(完整版)小学奥数-还原问题(教师版)

四年级(上) 教师： 胡老师 学生：还原问题一个数量经过若干次变化成了另一种结果，我们从结果出发根据每一次变化情况，一步步地倒着想，把结果还原成开始状态，这类问题叫还原问题，又叫逆运算问题。

对于简单的，每一次变化不太复杂的还原问题，可直接列式一步步倒着推算；对于变化较复杂的，可借助列表和画图来帮助解决问题。

例1、一个数减24加上15，再乘以8得432，求这个数。

【思路分析】我们可以从最后结果432出发倒着推理。

最后是乘以8得432，如果不乘以8，那应该是432÷8=54；如果不加上15，那应该是54-15=39；如果不减去24，那应该是39+24=63。

【小试身手】一个数加上3，乘以3，再减去3，最后除以3，结果还是3，这个数是几？例2、甲、乙、丙三人各有一些连环画，甲给乙3本，乙给丙5本后，三个人书的本数同样多，乙原来比丙多多少本？【思路分析】因为乙给丙5本后，两人同样多，可知乙比丙多5×2=10（本），而这10本中又有3本是甲给的，所以原来乙比丙多10-3=7（本）。

【小试身手】小松、小明、小航各有玻璃球若干个，如果小松给小明10个，小明给小航6个后，三人的个数同样多，小明原来比小航多几个？例3、李奶奶卖鸡蛋，她上午卖出总数的一半多10个，下午又卖出剩下的一半多10个，最后还剩65个鸡蛋没有卖出。

李奶奶原来有多少个鸡蛋？ 【思路分析】根据题意，画出线段图：从图上可以看出，最后剩下的65个鸡蛋加上10个正好是余下的一半，余下的一半为65+10=75（个），那么上午卖出后共剩下鸡蛋75×2=150（个），150个鸡蛋再加上10个就是总数的一半，所以总数的一半为150+10=160（个），李妈妈原有160×2=320（个）鸡蛋。

【小试身手】竹篮内有若干个李子，取它的一半又一枚给第一人，再取余直的一半又两枚给第二人。

竹篮内原有李子多少枚？例4、小红、小青、小宁都喜欢画片。

第十三讲还原问题还原问题是指题目给出的是一个数经过某些变化后的结果，要求原来的数的问题.解答这一类的问题时，要根据题意，从所给的结果出发，抓住逆运算关系，由后向前一步步逆推（倒推法、还原法），做相反的运算，逐步靠拢已知条件，直到问题得到解决.在解答还原问题时，如果列综合算式，要注意括号的正确使用.典型例题例【1】三（1）班小图书箱第一天借出了存书的一半，第2天又借出43本，还剩32本.小图书箱原有图书多少本？分析经过两天借出图书，小图书最后还剩32本书.由此可以往前推算：第2天没借出43本前（也就是第1天借出图书后），应有（32＋43）本书，再根据“第1天借出了存书的一半”，可推算出这75本书也就是第1天借出后的另一半，即相当于第1天借出的本数.这样，小图书箱原有的图书本数可求得.解第1天借书后还剩的本数：32＋43＝75（本）原有图书的本数：75×2＝150（本）综合算式：（32＋43）×2＝150（本）答：小图书箱原有图书150本.例【2】某数加上5，乘以5，减去5，除以5，其结果等于5.求这个数.分析从后往前推，原来是加法，推回去是减法；原来是减法，推回去是加法；原来是乘法，推回去是除法；原来是除法，推回去是乘法.从最后一步推起，“除以5，其结果等于5”可以求出被除数：5×5＝30；再看倒数第2步，“减去5”得25，可以求出被减数：25＋5＝30；然后看倒数第3步，“乘以5”得30，可以求出被乘数：30÷5＝6；最后看第1步，“某数加上5”得6，某数为6－5＝1.解 5×5＝2525＋5＝3030÷5＝66－5＝1答：所求的数为1.例【3】小明在做一道加法算式题，由于粗心，将个位上的5看作9，把十位上的8看作3，结果所得的和是123.正确的结果应是多少？分析要求正确的和，就要知道两个正确的加数.看错的加数是39，因此得到错误的和是123.根据逆运算可得到一个没看错的加数是123－89＝84，题中已知一个正确的加数是85，所以正确的和是85＋84＝169把个位上的5看作9，相当于把正确的和多算了4，求正确的和应把4减去；把视为上的8看作3，相当于把正确的和少算了50，求正确的和应把50加上去.这样，正确的答案123＋50－4＝169.解一 123－39＋85＝84＋85＝169解二 9－5＝480－30＝50123＋50－4＝169答：正确的答案是169.例【4】仓库里有一批大米.第一天售出的重量比总数的一半少12吨.第二天售出的重量比剩下的一半少12吨，结果还剩下19吨.这个仓库原有大米多少吨？分析如果第二天刚好售出剩下的一半，就应是（19＋12）吨.第一天售出以后剩下的吨数是（19＋12）×2吨.以下类推.解（19＋12）×2＝62（吨）（62－12）×2＝100（吨）答：这个仓库原有大米100吨.小结还原问题是逆解应用题.一般根据加减法或乘除法的互逆运算关系，由题目所叙述的顺序倒过来思考，从最后一个已知条件出发，逆推而上，求得结果.。

还原问题还原问题是逆解应用题，还原问题先提出一个未知量，经过一系列的运算，最后给出另一个已知量，要求求出原来的未知数量。

解题时，从最后一个已知量出发，逐步进行逆推性运算，即原来是加的，运算时就减；原来是减的，运算时就加；原来是乘的，运算时就除；原来是除的，运算时就乘。

列综合算式时，要特别注意运算顺序，为此要正确使用括号。

如小莉要把一个包装精美的盒子打开。

她先拆开最外层的彩纸；接着打开纸盒，纸盒里有一个绒布盒；再打开绒布盒一看，里面是两支“派克”金笔。

妈妈说，这礼物是送给大学老师的，要小莉把它重新包装起来。

小莉是按这样的顺序做的：先把两支笔放入绒布盒→盖上绒布盒，并把它放进纸盒→盖上纸盒，并用彩纸封好。

小莉重新包装的步骤（顺序）恰好与她打开这盒礼物的顺序相反。

这是生活中常会遇到的“还原问题”。

在数学中，还原问题也很多。

【例1】★小刚的奶奶今年年龄减去7后，缩小9倍，再加上2之后，扩大10倍，恰好是100岁。

小刚的奶奶今年多少岁？【解析】从最后一个条件恰好是100岁向前推算，扩大10倍后是100岁，没有扩大10倍之前应是100÷10=10岁；加上2之后是10岁，没有加2之前应是10－2=8岁；没有缩小9倍之前应是8×9=72岁；减去7之后是72岁，没有减去7前应是72＋7=79岁。

所以，小刚的奶奶今年是79岁。

【小试牛刀】某商场出售洗衣机，上午售出总数的一半多10台，下午售出剩下的一半多20台，还剩95台。

这个商场原来有洗衣机多少台？【解析】从“下午售出剩下的一半还多20台”和“还剩95台”向前倒推，从图中可以看出，剩下的95台和下午多卖的20台合起来，即95＋20=115台正好是上午售后剩下的一半，那么115×2=230台就是上午售出后剩下的台数。

而230台和10台合起来，即230＋10=240台又正好是总数的一半。

那么，240×2=480台就是原有洗衣机的台数。

第九讲还原问题1、一个数的5倍加上6，减去10，再除以9，得4。

这个数是多少？2、某数加上2，乘以5，除以11，再减去8，结果是1。

求这个数。

3、老奶奶卖鸡蛋，上午卖了总数的一半，中午卖了剩下的一半，下午再卖了剩下的一半，晚上将剩下的5只煮成荷包蛋。

那么老奶奶原有鸡蛋多少个？4、小明妈妈给家里买了一些水果，第一天他们一家三口吃了全部的一半，第二天又吃了剩下的一半，第三天吃了剩下的一半还多一个，这时只剩下2个桃子。

问：小明妈妈买了多少个桃子。

5、小明看一本故事书，第一天看了这本书的一半又10页，第二天看了余下的一半又10页，还剩下15页没看。

这本故事书一共有多少页？6、有一箱图书，小红拿走了一半多1本，小丽拿走剩下的一半多2本，小强拿走再剩下的一半多3本，箱里还剩2本，问这箱图书共有多少本？7、一堆桔子，甲取走一半，放回一个；乙接着取走余下的一半，放回一个；丙最后取走余下的一半，放回一个，这时剩下7个。

那么原有多少个桔子？8、粮店库存面粉若干袋，第一天卖出库存的一半多4袋，第二天卖出剩下的一半少3袋，第三天运进30袋，这时粮店里共有面粉50袋。

求粮店里原有面粉多少袋。

9、粮库内有一批面粉，第一次运出总数的一半多20吨，第二次运出剩下的一半少6吨，第三次运出剩下的一半少12吨，最后剩40吨。

问：粮库里原有面粉多少吨？10、一捆电线，第一次用去全长的一半少5米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩35米。

这捆电线原有多少米？11、三只笼子里共养24只兔子，如果从第一只笼子里取出4只放到第二只笼子里，再从第二只笼里取出3只放到第三只笼子里，最后从第三只笼子取出4只放到第一只笼子里，那么三只笼里的兔子就一样多。

原来三只笼里各养了多少只兔子？12、四个袋子共有168粒棋子，小红过来一看，把棋子作如下的调整：把丁袋调3粒到丙袋，丙调6粒到乙袋，乙又调6粒到甲袋，甲袋调2粒到丁袋。

这时，四个袋子的棋子一样多。

还原问题（一）还原问题是指条件中只说明了中间的发展过程和最后结果，要求最初状态的一类问题。

解答这类问题逆向思维很重要，通常要运用倒推法（还原法），即从最后一步出发，一步一步倒着往前推算，逐步倒着往前推算，逐步靠拢已知条件，直到问题解决。

例1．某数加上6，乘以6，减去6，除以6，其结果等于6，求某数。

例2．有一位老人说：“把我的年龄加上14后除以3，再减去26，最后用25乘，恰巧是100岁。

”这位老人今年多少岁？例3．在做一道加法式题时，某学生把个位上的5看作9，把十位上的8看作3，结果所得的和是123。

正确的答案是多少？例4．工人们修一段路，第一天修了公路全长的一半还多2千米，第二天修了余下了一半还少1千米，还剩20千米没有修完。

公路的全长是多少千米？练习与思考1．某数加上10，乘以10，减去10，除以10，结果等于10。

这个数是多少？2．《小学生数学报》少年数学爱好者俱乐部成立的年份数加上2后，缩小100倍，再扩大4倍，最后减去25，正好是55。

这个俱乐部成立于哪一年？3．有一个说：“把我的年龄加上28后除以15，再用8乘，就是32岁。

”这个人多少岁？4．小明在做一道加法计算题时，把个位上的4看作7，十位上的8看作2，结果和是306。

正确的答案应该是多少？5．王大爷去粮站买米，粮站的陈叔叔因粗心，错把一袋米少算了20千克，把另一袋米多算了3千克，合计卖给王大爷60千克米。

王大爷实际购买了多少千克米？6．一捆电线，第一次用去全长了一半多3米，第二次用去余下的一半多5米，还剩下7米。

这捆电线原来长多少米？7．有一篮鸡蛋，第一次取出一半多2个，第二次取出余下的一半多2个，第三次拿出8个，篮里还剩2个鸡蛋。

篮里原来有多少个鸡蛋？8．小刚买毛巾用去所带钱的一半，买手帕用去2元钱，买香皂用去剩余钱的一半，这时还剩4元钱。

小刚买毛巾用去多少钱？一共带了多少钱？9．某仓库运出三次原料，第一次运出总数的一半，第二次运出余下的一半，第三次运出前两次运完后余下的一半，最后把剩下的原料分给甲、乙两个工厂，甲厂得6吨，是乙厂的2倍。

还原问题（一）例1有一个数，把它乘以4以后减去46，再把所得的差除以3，然后减去10，最后得4。

问：这个数是几？例2小马虎在做一道加法题目时，把个位上的5看成了9，把十位上的8看成了3，结果得到的“和”是123。

问：正确的结果应是多少？例3学校运来36棵树苗，乐乐与欢欢两人争着去栽，乐乐先拿了若干树苗，欢欢看到乐乐拿得太多，就抢了10棵，乐乐不肯，又从欢欢那里抢回来6棵，这时乐乐拿的棵数是欢欢的2倍。

问：最初乐乐拿了多少棵树苗？例4甲、乙、丙三组共有图书90本，乙组向甲组借3本后，又送给丙组5本，结果三个组拥有相等数目的图书。

问：甲、乙、丙三个组原来各有多少本图书？例6一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩7米，这捆电线原有多少米？1.某数加上11，减去12，乘以13，除以14，其结果等于26，这个数是多少？2.某数加上6，乘以6，减去6，其结果等于36，求这个数。

3.在125×□÷3×8—1=1999中，□内应填入什么数？4.小乐爷爷今年的年龄数减去15后，除以4，再减去6之后，乘以10，恰好是100。

问：小乐爷爷今年多少岁？5.粮库内有一批面粉，第一次运出总数的一半多3吨，第二次运出剩下的一半少7吨，还剩4吨。

问：粮库里原有面粉多少吨？6.有一筐梨，甲取一半又一个，乙取余下的一半又一个，丙再取余下的一半又一个，这时筐里只剩下一个梨。

这筐梨共值8.80元，那么每个梨值多少钱？7.某人去银行取款，第1次取了存款的一半还多5元，第二次取了余下的一半还多10元，这时存折上还剩125元。

问：此人原有存款多少元？。

还原问题【知识梳理】还原问题是逆解应用题，一般特点是：已知对某个数按照一定的顺序进行四则运算的结果，或把一定数量的物品增加或减少的结果，要求最初（运算前或增减变化前）的数量。

【例题精讲】【例1】某数加上3，乘以5，再减去8，等于12，求某数。

( 1 )【例2】有一位老人说：“把我的年龄加上14后除以3，再减去26，最后用25乘，恰巧是100岁。

”这位老人今年多少岁？( 76 )【例3】马小虎做一道整数减法题时，把减数个位上的1看成7，把减数十位上的7看成1，结果得出差是111，问正确答案是多少？( 57 )【例4】某数加上5，再增加7，结果等于61，这个数是？( 49 )1、某数减去4，再减少6，结果为2，这个数是？( 12 )2、小明把某数减去5，再增加6，结果是12，这个数是多少？( 11 )【例5】某数扩大3倍，再缩小4倍，正好是6，这个数是？( 8 )【试一试】1、一捆电线，第一次用了一半，第二次又用了剩下的一半，还有6米，这捆电线长多少米？( 24 )2、小红对小明说：“你的年龄是11岁，你的年龄是我的2倍少9岁，你知道我的年龄吗？”( 10 )【例6】小刚的奶奶今年年龄减去7后，缩小9倍，再加上2之后，扩大10倍，恰好是100岁，小刚的奶奶今年多少岁？( 79 )1、在□里填上适当的数。

20×□÷8+16=26 ( 4 )2、一个数的3倍加上6，再减去9，最后乘以2，结果得60，求这个数。

( 11 )【例7】某商场出售洗衣机，上午售出总数的一半多10台，下午售出剩下的一半多20台，还剩95台，这个商场原来有洗衣机多少台？( 480 )【试一试】1、粮库内有一批大米，第一次运出总数的一半多3吨，第二次运出剩下的一半多5吨，还剩下4吨，问粮库原有大米多少吨？( 42 )2、爸爸买了一些橘子，全家人第一天吃了这些橘子的一半多1个，第二天吃了剩下的一半多1个，第三天又吃了剩下的一半多1个，还剩下1个，问爸爸买了多少个橘子？( 22 )【例8】小明、小强和小勇三个人共有故事书60本。

本讲主要学习还原问题．通过本节课的学习,可以使学生掌握倒推法的解题思路以及方法,并会运用倒推法解决问题．1. 掌握用倒推法解单个变量的还原问题．2. 了解用倒推法解多个变量的还原问题．3. 培养学生“倒推”的思想．一、还原问题已知一个数,经过某些运算之后,得到了一个新数,求原来的数是多少的应用问题,它的解法常常是以新数为基础,按运算顺序倒推回去,解出原数,这种方法叫做逆推法或还原法,这种问题就是还原问题．还原问题又叫做逆推运算问题．解这类问题利用加减互为逆运算和乘除互为逆运算的道理,根据题意的叙述顺序由后向前逆推计算．在计算过程中采用相反的运算,逐步逆推．二、解还原问题的方法在解题过程中注意两个相反：一是运算次序与原来相反；二是运算方法与原来相反． 方法：倒推法.口诀：加减互逆,乘除互逆,要求原数,逆推新数．关键：从最后结果出发,逐步向前一步一步推理,每一步运算都是原来运算的逆运算,即变加为减,变减为加,变乘为除,变除为乘．列式时还要注意运算顺序,正确使用括号.模块一、计算中的还原问题【例 1】 一个数的四分之一减去5,结果等于5,则这个数等于_____. 【考点】计算中的还原问题 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】希望杯,五年级,二试,第3题 【解析】 方法一：倒推计算知道,一个数的四分之一是10,所以这个数是104=40⨯.方法二：令这个数为x ,则1554-=x ,所以40=x .【答案】40【例 2】 某数先加上3,再乘以3,然后除以2,最后减去2,结果是10,问：原数是多少？例题精讲知识点拨教学目标6-1-2.还原问题（一）【考点】计算中的还原问题 【难度】1星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 分析时可以从最后的结果是10逐步倒着推.这个数没减去2时应该是多少？没除以2时应该是多少？没乘以3时应该是多少？没加上3时应该是多少？这样依次逆推,就可以推出某数.如果没减去2,此数是：10212+=,如果没除以2,此数是：12224⨯=,如果没乘以3,此数是：2438÷=,如果没加上3,此数是：835-=,综合算式()1022335+⨯÷-=,原数是5. 【答案】5【巩固】 (2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛)有一个数,如果用它加上6,然后乘以6,再减去6,最后除以6,所得的商还是6,那么这个数是 .【考点】计算中的还原问题 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】可逆思想方法 【解析】 将最终结果进行逆推,得： 666661（）⨯+÷-= 【答案】1【巩固】 一个数减16加上24,再除以7得36,求这个数．你知道这个数是几吗? 【考点】计算中的还原问题 【难度】1星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 3672416244⨯-+=. 【答案】244【巩固】 少先队员采集树种子,采得的个数是一个有趣的数．把这个数除以5,再减去25,还剩25,你算一算,共采集了多少个树种子?【考点】计算中的还原问题 【难度】1星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 25255250（）+⨯=(个),即共采集了250个树种子. 【答案】250【例 3】 学学做了这样一道题：某数加上10,乘以10,减去10,除以10,其结果等于10,求这个数．小朋友,你知道答案吗？【考点】计算中的还原问题 【难度】1星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 根据题意,一个数,经过加法、乘法、减法、除法的变化,得到结果10,应用逆推法,由结果10,根据加、减法与乘、除法的互逆运算,倒着往前计算．1010100⨯=,10010110+=,1101011÷=,11101-=综合算式为： 1010101010100101010110101011101（）（）⨯+÷-=+÷-=÷-=-=所以这个数为1.解这种还原问题的关键是从最后结果出发,逐步向前一步一步推理,每一步运算都是原来运算的逆运算,即变加为减,变减为加,变乘为除,变除为乘．列式时还要注意运算顺序,正确使用括号,这种逆向思维的方法是数学中常用的思维方法．【答案】1【巩固】 学学做了这样一道题：一个数加上3,减去5,乘以4,除以6得16,求这个数．小朋友,你知道答案吗？ 【考点】计算中的还原问题 【难度】1星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 根据题意,一个数,经过加法、减法、乘法、除法的变化,得到结果16,应用逆推法,由结果10,根据加、减法与乘、除法的互逆运算,倒着往前计算．16÷×64-5+3某数综合算式为：16645396453245329326⨯÷+-=÷+-=+-=-=【答案】26【巩固】 一次数学竞赛颁奖会上,小刚问老师：“我得了多少分？”老师说：“你的得分减去6后,缩小2倍,再加上10后,扩大2倍,恰好是100分”．小刚这次竞赛得了多少分？【考点】计算中的还原问题 【难度】1星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 从最后一个条件“恰好是100分”向前推算．扩大2倍是100分,没有扩大2倍之前应是100250÷= (分),加上10后是50分,没有加上10前应是501040-=(分),缩小2倍是40分,那么没有缩小2倍前应是40280⨯=(分),减去6后是80分,没有减去6前应是80686+=(分)．综合列式为：(100210)26402686÷-⨯+=⨯+=(分),所以,小刚这次竞赛得了86分．【答案】86【例 4】 牛老师带着37名同学到野外春游．休息时,小强问：“牛老师您今年多少岁啦?”牛老师有趣地回答：“我的年龄乘以2,减去16后,再除以2,加上8,结果恰好是我们今天参加活动的总人数．”小朋友们,你知道牛老师今年多少岁吗?【考点】计算中的还原问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 采用倒推法,我们可以从最后的结果“参加活动的总人数”即38倒着往前推．这个数没加上8时应是多少？没除以2时应是多少？ 没减去16时应是多少？没乘以2时应是多少？这样依次逆推,就可以求出牛老师今年的岁数．没加上8时应是：38830-=；没除以2时应是：30260⨯=；没减去16时应是：601676+=；没乘以2时应是：76238÷=,即[388216] 238（）-⨯+÷=(岁).【答案】38岁【巩固】 小智问小康：“你今年几岁？”小康回答说：“用我的年龄数减去8,乘以7,加上6,除以5,正好等于4. 请你算一算,我今年几岁？”【考点】计算中的还原问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 分析时可以从最后的结果是4逐步倒着推.这个数没除以5时应该是多少？没没加上6时应该是多少？没乘以7时应该是多少？没减去8时应该是多少？这样依次逆推,就可以推出某数. 如果没除以5,此数是：4520⨯= 如果没加上6,此数是：20614-= 如果没乘以7,此数是：1472÷= 如果没减去8,此数是：2810+=综合算式：()4567810⨯-÷+=（岁） 答：小康今年10岁.【答案】10岁【巩固】 在小新爷爷今年的年龄数减去15后,除以4,再减去6之后,乘以10,恰好是100,问:小新爷爷今年多少岁数?【考点】计算中的还原问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 采用倒推法,(100106)41579÷+⨯+=（岁）. 【答案】79岁【巩固】 学学和思思在游玩时,遇到一位小神仙,他们问这位神仙：“你一定不到100岁吧！”谁知这位神仙摇摇头说：“你们算算吧！把我的年龄加上75,再除以5,然后减去15,再乘以10,恰好是2000岁．”小朋友,你知道这位神仙现在有多少岁吗？【考点】计算中的还原问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 这就是一个还原问题,可以用倒推法解决．从结果“2000”逐步倒着推,没乘10时是多少？没减去15时是多少？没除以5时是多少？没加75时是多少？这样依次倒推,就可以知道神仙的年龄了． ⑴ “乘以10,恰好是2000”,不乘10时,应该是：200010200÷=⑵ “减去15”是200,不减15时,应该是：20015215+= ⑶ “除以5”是215,不除以5,应该是：21551075⨯=⑷ 现在的年龄加上75是1075,如果不加75,这个数是：1075751000-= 也就是神仙现在的年龄是1000岁．验算：按原题顺序进行列式计算,看最后是否等于2000,如果等于2000,则解题正确． 1000751075+=,10755215÷=,21515200-=,200102000⨯=．【答案】2000岁【例 5】 在电脑里先输入一个数,它会按给定的指令进行如下运算：如果输入的数是偶数,就把它除以2；如果输入的数是奇数,就把它加上3．同样的运算这样进行了3次,得出结果为27．原来输入的数可能是 ．【考点】计算中的还原问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】可逆思想方法,第七届,小数报 【解析】 本题用倒推法解．最后结果是27,上一步的结果是54,再上一步的结果是108或51,原来输入的数是216,105,102．思路如下： 21610810554271025148(24()不合意)不合意⎧⎧⎧⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎩【答案】216或105或102,答案不唯一【例 6】 假设有一种计算器,它由A 、B 、C 、D 四种装置组成,将一个数输入一种装置后会自动输出另一个数.各装置的运算程序如下： 装置A ：将输入的数加上6之后输出；装置B ：将输入的数除以2之后输出；装置C ：将输入的数减去5之后输出；装置D ：将输入的数乘以3之后输出.这些装置可以连接,如在装置A 后连接装置B ,就记作：A →B .例如：输人1后,经过A →B ,输出3．5.(1)若经过A →B →C →D ,输出120,则输入的数是多少?(2)若经过B →D →A →C ,输出13,则输入的数是多少?【考点】计算中的还原问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯,五年级,二试,第16题,可逆思想方法 【解析】 方法一：逆向考虑.（1）输入到D 的数为120÷3=40,输入到C 的数为40+5=45,输入到B 的数为45×2=90,所以输入到A 的数是90-6=84.（2）输入到C 的数是13+5=18,输入到A 的数是18-6=12,输入到D 的数是12÷3=4,所以输入到B 的数是4×2=8.方法二：(1)设输入的数是x ,则(653=1202x +⎛⎫-⨯⎪⎝⎭解得,x =84.(2)设输入的数是y ,则365=132y ⨯+-,解得y =8【答案】（1）84；（2）8【例 7】 哪吒是个小马虎,他在做一道减法题时,把被减数十位上的6错写成9,减数个位上的9错写成6,最后所得的差是577,那么这道题的正确答案应该是多少呢？【考点】计算中的还原问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 被减数十位上的6变成9,使被减数增加906030-=,差也增加了30；减数个位上的9错写成6,使减数减少了963-=,这样又使差增加了3,这道题可以说成：正确的差加上30后又加上3得577,求正确的差．所以列式得：577969060544（）（）----=．这题的正确答案应该是544．【答案】544【巩固】 小马虎在做一道加法题时,把一个加数个位上的9看作6,十位上的6看作9,结果和是174,那么正确的结果应该是多少呢？【考点】计算中的还原问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法【解析】我们可以这样理解这道题的意思：一个数(正确答案),由于小马虎两次错误的计算,变成了另一个数(错误结果),我们知道引起这种变化的原因是：①把个位上的9看作6,这就相当于把正确答案减少了963-=②把十位上的6看作9,这就相当于把正确答案增加了：109630⨯-=（）这样原题就变成了“一个数减去3,再加上30,所得结果是174,求这个数．”我们只要把少加的加上,多加的减去,就可以求出正确的结果：174961096174330147+--⨯-=+-=（）（）【答案】147【巩固】淘气在做一道减法时,把减数个位上的9看成了3,把十位上的4看成了7,得到的结果是164,请你帮淘气算算正确的答案应该是多少呢?【考点】计算中的还原问题【难度】2星【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】164(7349) 188-+=.+-=或164630188【答案】188【巩固】小新在做一道加法题,由于粗心,将个位上的5看作9,把十位上的8看作3,结果所得的和是123．正确的答案是多少？【考点】计算中的还原问题【难度】2星【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】倒推法,把个位上的5看作9,相当于把正确的和多算了4,求正确的和,应把4减去；把十位上的8看作3,相当于把正确的和少算了50,求正确的和,应把50加上去．所以正确的和是：12350 4169+-=.即：+---=.123(8030)(95)169【答案】169模块二、单个变量的还原问题【例 8】一只猴吃63只桃,第一天吃了一半加半只,以后每天吃前一天剩下的一半再加半只,则_________ 天后桃子被吃完.【考点】单个变量的还原问题【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯,4年级,1试【解析】通过画表格的方式,可知答案是6.【答案】6天【例 9】乒乓球从高空落下,到达地面后弹起的高度是落下高度的一半,如果乒乓球从8米的高度落下,那么弹起后再落下,则弹起第_______次时它的弹起高度不足1米.【考点】单个变量的还原问题【难度】2星【题型】填空【关键词】走美杯,三年级,初赛,可逆思想方法【解析】弹起第一次时变为4米,弹起第二次时变为2米,弹起第三次时变化为1米,第4次弹起时不足1米,所以弹起第4次时不足1米.【答案】4次【例 10】李奶奶卖一筐鸡蛋,第一位客人买走了一半少2个,第二位客人又买走了剩下的一半多2个,第三位客人把剩下的5个鸡蛋全部买走了．老婆婆的篮子里原来有个鸡蛋．【考点】单个变量的还原问题【难度】2星【题型】填空【关键词】学而思杯,1年级,第12题,可逆思想方法【解析】用倒堆的方法,第二位客人没有买走之前共有7714+=（个）,第一位客人没买走之前就是14212-=（个）,121224+=（个）．<考点> 数学方法倒退法【答案】24个【巩固】小红看一本故事书,第一天看了这本书的一半又10页,第二天看了余下的一半又10页,第三天看了10页正好看完.这本故事书共有页.【考点】单个变量的还原问题【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯,五年级,一试,第13题,可逆思想方法【解析】第三天看的10页等于第一天看了余下的一半少10页,所以第一天看了余下了（10+10）×2=40页,所以原来有（40+10）×2=100页.【答案】100页【例 11】学学看到太上老君正在用一根绳子拴宝葫芦,第一次用去全长的一半还多2米,第二次用去余下的一半少10米,第三次用去15米,最后还剩9米,那么这根绳子原来有多少米呢？【考点】单个变量的还原问题【难度】3星【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】根据题意,画图倒推分析：15924+=(米)-⨯=(米)（）2410228+⨯=(米)282260（）所以,这根绳子全长60米．【答案】60米【巩固】一个人沿着公园马路走了全长的一半后,又走了剩下路程的一班,还剩下1千米,问：公园马路全长多少千米？【考点】单个变量的还原问题【难度】3星【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】如图：采取倒推的方法,1千米是第一次剩下的路程的一半,所以第一次剩下路程就是122⨯=（千米）.而第一次剩下的路程2千米又是全程长的一半,所以全程长为224⨯=（千米）.答：公园马路全长为4千米.【答案】4千米【巩固】一捆电线,第一次用去全长的一半多3米,第二次用去余下的一半少10米,第三次用去15米,最后还剩7米.这捆电线原来有多少米？【考点】单个变量的还原问题【难度】3星【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】为了帮助同学们分析数量关系,可依照题意画出右图.从线段图上可以看出：（1）7151012+-=（米）,就是第一次用去后余下的一半. （2）12224⨯=（米）,就是余下的电线长度. （3）24327+=（米）,就是全长的一半. （4）27254⨯=（米）,就是原来电线的长度.综合列式计算：()71510232⎡⎤+-⨯+⨯⎣⎦(1223)2=⨯+⨯272=⨯54=（米）答：这捆电线原来有54米.【答案】54米【巩固】 甲在加工一堆零件,第一天加工了这堆零件的一半又10个,第二天又加工了剩下的一半又10个,还剩下25个没有加工,问：这批零件有多少个？【考点】单个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 如右图所示,按照图与题目的条件,可以有如下算式：251035+=（个）,35270⨯=（个）,701080+=（个）,802160⨯=（个）列综合算式：[](2510)2102160+⨯+⨯=,答：这批零件共有160个.【答案】160个【巩固】 食堂买进一批大米,第一天吃了全部的一半少28千克,第二天吃了余下的一半少8千克,最后剩下122千克．这批大米共有多少千克？【考点】单个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 列式为：[1228228]22002400（）-⨯-⨯=⨯=(千克) 【答案】400千克【巩固】 山顶上有棵桃数,一只猴子偷吃桃子,第一天偷吃了总数的一半多2个,第二天又偷吃了剩下的一半多2个,这时还剩1个,问：树上原来有多少个桃子？【考点】单个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 2[1222]16（）⨯+⨯+=(个). 【答案】16个【例 12】 盒子里有若干个球.小明每次拿出盒中的一半再放回一个球.这样共操作了7次,袋中还有3个球.袋中原有（ ）个球.【考点】单个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】走美杯,3年级,初赛 【解析】 倒退法：如,第7次操作前,还剩()3124-⨯=个球.10066341810643第1次第2次第3次第4次第5次第6次第7次【答案】4个球【例 13】 有一个培养某种微生物的容器,这个容器的特点是：往里面放入微生物,再把容器封住,每过一个夜晚,容器里的微生物就会增加一倍,但是,若在白天揭开盖子,容器内的微生物就会正好减少16个.小丽在实验的当天往容器里放入一些微生物,心急的她在第二、三、四天斗开封看了看,到第五天,当她又启封查看时,惊讶地发现微生物都没了.请问：小丽开始往容器里放了 个微生物？【考点】单个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯,四年级,二试,第15题 【解析】 还原倒推：0←16←8←24←12←28←14←30←15所以原来容器内放了15个微生物. 【答案】15个【例 14】 小丽用4元买了一本《童话大王》,又用剩下的钱的一半买了一本《儿童时代》,买钢笔又用去第二次剩下的钱的一半多1元,最后还剩4元,问：小丽原有多少钱？【考点】单个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法【解析】 用倒推法,第二次剩下的一半是415+=（元）,第二次剩下5210⨯=（元）,第一次剩下10220⨯=（元）,原来有20424+=（元）.列综合算式：()4122424+⨯⨯+= 答：小丽原有24元.【答案】24元【巩固】 有一筐苹果,甲取出一半又1个；乙取出余下的一半又1个；丙取出再余下的一半又1个,这时筐里只剩下1个苹果.这筐苹果共值6元6角,问每个苹果平均值多少钱？【考点】单个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】从上面的线段图可以看出：最后剩下的1个再加上丙取出的1个就是再余下的一半,即2个是再余下的一半,因此,再余下的就是224⨯=（个）；4个再加上乙取出的1个就是余下的一半,所以,甲取出后余下的就是5210⨯=（个）；10个再加上甲取出的1个就是全筐的一半,所以,全筐苹果的总数是11222⨯=（个）.22个苹果共值6元6角,于是可求出每个苹果平均值多少钱？先求有多少个苹果：[]{}21222（1+1）2+1⨯⨯+⨯=（个）再求每个苹果平均值多少钱：66223÷=（角）,每个苹果平均值3角钱.【答案】3角【例 15】 思思看到织女在织布,她把一段五彩布第一次剪去一半,第二次又剪去余下的一半,这时还剩下8米,你知道这段五彩布原来长多少米吗？【考点】单个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 根据题意,画出线段图,倒推分析．8216⨯=(米)16232⨯=(米)所以这段五彩布原来长32米． 【答案】32米【巩固】 一群蚂蚁搬家,原存一堆食物．第一天运出总数的一半少12克．第二天运出剩下的一半少12克,结果窝里还剩下43克．问蚂蚁家原有食物多少克?【考点】单个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 采用倒推法,教师可画线段图帮助学生理解.如果第二天再多运出12克,就是剩下的一半,所以第一天运出后,剩下的一半重量是431231-=(克)；这样,第一天运出后剩下的重31262⨯=(克).那么同理,一半的重量是621250-=(克),原有食物502100⨯=(克).即 [4312212]2100（）-⨯-⨯=(克).【答案】100克【巩固】 一捆电线,第一次用去全长的一半多3米,第二次用去余下的一半少10米,第三次用去15米,最后还剩7米,这捆电线原有多少米？【考点】单个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 由逆推法知,第二次用完还剩下15+722=(米),第一次用完还剩下(2210)224-⨯=(米),原来电线长(243)254+⨯=(米),(15710)23254+-⨯+=⨯=(米).【答案】54米【例 16】 工程队要修一条小路,第一天修了全长的一半多6米,第二天修了余下的一半少20米,第三天修了30米,此时还剩下14米没有修,则这条小路长 米.【考点】单个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】可逆思想方法,2008年,陈省身杯 【解析】 如图1所示,先根据线段图理清数量关系,可得全长为：()143020262108⎡⎤+-⨯+⨯=⎣⎦（米）.【答案】108米【巩固】 修建一条下水道,第一周修了全长的一半多12米,第二周修了剩下的一半少12米,第三周修了30米,最后还剩18米,这条下水道长多少米？【考点】单个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 如下图,从图中可知30181236+-=是第一周修后余下的一半,3621284⨯-=米是下水道全长的一半．列式为：[301812212]2842168+-⨯+⨯=⨯=(米),所以,这条下水道长168米．画图法的关键：标好（）有倍数关系的位置.【答案】168米【例 17】货场原有煤若干吨.第一次运出原有煤的一半,第二次运进450吨,第三次又运出现有煤的一半又50吨,结果剩余煤的2倍是1200吨.货场原有煤多少吨？【考点】单个变量的还原问题【难度】4星【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】这道题由于原有煤的总吨数是未知的,所以要想顺解是很不容易的,我们先看图4,然后再分析.结合上面的线段图,用倒推法进行分析,题中的数量关系就可以跃然纸上,使学生们一目了然.根据“剩余煤的2倍是1200吨”,就可以求剩余煤的吨数；根据“第三次运出现有煤的一半又50吨”和剩余煤的吨数,就可以求出现有煤的一半是多少吨,进而可求出现有煤的吨数；用现有煤的吨数减去第二次运进的450吨,就可以求出原有煤的一半是多少,最后再求出原有煤多少吨.÷=（吨）（1）剩余煤的吨数是：12002600+=（吨）（2）现有煤的一半是：60050650⨯=（吨）（3）现有煤的吨数是：65021300-=（吨）（4）原有煤的一半是：1300450850⨯=（吨）（5）原有煤的吨数是：85021700答：货场原来有煤1700吨.【答案】1700吨【例 18】从前,有一位樵夫,整天幻想着遇见神仙,求得一种不花气力就能发财的窍门．一天,有一位老人突然来到樵夫面前,对他说：“你不是想见到神仙吗？”樵夫苦苦哀求：“我在山里砍了三天柴,累的要死要活,才卖的这么几个钱．您老人家神通广大,恳求您指点,使我可以不费力气就能得到钱吧！”老人指着东边的一座石头桥说：“好吧！从现在开始,你只要从那座桥上每走一个来回,口袋里的钱都会增长一倍,但是每次回来都要付给我24个钱作为报酬．”樵夫高兴的在桥上走了一个来回,他数一数口袋里的钱,果然增长了一倍．他拿出24个钱交给神仙,然后又向桥上走去,等到他第三次回来,把24个钱交给神仙后,摸一摸口袋,里面竟然一个钱都没有了．正当他焦急不安的时候,神仙按原数把钱留下飘然而去,并留下一句话：“年轻人,不劳而获可不行啊！”故事读完了,小朋友们,你能不能算出,樵夫原来有多少钱呢？【考点】单个变量的还原问题【难度】3星【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】这个故事里包含的算题是：樵夫每次在桥上走一个来回,口袋里面的钱会增长1倍,樵夫第三次回来,6-1-2.还原问题（一）.题库 教师版 page 11 of 13交付24个钱给神仙后,他的口袋里就一无所有了．问樵夫原来有多少钱？我们可以倒着想,最后樵夫从桥上回来后,口袋里面只有24个钱,第二次交给神仙后有24212÷=（个）钱,从桥上回来后有：122436+=（个）钱,也就是第一次交给神仙后还剩：36218÷=（个）钱,第一次从桥上回来后有：182442+=（个）钱,所以樵夫一开始有：42221÷=（个）钱．【答案】21个【巩固】 有一个财迷总想使自己的钱成倍增长,一天他在一座桥上碰见一个老人,老人对他说：“你只要走过这座桥再回来,你身上的钱就会增加一倍,但作为报酬,你每走一个来回要给我32个铜板．”财迷算了算挺合算,就同意了．他走过桥去又走回来,身上的钱果然增加了一倍,他很高兴地给了老人32个铜板．这样走完第五个来回,身上的最后32个铜板都给了老人,一个铜板也没剩下．问：财迷身上原有多少个铜板？【考点】单个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】 第五次回来时有32个铜板,表明第五次走时有16个铜板（因为走到桥对面钱数要增加一倍）,又表明第四次回来时有48个铜板（因为要给老人32个铜板）……依次类推即可．推算过程可列表如下：所以原来有31个铜板．【答案】31个【巩固】 某人发现了一条魔道,下面有一个存钱的小箱子,当他从魔道走过去的时候,箱子里的一些钱会飞到人的身上使人身上的钱增加一倍,这人很高兴；当他从魔道走回来时,身上的钱会飞到箱子里,使箱子里的钱增加一倍；这人一连走了3个来回后,箱子里的钱和人身上的钱都是64枚一元的硬币,那么原来这人身上有多少元？箱子里有多少元？【考点】单个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】 已知这个人和钱箱里最后都有64元,采用倒推法解题,列表如下：所以最开始这个人身上有43元,箱子里有85元．【答案】85元【例 19】 学学和思思见到一种神奇的虫子,它每小时就长一倍,1天能长到20厘米,聪明的小朋友,你知道小虫长到5厘米时需要多少小时吗？【考点】单个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】 小虫每小时长一倍的意思是：第二个小时的身长是第一个小时的2倍,第三个小时的身长是第二个小时的2倍,第四个小时的身长是第三个小时的2倍,……1天是24个小时,从24小时能长到20厘米开始,往前倒推,当长到20210÷=(厘米)时,就是第23个小时,以此倒推．(方法一)用倒推法解：20225÷÷=(厘米),241122--=(小时)(方法二)用列表倒推法解：。