圆的标准方程和一般方程定

圆和直线的交点坐标公式1. 圆的方程。

- 圆的标准方程为(x - a)^2+(y - b)^2 = r^2，其中(a,b)为圆心坐标，r为圆的半径。

- 圆的一般方程为x^2+y^2+Dx + Ey+F = 0（D^2+E^2 - 4F>0），圆心坐标为(-(D)/(2),-(E)/(2))，半径r=(1)/(2)√(D^2 + E^2-4F)。

2. 直线的方程。

- 直线的斜截式方程为y = kx + b，其中k为斜率，b为直线在y轴上的截距。

- 直线的一般式方程为Ax+By + C = 0（A、B不同时为0）。

3. 求圆与直线交点坐标的方法。

- 若圆的方程为(x - a)^2+(y - b)^2 = r^2，直线方程为y=kx + m（这里以斜截式为例，若直线是一般式可先化为斜截式方便计算）。

- 将y=kx + m代入圆的方程(x - a)^2+(kx + m - b)^2 = r^2。

- 展开得到x^2 - 2ax+a^2+k^2x^2+2k(m - b)x+(m - b)^2=r^2。

- 整理为关于x的一元二次方程(1 + k^2)x^2+[2k(m - b)-2a]x+a^2+(m - b)^2 - r^2 = 0。

- 利用一元二次方程的求根公式x=(-B±√(B^2 - 4AC))/(2A)，这里A = 1 +k^2，B=2k(m - b)-2a，C=a^2+(m - b)^2 - r^2，求出x的值。

- 再将x的值代入直线方程y = kx+m求出对应的y值，得到交点坐标。

- 若圆的方程为x^2+y^2+Dx + Ey+F = 0，直线方程为Ax+By + C = 0。

- 由直线方程Ax+By + C = 0可得y=-(A)/(B)x-(C)/(B)（假设B≠0）。

- 将y =-(A)/(B)x-(C)/(B)代入圆的方程x^2+(-(A)/(B)x-(C)/(B))^2+Dx+E(-(A)/(B)x-(C)/(B))+F = 0。

有关圆的所有计算公式S圆=π×R的平方; C圆=2πR或πD扇形弧长l=nπr/180 扇形面积S=(nπr^2)/360=lr/2 圆锥侧面积S=πrl 圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角n=360r/l(r是底面半径,l是母线长) 圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。

圆的一般方程：把圆的标准方程展开，移项，合并同类项后，可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0(其中D^2+E^2-4F＞0）。

其中和标准方程对比，其实D=-2a，E=-2b，F=a^2+b^2-r^2。

该圆圆心坐标为（-D/2,-E/2)，半径r=0.5√D^2+E^2-4F。

圆的参数方程：以点O（a，b）为圆心，以r 为半径的圆的参数方程是x=a+r*cosθ, y=b+r*sinθ, (其中θ为参数) 圆的端点式：若已知两点A(a1,b1),B(a2,b2)，则以线段AB为直径的圆的方程为 (x-a1)(x-a2)+(y-b1)(y-b2)=0 圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。

经过圆x^2+y^2=r^2上一点M（a0，b0）的切线方程为a0*x+b0*y=r^2 在圆(x^2+y^2=r^2)外一点M （a0，b0）引该圆的两条切线，且两切点为A,B，则A,B两点所在直线的方程也为a0*x+b0*y=r^2平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是： 1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）／B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。

利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。

如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。

圆的标准方程与一般方程的特点与分析圆的标准方程与一般方程各具特点，但都是我们所需要掌握的重要内容。

通过标准方程能够对一般方程进行推导，能够让我们更好地理解圆的特点和相关知识。

本文对圆的标准方程与一般方程进行分析，以供参考。

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在圆的标准方程中，包含有a、b、r这三个参数，也就是圆心坐标为（a，b），只需要将a、b、r计算出来，就可以确定圆的方程。

所以，在对圆方程进行确定的过程中，应当具备三个独立的条件，圆的定位条件就是圆心坐标，圓的定形条件就是其半径。

[1]1.圆的方程当时，则圆心O的坐标为（0，0），我们将其称之为1单位的圆；当时，则圆心O的坐标为（0，0），其半径为r；当时，则圆心O的坐标为（a，b），其半径为r。

在对圆的方程进行确定的过程中，主要是对待定系数法这一方法进行运用，也就是将有关a、b、r的方程组列出来，将a、b、r分别计算出来，亦或是将圆心（a，b）与半径r计算出来，通常情况下，其步骤是：依据有关题意，将圆的标准方程列出来；依据相关已知条件，对有关a、b、r的方程组进行建构；对所建构的方程组进行计算，分别将a、b、r的数值计算出来，将所计算的数值带入到圆的标准方程中去，进而就可以将所求圆的方程计算出来。

2.方程推导平面直角坐标系中，圆心O的坐标为（a，b），点P是圆中任意一点，其坐标为（x，y）。

圆属于平面到定点距离等于定长的所有点的集合。

[2]因此，，分别将两边平方，可以得出。

3.点与圆关于点P（x1，y1）与圆（x-a）2+（y-b）2=r2的位置关系：当的情况下，那么点P位于圆外；当的情况下，那么点P位于圆上；当的情况下，那么点P位于圆内。

4.直线与圆的位置关系在平面图形中，在判定直线和圆的位置关系时，通常运用以下方法：通过其中B不等于0，可以得出关于x的一元二次方程。

通过判别式的符号，就可以对圆与直线的位置关系进行确定，其位置关系如下：倘若，那么圆与直线存在两个交点，二者是相交关系；倘若，那么圆与直线存在一个交点，二者是相切关系；倘若，那么圆与直线不存在交点，二者是相离关系。

圆的坐标系公式
一、圆的标准方程。

1. 在平面直角坐标系中。

- 圆心为(a,b)，半径为r的圆的标准方程为(x - a)^2+(y - b)^2=r^2。

- 例如，圆心为(1,2)，半径为3的圆的方程为(x - 1)^2+(y - 2)^2 = 9。

- 推导：设圆上任意一点P(x,y)，圆心C(a,b)，根据两点间距离公式d=√((x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2)，因为圆上的点到圆心的距离等于半径r，所以√((x - a)^2+(y - b)^2)=r，两边平方就得到(x - a)^2+(y - b)^2=r^2。

2. 特殊情况。

- 当圆心在原点(0,0)时，圆的标准方程为x^2+y^2=r^2。

例如，半径为2的圆（圆心在原点）的方程为x^2 + y^2=4。

二、圆的一般方程。

1. 方程形式。

- 圆的一般方程为x^2+y^2+Dx + Ey+F = 0（D^2+E^2 - 4F>0）。

- 我们可以将一般方程转化为标准方程来确定圆心和半径。

- 对于x^2+y^2+Dx + Ey+F = 0，通过配方可得
(x+(D)/(2))^2+(y+(E)/(2))^2=(D^2 + E^2-4F)/(4)，此时圆心坐标为(-(D)/(2),-(E)/(2))，半径r=(1)/(2)√(D^2 + E^2-4F)。

- 例如，对于方程x^2+y^2 - 2x+4y - 4 = 0，其中D=-2，E = 4，F=-4。

- 先配方：x^2 - 2x+1+y^2+4y + 4=4 + 1+4，即(x - 1)^2+(y + 2)^2=9，圆心为(1,-2)，半径为3。

圆的一般方程求半径
圆的一般方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0D2+E2-4F>0，其中圆心坐标是（-D/2，-E/2）。

半径：1/2√（D2+E2-4F）。

圆的一般方程
圆的一般方程，是数学领域的知识。

圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0D2+E2-4F>0，或可以表示为X+D/22+Y+E/22=D2+E2-4F/4。

标准方程：圆半径的长度定出圆周的大小，圆心的位置确定圆在平面上的位置。

如果已知：1圆半径长R；2中心A的坐标a,b，则圆的大小及其在平面上关于坐标轴的位置就已确定如下图。

根据图形的几何尺寸与坐标的联系可以得出圆的标准方程。

结论如下：（x-a）2+（y-b）2=R2。

当圆的中心A与原点重合时，即原点为中心时，即a=b=0，圆的方程为：x2+y2=R2。

圆的定义
在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。

这个定点叫做圆的圆心。

圆形一周的长度，就是圆的周长。

能够重合的两个圆叫等圆，等圆有无数条对称轴。

圆是一个正n边形（n为无限大的正整数），边长无限接近0但永远无法等于0。

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圆的方程一、圆的标准方程确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。

（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式写出点Mr = ①化简可得：222()()x a y b r -+-= ②自己证明为圆的方程，得出结论。

方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程例（1）：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。

二、探究：点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外 （2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 （3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内例（2）：ABC 的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程例(3):已知圆心为C 的圆:10l x y -+=经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.三、特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解）条件 方程形式 圆心在原点 ()2220x y rr +=≠过原点 ()()()2222220x a y b a b ab -+-=++≠圆心在x 轴上 ()()2220x a y rr -+=≠ 圆心在y 轴上 ()()2220x y b rr +-=≠ 圆心在x 轴上且过原点 ()()2220x a y aa -+=≠ 圆心在y 轴上且过原点 ()()2220x y b bb +-=≠与x 轴相切 ()()()2220x a y b bb -+-=≠ 与y 轴相切 ()()()2220x a y b a a -+-=≠与两坐标轴都相切 ()()()2220x a y b aa b -+-==≠四、圆的一般方程(x －a)2＋(y －b)2=r 2，圆心(a ，b)，半径r ．把圆的标准方程展开，并整理：x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－r 2=0．取222,2,2r b a F b E a D -+=-=-=得022=++++F Ey Dx y x ①这个方程是圆的方程．反过来给出一个形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？把x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0配方得44)2()2(2222F E D E y D x -+=+++ ② 这个方程是不是表示圆？(1)当D 2＋E 2－4F ＞0时，方程②表示（1）当0422>-+F E D 时，表示以（-2D ，-2E）为圆心,F E D 42122-+为半径的圆； （2）当0422=-+F E D 时，方程只有实数解2D x -=，2E y -=，即只表示一个点（-2D ，-2E）;（3）当0422<-+F E D 时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形综上所述，方程022=++++F Ey Dx y x 表示的曲线不一定是圆只有当0422>-+F E D 时，它表示的曲线才是圆，我们把形如022=++++F Ey Dx y x 的表示圆的方程称为圆的一般方程()2214x y ++=五、圆的一般方程的特点：(1)①x 2和y 2的系数相同，不等于0．②没有xy 这样的二次项．(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。

一、圆的方程的三种形式圆的方程有两种形式，分为标准方程、一般方程。

圆的标准方程形式为：（xa）^2+（yb）^2=r^2。

圆的一般方程形式为：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0。

和标准方程对比来看，其实D=2a，E=2b，F=a^2+b^2r^2。

二、圆的标准方程和一般方程圆的标准方程：（xa）²+（yb）²=R²。

圆的一般方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0（D²+E²4F＞0）。

标准方程圆半径的长度定出圆周的大小，圆心的位置确定圆在平面上的位置。

如果已知：(1)圆半径长R；(2)中心A的坐标(a,b)，则圆的大小及其在平面上关于坐标轴的位置就已确定(如下图)。

根据图形的几何尺寸与坐标的联系可以得出圆的标准方程。

结论如下：（xa）²+（yb）²=R²当圆的中心A与原点重合时，即原点为中心时，即a=b=0，圆的方程为：x²+y²=R²圆的一般方程圆的标准方程是一个关于x和y的二次方程，将它展开并按x、y的降幂排列，得：x²+y²2ax2by+a²+b²R²=0设D=2a，E=2b，F=a²+b²R²；则方程变成：x²+y²+Dx+Ey+F=0任意一个圆的方程都可写成上述形式。

把它和下述的一般形式的二元二次方程比较，可以看出它有这样的特点：(1)x2项和y2项的系数相等且不为0(在这里为1)；(2)没有xy的乘积项。

Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0圆的端点式：若已知两点A（a1,b1）,B（a2,b2），则以线段AB为直径的圆的方程为（xa1）（xa2）+（yb1）（yb2）=0圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。

经过圆x²+y²=r²上一点M（a0，b0）的切线方程为a0·x+b0·y=r²在圆（x²+y²=r²）外一点M（a0，b0）引该圆的两条切线，且两切点为A,B，则A,B两点所在直线的方程也为a0·x+b0·y=r²。

教学目的：1、掌握圆的一般方程与标准方程；2、会用待定系数法求圆的方程；3、简单了解参数方程教学内容：一、 圆的方程1）圆的标准方程：圆心C (a ，b )，半径r 的方程为2）圆的一般方程：二元二次方程表示圆的充要条件是：①A =C ≠0②B =0③D 2+E 2-4F 2>0由方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，配方可得：3）点与圆的位置关系：圆（x -a ）2+（y -b ）2=r 2，点P (x 0，y 0)与圆的位置关系有以下三种：①点在圆上↔②点在圆内↔③点在圆外↔圆外一点P 到圆上任意一点的最大距离为 ，最小距离为x 2+y 2-6x -8y =0.设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ,则四边形ABCD 的面积为 .C 的圆心与点P (-2,1)关于直线y =x +1对称。

直线3x +4y -11=0与圆C 交于A ,B两点，且|AB |=6，则圆C 的方程为 .xOy 中，设二次函数)(2)(2R x b x x x f ∈++=的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C .(1)求实数b 的取值范围；(2)求圆C 的方程；(3)问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论.二、 圆的参数方程1） 圆x 2+y 2=r 2（r >0）的参数方程是)(sin ,cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==r y r x 2） 圆（x-a ）2+(y-b )2=r 2（r >0）的参数方程是)(sin ,cos 为参数θθθ⎩⎨⎧+=+=r b y r a x 三、 圆的直径式方程的求法设点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)是圆的直径的两个端点，P (x ,y )为圆上任意一点，则∠APB =90°，即P A ⊥PB ，而11x x y y k AP --=，221x x y y k PB --=.由1-=⋅PB AP k k 得：12211-=--⋅--x x y y x x y y ，则方程为（x -x 1）（x -x 2）+（y -y 1）（y -y 2）=0)(0916)41(2)3(24222R t t y t x t y x ∈=++-++-+表示的图形是圆.(1)求t 的取值范围；(2)求其中面积最大的圆的方程；(3)若点P （3，4t 2）恒在所给的圆内，求t 的取值范围.1.已知圆心为A （2，-3），半径长为5，则圆的方程为 .2.设a >0,b >0,4a +b =ab ,则在以（a ，b ）为圆心，a +b 为半径的圆中，面积最小的圆的标准方程是 .3.已知过点A (0,1)和B (4,a )且与x 轴相切的圆只有一个，求a 的值及圆的方程.4.已知圆C 通过不同的三点P (m ，0)、Q (2,0)、R (0,1),且CP 的斜率为-1.（1）试求圆C 的方程；（2）过原点O 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，l 1交C 于E ,F 两点，l 2交C 于G ,H 两点， 求四边形EGFH 面积的最大值.5.已知抛物线C 的顶点在坐标原点，准线l 的方程为x =-2，点P 在准线l 上，纵坐标为)0,(13≠∈-t R t tt ，点Q 在y 轴上，纵坐标为2t . (1)求抛物线C 的方程；(2)求证：直线PQ 恒与一个圆心在x 轴上的定圆M 相切，并求出圆M 的方程.。

圆的标准方程和一般方程【圆的方程】⑴圆的标准方程：。

⑵圆的一般方程：，特别提醒：只有当时，方程才表示圆心为，半径为的圆（二元二次方程表示圆的充要条件是什么？（且且））；【点与圆的位置关系】已知点及圆，（1）点M在圆C外；（2）点M在圆C内；（3）点M在圆C上。

【直线与圆的位置关系】直线和圆有相交、相离、相切。

可从代数和几何两个方面来判断：（1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：相交；相离；相切；（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为，则相交；相离；相切。

提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。

【两圆位置关系的判定方法】设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，外离外切相交内切内含【公共弦直线方程】圆与圆的公共弦所在直线方程【圆的切线与弦长】(1)切线：①过圆上一点圆的切线方程是：，过圆上点圆的切线方程是：，一般地，如何求圆的切线方程？（抓住圆心到直线的距离等于半径）；②从圆外一点引圆的切线一定有两条，（2）弦长问题：常用弦心距，弦长一半及圆的半径所构成的直角三角形来解：；例:直线被曲线所截得的弦长等于；【圆的方程】1、过点，，三点的圆的方程为___________2、点P(5a+1,12a)在圆(x－１)２＋y2=1的内部,则a的取值范围是______3、方程x2+y２－x+y+k=0表示一个圆，则实数k的取值范围为____；4、过点且圆心在直线上的圆的方程是_____________【切线和弦问题】5、与圆相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有___________．6．已知两圆和相交于两点，则直线的方程是，线段的垂直平分线方程是7、若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是________．解析：由题意，设圆心(x0,1)，∴＝1，解得x0＝2或x0＝－(舍)，∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.8、已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为___________．解析：由题意知，圆心坐标为(3,4)，半径r＝5，故过点(3,5)的最长弦为AC ＝2r＝10，最短弦BD＝2＝4，四边形ABCD的面积为20.9、一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为2，求此圆的方程分析：利用圆的性质：半弦、半径和弦心距构成的直角三角形解：因圆与y轴相切，且圆心在直线x－3y=0上，故设圆方程为又因为直线y=x截圆得弦长为2，则有+=9b2，解得b=±1故所求圆方程为或【对称问题】10、已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为________________．解析：圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(－1,1)．圆C2的圆心设为(a，b)，C1与C2关于直线x－y－1＝0对称，∴解得圆C2的半径为11，∴圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1.11．圆上与直线距离最近的点的坐标是12、已知点P(1,4)在圆C：x2＋y2＋2ax－4y＋b＝0上，点P关于直线x＋y －3＝0的对称点也在圆C上，则a＝________，b＝________.解析：点P(1,4)在圆C：x2＋y2＋2ax－4y＋b＝0上，所以2a＋b＋1＝0，点P关于直线x＋y－3＝0的对称点也在圆C上，所以圆心 (－a,2)在直线x＋y－3＝0上，即－a＋2－3＝0，解得a＝－1，b＝1.【直线与圆相交问题】13、若圆x2＋y2－2kx＋2y＋2＝0(k>0)与两坐标轴无公共点，那么实数k的取值范围为________．解析：圆的方程为(x－k)2＋(y＋1)2＝k2－1，圆心坐标为(k，－1)，半径r ＝，若圆与两坐标无共点，即，解得1<k<.14、圆x2＋y2－4x＋2y＋c＝0与y轴交于A、B两点，其圆心为P，若∠APB＝90°，则实数c的值是________．解析：当∠APB＝90°时，只需保证圆心到y轴的距离等于半径的倍．由于圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝5－c，即2＝×，解得c＝－3.【综合问题】15、如果实数满足等式，那么的最大值是16、两圆交于点、，两圆的圆心均在直线上，则17、曲线f(x)＝xlnx在点P(1,0)处的切线l与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是____________．解析：曲线f(x)＝xlnx在点P(1,0)处的切线l方程为x－y－1＝0，与坐标轴围成的三角形的外接圆圆心为(，－)，半径为，所以方程为(x－)2＋(y＋)2＝.答案：(x－)2＋(y＋)2＝18、已知圆M：（x＋cos）2＋（y－sin）2＝1，直线l：y＝kx，下面四个命题：（A）对任意实数k与，直线l和圆M相切；（B）对任意实数k与，直线l和圆M有公共点；（C）对任意实数，必存在实数k，使得直线l与和圆M相切;（D）对任意实数k，必存在实数，使得直线l与和圆M相切.其中真命题的代号是______________（写出所有真命题的代号）.（B）（D）.圆心坐标为（－cos，sin）d＝19、若直线ax＋by＝1过点A(b，a)，则以坐标原点O为圆心，OA长为半径的圆的面积的最小值是___．解析：∵直线ax＋by＝1过点A(b，a)，∴ab＋ab＝1，∴ab＝，又OA＝，∴以O为圆心，OA长为半径的圆的面积：S＝π·OA2＝(a2＋b2)π≥2ab·π＝π，∴面积的最小值为π.20、设实数x、y满足x2＋(y－1)2＝1，若对满足条件的x、y，不等式＋c≥0恒成立，则c的取值范围是________．解析：由题意，知－c≤恒成立，又＝表示圆上的点与定点(3,0)连线的斜率，范围为[－，0]，所以－c≤－，即c的取值范围是c≥.21、设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长之比为3：1；③圆心到直线的距离为，求该圆的方程．设圆心为，半径为r，由条件①：，由条件②：，从而有：．由条件③：，解方程组可得：或，所以．故所求圆的方程是或．。

圆在直角坐标系的解析式在数学中，圆是几何形状的一种。

它由平面上与一定距离的点构成，这些点到圆心的距离都相等。

在直角坐标系中，圆的方程可以通过解析式表示。

解析式是圆的方程，可以用来描述圆的位置和形状。

圆的一般方程在直角坐标系中，圆的一般方程可以表示为：(x - h)² + (y - k)² = r²其中(h, k)是圆心的坐标，r是圆的半径。

这个方程可以解释为，对于平面上的一点(x, y)，它到圆心的距离的平方等于半径的平方。

圆的标准方程圆的一般方程可以进一步转化为标准方程：(x - a)² + (y - b)² = r²其中(a, b)是圆心的坐标。

标准方程是一种简化的表达形式，将圆心的坐标直接代入方程中。

圆心与半径的关系圆的半径是一个关键参数，它决定了圆的大小。

圆的半径r是圆心到圆周上任意一点的距离。

当圆心(h, k)不为原点时，我们可以通过以下公式计算半径r的值：r = √[(x - h)² + (y - k)²]即圆的半径等于圆心到圆周上任意一点(x, y)的距离。

圆的性质圆具有一些特殊的性质，包括：•圆的直径是圆上任意两点之间的最长距离，它等于半径的两倍。

•圆上任意一点到圆心的距离等于半径的长度。

•圆心到圆上任意一点的切线垂直于半径。

利用这些性质，我们可以解决一些与圆相关的问题，如求解切线的斜率、求解切点的坐标等。

示例问题以下是一些与圆相关的示例问题：问题一：已知一个圆的圆心坐标为(3, 2)，半径为5，求圆的方程。

解答：根据圆的一般方程，我们可以得到：(x - 3)² + (y - 2)² = 25所以圆的方程为(x - 3)² + (y - 2)² = 25。

问题二：如果一个圆的圆心在原点，半径为6，求圆的方程。

解答：根据圆的标准方程，当圆心在原点时，可以得到：x² + y² = 36所以圆的方程为x² + y² = 36。

解析几何圆的公式圆的解析几何方程如下圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O(a，b)为圆心，以r为半径的圆的标准方程是(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。

圆的一般方程：把圆的标准方程展开，移项，合并同类项后，可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0(其中D^2+E^2-4F>0)。

其中和标准方程对比，其实D=-2a，E=-2b，F=a^2+b^2-r^2。

该圆圆心坐标为(-D/2,-E/2)，半径r=0.5√D^2+E^2-4F。

圆的参数方程：以点O(a，b)为圆心，以r为半径的圆的参数方程是x=a+r*cosθ, y=b+r*sinθ, (其中θ为参数)圆的端点式：若已知两点A(a1,b1),B(a2,b2)，则以线段AB为直径的圆的方程为(x-a1)(x-a2)+(y-b1)(y-b2)=0圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。

经过圆x^2+y^2=r^2上一点M(a0，b0)的切线方程为a0*x+b0*y=r^2在圆(x^2+y^2=r^2)外一点M(a0，b0)引该圆的两条切线，且两切点为A,B，则A,B两点所在直线的方程也为a0*x+b0*y=r^2 扩展资料：直线与圆的位置关系平面内直线与圆的位置关系有三种：（1）相离：无交点；（2）相切：仅有一个交点；（3）相交：有两个交点。

直线与圆的位置关系和圆心到直线的距离d与半径r的关系：（1）d>r：直线与圆相离；（2）d=r：直线与圆相切；（3）d<r：直线与圆相交。

初中数学圆的知识点总结1、圆是定点的距离等于定长的点的集合2、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合3、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合4、同圆或等圆的半径相等5、到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆6、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线7、到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线8、到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线9、定理不在同一直线上的三点确定一个圆。

圆的方程1、圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+.2、点与圆的位置关系：已知点()00M ,x y 及圆()()()222C 0：x-a y b r r +-=>，（1）点M 在圆C 外()()22200CM r x a y b r ⇔>⇔-+->； （2）点M 在圆C 内⇔()()22200CM r x a y b r <⇔-+-<； （3）点M 在圆C 上()20CM r x a ⇔=⇔-()220y b r +-=。

3、 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x .当0422>-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D C ，半径2422F E D r -+=. 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D . 当0422<-+F E D 时，方程无图形（称虚圆）.注：（1）方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且2240D E AF +->.4、圆的直径式方程：已知1122(,)(,)A x y B x y 是圆的直径的两个端点，则圆的方程为 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=5、圆的参数方程及应用对于圆的普通方程222()()x a y b R -+-=来说，圆的方程还有另外一种表达形式cos sin x a R y b R θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数），在解决有些问题时，合理的选择圆方程的表达形式，能给解决问题带来方便，本文浅谈圆的参数方程再解题中的应用。

一、求最值例1 已知点（x ，y ）在圆221x y +=上，求2223x xy y ++的最大值和最小值。

高考数学知识点：圆的标准方程与一般方程_知识点总结
高考数学知识点：圆的标准方程与一般方程圆的定义：
平面内与一定点的距离等于定长的点的集合是圆。

定点就是圆心，定长就是半径。

圆的标准方程：
圆的标准方程，圆心（a，b），半径为r；特别当圆心是（0，0），半径为r时，圆的标准方程为。

圆的一般方程：
圆的一般方程
当＞0时，表示圆心在，半径为的圆；
当=0时，表示点；
当＜0时，不表示任何图形。

圆的定义的理解：
（1）定位条件：圆心,高考历史；定形条件：半径。

（2）当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了．因此一个圆最基本的要素是圆心和半径．
圆的方程的理解：
(1)圆的标准方程中含有a，b，r三个独立的系数，因此，确定一个圆需三个独立的条件．其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定形条件．
(2)圆的标准方程的优点在于明确显示了圆心和半径．
(3)圆的一般方程形式的特点：
a．的系数相同且不等于零；
b．不含xy项．
(4)形如的方程表示圆的条件：
a．A=C≠0；
b．B=0;
c.即
几种特殊位置的圆的方程：
条件
标准方程
一般方程
圆心在原点
过原点
圆心在x轴上
圆心在y轴上
与x轴相切
与y轴相切
与x,y轴都相切
圆心在x轴上且过原点
圆心在y轴上且过原点。