴AB=13.44（米）．（11分）答：教学大楼的高度AB是13.44米．（12分）【解析】根据反射定律，∠1=∠2，又因为FE⊥EC，所以∠3=∠4，再根据垂直定义得到∠BAE=∠DCE，所以可得△BAE∽△DCE，再根据相似三角形的性质解答．本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．21.【答案】解：∵关于x的方程x2+（b+2）x+6-b=0有两个相等的实数根，∴△=（b+2）2-4（6-b）=0，即b2+8b-20=0；解得b=2，b=-10（舍去）；①当a为底，b为腰时，则2+2＜5，构不成三角形，此种情况不成立；②当b为底，a为腰时，则5-2＜5＜5+2，能够构成三角形；此时△ABC的周长为：5+5+2=12；答：△ABC的周长是12．【解析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△=0，据此可求出b的值；进而可由三角形三边关系定理确定等腰三角形的三边长，即可求得其周长．此题考查了根与系数的关系、等腰三角形的性质及三角形三边关系定理；在求三角形的周长时，不能盲目的将三边相加，而应在三角形三边关系定理为前提条件下分类讨论，以免造成多解、错解．22.【答案】2；π【解析】解：（1）如图所示：连接AC，作线段AC的垂线OE，交正方形网格于点O，则O点即为⊙O的圆心；（2）①在Rt△OCF中，∵CF=2，OF=4，∴OC===2；②在Rt△OAG与Rt△OCF中，AG=OF=4，OG=CF=2，OA=OC=2，∴∠OAG=∠COF，∠AOG=∠OCF，∵∠OAG+∠AOG=90°，∠OCF+∠COF=90°，∴∠AOG+∠COF=90°，∴∠AOC=90°，∴===π；③直线DC与⊙O相切．理由：∵连接CD，在△DCO中，CD=，CO=2，DO=5，∴CD2+CO2=25=DO2．∴∠DCO=90°，即CD⊥OC．∴CD与⊙O相切．（1）连接AC，作AC的垂直平分线，由垂径定理可知OE与网格的交点即为⊙O的圆心；（2）①直接根据正方形网格的特点及勾股定理求出OC的长即为⊙O的半径；②先根据直角三角形的性质得出∠AOC=90°，再根据弧长公式求出的度数；③连接CD，根据勾股定理得出CD、OD的长，由勾股定理的逆定理判断出△OCD的形状即可．本题考查的是垂径定理的应用、勾股定理、直线与圆的位置关系、勾股定理的逆定理及弧长的计算，在解答此题时要先根据垂径定理作出圆心，再根据勾股定理的相关知识进行解答．23.【答案】（1）证明：连接OA．∵AE是⊙O切线，∴OA⊥AE，∴∠OAE=90°，∴∠EAD+∠OAD=90°，∵∠ADO=∠ADE，OA=OD，∴∠OAD=∠ODA=∠ADE，∴∠EAD+∠ADE=90°，∴∠AED=90°，∴AE⊥CD；（2）解：过点O作OF⊥CD，垂足为点F．∵∠OAE=∠AED=∠OFD=90°，∴四边形AOFE是矩形．∴OF=AE=4cm．又∵OF⊥CD，∴DF=CD=3cm．在Rt△ODF中，OD==5cm，即⊙O的半径为5cm．【解析】（1）欲证明AE⊥CD，只要证明∠EAD+∠ADE=90°即可；（2）过点O作OF⊥CD，垂足为点F．从而证得四边形AOFE是矩形，得出OF=AE，根据垂径定理得出DF=CD，在Rt△ODF中，根据勾股定理即可求得⊙O的半径．本题考查了等腰三角形的性质，垂径定理，平行线的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理的应用等，熟练掌握性质定理是解题的关键．24.【答案】解：（1）相切，理由是：∵∠ACB=90°，BC为半圆的直径，∴以BC为直径的圆与AC所在的直线相切；（2）在Rt△ACB中，∠B=30°，∴∠A=90°-30°=60°，AC=AB=×4=2，由勾股定理得：BC==2，∴S阴影=S半圆-（S△ABC-S扇形AEC），=π-×2×+，=-2，答：图中阴影部分的面积是-2．【解析】（1）切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，满足这两个条件，则与圆相切；（2）先根据条件求直角三角形的各边长和锐角∠A的度数，再利用差求阴影部分的面积．本题考查了直线和圆的位置关系、勾股定理及扇形的面积，属于常考题型，难度不大；熟练掌握直线和圆的位置关系，在求阴影部分面积时，要注意利用和或差来求解．25.【答案】解：设y与x的解析式为：y=ax+b，则，解得：，∴y=-0.1x+8，根据题意，得：（x-20）（-0.1x+8）-40=40，∴x1=40，x2=60，∵尽可能让顾客得到实惠，∴价格应定为40元．答：价格应定为40元．【解析】设y与x的解析式为：y=ax+b，将表格中的数代入解析式，求出a、b的值，求出解析式，然后表示出利润，根据利润为40万元，求出销售价格．本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．26.【答案】解：（1）设运动的时间为t秒，由勾股定理得，OC==10，当CQ=CP时，2t=10-4t，解得，t=，此时CP=2×=，∴AP=8-=，P点坐标为（，6），当PC=PQ时，如图①，过点Q作AC的垂线交AC于点E，CQ=10-4t，CP=2t．∵△CEQ∽△CAO，∴EQ=CQ=（10-4t）=6-t，PE=（10-4t）-2t=8-t-2t=8-t，由勾股定理得，（6-t）2+（8-t）2=（2t）2，整理得：36t2-140t+125=0，解得，t1=，t2=（舍去），此时，AP=8××2=，∴P点坐标为（，6），当QC=PQ时，如图②，过点Q作AC的垂线交AC于点F，CQ=10-4t，CP=2t，∵△CFQ∽△CAO，∴QF═（10-4t）=6-t，PF=2t-（10-4t）=t-8，则（6-t）2+（t-8）2=（10-4t）2，整理得，21t2-40t=0，解得，t1=，t2=0（舍去），此时，AP=8-×2=，则P点坐标为（，6），综上所述，P点坐标为（，6），（，6），（，6）；（2））如图③，连接EG，由题意得：△AOE≌△AFE，∴∠EFG=∠OBC=90°，∵E是OB的中点，∴EG=EG，EF=EB=4，在Rt△EFG和Rt△EBG中，，∴Rt△EFG≌Rt△EBG（HL）∴∠FEG=∠BEG，∠AOB=∠AEG=90°，∴△AOE∽△AEG，∴AE2=AO•AG，即36+16=6×AG，解得，AG=，由勾股定理得，CG==，∴BG=6-=，G的坐标为（8，）．【解析】（1）分CQ=CP、PC=PQ和QC=PQ三种情况，根据等腰三角形的性质计算即可；（2）连接EG，由翻转变换的性质得到△AOE≌△AFE，根据全等三角形的性质得到∠EFG=∠OBC=90°，证明Rt△EFG≌Rt△EBG得到∠FEG=∠BEG，∠AOB=∠AEG=90°，得到△AOE∽△AEG，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．本题考查的是翻转变换的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质，掌握翻转变换的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．27.【答案】解：（1）∵BE=AB=15，在直角△BCE中，CE===9∴DE =6，∵∠EAD +∠BAE =90°，∠BAE =∠BEF ，∴∠EAD +∠BEF =90°，∵∠BEF +∠F =90°，∴∠EAD =∠F∵∠ADE =∠FBE∴△ADE ∽△FBE ，∴ ，， ∴BF =30；（2）①如图1，将矩形ABCD 和直角△FBE 以CD 为轴翻折，则△AMH 即为未包裹住的面积，∵Rt △F ′HN ∽Rt △F ′EG ，∴ ′ ′ = ，即 ，解得：HN =3，∴S △AMH = •AM •MH = ×12×24=144； ②如图2，将矩形ABCD 和Rt △ECF 以AD 为轴翻折，∵Rt △GBE ∽Rt △GB ′C ′，∴ ′ ′ ′，即′ ′ ，解得：GB ′=24， ∴S △B ′C ′G = •B ′C ′•B ′G = ×12×24=144， ∴按照两种包裹方法的未包裹面积相等．【解析】（1）先证明△ADE ∽△FBE ，利用相似的性质得BF ；（2）①利用相似三角形的判定，证明Rt △F′HN ∽Rt △F′EG ，利用相似三角形的性质，求得HN ，利用三角形的面积公式得结果；②利用相似三角形的判定，证明Rt △F′HN ∽Rt △F′EG ，利用相似三角形的性质，求得HN ，利用三角形的面积公式得结果．本题主要考查了相似三角形的判定和性质及翻折变化，以动态（平移和旋转）的形式考查了分类讨论的思想、函数的知识和直角三角形是解答此题的关键．28.【答案】P 2，P 3；（4，-2）或P （-4，6）；0＜r ＜ 或r ＞2 +2【解析】解：（1）①连接AC和BD，交于点M，∵四边形ABCD是正方形，∴M到正方形ABCD四条边距离都相等∴⊙P一定通过点M，∵A（2，4）∴M（0，2）设⊙P的圆心坐标是（x，y），∴r=4时，∴x2+（y-2）2=（4）2，即，x2+（y-2）2=32，把P1（0，-3），P2（4，6），P3（4，2）代入，只有P2，P3成立，∴可以成为正方形ABCD的“等距圆”的圆心的是P2，P3，故答案为：P2，P3；②∵点P在直线y=-x+2上，且⊙P是正方形ABCD的“等距圆”，∴把y=-x+2代入x2+（y-2）2=32，得x2+x2=32，解得x=±4，∴y=-2或6，∴P（4，-2）或P（-4，6）．故答案为：（4，-2）或P（-4，6）．（2）如下图：①∵⊙P同时为正方形ABCD与正方形EFGH的“等距圆”，∴⊙P同时过正方形ABCD的对称中心E和正方形EFGH的对称中心I．∴点P在线段EI的中垂线上．∵A（2，4），正方形ABCD的边CD在x轴上；F（6，2），正方形EFGH的边HE 在y轴上，∴E（0，2），I（3，5）∴∠IEH=45°，设线段EI的中垂线与y轴交于点L，与x轴交于点M，∴△LIE为等腰直角三角形，LI⊥y轴，∴L（0，5），∴△LOM为等腰直角三角形，LO=OM∴M（5，0），∴P在直线y=-x+5上，∴设P（p，-p+5）过P作PQ⊥直线BC于Q，连结PE，∵⊙P与BC所在直线相切，∴PE=PQ，∴p2+（-p+5-2）2=（p+2）2，解得：P1=5+2，P2=5-2，∴P1（5+2，-2），P2（5-2，2），∵⊙P过点E，且E点在y轴上，∴⊙P在y轴上截得的弦长为2|-2-2|=4或2|2-2|=4-4．②如图2，连接DH，作DT⊥HF，以D为圆心，DE为半径作圆，交DT于点E1，交HD于E2，当0＜r＜DT-DE1时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．∵HF所在的直线为：y=-x+8，DT所在的直线为：y=x-2，∴T（5，3），∵D（2，0），∴DT==3，∵DE=DE1∴DT-DE=DT-DE=3-2=，1∴当0＜r＜时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．当r＞HE2时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．∵HE2=HD+DE2，DE2=DE，∴HE=HD+DE=+2=2+2，2∴当r＞2+2时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．综上可知当0＜r＜或r＞2+2时线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心，故答案为：0＜r＜或r＞2+2．（1）①连接AC和BD，交于点M，设⊙P的圆心坐标是（x，y），列出圆心到M的关系式，把P1（0，-3），P2（4，6），P3（4，2）代入，看是否成立来逆定，②把y=-x+2代入x2+（y-2）2=32，求出x和y的值，再写出坐标．（2）①先求出△LIE为等腰直角三角形，得到L（0，5），进而得出△LOM为等腰直角三角形，设P（p，-p+5）据关系列出方程求了圆心，的坐标，最后得出弦长．②连接DH，作DT⊥HF，以D为圆心，DE为半径作圆，交DT于点E1，交HD于E2，当0＜r＜DT-DE1时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．当r＞HE2时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．据此求解．本题考查圆的综合题，解题的关键是明确题意，根据题目给出的条件，作出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．此外对本题中的“等距圆”的定义正确理解也是解题的关键．。

2019-2020学年九上数学期中模拟试卷含答案一、选择题1．下列命题中假命题的个数是（ ）①三点确定一个圆；②三角形的内心到三边的距离相等；③相等的圆周角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦；⑤垂直于半径的直线是圆的切线． A 、4 B 、3 C 、2 D 、2.下列命题中的假命题是( ) A 三角形的外心到三角形各顶点的距离相等B 三角形的外心到三角形三边的距离相等 C 三角形外心一定在三角形一边的中垂线上D 三角形任意两边的中垂线的交点是三角形的外心 3．下列命题错误．．的是（ ） A ．经过三个点一定可以作圆B ．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等C ．同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等D ．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦。

4. 已知两圆半径分别为2和3，圆心距为d ，若两圆没 有公共点，则下列结论正确的是（ ） A 、0＜d ＜1 B 、d ＞5 C 、0＜d ＜1或d ＞5 D 、0≤d ＜1或d ＞5 5．如图，将三角尺ABC （其中∠ABC=60°，∠C=90°）绕B 点按顺时针方向转动一个角度到11A BC 的位置，使得点 A ，B ，1C 在同一条直线上，那么这个角度等于（ ）A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°6．关于x 的一元二次方程22110a x x a -++-=()的一个根是0，则a 的值是（ ） A ．1-B ．1C ．1或1-D ．1-或07．如图，在△ABC 中，AB 为⊙O 的直径，∠B=60°，∠BOD=100°，则∠C 的度数为（ ） A ．50° B ．60° C ．70° D ．80°8．正方形ABCD 内一点P ，AB=5，BP=2，把△ABP 绕点B 顺时针旋转90°得到△CBP'，则PP'的长为（ ）第4题第7题第8题第9题A． B．C ．3D．9．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，O 是AB 边上一点，⊙O 与AC 、BC 都相切，若BC=3，AC=4，则⊙O 的半径为（ ） A ．1B ．2C ．52 D ．12 710．若222228a b a b ++=()(-)，则22a b +=（ ） A ．2-B ．4C ．4或2-D ．4-或2二、填空题（每小题4分，共20分）11．点（2，2-）关于原点对称的点的坐标是 ． 12n 的最小值为 ． 13．同时从1，2，3这三个数字中任意取出两个不同的数字，则取出的两个数字都是奇数的概率是 ． 14．如图，把一个半径为12cm 的圆形硬纸片等分成三个扇形，用其中一个扇形制作成一个圆锥形纸筒的侧面（衔接处无缝隙且不重叠），则圆锥底面半径是 cm ．15．如图，平面直角坐标系中，⊙O 1过原点O ，且⊙O 1与⊙O 2相外切，圆心O 1与O 2在x 轴正半轴上，⊙O 1的半径O 1P 1、⊙O 2的半径O 2P 2都与x 轴垂直，且点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）在反比例函数1y x=（x ＞0）的图象上，则y 1+y 2= ．16．已知,m n 为方程2210x x +-=的两个实数根，则222011m n -+= .17.①2x ②83)2011(|322|21(02+-----π）③解方程： 0132=--x x ④解方程：x x x )23(64-=-18.．如图，在平面直角坐标系中，Rt △ABC 的三个顶点分别是32A （-，），B （0，4），C （0，2）． （1）将△ABC 以点C 为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A 1B 1C ；平移△ABC ，若点A 的对应点A 2的坐标为（0，4-），画出平移后对应的△A 2B 2C 2；第14题第15题（2）若将△A 1B 1C 绕某一点旋转可以得到△A 2B 2C 2；请直接写出旋转中心的坐标； （3）在x 轴上有一点P ，使得PA+PB 的值最小，请直接写出点P 的坐标．19．（10分）一不透明的布袋里，装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中有红球2个，篮球1个，黄球若干个，现从中任意摸出一个球是红球的概率为12． （1）求口袋中黄球的个数；（2）甲同学先随机摸出一个小球（不放回），再随机摸出一个小球，请用“树状图法”或“列表法”，求两次摸出都是红球的概率；（3）现规定：摸到红球得5分，摸到黄球得3分，摸到篮球得2分（每次摸后放回），乙同学在一次摸球游戏中，第一次随机摸到一个红球第二次又随机摸到一个蓝球，若随机，再摸一次，求乙同学三次摸球所得分数之和不低于10分的概率．20．（12分）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，直线EF 经过点C ，AD ⊥EF 于点D ，DAC BAC ∠=∠ ． （1）求证：EF 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为2，∠ACD=30°，求图中阴影部分的面积．21．（12分）某校为培育青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A 、B 以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程l （cm ）与时间t （s ）满足关系：23122l t t =+0t ≥()，乙以4cm/s 的速度匀速运动，半圆的长度为21cm ．（1）甲运动4s 后的路程是多少？（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间？ （3）甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多少时间？22．（12分）如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD 和一个长为2、宽为1的长方形CEFD 拼在一起，构成一个大的长方形ABEF ．现将小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转至CE F D '''，旋转角为a ． （1）当点D '恰好落在EF 边上时，求旋转角a 的值；（2）如图2，G 为BC 中点，且0°＜a ＜90°，求证：GD E D '='；（3）小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转一周的过程中，△DCD '与△CBD '能否全等？若能，直接写出旋转角a 的值；若不能说明理由．23. 已知抛物线经过点A （-3，0）、B （1，0）、C （0，3）.（1）求抛物线的解析式；（2）求该抛物线顶点Q 的坐标，且判断△ACQ 的形状，并请 说明理由；（3）在抛物线的对称轴左边图象上，是否存在一点P ， 使得以P 、A 、B 、C 四个点为顶点的四边形是梯形.若存在， 求出点P 坐标；若不存在，请说明理由.24.如图（1），在平面直角坐标系中，Rt ABC △的AC 边与x 轴重合，且点A 在原点，2,60,90==∠=∠AC BAC ACB ；又一直径为2的⊙D 与x 轴切于点)0,1(E ；（1） 当Rt ABC △的边BC 移动到与y 轴重合时，则把ACB Rt ∆绕原点O 按逆时针方向旋转，使斜边AB 恰好经过点)2,0(F ，得''Rt A B O ∆，AB 分别与',''A O A B 相交于N M ,，如图（2）所示. ① 求旋转角'AOA ∠的度数； ② 求四边形FOMN 的面积；（结果保留根号边AB 与（．2．）．如图（1），若Rt ABC △沿x 轴正方向移动，当斜⊙D 相切时，请直接写出．．此时点A 的坐标； ）E'第23题图25．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，且OA=2，OC=1，矩形对角线AC 、OB 相交于E ，过点E 的直线与边OA 、BC 分别相交于点G 、H ．（1）①直接写出点E 的坐标： ．②求证：AG=CH ． （2）如图2，以O 为圆心，OC 为半径的圆弧交OA 与D ，若直线GH 与弧CD 所在的圆相切于矩形内一点F ，求直线GH 的函数关系式．（3）在（2）的结论下，梯形ABHG 的内部有一点P ，当⊙P 与HG 、GA 、AB 都相切时，求⊙P 的半径．26．如图12，在平面直角坐标系xOy 中，AB ⊥x 轴于点B ，AB=3，tan ∠AOB=3/4。

江苏省无锡市实验学校2019学年九年级上学期期中考试数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 若关于的一元二次方程k－2x－1=0有两个不相等的实数根，则的取值范围是( )A. k＞－1B. k＞－1且k≠0C. k＜1D. k＜1且k≠02. 学校组织才艺表演比赛，前6名获奖．有13位同学参加比赛且他们所得的分数互不相同．某同学知道自己的比赛分数后，要判断自己能否获奖，在这13名同学成绩的统计量中只需知道一个量，它是（）A. 众数B. 中位数C. 平均数D. 都可以3. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB=40°，则∠A的度数等于（）A. 60°B. 50°C. 40°D. 30°4. 设α、β是方程x2+x﹣2015=0的两个实数根，则α+β的值为（）A. 2015B. ﹣2015C. 1D. ﹣15. 如图所示，△的顶点是正方形网格的格点，则sin的值为（）A. B. C. D.6. 一个边长为2的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的半径是（）A. 2B.C. 1D.7. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4 cm，以点C为圆心，以2 cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 相切或相交8. 一张长方形桌子的长是150cm，宽是100cm，现在要设计一块长方形桌布，面积是桌面的2倍，且使四周垂下的边宽是xcm．根据题意，得（）A. （150+x）（100+x）=150×100×2B. （150+2x）（100+2x）=150×100×2C. （150+x）（100+x）=150×100D. 2（150x+100x）=150×1009. 如图，在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=3，矩形在直线l上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2015次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（）．A. 2015πB. 3019.5πC. 3018πD. 3024π二、填空题10. 已知x＝−1是关于的方程2x2−ax＋a=0的一个根，则a =__________．11. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AB=2，则sinA=_________.12. 如图⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，那么⊙O的半径为__cm．13. 如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别为P、C、D．如果AB＝5，AC＝3．则BD的长为_______.14. 一个扇形半径30cm，圆心角120°，用它作一个圆锥的侧面，则圆锥底面半径为____．15. 小明在学习“锐角三角函数”中发现，用折纸的方法可求出tan22.5°，方法如下：将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以知道tan22.5°=_____________.16. 在Rt△ABC中，斜边AB=10，直角边AC=8，以C为圆心,r为半径，若要使⊙C与边AB 只有一个公共点，则r的取值范围是______________________.17. 如图，P1是一块半径为1的半圆形纸板，在P1的左下端剪去一个半径为0．5的半圆后得到图形P2，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形P3,P4,…,Pn,…，记纸板Pn的面积为Sn，试通过计算S1,S2，猜想得到Sn－1－Sn=___________(n≥2)。

2020-2021学年无锡市锡中实验学校九年级上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1. tan45°sin45°−2sin30°cos45°+tan30°=( ) A. 12 B. √22 C. √32 D. √332. 在2017年的初中数学竞赛中，我校有5位同学获奖，他们的成绩分别是88，86，91，88，92.则由这组数据得到的以下结论，错误的是( )A. 极差为6B. 平均数为89C. 众数为88D. 中位数为91 3. 若⊙O 的直径是10cm ，点P 到圆心的距离是8cm ，则点P 和⊙O 的位置关系是( )A. 点P 在⊙O 内B. 点P 在⊙O 上C. 点P 在⊙O 外D. 不确定 4. 在△ABC 中，∠B =90°，AB 与AC 是二元一次方程组{3x −y =2x +y =18的解，则sinA =( ) A. 512B. 1213C. 513D. 125 5. 如图是百度地图的一部分(比例尺1：4000000)，厦门到泉州的图上距离约为1.825cm.按图可估测厦门在泉州的方位及两地的实际距离约为( )A. 南偏西55°，7.3公里B. 南偏西55°，73公里C. 北偏东55°，7.3公里D. 北偏东35°，73公里6. 如图，一辆小车沿坡度为512的斜坡向上行驶13米，则小车上升的高度是( ) A. 5米B. 6米C. 6.5米D. 12米7. 如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上两点，若∠ABC =40°，则∠BDC 的度数是( )A. 60°B. 55°C. 50°D. 48°8.已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，m和6，8，n，且这两个直角三角形不相似，则m+n的值为()A. 10+√7或5+2√7B. 15C. 10+√7D. 15+3√79.如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，点P是△ABC内一定点，延长BP至，使△ABP绕点A旋转后，与重合.若AP=，则的长为A. 2B.C.D.10.如图，等边三角形ABC的边长为4，则点C的坐标是()A. (4,−2)B. (4,2)C. (−2,√3)D. (2√3,−2)二、填空题（本大题共9小题，共18.0分）11.已知扇形的半径是30cm，圆心角是108°，则该扇形的弧长为______cm(结果保留π)．12.若样本x1+1，x2+1，…，x n+1的平均数为10，方差为2，则另一样本x1+2，x2+2，…，x n+2，的平均数为______ ，方差为______ ．13.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A=120°，则∠C=______ °.14.已知圆锥的底面圆的半径是8cm，母线长是10cm，则圆锥的侧面积是______cm2．15.点P为⊙O内一点，过点P的最长的弦长为10cm，最短的弦长为8cm，那么OP的长等于______cm．16.如图，在△ABC中，AB=4cm，BC=2cm，∠ABC=30°，把△ABC以点B为中心按逆时针方向旋转，使点C旋转到AB边的延长线上的点C′处，那么AC边扫过的图形(图中阴影部分)的面积是______ cm2．17. 等腰△ABC 中，AB =AC =4√5，BC =8，则它的外接圆半径为______ ；如图，△ABC 中，∠ACB =120°，AB =6，则它的外切圆⊙O 的半径为______ ．18. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，AC =12m ，cosA =1213，则tan∠BCD = ．19. 在直线上依次摆放着七个正方形(如图所示)，已知倾斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，则S 1+S 2+S 3+S 4的值等于______．三、计算题（本大题共1小题，共14.0分）20. (1)计算(−12)2+(3−π)0+|√3−2|+2sin60°−√8；(2)解不等式组{x −1+3x 2>−35x −12≤2(4x −3)．四、解答题（本大题共8小题，共68.0分）21. 某校在“校艺术节”期间，举办了A 演讲、B 唱歌、C 书法、D 绘画共四个项目的比赛．要求每位同学必须参加且限报一项．以九年级(一)班为样本进行统计，并将结果绘制尚不完整的条形和扇形统计图，请根据统计图解答下列问题：(1)在扇形统计图中，D 项的百分率是______；(2)在扇形统计图中，C项的圆心角的度数是______；(3)请补充完整条形统计图；(4)若该校九年级有500名学生，那么九年级参加演讲和唱歌比赛的学生共有多少人？22.如面是小东设计的“作平行四边形一边中点”的尺规作图过程．已知：平行四边形ABCD．求作：点M，使点M为边AD的中点．作法：如图，①作射线BA；②以点A为圆心，CD长为半径画弧，交BA的延长线于点E；③连接EC交AD于点M．所以点M就是所求作的点．根据小东设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；(2)完成下面的证明．证明：连接AC，ED．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE//CD．∵AE=______，∴四边形EACD是平行四边形(______)(填推理的依据)．∴AM=MD(______)(填推理的依据)．∴点M为所求作的边AD的中点．23.如图，四边形ABCD为矩形，AB=3，BC=4，P、Q均从点B出发，点P以2个单位每秒的速度沿BA−AC的方向运动，点Q以1个单位每秒的速度沿BC−CD运动，P、Q两点同时出发，当点Q 到达D时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒．(1)求AC的长；(2)若S△BPQ=S，求S关于t的解析式．24.如图，AB是⊙O直径，D为⊙O上一点，CT为⊙O的切线，且AC与CT垂直，AC交⊙O于点D.求证：AT平分∠BAD．25.如图，位于A处的海上救援中心获悉：在其北偏东68°方向的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．该中心立即把消息告知在其北偏东30°且距离A点20海里的C处救生船，此时，遇险船在救生船的正东方向B处，现救生船沿着航线CB前往B处救援，求救生船到达B处行驶的距离？(参考数据：sin68°≈0.90，cos68°≈0.36，tan68°≈2.50，√3≈1.7)26.已知矩形ABCD中，AD=√5+√3，AB=√5−√3，求这个矩形的对角线AC的长及其面积．27.(1)如图1，已知△ABC，以AB，AC为边向△ABC外做等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，求证：BE=CD；(2)如图2，已知△ABC，以AB，AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，BE与CD有什么数量关系？简单说明理由；(3)运用(1)、(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=60米，AC=AE，求BE的长．28.如图，在⊙O中，弦AB与直径CD垂直，垂足为M，CD的延长线上有一点P，满足∠PBD=∠DAB.过点P作PN⊥CD，交OA的延长线于点N，连接DN交AP于点H．(1)求证：BP是⊙O的切线；(2)如果OA=5，AM=4，求PN的值；(3)如果PD=PH，求证：AH⋅OP=HP⋅AP．参考答案及解析1.答案：D解析：解：原式=1×√22−2×12×√22+√33=√33 故选：D ．分别把tan45°=1，sin45°=cos45°=√22，sin30°=12，tan30°=√33代入原式计算即可． 本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答此题的关键．2.答案：D解析：解：A 、这组数据的极差是92−86=6，正确；B 、这组数据的平均数是88+86+91+88+925=89，正确；C 、这组数据的众数是88，正确；D 、这组数据的中位数是88，错误；故选：D ．根据极差、中位数、众数和平均数的概念分别进行求解，即可得出答案．本题考查了极差、中位数、众数和平均数的知识，掌握各知识点的概念是解题的关键．3.答案：C解析：解：∵点P 到圆心的距离为8cm ，大于⊙O 的半径10÷2=5cm ，∴点P 在⊙O 外．故选：C ．要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，设点与圆心的距离d ，则d >r 时，点在圆外；当d =r 时，点在圆上；当d <r 时，点在圆内．本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r ，点到圆心的距离为d ，则有：当d >r 时，点在圆外；当d =r 时，点在圆上，当d <r 时，点在圆内．4.答案：B解析：解：{3x −y =2①x +y =18②， ①+②得，4x =20，解得，x =5，把x =5代入②得，y =13，则AC=13，AB=5，由勾股定理得，BC=√AC2−AB2=12，则sinA=BCAC =1213，故选：B．利用加减消元法求出x、y，得到AB、AC，根据勾股定理求出BC，根据正弦的定义计算，得到答案．本题考查的是锐角三角函数的定义、二元一次方程组的解法，掌握锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A 的正弦是解题的关键．5.答案：B解析：解：由题意可得，1.825×4000000=7300000cm=73000m=73km=73公里，由图可知，厦门在泉州的方位是南偏西55°，故选：B．根据题意和图形，利用比例的知识可以解答本题．本题考查解直角三角形的应用−方位角问题、比例线段，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．6.答案：A解析：解：作BC⊥AC．在Rt△ABC中，∵AB=13m，BC：AC=5：12，∴可以假设：BC=5k，AC=12k，∵AB2=BC2+AC2，∴132=(5k)2+(12k)2，∴k=1，∴BC=5m，故选：A．在Rt△ABC中，设BC=5k，AC=12k，利用勾股定理求出k即可解决问题；本题考查解直角三角形的应用−坡度坡角问题，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．7.答案：C解析：解：连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠ABC=40°，∴∠BAC=90°−∠ABC=50°，∴∠BDC=∠BAC=50°．故选：C．由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可得∠ACB=90°，又由∠ABC=70°，即可求得∠A的度数，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠BDC的度数．此题考查了圆周角定理．此题难度不大，注意掌握直径所对的圆周角是直角与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用是解此题的关键．8.答案：A解析：解：当3，4为直角边，6，8也为直角边时，此时两三角形相似，不合题意；当3，4为直角边，m=5；则8为另一三角形的斜边，其直角边为：√82−62=2√7，故m+n=5+2√7；当6，8为直角边，n=10；则4为另一三角形的斜边，其直角边为：√42−32=√7，故m+n=10+√7；故选：A．直接利用相似三角形的性质结合勾股定理分别得出符合题意的答案．此题主要考查了相似三角形的性质，正确分类讨论是解题关键．9.答案：A解析：∵△ABP绕点A旋转后能与△ACP′重合，∴AP=AP′=，∠PAP′=90°，∴PP′=2．10.答案：D解析：本题考查了等边三角形的性质，坐标与图形性质，正确的作出辅助线是解题的关键．过C作CD⊥OB于D，根据等边三角形的性质即可得到结论．解：过C作CD⊥OB于D，∵等边三角形ABC的边长为4，∴OD=2，CD=2√3，∴C(2√3,−2)，故选：D．11.答案：18π解析：解：∵扇形的半径是30cm，圆心角是108°，=18π(cm)．∴该扇形的弧长是：108×π×30180故答案为：18π．，代入就可以求出弧长．根据弧长公式是l=nπr180本题考查的是扇形的弧长公式的运用，正确记忆弧长公式是解题的关键．12.答案：11；2解析：解：根据题意，新数据都加了1，所以平均数也加1，即新数据的平均数为11；又因为数据的波动大小没变，所以方差不变，仍然是2．故填11；2．利用平均数和方差的定义解答．本题考查方差、平均数的意义．13.答案：60解析：解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A=120°，∴∠C=60°．故答案为：60．根据圆内接四边形的对角互补可得答案．此题主要考查了圆内接四边形的性质，关键是掌握圆内接四边形的对角互补．14.答案：80π解析：解：∵圆锥的底面圆的半径是8cm，∴圆锥的底面圆的周长=2π×8cm=16πcm，∴圆锥的侧面积=12×10cm×16πcm=80πcm2．故答案为80π．先计算出圆锥的底面圆的周长=2π×8cm=16πcm，而圆锥的侧面展开图为扇形，然后根据扇形的面积公式进行计算．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长．也考查了扇形的面积公式．15.答案：3解析：解：如图所示，CD⊥AB于点P．根据题意，得AB=10cm，CD=8cm．∵CD⊥AB，∴CP=12CD=4cm．根据勾股定理，得OP=√OC2−CP2=√52−42=3(cm)．故答案为：3．根据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径是10cm；最短弦即是过点P且垂直于过点P的直径的弦；根据垂径定理即可求得CP的长，再进一步根据勾股定理，可以求得OP的长．此题综合运用了垂径定理和勾股定理．正确理解圆中，过一点的最长的弦和最短的弦．16.答案：5π解析：解：∵∠ABC=∠A′BC′=30°，∴△ABC以点B为中心按逆时针方向旋转了180°−30°=150°，∴按反方向旋转相同的角度即可得到阴影部分为两个扇形面积的差，∵AB=4cm，BC=2cm∴S阴影部分=150π(42−22)360=5π．故答案为：5π．根据题意可知该阴影部分的面积为两个扇形面积的差，分别计算出两个扇形的面积相减即可得到阴影部分的面积．本题考查了扇形的面积的计算，解决此题的关键是根据题目中旋转的角度判断阴影部分的组成．17.答案：5；3√3解析：解：如图1，作AD⊥BC于D，∵AB=AC，BC=4，∴BD=CD=12∴△ABC的外接圆的圆心在AD上，连结OB，设⊙O的半径为r，在Rt△ABD中，∵AB=4√5，BD=4，∴AD=√AB2−BD2=8，在Rt△OBD中，OD=AD−OA=8−r，OB=r，BD=4，∴42+(8−r)2=r2，解得r=5，即△ABC的外接圆的半径为5；如图2，作直径BD，连结AD，∵∠D+∠ACB=180°，∴∠D=180°−120°=60°，∵BD为直径，∴∠BAD=90°，在Rt△ADB中，∠ABD=30°，AB=6，∴AD=√3AB=2√3，3∴BD=2AD=4√3，∴△ABC的外接圆半径为2√3．故答案为5，2√3．BC=4，再利用三角形外心的定义如图1，作AD⊥BC于D，根据等腰三角形的性质得BD=CD=12得到△ABC的外接圆的圆心在AD上，连结OB，设⊙O的半径为r，利用勾股定理，在Rt△ABD中计算出AD=8，然后在Rt△OBD中得到42+(8−r)2=r2，再解关于r的方程即可；如图2，作直径BD，连结AD，先根据圆内接四边形的性质得∠D=180°−∠ACB=60°，再根据圆周角定理由BD为直径得∠BAD=90°，然后在Rt△ADB中，根据含30度的直角三角形三边的关系可计算出BD.从而得到三角形外接圆半径．本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查来哦三角形外接圆与外心．18.答案：1536解析：试题分析：利用“同角的余角相等”推知∠BCD=∠A，所以将所求的角的正切函数值转化为求∠A的正切函数值．∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12m，，∴=，即=，∴AD=m.又∵CD⊥AB，∴CD===m.∵∠BCD=∠A，∴tan∠BCD=tan∠A===．故答案是：．19.答案：4解析：解：∵在Rt△CDE和Rt△ABC中，易知∠EDC=∠CBA，∠ECD=∠CAB，EC=CA，∴△CDE≌△ABC(AAS)，∴AB =CD ，BC =DE ，∴AB 2+DE 2=DE 2+CD 2=CE 2=3，同理可证FG 2+LK 2=HL 2=1，∴S 1+S 2+S 3+S 4=CE 2+HL 2=1+3=4．故答案为：4．如图，易证△CDE≌△ABC ，得AB 2+DE 2=DE 2+CD 2=CE 2，同理FG 2+LK 2=HL 2，S 1+S 2+S 3+S 4=1+3=4．本题考查了全等三角形的判定和性质，考查了勾股定理的灵活运用，本题中证明AB 2+DE 2=DE 2+CD 2=CE 2是解题的关键．20.答案：解：(1)原式=4+1+2−√3+2×√32−2√2 =4+1+2−√3+√3−2√2=7−2√2；(2){x −1+3x 2>−3①5x −12≤2(4x −3)②， 由①得，x <2，由②得，x ≥−2，所以，不等式组的解集是−2≤x <2．解析：(1)本题涉及指数幂、零指数幂、平方根、绝对值、特殊角的三角函数5个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．(2)先求出两个不等式的解集，再求其公共解．本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)；也考查了实数的运算． 21.答案：4% 72°解析：解：(1)∵参加比赛的总人数为13÷26%=50(人)，∴参加绘画比赛的学生人数占全班总人数的百分比是250×100%=4%；故答案为：4%；(2)根据题意得：360°×(1−26%−50%−4%)=72°．则参加书法比赛的C 项所在的扇形圆心角的度数是72°．故答案为：72°；(3)参加书法的人数为50−(13+25+2)=10(人)，补全图象如下：(4)500×(50%+26%)=380，答：九年级参加演讲和唱歌比赛的学生约有380人．(1)根据A的人数及其百分比得出总人数，绘画人数除50即可．(2)两图结合，按频数和频率的关系知c=20%，由此即可求出相应圆心角的度数；(3)总人数减去其余各组人数得出C组人数，即可补全图形；(3)利用样本估计总体即可．本题主要考查条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．22.答案：CD一组对边平行且相等的四边形是平行四边形全等三角形的对应边相等解析：解：(1)点M如图所示．(2)连接AC，ED．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE//CD．∵AE=CD，∴四边形EACD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)(填推理的依据)．∴AM=MD(全等三角形的对应边相等)(填推理的依据)．∴点M为所求作的边AD的中点．故答案为：CD，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，全等三角形的对应边相等，(1)根据要求作出点M即可．(2)利用全等三角形的性质解决问题即可．本题考查作图−复杂作图，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确应用全等三角形性质解决问题．23.答案：解：(1)∵四边形ABCD为矩形，∴∠B=90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=√AB2+BC2=√32+42=5，∴AC的长为5；(2)当0<t≤1.5时，如图，S=12×BP×BQ=12×2t×t=t2；当1.5<t≤4时，如图，作PH⊥BC于H，∴CP=8−2t，∵sin∠BCA=ABAC =PHPC，∴35=PH 8−2t ， ∴PH =245−6t 5， ∴S =12×BQ ×PH =12×t ×(245−6t 5)=−3t 25+12t5；当4<t ≤7时，如图，点P 与点C 重合，S =12×4×(t −4)=2t −8．综上所述：S ={t 2(0<t ≤1.5)−3t 25+12t 5(1.5<t ≤4)2t −8(4<t ≤7)． 解析：(1)根据勾股定理直接计算AC 的长；(2)根据点P 、Q 的运动位置进行分类，分别画图表示相应的△BPQ 的面积即可．本题主要考查了矩形的性质、勾股定理，以及三角形面积的表示，根据动点的位置进行分类讨论是解决问题的关键． 24.答案：证明：连结OT ，∵CT 为⊙O 的切线，∴OT ⊥CT ．∵AC ⊥CT ，∴OT//AC ，∴∠CAT =∠ATO ．∵OA =OT ，∴∠ATO =∠TAO ，∴∠CAT =∠TAO ，∴AT 平分∠BAD ．解析：连接OC，根据切线的性质判断出AD//OT，得到∠DAT=∠OTA，再根据OA=OT得到∠OAT=∠OTA，可得AT平分∠BAD．本题考查了切线的性质、角平分线的性质，作出相应辅助线是解题的关键．25.答案：解：如图，延长BC交AN于点D，则BC⊥AN于D．在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠DAC=30°，∴CD=12AC=10，AD=√3CD=10√3．在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠DAB=68°，∴∠B=22°，∴AB=ADsin∠B≈46.81，BD=AB⋅cos∠B≈46.81×0.93=43.53，∴BC=BD−CD=43.53−10=33.53，答：救生船到达B处行驶的距离是33.53km．解析：延长BC交AN于点D，则BC⊥AN于D.先解Rt△ACD，求出CD=12AC=10，AD=√3CD=10√3，再解Rt△ABD，得到∠B=22°，AB=ADsin∠B≈46.81，于是得到结论．本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，准确作出辅助线构造直角三角形，进而求出BC的长度是解题的关键．26.答案：解：∵AD=√5+√3，AB=√5−√3，∴AC=√AB2+BC2=√AB2+AD2=4，∴矩形的面积=AD⋅AB=(√5−√3)×(√5+√3)=2．解析：根据勾股定理得出AC，进而利用矩形的面积解答即可．本题考查了矩形对角线相等且互相平分的性质，勾股定理在直角三角形中的运用是解题的关键．27.答案：(1)证明：如图1所示：∵△ABD和△ACE都是等边三角形，∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB，在△CAD和△EAB中，∵{AD=AB∠CAD=∠EAB AC=AE，∴△CAD≌△EAB(SAS)，∴BE=CD；(2)解：BE=CD，理由同(1)，∵四边形ABFD和ACGE均为正方形，∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°，∴∠CAD=∠EAB，∵在△CAD和△EAB中，∵{AD=AB∠CAD=∠EAB AC=AE，∴△CAD≌△EAB(SAS)，∴BE=CD；(3)解：如图3，由(1)、(2)的解题经验可知，过A作等腰直角△ABD，∠BAD=90°，则AD=AB=60米，∠ABD=45°，∴BD=60√2米，连接CD，BD，则由(2)可得BE=CD，∵∠ABC=45°，∴∠DBC=90°，在Rt△DBC中，BC=60米，BD=60√2米，根据勾股定理得：CD=√BD2+BC2=60√3(米)，则BE=CD=60√3米．解析：(1)由△ABD与△ACE都是等边三角形，得到三对边相等，两个角相等，都为60度，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到△CAD与△EAB全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证；(2)利用SAS得到△CAD与△EAB全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证；(3)根据(1)、(2)的经验，过A作等腰直角△ABD，连接CD，由AB=AD=100，利用勾股定理求出BD 的长，由题意得到△DBC为直角三角形，利用勾股定理求出CD的长，即为BE的长．此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形、等腰直角三角形以及正方形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．28.答案：(1)证明：如图，连接BC，OB．∵CD是直径，∴∠CBD=90°，∵OC=OB，∴∠C=∠CBO，∵∠C=∠BAD，∠PBD=∠DAB，∴∠CBO=∠PBD，∴∠OBP=∠CBD=90°，∴PB⊥OB，∴PB是⊙O的切线．(2)解：∵CD⊥AB，∴PA=PB，∵OA=OB，OP=OP，∴△PAO≌△PBO(SSS)，∴∠OAP=∠OBP=90°，∵∠AMO=90°，∴OM=√OA2−AM2=√52−42=3，∵∠AOM=∠AOP，∠OAP=∠AMO，∴△AOM∽△POA，∴OAOP =OMOA，∴5OP =35，∴OP=253，∵PN⊥PC，∴∠NPC=∠AMO=90°，∴AMPN =OMOP，∴4PN =3253，∴PN=1009．(3)证明：∵PD=PH，∴∠PDH=∠PHD，∵∠PDH=∠POA+∠OND，∠PHD=∠APN+∠PND，又∠POA+∠APO=90°，∠APN+∠APO=90°，∴∠POA=∠APN，∴∠ANH=∠PND，∵∠PDN=∠PHD=∠AHN，∴△NAH∽△NPD，∴AHPD =NANP，∵∠APN=∠POA，∠PAN=∠PAO=90°，∴△PAN∽△OAP，∴PNOP =ANAP，∴NANP =APOP，∴AHPD =AHPH=APOP，∴AH⋅OP=HP⋅AP．解析：本题属于圆综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．(1)连接BC，OB，证明OB⊥PB即可．(2)解直角三角形求出OM，利用相似三角形的性质求出OP，再利用平行线分线段成比例定理求出PN 即可．(3)证明△NAH∽△NPD，推出AHPD =NANP，证明△PAN∽△OAP，推出PNOP=ANAP，推出NANP=APOP可得结论．。

2019-2020学年江苏省无锡市锡山区锡东片九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1．（3分）一元二次方程2x x =的根是( ) A ．10x =，21x =B ．10x =，21x =-C ．120x x ==D ．121x x ==2．（3分）用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为( ) A ．2(1)6x +=B ．2(2)9x +=C ．2(1)6x -=D ．2(2)9x -=3．（3分）下列说法正确的是( )A ．甲组数据的方差20.28S =甲，乙组数据的方差20.25S =乙，则甲组数据比乙组数据稳定B ．从1，2，3，4，5，中随机抽取一个数，是偶数的可能性比较大C ．数据3，5，4，1，2-的中位数是3D ．若某种游戏活动的中奖率是30%，则参加这种活动10次必有3次中奖4．（3分）关于x 的一元二次方程2(1)20k x x ++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为( ) A ．1k >-B ．1k <-C ．1k ≠-D ．0k <且1k ≠-5．（3分）已知O 的半径为3cm ，4OP cm =，则点P 与O 的位置关系是( ) A ．点P 在圆内B ．点P 在圆上C ．点P 在圆外D ．无法确定6．（3分）下列语句中正确的是( )A ．圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半B ．三点确定一个圆C ．圆有四条对称轴D ．各边相等的多边形是正多边形7．（3分）如图，点A 、B 、C 、D 、E 都是O 上的点，AC AE =，128D ∠=︒，则B ∠的度数为( )A．128︒B．126︒C．118︒D．116︒8．（3分）如图，在长20m、宽18m的矩形草坪上，修筑同样宽的三条（横向一条，纵向两条矩形）道路，要使草坪面积达到2306m，则道路宽度是()A．27m B．26m C．2m D．1m9．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为(0,6)-，P的半径为2，P沿y轴以2个单位长度/s的速度向正方向运动，当P与x轴相切时P运动的时间为( )A．2s B．3s C．2s或4s D．3s或4s⨯正方形方格纸的对角线AB剪下的图形，一质点P由A点出10．（3分）如图是一个沿33发，沿格点线每次向右或向上运动1个单位长度，则点P由A点运动到B点的不同路径共有()A．4条B．5条C．6条D．7条二、填空题（共8小题，每小题2分，满分16分）11．（2分）一元二次方程230-=的根是．x x12．（2分）关于x的一元二次方程2+-=有实根，则m的取值范围是．x x m22013．（2分）小明等五位同学以各自的年龄为一组数据，计算出这组数据的方差是0.5，则10年后小明等五位同学年龄的方差（填“不变”“增大”或“减小”)．14．（2分）如图，AB为O的直径，CD为O的弦，44∠=．ACD∠=︒，则BAD15．（2分）若圆锥的底面半径为3cm，高是4cm，则它的侧面展开图的面积为．16．（2分）如图，四边形ABCD内接于O，若62∠的度∠=︒，则ADB∠=︒，122ABDC数为︒．17．（2分）如图，点A、B、C分别是O上三个点，且CA ABAB=，CA=，4⊥，若2则OA的长为．18．（2分）如图，O的半径为1，P是O外一点，2OP=，Q是O上的动点，线段PQ 的中点为M，连接OP、OM，则线段OM的最小值是．三、解答题（共10小题，满分84分）19．（16分）解下列方程：（1）2(1)30x +-= （2）(1)2(1)y y y -=- （3）22510x x --= （4）2(2)36x x +=+．20．（7分）已知关于x 的方程210x ax a ++-=．（1） 若方程有一个根为 1 ，求a 的值及该方程的另一个根； （2） 求证： 不论a 取何实数， 该方程都有实数根 ．21．（8分）如图，O 是ABC ∆的外接圆，AB AC =，P 是O 上一点． （1）请你只用无刻度的直尺，分别画出图①和图②中P ∠的平分线； （2）结合图②，说明你这样画的理由．22．（8分）如图，ABC ∆中，30B C ∠=∠=︒，点O 是BC 边上一点，以点O 为圆心、OB 为半径的圆经过点A ，与BC 交于点D ． （1）试说明AC 与O 相切；（2）若23AC =，求图中阴影部分的面积．23．（6分）某商场举办抽奖活动，规则如下：在不透明的袋子中有2个红球和2个黑球，这些球除颜色外都相同，顾客每次摸出一个球，若摸到红球，则获得1份奖品，若摸到黑球，则没有奖品．（1）如果小芳只有一次摸球机会，那么小芳获得奖品的概率为 ；（2）如果小芳有两次摸球机会（摸出后不放回），求小芳获得2份奖品的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）24．（8分）《国家学生体质健康标准》规定：体质测试成绩达到90.0分及以上的为优秀；达到80.0分至89.9分的为良好；达到60.0分至79.9分的为及格；59.9分及以下为不及格．某校为了了解九年级学生体质健康状况，从该校九年级学生中随机抽取了10%的学生进行体质测试，测试结果如下面的统计表和扇形统计图所示． 各等级学生平均分统计表 等级 优秀 良好 及格 不及格 平均分92.185.069.241.3（1）扇形统计图中“不及格”所占的百分比是 ； （2）计算所抽取的学生的测试成绩的平均分；（3）若所抽取的学生中所有不及格等级学生的总分恰好等于某一个良好等级学生的分数，请估计该九年级学生中约有多少人达到优秀等级．25．（8分）某商店将进价为10元的商品按每件15元售出，每天可售出460件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元其销售量就减少20件．（1）若售价提价1元，此时单件利润为 元，销售量为 件； （2）应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为2720元？ 26．（5分）阅读并回答问题：小亮是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学．一天他在解方程21x =-时，突发奇想：21x =-在实数范围内无解，如果存在一个数i ，使21i =-，那么当21x =-时，有x i =±，从而x i =±是方程21x =-的两个根．据此可知：（1）i 可以运算，例如：321i i i i i ==-⨯=-，则4i = ，2011i = ，2012i=；（2）方程2220-+=的两根为（根用i表示）．x x27．（8分）如图，已知直角ABCBC=，4AC=．C的半径长为1，已C∠=︒，3∆，90知点P是ABC∆边上一动点（可以与顶点重合）．（1）若点P到C的切线长为3，则AP的长度为；（2）若点P到C的切线长为m，求点P的位置有几个？（直接写出结果）28．（10分）如图1，等边ABC∆的边长为3，分别以顶点B、A、C为圆心，BA长为半径作AC、CB、BA，我们把这三条弧所组成的图形称作莱洛三角形，显然莱洛三角形仍然是轴对称图形，设点I为对称轴的交点．（1）如图2，将这个图形的顶点A与线段MN作无滑动的滚动，当它滚动一周后点A与端点N重合，则线段MN的长为；（2）如图3，将这个图形的顶点A与等边DEF⊥，2∆的顶点D重合，且AB DE=，DEπ将它沿等边DEF∆的边作无滑动的滚动当它第一次回到起始位置时，求这个图形在运动过程中所扫过的区域的面积；（3）如图4，将这个图形的顶点B与O的圆心O重合，O的半径为3，将它沿O的圆周作无滑动的滚动，当它第n次回到起始位置时，点I所经过的路径长为（请用含n的式子表示）参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（3分）一元二次方程2x x =的根是( ) A ．10x =，21x = B ．10x =，21x =- C ．120x x == D ．121x x ==解：2x x =， 20x x -=， (1)0x x -=， 0x =，10x -=，10x =，21x =，故选：A ．2．（3分）用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为( ) A ．2(1)6x += B ．2(2)9x += C ．2(1)6x -= D ．2(2)9x -=解：由原方程移项，得 225x x -=，方程的两边同时加上一次项系数2-的一半的平方1，得 2216x x -+=2(1)6x ∴-=．故选：C ．3．（3分）下列说法正确的是( )A ．甲组数据的方差20.28S =甲，乙组数据的方差20.25S =乙，则甲组数据比乙组数据稳定B ．从1，2，3，4，5，中随机抽取一个数，是偶数的可能性比较大C ．数据3，5，4，1，2-的中位数是3D ．若某种游戏活动的中奖率是30%，则参加这种活动10次必有3次中奖解：A 、甲组数据的方差20.28S =甲，乙组数据的方差20.25S =乙，则乙组数据比甲组数据稳定，故此选项错误；B 、从1，2，3，4，5，中随机抽取一个数，是奇数的可能性比较大，故此选项错误；C 、数据3，5，4，1，2-的中位数是3，正确；D 、若某种游戏活动的中奖率是30%，则参加这种活动10次可能3次中奖，故此选项错误． 故选：C ．4．（3分）关于x 的一元二次方程2(1)20k x x ++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为( ) A ．1k >-B ．1k <-C ．1k ≠-D ．0k <且1k ≠-解：关于x 的一元二次方程2(1)20k x x ++=有两个不相等的实数根， ∴△224(1)00k =-+⨯>且10k +≠，解得：1k ≠-， 故选：C ．5．（3分）已知O 的半径为3cm ，4OP cm =，则点P 与O 的位置关系是( ) A ．点P 在圆内B ．点P 在圆上C ．点P 在圆外D ．无法确定解：点到圆心的距离34d r =<=， ∴该点P 在O 内．故选：C ．6．（3分）下列语句中正确的是( )A ．圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半B ．三点确定一个圆C ．圆有四条对称轴D ．各边相等的多边形是正多边形解：A ．圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，此选项说法正确； B ．不在同一直线上的三点确定一个圆，此选项说法错误； C ．圆有无数条对称轴，此选项说法错误；D ．各边相等，各角也相等的多边形是正多边形，此选项说法错误；故选：A ．7．（3分）如图，点A 、B 、C 、D 、E 都是O 上的点，AC AE =，128D ∠=︒，则B∠的度数为( )A ．128︒B ．126︒C ．118︒D ．116︒解：连接AC 、CE ，点A 、C 、D 、E 都是O 上的点， 180CAE D ∴∠+∠=︒， 18012852CAE ∴∠=︒-︒=︒，AC AE =，1(18052)642ACE AEC ∴∠=∠=⨯︒-︒=︒， 点A 、B 、C 、E 都是O 上的点， 180AEC B ∴∠+∠=︒， 18064116B ∴∠=︒-︒=︒，故选：D ．8．（3分）如图，在长20m 、宽18m 的矩形草坪上，修筑同样宽的三条（横向一条，纵向两条矩形）道路，要使草坪面积达到2306m ，则道路宽度是( )A ．27mB ．26mC ．2mD ．1m解：设道路的宽度为xm ，根据题意得：(202)(18)306x x --=，化简得：228270x x -+=，解得：11x =，227x =．2020x ->，10x ∴<，1x ∴=．故选：D ．9．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为(0,6)-，P 的半径为2，P 沿y 轴以2个单位长度/s 的速度向正方向运动，当P 与x 轴相切时P 运动的时间为( )A ．2sB ．3sC ．2s 或4sD ．3s 或4s解：P 与x 轴相切 2OP ∴=当点P 在x 轴下方，即点(0,2)P -2(6)22t s ---∴== 当点P 在x 轴上方，即点(0,2)P2(6)42t s --∴== 故选：C ．10．（3分）如图是一个沿33⨯正方形方格纸的对角线AB 剪下的图形，一质点P 由A 点出发，沿格点线每次向右或向上运动1个单位长度，则点P 由A 点运动到B 点的不同路径共有( )A ．4条B ．5条C ．6条D ．7条解：如图，将各格点分别记为1、2、3、4、5、6、7，画树状图如下：由树状图可知点P 由A 点运动到B 点的不同路径共有5种，故选：B ．二、填空题（共8小题，每小题2分，满分16分）11．（2分）一元二次方程230x x -=的根是 10x =，23x = ．解：230x x -=，(3)0x x -=，10x ∴=，23x =．故答案为：10x =，23x =．12．（2分）关于x 的一元二次方程2220x x m +-=有实根，则m 的取值范围是 2m - ． 解：关于x 的一元二次方程2220x x m +-=有实根，∴△2242()0m =-⨯⨯-，解得：12m -． 故答案为：12m -． 13．（2分）小明等五位同学以各自的年龄为一组数据，计算出这组数据的方差是0.5，则10年后小明等五位同学年龄的方差 不变 （填“不变”“增大”或“减小” )．解：由题意知，原来的平均年龄为1x ，每位同学的年龄10年后都变大了10岁，则平均年龄变为110x +，则每个人的年龄相当于加了10岁，原来的方差22221121[()()()]0.5n S x x x x x x n=-+-+⋯+-=， 现在的方差2222222212121[(1010)(1010)(1010)][()()()]0.5n n s x x x x x x x x x x x x n=+--++--+⋯++--=-+-+⋯-=，方差不变．故答案为：不变．14．（2分）如图，AB 为O 的直径，CD 为O 的弦，44ACD ∠=︒，则BAD ∠= 46︒ ．解：如图，连接BC ，AB 是O 的直径，90BCA ∴∠=︒，又44ACD ∠=︒，9046BAD BCD ACD ∴∠=∠=︒-∠=︒，故答案为：46︒．15．（2分）若圆锥的底面半径为3cm ，高是4cm ，则它的侧面展开图的面积为 215cm π ． 解：因为圆锥的底面半径为3cm ，高是4cm ，所以圆锥的母线长22345()cm =+=， 所以圆锥的侧面展开图的面积2123515()2cm ππ==． 故答案为215cm π．16．（2分）如图，四边形ABCD 内接于O ，若62ABD ∠=︒，122C ∠=︒，则ADB ∠的度数为 60 ︒．解：四边形ABCD 内接于O ，180A C ∴∠+∠=︒，122C ∠=︒，58A ∴∠=︒，62ABD ∠=︒，180180625860ADB ABD A ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，故答案为：60．17．（2分）如图，点A 、B 、C 分别是O 上三个点，且CA AB ⊥，若2CA =，4AB =，则OA 的长为 5 ．解：连接BC ．AC AB ⊥，90CAB ∴∠=︒，BC ∴是直径，OA OB OC ∴==， 22222425BC AC AB =+=+=．OA ∴的长为5．故答案为5．18．（2分）如图，O 的半径为1，P 是O 外一点，2OP =，Q 是O 上的动点，线段PQ 的中点为M ，连接OP 、OM ，则线段OM 的最小值是 12．解：设OP 与O 交于点N ，连结MN ，OQ ，如图，2OP =，1ON =，N ∴是OP 的中点，M 为PQ 的中点，MN ∴为POQ ∆的中位线，1111222MN OQ ∴==⨯=， ∴点M 在以N 为圆心，12为半径的圆上， 当点M 在ON 上时，OM 最小，最小值为12， ∴线段OM 的最小值为12． 故答案为12．三、解答题（共10小题，满分84分）19．（16分）解下列方程：（1）2(1)30x +-=（2）(1)2(1)y y y -=-（3）22510x x --=（4）2(2)36x x +=+．解：（1）移项得：2(1)3x +=，开方得：1x +=，11x =，21x =；（2）(1)2(1)y y y -=-，(1)2(1)0y y y ---=，(2)(1)0y y --=，20y -=，10y -=，12y =，21y =；（3）22510x x --=，解：这里2a =，5b =-，1c =-，224(5)42(1)33b ac -=--⨯⨯-=x =，1x =，2x =（4）2(2)36x x +=+，解：2(2)3(2)x x +=+，2(2)3(2)0x x +-+=，(2)[(2)3]0x x ++-=，20x +=，(2)30x +-=，12x ∴=-，21x =．20．（7分）已知关于x 的方程210x ax a ++-=．（1） 若方程有一个根为 1 ，求a 的值及该方程的另一个根；（2） 求证： 不论a 取何实数， 该方程都有实数根 ．解： （1）1x =是方程210x ax a ++-=的解，∴把1x =代入方程210x ax a ++-=得：110a a ++-=，解得0a =，12x x a +=-，210x ∴+=，21x ∴=-，0a ∴=，方程的另一个根为1-．（2）2224(1)44(2)0a a a a a --=-+=-，∴无论a 为何值， 此方程都有实数根 ．21．（8分）如图，O 是ABC ∆的外接圆，AB AC =，P 是O 上一点．（1）请你只用无刻度的直尺，分别画出图①和图②中P ∠的平分线；（2）结合图②，说明你这样画的理由．解：（1）如图①，连接AP ，即为所求角平分线；如图②，连接AO 并延长，与O 交于点D ，连接PD ，即为所求角平分线．（2）AD 是直径，∴ABD ACD =，又AB AC=，=．∴AB AC=，∴BD CD所以PD平分BPC∠．22．（8分）如图，ABC∠=∠=︒，点O是BC边上一点，以点O为圆心、OB为∆中，30B C半径的圆经过点A，与BC交于点D．（1）试说明AC与O相切；（2）若23AC=，求图中阴影部分的面积．【解答】证明（1）如图：连接OA．=OA OB∴∠=∠OAB B∠=︒B30∴∠=︒OAB30∠=∠=︒，∠=︒-∠-∠，且30B CBAC B C180∴∠=︒120BAC1203090OAC BAC OAB ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒OA AC ∴⊥ 且 点A 是半径OA 的外端AC ∴是O 的切线 即AC 与O 相切（2）连接AD ．30C ∠=︒，90OAC ∠=︒2OC OA ∴=设OA 的长度为x ，则2OC x =在OAC ∆中，90OAC ∠=︒，23AC = 根据勾股定理可得：222(23)(2)x x +=解得：12x =，22x =-（不合题意，舍去）1223232OAC S ∆∴=⨯⨯=，260223603OAD S ππ=⨯⨯=扇形 2233S π∴=-阴影 答：图中阴影部分的面积为2233π-． 23．（6分）某商场举办抽奖活动，规则如下：在不透明的袋子中有2个红球和2个黑球，这些球除颜色外都相同，顾客每次摸出一个球，若摸到红球，则获得1份奖品，若摸到黑球，则没有奖品．（1）如果小芳只有一次摸球机会，那么小芳获得奖品的概率为 12； （2）如果小芳有两次摸球机会（摸出后不放回），求小芳获得2份奖品的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）解：（1）从布袋中任意摸出1个球，摸出是红球的概率2142==； 故答案为：12； （2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中两次摸到红球的结果数为2，所以两次摸到红球的概率21126==． 24．（8分）《国家学生体质健康标准》规定：体质测试成绩达到90.0分及以上的为优秀；达到80.0分至89.9分的为良好；达到60.0分至79.9分的为及格；59.9分及以下为不及格．某校为了了解九年级学生体质健康状况，从该校九年级学生中随机抽取了10%的学生进行体质测试，测试结果如下面的统计表和扇形统计图所示．各等级学生平均分统计表等级优秀 良好 及格 不及格 平均分 92.1 85.0 69.2 41.3（1）扇形统计图中“不及格”所占的百分比是 4% ；（2）计算所抽取的学生的测试成绩的平均分；（3）若所抽取的学生中所有不及格等级学生的总分恰好等于某一个良好等级学生的分数，请估计该九年级学生中约有多少人达到优秀等级．解：（1）扇形统计图中“不及格”所占的百分比是152%18%26%4%---=；故答案为：4%；（2）92.152%85.026%69.218%41.34%84.1⨯+⨯+⨯+⨯=；答：所抽取的学生的测试成绩的平均分为84.1分；（3）设总人数为n 个，80.041.34%89.9n ⨯⨯ 所以4854.5n <<，又因为4%n 为整数 所以50n =，即优秀的学生有52%5010%260⨯÷= 人．25．（8分）某商店将进价为10元的商品按每件15元售出，每天可售出460件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元其销售量就减少20件．（1）若售价提价1元，此时单件利润为 6 元，销售量为 件；（2）应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为2720元？ 解：（1）151016-+=（元)，4601(200.5)420-⨯÷=（件)．故答案为：6；420．（2）设每件商品应提交x 元，则每天可售出(46040)x -件，根据题意得：(1510)(46040)2720x x -+-=，整理得：13x =，2 3.5x =，1518x ∴+=或18.5．答：应将每件售价定为18元或18.5元．26．（5分）阅读并回答问题：小亮是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学．一天他在解方程21x =-时，突发奇想：21x =-在实数范围内无解，如果存在一个数i ，使21i =-，那么当21x =-时，有x i =±，从而x i =±是方程21x =-的两个根．据此可知：（1）i 可以运算，例如：321i i i i i ==-⨯=-，则4i = 1 ，2011i = ，2012i = ；（2）方程2220x x -+=的两根为 （根用i 表示）．解：（1）21i =-，422(1)(1)1i i i ∴==-⨯-=；2011210051005()(1)i i i i i ==-=-；2012210061006()(1)i i i i i ==-=．故答案为：1，i -，1．（2）△2(2)4124=--⨯⨯=-，21i =-，∴△24i =，∴方程2220x x -+=的两根为22121i x i ±==±⨯，即1x i =+或1x i =-． 故答案为：1i +或1i -．27．（8分）如图，已知直角ABC ∆，90C ∠=︒，3BC =，4AC =．C 的半径长为1，已知点P 是ABC ∆边上一动点（可以与顶点重合）．（1）若点P 到C 的切线长为3，则AP 的长度为 25 或2 ； （2）若点P 到C 的切线长为m ，求点P 的位置有几个？（直接写出结果）解：（1）由题意切线长为3，半径为1，可得2PC =，所以点P 只能在边BC 或边AC 上．如图1中，连接PA ．在Rt PAC ∆中，22224225PA AC PC =+=+= 如图2中，422PA AC PC ===-=，综上所述，满足条件的PA 的长为25或2．故答案为5或2．（2）如图3中，当CP AB ⊥时．易知125AC BC CP AB ==， 此时切线长22119PE PC EC =-=， 如图4中，当点P 与点B 重合时，切线长2222PE BC EC =-=， 如图5中，当点P 与点A 重合时，切线长2215PE AC EC =-= 观察图形可知：当1190m <<时，点P 的位置有2个位置； 当119m =P 的位置有3个位置； 1192m <<时，点P 的位置有4个位置； 当22m =时，点P 的位置有3个位置； 当215m <<时，点P 的位置有2个位置；当15m =P 的位置有1个位置．28．（10分）如图1，等边ABC ∆的边长为3，分别以顶点B 、A 、C 为圆心，BA 长为半径作AC 、CB 、BA ，我们把这三条弧所组成的图形称作莱洛三角形，显然莱洛三角形仍然是轴对称图形，设点I 为对称轴的交点．（1）如图2，将这个图形的顶点A 与线段MN 作无滑动的滚动，当它滚动一周后点A 与端点N 重合，则线段MN 的长为 3π ；（2）如图3，将这个图形的顶点A 与等边DEF ∆的顶点D 重合，且AB DE ⊥，2DE π=，将它沿等边DEF ∆的边作无滑动的滚动当它第一次回到起始位置时，求这个图形在运动过程中所扫过的区域的面积；（3）如图4，将这个图形的顶点B 与O 的圆心O 重合，O 的半径为3，将它沿O 的圆周作无滑动的滚动，当它第n 次回到起始位置时，点I 所经过的路径长为 （请用含n 的式子表示）解：（1）等边ABC ∆的边长为3，60ABC ACB BAC ∴∠=∠=∠=︒，AC BC AB ==， ∴603180AC BC AB l l l ππ⨯====， ∴线段MN 的长为3AC BC AB l l l π++=，故答案为：3π；（2）如图1，等边DEF ∆的边长为2π，等边ABC ∆的边长为3， 236AGHF S ππ∴=⨯=矩形，由题意知，AB DE ⊥，AG AF ⊥，120BAG ∴∠=︒，212033360BAG S ππ⨯∴==扇形， ∴图形在运动过程中所扫过的区域的面积为()()336327AGHF BAG S S πππ+=+=矩形扇形；（3）如图2，连接BI 并延长交AC 于D ，I 是ABC ∆的重心也是内心，30DAI ∴∠=︒，1322AD AC ==， 323cos cos30AD OI AI DAI ∴====∠︒， ∴当它第1次回到起始位置时，点I 所经过的路径相当于以O 为圆心，OA 为半径的圆周， ∴当它第n 次回到起始位置时，点I 所经过的路径长为2323n n ππ=， 故答案为23n π．。

2019—2020学年度江苏省无锡市第一学期初三期中考试初中数学数学试题一、细心填一填：要求细心！〔每空2分，本大题总分值38分〕 1．－32的倒数是__________，相反数是__________，绝对值是_____ ____． 2．假设向东走8米，记作：＋8米，那么－4米表示______________________．3．单项式256x y-的系数是 ，次数是 ．4．运算：〔1〕26-= ___________；〔2〕()______248=-÷+-．5．假设|a|=5，那么a= ．6．5170000-用科学记数法表示为 ．7．小华的妈妈为爸爸买了一件衣服，用了a 元，衣服按标价打六折，那么这件衣服的标价为_ _元．8．假设a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，m 的绝对值为2，那么cd m m ba -++2的值是 ．9．将以下各数填入它所在数集的大括号里：19-，2.5，12，2，0，-0.4，整数集合:{ }；非负数集合:{ }；正分数集合：{ }．10．你会玩〝二十四点〞游戏吗？请你把〝5，5，5，1”这四个数，利用有理数的混合运算，使这四个数的运算结果为24〔每个数只能用一次〕，写出你的算式： ． 11．〔1〕代数式x +2y 的值是3，那么代数式2x +4y 值是 ；〔2〕2a+3b=4，3a —2b=17，那么10a+2b 的值是 ．12．动手实验：伸出你的左手按如下图的方法数数，那么数2003落在 上．〔填大拇指或食指或中指或无名指或小指〕二、精心选一选：连续细心！〔每题3分，本大题总分值21分〕 13．绝对值最小的数是〔 〕A ． 1B ． -1C ． 0D ． 没有 14．以下讲法正确的选项是〔 〕 A ．0不是单项式B ．多项式152+--x xy x 的各项为152x 、xy 、、x -- C ．y x 2的系数是0 D ．31π2x 的系数为－3115．假设23=-++b a ，那么ba 的值为〔 〕 A ． -6B ． －9C ． 9D ． 616．以下有理数大小关系判定正确的选项是〔 〕 A ．101)91(-->-- B ．100-> C ．33+<-D ．01.01->-17．两个互为相反数的有理数相乘，积为〔 〕A ．正数B ．负数C ．零D ．负数或零18．在数轴上表示a 、b 两数的点如下图，那么以下判定正确的选项是〔 〕A ．a+b ＞0B ．a ＋b ＜0C ．ab ＞0D ．│a │＞│b │19．火车票上的车次号有两个意义，一是数字越小表示车速越快，1～98次为特快列车，101～198次为直快列车，301～398次为普快列车，401～498次为普客列车；二是单数与双数表示不同的行驶方向，其中单数表示从北京开出,双数表示开往北京，依照以上规定，盐城开往北京的某一直快列车的车次号可能是〔 〕A ．20B ． 119C ．120D ．319三、耐心答一答：保持细心！〔本大题共41分〕20． 运算〔每题3分，共12分〕 〔1〕10(16)(24)---+-〔2〕713365145⎛⎫⨯-⨯÷ ⎪⎝⎭ 〔3〕⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯-654331112 〔4〕 2(2)2--+-2232-⎪⎭⎫⎝⎛-÷ 21．〔此题4分〕把以下各数表示在数轴上，并用〝＜〞将它们连接起来．22．〔此题5分〕先化简，再求值：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--22312331221y x y x x ， 其中x=－2，y=32。

2019-2020学年无锡市锡山区锡北片九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1．（3分）下列方程是一元二次方程的是( ) A ．2362x x -+B ．210x y -+=C ．20x =D ．212x x += 2．（3分）方程23420x x +-=的根的情况是( ) A ．两个不相等的实数根 B ．两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定3．（3分）如图，在ABC ∆中，//DE BC ，若13AD AB =，4DE =，则(BC = )A ．9B ．10C ．11D ．124．（3分）如图，已知12∠=∠，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC ADE ∆∆∽的是( )A ．AB ACAD AE=B ．AB BCAD DE=C ．BD ∠=∠ D ．C AED ∠=∠5．（3分）如图，在长为100m ，宽为80m 的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为27644m ，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x m ，则可列方程为( )A ．10080100807644x x ⨯--=B ．2(100)(80)7644x x x --+=C．(100)(80)7644x x--=D．2100807644x x x+-=6．（3分）如图所示，已知四边形ABDC是圆内接四边形，1112∠=︒，则(CDE∠=)A．56︒B．68︒C．66︒D．58︒7．（3分）如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端的影子与树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时竹竿与这一点相距5m，与树相距10m，则树的高度为()A．5m B．6m C．7m D．8m8．（3分）如图，AB、AC是O的两条弦，25BAC∠=︒，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则D∠的度数为()A．25︒B．30︒C．35︒D．40︒9．（3分）如图，ABCD对角线AC与BD交于点O，且6AD=，10AB=，在AB延长线上取一点E，使25BE AB=，连接OE交BC于F，则BF的长为()A．23B．43C．65D．110．（3分）如图，线段AB为O的直径，点C在AB的延长线上，4AB=，2BC=，点P 是O上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作Rt PCD∆，且使60DCP∠=︒，连接OD，则OD长的最大值为()A．19B．23C．231+D．4二．填空题（本大题共7小题，每空2分，共16分.）11．（2分）将一元二次方程2(3)1x x-=化成一般形式为．12．已知：一元二次方程260x x c-+=有一个根为2，则另一根为．13．（2分）已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为5cm，则这个圆锥的侧面积是．14．（2分）ABC∆与△A B C'''是位似图形，且ABC∆与△A B C'''的位似比是1:2，已知ABC∆的面积是3，则△A B C'''的面积是．15．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其主视图如图．O与矩形ABCD的边BC，AD分别相切和相交(E，F是交点），已知8EF CD==，则O的半径为．16．（2分）如图，A是半径为2的O外的一点，4OA=，AB切O于点B，弦//BC OA，连接AC，则图中阴影部分的面积为．17．（2分）如图，在Rt ABC∆中，90C∠=︒，3AC cm=，4BC cm=，点E从C点出发向终点B运动，速度为1/cm秒，运动时间为t秒，作//EF AB，点P是点C关于FE的对称点，连接AP ，当AFP ∆恰好是直角三角形时，t 的值为 ．三．解答题（本大题共9小题，共84分.解答需写出必要的文字说明或演算步骤） 18．（16分）用适当的方法解下列方程： （1）2(1)90x --=； （2）23(5)(5)x x +=+； （3）26550x x +-=； （4）2(3)10x x +-=．19．（8分）如图， 在ABCD 中， 点E 在BC 上，CDE DAE ∠=∠． （1） 求证：ADE DEC ∆∆∽；（2） 若6AD =，4DE =，求BE 的长 ．20．（8分）如图， 线段AB 的端点在边长为 1 的正方形网格的格点上， 现将线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转90︒得到线段AC ．（1） 请你用直尺和圆规在所给的网格中画出线段AC 及点B 经过的路径；（2） 若将此网格放在一平面直角坐标系中， 已知点A 的坐标为(1,3)，点B 的坐标为(2,1)--，则点C 的坐标为 ；（3） 线段AB 在旋转到线段AC 的过程中， 线段AB 扫过区域的面积为 ； （4） 若有一张与 （3） 中所说的区域形状相同的纸片， 将它围成一个圆锥的侧面， 则该圆锥底面圆的半径长为 ．21．（8分）已知关于x 的方程2(21)(1)0x m x m m ++++=． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）已知方程的一个根为0x =，求代数式25m m +-的值．22．（8分）如图，ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径的O 与BC 相交于点D ，与CA 的延长线相交于点E ，过点D 作DF AC ⊥于点F ． （1）试说明DF 是O 的切线； （2）若3AC AE =，求BECE的值．23．（8分）楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价为30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆．根据市场调查，月销售量不会突破30台．（1）设当月该型号汽车的销售量为x 辆(30x ，且x 为正整数），实际进价为y 万元/辆，求y 与x 的函数关系式；（2）已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润25万元，那么该月需售出多少辆汽车？（注：销售利润=销售价-进价）24．（8分）如图所示，AC AB ⊥，23AB =2AC =，点D 是以AB 为直径的半圆O 上一动点，DE CD ⊥交直线AB 于点E ，设(090)DAB αα∠=︒<<︒． （1）当20α=︒时，求弧BD 的长； （2）当30α=︒时，求线段BE 的长；（3）若要使点E 在线段BA 的延长线上，则α的取值范围是 ．（直接写出答案）25．（10分）如图1，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，4AB BC ==，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，连接DE ，将ADE ∆绕点A 按顺时针方向旋转，记旋转角为α，BD 、CE 所在直线相交所成的锐角为β． （1）问题发现 当0α=︒时，CEBD= ；β= ︒． （2）拓展探究试判断：当0360α︒<︒时，CEBD和β的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． （3）在ADE ∆旋转过程中，当//DE AC 时，直接写出此时CBE ∆的面积．26．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，C 的半径为r ，P 是与圆心C 不重合的点，点P 关于C 的发散点的定义如下：若在射线CP 上存在一点P '，满足3CP CP r +'=，则称P '为点P 关于C 的发散点．如图为点P 及其关于C 的发散点P '的示意图．特别地，当点P '与圆心C 重合时，规定0CP '=． 根据上述材料，请你解决以下问题： （1）当O 的半径为1时，①在点(3,1)M ，3(2N ，0)，(22T ，1)中，存在关于O 的发散点的是点；其对应发散点的坐标是 ；②点P 在直线333y x =+上，若点P 关于O 的发散点P '存在，且点P '不在x 轴上，求点P 的横坐标m 的取值范围；（2）C 的圆心C 在x 轴上，半径为1，直线333y =+与x 轴、y 轴分別交于点A ，B ．若线段AB 上存在点P ，使得点P 关于C 的发散点P '在C 的内部，请直接写出圆心C 的横坐标n 的取值范围．参考答案一、选择题（每题3分，共30分）1．（3分）下列方程是一元二次方程的是( ) A ．2362x x -+B ．210x y -+=C ．20x =D ．212x x += 解：A 、它不是方程，故本选项错误； B 、该方程中含有2个未知数，故本选项错误； C 、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确；D 、该方程是分式方程，故本选项错误；故选：C ．2．（3分）方程23420x x +-=的根的情况是( ) A ．两个不相等的实数根 B ．两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定解：方程23420x x +-=中， △2443(2)400=-⨯⨯-=>， ∴方程有两个不相等的实数根．故选：A ．3．（3分）如图，在ABC ∆中，//DE BC ，若13AD AB =，4DE =，则(BC = )A ．9B ．10C ．11D ．12解：//DE BC ，ADE ABC ∴∆∆∽ ∴13AD DE AB BC == 4DE =12BC ∴=故选：D ．4．（3分）如图，已知12∠=∠，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC ADE ∆∆∽的是( )A ．AB ACAD AE=B ．AB BCAD DE=C ．BD ∠=∠ D ．C AED ∠=∠解：12∠=∠ DAE BAC ∴∠=∠A ∴，C ，D 都可判定ABC ADE ∆∆∽选项B 中不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：B ．5．（3分）如图，在长为100m ，宽为80m 的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为27644m ，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x m ，则可列方程为( )A ．10080100807644x x ⨯--=B ．2(100)(80)7644x x x --+=C ．(100)(80)7644x x --=D ．2100807644x x x +-=解：设道路的宽为x m ，则可列方程为(100)(80)7644x x --=， 故选：C ．6．（3分）如图所示，已知四边形ABDC 是圆内接四边形，1112∠=︒，则(CDE ∠= )A ．56︒B ．68︒C ．66︒D ．58︒解：1112∠=︒， 11562A ∴∠=∠=︒， 56DCE A ∴∠=∠=︒，故选：A ．7．（3分）如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m 的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端的影子与树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时竹竿与这一点相距5m ，与树相距10m ，则树的高度为( )A ．5mB ．6mC ．7mD ．8m解：如图所示：AB OD ⊥，CD OD ⊥， //AB CD ∴， OAB OCD ∴∆∆∽， ∴AB OBCD OD =， 即25510CD =+， 解得：6CD =（米)； 即树的高度为6m ； 故选：B ．8．（3分）如图，AB 、AC 是O 的两条弦，25BAC ∠=︒，过点C 的切线与OB 的延长线交于点D，则D∠的度数为()A．25︒B．30︒C．35︒D．40︒解：连接OC，CD是O的切线，点C是切点，90OCD∴∠=︒．25BAC∠=︒，50COD∴∠=︒，180905040D∴∠=︒-︒-︒=︒．故选：D．9．（3分）如图，ABCD对角线AC与BD交于点O，且6AD=，10AB=，在AB延长线上取一点E，使25BE AB=，连接OE交BC于F，则BF的长为()A．23B．43C．65D．1解：取AB的中点M，连接OM，四边形ABCD是平行四边形，//AD BC∴，OB OD=，////OM AD BC ∴，116322OM AD==⨯=，EFB EOM∴∆∆∽，∴BE BFEM OM=，10AB=，25BE AB=，4BE∴=，5BM=，459EM∴=+=，∴4 39 BF=，43 BF∴=，故选：B．10．（3分）如图，线段AB为O的直径，点C在AB的延长线上，4AB=，2BC=，点P 是O上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作Rt PCD∆，且使60DCP∠=︒，连接OD，则OD长的最大值为()A．19B．23C．231+D．4解：如图，作COE∆，使得90CEO∠=︒，60ECO∠=︒，连接OP，则2CO CE=，23OE=，OCP ECD∠=∠，90CDP ∠=︒，60DCP ∠=︒，2CP CD ∴=， ∴2CO CP CE CD== COP CED ∴∆∆∽， ∴2OP CP ED CD==， 即11(2ED OP == 定长)， 点E 是定点，DE 是定长，∴点D 在半径为1 的E 上，1OD OE DE +=+，OD ∴ 的最大值为1+，故选：C ．二．填空题（本大题共7小题，每空2分，共16分.）11．（2分）将一元二次方程2(3)1x x -=化成一般形式为 22610x x --= ．解：方程去括号得：2261x x -=，即22610x x --=．故答案为：22610x x --=12．已知：一元二次方程260x x c -+=有一个根为2，则另一根为 4 ．解：设方程另一根为t ，根据题意得26t +=，解得4t =．故答案为4．13．（2分）已知圆锥的底面半径为4cm ，母线长为5cm ，则这个圆锥的侧面积是 220cm π ． 解：这个圆锥的侧面积2124520()2cm ππ==． 故答案为220cm π．14．（2分）ABC ∆与△A B C '''是位似图形，且ABC ∆与△A B C '''的位似比是1:2，已知ABC ∆的面积是3，则△A B C '''的面积是 12 ．解：ABC ∆与△A B C '''是位似图形，位似比是1:2，ABC ∴∆∽△A B C '''，相似比是1:2，ABC ∴∆与△A B C '''的面积比是1:4，又ABC ∆的面积是3，∴△A B C '''的面积是12，故答案为：12．15．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其主视图如图．O 与矩形ABCD 的边BC ，AD 分别相切和相交(E ，F 是交点），已知8EF CD ==，则O 的半径为 5 ．解：由题意，O 与BC 相切，记切点为G ，作直线OG ，分别交AD 、劣弧EF 于点H 、I ，再连接OF ，在矩形ABCD 中，//AD BC ，而IG BC ⊥，IG AD ∴⊥，∴在O 中，142FH EF ==， 设求半径为r ，则8OH r =-，在Rt OFH ∆中，222(8)4r r --=，解得5r =，故答案为：5．16．（2分）如图，A 是半径为2的O 外的一点，4OA =，AB 切O 于点B ，弦//BC OA ，连接AC ，则图中阴影部分的面积为 23π ．解：连接OB 、OC ，如图，AB 切O 于点B ，OB AB ∴⊥，90ABO ∴∠=︒，在Rt ABO ∆中，21sin 42OB BAO OA ∠===， 30BAO ∴∠=︒，60AOB ∴∠=︒，//BC OA ， 60CBO AOB ∴∠=∠=︒，ABC OCB S S ∆∆=，60BOC ∴∠=︒，图中阴影部分的面积BOC S =扇形，∴图中阴影部分的面积260223603ππ==． 故答案为23π．17．（2分）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC cm =，4BC cm =，点E 从C 点出发向终点B 运动，速度为1/cm 秒，运动时间为t 秒，作//EF AB ，点P 是点C 关于FE 的对称点，连接AP ，当AFP ∆恰好是直角三角形时，t 的值为 78s 或258s ．解：如图1中，当A 、P 、E 共线时，90APF ∠=︒，满足条件．由题意EC PE t==，34 CF PF t==，由APF ACE∆∆∽可得PF AFEC AE=，∴2333449t tt t-=+，解得78t=，如图2中，当90PAF∠=︒时，由题意EC EP t==，34CF PF t==，易知4ED EB t==-，24PD PA t==-，334AF t=-，在Rt PAF∆中，222PA AF PF+=，22233(3)(24)()44t t t∴-+-=，解得258t=或2（舍弃），综上所述，满足条件的t的值为78s或258s．故答案为78s或258s．三．解答题（本大题共9小题，共84分.解答需写出必要的文字说明或演算步骤）18．（16分）用适当的方法解下列方程：（1）2(1)90x --=；（2）23(5)(5)x x +=+；（3）26550x x +-=；（4）2(3)10x x +-=．解：（1）2(1)90x --=，2(1)9x -=，13x ∴-=或13x -=-，解得：4x =或2x =-；（2）23(5)(5)0x x +-+=(5)(2)0x x +--=5x ∴=-或2x =-；（3）26550x x +-=；(5)(x - 11)0x +=，5x ∴=或11x =-；（4）22610x x +-=，△368440=+=>， 3112x -±=． 19．（8分）如图， 在ABCD 中， 点E 在BC 上，CDE DAE ∠=∠．（1） 求证：ADE DEC ∆∆∽；（2） 若6AD =，4DE =，求BE 的长 ．【解答】（1） 证明：ABCD 中//AD BC ，ADE DEC ∴∠=∠，又CDE DAE ∠=∠，ADE DEC ∴∆∆∽；（2） 解：ADE DEC ∆∆∽， ∴DE EC AD DE =， ∴464EC =， 83EC ∴=． 又6BC AD ==，810633BE ∴=-=． 20．（8分）如图， 线段AB 的端点在边长为 1 的正方形网格的格点上， 现将线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转90︒得到线段AC ．（1） 请你用直尺和圆规在所给的网格中画出线段AC 及点B 经过的路径；（2） 若将此网格放在一平面直角坐标系中， 已知点A 的坐标为(1,3)，点B 的坐标为(2,1)--，则点C 的坐标为 (5,0) ；（3） 线段AB 在旋转到线段AC 的过程中， 线段AB 扫过区域的面积为 ；（4） 若有一张与 （3） 中所说的区域形状相同的纸片， 将它围成一个圆锥的侧面， 则该圆锥底面圆的半径长为 ．解： （1） 如图所示： 点B 经过的路径为弧BC ；（2） 如图所示： 点C 的坐标为：(5,0)；故答案为：(5,0)；（3） 线段AB 在旋转到线段AC 的过程中， 线段AB 扫过区域的面积为：2905253604ππ⨯=； 故答案为：254π；（4） 设该圆锥底面圆的半径长为r ，由题意可得：90551802CB ππ⨯==， 则522r ππ=， 解得：54r =． 故答案为：54．21．（8分）已知关于x 的方程2(21)(1)0x m x m m ++++=．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）已知方程的一个根为0x =，求代数式25m m +-的值．【解答】（1）证明：△2(21)4(1)10m m m =+-+=>，∴方程总有两个不相等的实数根；（2）解：0x =是此方程的一个根，∴把0x =代入方程中得到(1)0m m +=，即20m m +=，255m m ∴+-=-．22．（8分）如图，ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径的O 与BC 相交于点D ，与CA 的延长线相交于点E，过点D作DF AC⊥于点F．（1）试说明DF是O的切线；（2）若3AC AE=，求BECE的值．【解答】（1）证明：连接OD，OB OD=，B ODB∴∠=∠，AB AC=，B C∴∠=∠，ODB C∴∠=∠，//OD AC∴，DF AC⊥，OD DF∴⊥，DF∴是O的切线；（2）解：连接BE，AB是直径，90AEB∴∠=︒，AB AC=，3AC AE=，3AB AE∴=，4CE AE=，2222BE AB AE AE ∴=-=，在RT BEC∆中，22242 BE AECE AE==．23．（8分）楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价为30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆．根据市场调查，月销售量不会突破30台．（1）设当月该型号汽车的销售量为x 辆(30x ，且x 为正整数），实际进价为y 万元/辆，求y 与x 的函数关系式；（2）已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润25万元，那么该月需售出多少辆汽车？（注：销售利润=销售价-进价）解：（1）由题意，得当05x <时30y =．当530x <时，300.1(5)0.130.5y x x =--=-+．30(05,)0.130.5(530,)x x y x x x <⎧∴=⎨-+<⎩为整数为整数；（2）当05x <时，(3230)51025-⨯=<，不符合题意，当530x <时，[32(0.130.5)]25x x --+=，解得：125x =-（舍去），210x =．答：该月需售出10辆汽车．24．（8分）如图所示，AC AB ⊥，AB =2AC =，点D 是以AB 为直径的半圆O 上一动点，DE CD ⊥交直线AB 于点E ，设(090)DAB αα∠=︒<<︒．（1）当20α=︒时，求弧BD 的长；（2）当30α=︒时，求线段BE 的长；（3）若要使点E 在线段BA 的延长线上，则α的取值范围是 6090α︒<<︒ ．（直接写出答案）解：（1）连接OD，20α=︒，240DOBα∴∠==︒，23AB=，O∴3，∴BD 40323180π⨯=；（2）AB是O的直径，90ADB∴∠=︒，30α=︒，60B∴∠=︒，AC AB⊥，DE CD⊥，90CAB CDE∴∠=∠=︒，9060CADα∴∠=︒-=︒，CAD B∴∠=∠，90 CDA ADE ADE BDE∠+∠=∠+∠=︒，CDA BDE∴∠=∠，ACD BED∴∆∆∽，∴AC ADBE BD=，23AB=，30α=︒，132BD AB∴==，223 AD AB BD∴=-=，∴23 BE=，233BE ∴=；（3）如图，当E 与A 重合时，AB 是直径，AD CD ⊥，90ADB ADC ∴∠=∠=︒，C ∴，D ，B 共线，AC AB ⊥，∴在Rt ABC ∆中，23AB =，2AC =，3tan 3AC ABC AB ∴∠==， 30ABC ∴∠=︒，9060DAB ABC α∴=∠=︒-∠=︒，当E '在BA 的延长线上时，如图，可得60D AB DAB ∠'>∠=︒，090α︒<<︒，α∴的取值范围是：6090α︒<<︒．故答案为：6090α︒<<︒．25．（10分）如图1，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，4AB BC ==，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，连接DE ，将ADE ∆绕点A 按顺时针方向旋转，记旋转角为α，BD 、CE 所在直线相交所成的锐角为β．（1）问题发现当0α=︒时，CE BD 2 ；β= ︒．（2）拓展探究试判断：当0360α︒<︒时，CE BD 和β的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． （3）在ADE ∆旋转过程中，当//DE AC 时，直接写出此时CBE ∆的面积．解：（1）如图1中，90B ∠=︒，BA BC =，45A ∴∠=︒，2AC AB =，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，12BD AB ∴=，12EC AC =， ∴2EC DB=，45β=︒， 故答案为2，45︒．（2）结论：CE BD和β的大小无变化． 理由：如图2中，延长CE 交AB 于点O ，交BD 于K ．2AE =，2AC =，∴2AE AC AD AB==∴AE AD AC AB=， DAE BAC ∠=∠，DAB EAC ∴∠=∠，DAB EAC ∴∆∆∽，∴EC AC BD AB==，OBK OCA ∠=∠， BOK COA ∠=∠，45BKO CAO ∠=∠=︒， ∴CE BD和β的大小无变化．（3）当点E 在线段AB 上时，14(482BCE S ∆=⨯⨯-=-当点E 在线段BA 的延长线上时，14(482BCE S ∆=⨯⨯+=+．综上所述，BCE ∆的面积为8-或8+26．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，C 的半径为r ，P 是与圆心C 不重合的点，点P 关于C 的发散点的定义如下：若在射线CP 上存在一点P '，满足3CP CP r +'=，则称P '为点P 关于C 的发散点．如图为点P 及其关于C 的发散点P '的示意图．特别地，当点P '与圆心C 重合时，规定0CP '=．根据上述材料，请你解决以下问题：（1）当O 的半径为1时，①在点(3,1)M ，3(2N ，0)，T ，1)中，存在关于O 的发散点的是点；其对应发散点的坐标是 N ，T ；②点P 在直线y =+上，若点P 关于O 的发散点P '存在，且点P '不在x 轴上，求点P 的横坐标m 的取值范围；（2）C 的圆心C 在x 轴上，半径为1，直线y =+与x 轴、y 轴分別交于点A ，B ．若线段AB 上存在点P ，使得点P 关于C 的发散点P '在C 的内部，请直接写出圆心C 的横坐标n 的取值范围．解：（1）①如图1中，(3,1)M ，3(2N ，0)，(22T ，1)， 10OM ∴，3OT =，32ON =， 3OM >， ∴点M 不存在关于C 的发散点，点N 关于C 的发散点与N 重合，坐标为3(2，0)，点T 关于C 的发散点与O 重合，坐标为(0,0)．故答案为N ，T ．②如图2中，直线333y x =+x 轴于(3,0)A ，交y 轴于(0B ，33)，作OD AB ⊥于D ．3OA =，33OB =，33tan 3OAB ∴∠==， 60OAB ∴∠=︒，OD AB ⊥，90ODA ∴∠=︒，30DOA ∴∠=︒，33cos30OD OA ∴=︒=，可得9(4D 33， 点P 存在发散点P '，3OP ∴，作点A 关于D 的对称点C ，观察图象可知：当点P 在线段AC 上时，点P 存在发散点P '， 3(2C ，33，点P 关于O 的发散点P '存在，且点P '不在x 轴上， ∴满足条件的m 的值为332m <．（2）如图3中，由题意(9,0)A ，(0B ，33)，33OB ∴=，9OA =，3tan OB OAB OA ∴∠== 30OAB ∴∠=︒，当点C 在点A 的左侧时，作CE AB ⊥于E ．当3EC =时，26AC EC ==，此时(3,0)C ，当点C '在点A 的右侧时，当3C A '=时，线段AB 上存在点P ，使得点P 关于C 的发散点P '在C 的内部，观察图形可知满足条件的n 的值为312n ．。

2019—2020 学年度江苏省无锡市第一学期初三期中考试初中数学数学试题一、仔细填一填：要求仔细！〔每空 2 分，本大题总分值38 分〕1．－3的倒数是 __________，相反数是 __________ ，绝对值是 _________．22．假定向东走 8 米，记作：＋ 8 米，那么－ 4 米表示 ______________________ ．5x2 y的系数是，次数是．3．单项式64．运算：〔1〕 6 2= ___________ ；〔2〕8 42______ ．5．假定 |a|=5，那么 a=．6．5170000用科学记数法表示为．7．小华的妈妈为爸爸买了一件衣服，用了 a 元，衣服按标价打六折，那么这件衣服的标价为 __元．8．假定 a，b 互为相反数， c，d 互为倒数，m 的绝对值为2，那么ab m2cd 的值是．m9 ．将以下各数填入它所在数集的大括号里：19，2.5 ，1， 2，0，-0.4，整数集2合 :{} ；非负数会合 :{} ；正分数会合： {} ．10．你会玩〝二十四点〞游戏吗？请你把〝5，5，5，1”这四个数，利用有理数的混淆运算，使这四个数的运算结果为24〔每个数只好用一次〕，写出你的算式：．11．〔1〕代数式 x+2y 的值是3，那么代数式 2x+4y 值是；〔 2〕2a+3b=4 ，3a— 2b=17，那么 10a+2b 的值是．12．着手实验：伸出你的左手按以下列图的方法数数，那么数2003 落在上．〔填大拇指或食指或中指或无名指或小指〕二、精心选一选：连续仔细！〔每题 3 分，本大题总分值21 分〕13．绝对值最小的数是〔〕A ．1B ．-1C ．0D ．没有14．以下讲法正确的选项是〔〕A ． 0 不是单项式B ．多项式 x 2 5xyx 1的各项为 x 2、 5xy 、 x 、1C ． x 2 y 的系数是 0D ．1 x2 的系数为－ 13 315．假设a3 b 2 0，那么a b的 值 为〔〕A ．-6B ．－9C ．9D ．616．以下有理数大小关系判断正确的选项是〔 〕A ．( 1)1 B ． 010910C ．3 3D ． 1 0.0117．两个互为相反数的有理数相乘，积为〔〕A ．正数B ．负数C ．零D ．负数或零18 ． 在 数 轴 上 表 示 a 、 b两 数 的 点 如 下 图 ， 那 么 以 下 判 定 正 确 的 选 项 是〔〕A ． a+b ＞ 0B ．a ＋ b ＜ 0C ．ab ＞ 0D ．│ a │＞│ b │19．火车票上的车次号有两个意义， 一是数字越小表示车速越快， 1～98 次为特快列车， 101～198 次为直快列车，301～ 398 次为普快列车，401～ 498 次为普客列车；二是单数与双数表示不一样的行驶方向，此中单数表示从北京开出,双数表示开往北京，依据以上规定，盐城开往北京的某向来快列车的车次号可能是〔〕A ． 20B ． 119C ．120D ． 319三、耐心答一答：保持仔细！〔本大题共 41 分〕20． 运算〔每题 3 分，共 12 分〕〔 1〕10 ( 16) ( 24)〔2〕71 3 365 14 5〔 3〕12 113 5 〔4〕( 22)22 2234 6321．〔本题 4 分〕把以下各数表示在数轴上，并用〝＜〞将它们连结起来．22．〔本题 5 分〕先化简，再求值：1 x2 x 1 y 23 x 1 y 2 ，2323此中 x= －2， y=2。

初三数学适应性练习试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B 铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．．．．．．．．．．．．．） 1.16的算术平方根等于 （ ▲ ） A ．±4 B ．一4 C ．4 D ．16± 2.下列计算正确的是（ ▲ ）A .()b a ab 33= B.1-=+--ba ba C. 326a a a =÷ D.222)(b a b a +=+3．若一个正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的边数是 （ ▲ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 4.两圆的半径分别为3和7，圆心距为4，则两圆的位置关系是 （ ▲ ） A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离5.等腰三角形的一边长为4，另一边长为3，则它的周长为 （ ▲ ）A ．11B ．10C ．10或11D ．以上都不对6．矩形具有而菱形不肯定具有的性质是 ( ▲ ) A ．对角线相互垂直 B ．对角线相等 C ．对角线相互平分 D ．对角互补 7.一组数据2，7，6，3，4, 7的众数和中位数分别是 ( ▲ ) A. 7和4.5 B. 4和6 C. 7和4 D. 7和5 8.抛物线223y x x =-++的顶点坐标是 ( ▲ ) A ．(-1，4) B ．(1，3) C ．(-1，3) D ．(1，4) 9. 一次函数y kx b =+的图象如图所示，则不等式：0kx b -+>的解集为 ( ▲ ) A ．1x >- B ．1x <- C ．1x > D ．1x <10.如图，在斜边为3的等腰直角三角形OAB 中，作内接正方形A 1B 1C 1D 1；在等腰直角三角形OA 1B 1中，作内接正方形A 2B 2C 2D 2；在等腰直角三角形OA 2B 2中，作内接正方形A 3B 3C 3D 3…依次作下去，则第2024个正方形A 2024B 2014C 2024D 2024的边长是( ▲ ) A ．201213B ．201313C ．201413 D ．201513(第10题图)(第9题图)二、填空题（本大题共8小题， 每小题2分，共16分，不需写出解答过程，只需把答案干脆填写在答题卡上相应的位置）11.分解因式：29a b b -＝ ▲ ．12.已知太阳的半径约为696000000m ，这个数用科学记数法可表示为 ▲ ． 13.函数3y x =-中自变量x 的取值范围是 ▲ ．14.请写出一个大于3且小于4的无理数： ▲ ． 15.如图所示中的∠A 的正切值为 ▲ ．16．一几何体的三视图如图所示，其中正视图与左视图是两个全等的等腰三角形，俯视图是圆，则该几何体的侧面积为 ▲ ．17.如图，直角三角形ABO 放置在平面直角坐标系中，已知斜边OA 在x 轴正半轴上，且OA ＝4，AB ＝2，将该三角形围着点O 逆时针旋转120°后点B 的对应点恰好落在一反比例函数图像上，则该反比例函数的解析式为 ▲ ．18.如右图，正六边形ABCDEF 的边长为2，两顶点A 、B 分 别在x 轴和y 轴上运动，则顶点D 到原点O 的距离的最 大值和最小值的乘积为 ▲ ．三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 19.(本题满分8分)（1）计算：()113231230cos 12-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-︒⋅-(第15题图)(第16题图) (第17题图)（2）化简：21211a a ---20.(本题满分8分)（1）解方程：16233x x x --=--- （2）求不等式组1312215(1)6x x ⎧+<⎪⎨⎪-+≤⎩的解集21．（本题满分8分）如图，在梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ， AB ＝CD ，延长线段CB 到E ，使BE ＝AD ，连接AE 、AC ．（1）求证：△ABE ≌△CDA ； （2）若∠DAC ＝40°，求∠EAC 的度数．22.（本题满分7分）2014年3月28日是全国中小学平安教化日，为了让学生了解平安学问，增加平安意识，我校实行了一次“平安学问竞赛”．为了了解这次竞赛的成果状况，从中抽取了部分学生的成果为样本，绘制了下列统计图(说明：A 级：90分——100分；B 级：75分——89分；C 级：60分——74分；D 级：60分以下)．请结合图中供应的信息，解答下列问题：(1)扇形统计图中C 级所在的扇形的圆心角度数是 ▲ ． (2)请把条形统计图补充完整；(3)若该校共有2000名学生，请你用此样本估计平安学问竞赛中A 级和B 级的学生共约有多少人？OByC xA23．（本题满分8分）甲、乙两个袋中均装有三张除标数值外完全相同的卡片，甲袋中的三张卡片上所标有的三个数值为－7，－1，3，乙袋中的三张卡片所标的数值为－2，1，6，先从甲袋中随机取出一张卡片，用x 表示取出的卡片上的数值，再从乙袋中随机取出一张卡片，用y 表示取出卡片上的数值．把x 、y 分别作为点A 的横坐标和纵坐标．(1)用列表或画树形图的方法写出点A （x ，y ）的全部状况； (2)求点A 落在直线y ＝2x 上的概率．24．（本题满分7分）海上有一小岛，为了测量小岛两端A 、B 的距离，测量人员设计了一种测量方法，如图所示，已知B 点是CD 的中点，E 是BA 延长线上的一点，测得AE ＝10海里，DE ＝30海里，且DE ⊥EC ，cos ∠D ＝35. （1）求小岛两端A 、B 的距离；（2）过点C 作CF ⊥AB 交AB 的延长线于点F ， 求sin ∠BCF 的值.25.（本题满分8分）如图，直角梯形OABC 中，AB ∥OC ，点A 坐标为（0,6），点C 坐标为（3,0），BC37，一抛物线过点A 、B 、 C ．(1)填空：点B 的坐标为 ▲ ；(2)求该抛物线的解析式；(3)作平行于x 轴的直线与x 轴上方的抛物线交于点E 、F ，以EF 为直径的圆恰好与x 轴相切，求该圆的半径．AB F26.（本题满分10分）为了提高服务质量，某宾馆确定对甲、乙两种套房进行星级提升，已知甲种套房提升费用比乙种套房提升费用少3万元，假如提升相同数量的套房，甲种套房费用为625万元，乙种套房费用为700万元．（1）甲、乙两种套房每套提升费用各多少万元？（2）假如须要甲、乙两种套房共80套，市政府筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于甲、乙种套房星级提升，市政府对两种套房的提升有几种方案？哪一种方案的提升费用最少？（3）在（2）的条件下，依据市场调查，每套乙种套房的提升费用不会变更，每套甲种套房提升费用将会提高a万元（a>0），市政府如何确定方案才能使费用最少？27.（本题满分10分）如图①，将□ABCD置于直角坐标系中，其中BC边在x轴上（B在C的左边），点D坐标为（0,4），直线MN：364y x=-沿着x轴的负方向以每秒1个单位的长度平移，设在平移过程中该直线被□ABCD截得的线段长度为m，平移时间为t，m与t的函数图像如图②所示．（1）填空：点C的坐标为▲；在平移过程中，该直线先经过B、D中的哪一点？▲；（填“B”或“D”）（2）点B的坐标为▲，n＝▲，a＝▲；（3）求图②中线段EF的解析式；（4）t为何值时，该直线平分□ABCD的面积？图①图②图1 图228.（本题满分10分）数学课上，张老师出示图1和下面的条件：如图1，两块都含有30°角的直角三角板ABC 和DEF 有一条边在同始终线L 上，∠ABC ＝∠DEF ＝90°，AB ＝1，DE ＝2.将直线EB 绕点E 逆时针旋转30°，交直线AD 于点M .将图中的三角板ABC 沿直线L 向右平移.请你和小明同学一起尝摸索究下列问题：（1）当点C 与点F 重合时，如图2所示，AM 与DM 是否相等? ▲ ；（填”是”或”否”）；（2）小明同学将图2中的三角板ABC 绕点C 逆时针旋转90°，将直线EB 绕点E 逆时针旋转30°，交直线AD 于点M ，如图3所示，过点B 作EB 的垂线交直线EM 于G ，连结AG ，①求证：△ABG ∽△CBE ；②求AG 的长.（3）小明同学又将图1中的三角板ABC 绕点C 逆时针旋转m 度，0＜m ≤90，原题中的其他条件保持不变，如图4所示，设CE ＝x ，计算AMDM的值（用含x 的代数式表示）．LMFED C BA图3 图4初三数学适应性练习答题卷 2024.41 2 3 4 5 6 7 8 9 10 [A] [A] [A] [A] [A] [A] [A] [A] [A] [A] [B] [B] [B] [B] [B] [B] [B] [B] [B] [B] [C] [C] [C] [C] [C] [C] [C] [C] [C] [C] [D][D][D][D][D][D][D][D][D][D]一、选择题（每题3分，共30分）二、填空题（每空2分，共16分）11． ；12． ； 13． ；14． ； 15． ；16． ； 17． ；18． . 三、解答题（10小题，共84分） 19.（本题满分8分）（1）计算：()113231230cos 12-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-︒⋅- （2）化简：21211a a ---20．（本题满分8分）（1）解方程：16233x x x --=--- （2）求不等式组1312215(1)6x x ⎧+<⎪⎨⎪-+≤⎩的解集21.（本题满分8分）(1)扇形统计图中C级所在的扇形的圆心角度数是___________．(2)请把条形统计图补充完整；(3)23.（本题满分8分）24．（本题满分7分）CEABFDLM FE D C BA 图3 图4图1 图228.(本题满分10分)（1）当点C 与点F 重合时，如图2所示，AM 与DM 是否相等? ___________；（填”是”或”否”）； （2）（3）2024年初三数学学科模拟卷参考答案及评分标准一、选择题：（本大题10个小题，每小题3分，共30分）二、填空题：（本大题8个小题，每题2分，共16分）11．(31)(31)b a a +- 12．86.9610⨯ 13. 3x ≥ 14. 比3大、比4小的无理数都可15．3416. 65π17.y = 18. 12三、解答题（本大题共10小题，共计84分．请在指定区域．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19.（8分）(1) 计算（4分）：原式=3-6+2+1 ……3分=0 ……4分 （2）化简：原式=12(1)(1)(1)(1)a a a a a +--+-+ ……………… 2分=1(1)(1)a a a --+ ……………… 3分=11a + ……………………………… 4分 20、（8分）（1）解得：x=-1 ………………………………… 3分经检验：x=-1为原方程的解 …………………… 4分(2)解不等式(1)得：x<1； ………………………………1分 解不等式(2)得 : 2x ≥- …………………………… 3分 所以不等式组的解集为12-<≤x …………………………… 4分 21. （本题满分8分）证明：△ABE ≌△CDA ，…………………………… 5分 ∠EAC=100°……………………………8分 22. （本题满分7分）⑴36° ………………… 2分 (2) …4分.(3)1700 ………7分.23. （本题满分8分） 解：（1）用树形图法表示：……3分全部可能的结果（-7，-2）（-7,1）（-7,6）（-1，-2）（-1,1）（-1，6）（3，-2）（3,1）（3,6） ··················································································································· 5分 可见，从计算器和爱护盖中随机取两个，共有9种不同的状况． 其中满意条件的有2种，分别是（-1，-2），（3,6） ················································· 6分2()9P A ∴=在直线上． ·················································································· 8分 (或用列表法表示也可) 解：（1）AB=15海里…………………3分 （2）7sin 25BCF ∠=……………7分25. （本题满分8分） 解：（1）B(4,6)……………………………2分（2）2286y x x =-+…………………5分（3）117r +=…………8分26. （本题满分10分）（1）设甲种套房每套提升费用为x 万元，依题意，得6257003x x =+ 解得：x =25 经检验：x =25符合题意，283=+x答：甲，乙两种套房每套提升费用分别为25万元，28万元．…………3分 （2）设甲种套房提升m 套，那么乙种套房提升)48(-m 套，依题意，得⎩⎨⎧≤-⨯+≥-⨯+2096)80(28252090)80(2825m m m m解得：48≤m ≤50即m =48或49或50，所以有三种方案分别是：方案一：甲种套房提升48套，乙种套房提升32套． 方案二：甲种套房提升49套，乙种套房提升31． 套方案三：甲种套房提升50套，乙种套房提升30套． 设提升两种套房所须要的费用为W .22403)80(2825+-=-⨯+=m m m W所以当50=m 时，费用最少，即第三种方案费用最少. …………7分（3）在（2）的基础上有：22403)80(2825+-=-⨯++=m a m m a W ）（）（ 当a =3时，三种方案的费用一样，都是2240万元. 当a ＞3时，取m =48时费用W 最省.当0＜a ＜3时，取m =50时费用最省. …………10分27. （本题满分10分）解：（1）C(5，0)……1分,点B ……2分, （2）B(-2，0) ……3分，n=4……4分,403a = ……5分 （3）EF ：44453y x =-+ ··············································································· 8分 （4）353t =······························································································· 10分 28. （本题满分10分） 解：（1）是………………1分（2）①证明………………4分 ②AG=2………………6分（3）AM x DM =………………10分。

2019届江苏省无锡市锡北片九年级上学期期中考试数学试卷【含答案及解析】姓名 ____________ 班级 ________________ 分数 ___________题号-二二三四五总分得分、选择题1. 一元二次方程x2 + x — 2 = 0的根的情况是（ ）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根 36万元，三月份的营业额为 48万元，设每月的平均增长率为 .48i 一 -=36.36i 一 -=48x2 — 6x + c = 0有一个根为2,则另一根为（A. 2 B . 3 4.用半径为3cm 圆心角是120 °的扇形围成一个圆锥的侧面，这个圆锥底面半径为 （）A. 2 n cm B . 1 . 5cm C . n cm D . 1cm 5.如图，点 A, B, C, D 的坐标分别是(1, 7),( 1, 1),( 4, 1),( 6, 1),以 C,D, E 为顶点的三角形与△ ABC 相似，则点E 的坐标不可能是（2.某超市一月份的营业额为 x ，则可列方程为（ ）A. 48 _ . =36 B C. 36 一 . =48 D 3.已知一元二次方程9.某校研究性学习小组测量学校旗杆AB 的高度，仰角为60°,在教学楼三楼 D 处测得旗杆顶部的仰角为 30°,旗杆底部与教学楼一楼在 同一水平线上，已知 CD= 6米，则旗杆AB 的高度为（ ）A. 9 米 B . 9 (1+J-)米 C . 12 米 D . 18 米10. 已知二次函数y = ax2 + bx + c 的图像如图所示，对称轴为直线 x = 1.有位学生写出了 以下五个结论：A. (6, D. (4, 0) 2)• ( 6, 3) • ( 6, 5)DE// BC,DE=1, AD=2 DB=3贝V BC 的长是52圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分7.如图是最深地方的高度为2cm ,则该输水管的半径为（如果水面AB 宽为8cm,水面B . 4cmC . 5cm，则/ AC 于 （.80°C . 50°D . 40°如图在教学楼一楼C 处测得旗杆AB 中,上，且/ AOB=80A. 3cm(2)方程ax2 + bx + c = 0 的两根是x1 =一1, x2= 3;(3)2a—b= 0;(4)当x>1时，y随x的增大而减小；(5)3a+ 2b+ c>0则以上结论中不正确的有( )A. 1个B . 2个C . 3个D . 4个二、填空题11. cos30。

2019-2020学年江苏省无锡市锡山区锡北片九年级（上）期中数学试卷一S 选择题（每题3分，共30分）1・（3分）下列方程是一元二次方程的是（2. （3分）方程3X 2+4X - 2=0的根的情况是5. （3分）如图，在长为100加，宽为80〃?的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道 路，剩余部分进行绿化，要使绿化而积为7644〃几则道路的宽应为多少米？设道路的宽 为Λ∙∕H ,则可列方程为（ ）A. IOOX80 - IOOx - 80Λ=7644A. 3X 2 - 6A +2B. X 2 - y+l=0C. x 2=0D. J→.v=2 2 X A. 两个不相等的实数根 B. 两个相等的实数根 C. 没有实数根 D.无法确左3・（3分）如图，在ZXABC 中，DE//BC 9B. 10C. 11D. 12 4. （3分）如图,已知Zl = Z2,那么添加下列一个条件后，仍无法判∆ABCAADE 的AB =ACAD B AB =BC ・ AD C ・ ZB=ZD D ・ ZC=ZAEDDE=4,则 BC=( A. 9 A.B.(100-Λ) (80-χ) +χ2=7644C.(IOO-Λ∙) (80-χ) =7644D・ IOQV+80x - Λ2=76446.(3分)如图所示，已知四边形ABDC是圆内接四边形，Zl = II2° ,则ZCDE=( )B7.（3分）如图，为了测量某棵树的髙度，小明用长为2加的竹竿作测捲工具，移动竹竿，使竹竿顶端的影子与树的顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时竹竿与这一点相距5加，与树相距10加，则树的髙度为（）8.（3分）如图，AB. AC是OO的两条弦，ZBAC= 25° ,过点C的切线与OB的延长线交于点D则ZD的度数为（）A.25°B. 30°C. 35oD. 40°9.（3分）如图，-ABCD对角线AQ与BD交于点O,且AD=6, AB=IO,在AB延长线上取一点使BE=^AB.连接OE交BC于F,则BF的长为（）5A・ Z B. ∙⅛ C. §D・ 13 3 510.（3分）如图，线段AB为G）O的直径，点C在AB的延长线上，AB=4, BC=2,点、P是Oo上一动点，连接CP,以CP为斜边在PC的上方作RtAPCD且使ZDCP=60° ,连接0D.则OD长的最大值为（）C・2√3+l D. 4二・填空题（本大题共7小题，每空2分，共16分•）11・（2分）将一元二次方程2x （X→） =1化成一般形式为_____ ・12.已知：一元二次方程x2-dr+c=0有一个根为2,则另一根为___________ .13.（2分）已知圆锥的底而半径为4cm,母线长为5c∕n,则这个圆锥的侧而积是________ .14.（2 5＞）ΔΛBC⅛ΔA z B r C t是位似图形，且Z∖ABC 与B f C f的位似比是1： 2,已知AABC的而积是3,则B, C f的而积是_________________ ・15.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露岀盒外，英主视图如图・G）O与矩形ABCD的边BGAD分别相切和相交（E, F是交点），已知EF= CD=8,则0O的半径为16.（2分）如图，A是半径为2的G）O外的一点，OA=4, AB切G）O于点乩弦BC//OA,连接AC,则图中阴影部分的而积为_________ ・17・（2 分）如图，在RtZkABC 中，ZC=90o, AC= 3cm. BC=4cm,点E 从 C点出发向终点B运动,速度为IcM秒，运动时间为/秒，作EF//AB,点P是点C关于FE的对称点，连接AP，当AAPP恰好是直角三角形时，F的值为 _________ ・≡.解答题（本大题共9小题，共84分•解答需写出必要的文字说明或演算步骤）18.（16分）用适当的方法解下列方程：（1）（X-I）2 - 9=0：（2） 3 （x+5） = （x+5）2；（3）Λ*2+6X - 55=0：（4）IX（x+3） - 1=0.19.（8 分）如图，在QABCD中，点E 在BC 上，ZCDE=ZDAE.（1）求证：AADEsADEC:20.（8分）如图，线段AB的端点在边长为1的正方形网格的格点上，现将线段AB绕点A 按逆时针方向旋转90°得到线段AC（1）请你用直尺和圆规在所给的网格中画岀线段AC及点B经过的路径；（2）若将此网格放在一平而直角坐标系中，已知点A的坐标为（1, 3）,点B的坐标为（-2, - 1）,则点C的坐标为_______ :（3）____________________________________________________________ 线段AB在旋转到线段AC的过程中，线段AB扫过区域的而积为 __________________________ :（4）若有一张与（3）中所说的区域形状相同的纸片，将它囤成一个圆锥的侧面，则该圆锥底面圆的半径长为_______ ・21.（8分）已知关于X的方程X2+ （加+1）x+nι （∕H+1） =0.（1）求证：方程总有两个不相等的实数根：（2）已知方程的一个根为x=0,求代数式m2+m - 5的值.22.（8分）如图，AABC中，AB=AC,以AB为直径的G）O与BC相交于点D,与CA的延长线相交于点E,过点D作DF丄AC于点F.（1）试说明DF是G）O的切线；23.（8分）楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价为30万元 /辆,若当月销售疑超过5辆时,每多售出1辆,所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆.根据市场调查，月销售量不会突破30台.（1）设当月该型号汽车的销售量为X辆（xW30,且X为正整数），实际进价为y万元/ 辆，求y与X的函数关系式：（2）已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润25万元，那么该月需售出多少辆汽车？（注：销售利润=销售价-进价）24.（8分）如图所示，AC丄AB, AB=2√i AC=2,点D是以AB为直径的半圆O上一动点，DE丄CD 交直线AB 于点E,设ZDAB=a（0o<α<90o）.(1) 当α=20o时，求弧BD 的长：(2) 当α = 30o 时，求线段BE 的长：(3) 若要使点E 在线段BA 的延长线上，则Ct 的取值范困是 _______ ・(直接写岀答案) 25. (10 分)如图 1,在 RtAABC 中，ZABC=90° , AB=BC=4,点 D 、E 分别是边 AB 、 AC 的中点，连接DE,将AADE ■绕点A 按顺时针方向旋转，记旋转角为α, BD 、CE 所 在直线相交所成的锐角为B ∙(1) 问题发现当 Ct =(T 时，坐= :β= ° .BD(2) 拓展探究试判断:当0° ≤α<360o时，坐和0的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明. BD(3) 在AADE 旋转过程中，当D £〃AC 时，直接写岀此时ACBE 的而积・⑴ ⑵26. (10分)在平而直角坐标系Xoy 中，G)C 的半径为儿P 是与圆心C 不重合的点，点P 关于G)C 的发散点的定义如下：若在射线CP 上存在一点P ，满足CP+CP' =3r,则 称P 为点P 关于OC 的发散点.如图为点P 及其关于G)C 的发散点P 的示意图.特 别地，当点P 与圆心(7重合时，规'f ∖LCP' =0.根据上述材料，请你解决以下问题：(1) 当G)O 的半径为1时，① 在点M (3, 1), N (Λ O), T (2√2. 1)中.存在关于Oo 的发散点的是点；其对2应发散点的坐标是________ :② 点P 在直线y =-√3x÷3√3±,若点P 关于G)O 的发敬点P 存在，且点P 不在X 轴上，求U ∆ B点P的横坐标m的取值范围；（2）G）C的圆心C在X轴上，半径为1,直线y=-孚χ+3√^⅛x轴、y轴分別交于点3A, B.若线段AB h存在点P，使得点P关于OC的发散点P在G）C的内部，请直接写岀圆心C的横坐标H的取值范用・2019-2020学年江苏省无锡市锡山区锡北片九年级（上）期中数小厶x∕Λ学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共30分）1.（3分）下列方程是一元二次方程的是（）A.3X2-6Λ+2B. X2 - v+1 =0C. Λ2=0D. ÷.r=2X2【分析】本题根据一元二次方程的定义解答.一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2：（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程：（4）含有一个未知数.由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案.【解答】解：A、它不是方程，故本选项错误；B、该方程中含有2个未知数，故本选项错误：C、该方程符合一元二次方程的立义，故本选项正确：D.该方程是分式方程，故本选项错误；故选：C.【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.2.（3分）方程3X2+4X - 2=0的根的情况是（）A.两个不相等的实数根B.两个相等的实数根C.没有实数根D.无法确定【分析】首先求岀方程的判别式，然后根据一元二次根与判别式的关系，可以判断方程的根的情况.【解答】解：J方程3X2+4Λ -2=0中，Δ=42-4×3× （ -2） =40>0,・•・方程有两个不相等的实数根.故选:A.【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Zi>0o方程有两个不相等的实数根：（2）A=Oo方程有两个相等的实数根：（3）Δ<0^方程没有实数根.3・（3 分）如图，在ZiABC 中，DE//BC9若坐二2, DE=4,则BC=（）AB 3A・ 9 B. 10 C・ 11 D・ 12【分析】由DE//BC.可求出ΔADE^ΔABC,已知了它们的相似比和DE的长，可求岀BC的值.【解答】解：-DE//BC, ：• ZDEsZBC・ AD _ DE _ 1β∖⅛ B "BC 3VDE=4ABC=I2故选：D.【点评】此题考查了相似三角形的判左与性质：三角形一边的平行线截三角形另两边或另两边的延长线所得三角形与原三角形相似：相似三角形对应边的比相等.4.（3分）如图，已知Z1 = Z2,那么添加下列一个条件后，仍无法判泌ABCSHADE的A. B. C. ZB=ZD D・ZC=ZAEDAD AE AD DE【分析】根据已知及相似三角形的判泄方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案. 【解答】解:VZl = Z2：.ZDAE=ZBAC：.A, C, D 都可判∕∖ABC^∕∖ADE选项B中不是夹这两个角的边，所以不相似，故选：B.【点评】此题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似：②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似.5.(3分)如图，在长为10(加，宽为80加的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化而积为7644〃,，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为xm,则可列方程为( )A.100×80- IOOx- 80x=7644B.(IOO-A) (80-x) +/=7644C.(100-Λ∙) (80-X)=7644D.100A+80A- - A2=7644【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的而积公式列方程.【解答】解：设道路的宽为xm,则可列方程为(IOO-X) (80-χ) =7644,故选：C.【点评】此题主要考查了由实际问题抽象岀一元二次方程，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地而的最上边和最左边是做本题的关键.6.(3分)如图所示，已知四边形ABDC是圆内接四边形，ZI = Il2° ,则ZCDE=( )_B【分析】首先利用圆周角左理求得ZA 的度数，然后利用圆内接四边形的外角等于其内 对角的性质直接求解即可.【解答】解：TZl = 112° ,Λ ZA=AZI=56° ,2ΛZDCE= ZA=56° ,故选:A.【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，了解圆内接四边形的外角等于其内对角的性 质是解答本题的关键，难度不大.7. （3分）如图，为了测量某棵树的髙度，小明用长为2加的竹竿作测量工具，移动竹竿， 使竹竿顶端的影子与树的顶端的影子恰好落在地而的同一点.此时竹竿与这一点相距 5加，与树相距10加，则树的高度为（ ）【分析】先判^AOAB 和AOCD 相似，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可.【解答】解：如图所示：TAB 丄OD CD 丄0D,.∖AB∕∕CD.：•'OABS'OCD 、• AB OB • ∙ 二一 ■ ■CD OD即2CD 5+10解得：CD=G （米）：即树的髙度为6加：故选：B.A ・ 56° B. 68° C. 66° D ・ 58o【点评】本题考查了相似三角形的应用，判断出三角形相似并根据相似三角形对应边成 比例得出比例式是解题的关键.8. （3分）如图，AB. AC 是G ）O 的两条弦，ZBAC= 25° ,过点C 的切线与OB 的延长线 交于点D,则ZD 的度数为（ ）【分析】连接0C,根据切线的性质求出ZOCD=90° ,再由圆周角左理求岀ZCOD 的 度数，根据三角形内角和定理即可得出结论.【解答】解：连接OC,TCD 是G ）O 的切线，点C 是切点，：.ZOCD=W ・VZBAC=25° ,：.ZCOD=50° ,AZD= 180° -90° -50° =40° ・【点评】本题考查的是切线的性质，熟知圆的切线垂直于经过切点的半径是解答此题的 关键.2m∣<- 5m → ------ Ionl ------ IDCAO9.（3分）如图，-ABCD对角线AC与BD交于点0,且AD=6, AB=IO,在AB延长线上取一点E,使BE=Z A B,连接OE交Be于只则BF的长为（）5D C7A B EA. 2B. 4C. §D・13 3 5【分析】首先作辅助线：取AB的中点M,连接O由平行四边形的性质与三角形中位线的性质，即可求得：AEFB S Z∖EO M与OM的值，利用相似三角形的对应边成比例即可求得BF 的值.【解答】解：取AB的中点M,连接0M,∙.∙四边形ABCD是平行四边形，J.AD∕∕BC, OB=OD,.∖OM∕∕AD∕∕BC, OM=ΛAD=丄X6=3,2 2：.AEFB^AEOM9•匹=匹••丽OM tTAB=IO, BE=^B.5∙∙∙BE=4, BM=5.∙∙∙EM=4+5=9,.BF-4••—939.∙∙BF=±3故选：B.准确作出辅助线，合理应用数形结合思想解题.10.（3分）如图，线段AB为G）O的直径，点C在AB的延长线上，AB=4, BC=2,点P 第32页（共32页）是C ）O 上一动点，连接CP,以CP 为斜边在PC 的上方作RtΔPCD.且使ZDCP=60。

2019-2020学年江苏省无锡市锡山区锡北片九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是()A. (m−3)x2−√3x−2B. k2x+5k+6=0C. √2x2−√24x−12=0 D. 3x2+1x−2=02.方程x2−4√2x+9=0的根的情况是()A. 有两个不相等实根B. 有两个相等实根C. 无实根D. 以上三种情况都有可能3.如图，在△ABC中，DE//AC，若AB=7cm，AC=5cm，AD=3cm，则DE=()A. 154cm B. 203cm C. 157cm D. 207cm4.如图，已知∠CAE=∠BAD.若要△ABC∽△ADE，应再添加一个条件，这个条件不能是下列条件中的()A. ABAD =ACAEB. ABAD=BCDEC. ∠B=∠DD. ∠C=∠E5.如图，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽为x米，下列所列方程正确的是()A. 32×20−20x−30x=540B. 32×20−20x−30x−x 2=540C. (32−x)(20−x)=540D. 32×20−20x−30x+x 2=5406.在圆内接四边形ABCD中，∠A=115°，则∠C等于多少度()A. 55°B. 60°C. 70°D. 65°7.如图，小明用长为3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8m，竹竿与旗杆相距22m，则旗杆的高为()A. 12mB. 9.6mC. 8mD.6.6m8.如图，已知BC是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，切线AD交BC的延长线于D，若∠D=40°，则∠B的度数是()A. 40°B. 50°C. 25°D. 115°9.如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF∶FC等于()A. 1∶4B. 1∶3C. 2∶3D. 1∶210.如图所示，△ABC中，∠C=90∘，∠B=60∘，BD是△ABC的角平分线，BC=√3，以A为圆心，2为半径画⊙A，点D在()A. ⊙A内B. ⊙A上C. ⊙A外D.不能判定二、填空题（本大题共7小题，共16.0分）11.把一元二次方程x2=2x+3化成一般形式，结果为。

江苏省无锡市2020年九年级上学期期中数学试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共6题；共12分)1. （2分） (2016九上·古县期中) 下图图形中，是中心对称的图形是（）A .B .C .D .2. （2分） (2015九上·重庆期末) 一元二次方程x2﹣2x=0的根是（）A . x1=0，x2=﹣2B . x1=1，x2=2C . x1=1，x2=﹣2D . x1=0，x2=23. （2分） (2017九上·洪山期中) 用配方法解方程x2+6x+4=0，下列变形正确的是（）A . （x+3）2=﹣4B . （x﹣3）2=4C . （x+3）2=5D . （x+3）2=±4. （2分）如图，在扇形纸片AOB中，OA =10，AOB=36°，OB在桌面内的直线l上．现将此扇形沿l按顺时针方向旋转（旋转过程中无滑动），当OA落在l上时，停止旋转．则点O所经过的路线长为（）．A . 12πB . 11πC . 10πD . 10π+55. （2分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.6，x2=（）A . ﹣1.6B . 3.2C . 4.4D . 以上都不对6. （2分） (2015九上·崇州期末) 将抛物线y=x2+1先向左平移2个单位，再向下平移4个单位，那么所得到的抛物线的函数关系式是（）A . y=（x+2）2+3B . y=（x+2）2﹣3C . y=（x﹣2）2+3D . y=（x﹣2）2﹣3二、填空题 (共6题；共7分)7. （1分） (2017八下·长春期末) 已知数轴上A、B两点对应的数分别是一元二次方程（x+1）(x﹣2)=0的两个根，则A、B两点间的距离是________．8. （1分） (2016九上·思茅期中) 点A（﹣2，1）关于原点对称点为点B，则点B的坐标为________．9. （1分） (2019九下·温州竞赛) 如图，已知抛物线y=-x2+2x+3与X轴交于A，B两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，则P点到直线BC的距离PD的最大值是 ________ ．10. （1分） (2017九上·鄞州竞赛) 如图，已知为等腰△ 内一点，，，为的中点，与交于点，如果点为△ 的内心，则 ________。